Bài 15 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tiep tuyen hàm so phần 4

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 4)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

2x 1
(1). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường
x 1
thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9.

Bài 1. Cho hàm số y 

Lời giải:
+) Ta có I(- 1; 2). Gọi M  (C )  M ( x0 ; 2 

y  yI
3
3
)  k IM  M

x0  1
xM  xI ( x0  1) 2

+) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: kM  y '( x0 ) 

+)

3

 x0  1

2

ycbt  k M .k IM  9

+) Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 1), M(-2; 5)
Bài 2. Cho hàm số y 

x 1
(C)
2x 1

Tìm m để (C) cắt đường thẳng  dm  : y  mx  2m 1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho tiếp tuyến tại A và
B vuông góc với nhau.
Lời giải:

3
 1
Tập xác định: D  R \    . Ta có: y ' 
 0, x  D
2
 2
 2 x  1
Xét phương trình hoành độ giao điểm:
x 1
1
 mx  2m  1  f  x   mx 2   5m  1 x  2m  2  0 với x  
2x 1

2

 C  cắt  dm 

tại 2 điểm phân biệt A, B  f  x   0 có 2 nghiệm phân biệt khác 

1
2


m  0

m  0
(*)
   17m2  2m  9  0  
m


6


1
1
3
 f      m   0
4
2
  2 
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A. B lần lượt là:

k A  y '  xA  

 k A .kB 

3

.

3

 2 xA  1  2 xB  1
2

2

3

 2 xA  1

2

; kB  y '  xB  

3

 2 xB  1

2

 0 nên hai tiếp tuyên tại A, B không thể vuông góc với nhau. Vậy

không tồn tại m thỏa mãn bài toán.
Bài 3. Tìm các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số  C  : y  x3  3x2
trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau.
Lời giải:
Lấy M  m,0 bất kì thuộc trục hoành Ox.
Đường thẳng đi qua M với hệ số góc k có phương trình y  k ( x  m)  kx  km tiếp xúc với  C 
 x3  3x 2  kx  km(1)
có nghiệm.
 hệ  2
3x  6 x  k (2)

Thế (2) vào (1) ta có: x3  3x2   3x2  6 x   x  m 

 x  2 x 2   3  3m  x  6m   0
x  0
 2
 2 x   3  3m  x  6m  0
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến  C  trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc thì phương trình

g ( x)  2x2  3  3m x  6m  0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 khác 0 sao cho k1k2  1 (k xác định
theo x trong (2))
   3  3m 2  48m  0
9m2  30m  9  0


  g (0)  6m  0
 m  0
 2

2
 3x1  6 x1  3x2  6 x2   1 9 x1 x2  x1 x2  2( x1  x2 )  4  1

  m  3

m   1

3
1

 m  0
m
27
9 3m 3m  3m  3  4  1








 1 
Vậy: M 1  ;0 
 27 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Bài 4. Cho hàm số y   x3  3x  2 (C)
a. Tìm điểm trên trục hoành sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)
b. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.
Lời giải:
a. Điểm M thuộc trục hoành Ox  M  a;0 . Nhận thấy đường thẳng x = a không là tiếp tuyến của (C), xét
 x3  3x  2  k  x  a 
đường thẳng đi qua M có hệ số góc k có dạng: y  k  x  a  tiếp xúc với (C)  
2
3x  3  k

có nghiệm.
Suy ra:  x3  3x  2   3x2  3  x  a 

  x  1  2 x 2   3a  2  x  3a  2   0
 x  1

2
 f  x   2 x   3a  2  x  3a  2  0
Để từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị hàm số (C) thì f  x   0 phải có 2 nghiệm phân biệt
2
a  2

3a 2  4a  4  0
   3a  2   8  3a  2   0
khác -1  


 a  2
6

0
f

1

0





3


2

Vậy các điểm M thỏa mãn có tọa độ  a;0  với a   ;     2;  
3


b. Ta có: y '  3x 2  3 ; y "  6 x  0  x  0

 U  0;2 là điểm uốn của đồ thị hàm số
Hệ số góc của tiếp tuyến tại U là: k  y '  0  3
Với điểm M  x0 ; y0  bất kì thuộc đồ thị hàm số, thì hệ số góc tại M là:

k1  y '  x0   3x02  3  3
Vậy tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 3 -