Bài 16 hướng dẫn giải bài tập tự luyện tiep tuyen hàm so phần 5

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ (Phần 5)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là y   x 3  3x 2  3 . Gọi  là đường thẳng có phương
trình y = 1. Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E   với (C).
Lời giải:
E (e, 1)  . Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + 1 (D). (D) tiếp xúc (C)  hệ

  x3  3n2  3  h( x  e)  1
có nghiệm.

2

3
x

6
x

h

 Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
– x3 + 3x2 – 3 = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ 1


– x3 + 3x2 – 4 = x(– 3x + 6)(x – e)



(x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e)



x = 2 hay x2 – x – 2 = 3x2 – 3ex



x = 2 hay 2x2 – (3e – 1)x + 2 = 0

(1)

(2)

(2) có  = (3e – 1)2 – 16 = (3e – 5)(3e + 3)
(2) có nghiệm x = 2  8 – 2(3e – 1) + 2 = 0  e = 2
Ta có  > 0  e < – 1 hay e >

5
.
3

Biện luận :
i)

Nếu e < – 1 hay

5
< e < 2 hay e > 2
3

 (1) có 3 nghiệm phân biệt  có 3 tiếp tuyến.
ii) Nếu e = – 1 hay e =

5
hay e = 2
3

 (1) có 2 nghiệm  có 2 tiếp tuyến.
iii) Nếu – 1 < e <

5
 (1) có 1 nghiệm  có 1 tiếp tuyến.
3

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Bài 2. Cho hàm số y  x3  2 x 2  7 x  4. Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của hàm số mà qua đó chỉ kẻ

được duy nhất một tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Lời giải:
Gọi điểm M  x0 ; x03  2 x02  7 x0  4    C  
Phương trình đường thẳng d qua M là y  k  x  x0   x03  2x02  7 x0  4.
Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C)  Hệ sau có nghiệm
 x3  2 x 2  7 x  4  k  x  x0   x03  2 x02  7 x0  4
 2
3 x  4 x  7  k

Thế k ở phương trình sau vào phương trình trước ta được

 x  x0  2 x2   x0  2  x  x02  2 x0   0



f  x

Để có một tiếp tuyến duy nhất thì f  x   0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép bằng x0 .
Trường hợp 1:    3x0  2  0  Vô lý.
2

  0
2
250

Trường hợp 2:  b
 x0   y0  
.
3
27


 x0

 2a
 2 250 
Vậy điểm cần tìm là  ; 
.
27 
3

Bài 3. Cho họ đường cong bậc ba có phương trình là y   x 3  3x 2  3 (C). Tìm M  (C) để qua M chỉ
có một tiếp tuyến với (C).
Lời giải:
Cách 1 : Đối với hàm bậc 3 (a  0) ta dễ dàng chứng minh được rằng :
 M  (C), ta có :
i)

Nếu M khác điểm uốn, ta có đúng 2 tiếp tuyến qua M.

ii) Nếu M là điểm uốn, ta có đúng 1 tiếp tuyến qua M.
Cách 2 : Gọi M(x0, y0)  (C). Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng :
y = k(x – x0)  x03  3 x02  3

(D)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Phương trình hoành độ tiếp điểm của (D) và (C) là :
 x 3  3 x 2  3  (3 x 2  6 x)( x  x0 )  x03  3 x02  3



x3  x03  3( x 2  x02 )  ( x  x0 )(3 x 2  6 x)  0



x  x0  0  x 2  xx0  x02  3x  3x0  3x 2  6 x  0



x  x0 hay 2 x 2  (3  x0 ) x  x02  3x0  0



x  x0 hay ( x  x0 )(2 x  x0  3)  0



x  x0 hay x 

(5)

3  x0
2

Do đó, có đúng 1 tiếp tuyến qua M (x0, y0)  (C)


x0 

3  x0
 x0  1
2

Suy ra, y0 = 1. Vậy M(1, –1) (điểm uốn).
Nhận xét : vì x0 là 1 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắc chắn có nghiệm kép là x0
Bài 4. Cho y = x3 - 3x2. Tìm tất cả các điểm M nằm trên đường cong sao cho từ M chỉ có thể vẽ được duy
nhất một tiếp tuyến tới đường cong đã cho.
Lời giải:
Gọi M (  ,  3  3 2 ) là điểm cần tìm. Tiếp tuyến qua M chỉ có thể có dạng:
y = k(x -  ) +  3 -3 

2

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm. Ta có hệ phương trình gồm 2 pt sau:
 x03  3 x02  k ( x0   )   3  3 2 (1)
 2
3x0  6 x0  k (2)

Thay (2) vào (1), ta có:
2x30 - 3x20 (  + 1) + 6  x0 +  3 - 3  2 = 0 (*)

 (x0 -  ) [2x20 - (  + 3)x0 -  2 + 3  ] = 0
 (x0 -  )2 (2x0 +  - 3) = 0
x0 =  hoặc x0 =

3 
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

(3)

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH đảm bảo môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Chú ý rằng vì y = x3 - 3x2 là đường cong bậc ba, nên số tiếp tuyến vẽ được bằng số tiếp tuyến với đường
cong. Vì thế qua M có 1 tiếp tuyến duy nhất với đường cong khi và chỉ khi hệ (1) (2) (ẩn x0) có nghiệm
duy nhất. Dựa vào (3) điều đó xảy ra khi:



3 
   1
2

Vậy trên đường cong y = x3 - 3x2 có một điểm duy nhất thoả mãn yêu cầu đề bài.
Đó là điểm M (1, - 2)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 4 -