Bài 25 hướng dẫn giải bài tập tự luyện he phương trình phần 4

Khóa h c LTðH ñ m b o môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình – h phương trình – b t phương trình

H PHƯƠNG TRÌNH (PH N 4)
HƯ)NG D,N GI.I BÀI T0P T1 LUY4N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PHƯƠNG

 y +1
x
− 23
=1
3
y +1
Bài 1: Gi i h phương trình:  x

 x + y + 1 + x − y + 10 = 5
Gi i:

 x ≠ 0; y ≠ −1

ði u ki n:  x + y + 1 ≥ 0
 x − y + 10 ≥ 0

ð t

3

y +1
=t⇒
x

1
x
=
y +1 t

3

t = −1
1
Khi ñó phương trình (1) tr$ thành: t − 2 = 1 ⇔ t 2 − t − 2 = 0 ⇔ 
t
t = 2
+ V(i t = 1 ta có:

3

y +1
y +1
= −1 ⇔
= −1 ⇔ y = − x − 1 th+ vào (2) ta ñư.c:
x
x

2 x + 11 = 5 ⇔ 2 x = 14 ⇔ x = y ⇒ y = −8
+ V(i t = 2, ta có:

3

y +1

y +1
=2⇔
= 8 ⇔ y = 8 x − 1 th+ vào (2) ta ñư.c:
x
x

x = 1⇒ y = 7

 x = 49 ⇒ y = 41
64
8

 49 41 
ðáp s7: ( x; y ) = (7; −8); (1;7);  ; 
 64 8 

(2 x + y ) 2 − 5(4 x 2 − y 2 ) + 6(2 x − y ) 2 = 0

Bài 2: Gi i phương trình: 
1
2 x + y + 2 x − y = 3

Gi i:
ði u ki n: 2 x − y ≠ 0
2

 2x + y 
2x + y
Phương trình (1) ⇔ 
+ 6 = 0 (*)

 −5
−
2
x
y
2x − y


ð t

t = 2
2x + y
= t khi ñó phương trình (*) tr$ thành: t 2 − 5t + 6 = 0 ⇔ 
2x − y
t = 3

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58#58#12

Trang | 1


Khóa h c LTðH ñ m b o môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình – h phương trình – b t phương trình

3
1


x= ⇒ y=

2x + y
2
8
4
+ V(i t = 2, ta có:
= 2 ⇔ 2 x + y = 2(2 x − y ) ⇔ y = x th+ vào (2) ta có: 
2x − y
3
x = 3 ⇒ y = 1

4
2
+ V(i t = 3, ta có:

2x + y
= 3 ⇔ 2 x + y = 3(2 x − y ) ⇔ y = x th+ vào (2) ta có phương trình vô nghi m.
2x − y

3 1 3 1
ðáp s7: ( x; y ) =  ;  ;  ;  .
8 4 4 2

 x3 − 3x 2 = y 3 − 3 y − 2

Bài 3: Gi i h phương trình: 
 x−2
 y −1 
3

log y  y − 1  + log x  x − 2  = ( x − 3)






Gi i:
 0 < x, y ≠ 1
 x > 2, y > 1
ði u ki n: 
⇔
( x − 2)( y − 1) > 0
0 < x < 2, 0 < y < 1
Phương trình (1) ⇔ ( x − 1)3 − 3( x − 1) = y 3 − 3 y
Xét hàm: f (t ) = t 3 − 3t , dA thBy hàm này ñDng bi+n trên (−∞; −1) ∪ (1; +∞) và nghGch bi+n trên kho ng
( 1; 1)
ð t x − 1 = t1 ; y = t2
+ V(i x > 2, y > 1 thì t1 > 1, t2 > 1 , khi ñó (1) ⇔ f (t1 ) = f (t2 ) ⇔ t1 = t2 ⇔ x − 1 = y
+ V(i 0 < x < 2; 0 < y < 1 thì −1 < t1 < 1; 0 < t2 < 1 , khi ñó (1) ⇔ f (t1 ) = f (t2 ) ⇔ t1 = t2 ⇔ x − 1 = y
VHy v(i y = x − 1 th+ vào (2) ta có: ( x − 3)3 = 0 ⇔ x = 3 ⇒ t = 2
ðáp s7: ( x; y ) = (3; 2)

 x + x 2 − 2 x + 2 = 3 y −1 + 1
Bài 4: Gi i h phương trình: 
2
x −1
 y + y − 2 y + 2 = 3 + 1

Gi i:

ði u ki n: x; y ∈ R
LBy (1) – (2) ta có: x + x 2 − 2 x + 2 + 3x −1 = y + y 2 − 2 y + 2 + 3 y −1 (*)
Xét hàm: f (t ) = t + t 2 − 2t + 2 + 3t −1 , t ∈ R
Ta có: f '(t ) = 1 +

=

t −1
t − 2t + 2

(t − 1)2 + 1 + t − 1

2

+ 3t −1.ln 3 =

+ 3t −1.ln 3 >

t 2 − 2t + 2 + t − 1

t −1 + t −1

t − 2t + 2
2

+ 3t −1.ln 3

+ 3t −1.ln 3 > 0 ( ta có t − 1 + t − 1 ≥ 0 )

t − 2t + 2

t − 2t + 2
⇒ f (t ) ñDng bi+n trên R, khi ñó v(i ∀x; y ∈ R ta có (*) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y thay vào (1) ta có:
2

2

x + x 2 − 2 x + 2 − 1 = 3x −1

(
⇔ ln ( x +

)
x − 2 x + 2 − 1) − ( x − 1) ln 3 = 0

⇔ ln x + x 2 − 2 x + 2 − 1 = ( x − 1) ln 3
2

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58#58#12

Trang | 2


Khóa h c LTðH ñ m b o môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Phương

Phương trình – h phương trình – b t phương trình

NhHn thBy: x = 1 là nghi m.

)

(

M t khác: xét hàm s7 g ( x) = ln x + x 2 − 2 x + 2 − 1 − ( x − 1) ln 3

x −1

1+

Ta có: g '( x) =
=

1
( x − 1) 2 + 1

x − 2 x + 2 − ln 3 =
x + x2 − 2 x + 2 − 1

1

2

x − 2x + 2
2

− ln 3

− ln 3 ≤ 1 − ln 3 < 0 ⇒ g ( x) là hàm nghGch bi+n.

VHy x = 1 là nghi m duy nhBt.
V(i x = 1 ⇒ y = 1
ðáp s7: ( x; y ) = (1;1)
 x + x 2 + 1 = 3 y
Bài 5: Gi i h phương trình: 
x
2
 y + y + 1 = 3
Gi i:
LBy (1) chia (2) ta có:

x + x2 + 1
y + y2 +1

=

3y
3x

) (
)
Xét hàm f (t ) = 3 ( t + t + 1 ) ⇒ f '(t ) = ( t +
(

⇔ 3x x + x 2 + 1 = 3 y y + y 2 + 1 (*)
2

t

)


1 
t 2 + 1 .3t  ln 3 +
 > 0; ∀t
t2 +1 


⇒ f (t ) là hàm ñDng bi+n trên R.

)

(

)

(

Khi ñó (*) ⇔ 3x x + x 2 + 1 = f ( y ) = 3 y y + y 2 + 1 ⇔ x = y
V(i x = y th+ vào (1) ta ñư.c: x + x 2 + 1 = 3x ⇔ 3x

(

)

x2 + 1 − 1 = 1

Ta thBy x = 0 là nghi m.

( x +1 − x)


1 
Ta có: g '( x) = 3 ( x + 1 − x )  ln 3 −
 > 0, ∀x ∈ R
x +1 


M t khác: Xét hàm g ( x) = 3x
x

2

2

2

⇒ g ( x) là hàm ñDng bi+n trên R.

VHy x = 0 là nghi m duy nhBt. V(i x = 0 ⇒ y = 0 .
ðáp s7: ( x; y ) = (0; 0)

Giáo viên: Lê Bá Tr!n Phương
Ngu'n:

Hocmai.vn – Ngôi trư ng chung c a h c trò Vi t

T ng ñài tư v n: 1900 58#58#12

Hocmai.vn

Trang | 3