Một số tính chất đại số và tôpô của tập lồi trong rn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xa

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ
CỦA TẬP LỒI TRONG Rn

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Nguyễn Thị Xa

MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẠI SỐ VÀ TÔ PÔ
CỦA TẬP LỒI TRONG Rn

Chuyên ngành: Hình học

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
Th.s Trần Văn Nghị

Hà Nội – Năm 2017


i

Lời cảm ơn
Để hoàn thành được khóa luận với đề tài: “Một số tính chất đại số và tô pô
của tập lồi trong Rn ”, trước hết em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các
thầy cô giáo trong tổ Hình học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2 cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã tận tình truyền đạt những tri
thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và
khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo: Th.s Trần
Văn Nghị, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu
để em có thể hoàn thành bài khóa luận này.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân
nên chắc chắn đề tài này không tránh khỏi thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được
sự cảm thông và những đóng góp của thầy cô, các bạn sinh viên để bài khóa luận của
em hoàn thiện hơn.
Em xin trân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Xa


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Lời cam đoan
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả của quá trình em học tập và nghiên
cứu cùng với sự giúp đỡ của các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo - Th. s Trần Văn Nghị.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo những tài liệu có liên quan đã được
hệ thống trong mục tài liệu tham khảo. Khóa luận “Một số tính chất đại số và tô
pô của tập lồi trong Rn ” không có sự trùng lặp với các khóa luận khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Sinh viên

Nguyễn Thị Xa

ii


Mục lục

Lời cảm ơn

i

Lời cam đoan

ii

Lời mở đầu

1

1 Khái niệm về tập lồi

3

2 Tính chất đại số và tô pô của tập lồi

8

2.1

Tính chất đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Phần trong tương đối và bao đóng của tập lồi . . . . . .

19

2.3

Bao lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.4

Cực của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5

Điểm cực biên và mặt của tập lồi . . . . . . . . . . . . .

36

2.6

Tập lồi đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.7

Tập lồi không bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

iii

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tập lồi là một trong những đối tượng cơ bản của giải tích lồi, hình
học lồi và tối ưu lồi. Ngoài ra tập lồi còn có nhiều ứng dụng trong
thực tế.
Việc nghiên cứu những tính chất đại số và tô pô của tập lồi có một
ý nghĩa quan trọng. Với mong muốn nghiên cứu sâu hơn về tập lồi
và bổ sung kiến thức cho bản thân em đã chọn đề tài: “Một số
tính chất đại số và tô pô của tập lồi trong Rn ” để làm đề tài
khóa luận.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu kỹ hơn các kiến thức về tập lồi.
- Hệ thống các tính chất đại số và tô pô của tập lồi.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức về tập lồi.
- Phạm vi nghiên cứu: Các tính chất của tập lồi trên không gian
vectơ.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày lý thuyết và các tính chất của tập lồi.
5. Các phương pháp nghiên cứu
- Thiết lập nghiên cứu và tổng hợp các tài liệu liên quan, đặc biệt

1

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

là các bài báo và các cuốn sách viết về vấn đề mà khóa luận đề cập
tới.
6. Cấu trúc của khóa luận
Khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1: Khái niệm về tập lồi.
Chương 2: Một số tính chất đại số và tô pô của tập lồi.

2


Chương 1
Khái niệm về tập lồi
Nội dung chương này trình bày một số định nghĩa và ví dụ liên quan
đến tập lồi.
Định nghĩa 1.1. Tập A ∈ Rn được gọi là tập lồi, nếu
(1 − λ)x + λy ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ [0; 1].
Chú ý. Theo định nghĩa trên, tập ∅ được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.2. Đoạn thẳng nối x1 và x2 là tập hợp có dạng
[x1 , x2 ] := {x ∈ A : x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1}.
Nhận xét 1.1. Cho tập A là lồi, nếu ∀x1 , x2 ∈ A, ta có [x1 , x2 ] ⊂ A.
Định nghĩa 1.3. Tập C ∈ Rn được gọi là tập affine nếu
(1 − λx) + λy ∈ C, ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ R,
nghĩa là, nếu x, y ∈ C thì đường thẳng đi qua x, y cũng nằm trong C.

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Ví dụ 1.1. Các nửa không gian là các tập lồi. Các tam giác và hình
tròn trong mặt phẳng là các tập lồi. Hình cầu đơn vị trong không gian
Banach là tập lồi.
Định lý 1.1. ([4, Theorem 2.1]) Giao của họ bất kì các tập lồi là tập
lồi.
Hệ quả 1.1. Cho bi ∈ Rn và βi ∈ R với i ∈ I, trong đó I là một tập chỉ
số tùy ý. Khi đó tập
C = {x ∈ Rn : x, bi ≤ βi , ∀i ∈ I}
là lồi.
Chứng minh. Cho Ci = {x : x, bi ≤ βi }, khi đó Ci là một nửa không
gian đóng hoặc Rn hoặc ∅ và C = ∩i∈I Ci .
Nhận xét 1.2. Kết luận của hệ quả trên vẫn sẽ đúng nếu dấu “ ≤ ”
được thay bằng “ ≥ ”, “ > ”, “ < ” hoặc “ = ”.
Định lý 1.2. ([4, Theorem 2.2]) Giả sử tập A ⊂ Rn lồi và x1 , x2 ,
. . . , xm ∈ A. Khi đó, A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 , . . . , xm .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp.
m = 2: Với mọi λ1 , λ2 > 0, λ1 + λ2 = 1, x1 , x2 ∈ A, theo Định nghĩa 1.1,
λ1 x1 + λ2 x2 ∈ A. Giả sử kết luận đúng với m ≤ k, ta sẽ chứng minh
rằng:
k+1

∀x1 , . . . , xk+1 ∈ A, ∀λi ≥ 0, (i = 1, . . . , k + 1),

λi = 1;

i=1

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

x = λ1 x1 + . . . + λk xk + λk+1 xk+1 ∈ A.
Có thể xem như λk+1 < 1, bởi vì nếu λk+1 = 1 thì λ1 = λ2 = . . . = λk = 0
và ta có ngay x ∈ A. Khi đó,
1 − λk+1 = λ1 + . . . + λk > 0;
λi
≥ 0(i = 1, . . . , k).
1 − λk+1
k

Vì
i=1

λi
1−λk+1

= 1, nên theo giả thiết qui nạp ta có
1 − λk+1 > 0, (1 − λk+1 ) + λk+1 = 1.

Do đó
x = (1 − λk+1 )y + λk+1 xk+1 ∈ A.

Nhận xét 1.3. Nếu A, B là các tập lồi trong Rn , C là lồi trong Rm , thì
các tập sau là lồi:
A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B} ;
αA + βB := {x : x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} ;
A × C := x ∈ Rm+n : x = (a, c) : a ∈ A, c ∈ C .
Định nghĩa 1.4. Giả sử X ⊂ Rn . Giao của tất cả các tập lồi chứa X
được gọi là bao lồi của tập X. Ký hiệu bao lồi của X là convX.
Định lý 1.3. Cho X ⊂ Rn , khi đó convX là tập lồi nhỏ nhất chứa X.
Chứng minh. Các phần tử của X thuộc trong convX, vì vậy mọi tổ hợp
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

của chúng đều thuộc convX (Định lý 1.2). Mặt khác, cho 2 tổ hợp lồi
x = λ1 x1 + . . . + λm xm
và
y = µ1 y1 + . . . + µr yr ,
với xi ∈ X và yi ∈ X. Khi đó vectơ
(1 − λ)x + λy = (1 − λ)λ1 x1 + . . . + (1 − λ)λm xm + λµ1 y1 + . . . + λµr yr ,
với 0 ≤ λ ≤ 1 cũng là một tổ hợp lồi của các phần tử của X. Như vậy
tập các tổ hợp lồi của các phần tử thuộc X cũng là một tập lồi. ConvX
chứa X vì vậy nó trùng với tập lồi nhỏ nhất.
Hệ quả 1.2. Bao lồi của hữu hạn các tập con {b0 , . . . , bm }⊂ Rn gồm
tất cả các vectơ có dạng λ0 b0 + . . . + λm bm , với λ0 ≥ 0, . . . , λm ≥ 0, λ0 +
. . . + λm = 1.
Định nghĩa 1.5. Một tập C được gọi là nón nếu
∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.

Theo định nghĩa, ta thấy rằng gốc tọa độ có thể thuộc nón hoặc không
thuộc nón. Dĩ nhiên, một nón không nhất thiết là một tập lồi.
Ví dụ 1.2.
C = {x ∈ R : x = 0}
là một nón nhưng không lồi.
Một nón được gọi là nón nhọn nếu nó không chứa đường thẳng, khi
6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

đó, ta nói 0 là đỉnh của nón. Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng
thời là một tập lồi.
Ví dụ 1.3.

a) Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0} là nón lồi.

b) Nón Loentz Ln = {x ∈ Rn : xn ≥

7

x21 + . . . + x2n−1 } là nón lồi.


Chương 2
Tính chất đại số và tô pô của tập lồi
2.1

Tính chất đại số

Định lý 2.1. ([4, Theorem 3.1]) Nếu C1 và C2 là các tập lồi trong Rn ,
thì tổng của chúng C1 + C2 cũng là tập lồi, trong đó
C1 + C2 = {x1 + x2 : x1 ∈ C1 , x2 ∈ C2 } .
Chứng minh. Cho x và y là điểm trong C1 + C2 , khi đó tồn tại các vectơ
x1 và y1 trong C1 và x2 và y2 trong C2 , sao cho
x = x1 + x2 , y = y1 + y2 .
Với 0 < λ < 1, ta có
(1 − λ)x + λy = [(1 − λ)x1 + λy1 ] + [(1 − λ)x2 + λy2 ],
Mặt khác, C1 và C2 là lồi, nên
(1 − λ)x1 + λy1 ∈ C1 ; (1 − λ)x2 + λy2 ∈ C2 .

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Do đó (1 − λ)x + λy ∈ C1 + C2 .
Nhận xét 2.1. Ta có một số tính chất đơn giản sau:
C1 + C2 = C2 + C1 ;
(C1 + C2 ) + C3 = C1 + (C2 + C3 );
λ1 (λ2 C) = (λ1 λ2 )C;
λ1 (C1 + C2 ) = λC1 + λC2 .
Định lý 2.2. ([4, Theorem 3.2]) Nếu C là một tập lồi và λ1 ≥ 0, λ2 ≥ 0,
thì
(λ1 + λ2 )C = λ1 C + λ2 C.
Chứng minh. Điều này thường vẫn đúng dù C là tập lồi hay không.

Ngược lại, sự bao hàm tiếp theo có được từ sự tương quan của tính lồi:
C⊃

λ1
λ1 + λ2

C+

λ2
λ1 + λ2

C,

nhân biểu thức trên với λ1 + λ2 , điều kiện λ1 + λ2 > 0. Nếu λ1 hoặc λ2
bằng 0, thì sự khẳng định của định lý là hiển nhiên.
Cho 2 tập lồi C1 và C2 trong Rn , khi đó C1 ∩ C2 là tập lồi lớn nhất
chứa cả 2 tập C1 , C2 và convC1 ∩ C2 là tập lồi nhỏ nhất chứa cả C1 ,
C2 . Điều này đúng với một cặp nhưng không đúng với một họ bất kỳ
{Ci , i ∈ I}.
Định lý 2.3. ([4, Theorem 3.3]) Cho {Ci | i ∈ I} là tập gồm các tập lồi

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

tùy ý khác giỗng trong Rn và C là bao lồi. Khi đó
C=∪

λi Ci

,

i∈I

là hợp của hữu hạn các tổ hợp lồi.
Chứng minh. Từ Định lý ([4, Theorem 2.3]), C là tập của tất cả tổ hợp
lồi x = µ1 y1 + . . . + µm ym , trong đó các vectơ y1 , . . . , ym ∈ ∪Ci . Thực tế,
ta có thể nhận được C từ sự tổ hợp đó, trong đó hệ số của chúng khác
0 và các vectơ không lấy từ tập Ci . Thật vậy, các vectơ với hệ số bằng 0
có thể không lấy từ tổ hợp và nếu y1 , y2 là 2 vectơ có hệ số dương cùng
thuộc Ci , khi đó số hạng µ1 y1 + µ2 y2 có thể thay thế bởi µy, trong đó
µ = µ1 + µ2 và
y=

µ1
µ

y1 +

µ2
µ

y2 ∈ C i .

Vì vậy C là hợp của hữu hạn các tổ hợp lồi, có dạng:
µ1 Ci1 + . . . + µm Cim ,
Trong đó, các chỉ số i1 ,. . . ,im khác nhau. Như vậy nó giống với biểu thức

được miêu tả trong định lý.
Cho một ánh xạ tuyến tính A : Rn → Rm , ta có định nghĩa sau:
AC = {Ax : x ∈ C}, C ⊂ Rn ;
A−1 D = {x : Ax ∈ D}, D ⊂ Rm ;
trong đó, AC là ảnh của C dưới A và A−1 D là nghịch ảnh của D dưới
A.
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.4. ([4, Theorem 3.4]) Cho A : Rn → Rm là một ánh xạ tuyến
tính. Khi đó AC là một tập lồi trong Rm với mọi tập lồi C ⊂ Rn và
A−1 D là một tập lồi trong Rn với mọi tập lồi D ⊂ Rm .
Hệ quả 2.1. Phép chiếu vuông góc của một tập lồi C lên một không
gian con L cũng là một tập lồi.
Chứng minh. Phép chiêú vuông góc ánh xạ lên L là một ánh xạ tuyến
tính quy định mỗi điểm x có duy nhất y ∈ L sao cho (x − y) ⊥L
Định lý 2.5. ([4, Theorem 3.5]) Cho C và D là các tập lồi tương ứng
trong Rm và Rn . Khi đó
C ⊕ D = {x = (y, z) : y ∈ C, z ∈ D}
là một tập lồi trong Rm+n .
Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ tính chất của tập lồi.
Tập C ⊕ D như ở trên được gọi là tổng trực tiếp của C và D.
Định lý 2.6. ([4, Theorem 3.6]) Cho C1 , C2 là các tập lồi trong Rm+p
và C là một tập lồi của vectơ x = (y, z) (trong đó y ∈ Rm , z ∈ Rp ). Nếu
tồn tại các vectơ z1 và z2 với (y, z1 ) ∈ C1 , (y, z2 ) ∈ C2 và z1 + z2 = z thì
C cũng là một tập lồi trong Rm+p .

Chứng minh. Cho (y, z) ∈ C, với z1 và z2 như đã cho ở trên. Cho tương
tự như vậy với (y , z ), z1 và z2 . Khi đó, với 0 ≤ λ ≤ 1, y = (1−λ)y +λy
và z = (1 − λ)z + λz , ta có
(y , (1 − λ)z1 + λz1 ) = (1 − λ)(y, z1 ) + λ(y , z1 ) ∈ C;
11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

(y , (1 − λ)z2 + δz2 ) = (1 − λ)(y, z2 ) + λ(y , z2 ) ∈ C2 ;

z = (1 − λ)(z1 + z2 ) + λ(z1 + z2 )
= ((1 − λ)z1 + λz1 ) + ((1 − λ)z2 + λz2 ).
Do đó vectơ
(1 − λ)(y, z) + λ(y , z ) = (y , z )
thuộc C.
Định lý 2.7. Nếu C1 và C2 là các tập lồi trong Rn thì tổng nghịch đảo
C1 #C2 cũng lồi.
Định lý 2.8. ([4, Theorem 3.8]) Cho K1 và K2 là các nón lồi chứa gốc,
khi đó
K1 + K2 = conv(K1 ∪ K2 )
K1 #K2 = K1 ∩ K2
Chứng minh. Theo Định lý 2.3, ta có
conv(K1 ∩ K2 ) = ∪ [(1 − λ) K1 + λK2 ] , λ ∈ [0; 1]
conv(K1 ∩ k2 ) sẽ bằng K1 + K2 khi 0 < λ < 1, bằng K2 khi λ = 0 và
bằng K2 khi λ = 1. Từ 0 ∈ K1 , 0 ∈ K2 , K1 + K2 chứa cả K1 và K2 . Do
vậy conv(K1 ∪ K2 ) trùng với K1 + K2 .
Tương tự,

K1 #K2 = (λK1 ) ∩ (1 − λ)K2 , λ ∈ [0; 1] .
K1 #K2 sẽ bằng K1 ∩ K2 , 0 < λ < 1, bằng {0} ⊂ K1 ∩ K2 , λ = 0 hoặc
λ = 1. Do đó K1 #K2 = K1 ∩ K2 .
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.9. ([2, Theorem 1.1.2]) Cho A ∈ Rn , ta có
k

k

αi xi : k ∈ N, x1 , . . . , xk ∈ A, α1 , . . . , αk ∈ [0; 1],

convA =
i=1

αi = 1 .
i=1

Chứng minh. Ký hiệu B là tập bên phải. Giả sử C là một tập lồi chứa
A, thì B ⊂ C nên B ⊂ convA. Mặt khác, B là tập lồi, từ đó
β(α1 x1 + . . . + αk xk ) + (1 − β)(γ1 y1 + . . . + γm ym )
= βα1 x1 + . . . + βαk xk + (1 − β)γ1 y1 + . . . + (1 − β)γm xm .
Với xi , yi ∈ A và hệ số β, αi , γj ∈ [0; 1] với α1 +. . .+αk = 1, γ1 +. . .+γm =
1 và βα1 + . . . + βαk + (1 − β)γ1 + . . . + (1 − β)γm = β + (1 − β) = 1.
Suy ra β ⊂ A, vậy nên convA ⊂ B.

Nhận xét: A là lồi nếu và chỉ nếu A = convA.
Định nghĩa 2.1. Cho các tập A, B ⊂ Rn và α, β ⊂ R, đặt
αA + βB = {αx + βy : x ∈ A, y ∈ B}.
Tập αA + βB được gọi là một tổ hợp tuyến tính (tổ hợp Minkowski) của
hai tập A và B. Phép toán “+” được gọi là tổng vectơ (tổng Minkowski).
Các trường hợp khác có tên như sau:
A + B: Tập tổng.
A + x (trường hợp B = x): Phép tịnh tiến của A .
αA: Bội của A.
αA + x(α ≥ 0): Ảnh qua phép vị tự của A.
−A := (−1)A: Đối của A.
A − B := A + (−1)B: Hiệu của A và B.
Định lý 2.10. ([2, Theorem 1.1.3]) Cho các tập A ⊂ Rn , B ⊂ Rm là lồi
13


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

và ánh xạ affine f : Rn → Rm . Khi đó:
f (A) := {f (x) : x ∈ A}
và
f −1 (B) := {x ∈ Rn : f (x) ∈ B}
là lồi.
Hệ quả 2.2. Hình chiếu của một tập lồi lên không gian affine con là
lồi.
Phần đảo rõ ràng sai, bao của nó bị giới nội bởi hai đường tròn đồng
tâm không lồi nhưng có hình chiếu là lồi.
Định nghĩa 2.2.

a) Giao của hữu hạn các nửa không gian đóng được

gọi là một tập hình đa diện.
b) Bao lồi của hữu hạn các điểm x1 , x2 , . . . , xk ∈ Rn được gọi là một
hình đa diện P .
c) Bao lồi của các điểm độc lập được gọi là một đơn hình, r-đơn hình
là bao lồi của r + 1 điểm độc lập.
Định nghĩa 2.3. Một điểm x thuộc hình đa diện P được gọi là một
đỉnh của P nếu x ∈
/ P \{x}. Tập tất cả các đỉnh của P ký hiệu là vertP .
Định lý 2.11. ([2, Theorem 1.1.5]) Cho P là một hình đa diện trong
Rn và x1 , x2 , . . . , xn ∈ Rn là các điểm phân biệt.
a) Nếu P = conv {x1 , . . . , xk }, thì x1 là đỉnh của P . Nếu và chỉ nếu
x1 ∈
/ conv {x2 , . . . , xk }.
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

b) P là bao lồi của các đỉnh đó.
Chứng minh. a) Giả sử x1 là đỉnh của P , khi đó P \{x1 } là lồi và x1 ∈
/
P \{x1 }. Do đó, conv{x1 , . . . , xk } ⊂ P \{x1 } vì vậy x1 ∈
/ {x2 , . . . , xk }
Ngược lại, giả sử rằng x1 ∈
/ {x2 , . . . , xk }. Nếu x1 không là đỉnh thì tồn

tại 2 điểm phân biệt a, b ∈ P \{x1 } và λ ∈ (0; 1) sao cho x1 = (1−λ)a+λb.
Nên ∃k ∈ N để µ1 , . . . , µk ∈ [0; 1] và τ1 , . . . , τk ∈ [0; 1] với µ1 +. . .+µk = 1
và τ1 + . . . + τk = 1 sao cho µ1 , τ1 = 1 và
k

a=

k

µi xi ,b =
i=1

τi xi .
i=1

Vì vậy
k

((1 − λ) µi + λτi ) xi ,

x1 =
i=1

suy ra
k

x1 =
i=2

(1 − λ) µi + λτi

xi ,
1 − (1 − λ) µ1 − λτ1

(2.1.1)

trong đó (1 − λ) µ1 + λτ1 = 1 và vế phải của (2.1.1) là một tổ hợp lồi
của x2 , .., xk . Mâu thuẫn.
b) Sử dụng (a), ta có thể lần lượt lấy các điểm từ {x1 , . . . , xk } sao cho
chúng không phải là đỉnh của bao lồi khác. Hơn nữa, nếu x ∈
/ {x1 , . . . , xk }
và x không phải là một đỉnh của P thì P = conv{x, x1 , . . . , xk } tức là
x∈
/ conv{x1 , . . . , xk } = P . Mâu thuẫn
Định lý 2.12. ([2, Theorem 1.1.6]) Một tập lồi A ∈ Rn là đơn hình nếu
và chỉ nếu tồn tại x0 , x1 , . . . , xk ∈ A sao cho mỗi một x ∈ A có duy nhất
một biểu diễn là tổ hợp lồi của x0 , x1 , . . . , xk .
Tiếp theo ta sẽ trình bày kết quả quan trọng của hình học tổ hợp đó
là các định lý Radon, Helly và Carath´
eodory.
15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.13. (Radon) ([2, Theorem 1.2.1]) Cho x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn là
các điểm độc lập affine. Khi đó tồn tại một sự tách
{1, . . . , m} = I ∪ J, I ∩ J = ∅
sao cho

conv {xi : i ∈ I} ∩ conv {xj : j ∈ J} = ∅
Chứng minh. Cho x1 , x2 , . . . , xm ∈ Rn là các điểm độc lập affine. Khi đó
m

m

tồn tại α1 , α2 , . . . , αm ∈ R khác 0, sao cho:

m

αi xi = 0 và
i=1

αi = 0
i=1

Định nghĩa: I := {i ∈ {1, . . . , m} : αi ≥ 0} và J := {1, . . . , m} \I. Thì
α :=

αi =
i∈I

(−αj ) > 0.
j∈J

Do đó
y :=
i∈I

αi

xi =
α

j∈J

−αj
xj ∈ conv {xi : i ∈ I} ∩ conv {xj : j ∈ J}.
α

Định lý 2.14. (Helly) ([2, Theorem 1.2.2]) Cho X1 , X2 , . . . , Xm là các
tập hợp lồi trong Rn , trong đó m > n. Nếu giao của một bộ n + 1 tập là
khác rỗng, thì giao của tất cả các tập đó khác rỗng, nghĩa là
m

Xj = ∅.
j=1

Chứng minh. Ta chứng minh thông qua định lý Radon.
Trước hết giả sử m = n + 2. Theo giả thuyết của định lý, tồn tại
điểm x1 nằm trong giao của X2 , X2 , . . . , Xm . Tương tự như vậy, với mọi
16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

j = 2, 3, . . . , m, tồn tại điểm xj nằm trong giao của mọi Xi ngoại trừ
Xj . Áp dụng định lý Radon cho tập A = {x1 , x2 , . . . , xm } . Theo định lý
Radon, tồn tại hai tập hợp không giao nhau A1 , A2 ⊂ A sao cho bao lồi

của A1 giao với bao lồi của A2 . Giả sử p là điểm nằm trong phần giao
của hai bao lồi. Ta sẽ chứng minh
n

p∈

Xj .
j−1

Thật vậy, xét j ∈ {1, 2, . . . , m} bất kì. Phần tử duy nhất trong A có thể
không nằm trong Xj là xj . Nếu xj ∈ A1 , thì xj ∈
/ A2 , do đó Xj ⊂ A2 .
Do Xj lồi, nó cũng chứa bao lồi của A2 và do đó p ∈ Xj . Tương tự như
vậy, nếu xj ∈
/ A1 , thì Xj ⊃ A1 , lập luận tương tự như trên, ta có p ∈ Xj .
Do p nằm trong mọi Xj nên nó nằm trong giao của chúng. Ở trên ta
giả sử x1 , x2 , . . . , xm là các điểm khác nhau. Nếu điều này không đúng,
chẳng hạn xi = xk cho hai số i = k nào đó, thì xi nằm trong mọi tập
Xj và ta cũng có thể kết luận là giao của tất cả các tập hợp khác rỗng.
Như vậy ta đã chứng minh được định lý cho trường hợp m = n + 2.
Giả sử m > n + 2 và ta có giả thiết quy nạp là định lý đúng cho đến
m − 1. Chứng minh trên cho thấy một bộ n + 2 tập có giao khác rỗng.
Ta xét một họ các tập hợp mới trong đó Xm − 1 và Xm được thay bằng
Xm−1 ∩ Xm . Trong họ mới này, giao của mọi bộ n + 1 là khác rỗng. Theo
giả thiết quy nạp, giao của tất cả các tập hợp mới là khác rỗng. Do đó,
giao của tất cả các tập hợp ban đầu cũng là khác rỗng.
Định lý không thể mở rộng cho họ vô hạn của tập lồi. Có một trường
hợp ngoại lệ là của tập compact.

17

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Định lý 2.15. (Helly) ([2, Theorem 1.2.3]) Cho A là một họ của ít nhất
n + 1 tập compact trong Rn (A có thể vô hạn) và giả sử rằng bất kỳ n + 1
tập trong A có giao khác rỗng khi đó sẽ có một điểm x ∈ Rn mà nó chứa
trong tất cả các tập của A.
Định lý 2.16. (Carath´
eodory) ([2, Theorem 1.2.4]) Cho tập A ∈ Rn và
x ∈ Rn thì các khẳng định sau đây là tương đương:
a) x ∈ convA.
b) Có r-đơn hình (0 ≤ r ≤ n), nếu x ∈ P thì P là một đỉnh trong A.
Chứng minh.
b) ⇒ a). Vì vertP ⊂ A, ta có x ∈ P = convvertP ⊂ convA .
a) ⇒ b). Từ Định lý 2.14, x = α1 x1 +. . .+αk xk với k ∈ N, x1 , x2 , . . . , xk ∈
A; α1 , α2 , . . . , αk ∈ (0; 1] và α1 + α2 + . . . + αk = 1. Cho k là số nhỏ nhất
sao cho x không là bao lồi của bất kỳ k − 1 điểm của A. Ta sẽ chỉ ra rằng
x1 , x2 , . . . , xk là độc lập affine. Giả sử rằng có các số β1 , β2 , . . . , βk ∈ R
k

đều khác 0, sao cho

k

βi xi = 0 và
i=1

βi = 0. Cho J là tập tất cả chỉ số
i=1

i ∈ {1, . . . , k} , βi > 0 và chọn i0 ∈ J sao cho:
αi0
αi
= min .
i∈J βi
βi0
Khi đó, ta có
k

αi −

x=
i=1

Với
αi
αi − 0 βi0 ≥ 0,
βi0

αi0
βi xi
βi0

k

αi −
i=1

18

αi0
βi
βi0

=1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

và
αi0 −

αi0
βi = 0
βi0 0

Điều này mâu thuẫn với sự nhỏ nhất của k.

2.2

Phần trong tương đối và bao đóng của tập lồi

Trong không gian Euclide khoảng các giữa hai điểm x và y trong Rn
được định nghĩa bởi
d(x; y) = |x − y| =

x − y, x − y .

Tính chất thuộc hình học tô pô của tập lồi trong không gian Rn đáng
chú ý hơn là so với các tập tùy ý. Trong phần này ta sẽ ký hiệu B là
đường tròn đơn vị Euclide trong Rn
B = {x : |x| ≤ 1} = {x : d(x, 0) ≤ 1}.
Đây là một tập lồi đóng. Với bất kỳ a ∈ Rn , hình cầu với bán kính ε > 0
và tâm a đươc cho bởi
{x : d(x, z) ≤ ε} = {a + y : |y| ≤ ε} = a + εB.
Với tập C bất kỳ trong Rn , tập các điểm x có khoảng cách từ C không
vượt quá ε là
{x : ∃y ∈ C, d(x, y) ≤ ε} = ∪ {y + εB : y ∈ C} = C + εB.

19


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Nguyễn Thị Xa

Bao đóng clC và phần trong intC của C có thể được biểu diễn bởi công
thức
clC = ∩ {C + εB : ε > 0} ,
intC = {x : ∃ε > 0, x + εB ⊂ C} .
Ta sẽ đưa vào một khái niệm thuận tiên hơn là phần trong tương đối.
Khái niệm này được tạo thành nhờ một đoạn thẳng hoặc một tam giác
được nhúng trong R3 có phần trong tự nhiên phù hợp nhưng không thực
sự, chúng là phần trong ý nghĩa của không gian metric R3 . Phần trong
tương đối của tập lồi C ⊂ Rn ta ký hiệu là riC, nó được định nghĩa như

phần trong khi mà C được xem như một tập con của bao affine affC.
Do đó riC bao gồm các điểm x ∈ affC trong đó tồn tại ε > 0, sao cho
y ∈ C khi y ∈ affC và d(x, y) < ε. Nói cách khác,
riC = {x ∈ aff :∃ε> 0, (x + εB) ∩ (affC) ⊂ C}.
Tất nhiên
riC ⊂ C ⊂ clC.
Tập hiệu (clC) \ (riC) được gọi là biên tương đối của C. Một cách tự
nhiên, C là mở tương đối nếu riC = C. Với tập lồi n-chiều, từ định
nghĩa ta có affC = Rn vì vậy riC = intC.
Định lý 2.17. ([4, Theorem 6.5]) Cho Ci là một tập lồi trong Rn với
i ∈ I (I là tập chỉ số). Giả sử rằng các tập riCi có ít nhất một điểm
chung. Khi đó
clC ∩ {Ci : i ∈ I} = ∩ {clCi : i ∈ I} .

20