Ôn thi THPT QG môn Toán chủ đề Thể tích khối đa diện

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Để chứng minh   a ta sử dụng một trong các cách sau
  ( )
  b
1) CM 
a
2) CM 
a
a  ( )
a // b
  ( )
3) CM 
a
a //( )
a’ là hình chiếu của a trên ( )
4) CM 
a
Trong ( ) :   a '
Với a ' là hình chiếu của a trên  .
2. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để chứng minh   ( ) ta sử dụng một trong các cách sau

  a  ( )

1) CM   b  ( )   ( )
a cắt b


( P)  ( )

3) CM ( P)  ( )  a
   ( )

( P)  ( )

2) CM (Q)  ( )
   ( )
( P)  (Q)  

a  ( )
4) CM 
   ( )
 // a

Trong ( P) :   a

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

a,a ' với a’ là hình chiếu vuông góc của a trên (P).
Đnghĩa: a,   

a
a’


Chú ý: 0  a,   900
0

4. Góc giữa hai mặt phẳng

a, b với a  (P) và b  (Q).
 Định nghĩa: P ,Q  
 Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

P

 Bước 1: Xác định giao tuyến  của (P) và (Q)

Q

 Bước 2: Từ một điểm I bất kì trên  dựng:
+ Đường thẳng p nằm trong (P) và  
R

+ Đường thẳng q nằm trong (Q) và  

p,q 
Khi đó: P ,Q  



p I q



.A



5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) là:
d(A, (P)) = AH
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

P

H
Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Trong đó H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
6. Công thức tính thể tích khối đa diện
1
 Thể tích khối chóp: V  Sday .h (h là chiều cao của hình chóp).
3

 Thể tích khối lăng trụ: V  Sday .h (h là chiều cao của lăng trụ).
 Tỷ số thể tích: Cho tứ diện S.ABC với A’ thuộc SA, B’ thuộc SB, C’ thuộc SC (A’, B’, C’
không trùng với S).
Khi đó, ta có:

VSA' B ' C ' SA ' SB ' SC '


VSABC
SA SB SC

II – PHẦN BÀI TẬP TỰ LUẬN
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Bài 1. Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vuông góc với đáy ABC và
tam giác ABC vuông tại B. Biết SA=3a, AB=4a, AC=5a
Đs: V  6a3
Bài 2. Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a,
SA  ( ABCD) .Góc giữa SD và (ABCD) bằng 450 .
Đs: V  3a 3
Bài 3. Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và đường
cao SA vuông góc với đáy ABC, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30 0
3
Đs: V  a 3
24
Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Bài 1. Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC=a,
SB=SC= a 3 , (SBC) vuông góc với (ABC) và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc
2

60

0

a3
Đs: V 
18

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 3a. Mặt bên (SAB)
là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy. Gọi H là trung điểm của AB
1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM  1 AD .Tính VS . ABM theo a.
4

Đs: 1. V 

9a

3

3

2

3

2. V 

9a 3
16

Dạng 3: Khối chóp đều
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a.
1. Tính thể tích khối chóp S.ABC , biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0 .
2. Tính thể tích khối chóp S.ABC , biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 0 .
3. Tính thể tích khối chóp S.ABC , bạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 450 .
Đs: 1. V 

a3 3
12

2. V 

a3 3
72

3. V 

a3 2
24

Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
1. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 0 .
2. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 0 .
Đs: 1. V 

a3 6
6

a3 3
2. V 
18

Dạng 4: Khối chóp & phương pháp tỷ số thể tích
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là
điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA. Tính tỷ số thể tích giữa khối tứ diện K.ABC và
khối chóp S.ABCD.
Đs: 1/10
Bài 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Đs: V 

a3 6
18

THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Bài 1. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp với
mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: V  125a 3 6
Bài 2. Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BCA  60 0 .
Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc 300. Tính thể
tích lăng trụ
Đs: V  a 3 6
Bài 3. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy

một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Đs: V  8 3
Dạng 2. Khối lăng trụ xiên
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm A’
cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của
lăng trụ
Đs: V 

a3 3
4

Bài 2. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a , AA 
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

a 6
2
Trang | 3


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của lăng trụ
trên.
a2 3
4
Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD = 7 . Hai mặt

bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối
lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
Đs: V  3

Đs: V 

III – PHẦN TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP
Câu 1. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Khối tứ diện đều là khối đa diện đều.
B. Khối lập phương là khối đa diện đều.
C. Khối đa diện là phần không gian bên trong được giới hạn bởi một hình đa diện, kể
cả hình đa diện đó.
D. Khối đa diện được giới hạn bởi một hình chóp đều, kể cả hình chóp đều đó là một
khối đa diện đều.
Câu 2. Khối đa diện đều loại {4; 3} là:
A. Khối tứ diện đều
B.Khối lập phương
C. Khối chóp tứ giác đều
D.Khối lăng trụ đều
3
Câu 3. Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có thể tích là 150 cm . Thể tích khối chóp A’ABC là:
A. 150cm 3
B. 75cm3
C. 50cm
D. 50cm3
Câu 4. Cho khối chóp S . ABC có SA  a   ABC  , ΔABC vuông tại B , AB  BC  a . Tính thể
tích khối chóp.
A.

a3

6

B.

a3
3

C.

a3
2

D. a 3

Câu 5. Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hai mặt bên  SAB  và

 SAC  cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp
A.

a3
6

B.

a3
3

C.

S . ABC biết SA  a

a3
2

D.

a3 3
12

Câu 6. Cho khối lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích khối chóp A’ABCD
A.

a3
6

B.

a3
3

C.

a3
2

D. a 3

Câu 7. Cho khối chóp S .ABCD có đay ABCD là hình chữa nhật tâm O , AC  2 AB  2a, SA
vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S .ABCD biết SD  a 5
a3 6
3

Câu 8. Cho khối chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Hai mặt phẳng  SAB  ,  SAD 

A.

a3 5
3

B.

a 3 15
3

C. a3 6

D.

cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S .ABCD biết SC  a 3
a3
a3 3
C. a3
D.
3
3
Câu 9. Cho khối chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD  2a, AB  a . Gọi H là trung

A.

a3 3
9

B.

điểm của AD , biết SH   ABCD  . Tính thể tích khối chóp S .ABCD biết SA  a 5 .

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

4a3
2a3
C.
D.
3
3
Câu10.Cho khối chóp S .ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a . Gọi H là trung điểm cạnh AB
biết SH   ABCD  . Tính thể tích khối chóp S .ABCD biết tam giác SAB đều
2a 3 3
A.
3

A.

2a 3 3

3

4a 3 3
B.
3

B.

4a 3 3
3

C.

a3
6

D.

a3
3

Câu11.Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A với BC = 2a , BAC  120o , biết
SA  ( ABC ) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 45o . Tính thể tích khối chóp S.ABC
A.

a3
9

B.

a3
3

C. a3 2

D.

a3
2

Câu12.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông biết SA  (ABCD), SC = a và SC hợp
với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp S .ABCD
A.

a3 3
48

B.

a3 6
48

C.

a3 3
24

D.

a3 2

16

Câu13.Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật biết rằng SA  (ABCD) , SC hợp
với đáy một góc 45o và AB = 3a , BC = 4a. Tính thể tích khối chóp S .ABCD
A. 20a3
B. 40a3
C. 10a3
D. 30a 3
Câu14.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB  600 .
Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300 . Tính
thể tích của khối lăng trụ theo a
A. a

3

6

a3 6
B.
3

2a 3 6
C.
3

4a 3 6
D.
3

Câu15.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của

0
A’ xuống (ABC) là trung điểm của AB. Mặt bên (ACC’A’) tạo với đáy góc 45 . Tính thể
tích khối lăng trụ này

3a 3
A.
16

a3 3
B.
3

2a 3 3
C.
3

a3
D.
16
0
Câu16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB=a, AD=2a, BAD  60 ,
0
SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng 60 . Thể tích khối chóp S.ABCD là V.

V
là
a3
A. 2 3
Tỷ số

B. 3
C. 7
D. 2 7
Câu17.Cho hình chóp S.ABCD. Lấy một điểm M thuộc miền trong tam giác SBC. Lấy một
điểm N thuộc miền trong tam giác SCD. Thiết diện của hình chóp S.ABCD với (AMN) là
A. Hình tam giác
B. Hình tứ giác
C. Hình ngũ giác
D. Hình lục giác
Câu18.Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ
A. a3
B. a 2 2
C. 2 a3
D. a3 3
Câu19.Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính
thể tích khối lăng trụ này
A. 12 a3
B. 18a 3
C. 3a 3
D. 9 a3
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Câu20.Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ
A. 8

B. 8 3

C.

8 3
3

D. 16 3

Câu21.Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo
lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp
A.

a3 6
2

B. a3 6

C. a3

D. 2 a3

Câu22.Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một
hình vuông cạnh 12 cm rồi gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể

tích cái hộp này
A. 4800cm3
B. 9600cm3
C. 2400cm3
D. 2400 3cm3
Câu23.Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD '  a 6 .
Tính thể tích của lăng trụ
A. a3 2
B. a3 3
C. 3a 3
D. 2a3
Câu24.Lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng
chu vi đáy bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích
A. 480cm3
B. 360cm3
C. 240cm3
D. 120cm3
Câu25.Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các
mặt của lăng trụ bằng 96 cm2 .Tính thể tích lăng trụ
A. 60cm3
B. 64cm3
C. 32cm3
D. 128cm3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS

Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7