Chuyên đề Thể tích khối đa diện

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I. QUAN HỆ SONG SONG
1. Hai đường thẳng song song


a, b  (P)
a / /b  



a  b  

a) Đònh nghóa:
b) Tính chất

(P)  (Q)  (R)



(P)  (Q)  a
a, b,c dong quy



a / /b / /c

(P)  (R)  b





(Q)  (R)  c


(P)  (Q)  d


d / /a / /b

 (P)  a, (Q)  b  
d  a (d  b)


a
/
/b




a  b


 a b


a

c,

b

c


2. Đường thẳng và mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:

d // (P)  d  (P) = 

b) Tính chất


d  (P),d '  (P)

 d / /(P)


d
/
/d
'


(P)  (Q)  d


 d / /a



(P)
/
/a,(Q)
/
/a




d / /(P)

 d / /a


(Q)

d,(Q)

(P)

a



3. Hai mặt phẳng song song
a) Đònh nghóa:
(P) // (Q)  (P)  (Q) = 
b) Tính chất

(P)  a, b




 (P) / /(Q)
 a  b  M




a / /(Q),b / /(Q)

(P)  (Q)
(Q) / /(R)






 (P) / /(R)  (P) / /(Q)  (P)  (Q)  a  a / /b




(Q)
/
/(R)






(P)  (R)  b

4. Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 1


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

 Chứng minh 2 đường thẳng đó đồng phẳng, rồi áp dụng phương pháp chứng minh
song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …)
 Chứng minh 2 đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba.
 Áp dụng các đònh lí về giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d / /(P) , ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường
thẳng d nào đó nằm trong (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai
đường thẳng trong mặt phẳng kia.
II. QUAN HỆ VNG GĨC
1. Hai đường thẳng vuông góc

a) Đònh nghóa:

   900
a  b  a,b

b) Tính chất




 Giả sử u là VTCP của a, v là VTCP của b. Khi đó a  b  u.v  0 .

b / /c

a b



a  c
2. Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa:

d  (P)  d  a, a  (P)

b) Tính chất
 Điều kiện để đường thẳng  mặt phẳng:


a / /b
 (P)  b





(P)  a

(P) (Q)

 a  (Q)



a  (P)

W: www.hoc247.net


a,b  (P),a  b  O


 d  (P)



d  a,d  b


a  b
 a / /b





a  (P),b  (P)

(P)  (Q)

 (P) / /  Q)



(P)  a,(Q)  a

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 2


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai


a / /(P)

ba



b  (P)


a  (P)

 a / /  P)



a  b,(P)  b

 Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng tại
trung điểm của nó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn
thẳng đó.
 Đònh lí ba đường vuông góc
Cho a  (P),b  (P) , a là hình chiếu của a trên (P). Khi đó b  a  b  a
3. Hai mặt phẳng vuông góc
a) Đònh nghóa:

   900
(P)  (Q)  (P),(Q)

b) Tính chất

(P)  a

 (P)  (Q)
 Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: 



a

(Q)



(P)  (Q),(P)  (Q)  c
 a  (Q)



a

(P),a

c



(P)  (Q)



 A  (P)
 a  (P)




a  A, a  (Q)

(P)  (Q)  a



 a  (R)
 (P)  (R)




(Q)  (R)
4. Chứng minh quan hệ vuông góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Để chứng minh d  a , ta có thể sử dụng 1 trong các cách sau:
 Chứng minh góc giữa a và d bằng 900.
 Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của a và d vuông góc với nhau.
 Chứng minh d  b mà b / /a .
 Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.
 Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc.
 Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …).
b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 3

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Để chứng minh d  (P), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nhau nằm trong (P).
 Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).
 Chứng minh d // a và a  (P).
 Chứng minh d  (Q) với (Q)  (P) và d vuông góc với giao tuyến c của (P) và (Q).
 Chứng minh d = (Q)  (R) với (Q)  (P) và (R)  (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh (P)  (Q), ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:
 Chứng minh trong (P) có một đường thẳng a mà a  (Q).
   900
 Chứng minh (P),(Q)
III. GĨC VÀ KHOẢNG CÁCH
1. Góc

   a
',b '
a//a', b//b'  a,b

a) Góc giữa hai đường thẳng:

   900
Chú ý: 00  a,b
b) Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng:

  = 900.
 Nếu d  (P) thì d,(P)
  = d,d

' với d là hình chiếu của d trên (P).
 Nếu d  (P) thì d,(P)
   900
Chú ý: 00  d,(P)
c) Góc giữa hai mặt phẳng


a  (P)


   a,
b
 (P),(Q)



b  (Q)


a  (P),a  c
   a,
b
 Giả sử (P)  (Q) = c. Từ I  c, dựng 
 (P),(Q)


b

(Q),
b


c


Chú ý:

   900
00  (P),(Q)

d) Diện tích hình chiếu của một đa giác
Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong (P), S là diện tích của hình chiếu (H) của (H)
  . Khi đó:
trên (Q),  = (P),(Q)
S = S.cos
2. Khoảng cách
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 4


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

a) Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) bằng độ dài đoạn vuông
góc vẽ từ điểm đó đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một
điểm bất kì trên đường thẳng đến mặt phẳng.

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì
trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng:
 Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 Khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và
song song với đường thẳng thứ nhất.
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng, mà mỗi mặt phẳng chứa đường thẳng này và song
song với đường thẳng kia.
IV. NHẮC LẠI MỘT SỐ CƠNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
1. Hệ thức lượng trong tam giác
a) Cho ABC vuông tại A, có đường cao AH.
 AB2  AC 2  BC 2

 AB2  BC.BH, AC 2  BC.CH 

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

 AB  BC.sin C  BC.cos B  AC.tan C  AC.cot B
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài các trung tuyến là ma, mb, mc; bán kính
đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p.
 Đònh lí hàm số cosin:

a 2 =b 2  c 2 – 2bc.cosA; b 2  c2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

 Đònh lí hàm số sin:

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C

 Công thức độ dài trung tuyến:
b 2  c2 a 2
c2  a 2 b 2
a 2  b 2 c2
2
2
2
ma 
 ; mb 
 ; mc 

2
4
2
4
2
4
2. Các công thức tính diện tích

a) Tam giác:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 5


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

1
1
1
1
1
1
 S  a.h a  b.h b  c.h c
 S  bcsin A  ca.sin B  ab sin C
2
2
2
2
2
2
abc
 S
 S  pr
 S  p p  a  p  b p  c

4R
 ABC vuông tại A:
2S  AB.AC  BC.AH
a2 3
S
 ABC đều, cạnh a:
4
2
b) Hình vuông:
S=a
(a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật:
S = a.b
(a, b: hai kích thước)

d) Hình bình hành: S = đáy  cao = AB.AD.sinBAD
  1 AC.BD
S  AB.AD.sinBAD
e) Hình thoi:
2
1
S  a  b .h
f) Hình thang:
(a, b: hai đáy, h: chiều cao)
2
1
S  AC.BD
g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
2
V. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1. Thể tích của khối hộp chữ nhật:
với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật.
V  abc
2. Thể tích của khối chóp:
1
V  Sđáy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.
3
3. Thể tích của khối lăng trụ:
V  Sđáy .h với Sđáy là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ.
4. Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích bằng công thức
 Tính các yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
 Sử dụng công thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích bằng cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà có thể dễ dàng tính được thể tích
của chúng. Sau đó, cộng các kết quả ta được thể tích của khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích bằng cách bổ sung
Ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm
vào và khối đa diện mới tạo thành có thể dễ tính được thể tích.
d) Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích
Ta có thể vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng. Với bất kì các điểm A, A’ trên Ox; B, B' trên
Oy; C, C' trên Oz, ta đều có:
VOABC
OA OB OC

.
.
VOA ' B' C' OA ' OB' OC'
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 6


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

* Bổ sung
 Diện tích xung quanh của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích các mặt bên
 Diện tích toàn phần của hình lăng trụ (hình chóp) bằng tổng diện tích xung quanh với
diện tích các đáy.
VI. Bài tập minh họa

Bài 1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a 2 , AC = a 3 , cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Sử dụng định lý pitago trong tam giác vng

Ta có : AB = a 2 , AC = a 3 ,

S

SB = a 3 .

*  ABC vng tại B nên BC  AC2  AB2  a

1
1
a2. 2
 SABC  BA.BC  .a 2.a 
2
2
2
C

A

*  SAB vng tại A có SA  SB2  AB2  a
1
1 a 2. 2
a 3. 2
* Thể tích khối chóp S.ABC : VS.ABC  .SABC .SA  .
.a 
3
3 2
6

B

Bài 2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC vng cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam
giác vng

Ta có: AC = a 2 , SB = a 3 .
S
2

*  ABC vng, cân tại B nên BA  BC 

AC
a
2

1
1
a2
 SABC  BA.BC  .a.a 
2
2
2
C

A

*  SAB vng tại A có SA  SB2  AB2  a
B

1
1 a2
a3
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC  .SABC .SA  . .a 
3
3 2

6

Bài 3:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 7


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam giác
vuông SAB
S

*  ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a

1
1
3
 a2. 3
 SABC  BA.BC.sin 600  .2a.2a.
2

2
2
C

*  SAB vuông tại A có SA  SB  AB  a
2

2

A

1
1 2
a 3. 3
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC  .SABC .SA  .a . 3.a 
3
3
3

B

Bài 4:
  1200 ,cạnh bên SA
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC
vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200

  1200 , BC = 2a 3 , AB = AC = BC = 2a

*  ABC cân tại A, BAC
Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 600
BM
a 3

a
 AM =
0
tan 60
3
1
1
 SABC  AM.BC  .a.2a 3  a 2 . 3
2
2
* SA = a

1
1 2
a 3. 3
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC  .SABC .SA  .a . 3.a 
3
3
3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

S

C
A
M
B

Trang | 8


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2 , cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Vẽ đáy là hình vuông (vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
 ABCD là hình vuông; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông.
S

Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a 2 , SC = a 5 .



* Diện tích ABCD  SABCD  a 2



2

 2a 2

* Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2  2a
 SAC vuông tại A  SA  SC2  AC 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABCD:
1
1 2
2a 3
VS.ABCD  .SABCD .SA  .2a .a 
3
3
3

A

D

B

C

Bài 6:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Vẽ đáy là hình vuông (vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng
đứng
 Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân

với 2 )
S

Ta có : SA = AC = a 2
ABCD là hình vuông suy ra AC = AB. 2  AB 

AC
a
2

Diện tích ABCD: SABCD  a 2
* SA = a 2
A

* Thể tích khối chóp S.ABCD:

1
1
a3. 2
VS.ABCD  .SABCD .SA  .a 2 .a. 2 
3
3
3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

D

T: 098 1821 807

B

C

Trang | 9


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Giải
 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong  ABC
 Đường cao của hình chóp là SO (SO  (ABC)).

S

* S.ABC là hình chóp tam giác đều.
Gọi M là trung điểm BC.
A

 ABC đều cạnh a 3 , tâm O: SO  (ABC), SA=SB=SC = 2a

C

O

2
2 3a
3 3a

 AO= .AM  .  a
3
3 2
2
2
2
1
1
3 3a . 3

 SABC  AB.AC.sin 600  .a 3.a 3.
2
2
2
4

*  ABC đều cạnh a 3  AM = a 3.

M
B

*  SAO vuông tại A có SO  SA 2  AO 2  a. 3

1

1 3a 2 3
a 3. 3
.a 
* Thể tích khối chóp S.ABC VS.ABC  .SABC .SA  .
3
3
4
4

Bài 8:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3 .Tính thể tích khối
chóp S.ABCD.
Giải
 Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O
+ SO  (ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
 Đường cao của hình chóp là SO (SO  (ABCD))

S

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O, SO  (ABCD),
SA=SB=SC =SD = a 3
* ABCD là hình vuông: SABCD  2a   4a 2
2

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

A

D

T: 098 1821 807

B

O
C

Trang | 10


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

AC = 2a. 2
AC 2a 2
AO=

a 2
2
2
*  SAO vuông tại O có SO  SA 2  AO 2  a

1
1 2
4a 3
.

* Thể tích khối chóp S.ABCD: VS.ABCD  .SABCD .SA  .4a .a 
3
3
3
Bài 9: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.
Giải
 Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
 Đường cao của hình chóp là AO (AO  (BCD))
A

* ABCD là tứ diện đều cạnh a.
Gọi M là trung điểm CD :
Ta có: AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
 BCD đều cạnh a, tâm O  AO  (BCD)
a 3
*  BCD đều cạnh a  BM =
2
2
2 a 3 a 3
a2. 3

 BO= .BM  .
 SBCD 
3
3 2
3
4

D

B
O

M
C

2


a
3
  a 6
*  AOB vuông tại O có: AO  AB2  BO 2  a   
 3 
3
2

* Thể tích khối chóp S.ABC: VABCD

1
1 a 2 3 a 6 a 3. 2
 .SBCD .AO  .
.

3
3 4
3

12

Bài 10:
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AC=a 3 , cạnh A/B
= 2a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải
C/
A/
* Tam giác ABC vuông tại B  BC =

AC 2  AB2  a 2

B/

1
a2 2
 SABC  AB.BC 
2
2

2a

* Tam giác A/AB vuông tại A  A / A  A / B2  AB2  a 3
* VABC.A / B/ C/  SABC .A / A 

a3 6
2

a 3

A

C

a
B

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 11


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 11:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 600 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC.
* Ta có : AB = a 3 ,
S
(SBC)  (ABC) = BC
AB  BC (vì  ABC vuông tại B)
SB  BC (vì AB là hình chiếu của SB lên ABC).
  (SB,AB)
  SBA
  60o

 ((SBC),(ABC))
A

*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a
1
1
a 2. 3
 SABC  BA.BC  .a 3.a 
2
2
2

C

60
B

  600  SA  AB.tan 60o  3a
*  SAB vuông tại A có AB= a, B

1
1 a 2. 3
a3. 3
.3a 
.
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC  .SABC .SA  .
3
3 2
2

Bài 12:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC = a 2 , cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 450. Tính thể
tích khối chóp S.ABC
Giải
* Ta có : AB = a 3 , (SBC)  (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC.
AM  BC (vì  ABC cân tại A)
SM  BC (vì AM là hình chiếu của SM lên (ABC)).
  (SM,

  45o
AM)  SMA
 ((SBC),(ABC))

S

C
45

A

M

*  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2

 AB = BC = a và AM =

B

a 2
2

1
1
a2
 SABC  AB.AC  .a.a 
2
2
2
*  SAM vuông tại A có AM=

 SA  AB.tan 45o 

a 2 
, M  450
2

a 2
2

1
1 a 2 a 2 a 3. 2
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.ABC  .SABC .SA  . .

3
3 2 2
12
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 12


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 13:
Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, BC = a 2 , mặt bên
(A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích khối lăng trụ.
Giải

* Ta có A/A  (ABC)

C/

A/

(A / BC)  (ABC)  BC

B/

AB  BC
Mà AB là hình chiếu của A’B lên (ABC) nên A/B  BC



2a





/
/
BC),(ABC)  A
BA  300
 (A
C

1
a2 2
* Tam giác ABC vuông tại B  SABC  AB.BC 
2
2

A

30 0

a

a 2
B

* Tam giác A/AB vuông tại A  A / A  AB.tan 300 
* VABC.A / B/ C/

a 3
3

a3 6
 SABC .A A 
6
/

Bài 14:
Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình chiếu vuông góc của A/
lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC, cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC)
một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
/
/
A

C

Giải

B/

* Gọi M là trung điểm BC
G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có A/G  (ABC)
GA là hình chiếu của AA’ lên (ABC).



30 0





/
/
A, (ABC)  A
AG  300
 A

A
2a 3



C

G



3
* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3  SABC  2a 3 .
 3a 2 3
4
2

M
B

  300 , AG  2 AM  2 .2a 3. 3  2a
* Tam giác A/AG vuông tại G có A
3
3
2
 A / G  AG.tan 300 

2a 3
.Vậy VABC.A/ B/ C/  SABC .A / A  6a 3
3

Bài 15:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 13


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
Giải

S

1
Cách 1: (dùng công thức thể tích V  .S.h )
3
* Khối chóp S.AMN có:

N

- Đáy là tam giác AMN.
- Đường cao là SA.

C

A
M
B

*  AMN có Â = 600, AM=AN = a
1
1
3 a 2. 3
0
S

AM.AN.sin
60

.a.a.

 AMN
2

2
2
4
* SA = a 3
1
1 a2. 3
a3
.a. 3 
* Thể tích khối chóp S.ABC: VS.AMN  .SAMN .SA  .
3
3 4
4
Cách 2: (Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có
V
1
VA.SMN AS AM AN
1 1 1

.
.
 1. .   VS.AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S.ABC
4
4
VA.SBC
AS AB AC
2 2 4

1

1 4a 2 . 3
Ta có : VS.ABC  .SABC .SA  .
.a. 3  a 3
3
3
4
3
V
a
Vậy VS.AMN  S.ABC 
4
4

Bài 16:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
và A.BCNM.
S

Giải
(Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Do đó theo công thức tỷ số thể tích, ta có:
VS.AMN SA SM SN
1 1 1

.
.
 1. . 
VS.ABC SA SB SC

2 2 4
1 2
A
.a 3.a 3
3
3
V
a
3
3a
  VA.BCNM  .VS.ABC 
 VS.AMN  S.ABC  3
4
4
4
4
4

N

M
C

B

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 14


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Bài 17:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD.
Giải
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có: IO // SA và SA  (ABCD)  IO  (ABCD)
1
 VI.ABCD  .SABCD .IO
3
Mà : SABCD  a 2
SA
IO 
a
2
1
a3
Vậy: VI.ABCD  .a 2 .a 
3
3

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

S

I
A

D

T: 098 1821 807

B

O
C

Trang | 15


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và
các trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:
-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán và Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay các chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đánh giá năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Trang | 16