Chuyên đề Nguyên Hàm Tích phân và Ứng dụng

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

MỤC LỤC
Trang
A. NGUYÊN HÀM..................................................................................................................... 3
B. TÍCH PHÂN .......................................................................................................................... 4
C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN: ................................................... 6
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t 

n

f ( x ) ........................................................................... 6

VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA ....................... 11
DẠNG 1: a 2  x 2 ............................................................................................................. 11
DẠNG 2: x 2  a 2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 3: x 2  a2 ............................................................................................................. 14
DẠNG 4:

a x
hoặc
ax

ax
......................................................................................... 18
a x

VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GI ÁC........................................................................... 19
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản ............................................................ 19

dx

Dạng 2: Tích phân dạng

 a sin x  b cos x  c .................................................................. 23

Dạng 3: Tích phân dạng

 a sin

2

dx
............................................... 24
x  b sin x cos x  c cos2 x

Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I 2   f (cos x )sin xdx ............................ 25
1.Tích phân có dạng  sin m x.cosn xdx .......................................................................... 26
2.Tích phân dạng I1  
Dạng 5: Tích phân chứa

sin m x
dx;
cosn x

I1  

cosm x
dx;
sin n x

m, n    .................................. 27

  tan x;cos x dx;   cot x;sin x dx ............................................ 28

Dạng 6: Đổi biến bất kì ..................................................................................................... 29
VẤN ĐỀ 4: TÍCH PHÂN CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI .......................................... 39
VẤN ĐỀ 5: TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ ............................................................................ 42
VẤN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ....................................................... 50
VẤN ĐỀ 7: TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN ............................................................................. 58
VẤN ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ..................... 69
VẤN ĐỀ 9: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRỊN XOAY .................................................. 77
MỘT SỐ BÀI TẬP CẦN LÀM TRƯỚC KHI THI ................................................................ 83
D. PHỤ LỤC............................................................................................................................. 95
1
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ KHƠNG LÀM THAY ĐỔI CẬN TÍCH PHÂN .................. 95
SAI LẦM THƯỜNG GẶP TRONG TÍNH TÍCH PHÂN ..................................................... 100
ĐỀ THI ĐẠI HỌ C TỪ 2009-2012 ..................................................................................... 107

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 109

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

2


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

A. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm nguyên hàm
 Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu:

F '( x )  f ( x ) , x  K
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là:

 f ( x )dx  F( x )  C , C  R.
 Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
2. Tính chất


 f '( x )dx  f ( x )  C



  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx

(k  0)

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
  0dx  C
  dx  x  C

x  1
 C , (  1)
  x dx 
 1
1
  dx  ln x  C
x
  e x dx  e x  C




ax
 C (0  a  1)
ln a
  cos xdx  sin x  C
  a x dx 

1

  sin xdx   cos x  C

1



 cos



 sin



2

1
2

x
x

dx  tan x  C

dx   cot x  C

1 ax  b
 C , (a  0)
e
a


1
1
dx  ln ax  b  C
 
1
ax  b
a
 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C (a  0)

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C (a  0)

e

ax  b

dx 

4. Phương pháp tính nguyên hàm
a) Phương pháp đổi biến số

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

3


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

Nếu

 f (u)du  F (u)  C

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:

 f u( x ).u '( x )dx  F u( x )  C
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:

 udv  uv   vdu

B. TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
 Cho hàm số f liên tục trên K và a, b  K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì:
F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là

b

 f ( x )dx .
a

b

 f ( x )dx  F(b)  F(a)
a

 Đối với biến số lấy tích ph ân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b

b

b

a

a

a

 f ( x )dx   f (t)dt   f (u)du  ...  F(b)  F(a)
 Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của
hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và hai đườn g thẳng x = a, x = b là:
b

S   f ( x )dx
a

2. Tính chất của tích phân
0



 f ( x )dx  0



0
b

b

a

a

b

a

a

b

 f ( x )dx   f ( x )dx

  kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const)


b

b

b

a

a

a

  f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx



b

c

b

a

a

c

 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

4


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

 Nếu f(x)  0 trên [a; b] thì

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

b

 f ( x )dx  0
a

 Nếu f(x)  g(x) trên [a; b] thì

b

b

a

a

 f ( x )dx   g( x )dx

3. Phương pháp tính tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
b

u( b )

a

u( a )

 f u( x ).u '( x )dx  

f (u)du

trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác định trên
K, a, b  K.
b) Phương pháp tích phân từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì:
b

 udv  uv
a

b
a

b

  vdu
a

Chú ý:
 Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm.
 Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho

b

 vdu dễ tính hơn
a

b

 udv .
a

Trong phần sau sẽ trình bày kỉ thuật lựa chọn u và dv .

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

5


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

C. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂ N:
VẤN ĐỀ 1: PHÉP THAY BIẾN t 

n

f (x)

Phương pháp: Khi hàm dưới dấu tích phân có chứa biểu thức có dạng

n

f ( x ) . Lúc đó trong

nhiều trường hợp ( chứ khơng phải mọi trường hợp), ta có thể đổi biến bằng cách
-

Bước 1: Đặt t 

-

Bước 2: Ghi nhớ “Đổi biến thì phải đổi cân”

n

f ( x )  t n  f ( x )  nt n1dt  f '( x )dx

BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
1

Bài 1: Tính I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:

1  x 2  t2 = 1 – x2  xdx = -tdt

Đặt t =
Đổi cận:

x

0

1

t

1

0

1

Khi đó: I   x

1  x dx =

3

2

1

0

0

1

 1  t  .t.tdt =   t
2

0

2

 t3 t5  1 2
.
 t 4 dt =    =
 3 5  0 15



1

Bài 2: Tính I   x 3 3 1  x 4 dx
0

Giải:

3
Đặt t = 3 1  x 4  t 3  1  x 4  x 3dx   t 2 dt
4
Đổi cận:
x

0

1

t

1

0

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

6


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

Khi đó: I   x

33

0

e

Bài 3: Tính I  
1

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1

3
3 1 3
1  x dx   t 3dt  t 4  .
40
16 0 16
4

1  ln x
dx
x

Giải:
Đặt t  1  ln x  t 2  1  ln x  2tdt 

dx
x

Đổi cận:
x

1

t

1

e

2

e

1  ln x
dx 
x

Khi đó: I  
1

2

Bài 4: Tính I  
1

2

2

2
 t.2tdt 2  t dt 2
1

1





t3 2 2 2 2  1


.
31
3

dx
x 1  x3

Giải:
2

Ta có:

x
1

dx
1  x3

2


1

x 2 dx
x3 1  x3

Đặt t  1  x 3  t 2  1  x 3  2tdt  3 x 2 dx  x 2 dx 

2tdt
3

Đổi cận:
x
t

1

2

2

3

Khi đó:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

7


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

2

2

dx

I 

x 1  x3

1

3

3
1  1
1 
dt
 t 2  1  3   t  1  t  1  dt 
2
2

2

1  x3 3

x 2 dx



x3

1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

3
 1 t 1  3
1
1 1
2 1
ln t  1  ln t  1
  ln
  ln  ln


3
2  3 t  1  2 3  2
2  1 







1
2 1
1
 ln
 ln
3 2 2 1 3





4



2 1

2

dx

x

Bài 5: Tính I 



1

x2  9

7

Giải:
 Đặt t  x 2  9  t 2  x 2  9  t  0   tdt  xdx;

dx tdt
tdt
 2  2
x

x
t 9

Đổi cận:
x

7

t

4

Khi đó:

5

t
4

2

4
5

dt
1 t 3 5 1 7
 ln
 ln
9 6 t3 4 6 4

BÀI TẬP ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau
7

1) 
0

x3
3

1  x2

ln 3

2) 
0

3)

ln 5



ln 2

ex

e

x

ÑS :

dx



1

3

10  e 
x

ÑS :  1  2

dx

ex
ex  1

141
20

dx

ĐS :

20
3

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

8


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

4

7

4) 
0

x3

8

5) 

3

1
x 1 x

2

1 x 1

1

1
1
ÑS : ln  ln
2
3

dx

x

6) 

3 3 3
ÑS :  ln
8 4 2

dx

1 4 1 x4

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

dx ( A  2004)

ÑS :

11

 4 ln 2
3

e

ln x. 3 2  ln 2 x
dx (Khối B  2004).
x
1

7)

ĐS :



3 3
3 3  23 2
8



HD : Đặt t  3 2  ln 2 x
3

8)  e

x 2 1

.

0

9)

2 3



5

1

x 1
2

dx
x x 4
2

e3

10) 

x

dx.

.

ln 2 x
x ln x  1

ÑS : e2  e
1 5
ĐS : ln
4 3

(Khối A-2003). Đặt t  x 2  4

dx.(Dự bị khối D-2005)

Đặt t  ln x  1.

e


ln x
11)  
 ln 2 x  dx. HD : I  I1  I 2

1  x 1  ln x
2

12)
1

1

x x 1

dx.
x  10

t  x  1.

DS :

ÑS : e 

ÑS :

76
15

2 2 2

3
3

62
 30 ln 2 .
3

1

x
dx
1 x
0

13) x sin x dx  
2

3

0

1

1

x
dx
1 x
0

Hướng dẫn : I   x 2 sin x 3dx  
0

1

Ta tính I1 =

x

2

sin x 3dx đặt t = x3 ta tính được I 1 = -1/3(cos1 - sin1)

0

1

x
Ta tính I2 = 
dx đặt t =
1 x
0

1

x ta tính được I 2 = 2  (1 
0



1
)dt  2(1  )  2 
2
4
2
1 t

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

9


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

ĐS :-1/3(cos1 - 1)+ 2 
5

14)
2

ln( x  1  1)
x 1 x 1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2

dx

Hướng dẫn :Đặt t  x  1  1 . Đáp số: ln 2 3  ln 2 2
6

15) 
2

dx
2x  1  4x  1

Hướng dẫn :Đặt t  4 x  1  t 2  4 x  1  2tdt  4dx .
6

5

5

5

5

3 1
tdt
tdt
dt
dt
1
 ln 
I 
  2



2
2
t  1 3  t  1
2 12
4 x  1 2 3 t  1  1  t 3  t  1
2 2x  1 
3
2
dx

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

10


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

VẤN ĐÊ 2: TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HĨA
CÁCH ĐẶT

DẤU HIỆU

2

a x

 x  a sin t với   / 2  t   / 2

 x  a cos t với 0  t  

2


a
  
với t    ;  \ {0}

x 
sin t

 2 2

 x  a với t   0;   \   

 2

cos t
 

x 2  a2

2

x a

 x  a tan t với   / 2  t   / 2

 x  a cos t với 0< t  

2

a x
hoặc
ax

ax
a x

 x  a  b  x 
DẠNG 1:

Đặt x  a cos2t
 
x  a   b  a  sin 2 t, t   0; 
 2

a2  x 2

BÀI TẬP MẪU: Tính các tích phân sau
a

Bài 1: Tính I   x 2 a 2  x 2 dx
0

Giải:

  
Đặt x = asint, t    ;  .  dx = acostdt
 2 2
Đổi cận:
x

0

a

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

11


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

t



0

a

2


Khi đó: I   x

2



2

2

0





4 2

4 2



a
a
= a  sin tcos tdt =
sin 2 2tdt =

4 0
8
0
4

2

2

Bài 2: Tính I 



a  x dx =  a 2 sin 2 t a 2 1  sin 2 t .acostdt

2

0

2

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1




a4  1
 a4
0 1  cos4t dt = 8  t  4 sin 4t  2 = 16
0

1  x2
dx
x2



2
2

Giải:

  
Đặt x = cost, t    ;  .  dx = - sint dt
 2 2
Đổi cận:

t

Khi đó:

I



2
2

x

4

1
1

0
0



1 x
1  cos t .sint

dx =  
dt =
2
x
cos2t

2



2
2

2

4


0

sin t .sin t
cos2t



sin 2 t
dt =
dt = 
2
0 cos t

4

4





 
 1


0  cos2t  1dt =  tan t  t  4 = 1  4 . (vì t   0; 4  nên sint  0  sin t  sin t )
0
4

1

Bài 3: Tính I   x 2 1  x 2 dx
0

Giải:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

12


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

  
Đặt x = sint, t    ;  .  dx = costdt
 2 2
Đổi cận:
x

0

t

0

1


2




1

2

Khi đó: I   x 2 1  x 2 dx =  sin 2 t 1  sin 2 t .costdt =
0

0





1
12 2
2
2
=
sin
tcos
tdt
sin 2tdt =
4 0
4 0
2





1 1
12
=  1  cos4t dt =  t  sin 4t  2 =
8 4
80
 0 16

Tính các tích phân sau:
3

1)  4  x 2 dx ;



HD : Đặt x  2sin t

ĐS :

HD : Đặt x  3cos t

ĐS :

dx ;

HD : Ñaët x  sin t

ÑS :

4)  16  x 2 dx;

HD : Đặt x  4sin t

1

3
2



2)


3 2
2

2
2

3) 
0

1

9  x 
2

x2
1  x2

3

dx ;

8

3
3 3

27


8



1
4

0

1
2

5)  1  x 2 dx

HD : Đặt x  sin t

0

5
2

6)
1

1
9   x  1

2

dx ;

HD : Đặt x  1  3sin t

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

13


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

7) x  x 2 dx.

ÑS :

1
2

1

HD : 
1
2


16

1

2
1
x  x dx   1   2 x  1 dx.
21
2

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Đặt : 2 x  1  sin t

2

DẠNG 2:

x 2  a2

Tính các tích phân sau:
6

1

1) 
3

dx ;

HD : Đặt x 

3
sin t

ĐS :

dx ;

HD : Đặt x 

1
sin t

ĐS :

dx ;

HD : Đặt x 

1
cos t

dx ;

HD : Đặt x 

1
cos t

x x2  9

2


36

2
3

2) 
2

1
x x 1
2

2
2

x2

3) 

x2  1

0

5

2

4)
1

1
x x 1
2

DẠNG 3:


6

x 2  a2

BÀI TẬP MẪU:
Bài 1: Tính I 

0

x

1

2

1
dx
 2x  4

Giải:
0

0

1
1
Ta có:  2
dx  
2
1 x  2 x  4
1 x  1
 

 3

2

dx

  
Đặt x  1  3 tan t với t    ;  .  dx  3 1  tan 2 t dt
 2 2





Đổi cận:

x

-1

0

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

14


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

t

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN



0

6


0



 3
1
36
3
Khi đó: I   2
.
dx 
dt 
t 6

3 0
3
18
1 x  2 x  4
0
1

x3
dx
8
0 1 x

Bài 2: Tính I  
Giải:
1

1

x3
x3

Ta có: 
dx

0
8
0 1 x
1 x4

 

2

dx

  
1
Đặt x 4  tan t với t    ;  .  x 3dx  1  tan 2 t dt
4
 2 2





Đổi cận:
x

0

t

0

1

0


4
3

1


3

x
x
Khi đó: I  
dx  
8
4
0 1 x
0 1 x

 






1 1  tan t
14
1


dx
dt
dt  t 4  .


2
2
4 0 1  tan t
40
4
16
0
2

4



cosx
dx
2
0 1  sin x

2

Bài 3: Tính I  
Giải:

  
Đặt sin x  tan t với t    ;   cosxdx  1  tan 2 t dt
 2 2





Đổi cận:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

15


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

x

0

t

0

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2


4







4
cosx
1  tan t

Khi đó: I  
dx  
dt   dt 
2
2
4
0 1  sin x
0 1  tan t
0
2

4

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG:
4

1
dx ;
2
0 4 x

1)

3

2)
0

HD : Đặt x  2 tan t

1
dx ;
x 9

ĐS :


8

HD : Đặt x  3tan t

2

1

3) x 1  x 2 dx ;

HD : Đặt x  tan t

0

3

1



4)

1  x 
2

3
3



3

dx ;

HD : Đặt x  tan t

ÑS :

3 1
2

3
2

9  2x2
dx ;
x2

5) 

3
2
1



6)

0

x3

x

2

3

x

7)

1

0

3

9)
1

x

dx ;

1
x2  3

2

1

8)



1

3

1
2



1

2

dx

1  x2
dx.
x2

dx ;

HD : Đặt 2 x  3tan t

HD : Đặt x  tan t

ĐS :

3 1
2

hoặc u  x 2  1

HD : Đặt x  3 tan t
ĐS :

 2
8

Đặt x  tan t.



ĐS : ln 2  3





2 1 

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

3 2 2 3
3

16


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

1

10)
0

x
dx.
x  x2  1
4

ÑS :

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

 3
8
1

1
du
HD :Biến đổi tích phân đã cho về dạng:  2
2 0 u  u 1

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

17


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

DẠNG 4:

a x
hoặc
ax

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

ax
a x

Tính tích phân sau:
0

1) 

1

1 x
1 x

DẠNG 5:

HD : x  cos2t

5
2

2)
0

5 x
5 x

HD : x  5cos2t

 x  a  b  x 

Tính tích phân sau:

3
2

  x  1 2  x  .

Đặt x  1  sin 2 t.

5
4

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

1 
3
ÑS :  

8  12 8 

18


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 3: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1: Biến đổi lượng giác về tích phân cơ bản


1
dx
4
0 cos x
4

Ví dụ 1: Tính I  
Giải:

Đặt t = tanx ;  dt 

1
dx
cos2 x

Đổi cận:
x

0

t

0


4
1





1
4
 t3  1 4
1
1
2
2
dx   1  tan x

dx   1  t dt   t    .
Khi đó: I  
4
30 3
cos2 x
0 cos x
0
0

4











Ví dụ 2: Tính I 

12

 tan 4 xdx
0

Giải:
Ta có:





12

12

0

0

sin 4 x

 tan 4 xdx   cos4 x dx

Đặt t = cos4x ;  dt  4s in 4 xdx  sin 4 xdx  

dt
4

Đổi cận:

x

0

t

1


12
1
2

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

19


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO





12

12

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN

1
2

1

1
sin 4 x
1 dt 1 dt 1
1
Khi đó: I   tan 4 xdx  
dx       ln t 1  ln 2.
cos4 x
41 t 41 t 4
4
0
0
2
2

2

Ví dụ 3: Tính I   cos5 xdx
0

Giải:




2

2


2





2

Ta có:  cos xdx   cos xcoxdx   1  sin 2 x coxdx
5

0

4

0

0

Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:

x

0

t

0



2
1

Khi đó:




2

2

0

0





2



2





I   cos5 xdx   1  sin 2 x coxdx   1  t 2
0

2

 dt   1  2t
2

0

2

 2t 3 t 5  1 8
 t 4 dt   t 
   .
3
5  0 15





4

Ví dụ 4: Tính I   tan3 xdx
0

Giải:









Đặt t = tanx ;  dt  1  tan 2 x dx  1  t 2 dt  dx 

dt
t 1
2

Đổi cận:
x

0

t

0


4
1

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

20

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN

Khi đó:






2
1
1
1
1

1 2t
t3
t 
t2 1 1 d t  1
I   tan xdx   2
dt    t  2
dt 


 dt   tdt   2

2 0 t 1
2 0 2 0 t 2  1
t  1
0
0 t 1
0
0
4



1

3

1 1 1
1 1
1
 ln t 2  1   ln 2  1  ln 2  .
2 2
2
0 2 2






2

Ví dụ 5: Tính I   cos3 xdx


6

Giải:






2

2

2







2





I   cos xdx   cos x.cosxdx   1  sin x cosxdx   1  sin 2 x d  sin x 
3

2







6

6

6

2



6




sin x  2
1 1 1
5
  sin x 


  1  
3 
3 2 24 24

6
3



sin 4 x
dx
4
0 sin x  cos x
4

Ví dụ 7: Tính I  

4

Giải:








4

4
4
sin 4 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x
2sin 2 xcos2 x



I 4
dx
dx
dx
dx 



4
4
4
2
2
1



sin
sin
1
2sin

x
cos
x
x
cos
x
xcos
x
2
0
0
0
0 1
sin 2 x
2
4



1



 1

1
1

d  1  sin 2 2 x    ln 1  sin 2 2 x 4   ln  ln 2
1 2

2
2
2

0 1
sin 2 x 
0
2
4



cos3 x
dx
 1  sin x
2

Ví dụ 8: Tính I  
4

Giải:

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

21


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO




3


2



1  sin 2 x

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN





2
cos x
cos x
dx  
cosxdx  
cosxdx   1  sin x cosxdx 
 1  sin x
 1  sin x
 1  sin x

2

I

2

4

2

4

4





2

2





4

4

4





   cosx  cosx sin x dx   cosxdx 



1
1
32 2
s in2 xdx   sin x  sin 2 x  2 

2
4
4


4
4
2


2

Ví dụ 9: Tính I   sin3 xdx
0

Giải:





2

2






cos3 x 
1 2
I   sin xdx   sin x sin xdx    1  cos x d  cosx     cosx 
 2  1 
3 
3 3
0
0
0

0
3

2

2



2





dx
1  cosx
0

2

Ví dụ 10: Tính I  

x
d

2
2
2
2
dx
dx
x


Giải: I  



 tan 2  1
1  cosx 0
2
2 x
2 x
0
0
2cos
cos
0
2
2








dx
 1  sin 2 x
2

Ví dụ 11: Tính I  
4

Giải:








dx
dx
dx
dx
12


 
I
2
2
2


 1  sin 2 x
  sin x  cosx 
 

 
cos2  x  
4
4
4  2cos  x 

4

4

4  


2

2

2





1
1
 tan  x   2 
2
4 2

4
Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

22


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN


2

Ví dụ 12: Tính I  


dx
sin x

3

Giải:


Ta có:





dx
sin xdx 2 sin xdx




2
2
 sin x
 sin x
 1  co s x
2

2

3

3

3

 Đặt t  cosx  dt   sin xdx
Đổi cận:
x

t





3

2

1

2

0

Khi đó:
1
2

0

1
2

dt
1  1
1 
 dt

 

dt
2
2
2 0 1 t 1 t 
1 1 t
0 1 t

I 
2

1
2

1
2

1
1 dt 1 dt
1
1 1
3
 
 
  ln t  1  ln t  1 2    ln  ln 
2 0 t 1 2 0 t 1
2
2 2
2
0





1 1 1
  ln  ln 3
2 3 2
Dạng 2: Tích phân dạng

dx

 a sin x  b cos x  c

x
Cách giải: Đặt t  tan , đưa về tích phân hữu tỉ
2


Ví dụ 1: Tính tích phân

2

dx

 2 cos x  sin x  2
0

ĐS: ln

3
2

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

23


Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO

CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN



Ví dụ 2: Tính tích phân

dx

2

 3cos x  2sin x  2

ĐS:

1 5
ln
3 2

ĐS:

1 4
ln
2 3

ĐS:

3
18

0



Ví dụ 3: Tính tích phân

4

 2 cos
0

2

dx
x  3sin 2 x  2



Ví dụ 4: Tính tích phân

dx

4

 sin 2 x  2
0



Ví dụ 5: Tính tích phân

4

1  2sin x

 2  cos x dx

ĐS:

0

Dạng 3 : Tích phân dạng

 a sin

2

2 3
 2 ln 2
9

dx
x  b sin x cos x  c cos2 x

Cách giải:
Cách 1: Đặt cos2 x ở mẫu làm thừa số chung sau đó đ ặt t  tan x
Cách 2: hạ bậc đưa về dạng 2

3

dx



x
x
sin
sin


6
6 


Ví dụ 1:Tính I  

Giải:






3
2dx
dx
dx




I
2

 3
  3 sin x  sin xcosx
 
1

sin x sin  x   6  sin x  
sin x  cosx  6
6
6


2

 2

3

3





3




6

 co s x  
2

2dx
3 tan 2 x  tan x

3






6

2d  tan x 

 tan x  


3



3 tan x  1

 2 3



6



d  tan x 
3 tan x





3 tan x  1




3


1
1
 2 3

d  tan x  
3 tan x  1 
  3 tan x
6

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

24


www.VNMATH.com Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CHẤT LƯỢNG CAO


3

 2

d  tan x 



tan x



3

 2

d



3 tan x  1



6

3 tan x  1

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN



  2  ln tan x  3  2 ln








3 tan x  1 3

6

6

6


3

1 
 2  ln 3  ln
  2  ln 4  ln 2   2 ln 3  2 ln 2  ln  
3
2



Ví dụ 2: Tính tích phân

4

 sin
0

2

dx
x  4cos2 x

ĐS:

1 1
ln
4 3



Ví dụ 3: Tính tích phân

4

 sin
0

2

dx
x  4sin x cos x  3cos2 x

ĐS:

1 3
ln
2 2

Dạng 4: Tích phân dạng I1   f (sin x )cos xdx; I 2   f (cos x )sin xdx
A. Cách giải:
 Đối với I1 đặt t  sin x
 Đối với I 2 đặt t  cosx

2

Ví dụ 1: Tính I   sin5 xcoxdx
0

Giải:
Đặt t = sinx ;  dt  cosxdx
Đổi cận:
X

0

T

0



2
1

2

1

0

0

Khi đó: I   sin5 xcoxdx   t 5dt 

1
.
6

Gv: Ths.Trần Đình Cư. SĐT: 01234332133, 0978421673. TP HUẾ

25