Một số ứng dụng của công thức tích phân cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Vũ Thị Dương

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
————oOo————

Vũ Thị Dương

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC
TÍCH PHÂN CAUCHY

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TSKH. Tạ Thị Hoài An

Hà Nội – Năm 2017


Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin gửi lời cảm
ơn tới các thầy cô khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy
cô trong tổ bộ môn Giải tích cũng như các thầy cô tham gia giảng dạy đã
tận tình truyền đạt những tri thức quý báu và tạo điều kiện thuận lợi để
em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học và khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.
TSKH. Tạ Thị Hoài An, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình
giúp đỡ để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Do thời gian, năng lực và điều kiện bản thân còn hạn chế nên bản khóa
luận không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, em rất mong nhận được
những ý kiến góp ý quý báu của các thầy cô và các bạn để khóa luận được
hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Vũ Thị Dương

i


Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp “Một số ứng dụng của công thức tích phân
Cauchy” được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của

bản thân cùng với sự giúp đỡ tận tình của cô Tạ Thị Hoài An.

Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng lặp với kết quả
của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 24 tháng 04 năm 2017
Sinh viên

Vũ Thị Dương

ii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong toán học, công thức tích phân Cauchy được đặt tên theo
tên nhà toán học Augustin - Louis Cauchy. Công thức tích phân Cauchy
có vai trò rất quan trọng, là một trong những kết quả trung tâm của
giải tích phức. Công thức tích phân Cauchy chỉ ra rằng giá trị của một
hàm chỉnh hình tại một giá trị có thể tính thông qua các giá trị khác.
Cụ thể hơn, nếu f là hàm chỉnh hình trong hình tròn thì giá trị của f
tại một điểm trong hình tròn đó được xác định một cách duy nhất bởi
các giá trị của f trên đường tròn. Vì thế, công thức tích phân Cauchy
còn được gọi là “Định lý biểu diễn”. Định lý này có ứng dụng rất rộng
rãi và là khởi nguồn cho nhiều kết quả sâu sắc trong giải tích phức.
Ngoài ra, công thức tích phân Cauchy chỉ ra rằng trong giải tích phức
“đạo hàm tương đương với tích phân”, tức là phép lấy vi phân phức như
phép tính tích phân, tốt hơn nữa là giới hạn đều - một kết quả không
chứng minh được trong giải tích thực. Không chỉ vậy, công thức tích
phân Cauchy còn nhiều ứng dụng khác nữa như lý thuyết thặng dư áp
dụng để tính tích phân, nguyên lý môđun cực đại, định lý cơ bản của

đại số - một trong những định lý quan trọng trong ngành đại số toán
học,...
Việc nghiên cứu công thức tích phân Cauchy cho thấy được ứng dụng
rất hữu ích của nó trong toán học. Vì vậy chúng tôi lựa chọn đề tài “Một


số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy” để thực hiện khóa
luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
- Bước đầu tìm hiểu sâu hơn về công việc nghiên cứu khoa học, về việc
nghiên cứu các hàm chỉnh hình và công thức tích phân Cauchy. Nghiên
cứu một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức về số phức, các hàm số phức, công thức tích phân Cauchy
và các ứng dụng.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, danh mục Tài liệu tham khảo thì khóa
luận bao gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Công thức tích phân Cauchy.
Chương 3: Một số ứng dụng của công thức tích phân Cauchy.

iv

Mục lục
MỞ ĐẦU
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Sơ lược về số phức . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Trường số phức . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Dạng đại số của số phức . . . . . . . . .
1.1.3. Số phức liên hợp và mô đun của số phức
1.1.4. Dạng lượng giác của số phức . . . . . . .
1.1.5. Dạng mũ của số phức . . . . . . . . . . .
1.1.6. Phép khai căn của số phức . . . . . . . .
1.2 Một số khái niệm trong mặt phẳng phức . . . .
1.2.1. Đường cong trong mặt phẳng phức . . .
1.2.2. Miền trong mặt phẳng phức . . . . . . .
1.3 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Một số hàm phức . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2. Hàm số lũy thừa . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Hàm số mũ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5. Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

2 CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CAUCHY
2.1 Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh hình trên
đường cong kín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên . . . . . . . . .

v

iii

2
2
2
3
3
5
5
6
6
6
7
8
11
11
12
12
12
13
14
14
14


2.2

2.1.2. Định lý Cauchy cho miền đa liên . . . . .
Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . .
2.2.2. Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

15
17
17
18

3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CAUCHY
22
3.1 Tính tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Sự hội tụ đều của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Chuỗi Laurent và điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1. Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2. Điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.4 Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Tính một số tích phân thực bằng phương pháp phức . . 37
3.6 Định lý cơ bản của đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1. Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.2. Định lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.3. Định lý cơ bản của đại số . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Nguyên lý môđun cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO

48

1


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, ta giới thiệu một cách sơ lược về số phức, hàm
chỉnh hình và một số hàm phức sơ cấp.

1.1
1.1.1.

Sơ lược về số phức
Trường số phức

Trên trường số thực R ta xét phương trình x2 + 1 = 0. Phương trình
này không có nghiệm trong R. Trong giải tích nếu chỉ giới hạn trong R

1
ta cũng không thể giải thích tại sao hàm f (x) = 2
không thể triển
x +1
khai thành chuỗi lũy thừa trên toàn bộ đường thẳng. Điều này chứng tỏ
trường số thực R vẫn chưa đầy đủ.
Với lý do trên ta cần xét một trường C nào đó “hoàn thiện”, đó chính
là trường số phức.
Trước tiên trên trường C phải có một phần tử i thỏa mãn i2 = −1.
Xét tập C = {(a, b) | a, b ∈ R}. Ta trang bị trên C quan hệ bằng nhau
và các phép toán sao cho C là một trường chứa R :
(i) Quan hệ bằng nhau : (a, b) = (c, d) ⇔ a = c và b = d,
2


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

(ii) Phép cộng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ,
(iii) Phép nhân: (a, b) . (c, d) = (ac − bd, ad + bc) .
Trường C như trên được gọi là trường số phức và số i được gọi là đơn vị
ảo.

1.1.2.

Dạng đại số của số phức

Mỗi số phức z = (x, y) có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng
z = x + iy với x, y ∈ R. Biểu thức x + iy gọi là dạng đại số của số phức

z. Ký hiệu: z = x + iy, trong đó x = Re (z) gọi là phần thực của số phức
z, y = Im (z) gọi là phần ảo của số phức z, i gọi là đơn vị ảo của số
phức z.
Vì vậy, ta có thể viết C = {x + iy | x, y ∈ R} .
Nhận xét 1.1.1. Nếu số phức z có phần thực x = 0 thì z gọi là số
thuần ảo. Nếu số phức z có phần ảo y = 0 thì z gọi là số thực. Hai số
phức z1 , z2 gọi là bằng nhau nếu Re (z1 ) = Re (z2 ) và Im (z1 ) = Im (z2 ) .
Mệnh đề 1.1.1. Với mọi z1 = x1 + iy1 và z2 = x2 + iy2 thuộc C ta có
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i (y1 + y2 ) ,
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i (y1 − y2 ) ,
z1 z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i (x1 y2 − x2 y1 ) ,
x1 x2 + y1 y2
x 2 y 1 − x 1 y2
z1
=
+i
.
2
2
z2
x2 + y2
x22 + y22
1.1.3.

Số phức liên hợp và mô đun của số phức

Định nghĩa 1.1.1. Cho số phức z = x + iy. Số phức có dạng x − iy
được gọi là số phức liên hợp của số phức z, ký hiệu là z¯.

3

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

Mệnh đề 1.1.2. Cho z, z1 , z2 là các số phức. Khi đó
1. z = z¯ ⇔ z ∈ R;
2. z = z¯;
3. z z¯ là một số thực không âm;
4. z1 + z2 = z1 + z2 ;
5. z1 z2 = z1 z2 ;
6. z −1 = (z)−1 với mọi z ∈ C∗ ;
7.

z1
z1
=
với mọi z2 ∈ C∗ .
z2
z2

Định nghĩa 1.1.2. Cho số phức z = x + iy ∈ C. Khi đó số thực
r = x2 + y 2 gọi là mô đun của số phức z, ký hiệu là |z|.
Mệnh đề 1.1.3. Cho z, z1 , z2 là các số phức. Khi đó
1. −|z| ≤ Re (z) ≤ |z|; −|z| ≤ Im (z) ≤ |z|;
2. |z| ≥ 0 ; |z| = 0 ⇔ z = 0;
3. |z| = | − z| = |z¯|;
4. zz = |z|2 ;
5. |z1 z2 | = |z1 ||z2 |;

6. |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (bất đẳng thức tam giác);
7. |z −1 | = |z|−1 ;
8.

|z1 |
z1
=
;
z2
|z2 |

9. |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2(|z1 |2 + |z2 |2 ) (đẳng thức hình bình hành).

4


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.4.

VŨ THỊ DƯƠNG

Dạng lượng giác của số phức

Định nghĩa 1.1.3. Cho số phức z = x + iy ∈ C và r = |z|. Khi đó một
số thực ϕ thỏa mãn x = r cos ϕ và y = r sin ϕ được gọi là một argument
của z, ký hiệu ϕ = arg z.
Ta có tập các argument của z là Argz = {arg z + k2π | k ∈ Z} . Một
số phức có vô số argument ϕ. Số thực ϕ ∈ [0, 2π] được gọi là argument
chính của z.

Số phức z = x + iy có dạng lượng giác z = |z| (cos ϕ + i sin ϕ) .
Mệnh đề 1.1.4 (Công thức Moivre).
z n = |z|n (cos nϕ + i sin nϕ) .

1.1.5.

Dạng mũ của số phức

Số phức z có dạng mũ z = reiϕ , trong đó r = |z| và ϕ ∈ Argz.
Ta cũng có công thức Moivre cho dạng mũ như sau.
Mệnh đề 1.1.5. Với mọi số phức z và mọi số tự nhiên n ta có
z n = rn einϕ .
Từ dạng lượng giác và dạng mũ của số phức ta có công thức
cos ϕ =

1 iϕ
e + e−iϕ
2

sin ϕ =

1 iϕ
e − e−iϕ
2i

trong đó ϕ là một số thực.
Công thức trên gọi là Công thức Euler.

5

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.6.

VŨ THỊ DƯƠNG

Phép khai căn của số phức

Cho n là một số tự nhiên và z là một số phức. Ta nói w là một căn
bậc n của z nếu w thỏa mãn điều kiện wn = z.
Từ công thức Moivre ta nhận thấy mỗi số phức z có đúng n căn bậc n
được cho bởi công thức
wk =

√
n

r cos

ϕ + k2π
ϕ + k2π
+ i sin
n
n

,

với k = 0, 1, ..., n − 1, trong đó r = |z| và ϕ = arg z. Như vậy
√

n

z=

1.2

√
n

r cos

ϕ + k2π
ϕ + k2π
+ i sin
n
n

, k = 0, 2, ..., n − 1 .

Một số khái niệm trong mặt phẳng phức

Nếu a ∈ C và r > 0 thì D (a, r) là đĩa mở tâm a, bán kính r và
D (a, r) = {z : |z − a| < r} . Đĩa đóng {z : |z − a| r} được ký hiệu là
D (a, r) và C (a, r) là đường tròn tâm a, bán kính r.

1.2.1.

Đường cong trong mặt phẳng phức

Giả sử ϕ (t) và ψ (t) là các hàm giá trị thực liên tục trên đoạn [a, b]

(a < b). Khi đó phương trình
z = z (t) = ϕ (t) + iψ (t) , a ≤ t ≤ b
cho biểu diễn tham số của đường cong liên tục L = z ([a, b]) trong C.
Đường cong được gọi là trơn nếu nó có biểu diễn tham số z = z (t) =

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

ϕ (t) + iψ (t) sao cho ϕ và ψ là các hàm có đạo hàm liên tục với
|ψ (t) |2 + |ϕ (t) |2 = 0 với t ∈ (a, b) .
Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn
được gọi là đường cong trơn từng khúc.
Các điểm z (a) và z (b) lần lượt được gọi là các điểm đầu và cuối của
đường cong L.
Một đường cong L có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là
đường cong kín.
Đường cong không có điểm tự cắt, tức là không tồn tại t1 , t2 ∈ (a, b)
để ϕ (t1 ) + iψ (t1 ) = ϕ (t2 ) + iψ (t2 ) = ϕ (a) + iψ (a) được gọi là đường
cong Jordan hay chu tuyến.

1.2.2.

Miền trong mặt phẳng phức

Tập Ω ⊂ C được gọi là một miền nếu nó thỏa mãn hai điều kiện:
(i) Ω là tập mở;

(ii) Ω là liên thông, tức là với hai điểm tùy ý a, b ∈ Ω tồn tại đường
cong L ⊂ Ω có điểm đầu là a và điểm cuối là b.
Ta có γ = ∂Ω là biên của Ω. Miền Ωγ là miền bị chặn bởi γ (không chứa
điểm ∞).
Miền Ω được gọi là đơn liên nếu với mọi chu tuyến γ ⊂ Ω ta đều có
Ωγ ⊂ Ω.
Nếu tồn tại các chu tuyến γ1 , γ2 , ... sao cho các miền Ωγ1 , Ωγ2 , ...,không
bao hàm trong Ω ta nói Ω là miền đa liên.
Bây giờ ta tìm hiểu một lớp các hàm quan trọng trong giải tích phức,
đó là các hàm chỉnh hình.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3

VŨ THỊ DƯƠNG

Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.3.1. Cho f : Ω −→ C, Ω ⊂ C. Ta nói f là hàm khả vi
tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn
f (z) − f (z0 )
.
z→z0
z − z0
lim

f (z) − f (z0 )
thì f (z0 ) được gọi là đạo
z→z0
z − z0

Khi đó ta viết f (z0 ) = lim
hàm phức của f tại z0 .
Định lí 1.3.1. [3]

(a) Giả sử f khả vi tại z0 = x0 + iy0 . Khi đó các đạo hàm riêng của f
tồn tại và thỏa mãn
∂f
∂f
(z0 ) = −i (z0 ) .
(1.1)
∂x
∂y
∂f
∂f
và
tồn
∂x
∂y
tại trong một đĩa mở tâm z0 và liên tục tại z0 . Nếu các đạo hàm riêng
này thỏa mãn (1.1) thì f khả vi tại z0 .
(b) Giả sử f là một hàm phức sao cho các đạo hàm riêng

Ta gọi (1.1) là điều kiện Cauchy- Riemann.
Ta xét vi phân sau
df =

Do dx =

∂f
∂f
dx +
dy.
∂x
∂y

1
1
(dz + d¯
z ) và dy = (dz − d¯
z ) nên ta có
2
2i
∂f
1
=
∂z
2

∂f
∂f
−i
∂x
∂y

∂f

1
=
∂ z¯ 2

,

8

∂f
∂f
+i
∂x
∂y

.


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

Do đó ta có thể viết lại điều kiện Cauchy-Riemann như sau
∂f
(z0 ) = 0.
∂ z¯
Định nghĩa 1.3.2 (Hàm chỉnh hình). Hàm w = f (z) xác định trên
miền Ω ⊂ C được gọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) tại z0 ∈ Ω
nếu hàm f (z) có đạo hàm tại mỗi điểm trong một lân cận nào đó của
điểm z0 , tức là, tồn tại ε > 0 sao cho f (z) có đạo hàm tại mọi điểm
z ∈ D(z0 , ε).

Nhận xét 1.3.1.
(i) Hàm w = f (z) xác định trên Ω ⊂ C được gọi là hàm chỉnh hình trên
miền Ω nếu hàm f (z) chỉnh hình tại mỗi điểm thuộc miền Ω. Hàm f (z)
chỉnh hình trên toàn bộ mặt phẳng C được gọi là hàm nguyên.
(ii) Ta có thể mở rộng định nghĩa trên tới trường hợp Ω là miền tùy ý
trong C còn f là ánh xạ đi từ Ω vào C bởi phép nghịch đảo.
Như vậy, khi z0 hữu hạn còn f (z0 ) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0
1
chỉnh hình tại z0 . Còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0
nếu
f (z)
1
nếu f
chỉnh hình tại 0.
z
Ví dụ 1.3.1. Hàm f : C −→ C được cho bởi f (z) = z 3 là hàm chỉnh
hình trên toàn bộ C.
Thật vậy, với z0 ∈ C bất kỳ ta có
z 3 − z03
f (z) − f (z0 )
= lim
= 3z02 .
lim
z→z
z→z0
z − z0
0 z − z0
Ví dụ 1.3.2. Hàm f : C −→ C được cho bởi f (z) = z¯ là hàm không
đâu khả vi. Thật vậy, giới hạn
z − z0

z→z0 z − z0
lim

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

không tồn tại (xét các giới hạn theo hướng theo trục thực và trục ảo).
Định lí 1.3.2. Cho g là hàm chỉnh hình trên tập mở Ω1 và f là một
hàm phức liên tục trên tập mở Ω. Giả thiết
(i) f (Ω) ⊆ Ω1 ;
(ii) g = 0;
(iii) g (f (z)) = z với mọi z ∈ Ω (hay f là đơn ánh).
Khi đó f là hàm chỉnh hình trên Ω và f =

1
.
go f

Chứng minh. Lấy z0 ∈ Ω và {zn } là một dãy bất kỳ trong Ω\ {z0 } sao
cho zn −→ z0 khi n −→ ∞. Khi đó
f (zn ) − f (z0 )
f (zn ) − f (z0 )
1
.
=
=

g (f (zn )) − g (f (z0 ))
zn − z0
g (f (zn )) − g (f (z0 ))
f (zn ) − f (z0 )
Do tính liên tục của f tại điểm z0 nên biểu thức khai triển ở trên tiến
dần tới g (f (z0 )) khi n −→ ∞. Theo giả thiết thì g = 0 nên tồn tại giới
hạn
f (zn ) − f (z0 )
.
lim
zn →z0
zn − z0
Do vậy f là hàm chỉnh hình trên Ω và hơn nữa ta được f =

1
.
go f

Định lí 1.3.3. Giả sử Ω ∈ C là một miền và H (Ω) là tập các hàm
chỉnh hình trên Ω. Khi đó
(i) H (Ω) là một không gian vectơ trên C.
(ii) H (Ω) là một vành.
(iii) Nếu f ∈ H (Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì

10

1
∈ H (Ω) .
f

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

(iv) Nếu f ∈ H (Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là một hằng số.
Chứng minh. Ta chứng minh (iv).
∂f
∂f
Do f chỉ nhận giá trị thực nên
và
cũng chỉ nhận giá trị thực.
∂x
∂y
Hơn nữa, do f là hàm chỉnh hình nên từ điều kiện Cauchy- Riemann ta
có
∂f
∂f
= −i .
∂x
∂y
Từ các điều trên, ta suy ra được
∂f
∂f
=
= 0.
∂x
∂y
Do đó f là một hằng số.
Định lí 1.3.4 (Hợp của các hàm chỉnh hình). Nếu f : Ω −→ Ω ∗ và

g : Ω ∗ −→ C là các hàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω ∗ là các miền trong
mặt phẳng (z) và (w) thì go f : Ω −→ C chỉnh hình.

1.4
1.4.1.

Một số hàm phức
Hàm đa thức

Cho z ∈ C. Ta gọi P (z) là hàm đa thức nếu P (z) có dạng sau:
P (z) = a0 + a1 z + a2 z 2 + ... + an z n ,
với a0 , a1 , ... ∈ R là các hệ số.
Nhận xét 1.4.1. Hàm đa thức là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt
phẳng phức nên nó là hàm nguyên.

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.2.

VŨ THỊ DƯƠNG

Hàm số lũy thừa

Hàm số lũy thừa có dạng f (z) = z n với z ∈ C.
Nhận xét 1.4.2. Hàm lũy thừa là hàm chỉnh hình trên toàn bộ mặt
phẳng C và có đạo hàm f (z) = nz n−1 .

1.4.3.

Hàm số mũ

Định nghĩa 1.4.1. Hàm số mũ f : C −→ C được xác định như sau. Với
mỗi z = x + iy ∈ C thì f (z) = ez := ex (cos y + i sin y) = ex eiy .
Mệnh đề 1.4.1. Với z, z1 , z2 ∈ C, ta có
(a) ez1 ez2 = e(z1 +z2 ) ;
(b)

1
= e−z ;
z
e

(c) ez+2πi = ez ;
(d) |ez | = eRez ;
(e) ez = 0;
(f)

d z
e = ez .
dz

1.4.4.

Hàm lượng giác

Định nghĩa 1.4.2. Hàm sin và cos trên trường số phức được định nghĩa
lần lượt là

1 iz
e − e−iz ,
sin (z) :=
2i
1 iz
cos (z) :=
e + e−iz .
2
Nhận xét 1.4.3. Hàm sin (z) và cos (z) là các hàm chỉnh hình trên C.
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.5.

VŨ THỊ DƯƠNG

Hàm logarit

Định nghĩa 1.4.3. Cho miền G ∈ C, hàm bất kỳ log : G −→ C thỏa
mãn elog (z) = z được gọi là hàm logarit trên G.
Cho arg z là argument của z và z = 0. Khi đó
log z := log |z| + i arg z.
Chú ý 1.4.1. Một số tính chất hàm log trên trường số thực không còn
đúng trên trường số phức.
Mệnh đề 1.4.2. Nếu log là hàm logarit chỉnh hình trên miền G ∈ C
thì log khả vi trên G với
1
d

log (z) = .
dz
z
Chứng minh. Lấy H := {log (z) : z ∈ G} là tập ảnh của hàm log .
Hàm f : H −→ G được xác định bởi f (z) = ez và hàm g = log (z). Ta
thấy rằng g là hàm liên tục, f = 0, f (g (z)) = z. Nên theo định lý 1.3.2
ta có
1
1
1
log (z) =
= log(z) = .
z
e
elog(z)

Kết luận chương 1
Kết thúc chương 1 giúp ta có các kiến thức cơ bản để bắt đầu sang
các chương tiếp theo và dần hiểu được về công thức tích phân Cauchy
và các ứng dụng.

13


Chương 2
CÔNG THỨC TÍCH PHÂN
CAUCHY

2.1

Các định lý Cauchy về tích phân các hàm chỉnh
hình trên đường cong kín

2.1.1.

Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Bổ đề 2.1.1 (Bổ đề Goursat). [1] Nếu hàm w = f (z) liên tục trong
miền đơn liên Ω và γ là một đường cong kín, trơn từng khúc nằm trong
Ω,thì với mọi ε > 0 tồn tại một hình đa giác P ⊂ Ω có các đỉnh trên γ
sao cho
f dz −
γ

f dz < ε.
γP

Chúng ta xem chứng minh trong tài liệu tham khảo [1].
Định lí 2.1.1 (Định lý Cauchy). [1] Nếu hàm w = f (z) chỉnh hình

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

trong miền đơn liên Ω thì với mọi chu tuyến trơn từng khúc γ ⊂ Ω ta có
f dz = 0.
γ

Chứng minh. Để chứng minh định lý trên chúng ta chứng minh ba trường
hợp sau:
(1) Trường hợp γ = ∂

với

là tam giác mà

⊂ Ω.

(2) Trường hợp γ = ∂P với P là đa giác.
(3) Trường hợp tổng quát, γ là chu tuyến trơn từng khúc tùy ý. Trường
hợp này ta sử dụng “Bổ đề Goursat” để chứng minh.

Chứng minh chi tiết xem trong tài liệu tham khảo [1].
Định lí 2.1.2. Giả sử Ω là miền đơn liên bị chặn có biên là một chu
tuyến trơn từng khúc. Khi đó nếu f là hàm liên tục trên Ω = Ω ∪ ∂Ω và
chỉnh hình trên Ω thì
f dz = 0.
∂Ω

2.1.2.

Định lý Cauchy cho miền đa liên

Ta gọi Ω là miền n- liên (hay đa liên bậc n) nếu biên là Ω gồm có
chu tuyến ngoài γ và các chu tuyến γ1 , ..., γn−1 đôi một không giao nhau
nằm trong Ωγ , nghĩa là
n−1

Ω = Ωγ \

Ωγk
k=1

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

và
∂Ω = γ ∪ γ1 ∪ γ2 ∪ . . . ∪ γn−1 .
Chiều dương của ∂Ω được quy ước như Hình 1.

Hình 1

Định lí 2.1.3. Nếu Ω là một miền n-liên, f là hàm liên tục trên Ω
chỉnh hình trên Ω thì
f dz = 0.
∂Ω

Chứng minh. Bổ sung vào biên của Ω các đường l1 , ..., ln−1 (Hình 1), ta
được miền Ω. Khi đó Ω trở thành miền đơn liên với biên của nó là
l = ∂Ω ∪ l1 ∪ . . . ∪ ln−1 .
f dz = −

Bởi vì

lk−

f dz nên theo Định lý 2.1.2 thì
lk+

f dz =
∂Ω

f dz = 0
l

16


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2
2.2.1.

VŨ THỊ DƯƠNG

Công thức tích phân Cauchy
Công thức tích phân Cauchy

Định lí 2.2.1. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên miền Ω ∈ C và z0 ∈ Ω.
Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂ Ω sao cho Ω γ ⊂ Ω và γ không đi qua z0 ,
ta có công thức tích phân Cauchy
f (z0 ) =

f (η)

dη.
η − z0

1
2πi

(2.1)

γ

Nếu thêm giả thiết f liên tục trên Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với
mọi z ∈ Ω ta có
1
f (η)
f (z) =
dη.
(2.2)
2πi η − z
∂Ω

Chứng minh. Giả sử γ là chu tuyến tùy ý bao quanh z0 sao cho Ωγ ⊂ Ω.
Chọn ρ > 0 đủ bé để đĩa D (z0 , ρ) ⊂ Ωγ . Ký hiệu Cρ là biên của D (z0 , ρ)
và đặt
Ωγ,ρ = Ωγ \ D (z0 , ρ) ,
Ωγ,ρ là miền 2- liên, nên theo Định lý 2.1.3 ta có

γ∪Cρ−

f (η)
dη = 0.

η − z0

Từ đó ta có đẳng thức
f (η)
dη =
η − z0
γ

f (η)
dη = 0.
η − z0
Cρ

17

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

VŨ THỊ DƯƠNG

Ta thực hiện phép biến đổi η = z0 + ρeiϕ , khi đó dη = ieiϕ dϕ. Vế phải
của đẳng thức (2.3) trở thành
2π

f (η)
dη =
η − z0

f z0 + ρeiϕ
dϕ
ρeiϕ

0

Cρ

2π

f z0 + ρeiϕ dϕ

=i
o
2π

f z0 + ρeiϕ − f (z0 ) dϕ + 2πif (z0 ) .

=i
o

Chú ý rằng khi ρ −→ 0 thì do tính liên tục của f ta có
2π

f z0 + ρeiϕ − f (z0 ) dϕ = 0.

lim i

ρ→0

o

Vì thế

f (η)
= 2πif (z0 ) .
η − z0

lim

ρ→0
Cρ

Kết hợp với (2.3) ta có công thức (2.1).
Trường hợp f liên tục trên Ω và chỉnh hình trên Ω có thể lấy ∂Ω thay
cho γ trong chứng minh trên. Khi đó với mọi z ∈ Ω các điều kiện của
trường hợp nói trên đều được thỏa mãn. Vì vậy ta có công thức (2.2).

2.2.2.

Công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm

Định lí 2.2.2 (Định lý M-L). Giả sử f là hàm liên lục trên đường
cong γ : [a, b] −→ C và |f (z) | ≤ M với mọi z ∈ γ ∗ , ( γ ∗ là ảnh của γ).

18