Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình vi phân thường

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Trần Thị Thu Loan

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - Năm 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

Trần Thị Thu Loan

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. KHUẤT VĂN NINH

Hà Nội - Năm 2017

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn
chân thành tới các thầy giáo và cô giáo trong khoa Toán – Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo trong suốt thời gian
em theo học tại khoa và trong thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn
Ninh – Giảng viên khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, người
trực tiếp hướng dẫn em, luôn tận tâm chỉ bảo và định hướng cho em trong
suốt quá trình làm khóa luận để em có được kết quả như ngày hôm nay.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bản
thân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu
sót, em rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn
sinh viên và bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Thu Loan


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng
dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Khuất Văn Ninh. Trong khi nghiên
cứu đề tài này em đã tham khảo một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu
tham khảo. Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Một số phương pháp
giải tích giải gần đúng phương trình vi phân thường” là kết quả
của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân, không có sự trùng

lặp với kết quả của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Thị Thu Loan


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1

1.2

Chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Định nghĩa chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa

4

1.1.3

Một số tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . .

4

1.1.4

Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa . . . . . . .

5

Khái quát về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .

7

1.2.1

Khái niệm phương trình vi phân thường . . . . .

7

1.2.2

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

9

1.2.3

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp
một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

14

2.1

. . . . . . . . . . . . . . .

14

2.1.1

Định nghĩa hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.2

Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.1.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Phương pháp chuỗi lũy thừa

i


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2

2.3

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Phương pháp hệ số bất định . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.2.1

Phương pháp cho phương trình vi phân cấp một .

22

2.2.2

Phương pháp cho phương trình vi phân cấp hai .

25

2.2.3

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.3.1

Nội dung phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.3.2

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3 ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
3.1

Giới thiệu về phần mềm Maple . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Một số ứng dụng của Maple trong tính toán giải phương

38
38

trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2.1

40

Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

KẾT LUẬN

47

TÀI LIỆU THAM KHẢO

48

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn học khoa học gắn liền với thực tiễn. Cùng với sự
phát triển của nội tại toán học và các ngành khoa học khác, toán học
chia thành toán lý thuyết và toán ứng dụng. Trong lĩnh vực toán ứng
dụng, ta thường gặp rất nhiều bài toán liên quan đến phương trình vi
phân thường . Vì vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng
vai trò rất quan trọng trong lí thuyết Toán học. Chúng ta biết rằng, chỉ
có một số ít các phương trình vi phân thường là có thể tìm được nghiệm
chính xác, trong khi đó phần lớn các phương trình vi phân nảy sinh từ
các bài toán thực tiễn đều không tìm được nghiệm chính xác. Do vậy,
một vấn đề đặt ra là tìm cách để xác định nghiệm gần đúng của phương
trình vi phân. Xuất phát từ nhu cầu đó, các nhà Toán học đã tìm ra
nhiều phương pháp để giải gần đúng phương trình vi phân thường.
Chính vì lẽ đó, em mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình về vấn
đề: “Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình
vi phân thường” nhằm có điều kiện tiếp cận sâu hơn, làm phong phú
kiến thức của mình và ứng dụng giải toán đại học.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích chính của đề tài này là tìm hiểu và nâng cao kiến thức về

cách giải gần đúng bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường
bằng phương pháp giải tích. Đồng thời sử dụng thuật toán Maple ứng
dụng vào đó để giải toán.
1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

3. Phương pháp nghiên cứu
+Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+Phương pháp nghiên cứu tổng kết tài liệu.
Luận văn gồm ba chương.
Chương 1: " Kiến thức chuẩn bị".
Mục đích chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi lũy
thừa, khái quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với
phương trình vi phân cấp một và cấp n.
Chương 2: "Một số phương pháp giải tích giải gần đúng phương trình
vi phân thường".
Mục đích chương này là trình bày một số phương pháp giải tích và ứng
dụng vào việc giải gần đúng các phương trình vi phân thường.
Chương 3: "Ứng dụng Maple trong tính toán".
Mục đích chương này là giới thiệu về phần mềm Maple và một số ứng
dụng của Maple trong tính toán giải phương trình vi phân thường.
Em xin chân thành cảm ơn thầy Khuất Văn Ninh đã tận tình hướng
dẫn, giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình làm luận văn.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy cô của khoa Toán đã
quan tâm giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên

các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể
tránh khỏi có những sai sót. Em mong nhận được sự góp ý của thầy cô
và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn!

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về chuỗi lũy thừa, khái
quát về phương trình vi phân và bài toán Cauchy đối với phương trình
vi phân cấp một và cấp n.

1.1
1.1.1

Chuỗi lũy thừa
Định nghĩa chuỗi lũy thừa

Một chuỗi vô hạn có dạng
∞

an (x − x0 )n

(1.1)

n=0

(trong đó x0 , a1 , a2 , . . . là những số thực) được gọi là một chuỗi lũy thừa
tại tâm x = x0 . Nếu ta đặt y = x − x0 thì chuỗi lũy thừa được đưa về

dạng
∞

an y n
n=0

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

với tâm tại y = 0.
1.1.2

Bán kính hội tụ, khoảng hội tụ của chuỗi lũy thừa

Nếu tồn tại một số thực dương R sao cho chuỗi (1.1) hội tụ khi
|x − x0 | < R và phân kì khi |x − x0 | > R thì R được gọi là bán kính hội
tụ của chuỗi lũy thừa, khoảng (−R, R) được gọi là khoảng hội tụ của
chuỗi (1.1).
Thực tế, nó là khoảng hội tụ tuyệt đối của chuỗi lũy thừa.
Chú ý: Bán kính hội tụ R có thể được tính bằng công thức
R = lim

n→∞

an
.

an+1

Bán kính hội tụ có thể bằng 0, hữu hạn hoặc là vô hạn.
1.1.3

Một số tính chất của chuỗi lũy thừa

Để đơn giản, ta xét các chuỗi lũy thừa với x0 = 0, tức là chuỗi có dạng
∞

an x n = a0 + a1 x + a2 x 2 + . . .
n=0

Một chuỗi lũy thừa xác định một hàm số trên khoảng hội tụ của nó.
• Tính chất 1: Giả sử
∞

an x n

f (x) =
n=0
∞

bn xn

g (x) =
n=0

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Khi đó,

∞

(an + bn )xn

f (x) + g (x) =
n=0

• Tính chất 2: Với c là hằng số và n là số nguyên, ta có:
∞

cx

∞

m

n

can xm+n

an x =
n=0

n=0
∞

• Tính chất 3: Nếu f (x) =

an xn với −R < x < R thì

n=0
∞

nan xn−1 = a1 + 2a2 x + . . .

f (x) =
n=1

với −R < x < R
Bằng cách lặp lại tính chất này ta được:
∞

f

(k)

n (n − 1) (n − 2) . . . (n − k + 1) an xn−k

(x) =
n=k

1.1.4

Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

• Điều kiện để một hàm có thể khai triển thành chuỗi lũy thừa
Giả sử chuỗi lũy thừa
∞

an (x − x0 )n
n=0

có bán kính hội tụ R > 0 và
∞

f (x) =

an (x − x0 )n với x ∈ (x0 − R, x0 + R)

n=0

Khi đó
1) f là hàm khả vi vô hạn trong (x0 − R, x0 + R)
5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

f (k) (x0 )
2) ak =
; k = 0, 1, 2, . . .

k!
f (n) (x0 )
3) f (x) =
(x − x0 )n với ∀x ∈ (x0 − R, x0 + R)
n!
n=0
+∞

• Định nghĩa chuỗi Taylor
Nếu f khả vi vô hạn trong một lân cận nào đó của điểm x0 thì chuỗi
∞

n=0

f (x0 )
f (n) (x0 )
f (n) (x0 )
n
(x − x0 ) = f (x0 ) +
(x − x0 ) + . . . +
(x − x0 )n + ...
n!
1!
n!

được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f (x) tại điểm x0 .
Khi x0 = 0 thì chuỗi trên trở thành
∞

n=0

f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n
f (n) (0) n
x = f (0) +
x+
x + ... +
x + ...
n!
1!
2!
n!

Đây được gọi là chuỗi Mac – Laurin của hàm f (x).

• Một vài khai triển cơ bản
xn
x x2
xn
1) e =
=1+ +
+ ... +
+ . . . với x ∈ (−∞, +∞)
1! 2!
n!
n=0 n!
x

∞

∞

2) sinx =
n=0

n

(−1) x2n+1
(2n+1)!

=x−

x3
3!

+

x5
5!

2n+1

x
− . . . + (−1)n (2n+1)!
+ ...

với x ∈ (−∞, +∞)
2n
(−1)n x2n

x2 x4 x6
n x
3) cosx =
=1−
+
−
+ . . . + (−1)
+ ...
(2n)!
2!
4!
6!
(2n)!
n=0
với x ∈ (−∞, +∞)
∞

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

n
(−1)n−1 xn
x2 x3 x4
n−1 x
4) ln (1 + x) =
= x − + − + . . . + (−1)

+. . .
n!
2
3
4
n
n=0
với −1 < x < 1
∞

5)
∞

α (α − 1) . . . (α − n + 1) n
x
n!
n=1
α (α − 1) α
α (α − 1) . . . (α − n − 1) n
= 1 + αx +
x + ... +
x + ...
2!
n!
với −1 < x < 1
(1 + x)α =

1.2

Khái quát về phương trình vi phân

1.2.1

Khái niệm phương trình vi phân thường

Phương trình vi phân là một phương trình chứa biến độc lập x, hàm cần
tìm y = f (x) và các đạo hàm các cấp của nó.
Nói cách khác, một phương trình chứa đạo hàm hoặc vi phân của hàm
cần tìm được gọi là một phương trình vi phân.
Phương trình vi phân thường có dạng
F x, y (x) , y (x) , . . . , y (n) (x) = 0.
Trong đó y(x) là hàm cần tìm và nhất thiết phải có đạo hàm (đến cấp
nào đó) của ẩn y.
Cấp của phương trình vi phân là n nếu n là cấp cao nhất của đạo hàm
của ẩn có mặt trong phương trình.

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

• Định nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp một
Phương trình vi phân thường cấp một được biểu diễn dưới dạng
F (x, y, y ) = 0

(1.2)

trong đó hàm F xác định trong miền D ⊂ R3 .

• Định nghĩa: Phương trình vi phân thường cấp n
Phương trình vi phân thường cấp n có dạng
F x, y (x) , y (x) , . . . , y (n) (x) = 0

(1.3)

hay
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1)

(1.4)

trong đó x là biến số độc lập, y(x) là hàm cần tìm và y (x) , y (x) , . . . ,
y (n) (x) là các đạo hàm của ẩn y.
Nghiệm của bài toán phương trình vi phân thường cấp n là hàm số y(x)
thỏa mãn phương trình này với những giá trị x ∈ (a; b) hữu hạn hoặc vô
hạn.
Tất cả các nghiệm của phương trình vi phân thường cấp n có dạng
y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) trong đó c1 , c2 , . . . , cn là các hằng số tùy ý, mỗi
giá trị của hằng số đều cho một nghiệm.
Trong bài toán Cauchy cần tìm nghiệm riêng thỏa mãn n điều kiện ban

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

đầu:

(n−1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0
(n−1)

trong đó x0 , y0 , y 0 , ..., y0
1.2.2

(1.5)

là các giá trị cho trước.

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp n

Xét bài toán (1.4 –1.5):

 y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) )
 y(x ) = y , y (x ) = y , ..., y (n−1) (x ) = y (n−1)
0
0
0
0
0
0
Trước khi sử dụng các phương pháp giải gần đúng, ta cần biết bài toán
trên có tồn tại nghiệm hay không và tính duy nhất của nghiệm, vì nếu
thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần
tìm.

• Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trong miền G hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) thỏa mãn điều kiện
Lipschitz theo biến u1 , u2 , ..., un nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với
hai điểm (x, u1 , u2 , ..., un ) ∈ G, (x, u1 , u2 , ..., un ) ∈ G bất kỳ ta có bất
đẳng thức:
n

f (x, u1 , u2 , ..., un ) − f (x, u1 , u2 , ..., un ) ≤ L

ui − ui
i=1

• Định lý tồn tại nghiệm
Xét bài toán (1.4 – 1.5).

9


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Nếu f (x, u1 , u2 , ..., un ) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 thì tồn tại
ít nhất một nghiệm y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) của phương trình (1.4) thỏa
mãn điều kiện (1.5) tức là y = y (x, c1 , c2 , . . . , cn ) là nghiệm của bài toán
(1.4 – 1.5).

• Định lý duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.4 – 1.5).
Nếu hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) là hàm liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và hàm
f (x, u1 , u2 , ..., un ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , ..., un tức là

n

f (x, u1 , u2 , ..., un ) − f (x, u1 , u2 , ..., un ) ≤ N

ui − ui
i=1

trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm của bài toán
(1.4 –1.5) xác định là duy nhất.

• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.4 – 1.5).
Giả sử hàm f (x, u1 , u2 , ..., un ) liên tục trong miền G ⊂ Rn+1 và thỏa mãn
điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , ..., un .
(n−1)

Khi đó với điểm trong (x0 , y0 , y 0 , ..., y0

) ∈ G bất kì tồn tại duy nhất

nghiệm y = y(x) của phương trình (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu
(n−1)

y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y 0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0

10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.3

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân cấp một

Xét bài toán:

 dx = f (t, x)
dt
 x(0) = x

(1.6)

0

(t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r; x0 + r]
trong đó x(t) là hàm một biến xác định trên [0, T ].
Bài toán đi tìm nghiệm của phương trình
dx
= f (t, x)
dt

(1.7)

x(0) = x0

(1.8)

thỏa mãn điều kiện Cauchy

(hay điều kiện ban đầu) được gọi là bài toán Cauchy đối với phương
trình vi phân cấp một.

• Điều kiện Lipschitz
Ta nói rằng trong miền G hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo
biến y nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho với hai điểm (x, y¯) ∈ G, x, y ∈
G bất kỳ ta có bất đẳng thức:
f (x, y¯) − f x, y

11

≤ L y¯ − y


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

• Định lý tồn tại nghiệm
Xét bài toán (1.6), (t, x) ∈ R = [0, T ] × [x0 − r; x0 + r]
Nếu f (t, x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R (r > 0 cố định) thì
tồn tại ít nhất một nghiệm x(t) của phương trình (1.7) thỏa mãn điều
kiện (1.8) tức là x(t) là nghiệm của bài toán (1.6).

• Định lý duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.6).
Nếu f (t, x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R (r > 0 cố định) và
f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến x trên hình chữ nhật ,
tức là

|f (t, x) − f (t, y)| ≤ N |x − y|
trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm của bài toán (1.6)
xác định là duy nhất.

• Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét bài toán (1.6).
Giả sử hàm f (t, x) xác định trong R (r > 0 cố định) thỏa mãn hai điều
kiện:
1) f (t, x) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên:
|f (t, x)| ≤ M với M = max |f (t, x)|
(t,x)∈R

2) f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ N |x − y| (với N là hằng số)
12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Khi đó tồn tại duy nhất nghiệm x(t) của bài toán (1.6) xác định trên
[0, T ].

Kết luận Chương 1
Nội dung chính của Chương 1 là nêu một số kiến thức về
1. Chuỗi lũy thừa.
2. Khái quát về phương trình vi phân.

13

Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
TÍCH GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
THƯỜNG
Chương này trình bày một số phương pháp giải tích và ứng dụng vào
việc giải gần đúng các phương trình vi phân thường.

2.1

Phương pháp chuỗi lũy thừa

Nghiệm của các phương trình vi phân có thể được biểu diễn chính xác
thông qua các hàm cơ bản như đa thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác,
hàm logarit, . . . Chúng được gọi là nghiệm chính xác. Chẳng hạn như,
phương trình vi phân y + 3y = 0 có nghiệm chính xác y = Ae−3x . Nhưng
không phải trong trường hợp nào ta cũng có thể tìm được nghiệm của
phương trình vi phân. Với phương trình y − xy = 0 (trong các tài liệu
về toán học, phương trình này được gọi là phương trình vi phân Airy),
14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

ta không thể tìm được nghiệm y(x) chính xác thỏa mãn phương trình
bằng cách sử dụng các phương pháp cổ điển để giải phương trình vi phân

thường.
Vì thế, đối với những phương trình như vậy, chúng ta đi tìm một nghiệm
gần đúng có dạng một chuỗi lũy thừa. Phương pháp tìm nghiệm có dạng
như trên được gọi là phương pháp chuỗi lũy thừa.
2.1.1

Định nghĩa hàm giải tích

Nếu f (x) có khai triển dạng chuỗi lũy thừa
∞

an (x − x0 )n
n=0

với bán kính hội tụ R, thì f (x) được gọi là giải tích tại điểm x = x0 với
R là bán kính hội tụ.
2.1.2

Nội dung phương pháp

Xét bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp n

 y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) )
 y(x ) = y , y (x ) = y , ..., y (n−1) (x ) = y (n−1)
0

0

0

0

0

0

Giả sử hàm f (x) giải tích trong lân cận điểm x0 , thì phương trình
y (n) = f (x, y, y , ..., y (n−1) )

15

(2.1)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

có nghiệm y(x) giải tích, tức là có thể biểu diễn dưới dạng chuỗi
∞

an (x − x0 )n

y (x) =
n=0

Ta đi tìm các an , n = 0, ∞ thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta có
∞

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 )1 + a2 (x − x0 )2 + . . . (2.2)

y (x) =
n=0

⇒ y (x0 ) = a0 + a1 (x0 − x0 )1 + a2 (x0 − x0 )2 + . . .
Hay y0 = a0
Đạo hàm hai vế của (2.2), ta được:
y (x) = a1 + 2a2 (x − x0 )1 + 3a3 (x − x0 )2 + . . .
⇒ y (x0 ) = a1 + 2a2 (x0 − x0 )1 + 3a3 (x0 − x0 )2 . . .
⇒ y (x0 ) = a1
Tiếp tục đạo hàm hai vế của (2.3), ta sẽ được:
y (x0 ) = 2a2 + 6a3 (x − x0 ) + ...
⇒ y (x0 ) = 2a2
y (x0 )
⇒ a2 =
2
Cứ tiếp tục như vậy, đến đạo hàm cấp k, ta sẽ có:
y (k) (x0 ) = k!ak

16

(2.3)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Hay

y (k) (x0 )
ak =
k!
Ta đi tìm ak+1 .
Ta có
y (k) (x) = f x, y, y , . . . , y (k−1)
⇒ ak+1

y (k+1) (x0 )
=
(k + 1)!

∂f
∂f
(k−1)
x0 , y0 , y 0 , . . . , y0
+
y (x0 ) + . . .
∂x
∂y
Tiếp tục như vậy, ta sẽ tìm được các hệ số an , n = 0, 1, 2, . . .

⇒ y (k+1) (x0 ) =

Vì n vô hạn nên ta lấy nghiệm gần đúng:
N

N

y (m) (x0 ) (x − x0 )m

yN =
am (x − x0 ) =
m!
m=0
m=0
m

Nhận xét: Phương pháp chuỗi lũy thừa rất dễ thực hiện bởi vì ta chỉ
việc tính đạo hàm. Tuy nhiên việc tính toán rất phức tạp, hơn nữa bán
kính hội tụ của chuỗi rất khó xác định.
2.1.3

Ví dụ minh họa

Giải xấp xỉ các ví dụ sau bằng phương pháp chuỗi lũy thừa, tìm nghiệm
xấp xỉ của bài toán ở dạng tổng riêng gồm năm số hạng đầu tiên của
chuỗi hàm.
Ví dụ 1:
y − y2 = x

17

(2.4)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

y (0) = 0, y (0) = 1

(2.5)

Giải: Giả sử y = y(x) là nghiệm của bài toán. Khai triển thành chuỗi
lũy thừa tại x0 = 0 ta được
y (0)
y (0) 2 y (0) 3
y (n) (0) n
y (x) = y (0) +
x+
x +
x + ... +
x
1!
2!
3!
n!
Từ điều kiện ban đầu, ta có y (0) = 0, y (0) = 1
Từ (2.4) ta có
y (x) = x + y 2 (x)
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (2.6) đến cấp 4 ta được
y (x) = 1 + 2y (x) y (x)
2

y (4) (x) = 2 (y ) (x) + y (x) .y (x)
Khi đó ta được
y (0) = 0
y (0) = 1
y (4) (0) = 2
Vậy nghiệm xấp xỉ của bài toán là

x3 x4
y5 (x) = x +
+
6
12

18

(2.6)


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Thị Thu Loan - K39A Sư phạm Toán

Ví dụ 2:
y − xy + 2y = e−x

(2.7)

y (0) = 2, y (0) = 3

(2.8)

Giải: Giả sử y = y(x) là nghiệm của bài toán. Khai triển thành chuỗi
lũy thừa tại x0 = 0 ta được
y (x) = y (0) +

y (0)
y (0) 2 y (0) 3

y (n) (0) n
x+
x +
x + ... +
x
1!
2!
3!
n!

Từ điều kiện ban đầu, ta có y (0) = 2, y (0) = 3
Từ (2.7) ta có
y (x) = xy (x) − 2y (x) + e−x
Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (2.9) đến cấp 4 ta được
y (x) = y (x) + xy (x) − e−x − 2y (x)
y (4) (x) = xy (x) + e−x
Khi đó ta được
y (0) = −3
y (0) = −4
y (4) (0) = 1

19

(2.9)