mot so phuong trinh luong giap thuong gap (vip)

Bai tõp mụt sụ phng trinh lng giac thng gp
MT S PHNG TRèNH LNG GIC THNG GP
A. MC TIấU.
1. V kin thc : Giỳp HS nm vng cỏch gii mt s PTLG m sau mt vi phộp bin i n gin cú th
a v PTLGCB. ú l PT bc nht v bc hai i vi mt HSLG
2. V k nng : Giỳp HS nhn bit v gii thnh tho cỏc dng PT trong bi
3. V t duy thỏi : Cú tinh thn hp tỏc, tớch cc tham gia bi hc, rốn luyn t duy logic.
B. TOM TT KIấN THC
Bi toỏn 1: Phng trỡnh bc nht i vi mt hm s lng giỏc
Phng phỏp chung:
- Chuyn v PT lng giỏc c bn
Bi toỏn 2: Phng trỡnh bc hai i vi mt hm s lng giỏc
Phng phỏp chung:
- Cú dng:
[ ]
2
( ) ( ) 0 ( 0)a f x bf x c a+ + =
Bi toỏn 3: Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx
Phng phỏp chung:
- Cú dng:
sin cosa x b x c
+ =
- /k cú nghim: a
2
+ b
2


c
2
- P

2
gii: Chia c hai v PT cho
2 2
a b+
, sau ú a v PT lng giỏc c bn.
Bi toỏn 4: Phng trỡnh bc hai thun nht i vi sinx v cosx
Phng phỏp chung:
- Cú dng:
2 2
sin .sin .cos cosa x b x x c x d+ + =
- P
2
gii:
+ Nhn xột cosx = 0 khụng tha món PT
+ Vy cosx

0. Chia c hai v PT cho cos
2
x ta c PT:
2
tan 0a x btanx c+ + =
l phng trỡnh bc hai i vi tanx
Bi toỏn 5: Mt s phong trỡnh lng giỏc khỏc
Phng phỏp chung:
- Dựng cụng thc lng giỏc a PT v dng tớch
C. NễI DUNG BAI DAY
II. PHNG TRèNH BC HAI I VI MT HM S LNG GIC
Nu t:
2
sin sin : 0 1.t x hoaởc t x thỡ ủieu kieọn t= =

Baứi 1. Gii cỏc phng trỡnh sau:
1) 2sin
2
x + 5cosx + 1 = 0 2) 4sin
2
x 4cosx 1 = 0
3) 4cos
5
x.sinx 4sin
5
x.cosx = sin
2
4x 4)
( )
2
tan 1 3 tan 3 0x x+ =

5)
( )
2
4sin 2 3 1 sin 3 0x x + + =
6)
3
4 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
Vu Hoang Anh-0984960096
Dng t iu kin
2
sin 0asin x b x c+ + =
t = sinx
1 1t

2
cos cos 0a x b x c+ + =
t = cosx
1 1t
2
tan tan 0a x b x c+ + =
t = tanx
( )
2
x k k Z +


2
cot cot 0a x b x c+ + =
t = cotx
( )x k k Z

Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp
7) tan
2
x + cot
2
x = 2 8) cot
2
2x – 4cot2x + 3 = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) 4sin
2
3x +
( )

2 3 1 cos3 3x+ −
= 4 2) cos2x + 9cosx + 5 = 0
3) 4cos
2
(2 – 6x) + 16cos
2
(1 – 3x) = 13 4)
( )
2
1
3 3 tan 3 3 0
cos
x
x
− + − + =
5)
3
cos x
+ tan
2
x = 9 6) 9 – 13cosx +
2
4
1 tan x+
= 0
7)
2
1
sin x
= cotx + 3 8)

2
1
cos x
+ 3cot
2
x = 5
9) cos2x – 3cosx =
2
4 cos
2
x
10) 2cos2x + tanx =
4
5
Baøi 3. Cho phương trình
sin3 cos3 3 cos 2
sin
1 2sin 2 5
x x x
x
x
 
+ +
+ =
 ÷
+
 
. Tìm các nghiệm của phương trình thuộc
( )
0 ; 2

π
.
Baøi 4. Cho phương trình : cos5x.cosx = cos4x.cos2x + 3cos2x + 1. Tìm các nghiệm của phương trình
thuộc
( )
;−
π π
.
Baøi 5. Giải phương trình :
4 4 4
5
sin sin sin
4 4 4
x x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
π π
.
III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX
DẠNG: a sinx + b cosx = c (1)
Cách 1:
• Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b+
ta được:
(1) ⇔
2 2 2 2 2 2
sin cos

a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Đặt:
( )
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
a b
a b a b
 
= = ∈
 
+ +
α α α π

phương trình trở thành:
2 2
sin .sin cos .cos
c
x x
a b
+ =
+
α α
2 2
cos( ) cos (2)
c
x

a b
⇔ − = =
+
α β
• Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
2 2
1 .
c
a b c
a b
≤ ⇔ + ≥
+
• (2)
2 ( )x k k Z⇔ = ± + ∈
α β π
Cách 2:
a/ Xét
2
2 2
x
x k k= + ⇔ = +
π
π π π
có là nghiệm hay không?
b/ Xét
2 cos 0.
2
x
x k≠ + ⇔ ≠

π π
Vũ Hoàng Anh-0984960096
Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp
Đặt:
2
2 2
2 1
tan , sin , cos ,
2
1 1
x t t
t thay x x
t t
−
= = =
+ +
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b+ − + − =
Vì
2 0,x k b c≠ + ⇔ + ≠
π π
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c= − − ≥ ⇔ + ≥
∆
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0

tan .
2
x
t=
Ghi chú:
1/ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
2/ Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm:
2 2 2
.a b c+ ≥
3/ Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b= + ≤ + + = +
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b vaø y a b x
a b b
⇔ = − + = + ⇔ = ⇔ =
Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
cos 3 sin 2x x+ =
2)
6
sin cos
2
x x+ =
3)
3 cos3 sin 3 2x x+ =
4)

sin cos 2 sin 5x x x+ =
5)
( ) ( )
3 1 sin 3 1 cos 3 1 0x x− − + + − =
6)
3 sin 2 sin 2 1
2
x x
 
+ + =
 ÷
 
π
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1)
2
2sin 3 sin2 3x x+ =
2)
( )
sin 8 cos6 3 sin 6 cos8x x x x− = +

3)
3 1
8cos
sin cos
x
x x
= +
4) cosx –
3 sin 2 cos

3
x x
 
= −
 ÷
 
π
5) sin5x + cos5x =
2
cos13x 6) (3cosx – 4sinx – 6)
2
+ 2 = – 3(3cosx – 4sinx – 6)
Baøi 3. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx – 2cosx = 2 2)
3
cosx + 4sinx –
3
= 0
3) cosx + 4sinx = –1 4) 2sinx – 5cosx = 5
Baøi 4. Giải các phương trình sau:
1) 2sin
4
x
 
+
 ÷
 
π
+ sin
4

x
 
−
 ÷
 
π
=
3 2
2
2)
3 cos2 sin 2 2 sin 2 2 2
6
x x x
 
+ + − =
 ÷
 
π
Baøi 5. Tìm m để phương trình : (m + 2)sinx + mcosx = 2 có nghiệm .
Baøi 6. Tìm m để phương trình : (2m – 1)sinx + (m – 1)cosx = m – 3 vô nghiệm.
IV. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
DẠNG: a sin
2
x + b sinx.cosx + c cos
2
x = d (1)
Cách 1:
• Kiểm tra cosx = 0 có thoả mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2

sin 1 sin 1.
2
x k x x⇔ = + ⇔ = ⇔ =±
π
π
• Khi
cos 0x ≠
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x ≠
ta được:
Vũ Hoàng Anh-0984960096
Bài tập một số phương trình lượng giác thường gặp
2 2
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x+ + = +
• Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d− + + − =

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos 2 sin 2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
− +
⇔ + + =
.sin 2 ( ).cos2 2b x c a x d a c⇔ + − = − −
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và
cos2x)

Baøi 1. Giải các phương trình sau:
1)
( ) ( )
2 2
2sin 1 3 sin . cos 1 3 cos 1x x x x+ − + − =
2)
( )
2 2
3sin 8sin .cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =
3)
2 2
4sin 3 3 sin .cos 2 cos 4x x x x+ − =

4)
2 2
1
sin sin 2 2 cos
2
x x x+ − =
5)
( ) ( )
2 2
2sin 3 3 sin .cos 3 1 cos 1x x x x+ + − = −
6)
2 2
5sin 2 3 sin .cos 3cos 2x x x x+ + =
7)
2 2
3sin 8sin .cos 4 cos 0x x x x+ + =

8)
( ) ( )
2 2
2 1 sin sin 2 2 1 cos 2x x x− + + + =
9)
( ) ( )
2 2
3 1 sin 2 3 sin .cos 3 1 cos 0x x x x+ − + − =

10)
4 2 2 4
3cos 4sin cos sin 0x x x x− + =
11) cos
2
x + 3sin
2
x +
2 3
sinx.cosx – 1 = 0
12) 2cos
2
x – 3sinx.cosx + sin
2
x = 0
Baøi 2. Giải các phương trình sau:
1) sin
3
x + 2sin
2
x.cos

2
x – 3cos
3
x = 0 2)
2
2 1
3 sin .cos sin
2
x x x
−
− =
Baøi 3. Tìm m để phương trình : (m + 1)sin
2
x – sin2x + 2cos
2
x = 1 có nghiệm.
Baøi 4. Tìm m để phương trình : (3m – 2)sin
2
x – (5m – 2)sin2x + 3(2m + 1)cos
2
x = 0 vô nghiệm .
Vũ Hoàng Anh-0984960096