Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
————– * ————–

LƯƠNG THANH HUẾ

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP MỘT

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN
————– * ————–

Lương Thanh Huế

TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CẤP MỘT

Khoá luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Giải tích

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

ThS. Trần Văn Tuấn

Hà Nội - 2017


Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này, tôi xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Trần Văn Tuấn, người đã trực
tiếp chỉ bảo, hướng dẫn tận tình, định hướng cho tôi trong suốt quá
trình làm khóa luận.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các Thầy, Cô giáo
trong tổ Giải tích, cũng như các Thầy, Cô giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi
hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này.
Sau cùng tôi xin cảm ơn gia đình cùng tất cả các bạn bè đã động
viên giúp đỡ tôi trong suốt thười gian qua.
Trong quá trình thực hiện Khóa luận, dù đã có nhiều cố gắng nhưng
do thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi
những sai sót nhất định, kính mong sự giúp đỡ của các Thầy, Cô, bạn
đọc để đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên
Lương Thanh Huế


Lời cam đoan
Khóa luận tốt nghiệp này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng,
chỉ bảo dẫn nhiệt tình của thầy giáo, ThS Trần Văn Tuấn cùng với
sự cố gắng học tập và nghiên cứu của bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã tham khảo và kế thừa những

thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu
với sự trân trọng và biết ơn, cùng các tài liệu đã được ghi trong phần
tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan đề tài “Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình
vi phân cấp một” không có sự trùng lặp với các đề tài khác. Nếu sai
tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2017
Sinh viên

Lương Thanh Huế


Mục lục

Bảng kí hiệu

2

Lời mở đầu

3

1 Hệ phương trình vi phân cấp một

5

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Bất đẳng thức vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.3

Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
2.1

2.2

21

Lý thuyết ổn định Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.1

Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.1.2

Các tiêu chuẩn cơ bản ổn định hệ tuyến tính . .

24

2.1.3

Phương pháp hàm Lyapunov ổn định hệ phi tuyến 31

Nguyên lý LaSalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.2.1

Tập giới hạn và tập bất biến . . . . . . . . . . .

36

2.2.2

Nguyên lý bất biến LaSalle . . . . . . . . . . . .

38

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41
1


Bảng kí hiệu

R

Tập số thực.

C

Tập số phức.

C[a, b]

Tập các hàm liên tục trên đoạn [a, b].

Rn

Không gian Euclide n chiều,
với x = (x1 , x2 , ..., xn ), y = (y1 , y2 , ..., yn ) là các phần tử trong Rn ,
1/2

n
2

|xi |

chuẩn Euclide x =

,

i=1
n

tích vô hướng x, y =

xi yi .
i=1

M (n, K) Tập các ma trận vuông cấp n với thành phần thuộc trường K.
AT

Ma trận chuyển vị của ma trận A.

n

aj

Tích a1 a2 . . . an .

j=1

λ(A)
λ

Tập các giá trị riêng của ma trận A.
Phần thực của giá trị riêng λ.

trace(A) Vết của ma trận A.
clA

Bao đóng của tập A.

a.s

Hầu chắc chắn.
Kết thúc chứng minh.

2


Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một chuyên ngành thiết yếu của toán học,
có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh tế, khoa học-kĩ thuật- công
nghệ. Trong thực tiễn, xem các tài liệu [1], [4], [5], nhiều bài toán đề
cập tới các vấn đề phân tích, thiết kế hệ thống kĩ thuật hay các mô
hình kinh tế thường được mô tả bằng các hệ phương trình vi phân.
Do vậy, việc nghiên cứu phương trình vi phân và tính ổn định nghiệm
của phương trình vi phân là một trong những bài toán cơ bản của lí
thuyết định tính các phương trình vi phân.
Từ những công trình toán học xuất sắc của nhà toán học Lyapunov
vào cuối thế kỉ 19, đến nay tính ổn định đã được nghiên cứu và phát
triển như một lý thuyết toán học độc lập có nhiều ứng dụng trong

thực tế.
Xuất phát từ nhận thức trên, dưới sự hướng dẫn của Thầy Trần
Văn Tuấn và mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về phương trình vi
phân và tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân, dưới góc
độ là một sinh viên chuyên ngành Toán, trong phạm vi của một khoá
luận tốt nghiệp tôi đã chọn đề tài:
“Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp một”
3


2. Mục tiêu nghiên cứu
• Nghiên cứu hệ phương trinh vi phân cấp một.
• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân cấp
một.
3. Phương pháp nghiên cứu
• Phương pháp nghiên cứu lí luận.
• Phương pháp tổng hợp, phân tích, các tài liệu và kiến thức phục
vụ cho mục đích nghiên cứu.
4. Đối tượng nghiên cứu
• Hệ phương trình vi phân cấp một.
• Nghiệm hệ phương trình vi phân.
5. Phạm vi nghiên cứu
Hệ phương trình vi phân cấp một.
6. Cấu trúc của khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo,
khoá luận gồm 2 chương.
Chương 1. Hệ phương trình vi phân cấp một.
Chương 2. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân.

4

Chương 1
Hệ phương trình vi phân cấp một
Trước khi nghiên trình bày các kiến thức cơ bản về hệ phương trình
vi phân, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức giải tích hàm về không
gian metric đầy và nguyên lý Banach về ánh xạ co.
Định nghĩa 1.1. Ta gọi là không gian metric một tập X = ∅ cùng
với một ánh xạ d : X × X −→ R thỏa mãn các Tiên đề sau
1)(∀ x, y ∈ X) d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y,
2)(∀ x, y ∈ X) d(x, y) = d(y, x),
3)(∀ x, y, z ∈ X) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) .
Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x, y) gọi là khoảng cách giữa
hai phần tử x, y. Không gian metric được kí hiệu là M = (X, d).
Định nghĩa 1.2. Cho không gian metric M = (X, d). Dãy điểm
(xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu
(∀ ε > 0) (∃ n0 ∈ N∗ ) (∀ m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε
hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

5


Định nghĩa 1.3. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian
đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này là hội tụ.
Ví dụ 1.0.1. Không gian C[a, b] với metric d(x, y) = max |x(t)−y(t)|
a≤t≤b

là không gian metric đầy.
Chứng minh. Xem [3, trang 25].
Định nghĩa 1.4. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 =
(Y, d2 ). Ta nói ánh xạ A : M1 −→ M2 là ánh xạ co, nếu tồn tại số
α ∈ [0, 1) sao cho
d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀ x, x ∈ X.
Định lý 1.1. (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co
A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào chính nó đều có điểm
bất động x¯ duy nhất, nghĩa là x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh. Xem [3, Định lý 1.4.2].

1.1

Hệ phương trình vi phân cấp một

Định nghĩa 1.5. Hệ n phương trình vi phân cấp một là hệ có dạng

dx1


= f1 (t, x1 , x2 , ..., xn )



dt





 dx2 = f (t, x , x , ..., x )
2
1 2
n
dt



·····················






 dxn = fn (t, x1 , x2 , ..., xn )
dt
6

(1.1)


Trong đó : t ∈ R là biến số độc lập,
x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) là các hàm ẩn cần tìm,
Các hàm fi với i = 1, ..., n xác định trong miền I ⊂ Rn+1 .
Định nghĩa 1.6. Hệ n hàm khả vi x1 = ϕ1 (t), x2 = ϕ2 (t), ..., xn =
ϕn (t) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là nghiệm của hệ (1.1) nếu
với mọi t ∈ (a, b) điểm (t, ϕ1 (t), ϕ2 (t), ..., ϕ( t)) ∈ I và khi thay chúng
vào hệ (1.1) ta được hệ n đồng nhất thức theo t trên (a, b).
Bằng cách đặt







x

 1 
dx 
 .. 
x =  .  , x˙ =
=

dt



xn

dx1
dt
..
.
dxn
dt








 , f (t, x) = 







f1

.. 
. 

fn

hệ (1.1) có thể được viết dưới dạng vectơ
x˙ = f (t, x).

(1.2)

Ta xét trường hợp đặc biệt của hệ (1.2) khi các hàm ở vế phải
dx
không phụ thuộc vào t khi đó vectơ vận tốc x˙ =
tại mỗi điểm
dt
không thay đổi theo thời gian. Ta gọi hệ này là hệ dừng.

Một trong những câu hỏi cơ bản khi nghiên cứu hệ (1.1) là sự tồn
tại, sự duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy.
Định nghĩa 1.7. (Bài toán Cauchy) Cho điểm (t0 , x10 , x20 , ..., xn0 ) ∈ I.
Bài toán tìm nghiệm x1 = x1 (t), x2 = x2 (t), ..., xn = xn (t) của hệ (1.1)

7


thỏa mãn điều kiện ban đầu
x1 (t0 ) = x01 , x2 (t0 ) = x02 , ..., xn (t0 ) = x0n .
Kết quả quan trọng sau đây cho chúng ta sẽ biết với điều kiện nào
thì bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất.
Xét hệ phương trình vi phân:


x˙ = f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b]

(1.3)


x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, x ∈ Rn
Trong đó: f : G −→ Rn với G = I × D, D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a}.
Định nghĩa 1.8. Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân (1.3) là
một hàm số x(t) xác định trên I, khả vi liên tục và thỏa mãn
i) (t, x(t)) ∈ G,
ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.3): x(t0 ) = x0 và x(t)
˙
= f (t, x(t)),
∀t ∈ I.
Định nghĩa 1.9. (Điều kiện Lipschitz ) Ta nói f : G → Rn là hàm số

Lipschitz theo biến thứ hai đều theo biến thứ nhất nếu tồn tại hằng
số L > 0 sao cho
f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ L x1 − x2 , ∀ (t, x1 ), (t, x2 ) ∈ G, ∀ t ≥ 0.
Nếu điều kiện Lipschitz được thỏa mãn trên một tập con bị chặn bất
kì của Rn thì ta nói rằng hàm f thỏa mãn tính địa phương.
Định lý 1.2. Định lý Picard- Lindeloff- [4, Định lý 1.23.]
Xét hệ phương trình vi phân (1.3), trong đó giả sử hàm f (t, x) : G −→
8


Rn là liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x với hằng
số Lipschitz L > 0.
Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ G sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.3)
luôn có nghiệm duy nhất trên đoạn [t0 − d, t0 + d].
Chứng minh. Lấy tích phân hai vế của hệ (1.3) trên đoạn [t0 , t] ta có
t

t

x(s)ds
˙
=
t0

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) − x(t0 ) =

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔

f (s, x(s))ds, ∀ t ∈ I.

x(t) = x0 +

(1.4)

t0

Để chứng minh định lý ta đi chứng minh phương trình tích phân (1.4)
có nghiệm duy nhất trên.
Lấy tập đóng H ⊂ G chứa điểm (t0 , x0 ) sao cho hàm f bị chặn
trong H. Khi đó tồn tại số M > 0 sao cho
f (t, x) ≤ M, ∀(t, x) ∈ H.
Chọn số d > 0 thỏa mãn yêu cầu
i) Ld < 1
ii) |t − t0 | ≤ d, x − x0 ≤ M d.
Gọi J = [t0 − d, t0 + d], C(J) = C[t0 − d, t0 + d] là không gian các
hàm x(t) liên tục trên đoạn J = [t0 − d, t0 + d], thỏa mãn điều kiện
x(t) − x0 ≤ M d.

9


với khoảng cách giữa hai hàm được xác định bởi

d(x1 , x2 ) = max x1 (t) − x2 (t) .
t∈J

Ta có C(J) cùng với khoảng cách trên là một không gian metric đầy.
∀x ∈ C(J), xét ánh xạ T : C(J) −→ C(J), x −→ T x
t

T x = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Khi đó từ (1.4) ta thấy x là nghiệm của hệ (1.3) khi và chỉ khi x là
điểm bất động của T . Trước hết ta thấy với x0 cố định công thức trên
cho ta một ánh xạ. Hơn nữa, với mỗi x ∈ C(J) thì
t

T x − x0 =

f (s, x(s))ds ≤ M |t − t0 | ≤ M d,
t0

từ đây T x ∈ C(J). Tiếp theo ta chứng minh ánh T xác định như trên
là ánh xạ co trên C(J). Thật vậy, với hai phần tử x1 , x2 ∈ C(J) tuỳ
ý ta có
t

T x1 − T x2 =

(f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)))ds

t0
t

≤

f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s))) ds
t0
t

≤L

x1 (s) − x2 (s) ds
t0
t

≤L

max x1 − x2 ds

t0 s∈J

≤ Ld max x1 (s) − x2 (s)
s∈J

= Ldd(x1 , x2 ).
10


Do đó
d(T x1 , T x2 ) = max T x1 (t) − T x2 (t)

t∈J

≤ Ldd(x1 , x2 ), Ld < 1.
Như vậy T là ánh xạ co trên không gian C(J). Áp dụng Nguyên
lý Banach về ánh xạ co thì ánh xạ co T trong không gian metric đầy
C(J) vào chính nó sẽ có hàm bất động x∗ (t) duy nhất sao cho
T x∗ (t) = x∗ (t),
hay là có duy nhất hàm x∗ (t) thỏa mãn
t

x∗ (t) = x0 +

f (s, x∗ (s))ds
t0

nên hệ (1.4) có duy nhất nghiệm. Do vậy hệ (1.3) có duy nhất nghiệm.
Định lý được chứng minh.

1.2

Bất đẳng thức vi phân

Trong phần này, chúng tôi nhắc lại và chứng minh bất đẳng thức
Gr¨onwall1 và nguyên lý so sánh, một trong những công cụ được sử
dụng rộng rãi để nghiên cứu tính chất định tính của phương trình vi
phân và phương trình đạo hàm riêng.

Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Gr¨onwall - [5, Lemma 2.1.])
1

1877-1932

11


Cho k là hàm không âm, bị chặn, đo được Borel trên một đoạn [t0 , t1 ]
và l là hàm không giảm. Cho v là một hàm khả tích trên [t0 , t1 ] sao
cho
t

v(t) ≤ l(t) +

k(s)v(s)ds, ∀ t ∈ [t0 , t1 ].

(1.5)

k(s)ds l(t), ∀ t ∈ [t0 , t1 ].

(1.6)

t0

Khi đó ta có
t

v(t) ≤ exp
t0

Chứng minh. Đầu tiên giả sử rằng l(t) = l(t0 ), t ∈ [t0 , t1 ] và xác định
t

u(t) = l(t0 ) +

k(s)v(s)ds,
t0

t

w(t) = exp −

k(s)ds u(t), t ∈ [t0 , t1 ].
t0

Các hàm u và w là liên tục tuyệt đối và với t ∈ [t0 , t1 ]
u(t)
˙
= k(t)v(t) ≤ k(t)u(t),
t

w(t)
˙
= u(t)
˙ exp −

t

k(s)ds − k(t)u(t) exp −
t0

k(s)ds ≤ 0.

t0

Từ đây suy ra,
w(t) ≤ w(t0 ) ≤ u(t0 ) ≤ l(t0 ),
t

t

k(s)ds ≤ l(t0 ) exp

u(t) = w(t)exp
t0

k(s)ds,
t0

và do đó,
t

v(t) ≤ u(t) ≤ exp

k(s)ds l(t0 ), t ∈ [t0 , t1 ].
t0

12


Nếu l là hàm không giảm bất kì trên [t0 , t1 ] và t2 ∈ (t0 , t1 ) thì l(t) ≤
l(t2 ) trên [t0 , t2 ]. Hơn nữa
t

v(t) ≤ l(t2 ) +

k(s)v(s)ds, t ∈ [t0 , t2 ].

(1.7)

t0

Từ (1.5) ta giả sử cho t = t2 . Khi đó từ (1.7) cho t = t2 , kết hợp với
các lập luận trên ta có
t2

v(t2 ) ≤ exp

k(s)ds l(t2 ).
t0

Chứng minh của bổ đề được hoàn thành.
Kết quả sau đây được biết đến như là nguyên lý so sánh cho phương
trình vi phân thường.
Định lý 1.3. [5, Theorem 1.2.]
Giả sử rằng ϕ : [t0 , t1 ] × R −→ R là hàm liên tục sao cho số M > 0
thỏa mãn
|ϕ(t, x) − ϕ(t, y)| ≤ M |x − y|, ∀ t ∈ [t0 , t1 ], x, y ∈ R.

(1.8)

Nếu v là một hàm liên tục tuyệt đối trên [t0 , t1 ] sao cho
v(t)

˙ ≤ ϕ(t, v(t)), t ∈ [t0 , t1 ],

(1.9)

v(t)
˙ ≥ ϕ(t, v(t)), t ∈ [t0 , t1 ],

(1.10)

hoặc

13


thì
v(t) ≤ u(t), ∀ t ∈ [t0 , t1 ]

(1.11)

v(t) ≥ u(t), ∀ t ∈ [t0 , t1 ],

(1.12)

hoặc tương ứng

trong đó u là một nghiệm của phương trình
u(t)
˙
= ϕ(t, u(t)), t ∈ [t0 , t1 ],

(1.13)

với điều kiện ban đầu
u(t0 ) ≥ v(t0 ),
hoặc tương ứng
u(t0 ) ≤ v(t0 ).
Trước khi chứng minh, ta nhắc lại Định lý Arzelà-Ascoli
Định lý 1.4. (Định lý Arzelà- Ascoli [4, Định lý 1.10.]) Cho X là
không gian Compact và C(X) là không gian các hàm số f : X −→ R
liên tục. Giả sử họ hàm {fn } = A trong C(X) thỏa mãn điều kiện
i)fn (x) giới nội đều, hay là sup sup |fn (x)| < +∞,
n≥1 x∈X

ii) {fn } là liên tục đều trên X theo nghĩa: với mỗi x0 ∈ X, ε > 0, tồn
tại số δ > 0 sao cho ||x − x0 || < 0 thì |fn (x) − fn (x0 )| < ε, ∀f ∈ A
Khi đó cl(A) là tập Compact trong C(X).
Sau đây ta chứng minh Định lý 1.3.
Chứng minh. Từ định lý 1.2 có tồn tại duy nhất một nghiệm của
14


phương trình (1.13) trên [t0 , t1 ]. Giả sử v(t)
˙
≤ ϕ(t, v(t)) , t ∈ [t0 , t1 ],
xét dãy un (·), n = 1, 2, ... của các hàm thỏa mãn


u˙ n (t) = ϕ(t, un (t)) + 1 , t ∈ [t0 , t1 ],
n


un (t0 ) = u(t0 ), n = 1, 2, ...

(1.14)

Chọn số K > 0 sao cho |ϕ(s, 0)| ≤ K, ∀ s ∈ [t0 , t1 ].
Từ (1.8), ∀ s ∈ [t0 , t1 ], x ∈ R ta có
|ϕ(s, x)| ≤ |ϕ(s, x) − ϕ(s, 0)| + |ϕ(s, 0)|
≤ M |x| + K,

(1.15)

Lấy tích phân hai vế của (1.14) trên đoạn [t0 , t], t ∈ [t0 , t1 ] ta được
1
un (t) = u(t0 ) + (t − t0 ) +
n

t

ϕ(s, un (s))ds

(1.16)

t0

Do đó
1
|un (t)| ≤ |u(t0 )| + (K + )(t − t0 ) + M
n

t

|un (s)|ds, t ∈ [t0 , t1 ].
t0

Từ bổ đề Gr¨onwall suy ra
1
|un (t)| ≤ |u(t) | + (K + )(t − t0 )eM (t−t0 ) , t ∈ [t0 , t1 ],
n
và các hàm un (t), t ∈ [t0 , t1 ], n = 1, 2, ..., bị chặn đều.

15


Mặt khác chúng cũng là đồng liên tục vì
t

1
|ϕ(τ, un (τ ))|dτ + )(t − s)
n
s
1
≤ (L + )(t − s),
n

|un (t) − un (s)| ≤

với t0 ≤ s ≤ t ≤ t1 , hằng số L > 0, không phụ thuộc vào n. Theo định
lý Arzelà-Ascoli, tồn tại một dãy con của (un (·)) liên tục đều tới hàm
liên tục u˜(·).
Trong (1.16) cho n −→ +∞, chúng ta thấy hàm u˜(·) là nghiệm liên

tục tuyệt đối của phương trình (1.13) và do đó nó đồng nhất với u(·).
Để chứng minh (1.11) ta cần chứng tỏ rằng
un (t) ≥ v(t), n = 1, 2, ..., t ∈ [t0 , t1 ].
Giả sử cho số tự nhiên m và với một số t2 ∈ (t0 , t1 ), thỏa mãn um (t2 ) ≤
v(t2 ). Khi đó đối với mỗi số t˜ ∈ [t0 , t2 )
um (t˜) = v(t˜), um (t) < v(t), t ∈ [t˜, t2 ).
Từ cách xác định của v(·), um (·) và từ tính liên tục của hàm ϕ(·, ·)
chúng ta thấy rằng với số δ > 0 và t ∈ (t˜, t˜ + δ) bất kì
1
v(t) − v(t˜)
≤
t − t˜
t − t˜

t

ϕ(s, v(s))ds
t˜

1
≤ ϕ(t˜, v(t˜)) +
,
3m
và
1
um (t) − v(t˜)
ϕ(t˜, v(t˜)) +
≤
.
2m

t − t˜
16


Do đó um (t) > v(t), t ∈ (t˜, t˜ + δ), điều này mâu thuẫn. Từ đó suy ra
giả sử sai. Vậy (1.11) được chúng minh.
Tương tự như trên, từ (1.10) ta chứng minh được (1.12).
Hệ quả 1.1. Nếu v(·, ·) là một hàm liên tục tuyệt đối trên [t0 , t1 ] sao
cho với số α ∈ R
v(t)
˙ ≤ αv(t), a.s trên [t0 , t1 ]
thì
v(t) ≤ eα(t−t0 ) v(t0 ),

t ∈ [t0 , t1 ].

Tương tự, nếu v(t)
˙ ≥ αv(t), a.s trên [t0 , t1 ] thì
v(t) ≥ eα(t−t0 ) v(t0 ),

1.3

t ∈ [t0 , t1 ].

Một số kiến thức bổ trợ

Sau đây chúng tôi trình bày các kiến thức về ma trận nhằm phục vụ
cho nghiên cứu trong Chương 2.
Định nghĩa 1.10. Ma trận vuông A ∈ M at(n, R) được gọi là ma
trận đối xứng nếu A = AT .

Ma trận A được gọi là xác định dương nếu
i) Ax, x ≥ 0, ∀ x ∈ Rn ,
ii) Ax, x > 0, x = 0.
Định lý 1.5. Các điều kiện sau đây là tương đương
i)A là ma trận xác định dương.
ii)∃ c > 0, Ax, x ≤ c x 2 , ∀ x ∈ Rn .
17


Chứng minh. Tham khảo [1, Định lý 2.1. trang 84].
Định nghĩa 1.11. Giả sử A = (aij ), aij ∈ C là một ma trận vuông
cấp n. Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau
1/2

n

|aij |2

A =

.

i,j=1

Nếu x = (x1 , · · · , xn ) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như là
một ma trận n hàng, một cột và do đó
1/2

n

|xi |2

x =

.

i=1

Chuẩn của ma trận có các tính chất sau
1) A + B ≤ A + B ,
2) AB ≤ A

B ,

3) Ax ≤ A

x .

Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In (hay đơn giản là I nếu không
sợ nhầm lẫn). Đa thức det(λI − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặc
trưng của ma trân A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận
A và kí hiệu là λ1 , ..., λn . Ta có
n

det(λI − A) =

(λ − λi ).
i=1

Định nghĩa 1.12. Ma trận A gọi là giới hạn của dãy ma trận {Ak }

nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε) sao cho ∀ k > N (ε) ta có
Ak − A < ε.
18


Khi đó ta nói dãy ma trận {Ak } hội tụ.
∞

Ma trận
k=0
k

Ta thấy A

Ak
gọi là ma trận mũ của ma trận A và kí hiệu là eA .
k!

≤ A

k

nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A. Xét hệ phương trình vi phân tuyến
tính
x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0,

(1.17)

trong đó A là ma trận hằng cấp (n × n).
Định lý sau đây cho ta biết dạng ma trận cơ bản của hệ này.
Định lý 1.6. [1, Định lý 2.2.] Ma trận
∞

e

tA

:=
k=0

(tA)k
k!

là ma trận cơ bản của hệ (1.17). Khi đó hàm
x(t) = e(t−t0 )A x0
là nghiệm duy nhất của hệ (1.17) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 .
Chứng minh. Ta có
d tA
e(t+h)A − etA
e = lim
h→0
dt
h
etA ehA − etA
= lim
h→0

h
ehA − I
h→0
h

= etA lim
= AetA .
19


Do đó etA là một ma trận nghiệm của (1.17). Từ định lý Liouville ta
có
det(etA ) = ettrace(A) = 0
nên etA là một ma trận cơ bản của (1.17)
Định lý 1.7. (Công thức Sylvester) Cho A là ma trận (n × n) chiều
n

ck λk là

với các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn khác nhau. Cho f (λ) =
k=0

hàm đa thức bậc n. Khi đó
n

Zk f (λk )

f (A) =
k=1

trong đó Zk được xác định bởi
Zk =

(A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I)
.
(λk − λ1 )(λk − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn )

Chứng minh. Tham khảo [4, Định lý 1.3.].

20


Chương 2
Tính ổn định nghiệm của hệ
phương trình vi phân
2.1
2.1.1

Lý thuyết ổn định Lyapunov
Bài toán ổn định

Xét bài toán giá trị ban đầu


x˙ = f (t, x), t ≥ 0

(2.1)


x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái tại thời điểm t của hệ, hàm
f : [t0 , +∞) × Rn −→ Rn là hàm vectơ cho trước.
Giả thiết hàm f thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ (2.1) luôn có
nghiệm duy nhất trên toàn [t0 , +∞). Ta có các khái niệm về sự ổn
định của hệ (2.1) như sau
Định nghĩa 2.1. Nghiệm x(t) của hệ (2.1) gọi là ổn định nếu với mọi
số ε > 0, t0 ≥ 0 sẽ tồn tại số δ = δ(ε, t0 ) > 0 sao cho bất kỳ nghiệm

21