Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU
KHIỂN TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

NGUYỄN THỊ HẰNG

BÀI TOÁN ỔN ĐỊNH HÓA CHO HỆ ĐIỀU
KHIỂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Giải tích

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. TRẦN VĂN TUẤN

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn
Sau một thời gian học tập, tự tìm tòi, tham khảo và nghiên cứu
các tài liệu liên quan đến nội dung, cùng với sự giúp đỡ nhiệt tình,
tận tâm của Thầy giáo hướng dẫn ThS. Trần Văn Tuấn. Khóa luận
này đã chắt lọc được các nội dung cơ bản.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy
hướng dẫn, tới các Thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2 và đặc biệt là các Thầy cô giáo trong bộ môn Toán của trường,
những người Thầy, những người bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong
quá trình làm khóa luận.
Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè và người
thân đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học
tập vừa qua.
Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Hằng

1


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi
dưới sự hướng dẫn của thầy ThS. Trần Văn Tuấn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, tôi đã kế
thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và
biết ơn.
Hà Nội, ngày 20 tháng 04 năm 2017
Tác giả khóa luận

Nguyễn Thị Hằng

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Lời mở đầu

4

Bảng kí hiệu

6

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ co
1.1.1 Không gian metric đầy . . . . . . . . .
1.1.2 Nguyên lý Banach về ánh xạ co . . . .
1.2 Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . .
1.3 Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính . . . . .
1.3.1 Hệ điều khiển tuyến tính . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán ổn định . . . . . . . . . . . .

2 Tính ổn định hoá cho hệ điều khiển
2.1 Bổ túc về ma trận . . . . . . . . .
2.2 Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản . . .
2.3 Bài toán ổn định hóa . . . . . . . .

tuyến
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

7
7
7
8
11
14
15
15

tính

18
. . . . . . . 18
. . . . . . . 21
. . . . . . . 27

KẾT LUẬN

31

TÀI LIỆU THAM KHẢO

32

3


Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết ổn định là một phần quan trọng của lý thuyết định tính
phương trình vi phân. Trong toán học, lý thuyết ổn định tập trung
nghiên cứu về sự ổn định các điểm cân bằng của vi phân và quỹ đạo
của các hệ vi phân dưới tác động nhỏ. Lý thuyết ổn định đã và đang
được quan tâm nghiên cứu một cách sâu rộng và mạnh mẽ bởi nhiều
nhà toán học. Lý thuyết ổn định, đặc biệt, có nhiều ứng dụng quan
trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng. Một trong những
bài toán liên quan chặt chẽ với bài toán ổn định là bài toán ổn định
hóa, xem tài liệu [2]. Bài toán ổn định hóa có thể được hiểu là: thiết
kế một điều khiển phản hồi để hệ tương ứng là ổn định hay không. Với
mong muốn tìm hiểu về hệ điều khiển cho bởi phương trình vi phân
tôi chọn đề tài: “Bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển tuyến

tính.”
2. Mục đích nghiên cứu
Giới thiệu hệ điều khiển tuyến tính.
Nghiên cứu bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển, nghĩa là tìm
một hàm điều khiển để nghiệm của hệ trở thành ổn định.
3. Đối tượng nghiên cứu

4


Các hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính.
4. Phạm vi nghiên cứu
Xoay quanh tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính
có điều khiển.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và các bài tập giải
minh họa, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn.
6. Cấu trúc đề tài
Khoá luận được chia làm 2 chương chính như sau:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Tính ổn định hóa của hệ điều khiển tuyến tính.

5


Bảng kí hiệu
R

Tập số thực

R+

Tập số thực không âm

Rn

Không gian Euclide n chiều

Rn×m
AT

Tập tất cả ma trận
Ma trận chuyển vị

< x, y > Tích vô hướng
λmax (A)

MaxRe(λ) : λ ∈ λ(A)

λmin (A)

Min Re(λ) : λ ∈ λ(A)

M ≥0

Ma trận xác định không âm

M >0

Ma trận xác định dương

n

aj

Tích a1 a2 ...an

j=1

trace(A) Vết của ma trận
Reλ

Phần thực của giá trị riêng λ
Kết thúc chứng minh


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1

Không gian metric đầy và nguyên lý ánh xạ
co

1.1.1

Không gian metric đầy

Định nghĩa 1.1. Cho không gian metric M = (X, d). Dãy điểm
(xn ) ⊂ X được gọi là dãy cơ bản trong M , nếu
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(xn , xm ) < ε.

hay
lim d(xn , xm ) = 0.

n,m→∞

Dễ dàng thấy mọi dãy điểm (xn ) ⊂ X hội tụ trong M đều là dãy cơ
bản.
Định nghĩa 1.2. Không gian metric M = (X, d) gọi là không gian
đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này là hội tụ.
Ví dụ 1.1. Không gian Rk là không gian metric đầy.
7


(n)

(n)

(n)

Thật vậy, giả sử x(n) = x1 , x2 , ..., xk

, (n = 1, 2, ...) là dãy cơ

bản tùy ý trong không gian Eukleides Rk . Theo đĩnh nghĩa dãy cơ bản,
(∀ε > 0) (∃n0 ∈ N∗ ) (∀m, n ≥ n0 ) d(x(n) , x(m) ) < ε, hay
k
(n)
xj

−

(m)
xj

2

(n)

(m)

< ε ⇒ xj − xj

< ε, ∀m, n ≥ n0 , ∀j = 1, 2, ..., k.

j=1
(n)

Các bất đẳng thức trên chứng tỏ, với mỗi j = 1, 2, ..., k. dãy xj

là

dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn:
(n)

lim xj = xj (j = 1, 2, ..., k).

n→∞

Đặt x = (x1 , x2 , ..., xk ), ta nhận được dãy (x(n) ) ⊂ Rk đã cho hội tụ
theo tọa độ tới x. Nhưng sự hội tụ trong không gian Eukleides Rk tương

đương với sự hội tụ tọa độ, nên dãy cơ bản x(n) đã cho hội tụ tới x
trong không gian Rk . Vậy không gian Eukleides Rk là không gian đầy.
1.1.2

Nguyên lý Banach về ánh xạ co

Định nghĩa 1.3. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 =
(Y, d2 ). Ánh xạ A : M1 → M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số α, α ∈
[0, 1) sao cho:
d2 (Ax, Ax ) ≤ αd1 (x, x ), ∀x, x ∈ X.
Định lý 1.1. (Định lý 1.4.2, [3], trang 29) (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy
M = (X, d) vào chính nó đều có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa là

8


x¯ ∈ X thỏa mãn hệ thức A¯
x = x¯.
Chứng minh: Lấy một điểm bất kì x0 ∈ X và lập dãy xn =
Axn−1 (n = 1, 2, ...) ta được
d(x2 , x1 ) = d(Ax1 , Ax0 ) ≤ αd(x1 , x0 ) = αd(Ax0 , x0 ),
d(x3 , x2 ) = d(Ax2 , Ax1 ) ≤ αd(x2 , x1 ) ≤ α2 d(Ax0 , x0 ),
........
d(xn+1 , xn ) = d(Axn−2 , Axn−1 ) ≤ αd(xn , xn−1 ) ≤ αn d(Ax0 , x0 ).
với n = 1, 2, ... Từ đó suy ra ∀n, p = 1, 2, ... ta có

p

d(xn+p , xn ) ≤

d(xn+k , xn+k−1 )
k=1
p

αn+k−1

≤ d(Ax0 , x0 )
k=1
n

n−p

α −α
d(Ax0 , x0 )
1−α
αn
≤
d(Ax0 , x0 ).
1−α
=

Vì 0 ≤ α < 1, nên lim αn = 0, do đó lim d(xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ ,
n→∞

n→∞

nghĩa là dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian metric đầy M . Từ
đó tồn tại lim xn = x¯ ∈ X. Ta có
n→∞

d(A¯
x, x¯) ≤ d(A¯
x, xn ) + d(xn , x¯) = d(A¯
x, Axn−1 ) + d(xn , x¯)
≤ αd(xn−1 , x¯) + d(xn , x¯), ∀n = 1, 2, ...

9


Cho n → ∞ ta được d(A¯
x, x¯) = 0 hay A¯
x = x¯, nghĩa là x¯ là điểm bất
động của ánh xạ A.
Giả sử tồn tại điểm y¯ ∈ X cũng là điểm bất động của ánh xạ A, thì
d(¯
x, y¯) = d(A¯
x, A¯
y ) ≤ αd(¯
x, y¯) =⇒ (1 − α)d(¯
x, y¯) ≤ 0
=⇒ d(¯
x, y¯) = 0, (0 ≤ α < 1) =⇒ x¯ = y¯.
Vì vậy x¯ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ A.
Định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.2. Giải và biện luận phương trình sau
x + asinx = π, a là tham số, |a| < 1.
Phương trình đã cho tương ứng với
x = π − asinx,

(1)

Đặt y = Ax = π − asinx, ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian
đầy R1 vào chính nó. Hơn nữa
|Ax − Ax | = |asinx − asinx | = 2|a| cos
≤ 2|a|

x+x
2

sin

x−x
2

x−x
= |a||x − x |.
2

Suy ra A là ánh xạ co (do (|a| < 1)). Theo nguyên lý Banach về ánh
xạ co, ánh xạ A có điểm bất động duy nhất x¯, nghĩa là phương trình
(1) có nghiệm duy nhất x¯.
Nhận thấy được x¯ = π là nghiệm duy nhất đó.
10


Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = π, ∀a ∈ (−1, 1).

1.2

Hệ phương trình vi phân

Xét hệ phương trình vi phân:



x(t)
˙
= f (t, x), t ∈ I = [t0 , t0 + b],

(1.1)


x(t0 ) = x0 , t0 ≥ 0, x ∈ Rn .
Trong đó: f : G −→ Rn trong đó G = I×D, D = {x ∈ Rn : ||x − x0 || ≤ a}
Định nghĩa 1.4. Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân (1.1) là
một hàm số x(t) xác định trên I, khả vi liên tục và thỏa mãn:
i) (t, x(t)) ∈ G,
ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình (1.1): x(t0 ) = x0 và x(t)
˙
= f (t, x(t)), ∀t ∈
I.
Định nghĩa 1.5. (Điều kiện Lipschitz). Ta nói f : G → Rn là
hàm số Lipschitz theo biến thứ hai đều theo biến thứ nhất nếu tồn tại
hằng số L > 0 sao
||f (t, x1 ) − f (t, x2 )|| ≤ L||x1 − x2 ||, ∀(t, x1 ), (t, x2 ) ∈ G, ∀t ≥ 0.
Định lý 1.2. (Định lý 1.23, [2], trang 27) Xét hệ phương trình
vi phân (1.1), trong đó giả sử hàm f (t, x) : G −→ Rn là liên tục theo
t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x với hằng số Lipschitz L > 0.
Khi đó với mỗi (t0 , x0 ) ∈ G sẽ tìm được số d > 0 sao cho hệ (1.1)
luôn có nghiệm duy nhất trên đoạn [t0 − d, t0 + d].

11


Chứng minh. Giả sử hàm f (t, x) liên tục tên G, khi đó lấy tích phân
hai vế của (1.1) trên đoạn [t0 , t] ta có
t

t

x(s)ds
˙
=
t0

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) − x(t0 ) =

f (s, x(s))ds
t0
t

⇔ x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds, ∀t ∈ I.

(1.2)

t0

Lấy tập đóng H ⊂ G chứa điểm (t0 , x0 ) sao cho hàm f bị chặn trong
H. Khi đó tồn tại số M > 0 sao cho
||f (t, x)|| ≤ M, ∀(t, x) ∈ H.
Chọn số d > 0 thỏa mãn yêu cầu:
i)Ld < 1.
ii)|t − t0 | ≤ d, ||x − x0 || ≤ M d.
Gọi J = [t0 − d, t0 + d], C(J) = C[t0 − d, t0 + d] là không gian các hàm
x(t) liên tục trên đoạn J = [t0 − d, t0 + d], thỏa mãn điều kiện
||x(t) − x0 || ≤ M d.
với khoảng cách giữa hai hàm được xác định bởi
d(x1 , x2 ) = max ||x1 (t) − x2 (t)||.
t∈J

Ta có C(J) cùng với khoảng cách trên là một không gian metric đầy,

12


∀x ∈ C(J), xét ánh xạ T :
t

T x = x0 +

f (s, x(s))ds.
t0

Khi đó từ (1.2) ta thấy x là nghiệm của hệ (1.1) khi và chỉ khi x là
điểm bất động của T .

Ta đi chứng minh T là ánh xạ co. Thật vậy, ta có
t

f (s, x(s))ds ≤ M |t − t0 | ≤ M d.

T x − x0 =
t0

Từ đó suy ra T x ∈ C(J).
Hơn nữa
t

||T x1 − T x2 || =

(f (s, x1 (s)) − f (s, x2 (s)))ds
t0
t

≤L

(x1 (s)) − (x2 (s))ds
t0

≤ L.d max ||x1 (s) − x2 (s)||
s∈J

= L.d.d(x1 , x2 ).
Do đó
d(T x1 , T x2 ) = max ||T x1 (t) − T x2 (t)||
t∈J

≤ L.d.d(x1 , x2 ), Ld < 1.
Như vậy T là ánh xạ co trên không gian C(J). Áp dụng nguyên lý
Banach về ánh xạ co thì ánh xạ co T trong không gian metric đầy

13


C(J) vào chính nó sẽ có hàm bất động x0 (t) duy nhất sao cho
T x0 (t) = x0 (t).
hay là có duy nhất hàm x0 (t) thỏa mãn
t

x0 (t) = x0 +

f (s, x0 (s))ds.
t0

nên hệ (1.2) có duy nhất nghiệm. Do vậy hệ (1.1) có duy nhất nghiệm.

1.3

Bài toán điều khiển cho hệ tuyến tính

Xét điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân tuyến tính dạng
x(t)
˙
= Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0,

(1.3)

trong đó x(t) ∈ Rn , t ≥ 0 - là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là véctơ điều
khiển; A B là các ma trận hằng số có số chiều tương ứng.
Tích phân hai vế của (1.3) trên đoạn [0, t] ta được nghiệm của hệ cho
bởi:
t
At

eA(t−s) Bu(s)ds, t ≥ 0,

x(t, x0 , u) = e x0 +
0

trong đó eAt là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất:
x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0.

14


1.3.1

Hệ điều khiển tuyến tính

Định nghĩa 1.6. Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Rn , ta nói cặp (x0 , x1 )
được gọi là điều khiển được sau một thời gian T > 0, nếu tồn tại một
điều khiển được u(t) sao cho nghiệm x(t, x0 , u) tương ứng của hệ (1.3)
thỏa mãn điều kiện x(0, x0 , u) = x0 , x(T, x0 , u) = x1 .
Định nghĩa 1.7. Hệ điều khiển (1.3) gọi là điều khiển được hoàn toàn

(GC) nếu với bất kỳ hai trạng thái x0 , x1 sẽ tìm được một thời gian
T > 0 sao cho x0 , x1 là điều khiển được sau thời gian T.
Định nghĩa 1.8. Hệ điều khiển (1.3) được gọi là điều khiển được hoàn
toàn về 0 (GNC) nếu bất kỳ trạng thái x0 ∈ Rn , tồn tại một thời gian
T > 0 sao cho (x0 , 0) là điều khiển được sau một thời gian T.
Nhận xét 1.1. Từ định nghĩa, ta thấy (GC) −→ (GNC). Do đó, để
kiểm tra một hệ điều khiển là điều khiển được hoàn toàn về 0, ta chỉ
cần kiểm tra hệ điều khiển có điều khiển được hoàn toàn hay không.
Định lý sau cho ta một điều kiện cần và đủ để hệ (1.3) là điều khiển
được hoàn toàn về 0.
Định lý 1.3. (Tiêu chuẩn Kalman): Hệ tuyến tính (1.3) là điều
khiển được hoàn toàn khi và chỉ
rank[B, AB, ..., An−1 B] < n.
1.3.2

Bài toán ổn định

Định nghĩa 1.9. Nghiệm x(t) của hệ (1.3) gọi là ổn định nếu với
mọi số ε > 0, t0 ≥ 0 khi đó ∃δ = δ(ε, t0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t),
15


y(t0 ) = y0 của hệ thỏa mãn ||y0 − x0 || < δ thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng
thức
||y(t) − x(t)|| < ε, t ≥ t0 .
Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ
có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần
nó trong suốt thời gian t ≥ t0 .
Định nghĩa 1.10. Nghiệm x(t) của hệ (1.3) gọi là ổn định tiệm cận
nếu nó ổn định và có một số δ > 0 sao cho với ||y0 − x0 || < δ thì

lim ||y(t) − x(t)|| = 0.

t→∞

Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi
nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y0 gần với giá trị ban đầu x0 sẽ
tiến gần tới x(t) khi t → ∞.
Định nghĩa 1.11. Hệ (1.3) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M >
0, δ > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.3) với x(t0 ) = x0 thỏa mãn
||x(t)|| ≤ M e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 .
là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà nó còn tiến tới
0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ.
Ví dụ 1.3. Xét phương trình vi phân sau trong R
x˙ = ax, ∀t ≥ 0.

16


Nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0 cho bởi công thức
x(t) = x0 eat , ∀t ≥ 0.
Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là
ổn định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều)
vì số δ > 0 chọn được sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t0 .
Ví dụ 1.4. Xét phương trình vi phân
x(t)
˙
= a(t)x, t ≥ 0,
trong đó a(t) : R+ → R là hàm liên tục, nghiệm x(t), với x(t0 ) = x0
bởi công thức
x(t) = e

t
t0

a(τ )d(τ )

x0 .

Khi đó hệ là ổn định nếu
t

a(τ )dτ ≤ µ(t0 ) < +∞.
t0

Hệ là ổn định đều nếu số µ(t0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t0 , là
ổn định tiệm cận nếu
t

a(τ )dτ = −∞.

lim

t→∞

t0

17


Chương 2

Tính ổn định hoá cho hệ điều
khiển tuyến tính
Trong chương này, chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định hóa
của hệ (1.3), xem Định nghĩa 1.8. Phần đầu, chúng tôi dẫn ra một vài
tiêu chuẩn ổn định cho hệ điều khiển tuyến tính. Phần cuối chúng tôi
áp dụng các kết quả cho hệ điểu khiển tuyến tính.

2.1

Bổ túc về ma trận

Định nghĩa 2.1. Giả sử A = (aij ), aij ∈ C là một ma trận vuông cấp
n. Ta định nghĩa chuẩn của ma trận A như sau
1/2

n

|aij |2

A =
i,j=1

18

.


Nếu x = (x1 , · · · , xn ) là một vectơ n chiều thì ta có thể xem x như là
một ma trận n hàng, một cột và do đó
1/2

n

|xi |2

x =

.

i=1

Chuẩn của ma trận có các tính chất sau
1) A + B ≤ A + B ,
2) AB ≤ A

B ,

3) Ax ≤ A

x .

Ma trận đơn vị cấp n được kí hiệu là In (hay đơn giản là I nếu không
sợ nhầm lẫn). Đa thức det(λI − A) bậc n của λ gọi là đa thức đặc
trưng của ma trân A, nghiệm của nó gọi là giá trị riêng của ma trận
A và kí hiệu là λ1 , ..., λn . Ta có
n

det(λI − A) =

(λ − λi ).

i=1

Định nghĩa 2.2. Ma trận A gọi là giới hạn của dãy ma trận {Ak }
nếu với mọi ε > 0, tồn tại N = N (ε) sao cho ∀k > N (ε) ta có
Ak − A < ε.
Khi đó ta nói dãy ma trận {Ak } hội tụ.
∞

Ma trận
k=0

Ak
gọi là ma trận mũ của ma trận A và kí hiệu là eA .
k!

Ta thấy Ak ≤ A

k

nên theo dấu hiệu Weierstrass, chuỗi trên hội

tụ tuyệt đối với mọi ma trận A.
Định lý 2.1. (Công thức Sylvester - Định lý 1.3.[2]) Cho A
19


là ma trận (n × n) chiều với các giá trị riêng λ1 , λ2 , ..., λn khác nhau.
n

ck λk là hàm đa thức bậc n. Khi đó

Cho f (λ) =
k=0

n

Zk f (λk ),

f (A) =
k=1

trong đó Zk được xác định bởi
Zk =

(A − λ1 I)(A − λ2 I) · · · (A − λk−1 I)(A − λk+1 I) · · · (A − λn I)
.
(λk − λ1 )(λk − λ2 ) · · · (λk − λk−1 )(λk − λk+1 ) · · · (λk − λn )

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0,

(2)

trong đó A là ma trận hằng cấp (n × n). Định lý sau đây cho ta biết
dạng của ma trận cơ bản của hệ này.
Định lý 2.2. (Định lý 2.2, [4], trang 86) Ma trận
∞
tA

e

:=
k=0

(tA)k
.
k!

là ma trận cơ bản của hệ (2). Khi đó hàm
x(t) = e(t−to )A xo .
là nghiệm duy nhất của hệ (2) vơi điều kiện ban đầu x(to ) = xo .

20


Ta có
d tA
e(t+h)A − etA
e = lim
h→0
dt
h
etA ehA − etA
= lim
h→0
h
ehA − I
h→0

h

= etA lim
= AetA .

Do đó etA là một ma trận nghiệm của (2). Từ định lý Liouville ta có
det(etA ) = ettrace(A) = 0.
nên etA là một ma trận cơ bản của (2).

2.2

Các tiêu chuẩn ổn định cơ bản

Xét hệ tuyến tính


x(t)
˙
= Ax(t), t ≥ 0,

(2.1)


x(t0 ) = x0 .
trong đó A là (n×n)-ma trận. Nghiệm của hệ (2.1) xuất phát từ trạng
thái ban đầu x(t0 ) cho bởi
x(t) = x0 eA(t−t0 ) , t ≥ t0 .
Ta sẽ gọi ma trận A là ổn định nếu phần thực các giá trị riêng của A
là âm.
21

Định lý dưới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của
hệ (2.1), thường gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov.
Định lý 2.3. (Định lý 3.1, [2], trang 110) Hệ (2.1) là ổn định
mũ khi và chỉ ma trận A là ổn định, tức là,
Reλ < 0, ∀λ ∈ λ(A).
Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester áp
dụng cho f (λ) = eλ , ta có
q

e

At

(Zk1 + Zk2 t + · · · + Zkαk tαk −1 )eλk t .

=
k=1

trong đó: λk là các giá trị riêng của A, αk là chỉ số mũ bội của các λk
trong phương trình đa thức đặc trưng của A. Zki là các ma trận hằng
xác định. Do đó ta có đánh giá sau
q

e

At

q

αk
i−1 Reλkt

≤

t

e

αk

ti−1 eReλkt Zki .

Zki =

k=1 i=1

k=1 i=1

Ngược lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t0 ) = x0
của hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện
||x(t)|| ≤ µ||x0 ||e−δ(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 ,

(2.2)

với µ > 0, δ > 0 nào đó. Bây giờ ta giả sử phản chứng rằng có một
λ0 ∈ λ(A) sao cho Reλ0 ≥ 0. Khi đó với véctơ riêng x0 ứng với λ0 này
ta có
Ax0 = λ0 x0 .

22


và khi đó nghiệm của hệ với x0 (t) = x0 là x0 (0) = x0 eλ0 t , lúc đó ta có
||x0 (t)|| = ||x0 ||eReλ0 t .
Vậy nghiệm x0 (t) này tiến tới +∞ khi t → +∞, vô lý với điều kiện
(2.2). Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.1. Xét tính ổn định hệ


x˙1 (t) = −x1 (t),

x˙2 (t) = −2x2 (t).
Ta thấy

A=

−1
0

0




−2

Vậy giá trị riêng của A là λ = −1, −2. Hệ là ổn định mũ.
Định lý 2.4. (Định lý 3.3, [2], trang 113) Ma trận A là ổn định
khi và chỉ khi với bất kỳ ma trận Y đối xứng xác định dương, phương

trình (LE) AT X + XA = −Y có nghiệm là ma trận X đối xứng, xác
định dương.
Chứng minh. Giả sử phương trình (LE) có nghiệm là ma trận X đối
xứng xác định dương. Với x(t) là một nghiệm tùy ý của (2.1) ta xét
hàm số
V (t, x(t)) = Xx(t), x(t) , ∀t ≥ 0.

23