Khoá luận tốt nghiệp toán ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC s ư PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

ĐỖ THỊ HẢI YẾN

ỔN ĐỊNH MŨ
CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN CÓ TRỄ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Ngưồi hướng dẫn: ThS. Nguyễn Trung Dũng


LỜI CẢM ƠN
Trước hết cho tôi bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến ThS. Nguyễn Trung Dũng,
người đã định hướng chọn đề tài và hết lòng giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá
trình hoàn thành khóa luận.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong
khoa Toán và các thầy cô trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giảng dạy
và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS. Nguyễn Trung Dũng, khóa luận
tốt nghiệp Đại học chuyên ngành Toán ứng dụng với đề tài MÔn đinh mũ của hệ

điều khiển có trễ” được hoàn thành do quá trình tìm tòi và nhận thức của bản thân,
không trùng lặp với bất cứ một đề tài nghiên cứu khoa học nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu
của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn!
Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2015
Sinh viên


Mục lục
Chương 1. M ột số kiến thức cơ sở

6

1.1. Hệ điều khiển có trễ

6

1 .1 . 1 . H ệ

p h ư ơ ng trình vi p hân h àm

6

................

7

1.1.2. K hái niệm ổn định

1.2 . Phương pháp hàm Lyapunov

8

1.3. Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

10

1.4. M ột số bất đẳng thức

11

Chương 2. Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có trễ

14

2 . 1. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ hằng số

14

2.2. Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ biến th iên ..........

18

3


LỜI NÓI ĐẨU
I. Lý do chọn đề tài
Trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong các hệ kĩ thuật khác nhau như: hệ
động lực học, mô hình điều khiển kĩ thuật, lò phản ứng hạt nhân... Một hệ được gọi

là có trễ khi tốc độ biến thiên trong hệ phụ thuộc vào trạng thái trước đó.
Các hệ trễ thời gian thường được mô tả bởi các hệ phương trình vi phân hàm, và
chúng được chia làm hai loại: hệ có trễ hằng số và hệ có trễ biến thiên. Nói chung,
các tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ hằng số thì được áp dụng đơn giản hơn, còn
các tiêu chuẩn ổn định cho hệ có trễ biến thiên thì ít "bảo thủ" hơn trong trường hợp
trễ thời gian nhỏ. Tuy nhiên khi xét tiêu chuẩn ổn định cho từng loại ổn định đều,
ổn định mũ, ổn định tiệm cận.... thì còn nhiều hạn chế.
Do đó, tôi đã chọn đê tài "On định mũ cua hệ điêu khiên có trê” nhăm hệ
thống các khái niệm và kết quả về các tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển có
trễ. Khóa luận gồm 2 chương
• Chương 1: Trình bày một số khái niệm về hệ phương trình vi phân hàm, ví dụ
minh họa. Đưa ra các khái niệm về ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận,
ổn định mũ. Giới thiệu về phương pháp hàm Lyapunov, các định lý về sự ổn
định, ví dụ minh họa. Bài toán ổn định hoá hệ điều khiển có trễ. Cung cấp
các bất đẳng thức ma trận tuyến tính cơ bản thường dùng để xét tính ổn định
của bài toán.
• Chương 2: Trình bày các tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ có trễ hằng số và trễ
biến thiên, ví dụ minh họa.
II. Mục đích nghiên cứu
• Hiểu rõ thế nào là bài toán ổn định của hệ điều khiển có trễ.
• Bước đầu tìm hiểu về một số tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ điều khiển với trễ
hằng số và trễ biến thiên.

III. Đối tượng và phạm vỉ nghiên cứu
Nghiên cứu về sự ổn định mũ của bài toán điều khiển với trễ hằng sốvà trễ biến
thiên.

4

IV. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên
cứu.

5


Chương 1

Môt số kiến thức cơ sỏ
Trong chương này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả về tính ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ được sử dụng trong chứng
minh các kết quả ở chương sau.

1.1.

Hệ điều khỉển có trễ

Chúng ta nhận thấy rằng, các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có sự liên
quan với quá khứ và ít nhiều mang tính di truyền. VI vậy khi mô tả các quá trình
này, chúng thường được biểu diễn bằng các hệ phương trình vi phân có trễ hay còn
gọi là hệ phương trình vi phân hàm.

1.1.1.

Hệ phương trình vi phân hàm

Giả sử h ^ 0. Kí hiệu

= c ( [ —/z,0],M") là không gian Banach các hàm liên

tục trên đoạn [—/z, 0] với giá trị trong

và chuẩn của (Ị) £ ^ được cho bởi

||ự>|| = s u p _ hVới to G M, A ^ 0 và X G C([/o —/Mo + Ẩ ], M"), hàm xt G cé > := C([-h, 0],M"),
t £ [ío,?o + Ã ị, được xác định bởi xt (s) = x(t + 5), 5 G [—h ,0].
Cho D c Rn X ^ là tập mở và hàm F : D —)■E".
Một phương trình vi phân hàm trên D (thường gọi là hệ phươngtrình vi phân có

6


trễ) là phương trình dạng
x(t) = F (t,x t ),

(1.1)

Một hàm X được gọi là nghiệm của phương trình vi phân (1.1) trên [ío —h,ỉ 0 +Ẩ]
nếu tồn tại to G M, A > 0 sao cho X G c ([?0 —h,tQ + A}, M”), (t,x t) £ D và x(t) thỏa
mãn (1.1) với mọi t e [?0^0 + A]. Với to G R, (Ị) G cể , ta nói *(/o, ộ) là nghiệm của
phương trình ( 1 . 1 ) với giá trị ban đầu ộ tại thời điểm ban đầu t() (nghiệm đi qua điểm
(í(), ệ )) nếu tồn tại A > 0 sao cho x(ío, ộ) là một nghiệm của phương trình (1.1) trên
[ío —h ,t 0 +A] vàx, 0(ío, ộ) = ộ- Khi to đã rõ, ta viết x (t,ộ ) thay cho x(to, ộ )(t).
Ví dụ 1.1.1. Hệ phi tuyến cỏ trễ thời gian biến thiên
Ị f
\~ d t

= - X \( t) ( \ + x \{t - T2 {t))) + 2 x 2 {t)x \{t - X\{t))x2{t - T2 {t)),

=

- T\(t))x2(t - T2 (t)) - x 2 (í )(2 + sin x i(? -T i(? ))),

trong đỏ 0 ^ Tị(t) ^ T/ là các hằng số, i = 1,2.

1.1.2.

Khái niệm ổn định

Giả thiết rằng hàm F (.) thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi điểm (to, ộ) £
M+ X ^ hệ (1.1) có nghiệm duy nhất đi qua điểm (to, ộ) và xác định trên l/o, °°). Ta
cũng giả thiết F (t, 0) = 0, tức là hệ (1.1) có nghiệm không. Khi đó ta có các khái
niệm ổn định, ổn định tiệm cận, ổn định mũ cho hệ ( 1 . 1 ).
Đỉnh nghĩa 1.1.1. [Khái niệm Ổn định]
Nghiệm không của hệ ị 1.1) được gọi là ổn định nếu với mọi £ > 0,/() ^ 0, tồn
tại ô = ô(to ,e) > 0 sao cho với mọi nghiệm x (t,ộ ) của ( 1 . 1 ), nếu II011 < ô thì
||x(í,</>)|| < £,Ví ^ to. Nếu ỗ không phụ thuộc to thì nghiệm X = 0 gọi là ẩn định

đều.
Đỉnh nghĩa 1.1.2. [Khái niệm Ổn định tiệm cận]
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là Ổn định tiệm cận nếu nó Ổn định và với
mỗi to ^ 0, tồn tại $) = ổo(/o) > 0 sao cho với mọi nghiệm x (t,ộ ) của {ỈA), nếu
II011 < ổ() thì lim ||x (í, 0 )|| = 0.
Đỉnh nghĩa 1.1.3. [Khái niệm Ổn định mũ]
Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là Ổn định miĩ nếu tồn tại các hằng số a > 0,
N ^ 1 sao cho với mọi to ^ 0, nghiệm x (t,ộ ) của hệ (1. ì) thỏa mãn điều kiện
1

11* 0 , 0)11 < N \\ộ \\e a{t tữ\ V í^ ío Số N gọi là hệ số ổn định Lyapunov, a gọi là số mủ Ổn định và cc, N được gọi chung
là các chỉ số ổn định mũ Lyapunov.

1.2.

Phương pháp hàm Lyapunov

Đỉnh nghĩa 1.2.1. [Lớp hàm

]

Cho hàm ộ G [M+ ,M+],M+ := [0;+°o) hoặc (Ị) G C[[0,/ỉ],M+]. Khi đó, ệ được gọi
là W - hàm hoặc

- hàm nếu thỏa mãn các điều kiện sau

(ỉ) ộ là hàm tăng.
(ũ) ệ ( 0 ) = 0.
K í hiệu ộ G J f .
Đỉnh nghĩa 1.2.2. [Hàm Lyapunov]
Cho V : M+ X cể —>• R là một hàm khả vi liên tục thỏa mãn v ( í , 0) = 0, Ví ^ 0. Hàm
V được gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.1) nếu thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Hàm v ( t,x ) là hàm xác định dương theo nghĩa
3a G № : V (t,x) ^ fl(||jt| I), V(/,jc) G M+ X W ' .

(ii) Đạo hàm của V dọc theo nghiệm của hệ (1.1)
V (t,x t (tQ,ộ)) = lim s u p ị [V(t + h ),xt+h((t 0 ĩ <Ị>)) - V ( t , x t (t0, ộ))] ^ 0,
0+
h
với mọi nghiệm x(í, ộ) của hệ ( 1 . 1 ).

Định lý 1.2.1. Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn các điều kiện sau
(ỉ) 3Xị ,Ằ 2 > 0 : Ằ\ ||x ||2 ^ V(t,x) ^ Ằ2 ||jc||2 , V(t,x) G M+ X M",
(ii) 3 Ằ3 > 0 : ỹ (í,jt(í)) ^ —2 Ằ3v(t , x(t )),
với mọi nghiệm x(t) của hệ (Lỉ ).
Khi đó hệ ị 1.1) là ổn định mũ với các chỉ số Ổn định Ằ3 và N =
Ví dụ 1.2.1. Xét sự Ổn định của nghiệm không đối với hệ phi tuyến cỏ trễ thời gian
biến thiên sau
+ x ị ( t - T2 (t ))) + 2x2 { t ) x\ ( t - Tị ( t ) ) x2 (t -

{ Ế
Id

(*)

2

= ~ 3xỉ ^ Xỉ ^ ~ T'

~ T2 ( 0 ) - * 2 0 ) ( 2 + sin*l (t - Ti (/))),

8


trong đó 0 ^ Tj(f) ^ Tj tó các hằng số, ỉ — 1,2.
Lờ/ giải
Xế? hàm Lyapunov xác định bởi
.

(3x2ị + 2x2)
=

2
•

7« có 11*11 = J x 2ị + x 2
ra
+ 2^2

( +

2^2)

2

(3

2

+ 3*2)

2

'

S«}’ ra
||x ||2 ^ v (í,x ) ^ ^ ||x||2 .
Khi đó 3Ằ\ = 1, Ằ2 = I > 0 thỏa mãn
X\ ||x||2 ^ V (í,jc) ^ Ằ2 ||x||2 , v ( í , x ) G M+ X R /2.

Lại có
V(t,x(t)) = - 3 * ĩ ( / ) ( l + x ị ( t - Z ị (/)))

+ 6x\ {t)x2(t)xi (t - Tị (t ))x2{t - T2( 0 )

-

6

Xị (t)x2 (t)x 1 0 - Ti (í))*2(í - T2(í))

—2 * 2 (2 + sinJCi (í — Tị (í)))

^ —3jc^(í) —2*2 (0
= - 2 V (f,x(í)).
5í/}> ra 3 A-3 = 1 > 0 r/ỉởữ mã« ỹ (r,x (/)) ^ —2XìV(t,x{t)) với mọi nghiệm x(t) của
hệ ( 1 . 1 ).
Vậy nghiệm không của hệ (*) thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.2.1. Do đỏ
nghiêm không của (*) là Ổn định mủ.
Đinh lý 1.2.2. [Định lý Lyapunov - Krasovskii]
Giả sử rang F: K+ X rĩo' —> IR'7 biến mối tập M+ X ắê {ấS là tập bị chặn trong %J)
thành tập bị chặn trong K", và u, V, w: M+ —>• M+ là các hàm liên tục, không giảm,

ở đó u(s) và v(s) dương \fs > 0 và u(0 ) = v(0 ) = 0 .
• Nếu tồn tại một hàmkhả vi liên tục V : R X
9

—)• M sao cho


va
V( t , ộ) < - w ( || 0 (O)||)
thì nghiệm không của ( 1 . 1 ) là Ổn định đều.

• Nếu nghiệm không của ( Ĩ . I ) ỉ à Ổn định đều, và w(s) > 0, V<>> 0, thì nghiệm không
của ị 1 . 1 ) là ổn định tiệm cận đều.
• Nếu nghiệm không của (1.1) là Ổn định tiệm cận đều và lim u(s) = 00 thì nghiệm

s—
>oo

không của ( 1 . 1 ) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.
Đinh lý 1.2.3. [Định lí Razumikhin]
G iả s ử f : M + X cé) —'Ỷ

b iế n m ỗ i tậ p M + X ố ổ ( ố ể là tậ p

b ị c h ặ n tr o n g cể ) th à n h

tậ p b ị c h ặ n tr o n g R '2; và u, V, w : M + —>• R + là c á c h à m liê n tụ c k h ô n g g iả m , u ( s )

và

v(s) dương \fs > 0, u(0) = v(0) = 0, và V tăng ngặt.
• Nếu tồn tại hàm khả vi liên tục V: R + X R" —> M sao cho
(ỉ) m( ll^ll) ^ V ( t , x ) ^ v(||*||),v* e R V ^ 0
ịii) v( t , x( t ) ) ^ —w(||jt(í)||), khi v ( t + 0, x(t + 0)) ^ v(t , x(t )), V0 G [—/ỉ,0]
thì nghiệm không của ( 1 . 1 ) là Ổn định đều.
• Hơn nữa, nếu w(s) > 0, Vs > 0 và tồn tại một hàm p(s) liên tục, đơn điệu không
giảm, p(s) > s với mọi s > 0 sao cho
(iii) v ( t , x ( t ) ) ^ —w(||jt(í)||), khi v ( t + 0 ,x ( / + 0 )) ^ pV( t , x( t ) ) , V0 G [—/z,0]

thì nghiệm không của ị 1 . 1 ) là Ổn định tiệm cận đều.
• Nếu giả thiết thêm lim u(s) — oo thì nghiệm không của (1.1) là Ổn định tiệm cận

toàn cuc đều.

1.3.

Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển có trễ

Xét hệ điều khiển có trễ trên trạng thái
x(t) = F( t , x t , u( t ) ) , t ^ 0,

(1.2)

x(t) = ệ ( t ) , t G [-/2,0],

trong đó x(t) G R" là vectơ trạng thái, u(t) G

là vectơ điều khiển; h ^ 0 là hằng

s ố tr ễ , ộ G c ( [ —/z, 0 ], IR” ) là h à m b a n đ ầ u v à F : M + X

cho trước thỏa mãn điều kiện, F(t, 0,0) = 0, Ví ^ 0.

10

X Mm —> ]Rn là h à m v e c tơ


Định nghĩa 1.3.1. Hệ điều khiển ị 1.2) gọi là ẩn định hóa được nếu tồn tại hàm
g : M'2 —»• W fĩ sao cho hệ phương trình vi phân đổng
x(t) = F( t , xt , g(x(t )))ì

(1.3)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược dạng không
nhớ.
Định nghĩa 1.3.2. Cho số a > 0. Hệ điều khiển (1.2) gọi là ot - Ổn định hóa được
dạng mũ nếu tồn tại hàm g : M" —> Mm sao cho hệ đóng (1.2) là a - Ổn định, tức là,

tồn tại hằng S Ố N ^ 1 sao cho mọi n g h iệ m x(tị), ộ ) của h ệ đổng ( 1. 2 ) thỏa đánh giá
W/o,0 ) ( O I K N | | 0 l k a{t

1.4.

Một số bất đẳng thức

Bổ đề 1.4.1. [Bất đẳng thức Cauchy]
Giả sử s £ M'ỈX,Ỉ là ma trận đối xứng xấc định dương. Khi đó với mọi ma trận Q £
X, y G W ĨXn, X, ỵ G M ", ta c ó

2(Qỵ,x) - (Sy,y) ^ ( QS~i QTx, x).
Đặc biệt, với mọi X, y gM", ta có
2xTỵ ^ XT Sx + y Ts ~ 1y.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử M G w ixn là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó với mọi
số V > 0 và với mọi hàm khả tích w : [0, v] —> R", ta có

Bổ đề 1.4.3. [B ổ đ ề Schur]
Giả sử X 11 = XỊị, X 12, X 2 2 — XỊ 2 là các ma trận với số chiều thích hợp. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương

(ii) X 2 2 >

0

, Xu + x ì2 x ; 2 ]x Ị 2 < 0.


Bổ đề 1.4.4. Giả sử A, E, H là các ma trận bất kì với số chiều thích hợp và F thỏa
mãn điều kiện F TF ^ /. Khỉ đó, với mọi £ > 0 và ma trận p đối xứng xác định
dương, ta có
(i) EFH + H TF TE T ^ e E E T + £ - 1H TH.
(ii) Nếu £l - H P H T > 0 thì
(A + EFH)P(A + E F H ) T ^ APAT + e E E T + APHT (eĩ - H P H T) ~ ÌHPAT.
(iii) Nếu p —e E E T > 0 thì
(A + E F H ) TP - 1 (A + EFE) < AT (p - e E E T) - ]A + £ - 1H TH.
Bổ đề 1.4.5. [Nguyên lí so sánh]
G iả sử g £ C[M+,R] và rịt) là nghiệm cực đại của phương trình vi phân
ủ ( t ) = g ( t , u ( t ) ) , u ( t 0 ) = Uq

xác định trên [t(),°°). Giả sử m £ C[M+ ,M+ ] thỏa mãn
D +m(t) < g( t , m( t ) ) ft ^ t0.
Khi đó, nếu m(to) ^ Uo thì m(t) ^ r(t),Vt ^ to.
Bổ đề 1.4.6. [Bất đẳng thức nguyên]
Giả sử g £ С [M ị, Ш], gịt, .) là hàm đơn điệu không giảm và rịt) là nghiệm cực đại
của phương trình
ủ{t) = g ( t , u { t ) ) , u ( t 0) = Uo

xác định trên [to,oo).Giả sử m £ с [ м + ,м +] thỏa mãn
m(t) ^ m(to) + / g(s, m(s))ds, t ^ í().
JtQ
Khi đó, nếu m(to) ^ U() thì m( t ) ^ r(í),v? ^ ÍQ.
Bổ đề 1.4.7. [Bất đẳng thức Park]

Giả sử rằng a(ot) £

và b {à ) £ R"ữ, Va £ í ì . Khi đó, cho X £ R"ữX/ỉfl, với X > 0

và ma trận M G ШПаХПа, ta có
- 2

ũ.

a ( a ) Tb ( a ) d a <
~\ T

Г

12


Bổ đề 1.4.8. [Bất đẳng thức Moon]
Giả sử rằng a(cc) E R na, b (à ) £

và v Y ( à ) £ R naXhb với a e £1 /f/z/

vđ/ t ó

Ả:ì X E R"flX"ữ, X > 0, và ma trận M G MMflXnữ, to cớ
—2 / fl(a ) v Y ( a ) b { a ) d a ^
•'q.
T

a(a)

a(à)

'n b \ a ) _

ở đó

X

Y

YT

z

da

b(a)

> 0.

Bổ đề 1.4.9. [Bất đẳng thức Jensen]
Cho M G Mmxw v^/ M > 0 là ma trận hằng số bất kì, b > a vô hướng, hàm vector
Cỡ : [ a, b] —»•

Sứơ c h o tíc h p h â n s a u đ â y đ ư ợ c đ ịn h n g h ĩa tố t th ì

(b —a) í

Ja

co{p)TM ( ứ { P ) d p ^ [ í co{P)dP]T M[ í
Ja

13

Ja

Cở(P)dP].


Chương 2

Tiêu chuẩn ổn định mũ của hệ
điêu khỉên có trê
V
1 • A

2.1.

o
A

l l *

/

^
A

i

Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khiển với trễ
hằng số

Chúng ta xét hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính sau
x(t) = A x ( t ) + Bx(t —t ) ,/ > 0,
trong đó x{t) £ R" là vectơ trạng thái của hệ; A, B £

(2.1)
là các ma trận hằng số;

T > 0 kí hiệu trễ thời gian.
Bây giờ chúng ta xét các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận của hệ có trễ hằng số.
Định lý 2.1.1. Xét hệ trễ thời gian tuyến tính (2. ỉ), hệ là Ổn định tiệm cận nếu tồn
tại các ma trận đối xứng và xác định dương p > 0, Q > 0 sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau thỏa mãn

s=

(A + B) TP + P(A + B) + TQ

t(A + B)TPB

XBTP(A + B)

-T Q

< 0.

(2.2)

Chứng minh. Giả sử rằng (A +B) là một ma trận ổn định, và ma trận s không có giá
trị riêng trên trục ảo. Xét hệ trễ thời gian (2.1), sử dụng hàm Lyapunov -Krasovskii

14


như sau
V{x,) = ữ ( x , ) P L ( x , ) +

/•0 Ị-l
/ xT( p) Qx( p) dpds ,
J -X Jt+S

(2.3)

trong đó L(xt) —x(t) + B fl _Tx(s)ds.
Khi đó hệ trên là ổn định tiệm cận nếu v ( x t) < 0.
Đạo hàm theo thời gian của phương trình (2.3) dọc theo quỹ đạo của phương trình
( 2 . 1 ) ta có
v ( x t ) = LT (xt )PL(xt) + LT (xt )PL(xt ) + X T (ỉ)ĩQx(t) — I

XT (s)Qx(s)ds

Jt-T

x( 5’)dr.s']

— [(A + B)x(t)]Tp[x(t) + B í

J t-x

+ [x(t) + B I x(s)ds]TP(A +B) x( t )
Jt-X
+ XT ( t ) zQx( t ) — I

Jt -T

XT ( s) Qx( s) ds

= xT(t)[(A + B)TP + P(A + B)]x(t) + 2xT(t)(A + B) TPB f

x(s)ds

J t-X

+ XT ( t ) zQx( t ) — í

(2.4)

XT (s)Qx(s)ds.

Sử dụng bất đẳng thức
2ab ^ a TQ ~ Ỵa + b TQb,

(2.5)

ta có
2xT (t)(A + B)TPB [ x(s)ds
Jt-T

= 2 /

XT (t)(A + B ) TPBx(s) ds

J t-X

< r

xT (t)(A + B) TP B Q - xBTP{A + B ) x ( t ) d s + I '

XT { s)Qx(s)ds

Jị- x

< xT(t)'t{A + B) TP B Q - ' B TP{A + B)x(t) + f

xT(s)Qx(s)ds.

(2.6)

J t —T

Do đó, sử dụng phương trình (2.6) ta được
(2.7)

15


trong đó

s — (A + B)1 p + P(A + 5 ) + t(A + B ) 1 P B Q - 1BTP(A + 5 ) + TỘ.
Cuối cùng, sử dụng Bổ đề Schur ta có V (xt ) < 0.
Điều kiện (2.2) của Định lý 2.1.1 là thỏa mãn thì v ( x t ) < 0. Hơn nữa, nếu v ( x t) < 0
thì x(r) —> 0, t —>• oo, nếu và chỉ nếu (2.2) đúng. Vì vậy, hệ (2.1) là ổn định tiệm
cân.

□

Sử dụng phép biến đổi

( 2 .8)

z(t) = eatx( t ),
trong đó a > 0 là bậc ổn định.
Khi đó hệ (2.1) trở thành
z{t) — (A + al )z ( t ) + B e axz{t -

t ).

(2.9)

Hệ (2.1) là ổn định mũ với bậc ổn định a.
Định lý 2.1.2. Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc Ổn định a, giả sử rằng trễ thời gian
T > 0. Khi đó hệ (2.9) là Ổn định mũ với bậc Ổn đ ịn h ot nếu tồn tại các ma trận đối
jcỉẨĩĩ£ỷ Vữ JCŨC đinh dương p

0 , 0 > 0 sao cho bất đắng thức sau thỏa mãn
Ẵ t P + PÃ + tQ
Tea ĩ B T PÃ

TeaTÃ T PB
-T

Q

< 0,

(2 . 10)

trong đó A = A + a i + Beax.
Chứng minh. Xét hệ trễ thời gian (2.9) với bậc ổn định a . Bằng cách sử dụng hàm
Lyapunov - Krasovskii
V ( z , ) = L T(zl )PL(zl ) +

Ị'

[ ' zT( p) Qz ( p) dpds ,

(2.11)

trong đó L(zt ) = z( t ) + Jl_TBeaTz(s)ds.
Đạo hàm theo thời gian của phương trình (2.11) dọc theo quỹ đạo của nghiệm (2.9)

16


là

V(zt) = LT(zt)PL(zt) + LT(zt ) P L ( z t ) + z T( t ) i ; Qz ( t ) - I ZT(s)Qz(s)
J t-X

— [Äz{t)]Tp[z(t) +

f

Beaxz{s)ds]

Í —T

+ [x(t )+

f

Beaxz{s)ds\TPẴz(t) + z T{t)zQz{t) -

Ị —X

Ị

ZT(s)Qz(s)di

Jf-X

= ZT(t)[ÃTP + PÃ + TQ}zịt) + 2zT(t)ÃTp I

Beazz(s)ds

J t-x

(2 . 12)

ZT (s)Qz(s)ds.
Ĩ

Sử dụng bất đẳng thức 2 ab < a TQ - ' a + b TQb chúng ta có
2zT{t)ÄTP f

BeaTz{s)ds ^ ZT {t)Te 2 aTÃ TP B Q - ' B TPÃz{t)

J t-x

(2.13)

+ I ZT (s)Qz(s)ds.
J t-T
Thế phương trình (2.13) vào phương trình (2.12) ta được

(2.14)

V(zt) ^ z T (t)Sị z(t ),

trong đó Sị = Ãr P + Pà + Te 2 axà TP B Q - ' B TPà + TQ.
Cuối cùng sử dụng Bổ đề Schur và phương trình (2.10) ta có

) < 0.

Như vậy v(zt ) < 0 nếu 5i < 0.

□

Vì vậy hệ (2.9) là ổn định mũ với bậc ổn định a.

Ví dụ 2.1.1. Xét cấc hệ trễ thời gian là Ổn định mũ với bậc Ổn định a như sau

1

1

tr o n g đ ỏ

A=

1

1
to 1

t{t) = {A + aỉ )z ( t ) + B e aTz{t - t ) ,

0

>^1 —

-0.5

0.1

0.3

0

(2.15)

g ia n X đ ê d u y tr ì s ự Ổn đ ịn h c ủ a h ệ.

Áp dụng điều kiện (2.10) của Định lý 2.1.2 chúng ta cho bậc của ổn định mũ
a = 0.1. Bằng cách sử dụng gói công cụ bất đẳng thức ma trận tuyến tính LMI
17


trong MATLAB (với sự chính xác tới 0.01), các nghiệm của LMI trong phương
trình (2 . 10 ) được xác định bởi
p =

2.4260

1.1494”*

1.1494

2.0094

2.2.

và T < 0.758.

Tiêu chuẩn ổn định mũ cho hệ điều khỉển vối trễ
bỉến thỉên

Xét hệ tuyến tính không autonomous với trễ biến thiên thời gian có dạng sau
x(t) = A(t)x(t) + A\ (t)x(t —h(t)),t ^ 0,
x(t) = ệ ( t ) , t £ [—h, 0],

(2.16)

trong đó h ^ 0 ,x(t) G M”,A (í),A i (t) e M" là các hàm ma trận cho trước, liên
tục và bị chặn với t ^ 0, ệ(t) G c([—
h,Ó\,Rn) là hàm ban đầu với chuẩn II011 =
s u p s e ị_ h

0Ị \\ộ(s) ||. Hàm trễ thời gian h ( t ) liên tục và thỏa mãn: 0 ^

h(t)

^ h,\ft ^ 0.

Với các số dương cho trước Ằ,/z,/3,£, ta đặt

pp(t) = p (t) + P I’ P = sụp b ( 0 ll>
ígR+
a = sup ||A(í)Ẩr (í)||, a\ = sup \\A \( í) ẩ [ ( í) ||,
teù +
teù+
ịấ(A)

= sup ị i (A(t)), Ă(t ) = A ( í ) + A i( í) ,

i é = Ă(t) + 2h p A , { t ) A \ 0 ) + 2hẰ~ 1/,
Ỵ — 2j3ju(Ã) + 2hị52 a\ + 2 /ỉẰ_l + £.
Đỉnh lý 2.2.1. Nghiệm không của hệ (2.16) là Ổn định mũ nếu tồn tại các số dương
trong đó Ả '/3 ^ ma.x(a,a\), và một hàm số ma trận p G BM+ (0,°o)
c/zơ phương trình vi phân Rỉccatỉ sau có nghĩa

P(t) + ứ T

+ P(t)sS(t) + 2/zP(í)A, (í)A [ (t)P(t) + y/ = 0,

Hơn thế nữa, nghiệm X(t, ệ) thỏa mãn điều kiện

18

(RDE)


Chứng minh. Áp dụng công thức Newton - Leibniz
x{t) —x(t —h(t)) — [

Л-М0

x(s)ds,

hệ (2.16) trở thành
i ( r ) = [A(t) + Ẩ 1 (r)]jc(r) - A ị ( t ) Ị

A( s ) x ( s ) ds

Jt—h{t)

—A \ { t ) f
A\(s)x(s —h(s))ds,
J t —h{t)

xịt) =

e

[—2A,0].

(2.17)

Chú ý rằng hệ (2.17) yêu cầu hàm ban đầu 1ịf(t) trên [—2/ỉ,0] thỏa mãn
¥ (s) =

ộ {s +

A (0 )), - h

-

Ä(0 ) <

Ä <

- A ( 0 ),

\Ị/(s) = x ( t + s ) f—h(0) ^ 51^ 0,
A ( f ) = A ( 0 ) ,A i( f ) = A ,( 0 ) ,
B ( t ) = B ( 0 ) , t e [ - Ä , 0]

và hệ (2.17) là một trường hợp đặc biệt của hệ (2.16) nên nó có các tính chất ổn định
giống như hệ (2.16). Do đó để đơn giản chúng ta sẽ xét sự ổn định của hệ (2.17).
Xét hàm Lyapunov - Krasovskii sau
V (t,x) = (р(1)х,х) + ß 11*112 ,

trong đó p(t) là nghiệm của (RDE).
Dễ thấy
ß \ịx\\2 ^ v( t , x ) ^ (p + ß ) |M|2

G M+ ,x G Rn.

Đạo hàm theo thòi gian của V(t, x) dọc theo quỹ đạo của hệ (2.17) ta được
V{t,x(t)) = (( P + A - TPi i + P ßÄ)x{t),x(t))
t ) A x(t) jL' ^, A(s)x(s)ds,
A( s ) x( s ) ds ,x(t
x( t)J
)\
- 2 {{ pP ß ((t)At(t)
- 2 ị p p (t)A\(t)

Ị

Aị(s)x(s - h( s)) ds, x(t )ỳ

19

(2.18)


Chọn Ằ > 0 sao cho
Xa ^ P, Ằa\ < p ,tac
Ằ (A{t)ATự)x,x) < (Pp{t)x,x),
Ằ (Ai ( t ) Á \ (t)x, x ) ^ ( / > 0 , Ví ^ 0,JC e M".

VI vậy áp dụng bất đẳng thức Cauchy với Q — /, ta có

- 2
=

{t)A] (t) j'

J

A (s )x (s )d s ,x (ỉộ

—2 ^Pp(t)A](t)A(s)x(s)ds,x(t)^ds

= J'

-

2

(A{s)x{s),AT
] (t)Pp{t)x(t))ds

J t —h(t)

+ /
(y4(5,)A 7 (5')x(5,),x(5'))i/5'
•'/-MO
< /ỉ

ƠMi ƠM Ĩ (0^ j8(0*(0> *(0)

+ Ằ_I /

(Pfl (5)^(5), jc(5))rfs
A -/ỉ (0
(»P 0 (/)* (/),* (/))

^
/* °

+ Ằ_I /

(p ^ (í+ ^ )x (í+ 5),x(? + 5))<Ì5.

J -h(t)

Tương tự,
- 2 ^/>0 (/)Ấ 1 (/) ^

A) 0 ) x ( s - h ( s ) ) d s , x ( t ) ỳ

^ /i (/>0 (í)Ai ( t ) A\ ( t ) Pp ( t ) x( t ) , x( t ) )

/■°
+ Ằ_I /

(P«(/ + S' —/z(í+ 5,)x(5' —/1(5) ) ,x (í —h(s)))ds.

Vì (/^ (r )* ^ ),* ^ )) = y (í,x (r )), và
giả sử rằng với bất kì số thực q > 1 sao cho
v ( t + s,Jt(í + s ) ) < qV{t,x{t)),'is G [—2/1,0],Ví ^ 0 .

20

Sử dụng Định lý ổn định Razumikhin ta có
V(t,x(!)) < { ( P + A - TPß + P ßÄ)x(t),x(t)}
+ 2h ( PßAtA [ Pßx(t),x(t)) + 2hqẢ~' (Pß (t)x(t),x{t))

({P + A - TPß + PßÄ + 2h P p A iÁ ỊPß

+ 2hqX ~1l)x(t),x{t ) ) . (2.19)

Cho q —» 1+ thì (2.19) trở thành

V(t,x{t))

< {(Р + А~тpß + PßÄ + 2ИРрА,А]PịỊ + 2hX~'I)x(t),x(t)} ■

Vì vậy,
V{ t , x( t ) ) { { P + á ể TP + P £ / + 2hPA]AịP + Ỵl)x{t),x{t)).
Do đó, p(t) là nghiệm của (RDE), ta có
ý ( M W X - e | W O H 2 ,VfỉĩO,

(2.20)

Theo Định lý Razumikhin ta có hệ (2.17) là ổn định tiệm cận. Đ ể tìm hệ số ổn định
mũ của nghiệm ta sử dụng bất đẳng thức (2.18) và V (t,x(t)) ^ 0, với t > 0 ta có
ß ||*(r,</>)|| ^ v ( t , x ( t ) ) ^ у ( 0 , х ( 0 ) ) е ~ ^ ‘.
Do đó,

|0||?“55Т5)',У/ >0.
Định lý được hoàn toàn chứng minh.

□

Chú ý 2.2.1. Từ chứng minh của Định lý 2.2. ì, điều kiện (RDE) có thê được cho
bởi bất đắng thức ma trận sau

P(t)

+ s j J (t)P{t) + P{t)íể(t) + 2hP(t)A ,(/)л[ (/)/>(/) + y/ < 0.

Chúng ta có th ể áp dụng kết quả này cho sự Ổn định mũ của các hệ tuyến tính không
chắc chắn với trễ thời gian biến thiên
x(t ) = (A + H A ( t ) E ) x ( t ) + (Aị + H A ị { t ) E ị ) x { t - h ( t ) ) , t ^ 0 ,

x(t) = ệ ( t ) , t e [ - h , 0],

( 2 .2 1 )

trong đó 0 ^ h(t) ^ h; A, A\ , H, E, E\ là cấc ma trận hằng số với số chiều phù hợp;
A(í), Aị (í) là các ma trận không chắc chắn biến thời gian biến thiên thỏa mãn
Ar ( í ) A ( í ) ^ / , A [ ( 0 A . ( 0 ^ / -

21


Chúng ta có hệ quả sau.
Hê

quả 2.2.1. Hệ (2.21 ) là Ổn định mũ nếu tồn tại ma trận X xác định dương và

các số dương ß , я , £ị, / = 1 , 2 ,3 ,4 sao cho
Ằ_ l /3 ^ max (a,a 1), £4 /

E\ EỊ > 0 và bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa

—

mãn
2y/hA\Ej

£1

fX

XET

fX

-fl

0

0

0

EX

0

—C2Ỉ

0

0

E\X

0

0

-£ 3 /

0

ý lự h E \Á \

0

0

0

/

* i

\

trong đó
à =A+A \;

7= 2/3jU(Ã) + 4hß 2a\ + 2hX- 1 +£1;
ũ. = X (Ã + 2 h X - 1/) 'T + (Ã + 2 h X - 1l ) X + (e2 + £3 + 4 heA) H H T + 4ЙЛ1A [ .
Hơn thế nữa, nghiệm x(í, 0) С£Ш hệ (2.21 ) thỏa mãn

||* (f, 0 )|| ^ N e ~ ơt \\(Ị)\\,t ^ 0 ,

f rw ií

ДГ=

ơ = 2( Я- ^ ) +
Chứng minh. Đặt A (í) = Л + HA( t )E, A \ (t ) = Ai + # A ị£ i và p = X -1 khi đó
chúng ta có
0 ) p + P s ể it) = P(Ã + 2/zẰ"1/) + (Ä + 2hX~ 1/ ) r p
+ PH(A(t)E + A, (í)£ i ) + (A(í)E + Ai £1 )ГЯ 7 Р
+ 2hß( PAi {t)Á\ (ỉ) + д 1 [t)A](t)P).

(2.23)

Áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có
PHA(t)E + E r Ar (t ) HTP ^ £2 P H Ht P + £ - lE TE;
РЯД, 0 )£ ] + EjrA [ 0 ) t f 7> ^ езРЯ Я ^Р + е “
2/z/3(A, (r)A[ (OP + PAi (r)A[ (/)) ^ 2hPA- i (t ) A] (t)P + 2 h ß 1 A ] [t)A] (t)
^ 2hPAx( t ) A] ( t ) p + 2 h ß 2 CL\I.

22

Do đó, từ (2.23) ta có
ỉtểT (t)P + / W ( 0 ^ P(Ầ + 2hX- , I) + (+ 2 hẰ- , I)TP
+ £2p h h t p + £3 P H H TP + £ - ' e t e + £ - ] e Ị Eị

+ 2hPAI (í)A [ (í)/5+ 2 h ß 2a 1/.

(2.24)

Lại áp dụng Bổ đề 1.4.4 ta có
A ,(f)A [(r) ^ A iA [ + A xE x
t (eAI - E \ E ] y ' KÌA] + £aH H t .
Do đó
■й/7- (í)/5+ / W ( í ) + 2hPA i ( t ) Ã [ ( t ) P + y I
< />(Ấ + 2АЯ-1/) + (+2A A -I/ ) r /> + 4hPA, A] p
+

(£2

+

£3

+ 4he 4 ) P H H T + e ~ 1E TE + £ - ' e Ị Eị

+ 4 hPA ị E Ị (e4ỉ - E ị E Ị ) - ' E ị A Ị p + Ỵỉ.

(2.25)

Nhân cả 2 vế của (2.25) với X và sử dụng Bổ đề Schur ta có
s ể T (t)P + Pỉ ể ( t ) + 2hPAx(r)A [(r)p + y/ < 0.
Theo Định lý 2.2.1 và Chú ý 2.2.1, hệ (2.21) là ổn định mũ.
Hệ quả đãđược chứng minh.

□

V í d ụ 2.2.1. Xét hệ tuyến tính không chắc chắn (2.21), trong đó

,, .

" ■

Ị

í 0.03 sin/,

t e l = [ 2 k j ũ , ( 2 k + 1 )ttU = 0, 1,2, .. .

ĩ

, Ẽ « * \!

'" (i -,')•*-(?
Dễ thấy hệ không có trễ nên
x(t) = A x(t),
là ổn định và hàm trễ h(t) không khả vi.
Tuy nhiên, cho я = 0.25, ß — 4, £] — 0.1,

£2

= £3 = 0.5, £ 4 = 1.04 thì tất cả các điều

kiện trong Hệ quả 2.2.1 và LMI (2.22) là thỏa mãn với
23


_ / 0.8355
~~ 1^-0.0977

-0 .0 9 7 7 \
0.9549 ) '

Theo Hệ quả 2.2 , hệ là ổn định mũ và nghiệm x( t , ộ) thỏa mãn
||x (í,0 )|| sỉ 1.149ể-0 0095' II0II ,f ^ 0.

24