Một số bài toán điều khiển phương trình vi phân mờ (tóm tắt)

TỔNG QUAN VẤN ĐỀ
Như chúng ta đã biết, trong lý thuyết tối ưu và hệ thống tồn tại 03 bài
toán lớn, đó là: bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán quy hoạch phi tuyến
và bài toán quy hoạch động. Với bài toán quy hoạch động của hệ thống có
những vấn đề cần giải quyết như sau:
• Một số tính chất định tính của nghiệm (tồn tại và duy nhất, ổn định, ...);
• Bài toán điều khiển được;
• Bài toán điều khiển ngược;
• Bài toán điều khiển tối ưu.
Điều khiển hệ thống đã trở thành một Lý thuyết toán học vào đầu những
năm 60 của thế kỷ 20, bắt đầu là sự chú ý của giới khoa học trong công nghệ
(Wilde và Kokotovic [?]). Nhiều bài toán đã được mô hình hóa và có những
kết quả nghiên cứu chuyên sâu. Theo xu hướng tất yếu, lý thuyết điều khiển
hệ thống đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu, hoàn thiện và có
những đóng góp rất lớn để lý thuyết này ngày càng hoàn thiện, chặt chẽ và có
ý nghĩa thực tiễn.
Trong những năm gần đây, lý thuyết điều khiển hệ thống được các nhà
toán học xây dựng cho các đối tượng rất tổng quát và đa dạng như: giải một
số bài toán kỹ thuật, bài toán môi trường với đối tượng cần nghiên cứu là một
vệt dầu loang, một khối khí độc di chuyển trong không gian. Động học chất
điểm được thay bởi động học cho một tập các quá trình. Mô hình toán học và
sự mô phỏng được sử dụng cho nghiệm bó của các hệ động lực. Vấn đề này
thường được các nhà toán học nghiên cứu trên các đối tượng giá trị tập, giá
trị mờ, v.v..
Đề tài luận án này liên quan tới khảo sát một số bài toán điều khiển phương
trình vi phân mờ - đối tượng mới của mô hình hệ động lực mờ. Lý thuyết tập
mờ (fuzzy set theory) được Zadeh giới thiệu đầu tiên vào năm 1965 trong bài
1


báo [?] là một sự mở rộng của lý thuyết tập hợp kinh điển, nhằm mục đích

giải quyết những hạn chế của logic đơn trị trong điều khiển học. Sau khi có
nhiều ứng dụng có ý nghĩa trong thực tiễn, lý thuyết mờ đã được cộng đồng
khoa học thế giới ghi nhận. Theo xu hướng phát triển tất yếu, lý thuyết giải
tích mờ (fuzzy analysis) đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu,
xây dựng và hoàn thiện các phép toán cần thiết để ngày càng chặt chẽ về lý
thuyết và hiệu quả về ứng dụng.
Tóm tắt luận án gồm: Tổng quan vấn đề, Nội dung của luận án (3 chương),
Kết luận, Danh mục công trình của tác giả và Tài liệu tham khảo.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Trình bày các kiến thức cần sử dụng trong
luận án: bao gồm các khái niệm về tập, tập mờ và số mờ. Hơn nữa, những
kiến thức cơ bản về không gian mêtric Hausdorff, giải tích tập, không gian
mêtric mờ, giải tích mờ, không gian vectơ được trình bày đầy đủ và có hệ
thống nhằm sử dụng cho các kết quả chính của luận án.
Chương 2. Bài toán nghiệm bó mờ. Chương thứ hai trình bày các khái niệm
về nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân tập dạng
bó, về điều khiển bó mờ và mờ có chậm trong không gian metric mờ Ed . Nội
dung chính của chương này đã được công bố trong [Tri1], [Tri2].
Chương 3. Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ. Chúng tôi trình bày một số kết
quả về đánh giá tính chất định tính và phương pháp giải cho một số lớp bài
toán nghiệm bó mờ; Nghiên cứu tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bài
toán điều khiển nghiệm bó mờ dưới sự tham gia của điều khiển mờ. Nội dung
chính của chương này đã được công bố trong một bản thảo gửi đăng [Tri3].
Các kết quả chính của luận án được viết dựa trên kết quả của 2 bài báo đã
công bố [Tri1], [Tri2] của tác giả (chung với người hướng dẫn khoa học và các
tác giả khác) và 1 bài đã gửi tạp chí. Các kết quả này đã được tác giả trình bày
tại các buổi seminar nhóm phương trình vi phân của người hướng dẫn khoa
học, tại Hội nghị toán học phối hợp Việt - Pháp [Tri4] và tại Đại hội toán học
Việt Nam lần thứ VIII [Tri5].
2

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Không gian mêtric Hausdorff
Họ các tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd

Cho A, B ⊂ Rd và λ ∈ R, phép cộng Minkowski và phép nhân vô hướng
(xem [?]) được định nghĩa như sau:
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}; λA = {λa : a ∈ A}.
Ta ký hiệu KCC (Rd ) là họ các tập con lồi, compact và khác rỗng của Rd .
Định nghĩa 1.1.1 ([?]). Cho A, B ∈ KCC (Rd ). Nếu tồn tại C ∈ KCC (Rd ) sao cho
A = B + C thì C được gọi là hiệu Hukuhara giữa A và B. Ta ký hiệu C = A B.
Định nghĩa 1.1.2 ([?]). Cho A, B là hai tập lồi, compact và khác rỗng của Rd .
Khoảng cách Hausdorff từ B đến A được xác định bởi:
dH (B, A) = sup inf ||a − b||
b∈B a∈A

và khoảng cách Hausdorff từ A đến B được xác định bởi:
dH (A, B) = sup inf ||a − b||.
a∈A b∈B

Định nghĩa 1.1.3 ([?]). Cho A, B ∈ KCC (Rd ). Khoảng cách Hausdorff giữa hai
tập A, B được xác định bởi:
D[A, B] = max{dH (B, A), dH (A, B)}.
Định lý 1.1.1 ([?]). (KCC (Rd ), D) là không gian mêtric đầy đủ, tách được và compact
địa phương.

3


1.1.2

Một số kiến thức cơ bản về giải tích tập

Cho [t0 , T] ⊆ R+ . Xét ánh xạ F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ). Hàm tập (giá trị
tập) được hiểu như là một ánh xạ đa trị F : [t0 , T] → KCC (Rd ). Khi đó, F(t) ∈
KCC (Rd ), ∀t ∈ [t0 , T].
Định nghĩa 1.1.4 ([?]). Hàm F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) được gọi là liên tục tại
t ∈ (t0 , T) nếu với mọi > 0 tồn tại δ = δ( , t) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0 , T):
|t − s| < δ ta có D[F(t), F(s)] < .
Hơn nữa, hàm F : [t0 , T] → KCC (Rd ) được gọi là liên tục trên [t0 , T] nếu nó
liên tục tại mọi điểm trên [t0 , T].
Ta kí hiệu B([t0 , T]), B(KCC (Rd )) lần lượt là σ− đại số của tập con Borel của
[t0 , T] và (KCC (Rd ), D).
Định nghĩa 1.1.5 ([?]). Hàm F đi từ [t0 , T] vào KCC (Rd ) được gọi là đo được
nếu
{t ∈ [t0 , T] : F(t) ∈ B} ∈ B([t0 , T]) với mọi B ∈ B(KCC (Rd )).
Định nghĩa 1.1.6 (Đạo hàm Hukuhara của hàm tập, [?]). Cho hàm F : [t0 , T] →
KCC (Rd ). Ta nói hàm F(t) khả vi Hukuhara tại điểm t ∈ [t0 , T] nếu tồn tại
DH F(t) ∈ KCC (Rd ) sao cho với mọi h > 0 đủ nhỏ, các hiệu Hukuhara F(t + h)
F(t), F(t) F(t − h) tồn tại, các giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:
lim+

h→0

F(t + h)
h

F(t)

= lim+

F(t)

h→0

F(t − h)
= DH F(t).
h

Định nghĩa 1.1.7 (Đạo hàm Hukuhara tổng quát của hàm tập, [?]). Cho F :
(t0 , T) → KCC (Rd ). Ta nói F có đạo hàm Hukuhara tổng quát tại t ∈ (t0 , T) nếu
g
tồn tại DH F(t) ∈ KCC (Rd ) sao cho
(i) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t + h)
lim+

h→0

F(t + h)
h

F(t)

= lim+

F(t)

h→0

hoặc
(ii) với h > 0 đủ nhỏ, hiệu Hukuhara F(t)
lim+

h→0

F(t)

F(t), F(t)

F(t − h) tồn tại và

F(t − h)
g
= DH F(t)
h
F(t + h), F(t − h)

F(t) tồn tại và

F(t + h)
F(t − h) F(t)
g
= lim+
= DH F(t).
h→0
−h

−h

1.2

Không gian mêtric mờ Ed

1.2.1

Tập mờ - Số mờ

Định nghĩa 1.2.1 (Tập mờ - số mờ, [?]). Ký hiệu Ed = {ω : Rd → [0, 1] sao cho
ω thỏa các tính chất (i)-(iv) sau} :
4


(i) ω là chuẩn, nghĩa là tồn tại z0 ∈ Rd sao cho ω(z0 ) = 1;
(ii) ω là mờ lồi, nghĩa là
ω(λz1 + (1 − λ)z2 ) ≥ min{ω(z1 ), ω(z2 )}, ∀λ ∈ [0, 1], z1 , z2 ∈ Rd ;
(iii) ω nửa liên tục trên;
(iv) cl{z ∈ Rd : ω(z) > 0} là tập compact.
Khi đó, Ed được gọi là họ các tập mờ (không gian các tập mờ trong Rd ) và
E1 được gọi là họ các số mờ (không gian các số mờ trong R).
Định nghĩa 1.2.2 ([?]). Cho ω ∈ Ed . Với α ∈ (0, 1], ta ký hiệu
[ω]α = {u ∈ Rd | ω(u) ≥ α}
và

[ω]0 = cl{u ∈ Rd | ω(u) > 0}.

Khi đó, [ω]α được gọi là là nhát cắt−α của tập mờ ω (hay còn được gọi là
tập mức α của tập mờ ω), trong đó [ω]1 là lõi và [ω]0 là giá của tập mờ ω.

Định nghĩa 1.2.3 ([?]). Cho ω1 , ω2 ∈ Ed . Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập
mờ ω1 và ω1 được xác định như sau:
D0 [ω1 , ω2 ] = sup D [ω1 ]α , [ω2 ]α ,
α∈[0,1]

với D là khoảng cách Hausdorff trong KCC (Rd ).
Định nghĩa 1.2.4 ([?]). Cho hai tập mờ ω1 , ω2 ∈ Ed . Nếu tồn tại ω3 ∈ Ed sao
cho ω1 = ω2 + ω3 thì ω3 được gọi là hiệu Hukuhara của ω1 , ω2 . Ta ký hiệu
ω3 = ω1 ω2 .
Định nghĩa 1.2.5 ([?]). Hiệu Hukuhara tổng quát giữa hai tập mờ u1 , u2 ∈ Ed
được định nghĩa như sau
u1

gH

(i) u1 = u2 + u3 ,
u2 = u3 ⇔ hoặc (ii) u
2 = u1 + (−1)u3 .

Tiếp theo, để thực hiện sự mở rộng các tập mờ lên không gian vectơ, ở
phần sau chúng tôi trình bày một số khái niệm về không gian vectơ của các
tập mờ (số mờ). Với bất kỳ ωi ∈ E1 , i = 1, 2, . . . , d (d > 1) ta gọi lớp số mờ một
chiều được sắp thứ tự ω1 , ω2 , . . . , ωd (tức là, tích Descartes của những số mờ
một chiều ω1 , ω2 , . . . , ωd ) thành một vectơ d chiều, ký hiệu bởi (ω1 , ω2 , . . . , ωd ).
Ta gọi tập tất cả vector số mờ d chiều (tức là tích Descartes E1 × E1 × · · · × E1 )
là không gian vector mờ d chiều, kí hiệu bởi E .
d

5

d lần


Định nghĩa 1.2.6 ([?]). Nếu ω ∈ Ed (không gian tập mờ trong Rd ) và tập mức
[ω]α là một khối hộp, tức là, [ω]α có thể được biểu diễn bởi

d

[ωi (α), ωi (α)],

i=1

hay

[ω1 (α), ω1 (α)] × [ω2 (α), ω2 (α)] × · · · × [ωd (α), ωd (α)], ∀α ∈ [0, 1],
trong đó ωi (α), ωi (α) ∈ R với ωi (α) ≤ ωi (α) với mọi α ∈ (0, 1], i = 1, 2, ..., d, thì
ta gọi ω ∈ Ed là một số mờ d−chiều, và ta ký hiệu ω ∈ Ed .
Nhận xét 1.2.1 ([?]). Khoảng cách Hausdorff giữa 2 vectơ mờ trong Ed được
xác định như trong Định nghĩa 1.2.3. Khi đó, (Ed , D0 ) là không gian mêtric
đầy đủ.

1.2.2

Một số kiến thức về giải tích mờ

Định nghĩa 1.2.7 ([?]). Cho hàm thực g : Rd × Rd → Rd . Mở rộng của hàm
thực g trên Ed × Ed → Ed được xác định bởi công thức

−1



 sup−1 min {ω1 (x1 ), ω2 (x2 )} , nếu g (z) ∅,
(x1 ,x2 )∈g (z)
gˆ (ω1 , ω2 ) (z) = 

0,
nếu g−1 (z) = ∅,
với z ∈ Rd . Trong đó, g−1 (z) = {(x1 , x2 ) ∈ Rd × Rd : g(x1 , x2 ) = z} có thể khác
rỗng (hoặc chứa một điểm hoặc chứa nhiều điểm).
Khi đó, ta nói gˆ thu được từ g bằng nguyên lý mở rộng của Zadeh. Nguyên
lý này đóng một vai trò rất quan trọng trong lý thuyết mờ và ứng dụng trong
việc nghiên cứu các bài toán mờ.
Định nghĩa 1.2.8. Hàm mờ x : (t0 , T) → Ed được gọi là liên tục tại t ∈ (t0 , T)
nếu với mọi > 0 tồn tại δ = δ(t, ) > 0 sao cho với mọi s ∈ (t0 , T) : |t − s| < δ,
ta có D0 [x(t), x(s)] < .
Nếu x liên tục tại mọi điểm t ∈ (t0 , T) thì ta nói x liên tục trên (t0 , T). Ta ký
hiệu C([t0 , T], Ed ) là không gian các hàm mờ liên tục, trong đó
C([t0 , T], Ed ) = {x : [t0 , T] → Ed | x liên tục}.
Ta thấy C([t0 , T], Ed ) là không gian mêtric đầy đủ ([?]) với metric
ˆ = sup D0 [x(t), x(t)],
ˆ
D∗0 [x, x]
với mọi x, xˆ ∈ C([t0 , T], Ed ).

(1.1)

t∈[t0 ,T]

Định nghĩa 1.2.9 ([?]). Cho hàm mờ x : (t0 , T) → Ed . Ta nói x có đạo hàm
Hukuhara tại t ∈ (t0 , T) nếu tồn tại DH x(t) ∈ Ed sao cho các giới hạn

lim+

h→0

x(t)

x(t − h)
,
h

lim+

h→0

tồn tại và bằng DH x(t).
6

x(t + h)
h

x(t)


Định nghĩa 1.2.10 ([?]). Cho x : (t0 , T) → Ed và t ∈ (t0 , T). Ta nói x có đạo hàm
g
Hukuhara tổng quát tại t nếu tồn tại DH x(t) ∈ Ed sao cho
(i) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t + h) x(t) và x(t) x(t − h)
tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:
lim+

h→0

x(t + h)
h

x(t)

= lim+

x(t)

h→0

x(t − h)
g
= DH x(t)
h

hoặc
(ii) với h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x(t)
tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:
lim+

x(t + h) và x(t − h)

x(t)

x(t + h)
x(t − h) x(t)
g

= lim+
= DH x(t)
h→0
−h
−h

x(t)

h→0

hoặc
(iii) với mọi h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t + h) x(t), x(t−h) x(t)
tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:
lim+

h→0

x (t + h)
h

x(t)

= lim+
h→0

x (t − h) x(t)
g
= DH x(t)
−h

hoặc
(iv) với mọi h > 0 đủ nhỏ, những hiệu Hukuhara x (t) x(t + h), x(t) x(t − h)
tồn tại, những giới hạn sau tồn tại và thỏa mãn:
lim+

x (t)

h→0

x(t + h)
x (t)
= lim+
h→0
−h

x(t − h)
g
= DH x(t).
h

Để thuận tiện, nếu x khả vi Hukuhara tổng quát loại (i) (hoặc (ii)) thì ta có
thể viết gọn là x khả vi-(i)(hoặc (ii)).
Định nghĩa 1.2.11 ([?]). Hàm x : [t0 , T] → Ed được gọi là đo được mạnh nếu
với mỗi α ∈ [0, 1], hàm xα : [t0 , T] → KCC (Rd ) xác định bởi xα (t) = [x(t)]α là đo
được, tức là, tập
t ∈ [t0 , T] | [x(t)]α ∩ C

∅ là đo được Lebesgue,

với mọi tập lồi, đóng, khác rỗng C ⊂ Rd .

Định nghĩa 1.2.12 ([?]). Cho hàm mờ x : [t0 , T] → Ed , tích phân của x trên
T

[t0 , T], ký hiệu

t0
α

T

x(t)dt

x(t)dt, được xác định bởi:
T

=

t0

[x(t)]α dt

t0
T

= cl

˜
x(t)dt
| x˜ : [t0 , T] → Rd là chọn đo được của [x]α ,

t0

với mọi α ∈ [0, 1].
7


1.2.3

Trường hợp E1

Định nghĩa 1.2.13 ([?]). Cho x : [t0 , T] → E1 . Đường kính (độ rộng) của x là
hàm diam([x(·)]α ) : [t0 , T] → R+ được xác định bởi:
diam([x(t)]α ) = x(t, α) − x(t, α),
trong đó [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)] với mỗi α ∈ [0, 1].
Định nghĩa 1.2.14 ([?]). Tích phân Riemann của hàm mờ x : [a, b] → E1 trên
[a, b] là số mờ Ξ nếu với mọi > 0, tồn tại δ > 0, với bất kỳ phân hoạch
a = t0 < t1 < t2 < . . . < td = b mà ti − ti−1 < δ, i = 1, . . . , d và ξi ∈ [ti−1 , ti ] thì
d

x(ξi )(ti − ti−1 ), Ξ < .

D0
i=1

Khi đó, x được gọi là khả tích Riemann trên [a, b] và ký hiệu (R)

1.2.4

b
a

x(t)dt = Ξ.

Khái niệm về nghiệm bó

Khi tiếp cận mô hình hệ động lực mà vế phải là một hàm thực và hệ thống
đầu vào là một giá trị thuộc một bó lồi, compact, khác rỗng của Rd (tức là hệ
thống đầu vào x0 ∈ H0 ⊂ Rd ), ta thu được đầu ra của hệ thống là một bó hay
một tập con lồi compact, khác rỗng của Rd . Cách tiếp cận này có rất lợi ích cho
việc nghiên cứu đầu ra của hệ thống vì đầu vào của hệ thống thường không
được đo đạt chính xác hay bị nhiễu bởi một vài yếu tố khách quan trong quá
trình vận hành của hệ thống. Chẳng hạn, hàm biểu diễn quá trình chuyển đổi
của hệ thống là một hàm giá trị tập, hoặc một hàm mờ. Dựa vào cách tiếp cận
này, chúng tôi thu được đầu ra dưới dạng nghiệm bó. Ta xét
d
x(t) = f (t, x(t)),
dt

x(t0 ) = x0 ∈ H0 ⊂ Rd ,

(1.2)

trong đó t ∈ [t0 , t0 + ζ], H0 là một tập con lồi, compact, khác rỗng của Rd và
f : [t0 , t0 + ζ] × Rd → Rd là một hàm giá trị thực. Ta nhận thấy rằng, nghiệm
x(·) của (1.2) được biết như một hàm liên tục x : [t0 , t0 + ζ] → Rd thỏa (1.2)
ứng với mỗi x0 ∈ H0 . Cho mỗi trạng thái của hệ thống (t, x) ∈ [t0 , t0 + ζ] × Rd
thì đạo hàm được biết như là đạo hàm thông thường trong cổ điển cho hàm
thực. Nghiệm của bài toán (1.2) được biểu diễn dưới dạng tập hoặc bó:
X = {x : [t0 , t0 + ζ] → Rd | x(·) là nghiệm của bài toán (1.2) ứng với mỗi x0 ∈ H0 }.
Khi đó, nghiệm bó của bài toán (1.2) tại t ∈ [t0 , t0 + ζ] có thể được định nghĩa

lại như sau:
Ht,x = {x(t, t0 , x0 ) | x(·) ∈ X}.
8


Tuy nhiên, có thể được mở rộng với lớp bài toán mà hàm vế phải f của (1.2)
là một hàm mờ. Hay ta xét bài toán (1.2) với vế phải là một hàm mờ, tức
là f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed và đầu vào hệ thống là những tập mờ. Khi đó,
nghiệm của hệ thống (1.2) với vế phải là một hàm mờ được xác định bởi
x : [t0 , t0 + ζ] → Ed , trong đó Ed là không gian của những tập con mờ trên
Rd với tập mức là những tập lồi, compact, khác rỗng. Hiện nay, với cách tiếp
cận cho bài toán dạng này, ta gọi nó là bài toán nghiệm bó mờ và có ít nhất
hai cách tiếp cận để xây dựng nghiệm mờ cho bài toán này. Đầu tiên là nghiên
cứu bài toán nghiệm bó mờ dưới đạo hàm Hukuhara và cách tiếp cận thứ hai
là dựa vào đạo hàm Hukuhara tổng quát.
Bằng hai cách tiếp cận trên chúng tôi xây dựng được bài toán sau
g

DH x(t) = f (t, x(t)),

x(t0 ) = x0 ∈ Ed ,

(1.3)

trong đó Ed là một tập mờ và f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed là một hàm mờ. Trong
bài toán (1.3) của chúng tôi, có thể sử dụng nguyên lý mở rộng của Zadeh cho
những hàm mờ vào trong hệ động lực (1.3) thì nghiệm của hệ thống đầu ra
vẫn là một tập con lồi, compact khác rỗng của Rd . Trong bài toán này chúng
tôi gọi nghiệm của bài toán này là nghiệm bó dưới dạng mờ. Chúng ta xét hai
bài toán sau đây để làm rõ kết quả đầu ra của hệ thống (1.2) và (1.3).

Ví dụ 1.2.1. Xét bài toán giá trị đầu dạng bó:
d
x(t) = −λx(t),
dt

x(t0 ) = x0 ∈ H0 = [H0 , H0 ] ⊂ R,

(1.4)

trong đó x : [t0 , T] → R và λ > 0.
Nghiệm của bài toán (1.4) được cho bởi dạng tập (hay bó) như sau
Ht,x = {x(t) = x(t, t0 , x0 ) : x(t) = x0 e−λt , x0 ∈ [H0 , H0 ]}.
Ta có thể biểu diễn nghiệm bó trên tại thời điểm t dưới dạng
Ht,x = [H0 e−λt , H0 e−λt ] = H0 e−λt .
Trong các chương tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu một số lớp bài toán liên
quan đến phương trình vi phân mờ: phương trình vi phân mờ có chậm và
phương trình vi phân bó mờ. Một số kết quả về đánh giá tính chất định tính
và phương pháp giải cho một số lớp bài toán nghiệm bó mờ được nghiên cứu.
Tính chất tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán điều khiển nghiệm bó mờ
dưới sự tham gia của điều khiển mờ cũng được trình bày.

9


Chương 2
Bài toán nghiệm bó mờ
2.1
2.1.1

Bài toán giá trị đầu dạng mờ

Bài toán nghiệm bó mờ

Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ:
g

DH x(t) = f (t, x(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed ,

(2.1)

trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed .
Định nghĩa 2.1.1. Cho hàm mờ x : [t0 , t0 + ζ] → Ed khả vi loại (i) (loại (ii)).
g
Nếu x và đạo hàm DH x thỏa mãn bài toán (2.1) thì ta nói x là nghiệm loại
(i) (loại (ii)) của bài toán (2.1). Nghiệm x của (2.1) là duy nhất nếu thỏa mãn
ˆ
D0 [x(t), x(t)]
= 0, với xˆ : [t0 , t0 + ζ] → Ed là một nghiệm bất kỳ khác của bài
toán (2.1).
Định nghĩa 2.1.2. Cho α ∈ [0, 1]. Nghiệm bó mờ của bài toán (2.1) dưới đạo
hàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập
t
(i)
Ht,x

α

= [x(t)] = x0 +

α

f (s, x(s))ds ,
t0

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (i);
hoặc
t
(ii)
Ht,x

α

= [x(t)] = x0

α

f (s, x(s))ds ,

(−1)
t0

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (2.1) và khả vi loại (ii).

10


Tồn tại và duy nhất nghiệm bó mờ.
Cho B(x0 , ρ) = {z ∈ Ed : D0 [z, x0 ]) ≤ ρ}, ρ > 0.
Định lý 2.1.1. Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn tại M1 > 0 sao cho
ˆ ≤ M1 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ);

D0 [ f (t, z), 0]
(ii) Hàm g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn tại M2 > 0 sao cho
0 ≤ g(t, k) ≤ M2 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], 0 ≤ k ≤ ρ,
g(t, k) không giảm theo k và bài toán giá trị đầu thực
dk
= g(t, k(t)), k(t0 ) = 0
dt

(2.2)

chỉ có nghiệm k(t) ≡ 0 trên [t0 , t0 + ζ];
(iii) D0 [ f (t, x1 ), f (t, x2 )] ≤ g(t, D0 [x1 , x2 ]), ∀(t, x1 ), (t, x2 ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ),
tồn tại M3 > 0 sao cho D0 [x1 , x2 ] ≤ M3 ;
(iv) Tồn tại q > 0 sao cho với mọi t ∈ [t0 , t0 + q], dãy xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau đây
t

x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0

f (s, xm (s))ds

(−1)
t0

được xác định hợp cách (nghĩa là hiệu Hukuhara trước đó tồn tại) với bất kỳ m ∈ N.
Khi đó, bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất cho mỗi loại khả vi (loại (i) và loại (ii))
x, x : [t0 , t0 + r] → B(x0 , ρ), trong đó r = min{ζ, q, ρ/M1 , ρ/M2 } và những dãy
t

x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0 +

f (s, xm (s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ],

(2.3)

t0

cho trường hợp khả vi loại (i),
t

x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0

f s, xm (s) ds, t ∈ [t0 , t0 + q],

(−1)
t0

cho trường hợp khả vi loại (ii), hội tụ lần lượt về nghiệm x(t), x(t).

11

(2.4)


Giải bài toán nghiệm bó mờ.
Xét bài toán giá trị đầu dạng mờ
g

DH x(t) = f (t, x(t)), x(0) = x0 ∈ E1 ,

(2.5)

trong đó f : [0, b] × E1 → E1 . Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)]. Bằng việc sử dụng
nguyên lý mở rộng của Zadeh, chúng ta thu được
[ f (t, x(t))]α = [ f (t, α, x(t, α), x(t, α)), f (t, α, x(t, α), x(t, α))], với α ∈ [0, 1].
g

Trường hợp 1. Nếu x(t) khả vi loại (i) thì [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) . Khi đó
bài toán (2.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:



 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 ,
(2.6)


 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 .
g

Trường hợp 2. Nếu x(t) khả vi loại (ii) thì [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) . Khi đó
bài toán (2.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:



 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 ,
(2.7)


 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α)), x(0, α) = x0 .

2.1.2

Bài toán nghiệm bó tập mờ

Xét bài toán giá trị đầu dạng tập mờ dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát:
g

DH x(t) = f (t, x(t)), x(t) = x0 ∈ H0 ⊂ Ed ,

(2.8)

trong đó f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × Ed , Ed ), t ∈ [t0 , t0 + ζ].
Định nghĩa 2.1.3. Nghiệm bó tập mờ của (2.8) tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] dưới
đạo hàm Hukuhara tổng quát là tập
t
(i)

Ht,x = x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 ,
t0

trong đó x(t) khả vi loại (i) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0 ;
hoặc
t
(ii)

Ht,x = x(t) = x0

f (s, x(s))ds : x0 ∈ H0 ,

(−1)
t0

trong đó x(t) khả vi loại (ii) và là nghiệm của (2.8) với mỗi x0 ∈ H0 .
12


Định lý 2.1.2. Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Hàm f : [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ) → Ed liên tục, tồn tại M0 > 0 sao cho
ˆ ≤ M0 , ∀(t, z) ∈ [t0 , t0 + ζ] × B(x0 , ρ);
D0 [ f (t, z), 0]
(ii) Tồn tại L0 > 0 sao cho với mọi x, y ∈ B(x0 , ρ), ta có
D0 [ f (t, x), f (t, y)] ≤ L0 D0 [x, y];
(iii) Tồn tại q > 0 sao cho với mọi t ∈ [t0 , t0 + q], dãy xm : [t0 , t0 + q] → Ed sau
đây
t

x0 (t) = x0 , xm+1 (t) = x0

f (s, xm (s))ds

(−1)
t0

được xác định hợp cách (nghĩa là hiệu Hukuhara trước đó tồn tại) với bất kỳ m ∈ N.
Khi đó, bài toán (2.8) có duy nhất nghiệm bó tập mờ loại (i) (tương ứng loại (ii))
trên [t0 , t0 + r], trong đó r = min{ζ, q, ρ/M0 , 1/L0 }.

2.2
2.2.1

Bài toán giá trị đầu dạng mờ có chậm
Bài toán nghiệm bó mờ có chậm

Cho σ > 0, ta gọi Cσ = C([−σ, 0], Ed ) là không gian của những ánh xạ mờ
liên tục từ [−σ, 0] vào trong Ed . Khoảng cách Dσ trong không gian Cσ được
định nghĩa bởi
Dσ x, y = sup D0 x(t), y(t) .
t∈[−σ,0]

Cho ζ > 0, ta xét các khoảng [t0 , t0 + ζ], [t0 − σ, t0 ] ∪ [t0 , t0 + ζ] = [t0 − σ, t0 + ζ].
Với mỗi t ∈ [t0 , t0 + ζ], phần tử xt của Cσ được định nghĩa bởi
xt (s) = x(t + s), s ∈ [−σ, 0].
Xét bài toán giá trị đầu dạng bó mờ có chậm:
g

DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,
x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ Cσ , t0 − σ ≤ t ≤ t0 ,
g

(2.9)

trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Cσ → Ed , ϕ ∈ Cσ và DH x(t) là đạo hàm Hukuhara tổng
quát của x(t).
Nghiệm của (2.9) là ánh xạ mờ x ∈ C([t0 − σ, t0 + ζ], Ed ) thỏa mãn x(t) =
ϕ(t − t0 ) với t ∈ [t0 − σ, t0 ]; x khả vi trên [t0 , t0 + ζ] và
g

DH x(t) = f (t, xt ), t ∈ [t0 , t0 + ζ].
13

Định nghĩa 2.2.1. Cho hàm mờ x : [t0 − σ, t0 + ζ] → Ed khả vi-(i) (khả vi-(ii)).
g
Nếu x và DH x thỏa mãn (2.9) thì ta nói x là nghiệm loại (i) (loại (ii)) của (2.9).
Chú ý 2.2.1. Dựa vào nguyên lý mở rộng của Zadeh, ta có thể định nghĩa
nghiệm của bài toán (2.9) dưới dạng phân lớp α ∈ [0, 1]. Khi đó, nghiệm được
biểu diễn dưới dạng phân lớp được gọi là nghiệm bó mờ của bài toán (2.9).
Cho α ∈ [0, 1], nghiệm bó mờ của bài toán (2.9) dưới đạo hàm Hukuhara tổng
quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập

t




[ϕ(0)
+
f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ],
(i)
Ht,x = [x(t)]α = 


[ϕ(t − t t0)]α ,
t ∈ [t − σ, t ],
0

0

0

trong đó x(t) là nghiệm của bài toán (2.9) và khả vi-(i);
hoặc

t




[ϕ(0)
(−1)
f (s, xs )ds]α , t ∈ [t0 , t0 + ζ],
(ii)
,
Ht,x = [x(t)]α = 


[ϕ(t − t )]α , t0
t ∈ [t − σ, t ],
0

0

0

trong đó x(t) là nghiệm của bài toán (2.9) và khả vi-(ii).
(i)

(ii)

Ta thấy rằng nghiệm bó mờ Ht,x và Ht,x của bài toán (2.9) là hai tập con lồi,
compact và khác rỗng của Rd . Bài toán (2.9) cùng với nghiệm bó của nó được
gọi là bài toán nghiệm bó mờ có chậm.

Tồn tại và duy nhất nghiệm bó mờ có chậm.
∗ Nghiệm địa phương.
Định lý 2.2.1. Cho m ∈ C([t0 − σ, ∞), R) và thỏa mãn bất đẳng thức
D+ m(t) ≤ g(t, |mt |σ ), t > t0 ,
trong đó g ∈ C([t0 , ∞) × R+ , R+ ) và
|mt |σ = sup |m(t + s)|, s ∈ [−σ, 0].
t∈[−σ,0]

Giả sử rằng r(t) = r(t, t0 , u0 ) là nghiệm cực đại của bài toán giá trị đầu thực
d
u = g(t, u), u(t0 ) = u0 ≥ 0,
dt
trên [t0 , ∞). Khi đó, nếu |mt0 |σ ≤ u0 thì m(t) ≤ r(t), t ∈ [t0 , ∞).

14

(2.10)


Cho ρ là hằng số dương,
Ω(x0 , ρ) = {x ∈ Ed : D0 [x, x0 ] ≤ ρ}
và

S(x0 , ρ) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, x0 ] ≤ ρ}.

Ta xét các ánh xạ f : [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) → Ed , g : [t0 , t0 + ζ] × [0, ρ] → R+ ,

trong đó
x0 (t) =

ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,
ϕ(0),
t ∈ [t0 , t0 + ζ].

Định lý 2.2.2. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) f ∈ C([t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ), Ed ), tồn tại M5 > 0 sao cho
ˆ ≤ M5 , ∀(t, ξ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ);
D0 [ f (t, ξ), 0]
(ii) g ∈ C([t0 , t0 + ζ] × [0, ρ], R+ ), g(t, 0) ≡ 0, tồn tại M6 > 0 sao cho
0 ≤ g(t, u) ≤ M6 , ∀t ∈ [t0 , t0 + ζ], 0 ≤ u ≤ ρ
và g(t, u) là hàm không giảm theo u và bài toán giá trị đầu
du
= g(t, u(t)), u(t0 ) = 0
dt

(2.11)

có nghiệm thực duy nhất u(t) ≡ 0 trên [t0 , t0 + ζ];
(iii) D0 [ f (t, ξ), f (t, ψ)] ≤ g(t, Dσ [ξ, ψ]), ∀(t, ξ), (t, ψ) ∈ [t0 , t0 + ζ] × S(x0 , ρ) và
tồn tại M7 > 0 sao cho Dσ [ξ, ψ] ≤ M7 .
Khi đó, những dãy xấp xỉ cho bởi


ϕ(t − t0 ),
t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,




[t
]
ϕ(t
−
t
),
t
∈
−
σ,
t
,

t
0
0
0
x0 (t) =
xn+1 (t) = 

ϕ(0) + f s, xns ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ],
ϕ(0),
t ∈ [t0 , t0 + ζ],



t0
(2.12)
(n = 0, 1, 2, . . .) cho trường hợp khả vi loại (i);



ϕ(t − t0 ),
t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,



ϕ(t − t0 ), t ∈ [t0 − σ, t0 ] ,

t
0
n+1
x (t) =
x (t) = 

ϕ(0) (−1) f s, xns ds, t ∈ [t0 , t0 + η],
ϕ(0),
t ∈ [t0 , t0 + η],



t0
(2.13)
(n = 0, 1, 2, . . .) cho trường hợp khả vi loại (ii) (trong đó η > 0 sao cho dãy xấp xỉ
(2.13) được xác định hợp cách), lần lượt hội tụ đều về nghiệm x(t), x(t) của (2.9) trên
[t0 , t0 + r], với r = min{ζ, ρ/M5 , ρ/M6 , η}.
15


∗ Nghiệm toàn cục.

ˆ ≤ B} và Ω(B) = {x ∈
Cho hằng số B > 0, ký hiệu S(B) = {ξ ∈ Cσ : Dσ [ξ, 0]
d
ˆ ≤ B}.
E : D0 [x, 0]
Định lý 2.2.3. Giả sử các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
(i) f ∈ C(R+ ×Cσ , Ed ), f bị chặn trên các tập bị chặn và tồn tại nghiệm địa phương
loại (i) hoặc loại (ii) của (2.9) với mỗi (t0 , ϕ0 ) ∈ R+ × Cσ ;
(ii) hàm V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn tại L1 > 0 sao cho
|V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L1 .D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B),
ˆ → +∞ và với mọi t > t0 , y ∈
V(t, y, ξ) → +∞ đều trên [t0 , t0 + ζ] khi D0 [y(t), 0]
Ω(B), ξ ∈ S(B), đạo hàm Dini của V thỏa mãn
1
V(t + h, y + h f (t, yt ), yt+h ) − V t, y, yt
h→0
h
≤ g t, V t, y, ξ ,

D+ V t, y, ξ ≡ lim+ sup
cho trường hợp x khả vi loại (i),

1
V t + h, y
h→0
h
≤ g t, V t, y, ξ ,

D+ V t, y, ξ ≡ lim+ sup

(−1)h f (t, yt ), yt+h − V t, y, yt

cho trường hợp x khả vi loại (ii), trong đó g ∈ C(R+ × R+ , R);
(iii) nghiệm cực đại r(t) = r(t, t0 , u0 ) của bài toán
du
= g(t, u(t)), u(t0 ) = u0 ≥ 0
dt

(2.14)

tồn tại trên [t0 , ∞) và r(t) > 0 nếu u0 > 0.
Khi đó, với mỗi (ϕ(0), ϕ0 ) ∈ Ω(B) × S(B) thỏa mãn V(t0 , ϕ(0), ϕ0 ) ≤ u0 , bài toán
(2.9) có nghiệm toàn cục loại (i) hoặc loại (ii) x(t0 , ϕ0 )(t) tương ứng trên [t0 , +∞) và
thỏa mãn đánh giá
V(t, x(t0 , ϕ0 )(t), xt (t0 , ϕ0 )) ≤ r(t, t0 , u0 ), t ≥ t0 .

(2.15)

Tính ổn định của nghiệm bó mờ có chậm.
Định nghĩa 2.2.2. Nghiệm tầm thường x = 0ˆ của bài toán (2.9) được gọi là
(S1) ổn định, nếu với bất kỳ ε > 0 và t0 ∈ R, tồn tại một hàm dương
ˆ < δ thì
δ = δ(t0 , ε) liên tục theo t0 với mỗi ε sao cho nếu Dσ [ϕ0 , 0]
ˆ < ε, t ≥ t0 ;
D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0]
(S2) ổn định đều, nếu δ trong (S1) không phụ thuộc t0 ;
16


Định lý 2.2.4. Giả sử những điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) V ∈ C([−σ, +∞) × Ω(B) × S(B), R+ ), tồn tại L3 > 0 sao cho
|V(t, y, ξ) − V(t, z, ξ)| ≤ L3 .D0 [y, z], ∀(t, y, ξ), (t, z, ξ) ∈ R+ × Ω(B) × S(B);
(ii) với t > t0 , (x, ξ) ∈ Ω(B) × S(B) thì D+ V t, y, ξ ≤ 0;
ˆ ≤ V(t, x, ξ) ≤ a(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0]),
ˆ trong đó
(iii) b(D0 [x(t0 , ϕ0 )(t), 0])
(t, x, ξ) ∈ [t0 , +∞) × Ω(B) × S(B), b, a ∈ K .
Khi đó, nghiệm tầm thường của bài toán (2.9) là ổn định đều.

2.2.2

Bài toán nghiệm bó tập mờ có chậm

Xét bài toán giá trị đầu dạng bó tập mờ dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát:
g

DH x(t) = f (t, xt ), t ≥ t0 ,
x(t) = ϕ(t − t0 ) = ϕ0 ∈ H0 , t0 ≥ t ≥ t0 − σ,

(2.16)

trong đó f ∈ C[[t0 , t0 + ζ] × Cσ , Ed ], H0 ⊂ Cσ .
Định nghĩa 2.2.3. Nghiệm bó tập mờ có chậm của (2.16) tại thời điểm t ∈
[t0 , t0 + ζ] dưới đạo hàm Hukuhara tổng quát là tập


x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]







t


(i)
,
(2.17)
Ht,x = 



(0)
x(t)
=
ϕ
+
f
(s,
x(s))ds,
t
∈
[t
,
t
+
ζ]



0
0


t0

trong đó x(t) khả vi loại (i) và là nghiệm của (2.16) với mỗi ϕ(t − t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ ;
hoặc


x (t) = ϕ (t − t0 ) ∈ H0 , t ∈ [t0 − σ, t0 ]






t


(ii)
.
(2.18)
Ht,x = 



(0)
x(t)
=

ϕ
(−1)
f
(s,
x(s))ds,
t
∈
[t
,
t
+
ζ]


0 0


t0

trong đó x(t) khả vi loại (ii) và là nghiệm của (2.16) với mỗi ϕ(t−t0 ) ∈ H0 ⊂ Cσ .

17


Chương 3
Một số bài toán điều khiển nghiệm bó
mờ
3.1

Bài toán điều khiển nghiệm bó mờ

Xét bài toán điều khiển nghiệm bó mờ:
g

DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(t0 ) = x0 ∈ Ed ,

(3.1)

trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed và điều khiển mờ u(t) ∈ Ep .
Định nghĩa 3.1.1. Cho x : [t0 , t0 + ζ] → Ed là hàm mờ khả vi khả vi loại (i)
g
(hoặc loại (ii)) trên [t0 , t0 + ζ]. Nếu x và DH x thỏa mãn (3.1) thì ta nói x là
nghiệm loại (i) (hoặc loại (ii)) của (3.1). Nghiệm x của (3.1) là duy nhất nếu
ˆ
D0 [x(t), x(t)]
= 0, với xˆ : [t0 , t0 + ζ] → Ed là nghiệm bất kỳ của bài toán (3.1).
Định nghĩa 3.1.2. Cho α ∈ [0, 1]. Nghiệm bó mờ của bài toán (3.1) dưới đạo
hàm Hukuhara tổng quát tại thời điểm t ∈ [t0 , t0 + ζ] là tập
t

Ht,x,u = [x(t)]α = x0 +
(i)

α

f (s, x(s), u(s))ds ,
t0

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.1) và khả vi loại (i);
hoặc

t

Ht,x,u = [x(t)]α = x0
(ii)

α

f (s, x(s), u(s))ds ,

(−1)
t0

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.1) và khả vi loại (ii).
Định nghĩa 3.1.3. Hàm u : [t0 , t0 + ζ] → Ep được gọi là hàm điều khiển chấp
nhận được nếu u(t) là hàm đo được.
18


3.1.1

Bài toán điều khiển được

Định nghĩa 3.1.4 (Điều khiển được). Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Ed . Cặp (x0 , x1 )
được gọi là điều khiển được nếu tồn tại điều khiển u(t) ∈ Ep sao cho sau
khoảng thời gian t1 ∈ [t0 , T] nghiệm x(t) của bài toán (3.1) thỏa mãn điều kiện:
x(t1 ) = x(t0 , x0 , t1 , x(t1 )) = x1 .

(3.2)

Khi đó, bài toán (3.1) được gọi là điều khiển được theo u(t).

Tiếp theo, ta xét bài toán (3.1) dưới những giả thiết sau:
(A1) f : [t0 , t0 + ζ] × Ed × Ep → Ed liên tục.
(A2) Tồn tại L5 > 0 sao cho
D0 [ f (t, x1 , u1 ), f (t, x2 , u2 )] ≤ L5 .(D0 [x1 , x2 ] + D0 [u1 , u2 ]),
với mọi x1 , x2 ∈ Ed , u1 , u2 ∈ Ep và t ∈ [t0 , t0 + ζ].
(A3) X(ii) là tập khác rỗng, nghĩa là tồn tại x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) sao cho hiệu
t

Hukuhara x0

f (s, x(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ].

(−1)
t0

(A4) Nếu x ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ed ) sao cho hiệu Hukuhara
t

x0

f (s, x(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ],

(−1)
t0

thì hiệu Hukuhara
t

x0

f (s, (Px)(s), u(s))ds tồn tại với mọi t ∈ [t0 , t0 + ζ].

(−1)
t0

Định nghĩa toán tử T : X(i) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } :
t

f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ]

(Tx)(t) = x0 +

(3.3)

t0

và dãy xấp xỉ liên tiếp (xm )m∈N ⊂ X(i) được cho bởi:
x0 (t) = x0 và xm (t) = (Txm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ].
Trong giả thiết (A4), xét ánh xạ P : X(ii) → {x | x : [t0 , t0 + ζ] → Ed } xác định bởi:
t

(Px)(t) = x0

f (s, x(s), u(s))ds, t ∈ [t0 , t0 + ζ],

(−1)
t0

và dãy xấp xỉ (xm )m∈N ⊂ X(ii) được cho bởi:
x0 (t) = x0 và xm (t) = (Pxm−1 )(t), t ∈ [t0 , t0 + ζ].

19

(3.4)


Định lý 3.1.1. Cho u ∈ C([t0 , t0 + ζ], Ep ) là điều khiển chấp nhận được. Giả sử rằng
những giả thiết (A1)-(A4) thỏa. Hơn nữa, nếu C = L5 .ζ < 1 thì
(i) bài toán (3.1) có duy nhất nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) xác
định trên [t0 , t0 + ζ].
(ii) nghiệm bó mờ loại (i) (nghiệm bó mờ loại (ii)) của bài toán (3.1) bị chặn và liên
tục Lipschitz.

3.1.2

Bài toán điều khiển ngược

Định nghĩa 3.1.5. Hàm điều khiển chấp nhận được u(t) ∈ Ep được gọi là điều
khiển ngược của bài toán (3.1) nếu u(t) phụ thuộc vào trạng thái mờ x(t) của
bài toán (3.1) và có dạng u(t) = h(t, x(t)), trong đó h : [t0 , ∞) × Ed → Ep .
Cho hàm mờ h : [t0 , ∞) × Ed → Ep . Ta xét bài toán (3.1) với các giả thiết sau:
(U1) Hàm h : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ep liên tục.
(U2) Tồn tại Lu > 0 sao cho D0 [h(t, x1 ), h(t, x2 )] ≤ Lu D0 [x1 , x2 ], với mọi x1 , x2 ∈
Ed và t ≥ t0 .
ˆ ≤ Ku , với mọi t ≥ t0 .
(U3) Tồn tại Ku > 0 sao cho D0 [h(t, x1 ), 0]
Định lý 3.1.2. Cho u(t) = h(t, x(t)) là điều khiển ngược, trong đó h : [t0 , ∞) × Ed →
ˆ = 0.
ˆ Giả sử rằng hàm f thỏa mãn các giả thiết (A1)-(A4), h thỏa mãn
Ep và h(t, 0)
các giả thiết (U1)-(U3) và 2 max{L5 , Lu } ζ < 1. Khi đó, bài toán (3.1) có nghiệm duy

nhất loại (i) (loại (ii)) xác định trên [t0 , t0 + ζ].

3.1.3

Thuật toán giải
g

DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), x(0) = x0 ∈ E1 ,

(3.5)

trong đó f : [0, b]×E1 ×E1 → E1 . Cho [x(t)]α = [x(t, α), x(t, α)]. Sử dụng nguyên
lý mở rộng của Zadeh, ta thu được
[ f (t, x(t), u(t))]α = [ f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ), f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 )],
trong đó
f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)),
f (t, α, x1 , x2 , u1 , u2 ) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)),
với α ∈ [0, 1]. Phương pháp giải sau tương tự như cách thức trong các mục 2.1
và mục 2.2. Dựa vào hai loại khả vi của hàm mờ, ta có hai trường hợp sau:
20


g

Trường hợp 1. Nếu x(t) khả vi loại (i) thì [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) . Khi đó
bài toán (3.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:



 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 ,

(3.6)


 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 .
Giải hệ phương trình (3.6) ta thu được cặp nghiệm (x(t, α), x(t, α)). Nếu cặp
nghiệm trên tạo thành một tập mờ [x(t, α), x(t, α)] và đạo hàm loại (i) của nó
cũng là một tập mờ, khi đó ta có thể kết luận rằng nghiệm bó mờ loại (i) của
(i)
bài toán (3.5) tồn tại với Ht,x,u = [x(t, α), x(t, α)].
g

Trường hợp 2. Nếu x(t) khả vi loại (ii) thì [DH x(t)]α = x (t, α), x (t, α) . Khi đó
bài toán (3.5) được chuyển thành hệ phương trình vi phân thường sau:



 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 ,
(3.7)


 x (t, α) = f (t, α, x(t, α), x(t, α), u(t, α), u(t, α)), x(0, α) = x0 .
Tương tự, giải hệ phương trình (3.7) ta thu được cặp nghiệm (x(t, α), x(t, α)).
Nếu cặp nghiệm trên cấu thành thỏa là một tập mờ [x(t, α), x(t, α)] và đạo hàm
loại (ii) của nó cũng là một tập mờ, khi đó ta có thể kết luận rằng nghiệm bó
(ii)
mờ loại (ii) của bài toán (3.5) tồn tại với Ht,x,u = [x(t, α), x(t, α)].

3.2

Bài toán điều khiển được cho hệ điều khiển bó mờ

Không gian vectơ mờ là một trường hợp riêng của không gian mờ khi có
thể tách được về dạng khối. Nghĩa là tập tất cả vector số mờ d chiều (tích
Descartes E1 × E1 × · · · × E1 ), kí hiệu bởi Ed .
d lần

Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu tính điều khiển được cho hệ điều khiển
bó mờ sau:
g
DH x(t) = f (t, x(t)) + u(t),
(3.8)
x(t0 ) = x0 ∈ Ed ,
trong đó f : [t0 , t0 + ζ] × Ed → Ed là một hàm mờ dạng vectơ và hàm điều
khiển u ∈ Ed .
Nhận xét 3.2.1. Nghiệm của bài toán (3.8) cũng là nghiệm của một trong hai
phương trình tích phân dạng bó mờ sau:
t
(i)
Ht,x,u

= [x(t)]α = x0 +

t

f (s, x(s))ds +
t0

t0

21

α

u(s)ds ,

(3.9)


trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.8) và khả vi-(i);
hoặc
t
(ii)
Ht,x,u

= [x(t)]α = x0

t

f (s, x(s))ds +

(−1)
t0

u(s)ds

α

,

(3.10)

t0

trong đó x(t) là một nghiệm của bài toán (3.8) và khả vi-(ii).
Chú ý 3.2.1. Nghiệm của hệ điều khiển bó dạng mờ được biểu diễn bởi (3.9)
và (3.10) tương ứng dưới dạng vectơ theo sau:
d
(·)
Ht,x,u

α

[xi (t, , α), xi (t, α)], α ∈ [0, 1].

= [x(t)] =
i=1

Định nghĩa 3.2.1. Cho hai trạng thái x0 , x1 ∈ Ed . Cặp (x0 , x1 ) được gọi là điều
khiển được nếu tồn tại điều khiển u(t) ∈ Ed sao cho sau khoảng thời gian
t1 ∈ [t0 , T] nghiệm x(t) của bài toán (3.8) thỏa mãn điều kiện:
x(t1 ) = x(t0 , x0 , t1 , u(t1 )) = x1 .

(3.11)

Khi đó, bài toán (3.8) được gọi là điều khiển được theo u(t).
Ta xét các giả thiết sau:
(A5) f : [t0 , T] × Ed → Ed thỏa điều kiện Lipschitz tổng quát, nghĩa là ∃ k > 0 :
dH ([ f (s, x(s))]α , [ f (s, y(s))]α ) ≤ k.dH ([x(s)]α , [y(s)]α ), ∀x(s), y(s) ∈ Ed .
(A6) Giả sử rằng hệ (3.8) trong trường hợp f ≡ 0 là điều khiển được.
Định lý 3.2.1. Giả sử các giả thiết (A5), (A6) được thỏa mãn. Khi đó, hệ điều khiển

bó mờ (3.8) là điều khiển được cho trường hợp khả vi loại (i).

KẾT LUẬN

Các đóng góp của luận án
Luận án đã thu được những kết quả mới như sau:
Chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm bó của bài toán giá trị ban
đầu cho phương trình vi phân dạng mờ và bài toán giá trị ban đầu cho
phương trình vi phân dạng mờ có chậm. Nghiên cứu tính ổn định nghiệm
bằng phương pháp Lyapunov.
22


Nghiên cứu mô hình nghiệm bó mờ với sự tham gia của điều khiển mờ
trong các bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân dạng mờ. Chứng
minh sự tồn tại, duy nhất nghiệm của một số bài toán điều khiển nghiệm bó
mờ: bài toán điều khiển được, bài toán điều khiển ngược. Đối với bài toán
điều khiển cho hệ phương trình vi phân mờ: tác giả chỉ nghiên cứu bài toán
điều khiển được.

Hướng phát triển của vấn đề cần được nghiên cứu
Bài toán điều khiển nghiệm bó còn có thể mở rộng theo các hướng sau đây:
1. Khảo sát cho các đối tượng khác nhau, ví dụ: các hàm giá trị khoảng, các
hàm ngẫu nhiên, các hàm mờ random trong những không gian mờ Ed .
2. Cho nhiều hàm mục tiêu khác nhau, ví dụ:
T

Tối ưu Lagrange: I(u) =

F0 (t, x(t), u(t))dt;

t0

Tối ưu Meyer: I(u) = ϕ(T, x(t)), t ∈ [t0 , T];
T

F0 (t, x(t), u(t))dt + ϕ(T, x(t)).

Tối ưu Bolza: I(u) =
t0

3. Bài toán Vùng mờ - The Fuzzy Partition Problems - FPP là một dạng đặc
biệt của bài toán điều khiển tối ưu nghiệm bó mờ, với điều kiện ban đầu là
vùng mờ (Fuzzy Partition) vẫn còn bỏ ngỏ:
g

DH x(t) = f (t, x(t), u(t)), t
x(t0 ) ∈ H0 = A(t0 )

t0 ,

(3.12)

với f : [a, b] × En × Ed → En , H0 = A(t0 ) là điều kiện vùng mờ ban đầu, ứng với
điều khiển u(t) và tạo nên vùng mờ:
Ai (t) = {x(t) = x(t, x0 , u)| x0 ∈ H0 } ,
c

Ai (t) = 1
i=1
b

sao cho phiếm hàm J(A, v) =

b c

(Ai (t))m tdt
(Ai (t) tk − vi 2 dt → min, trong đó vi =

a i=1

a

.

b

(Ai (t))m dt
a

23


DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

Các công trình của tác giả liên quan đến luận án
[Tri1] N. V. Hoa, P.V. Tri, T. T. Dao, Ivan Zelinka, Some global existence results
and stability theorem for fuzzy functional differential equations, Journal of Intelligent and Fuzzy Systems 28 (2015), 393–409. (SCI-E, IF 1.812).
[Tri2] P. V. Tri, N.V. Hoa, N. D. Phu, Sheaf fuzzy problems for functional differential
equations, Advances in Difference Equations 2014, 2014 : 156. (SCI-E, IF
0.64).

[Tri3] N. D. Phu, P. V. Tri, S. Salahshour, A. Ahmadian, D. Baleanu, Some kinds
of the controllable problems for fuzzy control dynamic systems, Journal of Vibration and Control (revision 03/2017).

Hội nghị khoa học đã tham gia
[Tri4] P.V. Tri, L.D. Thang, N.D. Phu, On the Interval valued Integro differential
Equations, VMS - SMF joint congress, August 20 - 24, 2012, Hue.
[Tri5] P. V. Tri, N.V. Hoa, N. D. Phu, Sheaf fuzzy problems under generalized Hukuhara
derivative, The 8th Vietnamese Mathematical Conference, August 10 - 14,
2013, Nha Trang.

24