Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

TRẦN MINH SƠN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

TRẦN MINH SƠN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA
ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học:
ThS. TRẦN THỊ THU

Hà Nội – 2017

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này em đã
nhận được rất nhiều sự quan tâm giúp đỡ của các thầy, cô giáo và
các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong
khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là tổ Giải
tích, đã tận tình dạy dỗ em trong bốn năm học vừa qua và tạo điều
kiện thuận lợi cho em thực hiện bản khóa luận này.
Em xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của mình tới ThS Trần Thị Thu người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá
trình thực hiện đề tài nghiên cứu này.
Em xin cảm ơn mọi sự giúp đỡ, góp ý, phê bình của các thầy, cô và
các bạn sinh viên để em có thể hoàn thành được bản khóa luận như
ngày hôm nay.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Minh Sơn


LỜI CAM ĐOAN
Quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận “Một số ứng dụng
của đạo hàm hàm số một biến số” đã giúp em tìm hiểu sâu sắc hơn
môn Giải tích nói chung, phép tính đạo hàm nói riêng và vị trí quan
trọng của nó. Qua đó cũng giúp em bước đầu làm quen với công tác
nghiên cứu khoa học.
Em xin cam đoan đề tài này được hoàn thành do nỗ lực tìm hiểu,
nghiên cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của

ThS Trần Thị Thu cũng như các thầy giáo, cô giáo trong tổ Giải tích.
Tuy đề tài này không phải là mới nhưng kết quả nghiên cứu của đề
tài không trùng lặp với bất kì kết quả nào của các tác giả khác.
Em rất vui mừng và hạnh phúc vì đã nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy, cô và các bạn sinh viên.

Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên

Trần Minh Sơn


Mục lục

LỜI NÓI ĐẦU

1

1 Các kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Định nghĩa đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm . . . .

3

1.1.2

Đạo hàm tại một điểm . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Đạo hàm một bên . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.4

Đạo hàm trên một tập bất kì . . . . . . . . . .

8

Quy tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số . . . . .

9

1.2.2

Đạo hàm của tích hai hàm số . . . . . . . . . .

10

1.2.3

Đạo hàm của thương hai hàm số . . . . . . . .

10

1.3

Đạo hàm của hàm hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.4

Đạo hàm của hàm ngược . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5

Đạo hàm của hàm cho bởi tham số . . . . . . . . . . .

13

1.6

Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.7

Một số định lí cơ bản của hàm khả vi . . . . . . . . . .

15

1.8

Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.8.1

18

1.2

Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange . . .
i

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.8.2

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Khai triển Mac – Laurin . . . . . . . . . . . . .

2 Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số
2.1

2.3

20

Ứng dụng đạo hàm hàm số một biến số trong các bài
toán thực tế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

19

20

2.1.1

Ứng dụng trong mô tả chuyển động của chất điểm 21

2.1.2

Ứng dụng trong bài toán kinh tế . . . . . . . .

24

Ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số trong các
bài toán sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2.1

Ứng dụng tìm giới hạn của hàm số . . . . . . .

30

2.2.2

Ứng dụng tìm cực trị địa phương, giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập

35

2.2.3

Ứng dụng tìm điểm uốn của đồ thị hàm số . . .

41

2.2.4

Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp
tuyến của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.2.5

Ứng dụng tính xấp xỉ một hàm khả vi . . . . .

48

2.2.6

Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức . . . . . .

50

2.2.7

Ứng dụng giải các bài toán về phương trình, bất
phương trình và hệ phương trình . . . . . . . .

53

2.2.8

Ứng dụng giải một số bài toán tổ hợp . . . . . .

56

2.2.9

Ứng dụng giải các bài toán về phương trình hàm 62

Ứng dụng của đạo hàm trong toán cao cấp . . . . . . .

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

65
67

ii


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

LỜI NÓI ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Phép tính đạo hàm là một trong những phép tính cơ bản của Giải
tích toán học. Nhờ có phép tính đạo hàm mà nhiều bài toán trong
thực tế, trong toán sơ cấp hay cao cấp được giải quyết nhanh gọn và
dễ hiểu.
Vận dụng phép tính đạo hàm của hàm số một biến số vào giải toán
tuy không phải là một vấn đề mới nhưng là một phương pháp rất lí
thú và lôi cuốn đối với học sinh. Với phương pháp này, học sinh có thể
giải quyết được rất nhiều bài toán thực tế, Đại số và Giải tích, các bài

toán trong các kỳ thi học sinh giỏi cũng như trong các kì thi Đại học,
Cao đẳng như tìm giới hạn, viết phương trình tiếp tuyến, tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất, ... của hàm số một biến số.
Hiện nay, có nhiều cuốn sách viết về vấn đề này nhưng với mục
đích là tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về giải tích toán học, để tích lũy vốn
kinh nghiệm cho bản thân phục vụ cho công tác giảng dạy sau này,
đồng thời giúp độc giả có cái nhìn tổng quan và sâu sắc hơn về ứng
dụng của đạo hàm hàm số một biến số em đã chọn đề tài “Một số ứng
dụng của đạo hàm hàm số một biến số” để thực hiện khóa luận tốt
nghiệp Đại học.
II. Mục tiêu nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu một số ứng dụng của đạo hàm hàm
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

1


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

số một biến số trong việc giải các bài toán thực tế, sơ cấp và cao cấp.
III. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tập trung đến một số ứng dụng của đạo hàm hàm số
một biến số trong việc giải các bài toán sơ cấp, sơ lược một vài ứng
dụng trong giải một số bài toán thực tế và trong toán cao cấp.
IV. Các phương pháp nghiên cứu
Phương pháp thống kê, phương pháp phân tích, phương pháp tổng
hợp, phương pháp so sánh và nghiên cứu các tài liệu liên quan.
V. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục sách tham khảo cấu trúc
khóa luận gồm 2 chương:
Chương 1. "Các kiến thức chuẩn bị" trình bày các khái niệm, định
lí và các các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số một biến số.
Nội dung của chương chủ yếu được lấy trong các tài liệu [2, 5, 8] mục
"Tài liệu tham khảo" ở trang cuối của bản khóa luận.
Chương 2. "Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số"
trình bày một số ứng dụng điển hình của đạo hàm hàm số một biến
số trong việc giải các bài toán thực tế, các bài toán sơ cấp và các bài
toán cao cấp. Ở mỗi ứng dụng em đưa ra phương pháp vận dụng, ví
dụ minh họa và các bài tập đề nghị. Nội dung chương 2 được tham
khảo trong các tài liệu mà em đã nêu tại mục "Tài liệu tham khảo" ở
trang cuối của bản khóa luận.

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

2


Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này em sẽ hệ thống các khái niệm, định lí và các
các kiến thức liên quan đến đạo hàm hàm số một biến số, một số
chứng minh em xin phép không trình bày, độc giả quan tâm có thể
tra cứu trong các tài liệu [2, 5, 8].

1.1
1.1.1

Định nghĩa đạo hàm

Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán 1. Bài toán tìm vận tốc tức thời
Một chất điểm M chuyển động trên trục s Os (hình 1.1).

Hình 1.1

3


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t
s = s(t).
Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của
chuyển động tại thời điểm t0 ?
Giải. Trong khoảng thời gian từ t0 đến t, chất điểm đi được quãng
đường là
s − s0 = s (t) − s (t0 ).
s − s0
s(t) − s(t0 )
=
là
t − t0
t − t0
một hằng số với mọi t. Đó chính là vận tốc của chuyển động tại mọi
Nếu chất điểm chuyển động đều thì tỉ số

thời điểm.
s − s0
s(t) − s(t0 )
=
t − t0
t − t0
là vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian |t − t0 |.
Nếu chất điểm chuyển động không đều thì tỉ số

Khi t càng gần t0 , tức là |t − t0 | càng nhỏ thì vận tốc trung bình
càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển
động tại thời điểm t0 .
Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây.
s(t) − s(t0 )
được gọi là vận tốc tức
t→t0
t − t0
thời của chuyển động tại thời điểm t0 ”.
“Giới hạn hữu hạn (nếu có) lim

Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển động
tại thời điểm t0 .
Bài toán 2. Bài toán tìm cường độ tức thời
Điện lượng Q chuyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t :
Q = Q(t).
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

4

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian |t − t0 |
là :
Itb =

Q(t) − Q(t0 )
.
t − t0

Nếu |t − t0 | càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu thị chính xác hơn
cường độ dòng điện tại thời điểm t0 . Người ta đưa ra định nghĩa sau
đây.
Q(t) − Q(t0 )
được gọi là cường độ tức thời
t→t0
t − t0
của dòng điện tại thời điểm t0 ”.
“Giới hạn (nếu có) lim

Nhận xét 1.1. Nhiều bài toán Vật lí, Hóa học, ... đưa đến việc tìm
f (x) − f (x0 )
, trong đó y = f (x) là một hàm số
giới hạn dạng lim
x→x0
x − x0
đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán
học, đó là khái niệm đạo hàm.

1.1.2

Đạo hàm tại một điểm

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và
x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
f (x) − f (x0 )
x→x0
x − x0
lim

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0
và kí hiệu là f (x0 ) hoặc y (x0 ), nghĩa là
f (x) − f (x0 )
.
x→x0
x − x0

f (x0 ) = lim

Trong định nghĩa trên, nếu đặt
∆x = x − x0 và ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 )
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

5


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

thì ta có
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
∆y
= lim
.
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x

f (x0 ) = lim

Chú ý 1.1. Đại lượng ∆x = x − x0 được gọi là số gia của đối số tại
x0 . Đại lượng ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) được gọi là số gia của hàm
số ứng với số gia ∆x tại điểm x0 .
Ví dụ 1.1. Tính đạo hàm của hàm số f (x) =

1
tại điểm x0 = 2.
x

Giải. Giả sử ∆x là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có
∆y = f (2 + ∆x) − f (2) =

1
1
∆x
− =−
;
2 + ∆x 2

2(2 + ∆x)

∆y
1
=−
;
∆x
2(2 + ∆x)
∆y
−1
−1
= lim
=
.
∆x→0 ∆x
∆x→0 2(2 + ∆x)
4
−1
Vậy f (2) =
.
4
lim

Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a, b) ⊂ R và có đạo
hàm tại x0 ∈ (a, b). Đạo hàm của hàm số y = f (x) tại điểm x0 là hệ
số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm M0 (x0 , f (x0 )).
Định lí 1.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và
x0 ∈ (a, b). Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 thì nó liên
tục tại điểm x0 .

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

6


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.3

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Đạo hàm một bên

Định nghĩa 1.2. (Đạo hàm bên phải). Cho hàm số y = f (x) xác định
trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim+

x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên phải của hàm số y = f (x)
tại x = x0 và kí hiệu là f (x+
0 ).
Định nghĩa 1.3. (Đạo hàm bên trái). Cho hàm số y = f (x) xác định
trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
lim−

x→x0

f (x) − f (x0 )
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f (x) tại
x = x0 và kí hiệu là f (x−
0 ).
Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một
bên. Từ các tính chất của giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau
đây:
Định lí 1.2. (Điều kiện cần và đủ để hàm số có đạo hàm). Cho hàm
số y = f (x) xác định trên (a, b) ⊂ R và x0 ∈ (a, b). Hàm số y = f (x)
−
có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi f (x+
0 ), f (x0 ) tồn tại và bằng nhau.

Khi đó, ta có
−
f (x+
0 ) = f (x0 ) = f (x0 ).

Ví dụ 1.2. Xét hàm f (x) = |x| . Tại điểm x0 = 0 ta có
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

7


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

∆f
∆x
= lim +
= 1, hay f (0+ ) = 1 và
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆x
∆x
∆f
= lim − −
= −1, hay f (0− ) = −1.
lim −
∆x→0
∆x→0 ∆x
∆x
lim +

Như vậy không tồn tại đạo hàm của hàm f tại x0 = 0.
1.1.4

Đạo hàm trên một tập bất kì

Định nghĩa 1.4. (Đạo hàm trên một khoảng). Hàm số y = f (x)
được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a, b) ⊂ R nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm x trên khoảng đó.
Định nghĩa 1.5. (Đạo hàm trên một đoạn). Hàm số y = f (x) được
gọi là có đạo hàm trên đoạn [a; b] nếu thỏa mãn các điều kiện sau :
Có đạo hàm tại mọi x thuộc (a ; b) ;
Có đạo hàm bên phải tại x = a ;

Có đạo hàm bên trái tại x = b.
Ví dụ 1.3. Sử dụng định nghĩa đạo hàm dễ dàng ta chứng minh được
i) Hàm số hằng f (x) = c có đạo hàm trên R và f (x) = 0.
ii) Hàm số y = xn (n ∈ N, n > 1) có đạo hàm tại mọi x ∈ R và
y (x) = nxn−1 .
iii) Hàm số y =

√

1
x có đạo hàm tại mọi x dương và y (x) = √ .
2 x

iv) Hàm số y = ex có đạo hàm tại mọi x và y (x) = ex .

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

8


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2
1.2.1

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Quy tắc tính đạo hàm
Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số

Định lí 1.3. Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên
J ⊂ R thì hàm số f (x) = u (x) + v (x) và g(x) = u (x) − v (x) cũng có
đạo hàm trên J và
a) f (x) = u (x) + v (x).
b) g (x) = u (x) − v (x).
Nhận xét 1.2. Có thể mở rộng định lí trên cho tổng hay hiệu của
nhiều hàm số : Nếu các hàm số u = u(x), v = v(x), ..., w = w(x) có
đạo hàm trên J ⊂ R thì trên J ta có
(u ± v ± ... ± w) = u ± v ± ... ± w .
√
Ví dụ 1.4. Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = x6 − x+2 trên khoảng
(0; +∞).
Giải. Trên khoảng (0; +∞) ta có
f (x) = x6 −

√

1
x + (2) = 6x5 − √ .
2 x

1
Vậy f (x) = 6x5 − √ .
2 x

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

9

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.2.2

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Đạo hàm của tích hai hàm số

Định lí 1.4. Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên
J ⊂ R thì hàm số y(x) = u (x) .v (x) cũng có đạo hàm trên J và
y (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x) .
Đặc biệt, nếu k là hằng số thì y (x) = [ku (x)] = ku (x) .
Ví dụ 1.5. Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = 2x2 + 1

√

x trên

khoảng (0; +∞).
Giải. Ta có
f (x) =

2x2 + 1

= 2x2 + 1

√
√

x

x + 2x2 + 1

√

x

2x2 + 1
= 4x x + √ .
2 x
√

1.2.3

Đạo hàm của thương hai hàm số

Định lí 1.5. Nếu hai hàm số u = u (x) và v = v (x) có đạo hàm trên
u (x)
J ⊂ R và v (x) = 0 với mọi x ∈ J thì hàm số y =
cũng có đạo
v (x)
hàm trên J và
y (x) =

u (x) v (x) − u (x) v (x)
.
v 2 (x)

Hệ quả 1.1
i, Trên (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ta có

1
x

=

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

−1
.
x2
10


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

ii, Nếu hàm số v = v (x) có đạo hàm trên J ⊂ R và v (x) = 0 với
1
v (x)
mọi x ∈ J thì trên J ta có
.
=− 2
v (x)
v (x)
Ví dụ 1.6. 1) Xét hàm số f (x) =

1 + 9x
với x = ±1

x2 − 1

Áp dụng định lí với u (x) = 1 + 9x và v (x) = x2 − 1 ta có
1 + 9x
f (x) = 2
x −1

=

(1 + 9x) x2 − 1 − (1 + 9x) x2 − 1

(x2 − 1)2
9 x2 − 1 − (1 + 9x) 2x −9x2 − 2x − 9
=
=
.
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2

Tương tự ta dễ dàng chứng minh được:
2) Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi x =
y =

π
+ kπ, k ∈ Z và
2

1
.
cos2 x

3) Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi x = kπ, k ∈ Z và
y =

1.3

−1
.
sin2 x

Đạo hàm của hàm hợp

Định lí 1.6. Cho hai tập U, V trong R. Giả sử hàm f : U → V , f (x)
khả vi tại x0 ∈ U và hàm g : V → R, g(x) khả vi tại y0 = f (x0 ) ∈ V .
Khi đó, hàm hợp g[f (x)] khả vi tại x0 và
(g[f (x)]) = g [f (x0 )] .f (x0 ) .

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

11


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Ví dụ 1.7. Tìm đạo hàm của hàm số y = cos 5x.
Giải. Áp dụng định lí 1.6 ta có
y = (cos 5x) = − sin 5x.(5x) = −5 sin 5x.
Vậy y = −5 sin 5x.

1.4

Đạo hàm của hàm ngược

Định lí 1.7. Cho hàm f : (a, b) → R liên tục, đơn điệu thực sự trong
khoảng (a; b) và f có đạo hàm f (x0 ) = 0 tại x0 ∈ (a; b). Khi đó,
hàm ngược g = f −1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y0 = f (x0 ) và
1
g (y0 ) =
.
f (x0 )
Ví dụ 1.8. 1) Xét hàm y = arcsin x, x ∈ (−1, 1). Hàm này là hàm
π π
ngược của hàm x = sin y, y ∈ − ,
. Ta có
2 2
(arcsin x) =

1
=
cos y

1
1 − sin2 y

=√

1
, (x ∈ (−1, 1)).

1 − x2

2) Xét hàm y = arctan x. Hàm này là hàm ngược của hàm
π π
x = tan y, y ∈ − ,
2 2
và ta có
(arctan x) = cos2 y =

1
1
=
.
1 + tan2 y
1 + x2

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

12


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Đạo hàm của hàm cho bởi tham số

Định lí 1.8. Giả sử y = f (x) là hàm số cho bởi tham số


 x = x(t)
, t ∈ (a, b)
 y = y(t)
trong đó x = x(t) và y = y(t) là các hàm khả vi tại t = t0 với
x (t0 ) = 0. Hơn nữa giả sử rằng hàm x = x(t) liên tục và đơn điệu
thực sự trong khoảng (a, b). Khi đó, theo định lí 1.9 hàm x = x(t) có
1
hàm ngược t = t(x) khả vi tại x0 = x(t0 ) và tx (x0 ) =
. Lấy đạo
x (t0 )
hàm của hàm y đối với x tại x0 theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta
được
y x (x0 ) = y (t0 )tx (x0 ) =

x (t0 )
.
y (t0 )

Ví dụ 1.9. Tìm đạo hàm của hàm số y = y(x) cho bởi phương trình
tham số


 x = sin t
 y = cos t

Giải. Ta có y x = −

−π
π

2
2

.

sin t
= − tan t.
cos t

Nếu dùng hệ thức biểu diễn y trực tiếp theo x : y =

√

1 − x2 và lấy

đạo hàm theo x ta có
y =√

−x
sin t
=−
= − tan t.
cos t
1 − x2

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

13

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.6

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.6. Giả sử U ⊂ R là tập hợp mở, f : U → R là hàm
khả vi trên U. Khi đó xác định hàm f : U → R, x → f (x) . Nếu tại
x0 ∈ U hàm f : U → R khả vi thì ta gọi đạo hàm của f tại x0 là đạo
hàm cấp hai của hàm f tại x0 và kí hiệu là f (x0 ) : f (x0 ) = (f ) (x0 ) .
Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x0 còn gọi là khả vi cấp hai tại đó.
Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n − 1 của f trên
U , khi đó có xác định hàm f (n−1) : U → R, x → f (n−1) (x) . Nếu hàm
f (n−1) khả vi tại x0 ∈ U thì ta gọi đạo hàm của f (n−1) tại x0 là đạo
hàm cấp n của f tại x0 và kí hiệu là f (n) và f (n) = (f (n−1) ) . Hàm f
có đạo hàm cấp n tại x0 còn gọi là khả vi cấp n tại đó.
Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của f . Ta quy
ước đạo hàm cấp không của hàm số f chính là f .
Ví dụ 1.10. 1) Với y = x5 thì
y = 5x4 , y = 20x3 , y = 60x2 ,
y (4) = 120x, y (5) = 120 và y (n) = 0 với n ∈ N, n > 5.
2) Cho hàm số f (x) = sin x. Ta có
π
f (x) = cos x = sin(x + );
2
π
π

f (x) = cos(x + ) = sin(x + 2 );
2
2
π
Bằng quy nạp ta có f (n) (x) = sin(x + n ).
2
π
3) Tương tự ta có (cos x)(n) = cos(x + n ).
2
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

14


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

Công thức Leibniz
Cho tập mở U ⊂ R. Giả sử f, g : U → R là hai hàm khả vi cấp n
trên U. Ta có công thức Leibniz sau đây về đạo hàm cấp n của tích
f.g:

n

Cnk f (k) (x)g (n−k) (x).

(n)

(f.g) (x) =

k=0

1.7

Một số định lí cơ bản của hàm khả vi

Định nghĩa 1.7. (Cực trị địa phương). Cho tập hợp mở U ⊂ R và
hàm số f : U → R. Ta nói rằng hàm f đạt cực đại tại địa phương
(tương ứng cực tiểu địa phương) tại x0 ∈ U nếu tồn tại số δ > 0 sao
cho (x0 − δ, x0 + δ) ⊂ U và f (x) ≤ f (x0 ) (tương ứng f (x) ≥ f (x0 ))
với mọi x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).
Điểm x0 mà tại đó hàm f đạt cực đại địa phương hoặc cực tiểu địa
phương được gọi chung là điểm cực trị của hàm f .
Định lí 1.9. (Định lý Fermat). Cho tập hợp mở U ⊂ R và hàm
f : U → R. Nếu điểm c ∈ U là điểm cực trị địa phương của hàm f và
f khả vi tại c thì f (c) = 0.
Chú ý 1.2. Điểm x0 tại đó f (x0 ) = 0 được gọi là điểm dừng của
hàm f . Như vậy nếu hàm f : U → R (U mở) là hàm khả vi trên U thì
những điểm cực trị của f phải nằm trong số các điểm dừng của f .
Định lí 1.10. (Định lý Rolle). Giả sử hàm số f : [a, b] → R thỏa mãn:
a) f liên tục trên [a, b];
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

15


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

b) f khả vi trong (a, b);
c) f (a) = f (b) .
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.
Định lí 1.11. (Định lý Lagrange). Giả sử hàm số f : [a, b] → R thỏa
mãn:
a) f liên tục trên [a, b];
b) f khả vi trong (a, b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
f (b) − f (a) = f (c) (b − a) .

(1.1)

Chú ý 1.3
1. Định lí Rolle là một trường hợp riêng của định lí Lagrange.
2. Công thức (1.1) được gọi là công thức số gia hữu hạn Lagrange.
Lấy a = x0 , b = x0 + ∆x khi đó b − a = ∆x. Vì c ở giữa x0 và x0 + ∆x
nên c có thể viết dưới dạng c = x0 + θ∆x, trong đó 0 < θ < 1. Công
thức (1.1) có thể viết lại dưới dạng:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 + θ∆x) ∆x.

(1.2)

Công thức (1.2) có ý nghĩa trong tính toán xấp xỉ sẽ được trình bày
trong chương 2.
Hệ quả 1.2. Giả sử hàm số f : [a, b] → R liên tục trên đoạn [a, b] và
khả vi trong khoảng (a, b). Khi đó:
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

16

Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

a) Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b) thì f là một hằng số trên [a, b].
b) Nếu f (x) > 0(f (x) < 0) với mọi x ∈ (a, b) thì f tăng (giảm)
thực sự trên [a, b].
Định lí 1.12. (Định lý Cauchy). Giả sử các hàm số f, g : [a, b] → R
thỏa mãn:
a) f, g liên tục trên [a, b];
b) f, g khả vi trong khoảng (a, b).
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho
[f (b) − f (a)] g (c) = [g (b) − g (a)] f (c) .
Nếu hơn nữa g (x) = 0 với mọi x ∈ (a, b) thì công thức trên có thể
viết là
f (b) − f (a) f (c)
=
.
g (b) − g (a)
g (c)
Chú ý 1.4. Định lí Lagrange là trường hợp riêng của định lí Cauchy
với hàm g(x) = x.
0
Định lí 1.13. (Định lí L’ Hospital khử dạng vô định ). Nếu các hàm
0
số f (x) và g(x) xác định và liên tục trong lân cận nào đó của điểm
x0 trong đó x0 là một số hay dấu ∞, và khi x → x0 cả hai hàm đều
tiến tới 0, còn các đạo hàm f (x) và g (x) tồn tại trong lân cận nói
trên (có thể trừ điểm x0 ), đồng thời không triệt tiêu cùng một lúc khi

f (x)
x = x0 và tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì
x→x0 g (x)
f (x)
f (x)
= lim
.
x→x0 g (x)
x→x0 g (x)
lim

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

17


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

∞
). Nếu các
∞
hàm số f (x) và g(x) khi x → x0 cùng tiến tới vô cùng, còn các đạo

Định lí 1.14. (Định lí L’ Hospital khử dạng vô định

hàm f (x) và g (x) tồn tại với mọi x thuộc lân cận nào đó của điểm
x0 , và khác x0 , thêm vào đó (f )2 + (g )2 = 0 trong lân cận nói trên và

f (x)
x = x0 , và tồn tại giới hạn hữu hạn lim
thì
x→x0 g (x)
f (x)
f (x)
lim
= lim
.
x→x0 g (x)
x→x0 g (x)

1.8

Công thức Taylor

1.8.1

Công thức Taylor với số dư dạng Lagrange

Định lí 1.15. Giả sử hàm f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp n + 1
trong (a, b), x0 ∈ (a, b). Khi đó với mọi x ∈ (a, b) ta có
n

f (x) =
k=0

f (k) (x0 )
f (n+1) (c)
k

(x − x0 ) +
(x − x0 )n+1
k!
(n + 1)!

trong đó c là một điểm ở giữa x và x0 .
Ngoài công thức trên ta có công thức Taylor với số dư dạng Peano
như sau
Định lí 1.16. Cho tập hợp mở U ⊂ R . Giả sử hàm f : U → R có
đạo hàm đến cấp n trong một lân cận nào đó của x0 ∈ U và f (n) (x)
liên tục tại x0 . Khi đó với x ở trong lân cận nói trên của x0 ta có
n f (k) (x )
0
f (x) =
(x − x0 )k + o ((x − x0 )n ) .
k!
k=0
Tính chất 1.1. Cho f, g là hai hàm số nhận khai triển hữu hạn lân
cận điểm x = 0, khi đó :
Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

18


Khóa luận tốt nghiệp Đại học

Trần Minh Sơn - K39B Sư phạm Toán

a) λf + g, λ ∈ R cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận điểm x = 0.
b) f.g cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận x = 0.

c) Nếu f (0) = 0 thì hàm hợp g [f (x)] cũng nhận khai triển hữu
hạn lân cận điểm x = 0.
f
d) Nếu g (0) = 0 thì cũng nhận khai triển hữu hạn lân cận x = 0.
g
1.8.2

Khai triển Mac – Laurin

Khai triển Taylor với số dư dạng Peano của hàm f (x) trong lân
cận của điểm x0 = 0 còn được gọi là khai triển Mac Laurin:
f (0) 2
f (n) (0) n
f (0)
x+
x + ... +
x + o (xn ) .
f (x) = f (0) +
1!
2!
n!
Một số khai triển Mac – Laurin hữu hạn của một số hàm số sơ cấp
quen thuộc:
i)

1
= 1 − x + x2 − ... + (−1)n xn + o (xn ) ;
1+x

ii)

1
= 1 + x + x2 + ... + xn + o (xn ) ;
1−x

iii) ln (1 + x) = x −

x2
xn
+ ... + (−1)n−1 + o (xn ) ;
2
n

xn
x x2
iv) e = 1 + +
+ ... +
+ o (xn ) ;
1! 2!
n!
x

2n−1
x3
n−1 x
v) sin x = x −
+ ... + (−1)
+ o x2n ;
3!
(2n − 1)!

2n
x2
n x
vi) cos x = 1 −
+ ... + (−1)
+ o x2n+1 .
2
(2n)!

Một số ứng dụng của đạo hàm hàm số một biến số

19