www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
TÀI LIỆU TOÁN 12
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT
ÔN THI THPT QUỐC GIA 2017
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
_15_
Phần 3. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng
_21_
Phần 4. Số phức
_31_
Phần 5. Khối đa diện
_33_
Phần 6. Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
_45_
Phần 7. Tọa độ không gian Oxyz
_53_
oc
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit
ai
H
_01_
nT
hi
D
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
Nguyễn Văn Lực – Cần Thơ
FB: www.facebook.com/VanLuc168
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
01
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
01
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
Định lý 1: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên K .
[ f ' x 0 với mọi x K ]
hi
D
'( x ) 0 với mọi x K
f '( x ) 0 với mọi x K
[ f '( x ) 0 với mọi x K ]
[ f '( x ) 0 với mọi x K ]
nT
a) Nếu hàm số f ( x ) đồng biến trên K thì f
b) Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến trên K thì
[ f ( x ) đồng biến trên K ]
[ f ( x ) nghịch biến trên K ]
ai
H
oc
1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Ta
iL
ie
Định lý 2: Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên K .
uO
[ f ( x ) không đổi trên K ]
a) Nếu f ' x 0 với mọi x K thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K
b) Nếu f ' x 0 với mọi x K thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K
up
s/
c) Nếu f ' x 0 với mọi x K thì hàm số f ( x ) không đổi trên K
[ f ' x 0 với mọi x K ]
[ f ( x ) đồng biến trên K ]
[ f ' x 0 với mọi x K ]
[ f ( x ) nghịch biến trên K ]
ro
om
/g
Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số y f ( x ) có đạo hàm trên K .
a) Nếu f '( x ) 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
.c
thì hàm số f ( x ) đồng biến trên K .
ok
b) Nếu f '( x ) 0 với mọi x K và f ' x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
bo
thì hàm số f ( x ) nghịch biến trên K .
ce
Định lý 4: Cho hàm số bậc ba y f x ax 3 bx 2 cx d a 0 , ta có
.fa
f ' x 3ax 2 2bx c .
w
w
w
a) Hàm số y f x ax 3 bx 2 cx d a 0
đồng biến trên f ' x 3ax 2 2bx c 0 x
b) Hàm số y f x ax 3 bx 2 cx d a 0
nghịch biến trên f ' x 3ax 2 2bx c 0 x
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
1
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
01
NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai f ( x) ax 2 bx c (a 0) ta có:
0
f ( x) 0 x
a 0
0
f ( x) 0 x
a 0
oc
VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
ai
H
Để xét chiều biến thiên của hàm số y f x , ta thực hiện các bước như sau:
D
– Tìm tập xác đònh của hàm số.
– Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
nT
hi
– Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghòch
biến của hàm số.
Ta
iL
ie
uO
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghòch biến
trên tập xác đònh (hoặc trên từng khoảng xác đònh)
Cho hàm số y f ( x , m) , m là tham số, có tập xác đònh D .
Hàm số f đồng biến trên D y 0, x D.
Từ đó suy ra điều kiện của m .
up
s/
Hàm số f nghòch biến trên D y 0, x D.
om
/g
2) Nếu y ax 2 bx c thì:
ro
Chú ý:
1) y 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm.
a b 0
c 0
y ' 0, x
a 0
0
ok
.c
a b 0
c 0
y ' 0, x
a 0
0
3) Đònh lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) ax 2 bx c :
bo
Nếu 0 thì g x luôn cùng dấu với a .
b
)
2a
.fa
ce
Nếu 0 thì g x luôn cùng dấu với a (trừ x
Nếu 0 thì g x có hai nghiệm x1 , x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x khác
w
w
w
dấu với a , ngoài khoảng hai nghiệm thì g x cùng dấu với a .
4) So sánh các nghiệm x1 , x2 của tam thức bậc hai g( x ) ax 2 bx c với số 0:
0
x1 x2 0 P 0
S 0
www.facebook.com/VanLuc168
0
0 x1 x2 P 0
S 0
VanLucNN
x1 0 x2 P 0
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
2
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
5) Để hàm số y ax 3 bx 2 cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghòch biến) x1; x2 bằng d
thì ta thực hiện các bước sau:
Tính y .
Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghòch biến:
a 0
0
Biến đổi x1 x2 d thành ( x1 x2 )2 4 x1 x2 d 2
01
1
oc
2
ai
H
Sử dụng đònh lí Viet đưa 2 thành phương trình theo m.
nT
Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:
hi
VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức
D
Giải phương trình, so với điều kiện 1 để chọn nghiệm.
uO
Chuyển bất đẳng thức về dạng f ( x ) 0 (hoặc , , ). Xét hàm số y f ( x ) trên tập
Ta
iL
ie
xác đònh do đề bài chỉ đònh.
Xét dấu f ' x . Suy ra hàm số đồng biến hay nghòch biến.
Dựa vào đònh nghóa sự đồng biến, nghòch biến để kết luận.
Chú ý:
1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f ' x thì ta đặt h x f ' x và quay lại
up
s/
tiếp tục xét dấu h ' x … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f a f b .
om
/g
ro
Xét tính đơn điệu của hàm số f ( x ) trong khoảng a; b .
VẤN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
.c
Để chứng minh phương trình f x g x (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:
ok
Chọn được nghiệm x0 của phương trình.
bo
Xét các hàm số y f ( x ) C1 và y = g(x) C2 . Ta cần chứng minh một hàm số đồng
biến và một hàm số nghòch biến. Khi đó C1 và C2 giao nhau tại một điểm duy nhất có
ce
hoành độ x0 . Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).
w
w
w
.fa
Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y C thì kết luận trên vẫn đúng.
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
3
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
a) Nếu f '( x ) 0 với mọi x a; x0 và f '( x ) 0 với mọi x x0 ; b
thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại điểm x0 .
nT
hi
b) Nếu f '( x ) 0 với mọi x a; x0 và f '( x ) 0 với mọi x x0 ; b
D
khoảng a; x0 và x0 ; b . Khi đó
ai
H
oc
Giả sử hàm số y f ( x ) liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các
uO
thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại điểm x0 .
Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
cấp hai khác khơng tại điểm x0 . Khi đó
Ta
iL
ie
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a; b chứa điểm x0 , f ( x0 ) 0 và f có đạo hàm
a) Nếu f x0 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực đại tại điểm x0
up
s/
b) Nếu f x0 0 thì hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm x0
Định lý 4:
ro
a) Hàm số y f x ax 3 bx 2 cx d a 0 có hai điểm cực trị
om
/g
f ' x 3ax 2 2bx c 0 có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số y f x ax 4 bx 2 c a 0 có ba điểm cực trị
ok
.c
f ' x 4ax 3 2bx 0 có ba nghiệm phân biệt.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trò của hàm số
ce
bo
Qui tắc 1: Dùng đònh lí 1.
Tìm f x .
.fa
Tìm các điểm xi i 1, 2 , mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
w
Xét dấu f x . Nếu f x đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trò tại xi .
w
w
Qui tắc 2: Dùng đònh lí 2.
Tính f x .
Giải phương trình f x 0 tìm các nghiệm xi i 1, 2, .
Tính f x và f xi i 1, 2, .
Nếu f xi 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi .
www.facebook.com/VanLuc168
01
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu f có đạo hàm tại x0 thì f ' x0 0
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
4
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
Nếu f xi 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi .
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trò
1. Nếu hàm số y f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f x0 0 hoặc tại x0 không có đạo hàm.
Chú ý:
ai
H
phân biệt.
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y x0 bằng hai cách:
oc
Hàm số bậc ba y ax 3 bx 2 cx d có cực trò Phương trình y 0 có hai nghiệm
D
+ y x0 ax03 bx02 cx0 d
hi
+ y x0 Ax0 B , trong đó Ax B là phần dư trong phép chia y cho y.
nT
ax 2 bx c P( x )
aa ' 0 có cực trò Phương trình y 0 có hai
a' x b'
Q( x )
b'
nghiệm phân biệt khác .
a'
Khi đó nếu x0 là điểm cực trò thì ta có thể tính giá trò cực trò y x0 bằng hai cách:
P x0
hoặc
Q x0
y x0
P ' x0
Q ' x0
up
s/
y x0
Ta
iL
ie
uO
Hàm số y
Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trò cần phải kiểm tra lại để loại bỏ
om
/g
ro
nghiệm ngoại lai.
Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là
đònh lí Vi–et.
VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trò
1) Hàm số bậc ba y f ( x ) ax 3 bx 2 cx d .
f x Q x . f x Ax B.
ok
.c
Chia f x cho f x ta được:
y fx Ax B
bo
1
1
Khi đó, giả sử x1; y1 , x2 ; y2 là các điểm cực trò thì: 1
y
fx
Ax
2
1
2 B
ce
Các điểm x1; y1 , x2 ; y2 nằm trên đường thẳng y Ax B.
w
w
w
.fa
P( x ) ax 2 bx c
2) Hàm số phân thức y f ( x )
.
Q( x )
dx e
Giả sử x0 ; y0 là điểm cực trò thì y0
P ' x0
Q ' x0
.
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trò ấy là: y
P ' x
Q ' x
2ax b
.
d
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
01
2. Để hàm số y f ( x ) đạt cực trò tại điểm x0 thì f x đổi dấu khi x đi qua x0 .
5
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
3. GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên
01
Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.
Tính f x .
oc
Xét dấu f x và lập bảng biến thiên.
ai
H
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
D
Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn a; b .
Tính f x .
nT
hi
Giải phương trình f x 0 tìm được các nghiệm x1 , x2 , , xn trên a; b (nếu có).
Tính f a , f b , f x1 , f x2 , , f xn .
uO
So sánh các giá trò vừa tính và kết luận.
M max f ( x ) max f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n )
Ta
iL
ie
[a; b ]
m min f ( x ) min f (a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn )
[a; b ]
up
s/
VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
om
/g
ro
Cách này dựa trực tiếp vào đònh nghóa GTLN, GTNN của hàm số.
Chứng minh một bất đẳng thức.
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trò ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành
đẳng thức.
Một số kiến thức thường dùng:
2
b
a) f ( x ) ax bx c a x
2a
4a
b) Bất đẳng thức Cơ-si:
ab
ab a b 2 ab
Với hai số a, b khơng âm a, b 0 ta ln có:
2
Dấu "=" xảy ra khi a b
abc 3
abc a b c 33 abc
Với ba số a, b, c khơng âm a, b, c 0 ta ln có:
3
Dấu "=" xảy ra khi a b c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
2
1) a2 b2 2ab ab
a2 b2
2
2) (a b)2 4ab ab
(a b)2
4
3) (a b)2 2(a2 b2 ) a2 b2
www.facebook.com/VanLuc168
(a b)2
2
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
6
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trò
Xét bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x ) trên một miền D cho trước.
Gọi y0 là một giá trò tuỳ ý của f x trên D , thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:
(1)
(2)
Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện ấy
(sau khi biến đổi) có dạng: m y0 M (3)
oc
Vì y0 là một giá trò bất kì của f x nên từ (3) ta suy ra được:
ai
H
min f ( x ) m; max f ( x ) M
D
hi
VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
D
D
nT
Giả sử f x là một hàm số liên tục trên miền D và có min f ( x ) m; max f ( x ) M . Khi đó:
D
uO
D
Ta
iL
ie
f (x)
1) Hệ phương trình
có nghiệm m M .
x D
f (x)
2) Hệ bất phương trình
có nghiệm M .
x D
f (x)
3) Hệ bất phương trình
có nghiệm m .
x D
up
s/
4) Bất phương trình f x đúng với mọi x m .
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
5) Bất phương trình f x đúng với mọi x M .
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
01
f ( x ) y0
x D
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
7
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN
x x0
lim f ( x ) ;
x x0
x x0
lim f ( x )
x x0
oc
ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) ;
lim f ( x ) ;
ai
H
Đường thẳng y y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của đồ thò hàm số y f ( x )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
lim f ( x ) y0 ;
lim f ( x ) y0
x
D
x
f ( x ) (ax b) 0 ;
lim
x
f ( x ) (ax b) 0
2. Chú ý:
P( x )
là hàm số phân thức hữu tỷ.
Q( x )
Ta
iL
ie
a) Nếu y f ( x )
uO
lim
nT
hi
Đường thẳng y ax b, a 0 được gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thò hàm số
y f ( x ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:
x
Nếu Q x 0 có nghiệm x0 thì đồ thò có tiệm cận đứng x x0 .
Nếu bậc P x bậc Q x 1 thì đồ thò có tiệm cận xiên.
up
s/
Nếu bậc P x bậc Q x thì đồ thò có tiệm cận ngang.
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
b) Để xác đònh các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:
f (x)
a lim
;
b lim f ( x ) ax
x x
x
f (x)
hoặc a lim
;
b lim f ( x ) ax
x x
x
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
01
1. Đònh nghóa:
Đường thẳng x x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thò hàm số y f ( x ) nếu
8
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
oc
Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
Tìm tập xác đònh của hàm số.
Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y.
+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác đònh.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trò của hàm số.
Vẽ đồ thò của hàm số:
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thò.
+ Xác đònh một số điểm đặc biệt của đồ thò như giao điểm của đồ thò với các trục toạ độ
(trong trường hợp đồ thò không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì
có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thò để có thể vẽ chính xác hơn.
+ Nhận xét về đồ thò: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thò.
01
5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
9
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
6. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán tổng quát
nT
hi
D
ai
H
oc
01
(C ) : y f ( x )
Trong mp Oxy . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 1
(C2 ) : y g( x )
C1 và C2 cắt nhau C1 và C2 tiếp xúc nhau
Ta
iL
ie
uO
C1 và C2 không có điểm chung
Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f x g x 1
của hai đồ thị C1 và C2 .
up
s/
* Tùy theo số nghiệm của phương trình 1 mà ta kết luận về số điểm chung
ro
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình 1 chính là số giao điểm của hai đồ thị C1 và C2 .
ok
.c
Chú ý 1 :
* 1 vô nghiệm
om
/g
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt 1 bằng số giao điểm của hai đồ thị C1 và C2 .
C1 và C2 không có điểm điểm chung
C1 và C2 có n điểm chung
bo
* 1 có n nghiệm
ce
Chú ý 2 :
* Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hoành độ điểm chung của C1 và C2 .
w
w
w
.fa
Khi đó tung độ điểm chung là y0 f x0 hoặc y0 g x0 .
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
10
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
hi
D
ai
H
oc
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C : y f(x) tại điểm M0 (x0; y 0 ) (C)
01
7. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
uO
nT
Phương pháp:
y y0 k x x0 hay
y f '( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
hoành độ tiếp điểm
y0 :
tung độ tiếp điểm và y0 f x0
k:
hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức: k f ' x0
up
s/
x0 :
om
/g
ro
Trong đó:
Ta
iL
ie
Phương trình tiếp tuyến với C tại M x0 ; y0 có dạng:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C : y f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
.fa
ce
bo
ok
.c
Dạng 2:
w
w
w
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) là tiếp điểm của tiếp tuyến với C
Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x0 k , từ đó suy ra y0 f ( x0 ) ?
Bước 3: Thay các yếu tố tìm được vào phương trình: y y0 k x x0 ta sẽ được
phương trình tiếp tuyến cần tìm.
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
11
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
ai
H
oc
01
Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp
tuyến song songtiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
D
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Định lý 1: Nếu đường thẳng có phương trình dạng: y ax b thì hệ số góc
hi
của là:
nT
k a
uO
Định lý 2: Trong mp Oxy cho hai đường thẳng (1 ) vaø ( 2 ) . Khi đó:
k 1 k 2
1 2
k 1 .k 2 1
Ta
iL
ie
1 // 2
up
s/
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với C : y f(x) biết
ok
.c
om
/g
ro
tiếp tuyến đi qua điểm A x A ; y A
bo
Phương pháp : Ta có thể tiến hành theo các bước sau
ce
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến d với C tại điểm M 0 x0 ; y0 (C )
w
w
w
.fa
(d ) : y f '( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
*
Bước 2: Định x0 để d đi qua điểm A x A ; y A Ta có:
d đi qua điểm A x A ; y A y A f '( x0 )( x A x0 ) f ( x0 ) 1
Bước 3: Giải phương trình 1 tìm x0 . Thay x0 tìm được vào * ta sẽ được
phương trình tiếp tuyến cần tìm.
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
12
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
8. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
oc
Nghiệm x0 của phương trình 1 chính là hồnh độ giao điểm của C1 : y f x
y
(C1 )
và C2 : y f x
hi
D
ai
H
(C2 )
x
x0
nT
Bài tốn: Bằng đồ thị hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng:
*
uO
f x m
Ta
iL
ie
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hồnh độ giao điểm của hai đồ thị:
(C ) : y f ( x ) : (C) là đồ thò cố đònh
: () là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)
up
s/
( ) : y m
Bước 2: Vẽ C và lên cùng một hệ trục tọa độ
ro
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của và C
om
/g
Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình *
y
m2
.c
Minh họa:
(C ) : y f ( x )
ym
(0; m )
Dạng: f x g m giải tương tự
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
x
O
m1
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
01
Cơ sở của phương pháp
Xét phương trình f x g x 1
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
13
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 1. Ứng dụng của đạo hàm
9. TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên tập D.
Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy ) , tập hợp C tất cả các điểm có toạ độ x; f ( x) với x D
hi
D
ai
H
oc
01
được gọi là đồ thị của hàm số y f ( x) .
Ta
iL
ie
Phương pháp chung
Đặt M x0 , y0 C với y0 f x0 là điểm cần tìm;
uO
M ( x0 ; y 0 ) (C ) x0 D và y 0 f ( x0 )
nT
Từ định nghĩa ta có: (C ) M / M ( x; y ) vôùi x D vaø y f(x)
Từ điều kiện cho trước ta tìm một phương trình chứa x0 ;
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
up
s/
Giải phương trình tìm x0 , suy ra y0 f x0 M x0 ; y0 .
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
14
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
01
II. HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LOGARIT
ai
H
oc
§1. LŨY THỪA
hi
D
1. Đònh nghóa luỹ thừa
Cơ số a
0
a0
n (n *)
a0
a a
a0
a lim a rn
ro
Với mọi a 0, b 0 ta có:
a
a
a
om
/g
;
n a m (n a b b n a)
; (a ) a . ; (ab) a .b
a 1 : a a ;
m
n
a0
2. Tính chất của luỹ thừa
a .a a
a a n a.a......a (n thừa số a)
a a 0 1
1
a a n n
a
up
s/
m
(m , n *)
n
lim rn (rn , n *)
nT
a
uO
n *
Luỹ thừa a
Ta
iL
ie
Số mũ
a
a
;
b
b
0 a 1 : a a
.c
Với 0 a b ta có:
am bm m 0
ok
am bm m 0 ;
bo
Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
ce
3. Đònh nghóa và tính chất của căn thức
.fa
Căn bậc n của a là số b sao cho b n a .
w
w
w
Với a, b 0, m, n *, p, q ta có:
n
ab n a .n b ;
Nếu
p q
thì
n m
n
n
ap
a na
(b 0) ;
b nb
m
n
a q (a 0) ; Đặc biệt
Nếu n là số nguyên dương lẻ và a b thì
n
VanLucNN
n
a
mn
mn
a mn a
am
anb.
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 a b thì
www.facebook.com/VanLuc168
p
a p n a (a 0) ;
n
anb.
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
15
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
Chú ý:
+ Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n . Kí hiệu
n
a.
+ Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau.
4. Công thức lãi kép
Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì.
ai
H
oc
01
C A(1 r )N
Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:
nT
hi
D
§2. HÀM SỐ LŨY THỪA
uO
Đònh nghóa
Hàm số y x
n (n nguyên dương )
y xn
n (n nguyên âm hoặc n 0)
y xn
D \ 0
là số thực không nguyên
y x
D 0;
up
s/
D
không đồng nhất với hàm số y n x (n *) .
om
/g
Đạo hàm
x x 1 ( x 0) ;
Tập xác đònh D
ro
Chú ý: Hàm số y
1
xn
Ta
iL
ie
Số mũ
n x
1
n
n x n 1
với x 0 nếu n chẵn
với x 0 nếu n lẻ .
n u
u
n
n u n1
ce
bo
ok
.c
Chú ý:
u u 1.u
w
w
w
.fa
§3. LƠGARIT
1. Đònh nghóa
Với a 0, a 1, b 0 ta có: loga b a b
Chú ý: loga b có nghóa khi a 0, a 1
b 0
lg b log b log10 b
Logarit thập phân:
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
16
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
n
1
ln b loge b (với e lim 1 2,718281 )
n
Logarit tự nhiên (logarit Nepe):
2. Tính chất
loga a b b ;
loga a 1 ;
loga 1 0 ;
a
log a b
b (b 0)
01
Cho a 0, a 1, b, c 0 . Khi đó:
+ Nếu a 1 thì loga b loga c b c
oc
+ Nếu 0 a 1 thì loga b loga c b c
b
loga loga b loga c
c
nT
uO
1
log a c ( 0)
up
s/
Ta
iL
ie
log a c
hi
4. Đổi cơ số
Với a, b, c 0 và a, b 1, ta có:
loga c
logb c
hay loga b.logb c loga c
loga b
1
logb a
loga b loga b
D
loga (bc) loga b loga c
log a b
ai
H
3. Các qui tắc tính logarit
Với a 0, a 1, b, c 0 , ta có:
ro
§4. HÀM SỐ MŨ. HÀM SỐ LƠGARIT
om
/g
1. Hàm số mũ y a x (a 0, a 1).
Tập xác đònh: D .
Tập giá trò: T (0; ).
y
ce
y
y=ax
bo
ok
.c
Khi a 1 hàm số đồng biến, khi 0 a 1 hàm số nghòch biến.
Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Đồ thò:
1
x
x
w
w
w
.fa
1
y=ax
a>1
0
2. Hàm số logarit y loga x (a 0, a 1).
Tập xác đònh: D (0; ).
Tập giá trò: T .
Khi a 1 hàm số đồng biến, khi 0 a 1 hàm số nghòch biến.
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
17
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.
Đồ thò:
y=logax
y=logax
01
O
0
a>1
eu eu .u
loga x x ln1 a ;
loga u u lnu a
ln x 1 x
x
ln u u
Ta
iL
ie
0 ;
hi
e x e x ;
nT
au au ln a.u
uO
a x a x ln a ;
u
up
s/
D
3. Đạo hàm
oc
1
O
x
1
x
ai
H
y
y
om
/g
ro
§5. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƠGARIT
.c
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
ok
1. Phương trình mũ cơ bản:
w
w
w
.fa
ce
bo
b 0
Với a 0, a 1 : a x b
x log a b
2. Một số phương pháp giải phương trình mũ
a) Đưa về cùng cơ số:
Với a 0, a 1 :
a f ( x ) a g( x ) f ( x ) g( x )
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì: a M a N (a 1)( M N ) 0
b) Logarit hoá:
a f ( x ) b g ( x ) f ( x) log a b .g ( x)
c) Đặt ẩn phụ:
Dạng 1:
f ( x)
, t 0 , trong đó P t là đa thức theo t .
P ( a f ( x ) ) 0 t a
P(t ) 0
Dạng 2:
a2 f ( x ) (ab) f ( x ) b2 f ( x ) 0
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
18
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
Chia 2 vế cho b
2 f (x)
a
, rồi đặt ẩn phụ t
b
f ( x)
Dạng 3: a f ( x ) b f ( x ) m , với ab 1 . Đặt t a f ( x ) b f ( x )
1
t
Đoán nhận x0 là một nghiệm của 1 .
ai
H
Dựa vào tính đồng biến, nghòch biến của f x và g x để kết luận x0 là
oc
01
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Xét phương trình:
f x g x 1
hi
D
f ( x ) đồng biến và g( x ) nghòch biến (hoặc đồng biến nhưng nghiêm ngặt).
nghiệm duy nhất:
f ( x ) đơn điệu và g( x ) c hằng số
Nếu f x đồng biến (hoặc nghòch biến) thì f (u) f (v) u v
uO
Ta
iL
ie
f) Phương pháp đối lập
Xét phương trình:
nT
e) Đưa về phương trình các phương trình đặc biệt
A 0
Phương trình tích A.B 0
B 0
A 0
Phương trình A2 B 2 0
B 0
f x g x 1
f (x) M
Nếu ta chứng minh được:
g( x ) M
1
up
s/
thì
f ( x) M
g( x ) M
om
/g
ro
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
1. Phương trình logarit cơ bản
Với a 0, a 1 : loga x b x a b
.c
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
a) Đưa về cùng cơ số
ce
bo
ok
f ( x ) g( x )
Với a 0, a 1 : loga f ( x ) loga g( x )
f ( x ) 0 (hoặc g( x ) 0)
b) Mũ hoá
Với a 0, a 1 : loga f ( x ) b a
loga f ( x )
ab
w
w
w
.fa
c) Đặt ẩn phụ
d) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
e) Đưa về phương trình đặc biệt
f) Phương pháp đối lập
Chú ý:
Khi giải phương trình logarit cần chú ý điều kiện để biểu thức có nghóa.
Với a, b, c 0 và a, b, c 1 :
www.facebook.com/VanLuc168
a
log b c
VanLucNN
c
logb a
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
19
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 2. Hàm số lũy thừa, mũ, lơgarit
01
§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT
PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT
Ta
iL
ie
uO
nT
hi
D
ai
H
Khi giải các bất phương trình mũ ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số mũ.
a 1
f ( x ) g( x )
a f ( x ) a g( x )
0 a 1
f ( x ) g( x )
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
oc
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a M a N (a 1)( M N ) 0
up
s/
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
w
w
w
.fa
ce
bo
ok
.c
om
/g
ro
Khi giải các bất phương trình logarit ta cần chú ý tính đơn điệu của hàm số logarit.
a 1
f ( x ) g( x ) 0
loga f ( x ) loga g( x )
0 a 1
0 f ( x ) g( x )
Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình logarit:
– Đưa về cùng cơ số.
– Đặt ẩn phụ.
– ….
Chú ý: Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:
loga A
0 ( A 1)(B 1) 0
loga B 0 (a 1)( B 1) 0 ;
loga B
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
20
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Phần 3. Ngun hàm, tích phân và ứng dụng
III. NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
oc
01
§1. NGUN HÀM
ai
H
1. Khái niệm nguyên hàm
Cho hàm số f xác đònh trên K . Hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu:
hi
D
F '( x ) f ( x ) , x K
uO
f ( x )dx F ( x ) C ,C .
nT
Nếu F x là một nguyên hàm của f x trên K thì họ nguyên hàm của f x trên K là:
2. Tính chất
f '( x )dx f ( x ) C
f ( x ) g( x )dx f ( x )dx g( x )dx
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
up
s/
a x dx
dx x C
1
x dx ln x C
sin xdx cos x C
ok
1
a
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
ce
bo
cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
1
dx tan x C
cos2 x
1
2 dx cot x C
sin x
1
eax b dx eax b C , (a 0)
a
1
1
dx ln ax b C
ax b
a
.c
e x dx e x C
( 1)
ro
x 1
C,
1
om
/g
kf ( x )dx k f ( x )dx (k 0)
ax
C (0 a 1)
ln a
cos xdx sin x C
0dx C
x dx
Ta
iL
ie
Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K .
4. Phương pháp tính nguyên hàm
Nếu
f (u)du F(u) C
w
và u u( x ) có đạo hàm liên tục thì:
f u( x ) .u '( x )dx F u( x ) C
w
w
.fa
a) Phương pháp đổi biến số
b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:
udv uv vdu
www.facebook.com/VanLuc168
VanLucNN
www.TOANTUYENSINH.com
www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
21