Tổng hợp lý thuyết toán lớp 10, 11 và lớp 12 luyện thi đại học

KIẾN THỨC CƠ BẢN
10 - 11 - 12 - LTĐH

g
n
ặ

BIÊN SOẠN: THẠC SĨ HỒ HÀ ĐẶNG

.
h
T

Đ
à
H
ồ
H
S


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

Mục lục
1

2

3

4

5

6

7
8
9
10

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC . . . . .
1.1
DIỆN TÍCH TAM GIÁC . . . . . . . . . .
1.2
ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS . . . . . . . . . .
1.3
ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN . . . . . . . . . . .
1.4
CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN . . . . . .
1.5
CÔNG THỨC PHÂN GIÁC . . . . . . . .
LƯỢNG GIÁC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN . . . . . . . .
2.2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC . . . . .
ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . . .
MŨ - LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1

MŨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
LOGARIT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
5.1
CĂN THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI . . . . . . . . . . .
TỔ HỢP - XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP . . .
6.2
NHỊ THỨC NEWTON . . . . . . . . . . .
6.3
XÁC SUẤT . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ . . . . . . . . .
HÌNH HỌC OXY . . . . . . . . . . . . . . . . . .
HÌNH KHÔNG GIAN OXY Z . . . . . . . . . . .
BẤT ĐẲNG THỨC . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 CƠ BẢN . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 BĐT CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . .

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

.
h
T

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4
4
4
4
5
5
7
9
12
12
12
14
14
14
14
14

15
15
16
17
20
23
23
23

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

11

Trang 3

10.3 BĐT B.C.S . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 BĐT SCHWATZ . . . . . . . . . . . . . . .
SỐ PHỨC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 ĐỊNH NGHĨA . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 CÁC PHÉP TOÁN . . . . . . . . . . . . .
11.3 CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ
11.4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC . .

. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

. . . .
PHỨC
. . . .

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

24
24
24
24
24
25
26

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ

H
S

.
h
T

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

§1
1.1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
DIỆN TÍCH TAM GIÁC

Cho tam giác ∆ABC, AB = c; BC = a; CA = b.
1
1
1
S∆ABC =
aha = bhb = chc
2
2

2
1
1
1
ab sin C = bc sin A = ac sin B
=
2
2
2
abc
=
4R
= pr
=
p(p − a)(p − b)(p − c)
(Công thức Herong)

g
n
ặ

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC; r là bán kính đường tròn nội tiếp
a+b+c
∆ABC; p là nửa chu vi; p =
2

1.2

Đ
à

H
ồ
H
S

ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS

a2 = b2 + c2 − 2bc cos A;

1.3

1.4

.
h
T

c2 = a2 + b2 − 2ab cos C;

ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN

a
b
c
=
=
= 2R.
sin A
sin B
sin C

CÔNG THỨC TRUNG TUYẾN
m2a =

1.5

b2 = a2 + c2 − 2ac cos B;

a2
b2 + c2
− ;
2
4

m2b =

a2 + c2
b2
− ;
2
4

m2c =

a2 + b2
c2
− .
2
4

CÔNG THỨC PHÂN GIÁC

ˆ Khi đó:
Cho phân giác trong (và ngoài) AD (và AE) của góc A.
DB
EB
AB
=
=
.
DC
EC
AC
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 5

Và
AD =

§2
2.1

AB.AC. sin A
.

(AB + AC) sin A2

LƯỢNG GIÁC

CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

CÔNG THỨC CƠ BẢN
Ta có các đẳng thức sau:
1. sin2 x + cos2 x = 1,

−1 ≤ sin x, cos x ≤ 1

g
n
ặ

cos x
sin x
, cot x =
, tan x. cot x = 1
cos x
sin x
1
1
3. tan2 x + 1 =
, cot2 x + 1 =
cos2 x
sin2 x
2. tan x =

Đ
à
H
ồ
H
S

CUNG LIÊN HỆ
Cos đối −x và x
1. cos(−x) = cos x

h.

2. sin(−x) = − sin x

T

3. tan( π2 − x) = cot x

4. cot( π2 − x) = tan x

Nửa pi sin cos chéo trừ
sin( π2

3. tan(−x) = − tan x

1.

4. cot(−x) = − cot x

2. cos( π2 + x) = − sin x

Sin bù π − x và x

3. tan( π2 + x) = − cot x

1. sin(π − x) = sin x

4. cot( π2 + x) = − tan x

2. cos(π − x) = − cos x
3. tan(π − x) = − tan x
4. cot(π − x) = − cot x
Phụ chéo

π
2

− x và x

1. sin( π2 − x) = cos x
2.

cos( π2

− x) = sin x

π
2

+ x và x

+ x) = cos x

Nguyên pi hai đối, hai bằng π + x
và x
1. sin(π + x) = − sin x
2. cos(π + x) = − cos x
3. tan(π + x) = tan x
4. cot(π + x) = cot x

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, BA
4. sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x

1. sin 2x = 2 sin x cos x
2. cos 2x = cos2 x − sin2 x
2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sin2 x
3. tan 2x =

=

2 tan x
1 − tan2 x

5. cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x
6. tan 3x =

3 tan x − tan3 x
1 − 3 tan2 x

CÔNG THỨC HẠ BẬC
1 − cos 2x
2
1
+
cos
2x
cos2 x =
2
1 − cos 2x
tan2 x =
1 + cos 2x
3
sin x − sin 3x
sin3 x =
4
cos
3x
+
3 cos x
cos3 x =

4

Biểu diễn theo t = tan

1. sin2 x =
2.
3.
4.
5.

6. sin x =

x
2

g
n
ặ

2t
1 + t2

Đ
à
H
ồ
H
S

.

h
T

7. cos x =

1 − t2
1 + t2

8. tan x =

2t
1 − t2

CÔNG THỨC CỘNG

1. sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y

6. tan(x − y) =

2. sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y

Hệ quả.

3. cos(x+y) = cos x cos y −sin x sin y

tan x − tan y
1 + tan x tan y

4. cos(x−y) = cos x cos y +sin x sin y

7. sin
√ x + cos xπ =
2 cos(x − 4 )

tan x + tan y
5. tan(x + y) =
1 − tan x tan y

8. sin√x − cos x =
− 2 cos(x + π4 )

√
√

2 sin(x +

π
4)

=

2 sin(x −

π
4)

=

CÔNG THỨC TỔNG THÀNH TÍCH
1. cos x + cos y = 2 cos

x+y
2

cos

x−y
2

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 7

x+y
2

2. cos x − cos y = −2 sin

sin

x−y
2

3. sin x + sin y = 2 sin

x+y
2

cos

x−y
2

4. sin x − sin y = 2 cos

x+y
2

sin

x−y
2

CÔNG THỨC TÍCH THÀNH TỔNG
1. cos x cos y =

1
2

[cos(x + y) + cos(x − y)]

2. sin x sin y =

1
2

[cos(x − y) − cos(x + y)]

3. sin x cos y =

1
2

[sin(x + y) + sin(x − y)]

2.2

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
1. sin u = sin v ⇔

u = v + k2π
(k ∈ Z)

u = π − v + k2π

h.

2. cos u = cos v ⇔

T

u = v + k2π
(k ∈ Z)
u = −v + k2π

3. tan u = tan v ⇔

u = v + kπ
(k ∈ Z)
v = π2 + kπ

4. cot u = cot v ⇔

u = v + kπ
(k ∈ Z)
v = kπ

Một số trường hợp đặc biệt:
1. sin u = 1 ⇔ u =

π
2

+ k2π (k ∈ Z)

4. cos u = 1 ⇔ u = k2π (k ∈ Z)

2. sin u = −1 ⇔ u = − π2 + k2π
(k ∈ Z)

5. cos u = −1 ⇔ u = π+k2π (k ∈ Z)

3. sin u = 0 ⇔ u = kπ (k ∈ Z)

6. cos u = 0 ⇔ u =

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

π
2

+ kπ (k ∈ Z)

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. a sin2 x + b sin x + c = 0 (a =0). Đặt t = sin x (với |t|
1). Ta có phương

trình: at2 + bt + c = 0. Giải phương trình và chọn nghiệm t thỏa |t| 1. Giải
phương trình cơ bản sin x = t.
2. a cos2 x + b cos x + c = 0 ( a = 0). Đặt t = cos x (với |t|
cos x = t
3. a tan2 x + b. tan x + c = 0
t).

1.) Giải PT cơ bản

(a = 0). Đặt t = tan x (không có điều kiện của

4. a cot2 x + b. cot x + c = 0 (a = 0). Đặt t = tan x (không có điều kiện của t).

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SIN VÀ COS
a sin x + b cos x = c a, b = 0 (1) √
Chia hai vế của phương trình cho a2 + b2 , ta được:
√ a
sin x + √a2b+b2 cos x = √a2c+b2 .
a2 +b2

2
√ a
+
a2 +b2
a
sin α = √a2 +b2
cos α = √a2b+b2

Vì

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

√ b
a2 +b2

2

= 1 nên tồn tại góc α ∈ [0, 2π) thỏa:

Khi đó (1) có dạng :
sin α. sin x + cos α. cos x = √a2c+b2
⇔ cos(x − α) = √a2c+b2 là phương trình cơ bản.

h.

Điều kiện có nghiệm

T

√

|c|
a2 +b2

1 ⇔ a2 + b2

c2

PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI SIN COS
Dạng: a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0 (1) hoặc a(sin u − cos u) +
b sin u cos u + c = 0 (2)
Cách giải.
a. Với phương trình (1): a(sin u + cos u) + b sin u cos u + c = 0
√
√
π
2
Đặt t = sin u + cos u = 2 sin u +
|t| ≤ 2 ⇒ t2 = (sin u + cos u)
4 2
t −1
⇔ t2 = 1 + 2 sin u cos u ⇔ sin u cos u =
2
t2 − 1
Thay sin u + cos u = t, sin u cos u =
vào (1) ta được phương trình bậc
2
hai theo t
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210

TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 9

Tìm t, đưa về phương trình cơ bản

√

2 sin u +

π
4

= t.

b. Với phương trình (2): a(sin u − cos u) + b sin u cos u + c = 0
√
π
, giải tương tự trường hợp trên.
Đặt t = sin u − cos u = 2 sin u −
4

PHƯƠNG TRÌNH THUẦN NHẤT (ĐẲNG CẤP) BẬC HAI
Dạng rút gọn: a sin2 u + b sin u cos u + c cos2 u = d (a, b, c = 0) (1)
Cách giải.
π
cos u = 0 ⇔ u = + kπ, k ∈ Z (⇔ sin u = ±1) thay vào lại phương trình xem
2

có thỏa không?
π
cos u = 0 ⇔ u =
+ kπ, k ∈ Z: chia hai vế của phương trình cho cos2 u ta
2
d
được: a tan2 u + b tan u + c =
cos2 u
⇔ a tan2 u + b tan u + c = d 1 + tan2 u
⇔ (a − d) tan2 u + b tan u + c − d = 0 được phương trình bậc hai theo tan u.

g
n
ặ

§3

Đ
à
H
ồ
H
S

ĐẠO HÀM - TÍCH PHÂN

ĐẠO HÀM

h.

1. (C) = 0 với C là hằng số

T

ax + b
cx + d

9.

2. (xm ) = mxm−1
3.

1
x

1
=− 2
x

10.

√
1
4. ( x) = √
2 x

=
=

5. (sin x) = cos x

6. (cos x) = − sin x
1
= 1 + tan2 x
cos2 x
−1
8. (cotx) =
= − 1 + cot2 x
sin2 x
7. (tan x) =

=

ad − bc
(cx + d)

ax2 + bx + c
a x2 + b x + c
a
a b
x2 +2
a
a b

2

c
c

x+

b
b

c
c

(a x2 +b x+c )2

(ab −a b)x2 +2(ac −a c)x+bc −b c
(a x2 +b x+c )2

11. (um ) = mum−1 u
12.

1
u

=−

u
u2

√
u
13. ( u) = √
2 u

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210

KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

14. (sin u) = u . cos u

18. (u + v + w) = u + v + w

15. (cos u) = −u . sin u
u
16. (tan u) =
= u (1 + tan2 u)
cos2 u
−u
=
17. (cot u)
=
sin2 u
2
−u 1 + cot u

19. (au) = a.u ( a là hằng số )
20. (u.v) = u .v + u.v
21.

u
v

=

uv−v u
v2

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN và MỞ RỘNG
1.

kdx = k.x + C

2.

xn dx =

3.

4.

5.

6.

xn+1
+C
n+1
n+1
1 (ax + b)
n
(ax + b) .dx = .
+C

a
n+1

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

1
dx = ln |x| + C
x
1
1
dx = ln |ax + b| + C
(ax + b)
a

1
1
dx = − + C
2
x
x
1

1
2 dx = − a(ax + b) + C
(ax + b)

.
h
T

1
1
dx = −
+ C (n = 1)
n
x
(n − 1)xn−1
−1
1
n dx =
n−1 + C
(ax + b)
a(n − 1)(ax + b)
sin x.dx = − cos x + C
1
sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C
a

7.

cos x.dx = sin x + C
cos(ax + b)dx =

1
sin(ax + b) + C
a

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

8.

9.

10.

1
dx = (1+tan2 x)dx = tan x + C
cos2 x
1
1
dx = tan(ax + b) + C
cos2 (ax + b)
a
1
dx =
1 + cot2 x dx = − cot x + C
sin2 x

1
1
dx = − cot(ax + b) + C
2
a
sin (ax + b)
ex dx = ex + C
e(ax+b) dx =

11.

Trang 11

1 (ax+b)
e
+C
a

ax
+C
ln a
1 α(ax+b)
α(ax+b) dx =
+C
a ln α

g
n
ặ

ax dx =

Đ
à
H
ồ
H
S

MỘT SỐ NGUYÊN HÀM KHÁC
1.

tan xdx = − ln |cos x| + C

2.

cot xdx = ln |sin x| + C

3.

1
1
x−1
dx = ln
+C
x2 − 1
2
x+1

4.

1
1
x−a
ln
dx =
+C
x2 − a2
2a
x+a

5.

√

6.

√

.
h
T

7.
2

± a2

1
x2

±1

dx = ln x +

1
dx = ln x +
x2 ± a2

x2 ± 1 + C
x2 ± a 2 + C

x
x2 ± a2 dx =
x2 ± a2
2
√
ln x + x2 ± a2 + C

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

§4
4.1

MŨ - LOGARIT

MŨ

1. an = a.a . . . a (n ∈ N, n ≥ 1, a ∈ R)
n số a

2. a0 = 1 ; a−n = a1n (n ∈ N, a = 0)
√
√
1
m
3. a n = n a; a n = n am (a > 0; m, n ∈ N )
m

4. a− n =

1
m
an

=

1
√
n m
a

(a > 0; m, n ∈ N )

5. aα với α là số vô tỉ thì điều kiện a > 0

g
n
ặ

Tính chất 1
Cho a = 0; b = 0; m, n ∈ R, ta có:

Đ
à
H
ồ
H
S

1. am .an = am+n
2.

am
an

= am−n
n

3. (am ) = (an )

m

= am.n

n

4. (a.b) = an .bn
5.

.
h
T

a n
b

=

an
bn

Tính chất 2

Cho m, n ∈ R. Khi đó
1. Với a > 1 : am > an ⇔ m > n
2. Với 0 < a < 1 : am > an ⇔ m < n

4.2

LOGARIT

Định nghĩa

Cho a > 0, a = 1 và b > 0. Ta có α = loga b ⇔ aα = b.
(a) loga 1 = 0; loga a = 1
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 13

(b) loga ab = b,

∀b ∈ R

(c) aloga b = b,

∀b ∈ R, b > 0

(d) Ký hiệu y = ln x để chỉ hàm số lôgarit cơ số e
(e) Ký hiệu y = log x (hoặc lg x) để chỉ hàm số lôgarit cơ số 10

Các quy tắc tính lôgarit
Cho 0 < a = 1 và b, c > 0
1. loga (b.c) = loga b + loga c
2. loga

b
c

= loga b − loga c

3. loga bα = αloga b (α ∈ R)

g
n
ặ

Cho 0 < a = 1 và b > 0 và n là số nguyên dương
1. loga 1b = −loga b
√
1
n
2. loga b = loga b
n

Đ
à
H
ồ
H
S

Công thức đổi cơ số
1. logb c =

loga c
hay loga b.logb c = loga c
loga b
1

hay loga b.logb a = 1
logb a

.
h
T

2. loga b =

3. logaα c =

1
log c
α a

So sánh hai logarit cùng cơ số
Cho 0 < a = 1 và b, c > 0
1. a > 1 : loga b > loga c ⇔ b > c
2. 0 < a < 1 : loga b > loga c ⇔ b < c
Cho 0 < a = 1 và b, c > 0
1.

a > 1, b > 1
⇒ loga b > 0
a < 1, b < 1

2.

a > 1, b < 1
⇒ loga b < 0

a < 1, b > 1

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

§5

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

PT - BPT CĂN THỨC & GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI

5.1
1.

2.

3.

5.2

CĂN THỨC
√
√
√

B≥0
A = B2

A=B⇔

A=

A>

√
√

B≥0
A=B

B⇔

B(≥) ⇔


 B > 0(≥)
A≥0
4. A < B(≤) ⇔

A < B 2 (≤)

B<0

√
A≥0

5. A > B ⇔ 

B≥0
A > B 2 (≥)
√

B≥0
A > B(≥)

g
n
ặ

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Đ
à
H
ồ
H
S

A=B
A = −B

1. |A| = |B| ⇔

)



 B≥0
A=B
2. |A| = B ⇔

A = −B
3.

h.

|A| > |B| (≥) ⇔ A2 > B 2 (≥)
⇔ (A − B)(A + B) > 0(≥)

T

6.1
1.

§6

|A| < B(≤) ⇔ −B < A < B(≤

4.

⇔

5.

A < B(≤)
A > −B(≥)

|A| > B(≥) ⇔

A > B(≥)
A < −B(≤)

TỔ HỢP - XÁC SUẤT

HOÁN VỊ - TỔ HỢP - CHỈNH HỢP
Hoán vị Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì Pn = n! =
1.2.3.4 . . . (n − 2).(n − 1).n
(a) Quy ước: 0! = 1;

1! = 1

(b) Chú ý: n! = (n − 1)!n = (n − 2)!(n − 1)n
2. Chỉnh hợp Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Akn thì
Akn =

n!
(n−k)! ,

0≤k≤n

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

3.

Trang 15

Tổ hợp Nếu kí hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì Cnk =
n!
0≤k≤n
(n−k)!k! ,
(a) Chú ý: Akn = k!Cnk
(b) Các hệ thức giữa các số Cnk : Cnk = Cnn−k
k−1
k
Cn−1
+ Cn−1
= Cnk (1 ≤ k ≤ n)

6.2

(0 ≤ k ≤ n)

NHỊ THỨC NEWTON

1. Công thức nhị thức Newton
(a + b)

n

=

Cn0 an + Cn1 an−1 b + Cn2 an−2 b2 +

. . . + Cnn−1 a1 bn−1 + Cnn bn
n

Cnk an−k bk

=

g
n
ặ

(1)

k=0

2.

Đ
à
H
ồ
H
S
n

Hệ quả Với a = b = 1, ta có: 2 =
a = 1, b = −1, ta có: 2n = Cn0 − Cn1 + . . . −

Cn0 + Cn1 + . . . +
Cnn−1 + (−1)n Cnn

Cnn−1 + Cnn Với

3. Chú ý Trong các biểu thức ở vế trái của công thức (1)
(a) Số các hạng tử là (n + 1);

(b) Số hạng (hạng tử) thứ (k + 1) là Tk+1 = Cnn−k an−k bk ,

6.3

k = 0, 1, 2, . . . , n

.
h
T

XÁC SUẤT

PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
1. Phép thử Phép thử ngẫu nhiên là hành động không đoán trước được kết quả.
2. Không gian mẫu Tập hợp tất cả các kết quả của phép thử, kí hiệu là Ω .
3. Biến cố A là một tập con của không gian mẫu.
4. Tập ∅ là biến cố không thể, còn tập Ω được gọi là biến cố chắc chắn.
5. Phép toán trên biến cố
(a) Ω\A là biến cố đối của A, kí hiệu A .
(b) A ∪ B được gọi là hợp của các biến cố A và B.
(c) A ∩ B được gọi là giao của các biến cố A và B.
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210

KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

(d) A ∩ B = ∅ thì A và B xung khắc.
6. Chú ý
(a) A ∪ B

(A + B) xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra.

(b) A ∩ B

(A.B) xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra.

(c) A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1. Định nghĩa xác suất Giả sử A là biến cố trong không gian mẫu Ω. Xác suất
n(A)
của biến cố A, cho bởi: P (A) =
n(Ω)
n(A) là số phần tử của A; n(Ω) phần tử của Ω.

g
n
ặ

2. Tính chất của xác suất

0 ≤ P (A) ≤ 1 với mọi biến cố A.

Đ
à
H
ồ
H
S

(a) P (∅) = 0; P (Ω) = 1,

(b) Nếu A và B xung khắc thì P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
(c) Với mọi biến cố A ta có: P A = 1 − P (A)

(d) Biến cố độc lập, công thức nhân xác suất
A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P (AB) = P (A).P (B)

.
h
T

§7

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

1. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 ;
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab;
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
2. (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3 ;

a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ∓ ab + b2 );
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b);
3. a4 + b4 = (a2 + b2 )2 − 2a2 b2 ;
4. (a ± b)n = an ± Cn1 an−1 b + . . . + (−1)n−1 Cnn−1 abn−1 + (−1)n Cnn bn .
2

5. (a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca
2

6. (a + b − c) = a2 + b2 + c2 + 2ab − 2bc − 2ca
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 17

7. a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca
2
2
2
= 12 (a − b) + (b − c) + (c − a)
8. a3 + b3 + c3 − 3abc
= (a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca

§8

HÌNH HỌC OXY

1. Vectơ cơ bản
→
−
−
Cho A(xA ; yA ); B(xB ; yB ); C(xC ; yC ); →
a = (a1 ; a2 ); b = (b1 ; b2 )
−−→
1. AB = (xB − xA ; yB − yA )
2. AB =

2

g
n
ặ

2

(xB − xA ) + (yB − yA )

3. I làtrung điểm của AB
 xI = xA + xB
2
⇔
 y = yA + yB
I
2

Đ

à
H
ồ
H
S

4. G là
tam giác ABC
 trọng tâm
 xG = xA + xB + xC
3
⇔
 y = yA + yB + yC
G
3
→
−
→
−
5. a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ).
→
−
−
6. →
a · b = a1 b1 + a2 b2

.
h
T

−
7. |→
a | = a21 + a22
→
−
→
−
−
−
8. →
a⊥b ⇔→
a · b = 0 ⇔ a1 b1 + a2 b2 = 0.
−
9. k →
a = (ka1 ; ka2 ).
→
−
a1
a2
−
10. →
a cùng phương b ⇔
=
⇔ a1 b2 − a2 b1 = 0 .
b1
b2
→
−
−
11. →

a = b ⇔

a 1 = b1
a 2 = b2

→
−
12. Trục Ox có VTCP là vectơ đơn vị i = (1; 0), trục Oy có VTCP là vectơ
→
−
đơn vị j = (0; 1).
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Phương trình đường thẳng
−
1. Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận →
u = (a; b)
làm VTCP có dạng:
x = x0 + at
(d)
(t ∈ R)
y = y0 + bt
−

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận →
u = (a; b)
làm VTCP có dạng:
(d)

x−x0
a

=

y−y0
b

−
3. Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ) nhận →
n =
(A; B) làm VTPT có dạng:
(d)
4.

A(x − x0 ) + B(y − y0 ) = 0

g
n
ặ

Phương trình đoạn chắn của đường thẳng (d) qua 2 điểm A(a; 0) ∈
Ox; B(0; b) ∈ Oy có dạng:
(d)

x
a

+

y
b

Đ
à
H
ồ
H
S

=1

5. Góc giữa hai đường thẳng (d1 ), (d2 ) xác định bởi công thức
−
−
|→
u d1 .→
u d2 |
−
−
√2 b22 | 2 với →
u d1 = (a1 ; a2 ); →
u d2 = (b1 ; b2 )
cos(d1 ; d2 ) = |→
= √ |a21 b1 2+a

−
−
u d ||→
ud |
1

2

a1 +a2

b1 +b2

là cặp vecto chỉ phương (hoặc pháp tuyến)
6. Khoảng cách

.
h
T

a. Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 ) đến đường thẳng (∆) : Ax + By + C = 0
xác định bởi công thức:
+By0 +C|
d [M, (∆)] = |Ax√0A
.
2 +B 2

3. Phương trình đường tròn
2

2

1. Phương trình chính tắc: (x − a) + (y − b) = R2 . Trong đó I(a; b) là tọa độ
tâm, R là bán kính.
2. Phương trình√
khai triển: x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0. Trong đó I(a; b) là tọa
độ tâm, R = a2 + b2 − c là bán kính.

4. Vị trí tương đối
1. Vị trí tương đối của điểm và đường thẳng: Điểm M ∈ (d) nếu tọa độ điểm
M thỏa phương trình đường thẳng (d).
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 19

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Cho đường thẳng d : Ax + By + C = 0;
a. d

A
A
⇔ AA

d ⇔

b. d ≡ d

d : A x + B y + C = 0 . Khi đó:

B
C
B = C ;
= BB = CC ;
⇔ AA = BB ; tọa

=

c. d ∩ d = I
độ giao điểm I là nghiệm của hệ hai phương
Ax + By + C = 0
trình:
.
Ax+B y+C =0
3. Vị trí tương đối của đường thẳng d : Ax + By + C = 0 với đường tròn
(C) : x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0:
a. Nếu d [I, (∆)] < R thì đường thẳng cắt đường tròn.
b. Nếu d [I, (∆)] = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
Tiếp điểm hay giao điểm là nghiệm hệ phương trình:
Ax + By + C = 0
.
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

c. Nếu d [I, (∆)] > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.
4. Vị trí tương đối của hai đường tròn (I1 , R1 ) và (I2 , R2 ):
a. Nếu |R1 − R2 | < I1 I2 < R1 + R2 thì hai đường tròn cắt nhau.
b. Nếu I1 I2 = R1 + R2 hoặc I1 I2 = |R1 − R2 | thì hai đường tròn tiếp xúc
(trong hoặc ngoài) nhau.

.
h
T

c. Nếu I1 I2 > R1 + R2 hoặc I1 I2 < |R1 − R2 | thì hai đường tròn không có
điểm chung.

4. Phương trình Elip
1. Dạng chính tắc: (E) :

x2
y2
+
= 1, với a > b > 0 và a2 = b2 + c2 :
a2
b2

2. 2a là độ dài trục lớn,
3. 2b là độ dài trục bé,
4. 2c là tiêu cự.
5. Tâm sai: e =

c
a

< 1;

6. Đỉnh A1 (−a, 0), A2 (a, 0), B1 (0, −b), B2 (0, b); 4 đỉnh này tạo thành hình chữ
nhật cơ sở có phương trình các cạnh: x = ±b; y = ±a;
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

7. Tiêu điểm F1 (−c, 0), F2 (c, 0);
8. Gọi M (xM , yM ) ∈ (E) , khi đó bán kính qua tiêu: M F1 = a + exM ; M F2 =
a − exM ;

§9

HÌNH KHÔNG GIAN OXY Z

1. Vectơ cơ bản

−
Cho A(xA ; yA , zA ); B(xB ; yB , zB ); C(xC ; yC , zC ); →
a
(b1 ; b2 ; b3 )

=

→
−
(a1 ; a2 ; a3 ); b

=

−−→
1. AB = (xB − xA ; yB − yA ; zB − zA )
2. AB =

2

2

(xB − xA ) + (yB − yA ) + (zB − zA )

g
n
ặ

2

Đ

à
H
ồ
H
S

3. I làtrung điểm của AB
xA + xB

 xI =

2

yA + yB
⇔
yI =

2


 z = zA + zB
I
2

4. G là
tam giác ABC
 trọng tâm
xA + xB + xC

 xG =


3

yA + yB + yC
⇔
yG =

3


 z = zA + zB + zC
G
3
→
−
−
5. →
a ± b = (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ).

.
h
T

→
−
−
6. →
a · b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3
−
7. |→

a|=

a21 + a22 + a23

→
−
→
−
−
−
8. →
a⊥b ⇔→
a · b = 0 ⇔ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = 0.
−
9. k →
a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ).
→
−
a1
a2
a3
−
10. →
a cùng phương b ⇔
=
=
.
b1
b2
b3

Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 21


 a1 = b1
→
−
−
a2 = b2
11. →
a = b ⇔

a3 = b3
→
−
→
−
12. Trục Ox, Oy, Oz lần lượt có VTCP là vectơ đơn vị i = (1; 0; 0), j =
→
−
(0; 1; 0), k = (0; 0; 1).
13. Tích có hướng:
→
−

a2 a3
a3 a1
a1 a2
−
[→
a, b]=
;
;
b2 b3
b3 b1
b1 b2
= (a2 b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1 b3 ; a1 b2 − a2 b1 )
→
−
−
−
[→
a, b]⊥→
a
14.
→
−
→
−
→
−
[a, b]⊥ b
→
−
→

−
→
−
−
−
15. →
a cùng phương b ⇔ [→
a, b]= 0

2. Phương trình đường thẳng

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

−
1. Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận →
u =
(a; b; c) làm VTCP có dạng:

 x = x0 + at
y = y0 + bt
(t ∈ R)

(d)

z = z0 + ct

.
h
T

−
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận →
u =
(a; b; c) làm VTCP có dạng:
(d)

y − y0
z − z0
x − x0
=
=
a
b
c

3. Góc giữa hai đường thẳng (d1 ), (d2 ):
−
−
|→
u d1 .→
u d2 |
cos(d1 ; d2 ) = →

−
−
| u d1 ||→
u d2 |
|a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 |
=
a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23

3. Phương trình mặt phẳng
−
1. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) qua M (x0 ; y0 ; z0 ) nhận →
n =
(A; B; C) làm VTPT có dạng:
(d) A(x − x0 ) + B(y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

2. Phương trình đoạn chắn của của mặt phẳng (α) qua 3 điểm A(a; 0; 0) ∈
Ox; B(0; b; 0) ∈ Oy; C(0, 0, c) ∈ Oz có dạng:
x y z
(α)
+ + =1
a
b

c
3. Khoảng cách từ điểm M (x0 ; y0 , z0 ) đến mặt phẳng (α) : Ax+By +Cz +D =
0 xác định bởi công thức:
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
√
.
d [M, (α)] =
A2 + B 2 + C 2

4. Phương trình mặt cầu
2

2

1. Phương trình chính tắc: (x − a) +(y − b) +(z−c)2 = R2 . Trong đó I(a; b; c)
là tọa độ tâm, R là bán kính.
2
2
2. Phương trình khai triển:
√ x + y − 2ax − 2by − 2cz + d = 0. Trong đó I(a; b; c)
là tọa độ tâm, R = a2 + b2 + c2 − d là bán kính.

g
n
ặ

5. Vị trí tương đối

Đ
à

H
ồ
H
S

1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Cho đường thẳng (α) : Ax+By+Cz+D = 0;
. Khi đó:
a. (α)

A
A
⇔ AA

(β) ⇔

b. (α) ≡ (β)

h.

c. (α) ∩ (β) = d
mặt phẳng.

T

B
C
D
B = C = D ;
D

= BB = CC = D
;
⇔ AA = BB ∨ BB = CC

(β) : A x+B y+C z+D = 0

=

; khi đó (d) gọi là giao tuyến của 2

−
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d qua M (x0 , y0 , z0 ) và VTCP →
ud =
→
−
(a, b, c); d qua M (x0 , y0 , z0 ) và VTCP u d = (a , b , c );
→
−
−
−
[→
u d, →
ud ] = 0
a. Nếu −−−→ →
thì d ≡ d ;
→
−
[M M , −
u d] = 0
→

−
−
−
[→
u d, →
ud ] = 0
b. Nếu −−−→ →
thì d d ;
→
−
[M M , −
u d] = 0
→
−
−
−
[→
u d, →
ud ]= 0
c. Nếu →
thì d ∩ d = I;
−
−
−→
−
[−
u d, →
u d ] · MM = 0
→
−

−
−
[→
u d, →
ud ]= 0
d. Nếu →
thì d, d chéo nhau.
−−−→
−
[−
u d, →
u d ] · MM = 0
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 23

3. Vị trí tương đối của đường thẳng d :
(α) : Ax + By + Cz + D = 0:

x−x0
a

=

y−y0

b

z−z0
c

=

và mặt phẳng

x−x0
0
0
= y−y
= z−z
a
b
c
Xét HPT:
Ax + By + Cz + D = 0

y−y0
x−x0

 a = b
y−y0
z−z0
⇔ (I)
= c
b



Ax + By + Cz + D = 0

(a) Hệ (I) có vô số nghiệm: d ⊂ (α);
(b) Hệ (I) vô nghiệm: d

(α);

(c) Hệ (I) có nghiệm duy nhất: d ∩ (α) = I.
4. Vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng (α)

g
n
ặ

a. Nếu d[I, (α)] > R thì mặt phẳng (α) và (S) không có điểm chung.

Đ
à
H
ồ
H
S

b. Nếu d[I, (α)] = R thì (α) và (S) tiếp xúc nhau tại J.

c. Nếu d[I, (α)] < R thì (α) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn,
tâm J, bán kính r = R2 − d2 [I, (α)]
Chú ý. Tọa độ tâm hay tiếp điểm J là hình chiếu của I lên (α)

§10

10.1

BẤT ĐẲNG THỨC

.
h
T

CƠ BẢN

1. a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
2. am+n + bm+n ≥ am bn + an bm ,
3.

a2 − ab + b2
1
≥
2
2
a + ab + b
3

4. Cho b, d > 0. Nếu

a
b

<

5. Cho b, c > 0. Nếu

a
b

< 1 thì

10.2

(a, b > 0; m, n ∈ N )

c
d

thì

a
b
a
b

<
<

a+c
b+d
a+c
b+c

<

c
d

<1

BĐT CAUCHY

√
Cho n số a1 , a2 , . . . , an ≥ 0, ta có a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1 a2 ...an
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


KIẾN THỨC CƠ BẢN

10.3

LUYỆN THI ĐẠI HỌC

BĐT B.C.S

Cho 2n số thực tùy ý a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn khi đó:
2
a21 + a22 + ... + a2n b21 + b22 + ... + b2n ≥ (a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn )

10.4

BĐT SCHWATZ
2

a21
a2
a2
(a1 + a2 + ... + an )
+ 2 + ... + n ≥
,
x1
x2
xn
x1 + x2 + ... + xn
∀x1 , x2 , ..., xn > 0
a2
an
a1
=
= ... =
=s
Dấu bằng xảy ra khi
x1
x2
xn
2
1
1
1
n
Hệ quả:

+
+ ... +
≥
, ∀x1 , x2 , ..., xn > 0
x1
x2
xn
x1 + x2 + ... + xn

§11

11.1

SỐ PHỨC

g
n
ặ

Đ
à
H
ồ
H
S

ĐỊNH NGHĨA

Một số phức có dạng a + bi với a, b ∈ R và i là một số thoả i2 = −1.
Ký hiệu số phức là z = a + bi, a là phần thực, b là phần ảo.

.
h
T

◦ Số i được gọi là đơn vị ảo;

◦ Số thực a là số phức có phần ảo bằng 0: z = a + 0i = a ∈ R;
◦ Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số thuần ảo: z = 0 + bi = bi;
◦ Số phức 0 = 0 + 0i (cũng là số thực 0)
◦ Mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ R) được biểu diễn bởi điểm M (a, b) trên
mặt phẳng toạ độ (gọi là mặt phẳng phức).
◦ Số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔

11.2

a=c
b=d

CÁC PHÉP TOÁN

Cho z = a + bi, z = a + b i.
a) Tổng hai số phức: z + z = (a + a ) + (b + b )i Tính chất.
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210


TOÁN 6-12-LTĐH

Trang 25

∀z, z ∈ C

(i) z + z = z + z

(ii) z + 0 = z

∀z ∈ C

b) Phép trừ hai số phức: z − z = a − a + (b − b )i
c) Số phức đối của z = a + bi là −z = −a − bi
d) Phép nhân hai số phức: z.z = (aa − bb ) + (ab + a b)i
Tính chất.
(i) zz = z z

∀z, z ∈ C

(ii) z.1 = 1.z = z

∀z ∈ C

e) Số phức liên hợp của z = a + bi là số phức z¯ = a − bi, kí hiệu là z Tính chất.
(i) z + z = z + z
(ii) z.z = z.z

(iii)

z
z

=
z
z

(iv) z.z = a2 + b2

f) Môđun của số phức z = a + bi là số thực không âm bằng
Ta có,
√
√
|z| = z.z = a2 + b2

g
n
ặ

√

Đ
à
H
ồ
H
S

a2 + b2 , kí hiệu |z|.

1
hay z −1 :
z

b
− a2 +b
2i

g) Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số
z −1 =

1
z

=

1
z.z .z

=

1
a2 +b2 .z

=

a
a2 +b2

h) Phép chia số phức: Phép chia số phức z cho số phức z = 0 là tích của z với
số phức nghịch đảo của z:
z
−1
= z|z|.z2 = zz.z.z

z = z .z

11.3

.
h
T

CĂN BẬC HAI VÀ PT BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC

1. Định nghĩa
Cho số phức w , mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w được gọi là một căn bậc hai
của w .
Tính chất.
◦ Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
◦ Mỗi số phức khác 0 có hai căn bậc hai đối nhau.
√
√
◦ Số thực dương a√có hai căn√bậc hai là a và − a , số thực âm a có hai
căn bậc hai là i −a và −i −a .
Lớp học Thầy Đặng-Chung cư Tân Tạo A-Bình Tân

ĐT: 0987 536 210