Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính egodic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

Vũ Tiến Đức

MÔ HÌNH THÚ MỒI NGẪU NHIÊN
VÀ TÍNH ERGODIC

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN HỌC
Mã số: 60460106

Người hướng dẫn khoa học
GS.TS. NGUYỄN HỮU DƯ

HÀ NỘI- Năm 2014


1

Mục lục
Lời cảm ơn

3

Lời nói đầu

4

1 Một số khái niệm mở đầu

6

1.1

1.2

1.3

1.4

Quá trình ngẫu nhiên

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Quá trình ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.2

Quá trình thích nghi với một bộ lọc . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.3

Quá trình Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Tích phân ngẫu nhiên Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Tích phân Itô của hàm bậc thang . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2

Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bị chặn . . . . . . . . . 11

Vi phân ngẫu nhiên. Công thức Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1

Vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2

Công thức Itô tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1

Quá trình Wiener n- chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2

Tích phân Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3

Công thức Itô nhiều chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên

17

2.1

Khái niệm về phương trình vi phân ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . 17

2.2

Định lý sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3

Điều kiện cho tính chính quy của nghiệm phương trình vi phân
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4

Tính chất Ergodic của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên . 21

2

2.4.1

Quá trình hồi quy đối với một miền . . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2

Hồi quy và không hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4.3

Hồi quy dương và hồi quy không . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4.4

Sự tồn tại phân phối dừng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Mô hình thú mồi ngẫu nhiên và tính ergodic

26

3.1

Cạnh tranh loài, tính ergodic và các elip . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2

So sánh với các kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3

Thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47


3

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học tự nhiên- Đại học quốc
gia Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và chu đáo của thầy giáo GS.TS Nguyễn
Hữu Dư. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến người thầy, người đã
chỉ dạy những kiến thức và kinh nghiệm trong học tập cũng như trong nghiên
cứu khoa học.
Nhân dịp này, tác giả bảy tỏ lởi cảm ơn chân thành thành tới Ban chủ nhiệm
khoa Toán- Cơ-Tin học, phòng Sau đại học trường Đại học Khoa học tự nhiênĐại học Quốc gia Hà Nội.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô giáo trong bộ môn Lý
thuyết xác suất và thống kê toán học, khoa Toán - Cơ - Tin học đã nhiệt tình
giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình,
các bạn trong lớp Cao học toán khóa học 2011-2013, đã thường xuyên quan tâm,
tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn.
Mặc dù có nhiều cố gắng, song vì năng lực còn hạn chế nên chắc chắn luận văn

vẫn còn nhiều thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời chỉ bảo quý báu
của các thầy giáo, cô giáo, các góp ý của bạn đọc để luận văn ngày càng hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2014
Tác giả


4

Lời nói đầu

Giải tích ngẫu nhiên, hay giải tích trong môi trường ngẫu nhiên, là một hướng
nghiên cứu rất quan trọng trong lý thuyết xác suất, đồng thời cũng được ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác bên ngoài toán học như Vật lý (lý
thuyết chuyển động hỗn loạn, lý thuyết trường bảo giác...), Sinh học (động lực
học quần thể ), Công nghệ ( lý thuyết lọc, ổn định và điều khiển hệ động lực
ngẫu nhiên...) và đặc biệt trong kinh tế và tài chính (định giá quyền lựa chọn
trong thị trường chứng khoán...).
Ngày nay, phép tích tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên đã
trở thành công cụ toán học có hiệu lực cho nhiều vấn đề của vật lý, cơ học, sinh
học và kinh tế (kể cả thị trường chứng khoán).
Trong luận văn này, chúng tôi xin trình bày tính ergodic của nghiệm của phương
trình thú mồi ngẫu nhiên chịu nhiễu ồn trắng Gauss.
Luận văn được chia làm 3 chương:
Chương 1. Trong chương này, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản của giải tích
ngẫu nhiên bao gồm quá trình ngẫu nhiên, quá trình đo được và các tính chất
của quá trình ngẫu nhiên quan trọng- quá trình Wiener, đồng thời ta cũng tìm
hiểu khái niệm, sự tồn tại của tích phân ngâu nhiên Itô đối với hàm ngẫu nhiên
bị chặn và khái niệm vi phân ngẫu nhiên Itô (xem xét đồng thời trường hợp một
chiều và nhiều chiều).

Chương 2. Ở chương này ta nhắc lại khái niệm phương trình vi phân ngẫu
nhiên và điều kiện sự tồn tại duy nhất nghiệm. Trong chương này ta cũng đi tìm
hiểu một số khái niệm gắn liền với quá trình ngẫu nhiên (tính chính quy, hồi


5

quy, hồi quy dương) và đặc biệt ta đi nghiên cứu tính chất ergodic của nghiệm
của phương trình vi phân ngẫu nhiên.
Chương 3. Chúng ta đi xét mô hình cạnh tranh loài ngẫu nhiên với tốc độ tăng
trưởng chịu nhiễu tiếng ồn trắng Gauss. Ta sẽ chứng tỏ rằng nếu cường độ tiếng
ồn không qua lớn, khi đó nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có tính ergodic.
Một mối liên hệ hiển giữa cường độ tiếng ồn và các tham số của các loài cạnh
tranh ban đầu cho ta điều kiện đủ cho tính chất ergodic. Bên cạnh đó ta cũng đi
thảo luận và so sánh điều kiện đủ cho tính ergodic mà chúng ta nhận được với
những kết quả thu được trong bài báo của Rudnicki[20], đồng thời cũng đề cập
đến tính ergodic của nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên Stratonovich.


6

Chương 1

Một số khái niệm mở đầu
Cho (Ω, F, P) là một không gian xác suất, tức là một bộ ba gồm
• Ω là một tập hợp cơ sở bất kỳ nào đó mà mỗi phần tử ω ∈ Ω đại diện cho một

yếu tố ngẫu nhiên. Mỗi tập con của Ω gồm một số yếu tố ngẫu nhiên nào đó.
• F là một họ nào đó các tập con của Ω, chứa Ω và đóng đối với phép hợp đếm

được và phép lấy phần bù; nói cách khác F là một σ - trường các tập con của Ω.
Mỗi tập A ∈ F sẽ được gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
• P là một độ đo xác suất xác định trên không gian đo (Ω, F).

1.1
1.1.1

Quá trình ngẫu nhiên
Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.1. a) Cho (Ω, F, P) là không gian xác suất và T là một tập nào
đó. Một ánh xạ X : T × Ω → R sao cho với mỗi t ∈ T , ánh xạ ω → X(t, ω) là đo
được, được gọi là một hàm ngẫu nhiên trên T và ta viết X = {X(t), t ∈ T }.
Như vậy, một hàm ngẫu nhiên trên T chẳng qua là một họ các biến ngẫu nhiên
X = {X(t), t ∈ T } được chỉ số hóa bởi tập tham số T .
• Nếu T = N là tập các số tự nhiên thì ta gọi X = {X(n), n ∈ N} là dãy các biến

ngẫu nhiên.
• Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là

một quá trình ngẫu nhiên. Trong trường hợp này tham số t đóng vai trò biến
thời gian .


7

• Nếu T là một tập con của Rd thì ta gọi X = {X(t), t ∈ T } là một trường ngẫu

nhiên.
Nếu quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ∈ T } lấy giá trị trong Rn thì ta có một

quá trình ngẫu nhiên n− chiều.
Giả sử X = {X(t), t ∈ T } là quá trình ngẫu nhiên, ký hiệu
|X(t)|2 dP (ω) < ∞ .

L2 (Ω) = X(t) : E
Ω

1.1.2

Quá trình thích nghi với một bộ lọc

Định nghĩa 1.2. a) Một họ các σ - trường con {Ft }t≥0 của F , Ft ⊂ F được gọi
là một bộ lọc thỏa mãn các điều kiện thông thường nếu:
i) Đó là một họ tăng, tức Fs ⊂ Ft nếu s < t.
ii) Đó là một họ liên tục phải, tức Ft =

Ft+ε .
ε>0

iii) Mọi tập P- bỏ qua được A ∈ F đều được chứa trong F0 , tức là
A ∈ F và P(A) = 0 thì A ∈ F0 .

b) Cho một quá trình ngẫu nhiên X = {X(t), t ≥ 0}. Ta xét họ các σ - trường
{FtX }t≥0 sinh bởi tất cả các biến ngẫu nhiên X(s) với s ≤ t, tức FtX = σ(Xs , 0 ≤
s ≤ t). σ - trường này chứa đựng mọi thông tin về diễn biến quá khứ của quá

trình X cho đến thời điểm t. Người ta gọi đó là bộ lọc tự nhiên của quá trình
X , hay là lịch sử của X , hay cũng còn gọi là trường thông tin về X .

c) Một không gian xác suất (Ω, F, P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc {Ft }t≥0 ,

được gọi là một không gian xác suất lọc và ký hiệu là (Ω, F, (Ft ), P).
c) Cho một bộ lọc bất kì, {Ft }t≥0 . Quá trình X = {X(t), t ≥ 0} được gọi là thích
nghi với bộ lọc {Ft }t≥0 , nếu với mỗi t ≥ 0 thì Xt là Ft - đo được.
1.1.3

Quá trình Wiener

Định nghĩa 1.3. Cho σ > 0. Quá trình ngẫu nhiên W = {W (t), t ≥ 0} được gọi
là quá trình Wiener (hay chuyển động Brown) với tham số σ 2 nếu nó thỏa mãn


8

các điều kiện sau
i) W (0) = 0 hầu chắc chắn.
ii) W có gia số độc lập, tức là với 0 < t1 < t2 < ... < tn thì các biến ngẫu
nhiên
W (t1 ), W (t2 ) − W (t1 ), ..., W (tn ) − W (tn−1 ),

là độc lập.
iii) Với 0 ≤ s < t thì W (t) − W (s) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
W (t) − W (s) ∼ N (0; σ 2 (t − s)).

Trong trường hợp σ 2 = 1 thì quá trình được gọi là quá trình Wiener tiêu chuẩn.
Một số tính chất của quá trình Wiener
Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0}.
a) W (t) là martingale đối với bộ lọc tự nhiên {FtW }t≥0 của quá trình Wiener W ,
tức là
E(Wt |FsW ) = Ws , ∀s < t.
b) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) là khả vi } = 0.

c) P{ω : quĩ đạo t → W (t, ω) có biến phân bị chặn trên một khoảng hữu hạn bất kỳ } =
0.

d) W tuân theo luật lôgarit- lặp như sau:
P ω : lim sup √
t→∞

1.2

W (t)

2t ln ln t

= 1 = 1.

Tích phân ngẫu nhiên Itô

Định nghĩa 1.4. Cho quá trình ngẫu nhiên Wiener W = {W (t), t ≥ 0} trên
không gian xác suất (Ω, F, P).
a) Với mỗi t ≥ 0, ký hiệu Ht = FtW là σ - trường sinh bởi họ {W (s), 0 ≤ s ≤ t}.
Khi đó Ht được gọi là σ - trường đại số chứa các thông tin về lịch sử của hàm
ngẫu nhiên W cho tới thời điểm t.


9

b) Ký hiệu Ht+ là σ - trường sinh bởi họ {W (u) − W (t), u ≥ t}. Khi đó Ht+ được
gọi là σ - trường đại số chứa các thông tin về tương lai của hàm ngẫu nhiên W
sau thời điểm t.
c) Một họ {Ft }t≥0 các σ - trường con của F được gọi là họ lọc đối với quá trình

Wiener W nếu
• Fs ⊂ Ft nếu s < t.
• Ht ⊂ Ft với mọi t ≥ 0.
• Ft độc lập với Ht+ với mọi t ≥ 0.

Định nghĩa 1.5. Giả sử f (t, ω), t ≥ 0 là một quá trình ngẫu nhiên nào đó.
a) Ta nói rằng f (t, ω) là phù hợp đối với họ lọc {Ft }t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0, ánh xạ
ω → f (t, ω) là Ft - đo được. Điều này có nghĩa là tại mỗi thời điểm t, biến ngẫu

nhiên f (t, ω) chỉ phụ thuộc vào các thông tin trong σ - trường Ft .
b) Ta nói rằng f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {Ft }t≥0 nếu với mỗi t ≥ 0,
hàm (t, ω) → f (t, ω) xác định trên [0, t] × Ω là Bt × Ft đo được, ở đây Bt là σ trường Borel của [0, t].
Rõ ràng nếu f (t, ω) là đo được lũy tiến đối với lọc {Ft }t≥0 thì nó phù hợp với
lọc {Ft }t≥0 .
c) Ký hiệu N 2 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
T

f 2 (t, ω)dt < ∞.

E
0

Ta có N 2 (0, T ) là không gian Banach với chuẩn
T

||f || =

f 2 (t, ω)dt .

E

0

d) Ký hiệu N 1 (0, T ) là tập hợp các hàm ngẫu nhiên f (t, ω) đo được lũy tiến và
T

|f (t, ω)|dt < ∞.

E
0


47

Tài liệu tham khảo
[1] Trần Hùng Thao (2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân
ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Khoa học và kỹ thuật.
[2] Đặng Hùng Thắng (2009), Mở đầu về lý thuyết xác suất và ứng dụng, Nhà
xuất bản Giáo dục.
[3] Đặng Hùng Thắng (2013), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học Quốc
gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mô hình xác suất và ứng dụng, phần III: Giải
tích ngẫu nhiên, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[6] Bhattacharya, R.N. (1978), "Criteria for recurrence and existence of invariant measure for multidimensional diffusions", Ann.Prob, 6, pp.541-553.
[7] Chen, Z., Kulperger, R. (2003), "A stochastic prey predator process and
damping". In preparation.
[8] Chessa, S., Fujita Y.H. (2002), "The stochastic equation of predator-prey
population dynamics", Boll. Unione Mat. Ital. Sez. B.Artic. Ric. Mat, 5,
pp.789-804 (in Italian).

[9] Friedman, A. (1973), "Wandering out to infinity of diffusion processes",
Trans. Am. Math. Soc., 184, pp.185-203.
[10] Gard, T.C. (2000), "Transient effects of stochastic multi-population models", in Electron. J. Differential Equat., Conf. 05 (Proc. Conf. Nonlinear
Differential Equations, Coral Gables, FL, 1999), eds S.Cantrell and C. Cosner, Texas State University, pp.81-90.


48

[11] Gard, T., Kannan, D. (1976), "On a stochastic differential equation modeling of prey-predator evolution", J. Appl. Prob, 13, pp.429-433.
[12] Karlin, S., Taylor, H. (1981), A Second Course in Stochastic Processes, Academic Pree, New York.
[13] Khasminskii, R.Z., Klebaner, F.C. (2001), "Long term behavior of solutions of the Lotka-Volterra system under small random perturbations",
Ann.Appl.Prob, 11, pp. 952-963.
[14] King, A. et al. (1996), "Weakly dissipative predator-prey systems", Bull.
Math. Biology, 58, pp.835-859.
[15] Mangel, M., Ludwig, D. (1977), "Probability of extinction in a stochastic
competition", SIAM J. Appl. Math, 33, pp.256-266.
[16] Manthey, R., Maslowski, B (2002). "A random continous model for two
interacting populations", Apll. Math. Optimization, 45, pp.213-236.
[17] Mao, X., Marion, G., Renshaw, E. (2002), "Evironmental Brownian noise
suppresses explosions in population dynamics", Stoch. Process. Appl, 97,
pp.95-110.
[18] Rafail Khasminskii (2012), Stochastic Stability of Differiential Equations,
Spinger.
[19] Renshaw, E. (1991), Modelling Biological Populations in Space and Time,
Cambridge University Press.
[20] Rudnicki, R. (2003), " Long-time behavior of a stochastic prey-predator
models", Stoch, Process. Appl, 108, pp.93-107.