BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ

Header Page 1 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Văn Tuấn Khanh

BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG
HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 1 of 114.


Header Page 2 of 114.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Đoàn Văn Tuấn Khanh

BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN - NHỮNG
HÌNH ẢNH CỤ THỂ CỦA NÓ
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số:
60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 2 of 114.


Header Page 3 of 114.

LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí
Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí. Nhân dịp này tôi xin
bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên
tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận
văn.
Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin
của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy
trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập.
Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có
nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn.
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các Thầy Cô và các
Bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014
Tác giả

Footer Page 3 of 114.

Header Page 4 of 114.

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS
Bùi Tường Trí. Tôi không sao chép luận văn của người khác. Nếu lời cam
đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật.
Người viết cam đoan

Đoàn Văn Tuấn Khanh

Footer Page 4 of 114.


Header Page 5 of 114.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................................................................... 2
1.1. Môđun – Môđun con – Môđun thương ............................................................ 2
1.2. Đồng cấu môđun ............................................................................................... 7
1.3. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp ........................................................................ 11
1.4. Tích Tenxơ ...................................................................................................... 15
1.5. Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu .......................................................................... 17
1.6. Môđun nội xạ .................................................................................................. 18
1.7. Môđun Noether – vành Noether ..................................................................... 24
1.8. Giới hạn trực tiếp ............................................................................................ 25

Chương 2. BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ
CỦA NÓ ............................................................................................... 27
2.1. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ....................................................................... 27
2.2. Những ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun ................................................ 30
2.3. Tính nội xạ trên vành Noether ........................................................................ 37
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 42

Footer Page 5 of 114.


Header Page 6 of 114.

BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Q: Nhóm cộng các số hữu tỉ
Z : Vành các số nguyên
⊕ Ai : Tổng trực tiếp ngoài các môđun Ai , i ∈ I
I

⊕ f i : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi , i ∈ I )
I

∏f

i

: Tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi , i ∈ I )

I

x ⊗ y : Tích tenxơ của hai phần tử x và y.
M ⊗N

: Tích tenxơ của hai môđun M và N.

E(M): Bao nội xạ của môđun M
N⊂M

: N là môđun con của M

N ⊆ e M : N là môđun cốt yếu trong M hay M là mở rộng cốt yếu của N.
N ⊆ s M : N là môđun đối cốt yếu trong M hay N là môđun con bé trong M.

MR : Phạm trù các R môđun phải

Footer Page 6 of 114.


Header Page 7 of 114.
1

MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết vành và môđun khái niệm nội xạ và xạ ảnh được xem là
hai trong những khái niệm cơ bản nhất. Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra
bởi R.Bayer năm 1940 và sau đó là một loạt khái niệm liên quan được đưa ra
như là khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng
dụng đối với nghành Đại số nói chung và nghành Đại số giao hoán nói riêng.
Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một
cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được, và vì
vậy chúng ta biết rõ hơn về cúc trúc của chúng.

Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu.
Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại. Hiện nay
người ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu được nhiều kết quả quan
trọng. Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun nội xạ
với đề tài “Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó”.
Bố cục luận văn chia làm hai chương:
♦ Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý
thuyết vành có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thể tôi sẽ trình bày tóm
tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất của môđun và môđun nội xạ.
♦ Chương 2. Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó.
Trong chương này tôi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung thứ nhất
trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở
rộng cốt yếu và bao nội xạ của môđun. Nội dung thứ hai tôi sẽ nêu ra một số
ví dụ cụ thể về bao nội xạ của môđun để qua đó ta thấy rõ được hình ảnh cụ
thể của bao nội xạ. Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu về tính nội xạ trên
vành Noether thông qua định lý Bass Papp và các hệ quả của nó.

Footer Page 7 of 114.


Header Page 8 of 114.
2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun – Môđun con – Môđun thương
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử R là vành. Một R môđun phải M là nhóm cộng aben cùng với ánh
xạ

M ×R → M
được gọi là phép nhân vô hướng nếu thỏa các hệ thức sau:
(m, r )  mr

(mr )r ' = m(rr ')
(m + m ')r =mr + m ' r
với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R .
m(r + r ') = mr + mr '
m.1 = m

Tương tự, một R môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô
hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa
r (r ' m) = (rr ')m
r (m + m ') =rm + rm '
với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R .
(r + r ')m =rm + r ' m
1.m = m

Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R môđun phải và R môđun
trái trùng nhau và được gọi là R môđun.
1.1.2. Ví dụ
Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm
aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun. Bởi vậy R là R môđun phải.
Tương tự R cũng là R môđun trái. Do đó R là R môđun.
Mỗi ideal phải của R là R môđun phải, mỗi ideal trái của R là R môđun
trái.
Giả sử R=Z là vành các số nguyên. Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như Z
môđun.
Có thể nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và
không gian vectơ.

Footer Page 8 of 114.


Header Page 9 of 114.
3

1.1.3. Định nghĩa
Giả sử M là R môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của
M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn
chế trên A.
1.1.4. Bổ đề
Giả sử M là R môđun phải. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các
điều sau tương đương
(a) A là môđun con của M
(b) A là nhóm con cộng của M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A
(c) Với mọi a, b ∈ A và r , s ∈ R ta có ar + bs ∈ A
1.1.5. Ví dụ
(a) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là 0 và M. Môđun
con A của M được gọi là thực sự nếu A ≠ 0 và A ≠ M .
(b) Giả sử M là R môđun tùy ý và m0 ∈ M . Khi đó tập con
=
mo R {m0 r , r ∈ R} là môđun con của M. Nó được gọi là môđun con xiclic sinh

bởi phần tử m0 .
(c) Giả sử m0 là phần tử của R môđun M, I là ideal phải của vành R. Tập
hợp các phần tử m0α trong đó α chạy khắp I là một môđun con của M. Kí
hiệu m0 I .
(d) Giả sử A và B là hai môđun con của M thì A ∩ B cũng là môđun con
của M và A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} cũng là môđun con của M.

1.1.6. Mệnh đề
Giao của một họ bất kì những môđun con của R môđun M là một môđun
con của M.
Ví dụ : 1) 2Z ∩ 3Z =
6Z
2)

 pZ = 0 với P là tập tất cả các số nguyên tố.
p∈P

Footer Page 9 of 114.


Header Page 10 of 114.
4

1.1.7. Định nghĩa
Giả sử X là một tập con của R môđun M. Môđun con bé nhất A chứa X
gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A. Trong
trường hợp A=M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X. Nếu M có
hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R môđun hữu hạn sinh.
Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi môđun đó là môđun con
xiclic.
1.1.8. Mệnh đề
Giả sử X là một tập con của R môđun M. Các mệnh đề sau tương
đương:
1) A là môđun con sinh bởi tập X.
A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} trong đó rx bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn.
2)=

Ví dụ :
Z môđun Q các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn.
Thật vậy:
Giả sử X = {a1a 2 ,..., an } là hệ sinh hữu hạn của Q. Khi đó

1
a1 có thể biểu
2

diễn dưới dạng tổng hữu hạn
1
a1 =x1a1 +∑ ai xi , ai ∈ Z . Suy ra a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ai ∈ Z
2
i ≠1
i ≠1

Từ đó ma1 = ∑ 2ai xi , ai ∈ Z với m = 1 − 2 x1
i ≠1

Giả sử

1
a1 =y1a1 +∑ ai yi , yi ∈ Z
m
i ≠1

Khi đó a1 =myi a1 +∑ myi ai =
i ≠1

∑ 2 x a y + ∑ my a = ∑ r a

i ≠1

i i

i

i ≠1

i i

i ≠1

i i

Điều này chứng tỏ X \{a1} cũng là hệ sinh của Q. Tiếp tục quá trình này
sau n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của Q và do đó Q = {0} !.

Footer Page 10 of 114.


Header Page 11 of 114.
5

1.1.9. Định nghĩa
Giả sử ( Ai / i ∈ I ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M.
Khi đó môđun con sinh bởi tập S =  Ai được gọi là tổng của các môđun con
I

∑A

Ai và được kí hiệu bởi

i

I

1.1.10. Mệnh đề
Cho ( Ai / i ∈ I ) là một họ tùy ý những môđun con của R môđun M. Khi
đó :
=
A {∑ a , a ∈ A , i ∈ J ⊂ I , J
∑
i

I

i

i

i

hữu hạn}.

J

1.1.11. Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và nó không chứa
trong một môđun con thật sự nào của M.
1.1.12. Định lý

Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thật sự được chứa
trong một môđun con tối đại.
1.1.13. Bổ đề Zorn
Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A
có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại.
1.1.14. Hệ quả
Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠ {0} đều chứa môđun con tối đại.
1.1.15. Luật môđula
Nếu B,C,D là những môđun con của R môđun M và C ⊂ B thì
(D + C) ∩ B = D ∩ (B + C)

1.1.16. Mệnh đề và định nghĩa
Cho A là môđun con của R môđun M. Khi đó tương ứng
( M × A) / R → M / A
là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm thương M/A là R môđun
(m + A, r )  mr + A

Footer Page 11 of 114.


Header Page 12 of 114.
6

với phép nhân vô hướng (m+A)r = mr+A và được gọi là môđun thương.
1.1.17. Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)
R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M
chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M.
1.1.18. Định nghĩa môđun nửa đơn
R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả
qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn

1.1.19. Định lí.
Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương
(i) M là nửa đơn
(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M
(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn.
1.1.20. Bổ đề
Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn. Khi
đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi
=
M* Hom R ( M,R R ) ≠ 0

1.1.21. Định nghĩa vành đơn, vành nửa đơn
Vành R ≠ 0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa
đơn) trên chính nó.
1.1.22. Định lí.
Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:
(i) R là R – môđun phải nửa đơn
(ii) R là R – môđun trái nửa đơn
(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn
(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn
1.1.23. Vành nguyên – vành chia .
Vành nguyên:

Footer Page 12 of 114.


Header Page 13 of 114.
7

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R ≠ 0 và ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc

b=0

Vành nguyên giao hoán gọi là miền nguyên.
Vành chia
Vành R được gọi là vành chia nếu R ≠ 0 và mọi phần tử khác không
trong R đều khả nghịch
Vành chia giao hoán là trường.
1.2. Đồng cấu môđun
1.2.1. Định nghĩa
Cho hai môđun MR và NR. Một đồng cấu R môđun hay một ánh xạ tuyến
tính f : M → N là một ánh xạ f thỏa các điều kiện :
f ( x + y )= f ( x) + f ( y )
f ( xr ) = f ( x)r

Với mọi x, y ∈ M , r ∈ R . Nếu N=M thì f được gọi là tự đồng cấu của M.
Một đồng cấu R môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không
cần chỉ rõ vành cơ sở.
Dễ dàng thấy rằng f : M → N là đồng cấu môđun khi và chỉ khi
f ( xr + ys )= f ( x)r + f ( y ) s

Với mọi x, y ∈ M , r , s ∈ R .
Tập tất cả các đồng cấu từ MR đến NR kí hiệu bởi HomR ( M , N ) hay
Hom( M , N ) . Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu
( f + g )( x) = f ( x) + g ( x)

Với f , g ∈ Hom( M , N ) và x ∈ R .
Nếu R là vành giao hoán thì nhóm cộng này có cấu trúc R-môđun với
phép nhân vô hướng f (rx) = rf ( x) .
Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun tương tự đồng
cấu nhóm. Cụ thể f : M R → N R được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f

Footer Page 13 of 114.


Header Page 14 of 114.
8

là đơn ánh (toàn ánh, song ánh).
Đối với đồng cấu môđun

f :M → N

ta kí hiệu imf = f ( M ) và

ker f =
{x ∈ M / f ( x) =
0} =
f −1 (0) và gọi imf là ảnh của f và ker f là hạt nhân

của f.
1.2.2. Mệnh đề
Cho đồng cấu môđun f : M → N và U,V tương ứng là môđun con của
M,N. Khi đó :
1) f (U ) là môđun con của N
2) f −1 (V ) =
{x ∈ M / f ( x) ∈ V } là môđun con của M
Đặc biệt imf và kerf là những môđun con tương ứng của N,M.
1.2.3. Mệnh đề
Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R môđun. Khi đó các điều sau tương
đương:

1) f là đơn cấu
2) f giản ước được bên trái nghĩa là đẳng thức f ϕ1 = f ϕ2 ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong
đó ϕ1 , ϕ2 là những đồng cấu từ R môđun tùy ý M tới X.
1.2.4. Mệnh đề
Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R môđun. Khi đó các điều sau tương
đương:
1) f là toàn cấu
2) f giản ước được bên phải nghĩa là đẳng thức ϕ1 f = ϕ2 f ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong
đó ϕ1 , ϕ2 là những đồng cấu từ Y đến một R môđun bất kì N.
1.2.5. Bổ đề
Giả sử ϕ : A → B là một đồng cấu R môđun và U,V là những môđun
con của A,B. Khi đó :
1) ϕ là đơn cấu khi và chỉ khi ker ϕ = 0

Footer Page 14 of 114.


Header Page 15 of 114.
9

2) ϕ −1 (ϕ (U ))= U + ker ϕ
3) ϕ −1 (ϕ (V ))= V ∩ imϕ
1.2.6. Định lý
Mỗi đồng cấu R môđun ϕ : A → B có sự phân tích
A

ϕ

ψ

B
ϕ'

A / ker ϕ

Trong đó ψ : A → A / ker ϕ là toàn cấu tự nhiên, còn ϕ ' là đơn cấu. Hơn
nữa ϕ ' là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu.
1.2.7. Định lý ( định lý đẳng cấu thứ nhất)
Nếu B,C là hai môđun con của A thì ( B + C ) / C ≅ B / ( B ∩ C )
1.2.8. Định lý (định lý đẳng cấu thứ hai)
Nếu C ⊂ B ⊂ A thì A / B ≅ ( A / C ) / ( B / C )
1.2.9. Định lý
Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu môđun và α : A → C là toàn cấu, ngoài ra
ker α ⊂ ker ϕ . Khi đó tồn tại đồng cấu λ : C → B sao cho:

1) ϕ = λα
2) imλ = imϕ
3) λ đơn cấu khi và chỉ khi ker α = ker ϕ
1.2.10. Định nghĩa
Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu R môđun. Khi đó ta đặt
co ker ϕ = B / imϕ là đối hạt nhân của ϕ
coimϕ = A / ker ϕ là đối ảnh của ϕ

Như vậy coimϕ ≅ imϕ

Footer Page 15 of 114.


Header Page 16 of 114.
10

1.2.11. Định lý (định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt
nhân)
Trong biểu đồng các đồng cấu môđun
ϕ

i

Kerϕ

A

B

ψ

D

Nếu ϕψ = 0 thì tồn tại duy nhất đồng cấu ψ ' : D → ker ϕ sao cho ψ = iψ '
với i là phép nhúng chính tắc.
Tương tự
Trong biểu đồ các đồng cấu môđun
ϕ

A

B

p

Cokerϕ

ρ

C
Nếu pϕ = 0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất p ' : co ker ϕ → C sao cho
p = p ' p với p là phép chiếu chính tắc.

1.2.12. Định nghĩa (dãy khớp)
Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn các đồng cấu R môđun
α
β
... 
→ A 
→ B 
→ C 
→ ...

Được gọi là khớp tại B nếu imα = ker β . Dãy được gọi là khớp nếu nó
khớp tại mọi môđun khác hai đầu của dãy.
α
β
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 được gọi là dãy khớp
Dãy khớp dạng : 0 

ngắn.
1.2.13. Mệnh đề

Cho đồng cấu R môđun α : A → B . Khi đó:
α
→ A 
→ B là khớp nếu α đơn cấu
1) Dãy 0 
α
→ B 
→ 0 là khớp nếu α toàn cấu
2) Dãy A 

Footer Page 16 of 114.


Header Page 17 of 114.
11
α
→ A 
→ B 
→ 0 là khớp nếu α đẳng cấu
3) Dãy 0 

Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn
cấu còn β là toàn cấu.
1.3. Tích trực tiếp – Tổng trực tiếp
1.3.1. Định nghĩa (tích trực tiếp)
Cho một họ những R môđun ( Ai / i ∈ I ). Khi đó tích Đề Các

∏ A=
i∈I

i

{(ai ) / i ∈ I , ai ∈ Ai } cùng với phép cộng và phép nhân vô hướng theo các

thành phần:
(ai ) + (bi ) =(ai + bi )
(ai )r = (ai r )

là một R môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( Ai / i ∈ I ).
Trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu

∏A = A

I

i

I

Phép chiếu p j : ∏ Ai → Aj là một R đồng cấu ∀j ∈ I .
I

1.3.2. Định lý ( Tính chất phổ dụng )
Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu B j : B → Aj . Khi đó tồn tại
duy nhất đồng cấu β : B → ∏ Ai sao cho biểu đồ sau giao hoán :
I

∏ A → A
pj

i

j

∀j ∈ I

I

βj

β

B
1.3.3. Mệnh đề
Giả sử ( fi : Ai → Bi / i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng
f : ∏ Ai → ∏ Bi cho bởi f ((ai )) = ( fi (ai )) là một đồng cấu, được kí hiệu
I

bởi

∏f

i

I

Footer Page 17 of 114.

I

và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi / i ∈ I ) .


Header Page 18 of 114.
12

1.3.4. Định nghĩa (Tổng trực tiếp)
Cho một họ những R môđun ( Ai / i ∈ I ). Một môđun con của

∏A

i

gồm

I

tất cả những phần tử (ai ) mà ai = 0 hầu hết, trừ một số hữu hạn chỉ số i ∈ I ,
được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài của họ ( Ai / i ∈ I ) và kí
hiệu ⊕ Ai
I

A( I ) .
Trong trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu ⊕ Ai =
I

Với mỗi j ∈ I tương ứng µ j : Aj → ⊕ Ai
I

a j , i = j

a j → (ai ) , ai = 
0, i ≠ j

là một đơn cấu.
1.3.5. Định lý (Tính chất phổ dụng)
Giả sử B là R môđun cùng với các đồng cấu α j : Aj → B . Khi đó tồn tại
duy nhất α : Ai → B sao cho biểu đồ sau giao hoán
j
⊕ Ai 
→ Aj
I
α
αj

p

∀j ∈ I

B

1.3.6. Mệnh đề
Giả sử ( fi : Ai → Bi / i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng
f : ⊕ Ai → ⊕ Bi cho bởi f ((ai )) = ( f (ai )) là một đồng cấu kí hiệu ⊕ fi và
I

I

được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( fi / i ∈ I ) .
1.3.7. Định nghĩa
Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con

( Ai / i ∈ I ) nếu các điều kiện sau thỏa:

1) A = ∑ Ai
I

2) Aj ∩ ∑ A=j 0 ∀j ∈ I
i≠ j

Footer Page 18 of 114.


Header Page 19 of 114.
13

1.3.8. Bổ đề
Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nều và
chỉ nếu mỗi phần tử a ∈ A biểu diễn duy nhất dưới dạng :
a = ai1 + ai2 + ... + ain , ai j ∈ Ai j , i j ∈ I

1.3.9. Hệ quả
Giả sử A là tổng của những môđun con Ai, A = ∑ Ai . Khi đó A là tổng
j

ai 0, ai ∈ Ai , i j ∈ I suy ra
trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ ai + ai + ... +=
1

2

n

j

j

ai j = 0,1 ≤ j ≤ n .

1.3.10. Hệ quả
Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nếu
và chỉ nếu ánh xạ

⊕ Ai → A
I

(ai ) 

∑ ai

là đẳng cấu.

1.3.11. Định nghĩa
Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có
môđun con C của A sao cho A= B ⊕ C .
Môđun con A ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những
hạng tử duy nhất trong A.
Ví dụ :
1) Giả sử V = VK là không gian vectơ trên trường K và {ai / i ∈ I } là cơ sở
của nó. Khi đó hiển nhiên V = ⊕ ai K
I

2) Trong ZZ mọi môđun con đều có dạng mZ, m ∈ N . Với m ≠ 0, m ≠ 1 thì
mZ không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy nếu =
Z mZ ⊕ nZ
mn ∈ mZ ∩ nZ = 0 ⇒ n = 0 ⇒ mZ = Z ⇒ m = 1

thì

(trái giả thiết). Vậy ZZ không phân

tích được.
1.3.12. Định nghĩa
Đơn cấu α : A → B của các R môđun được gọi là chẻ ra nếu Im α là

Footer Page 19 of 114.


Header Page 20 of 114.
14

hạng tử trực tiếp trong B. Toàn cấu β : B → A được gọi là chẻ ra nếu Ker β là
hạng tử trực tiếp trong B.
1.3.13. Mệnh đề
1) Đồng cấu α : A → B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu
có nghịch đảo trái). Khi đó

β : B → A sao cho βα = id A ( ta nói α
=
β Im α ⊕ Ker β .

2) Đồng cấu β : B → C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu

γ : C → B sao cho βγ = idC ( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó
=
β Ker β ⊕ Im γ .

1.3.14. Định nghĩa
α
β
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 được gọi là chẻ ra nếu
Dãy khớp ngắn 0 

Im α = Ker β là hạng tử trực tiếp của B.

1.3.15 Mệnh đề
α
β
Đối với dãy khớp ngắn 0 
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 ta có các phát

biểu sau tương đương:
a) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra
b) α là đơn cấu chẻ ra
c) β là toàn cấu chẻ ra
Khi đó B= Im α ⊕ Im γ ≅ A ⊕ C , trong đó γ : C → B là nghịch đảo phải của
β .

1.3.16. Định lý
α
β
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 . Khi đó các dãy sau
Cho dãy khớp ngắn 0 

là khớp
α
β
a) 0 
→ Hom( M , A) 
→ Hom( M , B) 
→ Hom( M , C )
*

*

β
α
b) 0 
→ Hom(C , M ) 
→ Hom( B, M ) 
→ Hom( A, M )
*

*

Trong đó M là R môđun tùy ý α* = Hom(id M , α ) , α * = Hom(α , id M ) (tương

Footer Page 20 of 114.


Header Page 21 of 114.
15

tự với β* , β * ).
1.3.17. Định lý
α
β
→ A 
→ B 
→ C 
→ 0 . Khi đó các dãy sau
Cho dãy khớp chẻ ra 0 

cũng là khớp chẻ ra
α
β
a) 0 
→ Hom( M , A) 
→ Hom( M , B) 
→ Hom( M , C )
*

*

β
α
b) 0 
→ Hom(C , M ) 
→ Hom( B, M ) 
→ Hom( A, M )
*

*

1.4. Tích Tenxơ
1.4.1. Định nghĩa
Giả sử A là nhóm aben. Ánh xạ ϕ : M × L → A được gọi là tuyến tính
trong nếu
ϕ ( x + x ', y ) = ϕ ( x, y ) + ϕ ( x ', y )
ϕ ( x, y + y=
') ϕ ( x, y ) + ϕ ( x, y ')
ϕ ( xr , y ) = ϕ ( x, ry )

Với mọi x, x ' ∈ M , y, y ' ∈ L và mọi r ∈ R .
1.4.2. Định nghĩa
Tích tenxơ của R L và M R là nhóm aben T cùng với ánh xạ tuyến tính
f : M × L → T sao cho mỗi nhóm aben A và ánh xạ tuyến tính trong

ϕ : M × L → A đều tồn tại đồng cấu duy nhất h : T → A làm cho biểu đồ sau giao

hoán
f
M × L 
→T

ϕ

ϕ = h f

h

A
1.4.3. Mệnh đề
Nếu (T,f’) và (T’,f’) đều là tích tenxơ của M R và R L thì tồn tại đẳng
cấu duy nhất j : T → T ' sao cho jf = f ' .
1.4.4. Mệnh đề (sự tồn tại )
Tích tenxơ của M R và R L thì tồn tại.

Footer Page 21 of 114.


Header Page 22 of 114.
16

1.4.5. Nhận xét
Ta kí hiệu tích tenxơ của hai môđun M R và R L là T = M ⊗ L = M ⊗ L
R

Ánh xạ tuyến tính trong f : M × L → M ⊗ L không bao giờ là đơn ánh, trừ
khi M= L= 0 . Do đó không thể đồng nhất M × L với một tập con của M ⊗ L .
Ta kí hiệu : f ( x, y )= x ⊗ y và gọi là tích tenxơ của hai phần tử x và y.
Tập tất cả các phần tử x ⊗ y , x ∈ M , y ∈ L lập thành một hệ sinh của
M ⊗L

có dạng

∑ n ( x + y ), n ∈ Z
i

i

i

i

.

Từ tính tuyến tính của f suy ra các hệ thức sau trong M ⊗ L :
( x + x ') ⊗ y = x ⊗ y + x '⊗ y
x ⊗ ( y + y ') = x ⊗ y + x ⊗ y '
xr ⊗ y = x ⊗ ry, r ∈ R
n( x ⊗ y ) = nx ⊗ y = x ⊗ ny, n ∈ Z

Do hệ thức cuối cùng nên mỗi phần tử của M ⊗ L có thể viết dưới dạng

∑ (x ⊗ y )
i

i

1.4.6. Mệnh đề
M ⊗R  MR
R

1.4.7. Định nghĩa ( Tích tenxơ các đồng cấu ).
Giả sử µ : M → M ' và λ : L → L ' lần lượt là R môđun phải, trái. Khi đó
tương ứng

ϕ : M × L → M '⊗ L '
R

( x, y )  µ ( x ) ⊗ λ ( y )

thành đồng cấu duy nhất

là ánh xạ tuyến tính trong. Do đó ϕ mở rộng

µ ⊗ λ : M ⊗ L → M '⊗ L '
gọi là tích tenxơ của hai
x ⊗ y  µ ( x) ⊗ λ ( y )

đồng cấu µ và λ .
µ
µ'
λ
λ'
→ M ' 
→ M '' và L 
→ L ' 
→ L ''
Bây giờ nếu cho các đồng cấu M 

Thì dễ dàng suy ra được rằng µ ' µ ⊗ λ ' λ =( µ '⊗ λ ')( µ ⊗ λ )

Footer Page 22 of 114.


Header Page 23 of 114.
17

1.4.8. Mệnh đề
Nếu M i ( i ∈ I ) là những R môđun phải và L là một R môđun trái thì
tồn tại một đẳng cấu tự nhiên (⊕ M i ) ⊗ L  ⊕( M i ⊗ L) .
I

R

I

R

1.4.9. Mệnh đề
Tích tenxơ hai đơn cấu không là đơn cấu.
1.5. Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu
1.5.1. Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi
môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B ≠ 0 ( nếu A ∩ B = 0 ⇒ B = 0 ).
Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A ⊆ e M .
Ví dụ: 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có M ⊆ e M
2) Xem vành các số nguyên Z như môđun trên chính nó. Khi đó
mỗi ideal khác không trong Z đều cốt yếu, bởi vì đối với hai ideal khác không
bất kì aZ và bZ ta đều có 0 ≠ ab ∈ aZ ∩ bZ .
1.5.2. Bổ đề
1) Nếu trong môđun M có các môđun con A ⊂ B thì A ⊆ e M ⇒ B ⊆ e M

2) Nếu Ai ⊆ e M , i=1,2,…,n thì

n

A ⊆
i

e

M

i =1

3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và B ⊆ e N thì ϕ −1 ( B) ⊆ e M .
1.5.3. Định nghĩa
Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu (hay bé) nếu với mỗi
môđun con E ≠ M ta đều có A + E ≠ M ( một cách tương đương nếu
A+ E = M ⇒ E = M

).

Khi đó ta kí hiệu A ⊆ s M .
Ví dụ : 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 ⊆ s M .
2) Trong Z môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt
yếu.

Footer Page 23 of 114.


Header Page 24 of 114.

18

1.5.4. Bổ đề
1) Nếu trong môđun M có các môđun con A ⊂ B thì B ⊆ s M ⇒ A ⊆ s M
2) Nếu Ai ⊆ s M , i=1,2,…,n thì

n

∑A ⊆
i =1

i

s

M

3) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊆ s M thì ϕ ( A) ⊆ s N .
1.5.5. Mệnh đề
Đối với phần tử a ∈ M R thì môđun con aR không là đối cốt yếu trong M
khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a ∉ K .
1.5.6. Bổ đề
Cho A là môđun con của MR. Khi đó A ⊆ e M khi và chỉ khi với mỗi
phần tử khác không m ∈ M thì tồn tại r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A .
1.5.7. Hệ quả
Giả sử M = ∑ M i , Ai ⊆ e M i , i ∈ I và A =
I

∑ A = ⊕ A . Khi đó
i

i

I

I

A ⊆ e M và

M = ⊕ Mi
I

1.5.8. Hệ quả
Giả sử M = ⊕ M i , Ai ⊆ e M i , i ∈ I . Khi đó A =
I

∑A = ⊕A
i

I

I

i

và A ⊆ e M .

1.6. Môđun nội xạ
1.6.1. Định nghĩa
Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → Q và

mỗi đơn cấu g : A → B của những R môđun, tồn tại một đồng cấu h : B → Q
sao cho hg=f, nghĩa là biểu đồ giao hoán.
0

A

g

B

f
h

Q

Footer Page 24 of 114.


Header Page 25 of 114.
19

1.6.2. Định lý
Nếu Q = ∏ Qi thì Q là nội xạ khi và chỉ khi Qi là nội xạ với i ∈ I .
I

1.6.3. Hệ quả
Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ là nội xạ.
1.6.4. Định lý
Đối với môđun QR các điều sau tương đương
1) Q là nội xạ

2) Mỗi đơn cấu ϕ : Q → B là chẻ ra (nghĩa là Im ϕ là hạng tử trực tiếp
trong B).
3) Đối

với

mỗi

đơn

cấu

α : A → B ,ánh

xạ

Hom(α ,1Q ) : HomR ( B, Q) → HomR ( A, Q) là toàn cấu.

1.6.5. Định lý (Tiêu chuẩn Baer)
Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi ideal phải U ⊂ RR và mỗi
đồng cấu f : U → Q đều tồn tại đồng cấu h : RR → Q sao cho hi=f, trong đó i là
phép nhúng từ U vào R.
Chứng minh :
Điều kiện cần là hiển nhiên
Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ
Bước 1:
Xét biểu đồ:
α
0 
→ A 

→B

ϕ

Q
Trong đó α là đơn cấu. Gỉa thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự
C của B sao cho Im α ⊂ C và tôn tại đồng cấu γ : C → Q sao cho ϕ = γα . Ta sẽ
khẳng định rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B thực sự chứa C và tồn tại

Footer Page 25 of 114.