Các bài toán về số phức trong mối quan hệ với hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ LỆ QUYÊN

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC
TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ LỆ QUYÊN

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC TRONG MỐI
QUAN HỆ VỚI HÌNH HỌC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Nam

HÀ NỘI, NĂM 2017

Mục lục
Lời nói đầu

iii

1 Các khái niệm cơ bản về số phức
1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức . .
1.2 Khái niệm số phức . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Trường số phức . . . . . . . . . .
1.2.2 Khái niệm số phức . . . . . . . .
1.3 Các phép toán trên tập các số phức . . .
1.3.1 Phép cộng . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Phép trừ . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Phép nhân . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Phép chia . . . . . . . . . . . . .
1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
1.4.1 Dạng lượng giác của số phức . . .
1.4.2 Dạng mũ của số phức . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2
2
4
4
5
5
5
6
6
6
7
7
10

2 Sử dụng hình học để giải quyết các bài toán về số phức
2.1 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Mô tả một số công thức số phức có thể biểu diễn bằng các
khái niệm hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Một số bài tập minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Giải phương trình, hệ phương trình trên trường số phức
2.2.2 Dạng bài tập giải phương trình chứa tham số . . . . . .

2.2.3 Dạng bài tập tìm GTLN, GTNN trên trường số phức . .
2.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11

3 Ứng dụng số phức vào giải một số
3.1 Phương pháp giải . . . . . . . . .
3.1.1 Một số khái niệm hình học
số phức . . . . . . . . . .
3.1.2 Phương pháp giải . . . . .

41
41

i

bài tập hình học
. . . . . . . . . . . . . . . . .
được biểu diễn bằng ngôn ngữ
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .

11
21
21
21
31
33
37

41
45


3.2

3.3

Một số bài tập minh họa . . . . . . .
3.2.1 Dạng bài tập về tính toán . .
3.2.2 Dạng bài tập về chứng minh .
3.2.3 Dạng bài tập về tìm quỹ tích
3.2.4 Dạng bài tập tổng hợp . . . .
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kết luận

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

45
45
50
55
56
59
61

ii


Lời nói đầu
Số phức xuất hiện từ thế kỉ XVI do nhu cầu cần thiết để giải các phương
trình đại số. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về số phức và mối quan hệ
giữa số phức và hình học, điển hình là Gaus, Hamilton... Từ khi ra đời số phức
đã góp phần mạnh mẽ vào sự phát triển của nền toán học hiện đại và giải quyết
được nhiều vấn đề về khoa học kĩ thuật. Tuy vậy đối với học sinh bậc trung học
phổ thông thì số phức vẫn còn là một vấn đề tương đối mới mẻ.
Số phức được đưa vào dạy học trong chương trình phổ thông nhưng với thời
lượng không nhiều. Qua đó học sinh chỉ có thể nắm được những kiến thức rất
cơ bản nên khi gặp những bài tập phức tạp về số phức học sinh gặp nhiều khó
khăn. Bên cạnh đó, việc khai thác số phức như một công cụ để giải các bài tập
liên quan đến hình học cũng là một vấn đề khó bởi nó đòi hỏi học sinh phải có
kiến thức đa dạng về toán học và có năng lực giải toán tốt.
Đã có nhiều luận văn, bài viết khoa học nghiên cứu đến việc sử dụng số phức
như một công cụ để đơn giản hóa các bài tập hình học từ đó đưa ra được những
lời giải ngắn gọn cho những bài toán hình học mà không cần sử dụng đến những

chứng minh hình học phức tạp. Từ đó thấy được những ứng dụng quan trọng
của số phức và sự vận dụng của nó như một công cụ để giải quyết các bài tập
hình học. Tuy nhiên, từ những kết quả này chúng ta chỉ có thể thấy được mối
liên hệ một chiều giữa hình học và số phức. Việc làm rõ mối quan hệ giữa các
bài tập số phức và các khái niệm trong hình học, sử dụng các mối quan hệ đó
để giải quyết các bài tập về số phức vẫn chưa được quan tâm.
Với mục đích làm rõ mối quan hệ hai chiều giữa các mối quan hệ trong hình
học và các bài toán trong tập số phức, tôi lựa chọn đề tài: "Các bài tập về số
phức trong mối quan hệ với hình học ".
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành
ba chương:
Chương 1, trình bày các khái niệm cơ bản về số phức bao gồm lịch sử hình
thành khái niệm số phức, khái niệm số phức, dạng lượng giác của số phức và
các tính chất của số phức.
Chương 2, trình bày việc áp dụng hình học để giải các bài toán liên quan đến
số phức.
Ở phần này luận văn trình bày một số phương trình số phức có thể biểu diễn
iii


được qua các khái niệm hình học như điểm, vecto, độ dài vecto, tích vô hướng
của hai vecto, tích ngoài của hai vecto, góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa hai
điểm trong mặt phẳng, vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng,
phương trình đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,
phương trình đường tròn...Từ đó tạo cơ sở để giải các bài toán về số phức bằng
hình học.
Ngoài ra, trong chương này còn đưa thêm một số ví dụ minh họa các bài tập
sử dụng hình học để giải các bài toán về số phức. Phần cuối chương còn có thêm
một số bài tập liên quan giúp củng cố và luyện tập.
Chương 3, trình bày việc sử dụng số phức như một công cụ để giải các bài

toán về hình học.
Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của hình học như điểm,
đoạn thẳng, vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn...bằng
ngôn ngữ số phức. Trên cơ sở đó áp dụng số phức vào giải các bài toán về hình
học.
Cuối chương là một số ví dụ và bài tập luyện tập.

iv


Lời cảm ơn
Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Lê Đình Nam, người đã
đưa ra đề tài, luôn luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình
làm luận văn của tác giả. Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa
Toán, các thầy cô bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến để tác giả hoàn thành
luận văn cũng như trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tác giả cũng xin gửi
lời cảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đại
học Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện trong quá trình tác giả học tập tại
trường. Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đặc biêt là
tập thể lớp K25 Đại số đã cổ vũ, động viên trong suốt quá trình vừa qua.
Hà Nội, tháng 06 năm 2017
Học viên
Nguyễn Thị Lệ Quyên

1


Chương 1

Các khái niệm cơ bản về số phức
1.1

Lịch sử hình thành khái niệm số phức

√
√
√
Các đại lượng ảo
−1, b −1, a + b −1 xuất hiện vào thế kỉ XVI
trong các công trình của các nhà toán học Italy "Nghệ thuật vĩ đại hay là về
các quy tắc của đại số"(1545) của G.Cardano(1501-1576) và "Đại số"(1572) của
R.Bombelli(1530-1572).
Khi
√ giải các phương trình bậc hai Cardano và2 Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu
−1 là lời giải hình thức của phương trình x + 1 = 0.Từ
√ đó ta có nghiệm hình
2
2
thức của phương trình (x − a) + b = 0 có dạng a + b −1 và được√
Gauss gọi
là đại lượng "ảo" hay số phức kí hiệu là a + bi, trong đó kí hiệu i := −1 được
L.Euler đưa vào gọi là đơn vị ảo (năm 1777).
Tuy vậy, sự thừa nhận số phức
chậm
√ như một công cụ của toán học diễn ra khá
2
chạp. Người ta vẫn xem i := −1 như một nghiệm của phương trình x +1 = 0
nhưng không thừa nhận nó vì nó không có điểm gì chung với số - một công cụ
của phép đếm. Không những vậy, việc chuyển các quy√tắc thông thường của đại

số cho số phức đã tạo ra một số nghịch lí như: i := −1 nên i2 := −1, nhưng
đồng thời ta cũng có :
i2 =

√

√
−1 −1 =

(−1)(−1) =

2

(−1) =

√

1=1

Vậy 1 = −1.
Một số nhà toán học cũng đưa ra các chứng minh cho hệ thức i2 = −1 điển
hình như là L.S.Pointriagin. Trong cuốn sách "Phương pháp tọa độ" ông đã mô
tả lại chứng minh đó như sau:
Đầu tiên lấy nửa đường tròn đường kính AB. Từ điểm R bất kì của nửa đường
tròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân độ dài của SA và SB. Kí hiệu
điểm −1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R, khi đó S sẽ là điểm 0 trên mặt
phẳng phức . độ dài RS là i, đoạn AS là −1 và đoạn SB là +1 nên ta có
i2 = (−1).(+1) = −1
2

Cardano thì gọi nghiệm phức là các nghiệm "ngụy biện". Ví dụ như hệ phương
trình

 xy = 50
 x + y = 10
√
Ông gọi 5 ± −5 là "nghiệm âm ngụy biện".
Trong khi nhiều nhà toán học tìm cách chứng minh và lý thuyết hóa số phức thì
một vài nhà toán hoc nhà toán học điển hình là I.Newton lại không thừa nhận
nhân tố mới này. Điều này đã gây ra nhiều sự tranh cãi trong một thời gian dài.
Nhà toán học Italia R.Bombelli(1526 - 1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về
số phức, lúc đó được gọi là "số không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình
"Đại số" được công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa số đó(số
phức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đưa ra khái niệm căn bậc
hai của −1. Tiếp đó L.Euler(1777 - 1855) đã mở rộng khái niệm cho một số
phức bất kì(1738) đồng thời đưa ra kí hiệu ”i” để chỉ căn bậc hai của −1 và
A.Moivre(1667 - 1754) thực hiện giải các bài toán căn bậc tự nhiên đối với số
phức.
Năm 1799 nhà toán học người Nauy là C.Wessel đã đưa ra sự minh họa hình
học về số phức và các phép toán trên chúng.
Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cách
vững chắc khái niệm số phức. Tên tuổi của ông cũng được gắn liền với phép
chứng minh chính xác đầu tiên đối với định lý cơ bản của đại số khẳng định
rằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm. Ông đã
chứng minh trường C là một trường đóng đại số nghĩa là khi xét các nghiệm
trong trường này ta không thu được thêm số mới. Đương nhiên trường số thực
R và trường số hữu tỉ Q đều không có tính chất đóng đại số.
Vậy khái niệm về số đã được mở rộng thêm với các bao hàm thức N ⊂ Z ⊂
Q ⊂ R ⊂ C.

Nhà toán học K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mở
rộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới mà tập mới này vẫn
bảo toàn được mọi phép tính và quy luật của các phép toán trong tập số phức.
Ta thấy rằng, trong 2500 năm lịch sử của toán học, trong quá trình tìm hiểu
các khái niệm số mới không phải lúc nào cũng có thể bảo toàn các quy luật số
học cơ bản(quy luật giao hoán giữa phép cộng và phép nhân, quy luật kết hợp
và phân phối, quy luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số). Ví dụ như khi xây
dựng trường số phức không thể bảo toàn được quy luật sắp xếp tuyến tính trong
trường số thực. Từ đó đến nay số phức không ngừng hoàn thiện và phát triển.
Không những vậy nó còn thúc đẩy sự phát triển của toán học, giải quyết được
nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật.

3


1.2
1.2.1

Khái niệm số phức
Trường số phức

Đặt i là số sao cho i2 := −1. Xét tập hợp
C = {z = x + iy; x, y ∈ R}
Trong C ta trang bị hai phép toán cộng (+) và nhân (.) như sau:
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) với ∀z1 , z2 ∈ C
z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) với ∀z1 , z2 ∈ C
khi đó tập C cùng với hai phép toán như trên lập thành một trường.
a)Với phép toán cộng thì C lập thành một nhóm Aben:
+)Tính chất kết hợp: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C ta có:
(z1 + z2 ) + z3 = [(x1 + x2 ) + x3 ] + i [(y1 + y2 ) + y3 ]

= [x1 + (x2 + x3 )] + i [y1 + (y2 + y3 )] = z1 + (z2 + z3 )
+)Tính chất giao hoán: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C ta có:
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) = (x2 + x1 ) = i(y2 + y1 ) = z2 + z1
+)Có phần tử không là 0 + i0 vì
z1 + (0 + i0) = (0 + i0) + z1 = z1 , ∀z1 ∈ C
+)Với mỗi phần tử z1 = x1 + iy1 có phần tử đối là:
z 1 = −x1 − iy1
vì z1 + z 1 = [x1 + (−x1 )] + i [y1 + (−y1 )] = 0 + i0.
b)Với phép toán nhân C∗ lập thành một nhân Aben:
+)Tính chất kết hợp:
(z1 .z2 ).z3 = z1 .(z2 .z3 ), ∀z1 , z2 , z3 ∈ C
+)Tính chất giao hoán:
z1 .z2 = (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 ) = (x2 x1 − y2 y1 ) + i(x2 y1 + x1 y2 ) = z2 z1
+)Tập C có phần tử đơn vị là 1+i0 vì ∀z1 = x1 + iy1 ta có
(x1 +iy1 )(1+i0) = (1+i0)(x1 +iy1 ) = (x1 .1−y1 .0)+i(x1 .0+y1 .1) = x1 +iy1 = z1
+)Có phần tử nghịch đảo: ∀z1 = x1 + iy1 ∈ C∗
z1 =

x1
y1
−
i
x21 + x22
x21 + x22
4


vì
z1 .z 1 = (

x1 2
y1 2
x1 y1
y1 x1
+
) + i(− 2
+ 2
) = 1 + i0
2
2
2
2
2
x1 + y1 x1 + y1
x1 + y1 x1 + y12

+)Phép nhân phân phối đối với phép cộng: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C
z1 .(z2 + z3 ) = (x1 + iy1 ) [(x2 + x3 ) + i (y2 + y3 )]
= [x1 (x2 + x3 ) − y1 (y2 + y3 )] + i [x1 (y2 + y3 ) + y1 (y2 + y3 )]
= [(x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 x3 − y1 y3 )] + i [(x1 y2 + x2 y1 ) + (x1 y3 + x3 y1 )]
= z1 z2 + z1 z3
Vậy C lập thành một trường gọi là trường số phức, số i ∈ C gọi là đơn vị ảo
của C, mọi phần tử của C được gọi là số phức.
1.2.2

Khái niệm số phức

Định nghĩa 1.1 (Số phức)
Với ∀z ∈ C ta có
z = (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + ib

Đây là dạng đại số của số phức z, trong đó a được gọi là phần thực của số phức
z, kí hiệu là Rez b được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz.
Định lí 1.2 Trường C là đóng đại số nghĩa là mọi đa thức f(x) bậc n ≥ 1 trên
trường C có đúng n nghiệm (nghiệm bội k được tính k lần).
Định nghĩa 1.3 (Số phức liên hợp)
Cho z = a + ib, ∀a, b ∈ R , khi đó z = a − ib ∈ C được gọi là số phức liên hợp
của số phức z và được kí hiệu là z.
Định nghĩa 1.4 (Môđun của số phức)
Với mỗi số phức z = a + ib ∈ C ta đặt:
√
|z| = z.z = a2 + b2
Khi đó |z| được gọi là môđun của số phức z.
Chú ý: |z| = 0 ⇔ z = 0.

1.3
1.3.1

Các phép toán trên tập các số phức
Phép cộng

Cho hai số phức z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 khi đó tổng của hai số phức z1 , z2
là:
z = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 )
5


Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:
i) Kết hợp: (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
ii) Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1
Đặc biệt khi z1 , z2 là hai số thực thì phép cộng là phép cộng hai số thực.

1.3.2

Phép trừ

Phép cộng trên có phép toán ngược nghĩa là với hai số phức z1 , z2 ta có thể tìm
được số phức z thỏa mãn z1 = z + z2 . Khi đó số phức z được gọi là hiệu của
hai số phức z1 , z2 và kí hiệu là:
z = z1 − z2 = (a1 − a2 ) + i(b1 − b2 )
1.3.3

Phép nhân

Ta gọi tích của hai số phức z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2 là số phức z = z1 .z2 xác
định bởi:
z = z1 .z2 = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 − a2 b1 )
Từ định nghĩa ta có những tính chất sau:
i) Kết hợp: (z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 )
ii) Giao hoán: z1 z2 = z2 z1
iii) Phép nhân phân phối với phép cộng: z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
Nếu z1 , z2 là hai số thực thì phép nhân là phép nhân hai số thực. Đặc biệt
ta có i.i = i2 = −1. Chú ý: z.z = a2 + b2 ≥ 0.
1.3.4

Phép chia

Nếu một trong hai số phức z1 , z2 khác không ta có phép chia
z=

z1
z1 .z2

=
z2
z2 .z2

=

(a1 + ib1 )(a2 − ib2 )
(a2 + ib2 )(a2 − ib2 )

=

a1 a2 + b1 b2
b1 a2 − a1 b2
+
i
a22 + b22
a22 + b22

6


Định lí 1.5 i) z¯ = z, ∀z ∈ R ⊂ C
ii) ¯z = z, ∀z ∈ C
iii) z1 + z2 = z1 + z2 , ∀z1 , z2 ∈ C
iv) z1 .z2 = z1 .z2 , ∀z1 , z2 ∈ C
Suy ra ta có α.z2 = α.z2 , ∀z2 ∈ C, α ∈ R
v) z.¯
z = a2 + b2 ≥ 0, ∀z ∈ C
z1
z1

= , z2 = 0
vi)
z2
z2
vii) z + z¯ = 2Rez, z − z¯ = 2iImz, ∀z ∈ C

1.4
1.4.1

Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức
Dạng lượng giác của số phức

Trong hệ tọa độ Oxy ta biểu diễn số phức z = a + ib(∀a, b ∈ R) bởi một điểm
có tọa độ (a, b). Như vậy trục Ox sẽ biểu diễn các số thực, ta gọi trục Ox là trục
thực. Tương ứng trục Oy sẽ biểu diễn các số thuần ảo và gọi là trục ảo. Ngược
lại, với mỗi điểm M (a, b) trên mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng với một số phức
z = a + ib.

√
−−→
−−→
Khi đó vectơ OM cũng có tọa độ là (a, b) và OM = a2 + b2 . Vậy số phức z
−−→
có thể được biểu diễn dưới dạng z = r(cos θ + i sin θ) với r = |OM | và θ là góc
−−→
tạo bởi vectơ
√ OM và trục Ox. Đây gọi là dạng lượng giác của số phức. Kí hiệu
r = |z| = a2 + b2 gọi là môđun của số phức z. Góc θ gọi là argument của số
phức z và kí hiệu là θ = Argz.

7


Argument của số phức được xác định

b


arctg + (2k + 1)π, a < 0



a
θ = Argz =



b

 arctg + k2π, a > 0
a
b
π π
Với arctg ∈ − ,
là giá trị chính của hàm arctg.
a
2 2
Một số tính chất

Cho các số phức

z = r(cos θ + i sin θ)
z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
Ta có các tính chất:
1) Nếu z1 ≡ z2 thì môđun của chúng trùng nhau và agrument sai khác nhau
một số nguyên lần 2π.
2) Tính chất của môđun và argument
i)|z1 .z2 | = |z1 |.|z2 |
ii)|z| ≥ |Rez|, |z| ≥ |Imz|
iii)|z| ≤ |Rez| + |Imz|
iv)|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
v)|z1 − z2 | ≤ |z1 | − |z2 |

8


3) Tích của hai số phức Ta gọi số phức z = r(cos θ + i sin θ) là tích của hai
số phức z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
z = z1 z2 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ).r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
= r1 r2 [(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ1 sin θ2 − sin θ1 cos θ2 )]
= r1 r2 [cos(θ1 + θ2 ) + i sin(θ1 + θ2 )]
Như vậy r = r1 r2 và θ = θ1 + θ2 hay nói cách khác
|z| = |z1 z2 | = |z1 |.|z2 | và arg z = arg(z1 .z2 ) = arg z1 + arg z2
Ta cũng có thể chứng minh được công thức sau bằng phương pháp quy nạp:
[r1 (cos θ1 + i sin θ1 )] . [r2 (cos θ2 + i sin θ2 )] ..... [rn (cos θn + i sin θn )]
= r1 r2 ...rn [cos(θ1 + θ2 + .... + θn ) + i sin(θ1 + θ2 + .... + θn )]
Tương tự đối với phép chia ta có
z1
r1 (cos θ1 + i sin θ1 )
r1 (cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 − i sin θ2 )

=
=
z2
r2 (cos θ2 + i sin θ2 )
r2 (cos θ2 + i sin θ2 )(cos θ2 − i sin θ2 )

Vậy

=

r1
[(cos θ1 cos θ2 + sin θ1 sin θ2 ) + i(cos θ2 sin θ1 − sin θ2 cos θ1 )]
r2

=

r1
[cos(θ1 − θ2 ) + i sin(θ1 − θ2 )]
r2

z1
|z1 |
z1
=
và arg = arg z1 − arg z2
z2
|z2 |
z2

Công thức Moivre

Cho số phức z = r(cos θ + i sin θ) , ta có:
n

z n = [r(cos θ + i sin θ)] = rn (cos nθ + i sin nθ), ∀n ∈ N
Công thức trên được gọi là công thức Moivre.
Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của một số phức z =
r(cos θ + i sin θ) có dạng w = p(cos ϕ + i sin ϕ) sao cho:
n

wn = [p(cos ϕ + i sin ϕ)] = pn (cos nϕ + i sin nϕ) = r(cos θ + i sin θ) = z
Như vậy ta có pn = r và nϕ = θ + k2π, (k ∈ Z) .
√
θ + k2π
Suy ra p = n r và ϕ =
n
9


Ta thấy rằng với mỗi một giá trị của k lại cho chúng ta những giá trị khác nhau
√
√
ϕ
của n z. Mỗi giá trị của n z lập thành cấp số cộng với số đầu là (tương ứng
n
2π
với k = 0) và công bội
n
√
Do tính chu kì của hàm sinx, cosx nên những giá trị của n z sẽ bị lặp lại một

trong n giá trị ban đầu.
1.4.2

Dạng mũ của số phức

Đặt cos θ ± i sin θ = e±iθ khi đó ta có:
z = reiθ
là dạng mũ của số phức z khác không. Ta dễ dàng chứng minh được nếu
z1 = r1 eiθ1 ; z2 = r2 eiθ2 thì:
1)z1 .z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )

2)

r1
z1
= ei(θ1 −θ2 ) ; r2 = 0
z2
r2

3)z n = rn einθ
√
n

4) z =

√
n

θ + k2π
n , k = 0; 1; .......; n − 1

re
i

10


Chương 2

Sử dụng hình học để giải quyết các
bài toán về số phức
2.1
2.1.1

Phương pháp giải
Mô tả một số công thức số phức có thể biểu diễn bằng các khái niệm
hình học

1)Biểu diễn điểm và vectơ

Ta đã biết với mỗi số phức z=x+iy luôn tương ứng với một điểm M(x,y) trên
mặt phẳng phức. Khi đó z được gọi là tọa vị của diểm M và kí hiệu là M(z).
−−→
Với mỗi số phức z=x+iy cũng có tương ứng vectơ OM (x, y), khi đó z cũng là
−−→
−
−
tọa vị của OM và kí hiệu là OM (z) . Chú ý với →
a (x, y) bất kì thì →
a cũng
−

có tọa vị z và kí hiệu →
a (z).
Do đó nếu M (z1 ), N (z2 ) trong đó zj = xj + iyj (j = 1, 2) thì khi đó vectơ
−−→
−−→
N M (x1 − x2 , y1 − y2 ) có tọa vị z1 − z2 và |N M | = |(z1 − z2 )|.
Mệnh đề 2.1 Điều kiện ba điểm thẳng hàng
Cho z1 , z2 , z3 là 3 số phức phân biệt. Khi đó:
z1 − z2
= λ (λ ∈ R)
z1 − z3
thì A (z1 ) , B (z2 ) , C (z3 ) là 3 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức.
Chứng minh
Đặt zj = aj + ibj với j=1,2,3
−→
−→
Ta có BA (z1 − z2 ) , CA (z1 − z3 )

11


−→
−→
Giả sử A,B,C thẳng hàng, khi đó ta có: BA = k CA (k ∈ R)


 a − a = k (a − a )
 a − a = k (a − a )
1
2

1
3
1
2
1
3
⇔
⇔
 b − b = k (b − b )
 i (b − b ) = ki (b − b )
1
2
1
3
1
2
1
3
⇒ (a1 − a2 ) + i (b1 − b2 ) = k [(a1 − a3 ) + i (b1 − b3 )]
⇒ z1 − z2 = k (z1 − z3 )
z1 − z2
⇒
=k
z1 − z3
Mệnh đề 2.2 Điều kiện bốn điểm thẳng hàng
Cho z1 , z2 , z3 , z4 là 4 số phức phân biệt. Khi đó:
z1 − z2
z1 − z4
=λ
z1 − z3

z1 − z3
thì A (z1 ) , B (z2 ) , C(z3 ), D (z4 ) là 4 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức.
Chứng minh
Giả sử A (z1 ) , B (z2 ) , C (z3 ) là 3 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức. Nên
ta có
z1 − z2
=k
z1 − z3
−→
−→
hay BA = k.CA (1)
Mặt khác ta có
−−−→
−−→ k
z1 − z4
z1 − z4
k
λ
=k⇒
= ⇒ DA = CA
z1 − z3
z1 − z3
λ
λ
Từ (1) và (2) ta có:
−→ 1 −→ λ −−→
−→
−−→
CA = BA = DA ⇒ BA = λDA
k

k
Suy ra B, A, D thẳng hàng.
Vậy A, B, C, D là 4 điểm thẳng hàng.
2)Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm

Mệnh đề 2.3 Cho M (z1 ), N (z2 ) là hai điểm thuộc mặt phẳng phức, khi đó
ta có:
(z2 − z1 ) (z2 − z1 ) = |z2 − z1 | = M N
.

12


Chứng minh
Giả sử z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2 .
(z2 − z1 ) (z2 − z1 ) = z2 .z2 + z1 .z1 − z1 .z2 − z2 .z1
= x2 2 + y2 2 + x1 2 + y1 2 − 2x1 x2 − 2y1 y2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
−−→
= |z2 − z1 |2 = M N 2 = M N 2
3)Tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng phức

→
−
−
Mệnh đề 2.4 Cho →
a (z1 ) = 0, b (z2 ) = 0 , khi đó ta có:
→
−
1
−

a b
(z1 .z2 + z2 .z1 ) = →
2
Chứng minh
Giả sử z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2
1
1
(z1 .z2 + z2 .z1 ) = [(x1 + iy1 )(x2 − iy2 ) + (x1 − iy1 )(x2 + iy2 )]
2
2
1
= [x1 x2 + y1 y2 + i(x1 y2 − y1 x2 ) + (x1 x2 + y1 y2 ) + i(y1 x2 − x1 y2 )]
2
→
−
−
= x1 x2 + y1 y2 = →
a b
Một số tính chất: Với ∀z, z1 , z2 ∈ C ta có
•

z, z = |z|2 , z1 , z2 = z2 , z1 = z1 , z2

•

z1 + z2 , z = z1 , z z2 , z

•

kz1 , z2 = k z1 , z2 , ∀k ∈ R

•

z1 , kz2 = k z1 , z2 , ∀k ∈ R

•

z1 , zz2 = z, z1 .z2 , zz1 , z2 = z, z1 .z2

5)Góc giữa hai vectơ

→
−
−
Mệnh đề 2.5 Cho →
a (z1 ) = 0, b (z2 ) = 0 , khi đó ta có:
→
−
z1 .z2 + z2 .z1
−
= cos(→
a, b)
2 |z1 | . |z2 |
→
−
z1 .z2 − z2 .z1
−
= sin(→
a, b)
2 |z1 | . |z2 |

13


Chứng minh
→
−
→
−
→
−
−
−
−
Do →
a . b = |→
a |.| b | cos(→
a , b ) nên ta có
→
−
→
−
→
−
z1 .z2 + z2 .z1
a.b
−
=
= cos(→
a, b)

→
−
−
2 |z1 | . |z2 |
|→
a |. |b |
Suy ra ta có

→
−
z1 .z2 − z2 .z1
−
= sin(→
a, b)
2 |z1 | . |z2 |

6)Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M (z1 ), N (z2 ), khi đó tích ngoài của hai
số phức z1 , z2 kí hiệu là [z1 , z2 ] là một số thực và bằng tích ngoài của hai vectơ
−−→ −−→
OM , ON xác định bởi:
−−→ −−→
−−→ −−→
−−→ −−→
[z1 , z2 ] = OM , ON = |OM |.|ON | sin OM , ON
Nếu z = r(cos θ + i sin θ) là tích của hai số phức z1 = r1 (cos θ1 + i sin θ1 ), z2 =
r2 (cos θ2 + i sin θ2 ) thì
[z1 , z2 ] = r1 r2 sin(θ2 − θ1 ) = |z1 |.|z2 | sin(arg z2 − arg z1 )
Mặt khác ta có

z1 .z2 − z2 .z1
= r1 r2 [(cos θ1 + i sin θ1 )(cos θ2 − i sin θ2 ) − (cos θ1 − i sin θ1 )(cos θ2 + i sin θ2 )]
= r1 r2 (−2i cos θ1 sin θ2 + 2i sin θ1 cos θ2 ) = −2ir1 r2 (cos θ1 sin θ2 − sin θ1 cos θ2 )
= −2ir1 r2 sin(θ2 − θ1 ) = −2i [z1 , z2 ]
−−→ −−→
Nếu [z1 , z2 ] = 0 ⇒ sin OM , ON = 0 ⇒ O, M, N thẳng hàng.
Các tính chất: ∀z, z1 , z2 ∈ C ta có
i
• [z1 , z2 ] = (z1 .z2 − z2 .z1 )
2
• [z1 , z2 ] = − [z2 , z1 ]
• [z, z] = 0
• [kz1 , z2 ] = k [z1 , z2 ] , ∀k ∈ R
• [z, z1 + z2 ] = [z, z1 ] + [z, z2 ]
• [zz1 , z2 ] = [z1 , zz2 ] suy ra [zz1 , zz2 ] = [z1 , zzz2 ] = |z|2 [z1 , z2 ]
Ngoài ra ta có: [z, z] = 0 ⇔ sin(arg z1 − arg z2 ) = 0 ⇔ O, M, N thẳng hàng.
14


7)Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức
a)Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Phương trình z = z0 +tu, (t ∈ R) là phương trình tham số của đường thẳng
−
đi qua điểm M0 (z0 ) và có vectơ chỉ phương →
u (u).
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0 (z0 ) và có vectơ chỉ phương
→
−
u (u) cũng có dạng

z − z0
z − z0
u
=
hoặc z − z0 = (z − z0 )
u
u
u
u
u
= 1, δ = z0 − z0 thì phương trình thu được sẽ có
Nếu đặt |λ| =
u
u
dạng : z = λz + δ
.
[z − z0 , u] = 0 hay

Vậy z = λz + δ xác định một đường thẳng ⇔ |λ| = 1 và λδ + δ = 0.
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0 (z0 ) và có vectơ pháp tuyến
→
−
v (v) có dạng v(z − z0 ) + v(z − z0 ) = 0 .
Thật vậy, giả sử M0 (z0 ), N (z) ∈ d khi đó ta có:
−−→ →
−−→ −
M N ⊥−
v ⇔ z − z0 , v = M N .→
v =0
⇔ v¯(z − z0 ) + v(z − z0 ) = 0

Nếu đặt δ = −vz0 + vz0 ∈ C thì phương trình đường thẳng có dạng
vz + vz + δ = 0
. Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng
vz + vz + δ = 0
trong đó v = 0, δ ∈ R.
• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M (z1 ), N (z2 ).
−−→
Ta có M N (z2 − z1 ) là vectơ chỉ phương của đường thẳng M N .
Giả sử A(z) là điểm thuộc đường thẳng M N . Vậy A, M, N thẳng hàng
⇔ [z − z1 , z2 − z1 ] = 0
i
(z − z1 )(z2 − z1 ) − (z − z1 )(z2 − z1 ) = 0
⇔
2
⇔ (z − z1 )(z2 − z1 ) − (z − z1 )(z2 − z1 ) = 0
⇔ z(z2 − z1 ) − z(z2 − z1 ) + z2 .z1 − z2 .z1 = 0

15


−−→
Mặt khác đường thẳng đi qua M (z1 ) và nhận vectơ M N (z2 − z1 ) là vectơ
chỉ phương nên ta có phương trình đường thẳng:
z = z1 + (z2 − z1 )t, (t ∈ R)
Ta có z = z1 + (z2 − z1 )t ⇔ z − z1 = t(z2 − z1 )
−−→
−−→
+) Nếu t<0 thì M A và M N là hai vectơ cùng phương nhưng ngược chiều
và A nằm ngoài đoạn M N về phía M .
−−→

−−→
+) Nếu t>0 thì M A và M N là hai vectơ cùng phương và cùng hướng.
- Nếu 0- Nếu t>1 thì A nằm ngoài đoạn M N về phía N .
• Giả sử A(z1 ) là điểm nằm trên trục Ox với z1 = a, điểm B(z2 ) nằm trên
trục Oy với z2 = ib khi đó phương trình đường thẳng AB có dạng:
z(z2 − z1 ) − z¯(z2 − z1 ) + z2 .z1 − z2 .z1 = 0
⇔ (−ib − a)z − (ib − a)z + iab + iab = 0
⇔ z(z2 + z1 ) + z¯(z2 − z1 ) = 2z1 .z2
1
1
1
1
+
z+
−
⇔
z=2
z1 z2
z1 z2
Phương trình trên gọi là phương trình đoạn chắn .
• Một vài dạng phương trình đường thẳng đặc biệt:
+) z = x + ib, b = const là đường thẳng song song với trục Ox.
+) z = a + iy, a = const là đường thẳng song song với trục Oy.
+) z = x + ix là đường thẳng y = x.
b)Chuyển phương trình đường thẳng dạng phức về dạng thực

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng vz + vz + δ = 0 trong đó
v = 0, δ ∈ R.
Ta có vz + zv = 2Re(vz) với v = a + bi và z = x + iy.

Suy ra vz + zv = 2(ax + by).
Khi đó phương trình đường thẳng sẽ có dạng:
2ax + 2by + δ = 0
là phương trình đường thẳng ở dạng thực.
Ngược lại ta có:
v + v = 2a, i(v − v) = −2b

16


x=

z+z
z−z
, y=−
i
2
2

Vậy
2ax + 2by + δ = 0
z + z¯
z − z¯
⇔ (v + v¯)
− i (v − v¯)
i+δ =0
2
2
v.z + v.z + v¯
z − v.z − v.z + v.z

z + v¯z v.¯
+
+δ =0
2
2
⇔ v.z + v.z + δ = 0
⇔

Mệnh đề 2.6 Cho đường thẳng d : v¯z + v¯
z + δ = 0, v = 0, δ ∈ R khi đó đường
−
−
thẳng (d) có vectơ pháp tuyến là →
nd = v và vectơ chỉ phương là →
ud = −iv.
Chứng minh
Phương trình đường thẳng (d) có dạng thực là:
2ax + 2by + δ = 0
−
nên nó có vectơ pháp tuyến là →
nd = (a, b) tương ứng với v = a + ib. vậy đường
−
thẳng (d) có vectơ pháp tuyến là →
nd = v.
−
Tương tự ta có vectơ chỉ phương của (d) là →
ud = (a, −b) tương ứng với số phức
iv = b − ia.
−
Vậy đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là →

ud = −iv.
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M0 (z0 ) đến đường thẳng ∆ : αz + α
¯ z + β = 0, khi đó ta
có
|αz0 + αz0 + β|
√
d (M0 , ∆) =
2 αα
¯
Nhận xét 2.7 z = x + ib, với b=const là phương trình đường thẳng song song
với trục Ox.
z = a + iy, a=cost là phương trình đường thẳng song song với trục Oy.
8)Phương trình đường tròn

a) Phương trình đường tròn.
Đường tròn tâm M0 (z0 ) bán kính r là tập hợp những điểm M (z) sao cho
M0 M = r hay |z − z0 | = r
⇒ |z − z0 |2 = (z − z0 ) (z − z0 ) = r2
⇔ zz − z0 z − zz0 + z0 z0 = r2
17


Đặt α = −z0 và β = αα − r2 ta có:
zz + αz − zα + β = 0
là phương
√ trình tổng quát của đường tròn có tâm với tọa vị −α và có bán kính
là r = αα − β
Đặc biệt α = 0 và r = 1 thì phương trình đường tròn có dạng zz = 1 và gọi là

đường tròn đơn vị.
Đường tròn tâm α (x0 , y0 ) và có bán kính r dạng phức sẽ tương ứng với phương
trình đường tròn trong mặt phẳng :
2

2

(x − x0 ) + (y − y0 ) = r2
b) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn.
Mệnh đề 2.8 Xét phương trình đường tròn tâm O (z0 )
(z − z0 ) (z − z0 ) = r2
và điểm M (z1 ) thuộc đường tròn. Khi đó phương trình tiếp tuyến của đường
tròn tại điểm M (z1 ) có dạng:
(z − z0 ) (z1 − z0 ) + (z1 − z0 ) (z − z0 ) = 2r2 (*).
Chứng minh
Giả sử (*) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm z1 .
Khi đó với điểm N (z) bất kì thuộc tiếp tuyến ta luôn có
−−→ −−→
−−→ −−→
M N ⊥OM ⇒ M N .OM = 0
⇔ (z − z1 ) (z1 − z0 ) + (z1 − z0 ) (z − z1 ) = 0
⇔ zz1 − zz0 − z1 z1 − z1 z0 + z1 z − z1 z1 − z0 z + z0 z1 = 0
⇔ (zz1 − zz0 − z0 z0 + z0 z1 ) + (z1 z − z0 z + z0 z0 − z0 z1 )
+2z1 z0 − 2z0 z0 + 2z0 z1 − 2z1 z1 = 0
⇔ (z − z0 ) (z1 − z0 ) + (z − z0 ) (z1 − z0 ) − 2 (z1 − z0 ) (z1 − z0 ) = 0
Mặt khác, do z1 thuộc đường tròn nên ta có: (z1 − z0 ) (z1 − z0 ) = r2 .
Vậy (z − z0 ) (z1 − z0 ) + (z1 − z0 ) (z − z0 ) = 2r2 .
9)Một số phép biến đổi trong trường số phức

a)Phép tịnh tiến

Mệnh đề 2.9 Cho số phức z0 , khi đó số phức z được xác định bởi công thức
−
z = z0 + u với u ∈ C là ảnh của z0 qua phép tịnh tiến theo →
a (u) trong mặt
−
→
phẳng phức. Ký hiệu: T a .
18


−
Chứng minh Giả sử →
a (u) , M (z0 )
−
Đặt z0 = x0 + iy0 , u = a + ib ∈ C khi đó →
a (a, b) , M (x0 , y0 ).
−
Ảnh M’ của M qua phép tịnh tiến theo vectơ →
a có tọa độ là:

 x=x +a
0
⇒ z = z0 + u
 y =y +b
0

−
Định lí 2.10 Phép tịnh tiến theo vectơ →
a (u) biến z1 , z2 thành z1 , z2 thì
z1 − z2 = z 1 − z 2

Chứng minh
Giả sử [M (z 1 ), N (z 2 ) là ảnh của M (z1 ), N (z2 ) qua phép tịnh tiến theo vectơ
→
−
a (u). Khi đó ta có

 z =z +u
1
1
⇒ z 1 − z 2 = (z1 + u) − (z2 + u) = z1 − z2
 z =z +u
2

2

Suy ra điều phải chứng minh.
→
Định lí 2.11 Phép tịnh tiến T−
a bảo tồn số đo của góc định hướng.

Chứng minh
Xét phép tịnh tiến
→
T−
a : M (z0 ) , A (z1 ) , B (z2 ) → M (z 0 ) , A (z 1 ) , B (z 2 )

z0 = x0 + iy0 , u = a + ib ∈ C
Ta đi chứng minh
−−−→ −−−→
−−→ −−→

M A, M B = M A , M B + 2kπ, k ∈ Z
Ta có:
−−−→ −−−→
−−→ −−→
z1 − z0
z − z0
= M A , M B + 2kπ, k ∈ Z
M A, M B = arg
= arg 1
z2 − z0
z2 − z0
Vì

z1 − z0
z − z0
= 1
z2 − z0
z2 − z0

Suy ra điều phải chứng minh.
b) Phép vị tự

19