chứng minh điểm cố định

CÂU 4d ĐỀ THI VÀO 10
Bài 1: Cho ba điểm A, C, B thẳng hành theo thứ tự đó. Vẽ tia Cx vuông góc với
CE CA

 3 . Đường tròn ngoại tiếp
CB CD
tam giác ADC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC tại H khác C. Chứng minh
rằng: Đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định khi C di chuyển trên đoạn thẳng
AB.

AB.Trên tia Cx lấy hai điểm D, E sao cho

Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: Đoạn AB
* Yếu tố không đổi:
+ Góc BEC = 300, Góc ADB = 600 do đó
sđ cung BC, cung CA không đổi
+ B, D, H thẳng hàng; E, H, A thẳng hàng
Dự đoán điểm cố định:
khi C trùng B thì (d) tạo với BA một góc
600 => điểm cố định thuộc tia By tạo với
tia BA một góc 600
khi C trùng A thì (d) tạo với AB một góc
300 => điểm cố định thuộc tia Az tạo với
tia AB một góc 300
By và Az cắt nhau tại M thì M là điểm cố
định? Nhận thấy M nhìn AB cố định dưới
900 => M thuộc đường tròn đường kính
AB.

m

b

a

C

D
h

E

Tìm hướng chứng minh:
M thuộc đường tròn đường kính AB cố định do đó cần chứng minh sđ cung AM
không đổi thật vậy:
sđ cung AM = 2sđGóc MCA=2sđGóc CHA =2sđGóc CDA = 1200
Lời giải:
CA
 3 => Góc D=600
CD
có Góc CHA = Góc CDA = 600
G/s đường tròn đường kính AB cắt CH tại M

Ta có tgD 

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


ta có Góc MHA= 600 => sđ cung MA không đổi
lại có đường tròn đường kính AB cố định vậy:

M cố định do đó CH luôn qua M cố định.
Bài 2: Cho đường tròn (O) và đường thẳng (d) nằm ngoài đường tròn. I là điểm di
động trên (d). Đường tròn đường kính OI cắt (O) tại M, N. Chứng minh đường tròn
đường kính OI luôn đi qua một điểm cố định khác O và đường thẳng MN luôn đi qua
một điểm cố định.
Hướng dẫn:
do tính chất đối xứng nên
cố định nằm trên trục đối
hay đường thẳng qua O và
góc với (d)

M
O

điểm
xứng
vuông

F
E

Giải:
N
d
Kẻ OH vuông góc với (d)
cắt
I
H
MN tại E.
ta có H cố định và H thuộc

đường
tròn đường kính OI vậy
đường
tròn đường kính OI luôn đi qua K cố định.
Xét tam giác OEF và tam giác OIH có góc O chung, góc OFE = góc OHI = 900
Nên tam giác OEF đồng dạng với tam giác OIH do đó: OF/ OE = OH/ OI => OE. OH
= OF. OI
Lại có góc IMO = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OI )
Xét tam giác vuông OMI có đường cao ứng với cạnh huyền MF nên:
OF. OI = OM2
OM 2
Do đó: OE 
= hằng số vây E cố định do đó MN đi qua E cố định.
OH

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. C là một điểm chuyển động trên
đường tròn và M là trung điểm của AC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M
vuông góc với BC luôn đi qua một điểm cố định.

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Giải:
Vẽ đường kính BD =>
D cố định.
Giả sử đường thẳng qua
M và vuông góc với
BC cắt AD tại I.
Dễ thấy góc BCD = 900
hay MI // CD.

Xét tam giác ACD có
MC = MA; MI // CD
=> I là trung điểm của
DA cố định hay đường
thẳng qua M vuông góc
với BC đi qua I cố
định.

C

d

M
O
I

B

A

Bài 4: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N thứ tự chuyển động trên hai tia BA, CA
sao cho BM= CN. Chứng minh rằng đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Hướng dẫn:

I
A

M
N

B

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

C


Khi M  B thì N  C khi đó đường trung trực của MN là trung trực của BC. Vậy
điểm cố định nằm trên đường trung trực của BC
Giải: Giả sử trung trực của BC cắt trung trực của MN tại I
Dễ thấy tam giác IMB = tam giác INC (c-c-c) vậy góc MBI = góc NCI
Xét tứ giác ABCI có góc MBI = góc NCI vậy tứ giác ABCI nội tiếp hay I thuộc
đường tròn Ngoại tiếp tam giác ABC cố định, mà Trung trực của BC cố định Vậy I
cố định hay trung trực của MN đi qua I cố định.
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và dây cung AB = R 3 . Điểm P khác A và B. Gọi (C;
R1) là đường tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại A.Gọi (D; R 2) là đường
tròn đi qua P tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại B. Các đường tròn (C; R 1) và (D; R2)
cắt nhau tại M khác P. Chứng minh rằng khi P di động trên AB thì đường thẳng PM
luôn đi qua một điểm cố định.
Tìm hiểu đề bài:
* Yếu tố cố định: (O; R), dây AB
* Yếu tố không đổi: DPCO là hình bình
hành. Sđ cung BP của (D), sđ cung AP của
(C), Góc BMA không đổi

O
M
B

C
D

P

A

Dự đoán
Khi P  A thì PM là tiếp tuyến của (O; R)
=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến của
(O; R) tại A
I
Khi P  B thì PM là tiếp tuyến của (O;
R)=> điểm cố định nằm trên tiếp tuyến
của (O; R) tại B
Do tính chất đối xứng của hình => Điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O và
vuông góc với AB
=> Điểm cố định nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
Lời giải:
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB cắt PM tại I .
vì AB = R 3 => sđ cung AB của (O) bằng 1200
tam giác BDP cân do đó góc OBA = góc DPB
tam giác OAB cân do đó góc OBA = góc OAB => góc BDP = góc BOA => sđcung
BP của (D) = sđ cung BA của (O) = 1200 .
tương tự sđ cung PA của (C) = 1200 .
1
sđ cung BP của (D) = 600

2
1
ta có góc AMP = sđ cung AP của (C) = 600
2
Vậy góc BMA = góc BMP + góc AMP = 1200 = góc BOA

ta có góc BMP =

xét tứ giác BMOA có góc BMA = góc BOA do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M
thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác BOA.
1
1
sđ cung IA = góc IMA = góc PMA =
sđ cung PA của (C) = 1200 .Vậy I
2
2
thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB và sđ cung IA = 120 0 => I cố định hay
MP đi qua I cố định.

Vậy

Bài 6: Cho đoạn AB cố định, M di động trên AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ hai hình vuông MADE và MBHG. Hai đường tròn ngoại tiếp hai hình vuông
cắt nhau tại N. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định khi M di
chuyển trên AB.
Hướng dẫn:
Tương tự bài 1
Giải:
Giả sử MN cắt đường tròn đường kính AB tại I
Ta có Góc ANM = Góc ADM = 450( góc nội

tiếp cùng chắn cung AM của đường tròn ngoại
tiếp hình vuông AMDE)
Ta có Góc BNM = Góc BGM = 450( góc nội tiếp
cùng chắn cung BM của đường tròn ngoại tiếp
hình vuông MBGH)
=> gócANB = Góc ANM + Góc BNM = 900 =>
N thuộc đường tròn đường đường kính AB vậy
sđ cung AI = 2sđGóc ANI
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

G

H

N
E

A

D

B

M

I


=2sđGóc ANM = 900
Vậy I thuộc đường tròn đường kính AB và số đo cung AI bằng 90 0=> I cố định hay

MN đi qua I cố định.
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Vẽ đường thẳng (d) quay quanh O cắt AD,
BC thứ tự tại E, F. Từ E, F lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BD, CA chúng
cắt nhau tại I. Qua I vẽ đường thẳng (m) vuông góc với EF. Chứng minh rằng (m)
luôn đi qua một điểm cố định khi (d) quay quanh O.
Hướng dẫn:
Khi E  A thì HI qua A và vuông
với AC
khi E  D thì HI qua B và vuông
với BD.
do tính chất đối xứng của hình
nên điểm cố định nằm trên
đường trung trức của AB
dự đoán: điểm cố định K nằm
đường tròn đường kính AB

góc
góc

C

D
vẽ

F
H
O

E

trên

A
B
I
Giải:
Dễ thấy I thuộc AB
Có góc IHE + góc IAE = 1800
nên
tứ giác IHEA nội tiếp
k
0
=> góc IHA = góc IEA = 45
Có góc IHF + góc IBF = 1800
nên
tứ giác IHFB nọi tiếp
=> góc BHI = góc BFI = 450
Vẽ đường tròn đường kính AB.
Ta có
góc BHA = góc IHA + góc BHI = 900 nên H thuộc đường tròn đường kính AB.
Giả sử HI cắt đường tròn đường kính AB tại K ta có:
Sđ cung KA = 2 sđ góc KHA = 2 sđ góc IHA = 900
Do K thuộc đường tròn đường kính AB và sđ cung KH = 90 0 nên K cố định hay HI đi
qua K cố định.
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Trên Ox, Oy thứ tự có hai điểm A, B chuyển động sao
cho OA+ OB = a ( a là độ dài cho trước). Gọi G là trọng tâm tam giác OAB và (d) là
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


đường thẳng qua G vuông góc với AB. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố

định.
Gợi ý:
Khi B  D thì (d) là đường thẳng vuông góc
với OD và O cách (d) một khoảng

1
a
3

1
khi OB = OA = a thì (d) là phân giác của
2
góc xOy.
do tính chất đối xứng dự đoán điểm cố định
thuộc tia phân giác của góc xOy

Giải:
Trên Ox, Oy thứ tự lấy 2 điểm C, D sao cho
OC = OD = a.
Phân giác của góc xOy cắt CD tại N, cắt (d)
tại I
rễ thấy tam giác NAO = tam giác NBD do đó
NF vuông góc với AB
Xét tam giác ONF có GI // NF
=>

C

n
A

I
f
G
O

D
B

OG OI 2
2
1


 OI  ON  a = hằng số
OF ON 3
3
3

Vậy I cố định hay (d) đi qua điểm cố định I.
Bài 9: Cho góc vuông xOy. Trên Ox lấy điểm A cố định. Trên Oy lấy điểm B di
động. Đường tròn nội tiếp tam giác ABO tiếp xúc với AB, OB thứ tự tại M, N.
Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
gợi ý:
Tam giác BNM cân do đó khi B  O thì góc B  900 nên góc MNB  450 do đó
điểm cố định nằm trên phân giác của góc xOy
khi B  vô cùng xa thì bán kính của (I) 
song với Ox và cách Ox một khoảng

1
OA

2

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

1
OA khi đó MN là đường thẳng song
2


Giải:
Giả sử tia phân giác Om của
góc xOy cắt MN tại F.
ta có tam giác BMN cân do đó:
1
ONM  90  B
2
1
lại có AIO  90  B
2
Vậy: ONM = AIO
Dễ thấy tam giác AIO và tam
giác FNO đồng dạng
Vậy:

x

m

A

M
F
I

y
O

N

B

OF ON
1
OA
= hằng số

 cosION 
 OF 
OA OI
2
2

Vậy F cố định hay MN đi qua F cố định.
Bài 10: Cho đoạn thẳng AB và một điểm M bất kì trên đoạn thẳng ấy. Từ M vẽ tia
Mx vuông góc với AB. Trên Mx lấy hai điểm C; D sao cho MC= MA; MD = MB.
Đường tròn tâm O[1] qua 3 điểm A, M, C và đường tròn tâm O[2] qua 3 điểm B, M,
D cắt nhau tại điểm thứ hai N. Chuứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một
điểm cố định khi M đi chuyển trên AB.
(Tương tự bài 6)
Bài 11: Cho ba điểm A, B, C thẳng hành theo thứ tự đó vẽ đường tròn (O) thay đổi đi

qua A và B. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB vẽ đường kính PQ cắt AB tại
D.Tia CP cắt đường tròn tại điểm thứ hai I.
Chứng minh rằng khi đường tròn (O) thay đổi thì QI luôn đi qua một điểm cố định

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


p

Giải:
Giả sử QI cắt AB tại H
ta có tam giác CIH và
tam giác CDP đồng dạng
do đó:

i

CI CD


CH CP
d

a

CI.CP  CH.CD
lại có CI.CP  CB.CA
Vậy CH.CD = CB.CA

h

b

c

q

CB.CA
=> CH 
= hằng
CD
số => H cố định hay
đường thẳngQI luôn đi qua H cố định.

Bài 12: Cho đường tròn (O; R) có dây cung CD. Trên tia đối của tia DC lấy M bất kì.
Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB với (O; R) Chứng minh rằng khi M thay đổi thì
AB luôn đi qua một điểm cố định.

B

o
i
h
c

D
a

k

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

m


Gợi ý: khi M  vô cùng xa thì AB trở thành đường kính vậy điểm cố định nằm trên
đường thẳng qua O và vuông góc với CD.
Giải: Kẻ đường thẳng qua O và vuông góc với CD cắt đường thẳng AB tại K. ta có:
OH.OK = OI.OM = OB2 = hằng số mà OH không đổi do đó OK không đổi hay AB đi
qua K cố định.
Bài 13: Cho đường tròn tâm O và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn,
từ M kẻ MH vuông góc với AB (H thuộcAB), gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông
góc của H trên MA, MB. Chứng minh rằng đường thẳng qua M và vuông góc với EF
luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn.
Giải:

m

F
d
E
o
A

B

h

I

Giả sử đường thẳng qua M và vuong góc với EF cắt đường tròn O tại I.
Ta có: Tứ giác MEHF nội tiếp do đó góc AMH = góc EMH = góc EFH
lại có góc EFH = góc IMB (cạnh tương ứng vuông góc)
ta có

1
sđ cung IB = sđ góc IMB
2

1
sđ cung MB = sđ góc MAB
2

lại có góc IMB + góc MAB = góc AMH + góc MAH = 900 do đó sđ cung IM = 1800
hay MI là đường kính của đường tròn (O) vậy MI đi qua điểm cố định O
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Bài 14: Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên
cung lớn BC của đường tròn (O), ( A khác B và C). Tia phân giác của góc ACB cắt
đường tròn (O) tại điểm D khác C, lấy I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Chứng
minh rằng đường thẳng AI luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:

D

A
o
i

B

C

G

giả sử AI cắt đường tròn (O) tại G
vì góc ACD = góc BCD => cung AD = cung DB => AD = DB. mà DB = DI nên DA
= DI => Tam giác DAI cân do đó góc DAI = góc DIA lại có: góc DAI =

1
sđ cung
2

1
(sđ cung AD + sđ cung CG)
2
Vậy sđ cung DG = sđ cung AD + sđ cung CG
hay sđ cung DB + sđ cung BG = sđ cung AD + sđ cung CG mà sđ cung DB = sđ cung
AD vậy sđ cung BG = sđ cung CG hay G là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của
đường tròn (O). Vậy AI đi qua điểm chính giữa của cung BC cố định.

DG góc DIA =

Bài 15: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. I bất
kì trên đoạn CD. trên AD, AC lấy hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN.
Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua 1 điểm cố định khác
A.

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

b

n
C

i

d

m

a

Giải:
Tam giác AMN vuông tại A => IA là trung tuyến ứng với cạnh huyền => IA = IM =
IN. lại có IA = IB nên tứ giác AMBN nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác
AMN đi qua B cố định.

Bài 16: Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C theo thứ tự đó. Một đường tròn (O) thay đổi
nhưng luôn đi qua B và C. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN đến đường tròn (O).
Đường thẳng MN cắt hai đoạn AO, AC lần lượt tại H và K. Chứng minh đường tròn
ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố định.

n
giải:

o

h
k

C

I

B

A

m
Qua O Kẻ đường thẳng
vuông góc với BC tại I ta có I là trung điểm của BC nên I cố định.
lại có tứ giác OHKI nội tiếp ( góc OHK = góc OIK = 900) => góc IOH = góc HKA
hay tam giác AOI đồng dạng với tam giác AKH =>
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

AK AO

 AK.AI  AO.AH
AH AI


có tam giác ONA vuông, đường cao NH => AO.AH  AN 2
ta có AN 2  AB.AC
AB.AC
= hằng số => K cố định.
AI
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK đi qua hai điểm cố định I, K.

vậy: AK.AI  AB.AC  AK 

Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm D tuỳ ý trên BC. Vẽ đường tròn (O 1) qua D tiếp
xúc với AB tại B và đường tròn (O2) qua D tiếp xúc với AC tại C, hai đường tròn
(O1) và (O2) cát nhau tại E khác D. Chứng minh khi D di động trên BC thì đường
thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Giải:

A

F

C

B
D
o2
o1
E

Giả sử DE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại F.
ta có: góc BED = góc ABC ( góc nội tiếp và góc tạo bới tia tiếp tuyến và dây cung
cùng chắn cung BD của (O1))
Tương tự góc CED = góc ACB.
mà gócABC + gócACB + góc BAC =1800
nên gócBEC + góc BAC = 1800
do đó tứ giác ABEC nội tiếp hay E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

Vậy sđ cung BF = 2 sđ góc BEF = 2sđ gócBED =2sđ góc ABC = hsố. mà đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC cố định nên F cố định hay đường thẳng DE đi qua F cố
định.
Bài 18: Cho đường tròn (O; R) cố định và đường thẳng (d) cắt (O; R) tại hai điểm cố
định A, B, Một điểm M đi động trên (d) và ở phía ngoài đoạn AB. Qua M vẽ hai tiếp
tuyến MN, MP với đường tròn (O; R) ( N, P là hai tiếp điểm). Chứng minh rằng
đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định.

giải:

p
o

d

B
A

k

m
n

Dễ thấy tứ giác MNOP nội tiếp.
Kẻ OK vuông góc với AB ( K thuộc AB) => K cố định và tứ giác MPOK nội tiếp hay
5 điểm MNKOP cùng thuộc một đường tròn.
Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua 2 điểm cố định O, K.
Bài 19: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên nửa
đường tròn.Vẽ một đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính

AB tại D. Chứng minh rằng đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố định khi C di
chuyển trên nửa đường tròn.

Gợi ý:

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


C
I

A

O
D

B

K

do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên đường thẳng qua O
và vuông góc với AB. Kẻ đường thẳng qua O và vuông góc với AB cắt CD tại K. Ta
phải chứng minh K cố định bằng cách chỉ ra K thuộc một đường cố định.
Giải:
ta có ID song song với OK nên Tam giác ICD và Tam giác OCK đồng dạng do đó:
IC OC
mà IC = ID nên OC = OK hay K thuộc đường tròn

ID OK

(O) Vậy CD đi qua K cố định.

Bài 20: Cho đường tròn (O) và một điểm A  O nằm trong đường tròn. Một đường
thẳng thay đổi qua A cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam
giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


O

A

N

M

D

Hướng dẫn: Do tính chất đối xứng nên điểm cố định nằm trên đường thẳng OA. G/s
đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cắt đường thẳng OA tại D ta phải chứng minh
D cố định bằng cách chỉ ra OD không đổi.
Giải:
Dễ thấy tam giác OMA đồng dạng với tam giác ODM do đó
OD 

OM OD

OA OM

=>

OM 2 R 2
= hsố. Vậy D cố định hay đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN

OA
OA

luôn đi qua D cố định.
Bài 21: Cho tam giác nhọn ABC. Điểm D di động trên cạnh BC. Gọi (E), (F) lần lượt
là hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD, ACD. Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố định khác A.
Gợi ý:
A

F
E
I

B

D

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

C


Khi D  B thì F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Khi D  C thì E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF có hai vị trí đi qua I.
Dự đoán điểm cố định là I. Ta phải chứng minh I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam
giác AEF hay tứ giác AEIF ngoại tiếp.
Lời giải sơ lược:
Góc ACD = Góc AFE =
Góc AIE = Góc ACB =

1
Góc AFD ( góc ở tâm và góc nội tiếp của (F))
2
1
Góc AIB( góc ở tâm và góc nội tiếp của (I))
2

Vậy Góc AIE = Góc AFE nên tứ giác AFIE nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp
tam giác AEF đi qua I cố định.
Bài 22: Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường
tròn (B, C là tiếp điểm). M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M  B, M  C). Gọi D, E,
F tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC; H là
giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của MC và EF.
1) Chứng minh:
a) MECF là tứ giác nội tiếp.
b) MF vuông góc với HK.
2) Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.
HD:
1) MFC = MEC = 90o
2) Góc HCK + HDK = HCK + CAB + CBA = 180o => CKI = CBD ( = EAC) => HK
//AB
3)tam giác MEF đồng dạng MFD nên MD.ME=MF2 ≤ MI2, với I là trung điểm BC.

=> (MD.ME)max = MI2, khi I trùng với F. Khi đó MBC cân nên M là điểm
chính giữa cung BC.
Bài 23: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi trên cạnh
BC( M khắc B ) và N là điểm trên CD ( N khác C ) sao cho góc MAN=45. Đường
chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P và Q.
a) Chứng minh rằng ABMQ là tứ giác nội tiếp.
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


b) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh rằng AH vuông góc với MN.
c) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn nhất.
HD

A

B
P
M
H

Q

D

I

N

C

1) QAM = QBM = 45o;
2)Các tứ giác ABMQ và ADNP nội tiếp => AQM =
APN = 90o.
3)M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) nên 2
TH
TH 1.M không trùng với C.
Gọi I là giao điểm của AH và MN=> S =

1
AI .MN .
2

MAI  MAB  AI  AB  a, IM  BM
Tương tự NAI  NAD  IN  DN . Từ đó
1
1
AI .MN  a.MN
2
2
MN  MC  NC  a  BM  a  DN  2a  ( IM  IN )

S=

Vậy MN  2a  MN hay
1
1
MN  a  S  a.MN  a 2 .
2
2
TH 2. M trùng với C, khi đó N trùng với D và AMN  ACD nên S =

1
1
AD.DC  a 2
2
2
Vậy  AMN có diện tích lớn nhất  M  C và N  D .

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Bài 24: Cho đường tròn (O ; R) và dây AC cố định không đi qua tâm. B là một điểm
bất kì trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Kẻ đường kính BB’. Gọi
H là trực tâm của tam giác ABC.
1) Chứng minh AH // B’C.
2) Chứng minh rằng HB’ đi qua trung điểm của AC.
3) Khi điểm B chạy trên đường tròn (O ; R) (B không trùng với A và C). Chứng minh
rằng điểm H luôn nằm trên một cung tròn cố định.
Giải
1) AH //B/C vì cùng vuông góc với BC.
2) AHCB/ là hình bình hành.
3) Gọi E, F là chân các đường cao hạ từ A và C.
Tứ giác HEBF nội tiếp => AHC = EHF = 180o –ABC = không đổi.
Bài 25: Cho đường tròn (O), dây AB không đi qua tâm. Trên cung nhỏ Ab lấy điểm
M (M không trùng với A, B). Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H. Kẻ MK vuông
góc với AN (KAN).
1. Chứng minh: Bốn điểm A, M, H, K thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh: MN là tia phân giác của góc BMK.
3. Khi M di chuyển trên cung nhỏ AB. Gọi E là giao điểm của HK và BN. Xác
định vị trí của điểm M để (MK.AN + ME.NB) có giá trị lớn nhất.
1. Tứ giác AHMK nội tiếp vì góc AKM=AHM=90

2. Góc KMN=NMB ( = góc HAN)
3. AMBN nội tiếp => góc KAM=MBN suy ra góc MBN=KHM=EHN
=> MHEB nội tiếp => góc MNE=HBN =>HBN đồng dạng EMN (g-g) =>ME.BN
= HB. MN (1)
Ta có AHN đồng dạng MKN => MK.AN = AH.MN (2)
(1) và (2) => MK.AN + ME.BN = MN.AH + MN.HB = MN(HB+AH) = MN.AB.
=> MK.AN + ME.BN lớn nhất khi MN lớn nhất => MN là đường kính của đường
tròn tâm O.=> M là điểm chính giữa cung AB.
Bài 26: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai
điểm C, D (C thuộc cung AD) sao cho CD = R. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với
CD cắt AB ở M. Tiếp tuyến của (O;R) tại A và B cắt CD lần lợt tại E và F, AC cắt
BD ở K.
a.
Chứng minh rằng tứ giác AECM nội tiếp và tam giác EMF là tam giác vuông.
b.
Xác định tâm và bán kính đường trón ngoại tiếp tam giác KCD.
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Tìm vị trí của dây CD sao cho diện tích tam giác KAB lớn nhất.

c.

Giải:
b. gúc AKB=60; nờn gúc AIB=120 (Góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)
 Tứ giác OCID nội tiếp  gúc OCI=ODI=90  ID = OD.tan300 = R 3
3
c. tam giỏc KCD đồng dạng tam giỏc KBA
2

S KCD  CD  1

   S KBA  4S KCD
S KBA  AB  4
 S KBA lớn nhất  S KCD lớn nhất  KH lớn nhất  H là điểm chính giữa cung
lớn CD của đường tròn ngoại tiếp tam giác KCD   KCD cân   KBA cân

 CD//AB

Bài 27: Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cố định không giao
nhau. Từ điểm M thuộc d, kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O; R) (A, B là
các tiếp điểm).
1. Gọi I là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn. Chứng minh I là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
2. Cho biết MA = R 3 , tính diện tích hình phẳng bị giới hạn bởi hai tiếp tuyến MA,
MB và cung nhỏ AB của đường tròn (O; R).
3. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên d thì đường thẳng AB luôn đi qua một điểm
cố định.
HD:
b) SAOBM =

3 R2

2

R

A
O
B 3

S
Q

3 3 2
R
3
c) Kẻ OH vuông d, gọi giao điểm của AB và OH là N, giao điểm của AB và OM là
P. Tứ giác HMPN nội tiếp nên ON.OH = OP.OM = R2
Do đó N là điểm cố định mà AB luôn đi qua.

S=

Bài 28:
Cho đường tròn ( O) và điểm A nằm bên ngoài (O). Kẻ hai tiếp tuyến
AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai
điểm B và C ( AB < AC, d không đi qua tâm O).
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.
Chúng minh AN2 = AB.AC. Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB = 4 cm, AN =
6 cm.
3)
Gọi I là trung điểm BC. Đường thẳng NI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai T.
Chứng minh: MT // AC.
4)
Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Chứng minh K
thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đầu bài.
1)

2)

HD:
4) MN cắt OA tại E. MN vuông OA suy ra EM vuông OA.
OI.OK = OE.OA ( =OB2 = R2) suy ra tam giác OEK đồng dạng OIA nên góc
OEK=OIA=90 suy ra EK vuông OA nên EM trùng EK suy ra K thuộc MN
Bài 29:
Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn
(O; R) thay đổi đi qua B và C sao cho O không thuộc BC. Từ điểm A vẽ hai tiếp
tuyến AM và AN với đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của
MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN.
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh OI.OH = R2.
3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định.
H

M
C
I

E
B

O

A

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn
N

Hướng dẫn câu IVc :
+ AMB ∽ ACM (g-g) 
+ AME ∽ AIM (g-g) 

AM AB

 AM2  AB.AC
AC AM

AM AE

 AM2  AI.AE
AI AM

 AB.AC = AI.AE (*). Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định

nên từ (*) suy ra E cố định.. Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm E cố định
Bài 30: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lần lượt
lấy các điểm M và N sao cho góc MBN= 450, BM và BN cắt AC theo thứ tự tại E và
F.
a) Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp.
b) Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN. Tính
độ dài đoạn BI theo a.
c) Tìm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất.
HD

c) Tìm vị trí của M và N để diện tích tam giác MDN
lớn nhất
Do MBG  MBN (theo chứng minh ở phần b)

=> MG = MN
Do đó MD + DN + MN = MD + DN + MG
= MD + DN + (GA + AM)
= MD + DN + CN + AM (vì GA = CN)
= (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (không đổi)
Áp dụng định lý Pi-ta-go cho MDN (vuông tại D), ta có MN2 = DN2 + DM2
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


Mặt khác dễ dàng chứng minh được: DN2 + DM2 

( DM  DN )2
(vì tương đương với
2

(DM – DN)2  0 luôn đúng).
Suy ra MN 

( DM  DN )2 DM  DN

2
2

=> 2a = MD + DN + MN  MD  DN 

MD  DN
2 1

 MD  DN 
2

2

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2 1
2 1
( MD  DN ) 
 2 MD.DN  (2  2). MD.DN
2
2

2a=MD+DN+ MN 
2

 2a 
2 2
=> DM .DN  
  2( 2  1) .a
 2 2 
1
2

=> SMDN  DM .DN  ( 2  1)2 .a 2 ,
 DM  DN

DM  DN
dấu “=” xảy ra <=>  MN 
 DM  DN  2  2 a .
2

 DM  DN  MN  2a





Vậy để diện tích tam giác MDN lớn nhất thì M, N lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho





DM  DN  2  2 a .

Bài 31:Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R).
(B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M.
Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D
thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.
a) Chứng minh rằng góc MBC=ABC. Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.
c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt
(O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.
d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.
HD
c) Ta có góc PTQ=900 do POIQ là
đường kính.
Và 2 tam giác đồng dạng FIQ và FTM
có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và

A

E

P

O
I
Q
F

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn

B

C
T

D


FI
FT

FQ FM

(vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ)
Nên góc FIQ=FTM mà FIQ=OIM=90 (I
nhìn OM dưới góc 900)
Nên P, T, M thẳng hàng vì góc PTM
=180.
d) Ta có BC không đổi. Vậy diện tích S IBC lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I

đến BC lớn nhất. Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC
của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì ABC vuông tại B. Vậy diện tích
tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).
Bài 32: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB
tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt
CD tại F. Chứng minh:
a) BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) AE.AF = AC2.
c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn
thuộc một đường thẳng cố định.
HD
c) Theo câu b) ta có góc ACF=AEC, suy ra AC là tiếp
tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1).
Mặt khác góc ACB=90 (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn), suy ra AC  CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa
đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố
định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB
cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.

C

E

F
A

I

O

B

D

Bài 33: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với
đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI  AB,
MK  AC (I  AB,K  AC)
a) Chứng minh: AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Vẽ MP  BC (P  BC). Chứng minh: góc MPK=MBC.
Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn


c) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị
lớn nhất.
HD
Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội
tiếp.
Suy ra: góc MIP = MBP (4). Từ (3) và (4) suy ra góc
MPK=MIP.
Tương tự ta chứng minh được MKP=MPI.
Suy ra: MPK ~ ∆MIP 
2

MP MI

MK MP

A

K

I

B

M
H

C

P
O

3

 MI.MK = MP  MI.MK.MP = MP .

Do đó MI.MK.MP lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất
(4)
- Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng
số (do BC cố định).
Lại có: MP + OH  OM = R  MP  R – OH. Do đó MP lớn nhất bằng R – OH khi
và chỉ khi O, H, M thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC (5). Từ (4) và (5)
suy ra max (MI.MK.MP) = ( R – OH )3  M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Bài 34: Cho hai đường tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD thứ tự là
đường kính của hai đường tròn (O) và (O) .
a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn
(O) tại F (E, F khác A). Chứng minh 4 điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường
tròn.
c) Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua A cắt (O) và (O) thứ tự tại M và N.

Xác định vị trí của d để CM + DN đạt giá trị lớn nhất.
HD

Nguyễn Chí Thành sưu tầm và biên soạn