VẬN DỤNG CAO KHỐI đa DIỆN

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh

KĨ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN
LIÊN HỆ CÁC HÀM MŨ -LOGARIT
Sưu tầm : Trần Hoài Thanh –THPT Khúc Thừa Dụ, Ninh Giang, Hải Dương.
FB:

/>CASIO TRẮC NGHIỆM

/>
HỌC CASIO FREE TẠI:

/>
Group: THỦ THUẬT CASIO THPT

/>
PHẦN CUỐI: BÀI TOÁN VẬN DỤNG (8.9.10)
Chủ đề 5. KHỐI ĐA DIỆN
Câu 1:

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có AB  a, AD  a 3. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng BB và AC.
a 3
a 3
a 2
.
B. a 3 .
C.
.
D.
.

A.
4
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: AC  
BH 

 AB    BC  
2

2

 2a. Kẻ BH  AC.

AB.BC  a.a 3 a 3


.
BC 
2a
2

D

A

B

Vì BB//  ACC A  nên d  BB, AC    d  BB,  ACC A  
d  BB,  ACC A    BH 

Nên d  BB, AC   
Câu 2:

a 3
.
2

C

D'

C'

H
A'

B'

a 3
.
2

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình chóp S. ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông cân
tại B , AC  2a và SA  a. Gọi M là trung điểm cạnh SB . Tính thể tích khối chóp
S.AMC.

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
a3
A.
.
6

a3
B.
.
3

a3
.
C.
9

a3
D.
.
12

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Xét tam giác vuông cân ABC có: AB  BC 
S ABC 

AC
a 2
2

1
AB.BC  a 2
2

S

a
M
3

1
1
a
VS . ABC  SA.S ABC  .a.a 2 
3
3
3

A

C

2a

Áp dụng định lí Sim-Son ta có:
B

VSAMC SA SM SC 1

.

.

VS . ABC SA SB SC 2
1
a3
 VS . AMC  VS . ABC 
2
6

Câu 3:

(SGD VĨNH PHÚC) Cho hình lăng trụ đứng ABC. A1B1C1 có AB  a , AC  2a ,

AA1  2a 5 và BAC  120. Gọi K , I lần lượt là trung điểm của các cạnh CC1 , BB1 .

Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng  A1 BK  .
A.

a 5
.
3

B. a 15 .

C.

a 5
.
6

D.

a 15
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn C.

C1

A1

Ta có IK  B1C1  BC  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cos1200  a 7
Kẻ AH  B1C1 khi đó AH là đường cao của tứ diện A1 BIK
Vì A1 H .B1C1  A1B1. A1C1.sin1200  A1H 

a 21
7

IKB



K

I

A

S

H

B1

1
1
1
IK .KB  a 2 35  VA1 .IBK  a 3 15(dvtt )
2
2
6
B

Mặt khác áp dụng định lý Pitago và công thức Hê-rông ta tính đc SA1BK  3a 3  dvdt 

C


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Do đó d  I ,  A1BK   
Câu 4:

3VA1IBK



SA1BK

a 5
.
6

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật. Tam giác
SAB vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SB  4 2 . Gọi
M là trung điểm của cạnh SD . Tính khoảng cách l từ điểm M đến mặt phẳng  SBC 
.
B. l  2 2

A. l  2

C. l  2

D. l 

2
2

Hướng dẫn giải

S

K
H

M
N

4 2

D

A
B

C


 SAB    ABCD  ,  SAB    ABCD   AB
 SA   ABCD  .
Theo giả thiết, ta có 

 SA  AB

Gọi N , H , K lần lượt là trung điểm các cạnh SA, SB và đoạn SH .

 BC  SA
 BC   SAB   BC  AH .
Ta có 
 BC  AB
Mà AH  SB ( ABC cân tại A có AH là trung tuyến).
Suy ra AH   SBC  , do đó KN   SBC  (vì KN || AH , đường trung bình).
Mặt khác MN || BC  MN ||  SBC  .
Nên d  M ,  SBC    d  N ,  SBC    NK 
Đáp án: B.

1
AH  2 2 .
2

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Câu 5:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 3. Gọi M , N lần lượt
là trung điểm các cạnh AD, BD. Lấy điểm không đổi P trên cạnh AB (khác A, B ). Thể
tích khối chóp PMNC bằng
A.

9 2
16

B.

8 3
3

C. 3 3

D.

27 2
12

Hướng dẫn giải
A

Chọn A
Do AB

 CMN  nên d  P,  CMN    d  A,  CMN    d  D,  CMN  

1
Vậy VPCMN  VDPMN  VMCND  VABCD
4

M

P

N

B

(Do diện tích đáy và chiều cao đều bằng một nửa).

D

2

Mặt khác VABCD

1 a2 3
a 3 2 27 2
 a 

. a2  



nên

3 4
12
12
 3

C

1 27 2 9 2
VMCND  .

4 12
16

Câu 6:

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho tứ diện ABCD có AD  14, BC  6 . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các cạnh AC, BD và MN  8 . Gọi  là góc giữa hai đường thẳng
BC và MN . Tính sin  .
1
2 2
3
2
A.
B.
C.
D.
2
3

2
4
Hướng dẫn giải

A

Gọi P là trung điểm của cạnh CD , ta có

   MN , BC    MN , NP  .
14

Trong tam giác MNP , ta có
MN 2  PN 2  MP 2 1
cos MNP 
 . Suy ra MNP  60 .
2 MN .NP
2
3
Suy ra sin  
.
2

Câu 7:

M
8

7

D

N
B

6

3

C

(NGUYỄN KHUYẾN TPHCM) Cho lăng trụ tam giác
ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là đều cạnh AB  2a 2 . Biết AC '  8a và tạo với mặt đáy một
góc 450 . Thể tích khối đa diện ABCC ' B ' bằng

P


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A.

8a3 3
.
3

B.

8a3 6
.
3

C.

16a 3 3
.
3

D.

16a 3 6
.
3

Hướng dẫn giải
Gọi H là hình chiếu của A lên mp  A ' B ' C '

B

2a 2
A

 HC ' A  450

 AHC ' vuông cân tại H.

C
8a

AC ' 8a
 AH 

 4a 2.

2
2

B'
A'

H

NX:
C'

 2a 2  .
2.
2

2
2
2
VA.BCC ' B '  VABC . A ' B 'C '  AH .S ABC  .4a
3
3
3

3

4



16a3 6

.
3

Chọn D.
Gọi H là hình chiếu của A lên mp  A ' B ' C '
 HC ' A  450

 AHC ' vuông cân tại H.
 AH 

AC ' 8a

 4a 2.
2
2

 2a 2  .
2.
2

2
2
2
NX: VA.BCC ' B '  VABC . A ' B 'C '  AH .S ABC  .4a
3
3
3

Câu 8:

4

3

16a3 6

.
3

(T.T DIỆU HIỀN) Cho hình lập phương ABCD.A ' B ' C ' D ' cạnh a . Tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng BC ' và CD ' .
a 3
a 2
A. a 2 .
B.
.
C. 2a .
D.
.
3
3
Hướng dẫn giải
Chọn B


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A'

D'
O

B'

C'
H
A

D

C

B

Gọi O  A ' C ' B ' D ' và từ B ' kẽ B ' H  BO
Ta có CD ' // ( BA ' C ') nên
d ( BC '; CD ')  d ( D ';( BA ' C '))  d ( B ';( BA ' C '))  B ' H 

Câu 9:

BB '.B ' O a 3

BO
3

(T.T DIỆU HIỀN) Một hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có ba kích thước là 2cm ,
3cm và 6cm . Thể tích của khối tứ diện ACB
. D bằng
3
3
A. 8 cm .

B. 12 cm .
C. 6 cm3 .
D. 4 cm3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.

Ta có :

VABCD. ABC D  VB. ABC  VD. ACD  VA.BAD  VC .BC D  VA.CBD
 VABCD. ABC D  4VB. ABC  VA.CBD

A'

B'

C'

6 cm

 VA.CBD  VABCD. ABC D  4VB. ABC
1
 VA.CBD  VABCD. ABC D  4. VABCD. ABC D
6
1
1
 VA.CBD  VABCD. ABC D  .2.3.6  12 cm3
3
3

D'

A

D

3 cm
B

2 cm

C

Câu 10: (LẠNG GIANG SỐ 1) Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2cm. Gọi M , N , P lần
lượt là trọng tâm của ba tam giác ABC, ABD, ACD. Tính thể tích V của khối chóp
AMNP.
2 3
2 2 3
4 2 3
2 3
A. V 
B. V 
C. V 
D. V 
cm .
cm .
cm .
cm .
162
81
81

144


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Hướng dẫn giải
Chọn C.

A

2 3
3

Tam giác BCD đều  DE  3  DH 
AH  AD 2  DH 2 

2 6
3

N
M

1
1 1
1
3
SEFK  .d E , FK  .FK  . d D,BC . BC 
2
2 2
2
4

B

K

P
D

 VSKFE

Mà

H

E

F

AM AN AP 2



AE AK AF 3

Lại có:
Câu 11: (LÝ

1
1 2 6 3
2

.
 AH .SEFK  .
.

3
3 3
4
6

C

VAMNP AM AN AP 8
8
4 2
.

.
.

 VAMNP  VAEKF 
VAEKF
AE AK AF 27
27
81
TỰ

TRỌNG

–

TPHCM)

Cho

hình

hộp

ABCD. ABCD

có

BCD  60, AC  a 7, BD  a 3, AB  AD ,đường chéo BD hợp với mặt phẳng
 ADDA góc 30 . Tính thể tích V của khối hộp ABCD. ABCD .
A.

39a 3 .

B.

39 3
a.
3

C. 2 3a3 .

D. 3 3a3 .

Hướng dẫn giải
Chọn D.

D'

C'
30°

A'

B'

x

D

y

O
A



Đặt x  CD; y  BC

B

 x  y

C

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh


Áp dụng định lý hàm cos và phân giác trong tam giác BCD
3a 2  x 2  y 2  xy và x 2  y 2  5a 2

 x  2a;

ya



Với x  2 y  2a và C  60  BD  AD  BD ';(ADD'A')  30  DD '  3a



S ABCD  xy.sin 60  a 2 3



Vậy V hình hộp = a3 3 3

2
Câu 12: (NGÔ GIA TỰ - VP) Cho hình chó p tứ giá c đề u S. ABCD có thể tích V 
. Gọ i M là
6
trung điể m củ a cạ nh SD . Nế u SB  SD thì khoả ng cá ch từ B đế n mặt phẳng  MAC 
bà ng:
1
3

1
2
A. .
B.
.
C.
.
D. .
2
4
2
3

Hướng dẫn giải
Chọn A
S

M

D

A
O

B

C

Giả sử hình chóp có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Khi đó, BD  a 2 .
Tam giác SBD vuông cân tại S nên SD  SB  a và SO 

BD a 2
.

2
2

Suy ra các tam giác SCD, SAD là các tam giác đều cạnh a và SD   MAC  tại M .
1
a3 2
Thể tích khối chóp là V  .SO.S ABCD 
3
6


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Mà

a3 2
2

 a 1
6
6

Vì O là trung điểm BD nên d  B,  MAC    d  D,  MAC    DM 

1
.
2

Câu 13: (THTT – 477) Một hình lăng trụ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a , cạnh bên bằng
b và tạo với mặt phẳng đáy một góc  . Thể tích của khối chóp có đáy là đáy của lăng
trụ và đỉnh là một điểm bất kì trên đáy còn lại là
3 2
3 2
3 2
3 2
A.
B.
C.
D.
a b sin  .
a b sin  .
a b cos  .
a b cos  .
12
4
12
4
Hướng dẫn giải
Chọn A.
A'

C'
S

B'

A

C
H'

H

B

Gọi H là hình chiếu của A trên  ABC  . Khi đó   AAH .
Ta có AH  AA.sin   b sin  nên thể tích khối lăng trụ là
a 2b 3 sin 
.
4
Lại có chiều cao của chóp theo yêu cầu đề bài chính là chiều cao của lăng trụ và bằng
VABC . ABC  AH .SABC 

1
a 2b 3 sin 
AH nên thể tích khối chóp là VS . ABC  VABC . ABC  
.
3
12

Câu 14: (THTT – 477) Các đường chéo của các mặt của một hình hộp chữ nhật bằng a, b, c .
Thể tích của khối hộp đó là
A. V 

b

b

B. V 

2

 c 2  a 2  c 2  a 2  b 2  a 2  b 2  c 2 
8

2

 c 2  a 2  c 2  a 2  b 2  a 2  b 2  c 2 

C. V  abc.

8

.

.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
D. V  a  b  c.
Hướng dẫn giải
B

C

x

a

A

D

y

b

c

z
B'

C'

A'

D'

Chọn A.
Giả sử hình hộp chữ nhật có ba kích thước: x, y, z .

 x2  y 2  a2
 y 2  a2  x2
 y 2  a2  x2



Theo yêu cầu bài toán ta có  y 2  z 2  c 2   y 2  z 2  c 2  a 2  x 2  b2  x 2  c 2

 x2  z 2  b2
 z 2  b2  x2
 z 2  b2  x2



2
2
2
 2 a b c
y 
2

2
a 2  c 2  b 2  a 2  b 2  c 2  b 2  c 2  a 2 

 2 a  b2  c2
 x 
V 
2
8

 2 b2  c2  a 2
z 
2

Câu 15: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình lăng trụ ABCAB C  có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình
chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC .





Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và BC bằng
khối lăng trụ ABCAB C .
A. V 

a3 3
.
24

B. V 

a3 3
.
12

C. V 

Hướng dẫn giải
Chọn B.

a 3
. Tính thể tích V của
4

a3 3
.
3

D. V 

a3 3
.
6


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
A'



C'



M là trung điểm của BC thì BC  AAM .
H

Gọi MH là đường cao của tam giác AAM thì

B'

MH  AA và HM  BC nên HM là khoảng cách

C

A

AA và BC .

G

Ta có AAHM
.
 AG.AM 

M

B

a 3
a 3
a2
.AA 
AA2 
4
2
3


a2 
4a 2
4a 2
2a
2
2
2
2





 A A  4  A A    3A A 
 AA 
 AA 
.


3 
3
9
3


Đường cao của lăng trụ là AG 

Thể tích VLT 

4a 2 3a 2 a

 .
9
9
3

a 3a 2 a 3 3
.

.

3 4
12

Câu 16: (SỞ GD HÀ NỘI) Cho hình chóp S . ABC có ASB  CSB  600 , ASC  900 ,
SA  SB  SC  a . Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  SBC  .
A. d  2a 6 .

B. d 

a 6
.
3

C. d  a 6 .

Hướng dẫn giải
Chọn B.

D. d 

2a 6
.
3


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
S

B
A

H
C

+ Ta có: SAB , SBC là các đều cạnh a nên AB  BC  a
+ Ta có: SAC vuông cân tại S nên AC  a 2
+ Ta có: AC 2  AB2  BC 2 nên ABC vuông tại B có S ABC 

a2
2

+ Gọi H là trung điểm của AC . Ta có: HA  HB  HC và SA  SB  SC nên

SH   ABC  và SH 

AC a 2
.

2
2

3V
SH .S ABC
+ Vậy d  A;  SBC    S . ABC 
S SBC
S SBC

a 2 a2
.
a 6
 22 2 

3
a 3
4

Câu 17: (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi
cạnh bằng 2a 3 , góc BAD bằng 1200. Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông
góc với đáy. Góc gữa mặt phẳng  SBC  và  ABCD  bằng 450 . Tính khoảng cách h
từ A đến mặt phẳng  SBC  .
A. h  2a 2.

B. h 

3a 2
2a 2
C. h 
.
.
2
3
Hướng dẫn giải

Chọn C.
Gọi H là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC.

D. h  a 3.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Xét tam giác ABH :
AH

sin B 
 AH  2a 3.sin 600  3a.
AB
cos B 

S

BH
 BH  2a 3.cos 600  a 3.
AB

Xét tam giác SAH vuông tại A :
SA
tan SHA 
 SA  3a tan 450  3a.
AH

I

Trong tam giác SAH vuông tại A , kẻ
AI  SH tại I . Ta có AI   SBC  nên AI là
khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  .
Xét tam giác SAH , ta có:
 d  A,  SBC    AI 

D

A
B

H

C

1
1
1
1
1
2
 2


 2.
2
2
2
2
AI
SA
AH
 3a   3a  9a

3a 2
.
2

Câu 18: (CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH) Khi chiề u cao củ a mọ t hình chó p đề u tăng lên n là n
nhưng mõ i cạ nh đá y giả m đi n là n thì thể tích củ a nó .
A. Không thay đỏ i.

B. Tăng lên n là n.
C. Tăng lên n 1 là n. D. Giả m đi n
là n.
Hướng dẫn giải
Chọ n D.
1
Ta có : V  .h.S , với h là chiề u cao, S là diệ n tích đá y
3

x2a
với x là đọ dà i cạ nh củ a đa giá c đề u, a là só đỉnh củ a đa giá c đề u.
S
 1800 
4 tan 

 a 


2

x
  a
1
1 1
1
n
 . .h.S  .V .
Ycbt  V1  .nh.  
0
3

n
 180  n 3
4 tan 

 a 



Câu 19:

(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh
bên hợp với đáy một góc 60 . Gọi M là điểm đối xứng của C qua D , N là trung điểm


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
SC. Mặt phẳng  BMN  chia khối chóp S. ABCD thành hai phần. Tỉ số thể tích giữa

hai phần (phần lớn trên phần bé) bằng:
7
1
7
A. .
B. .
C. .
5
7
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.

D.

6
.
5

S

N
E
H

D

C
O

B

M

F

A

Giả sử các điểm như hình vẽ.

E  SD  MN  E là trọng tâm tam giác SCM , DF // BC  F là trung điểm BM .





Ta có: SD,  ABCD   SDO  60  SO 

 d  O,  SAD    OH  h 

a 6
a 7
, SF  SO 2  OF 2 
2
2

a 6
1
a2 7
; S SAD  SF . AD 
2
4
2 7

VMEFD ME MF MD 1




VMNBC MN MB MC 6
 VBFDCNE

5

5 1
1
5
1
5a3 6
 VMNBC    d  M ,  SAD    S SBC   4h  S SAD 
6
6 3
2
18
2
72

1
a3 6
7a3 6
VS . ABCD  SO.S ABCD 
 VSABFEN  VS . ABCD  VBFDCNE 

3
6
36

Suy ra:

VSABFEN 7
 
VBFDCNE 5

Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Câu 20:

(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABCD có tồng diện tích
của tất cả các mặt là 36 , độ dài đường chéo AC  bằng 6 . Hỏi thể tích của khối hộp lớn
nhất là bao nhiêu?
A. 8 .
B. 8 2 .
C. 16 2 .
D. 24 3 .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi chiều dài 3 cạnh của hình hộp chữ nhật lần lượt là: a , b , c  0
Ta có
AC2  a2  b2  c2  36; S  2ab  2bc  2ca  36  (a  b  c)2  72  a  b  c  6 2
3

3
abc 3
 abc   6 2 
 abc  abc  
  16 2 . Vậy VMax  16 2
  
3
3

  3 

Câu 21:

(CHUYÊN ĐHSP HN) Cho hình chóp đều S . ABC có đáy cạnh bằng a , góc giữa đường
thẳng SA và mặt phẳng  ABC  bằng 60 . Gọi A , B  , C tương ứng là các điểm đối
xứng của A , B , C qua S . Thể tích của khối bát diện có các mặt ABC, ABC , ABC ,
BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là
2 3a 3
4 3a 3
3a 3
3
A.
.
B. 2 3a .
C.
.
D.
.
3
3
2
Chọn A.
Cách 1: Ta tính thể tích khối chóp S . ABC :
Gọi H là tâm tam giác ABC đều cạnh a  CH 

a 3
. Góc giữa đường thẳng SA và
3

mặt phẳng (ABC) bằng 600
 SCH  60  SH  a  VS . ABC
o

1
1 a 2 3 a3 3
 .S H .S ABC  a.

.
3
3
4
12

V  2VB. ACA 'C '  2.4VB.ACS  8VS . ABC 

2a 3 3
.
3

Cách 2: Ta có thể tích khối chóp S . ABC là: VS . ABC 

a3 3
.
12


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Diện tích tam giác SBC là: SSBC 

a 2 39
.
12

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC 

A'

B'

C'

3a
là: d  A,  SBC   
.
13

Tứ giác BCB ' C ' là hình chữ nhật vì có hai
đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung
điểm mỗi đường.
Có SB 

2a 3
2a 3
a 39
.
 BB ' 
 B 'C 
3
3
3

Diện tích BCB ' C ' là: S BCB 'C '

a 2 39
.

3

S

C

B
H
A

Thể tích khối 8 mặt cần tìm là:
1
2a 3 3
V  2. d  A,  SBC   .S BCB 'C ' 
.
3
3

Câu 22: (CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho khối chóp S . ABC có SA  a , SB  a 2 , SC  a 3 . Thể
tích lớn nhất của khối chóp là
a3 6
a3 6
a3 6
A. a 3 6 .
B.
.
C.

.
D.
.
2
3
6
Chọn D.
1
AH .S SBC .
3
Ta có AH  SA ; dấu “=” xảy ra khi AS   SBC  .

Gọi H là hình chiếu của A lên ( SBC )  V 


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
1
1
SB.SC.sin SBC  SB.SC , dấu “=” xảy ra khi
2
2
SB  SC .

S SBC 

Khi đó, V 

A

1

1
1
1
AH .S SBC  AS  SB  SC  SA  SB  SC .
3
3
2
6

a

Dấu “=” xảy ra khi SA, SB, SC đôi một vuông góc với
nhau.
Suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp là
V

Câu 23:

a 3
S

1
a3 6
.
SA.SB.SC 
6
6

C

H

a 2
B

(CHUYÊN THÁI BÌNH) Cho hình chóp S. ABCD có đáy là
a 17
hình vuông cạnh a , SD 
, hình chiếu vuông góc H của S lên mặt  ABCD  là trung
2
điểm của đoạn AB . Tính chiều cao của khối chóp H .SBD theo a .
3a
3a
a 3
a 21
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
7
5
Chọn A.
Ta có SHD vuông tại H

S
2

 a 17   2  a 2 
 SH  SD  HD  
   a      a 3 .
2
2 

 
2

2

Cách 1. Ta có d  H , BD  

1
a 2
.
d  A, BD  
2
4

B

C

H

Chiều cao của chóp H .SBD là

d  H ,  SBD   

A

SH .d  H , BD 
SH   d  H , BD  
2

2

DC

B



a 2
2
4  a 6.2 2  a 3 .
4.5a
5
a2
3a 2 
8

H
I

a 3.

1
3 3
Cách 2. S . ABCD  SH .S ABCD 
a 
3
3
1
1
1
3 3
VH .SBD  VA.SBD  VS . ABC  VS . ABCD 
a .
2
2
4
12

A

D


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Tam giác SHB vuông tại H  SB  SH 2  HB 2  3a 2 
Tam giác SBD có SB 

 d  H ,  SBD   

a 2 a 13


.
4
2

5a 2
a 13
a 17
.
; BD  a 2; SD 
 SSBD 
4
2
2

3VS .HBD a 3

.
SSBD
5

Cách 3. Gọi I là trung điểm BD . Chọn hệ trục Oxyz với
O  H ; Ox  HI ; Oy  HB; Oz  HS.





 a 
a


Ta có H  0;0;0  ; B  0; ;0  ; S 0;0; a 3 ; I  ;0;0 
 2 
2


z

Vì  SBD    SBI 

S

  SBD  :

2x 2 y
z
3


 1  2x  2 y 
z  a  0.
a
a a 3
3

Suy ra d  H ,  SBD   

2.0  2.0 

3
.0  a

3

1
44
3

y
B



C
I

a 3
.
5

x

O H

A

D

Câu 24: (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho khối chóp S. ABCD có thể tích bằng a 3 . Mặt bên SAB
là tam giác đều cạnh a và đáy ABCD là hình bình hành. Tính theo a khoảng cách
giữa SA và CD .
a

2a
A. 2 3a .
B. a 3 .
C.
.
D. .
2
3
Hướng dẫn giải
Chọn A.


Video hướng dẫn và kĩ thuật casio giải nhanh có tại FB thầy: Trần Hoài Thanh
Vì đáy ABCD là hình bình hành
1
a3
 VSABD  VSBCD  VS . ABCD  .
2
2
Ta có:
Vì tam giác SAB đều cạnh a
a2 3
 SSAB 
4
Vì CD AB  CD  SAB  nên

S

A

D

d  CD, SA  d  CD,  SAB    d  D,  SAB  

a

3



3VSABD
S SBD

a
 2 2  2 3a.
a 3
4
3.

B

C

Câu 25: (LÝ TỰ TRỌNG – TPHCM) Tìm Vmax là giá trị lớn nhất của thể tích các khối hộp chữ
nhật có đường chéo bằng 3 2cm và diện tích toàn phần bằng 18cm2 .
A. Vmax  6cm3.
B. Vmax  5cm3 .
C. Vmax  4cm3 .

D. Vmax  3cm3 .

Hướng dẫn giải

Chọn C.
a 2  b 2  c 2  18
Đặt a, b, c là kích thước của hình hộp thì ta có hệ 
.
ab  bc  ac  9

Suy ra a  b  c  6. Cần tìm GTLN của V  abc.
Ta có b  c  6  a  bc  9  a  b  c   9  a  6  a  .
Do  b  c   4bc   6  a   4 9  a  6  a   0  a  4.
2

2

Tương tự 0  b, c  4 .
Ta lại có V  a 9  a  6  a   . Khảo sát hàm số này tìm được GTLN của V là 4.