Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HIỀN

VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN
LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG
TOÁN HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HIỀN

VẬN DỤNG MỘT SỐ NGUYÊN
LÝ LOGIC CƠ BẢN TRONG
TOÁN HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Đình Nam

HÀ NỘI, NĂM 2017

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Lê Đình
Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
thầy, người đã định hướng, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình nghiên cứu. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô
trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung và các thầy
cô trong bộ môn Đại số nói riêng đã giúp đỡ, góp ý kiến chỉ bảo để tác
giả hoàn thành luận văn cũng như trong suốt khóa học vừa qua. Và cuối
cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ,
động viên tác giả trong suốt thời gian học tập vừa qua.
Mặc dù có nhiều cố gắng xong do trình độ và thời gian còn hạn chế
nên luận văn khó tránh khỏi còn mắc những thiếu sót. Rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp, nhận xét của quý thầy cô và bạn đọc để
luận văn hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

ii


MỤC LỤC

MỤC LỤC

iv

Lời nói đầu

v

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC

1

1.1

1.2

1.3

1.4

Khái quát về logic học

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Logic học là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Sự hình thành và phát triển của logic học . . . .

2

1.1.3

Ý nghĩa của việc nghiên cứu logic học . . . . . .

4

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Các phép toán mệnh đề . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3

Các quy luật của logic mệnh đề . . . . . . . . . .

11

Đại số vị từ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.1

Hàm mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Các phép toán logic trên hàm mệnh đề một biến .

15

1.3.3

Lượng từ với mọi và tồn tại . . . . . . . . . . . .

16

Suy luận trong toán học . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.1

Suy luận là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.4.2

Suy luận hợp logic và suy luận không hợp logic .

18

1.4.3

Suy luận quy nạp và suy luận diễn dịch

. . . . .

20

1.4.4

Một số qui tắc suy diễn . . . . . . . . . . . . . .

23

iii


1.4.5
2

Chứng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VỀ SUY LUẬN
LOGIC
2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

27

Phương pháp lập bảng

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.1

Phương pháp lập bảng . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.1.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.3

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Phương pháp lựa chọn tình huống . . . . . . . . . . . .

37

2.2.1

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

2.2.2

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Phương pháp biểu đồ Ven . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.1

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.3.2

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Phương pháp suy luận trực tiếp

. . . . . . . . . . . . .

50

2.4.1

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

2.4.2

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . . . . . .

60

2.5.1

Phương pháp quy nạp toán học . . . . . . . . . .

60

2.5.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

2.5.3

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.6.1

Nguyên lý Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

2.6.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.6.3

Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

iv

Lời nói đầu
Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán giữ vai trò quan
trọng. Toán học là công cụ cung cấp tri thức để người học học tập các
môn học khác. Thông qua học toán, người học được rèn luyện khả năng
suy luận hợp lí và logic, phát triển tư duy linh hoạt và sáng tạo. Thực tế,
có nhiều người ít dùng kiến thức toán học vào cuộc sống, nhưng không
ai phủ nhận rằng những người học toán tốt thường có tư duy tốt. Các
nhà nghiên cứu giáo dục cho rằng, cái còn lại sau những năm tháng vất
vả học toán không phải chỉ là những công thức, qui tắc, định lí ... mà
còn là cách suy nghĩ, cách giải quyết vẫn đề, khả năng toán học hóa
các tình huống của cuộc sống. Do vậy, một trong nhứng nhiệm vụ quan
trọng nhất của môn Toán là thông qua dạy tri thức toán học để dạy
cách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cách suy nghĩ, rèn luyện nhân
cách, phát triển tư duy cho học sinh.
Các bài toán suy luận logic thường không đòi hỏi nhiều về kĩ năng tính
toán, điều cần thiết hơn cả là phải suy luận đúng đắn, chặt chẽ, hợp lí
và sáng tạo. Các bài toán này có tác dụng giúp người thực hiện nâng
cao khả năng tư duy và phát huy năng lực sáng tạo nhưng nó không có
một khuôn mẫu giải mà tùy thuộc vào nội dung bài toán để lập luận
tìm ra cách giải thích hợp.
Trong một số đề thi học sinh giỏi hoặc tuyển sinh lớp 10 có những
bài toán về suy luận logic. Nếu học sinh không được làm quen và luyện
tập nhiều các bài toán dạng này thì rất lúng túng và khó biết cách giải.
Là một giáo viên phổ thông, tác giả mong muốn được tìm hiểu thêm về
v


một số phương pháp giải toán suy luận logic, qua đó có thêm tài liệu
tham khảo cho giáo viên, học sinh trong học tập. Mong muốn ấy đã đưa

tác giả đến với đề tài: “Vận dụng một số nguyên lý logic cơ bản trong
toán học phổ thông”.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm
hai chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở về logic như khái quát về
logic học, mệnh đề, đại số vị từ, suy luận và chứng minh.
Chương 2: Trình bày về một số nguyên lý logic cơ bản trong toán học
phổ thông như phương pháp lập bảng, phương pháp lựa chọn tình huống,
phương pháp biểu đồ Ven, phương pháp suy luận trực tiếp, phương pháp
quy nạp, nguyên lý Dirichlet.
Đây không phải là một đề tài mới nhưng trong luận văn này, tác giả
trình bày các phương pháp giải bài toán suy luận thông qua mối liên hệ
với đại số. Hi vọng đây là một tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên
và học sinh phổ thông.

vi


Chương 1
ĐẠI CƯƠNG VỀ LOGIC
1.1

Khái quát về logic học

1.1.1

Logic học là gì?

Khoa học nói chung và toán học nói riêng đều xuất phát từ quá trình
nhận thức thế giới khách quan, từ cảm giác → tri giác→ biểu tượng →

nhận thức lí tính (tư duy) . Trong đó, tư duy biểu thị dưới dạng khái
niệm (phản ánh những đặc điểm chung, bản chất của sự vật), phán đoán
(phản ánh những qui luật tất yếu giữa các sự vật) và suy luận. Đồng
thời tư duy gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện biểu đạt và giao
tiếp.
Trong quá trình nhận thức thế giới khách quan, người ta cần phải có
cách nghĩ, cách suy luận đúng đắn và trong giao tiếp người ta phải có
cách biểu đạt (biểu thị, diễn đạt) đúng đắn. Liên quan đến những điều
đó là Logic học.
Logic học là khoa học về tư duy, nghiên cứu các quy luật và hình
thức của tư duy, các cách suy luận và biểu đạt đúng đắn.

1


1.1.2

Sự hình thành và phát triển của logic học

1.1.2.1. Sự xuất hiện và các giai đoạn phát triển của logic học
hình thức truyền thống
Logic học có lịch sử lâu dài và phong phú gắn liền với lịch sử phát
triển xã hội nói chung. Sự xuất hiện của logic học như là lý thuyết về
tư duy đã có sau thực tiễn con người suy nghĩ hàng nghìn năm. Cùng
với sự phát triển của lao động sản xuất con người đã hoàn thiện và phát
triển dần các khả năng suy nghĩ, rồi biến tư duy cùng các hình thức và
quy luật của nó thành khách thể nghiên cứu.
Những vấn đề logic đã lẻ tẻ xuất hiện trong suy tư người cổ đại từ
hơn 2,5 nghìn năm trước đây đầu tiên ở Ấn Độ và Trung Quốc. Sau đó
chúng được vạch thảo đầy đủ hơn ở Hy Lạp và La Mã.

Có hai nguyên nhân cơ bản làm xuất hiện logic học. Thứ nhất, sự ra
đời và phát triển ban đầu của các nhà khoa học, trước hết là của toán
học. Sinh ra trong đấu tranh với thần thoại và tôn giáo, khoa học dựa
trên cơ sở tư duy duy lý đòi hỏi phải có suy luận và chứng minh. Do
vậy, logic học đã nảy sinh như là ý đồ vạch ra và luận chứng những đòi
hỏi mà tư duy khoa học phải tuân thủ để thu được kết quả tương thích
với hiện thực. Hai là sự phát triển của thuật hùng biện trong điều kiện
dân chủ Hy Lạp cổ đại.
Người sáng lập logic học - "Cha đẻ của logic học" là triết gia lớn
của Hy Lạp cổ đại, nhà bách khoa Aristote (384 - 322 TCN). Ông viết
nhiều công trình về logic học, có tên gọi chung là "Bộ công cụ", trong
đó chủ yếu trình bày về suy luận và chứng minh diễn dịch. Aristote còn
phân loại các phạm trù − những khái niệm chung nhất và khá gần với
phân loại từ trước của Democritos về phán đoán. Ông đã phát biểu ba
quy luật cơ bản của tư duy, trừ luật lí do đầy đủ. Học thuyết logic của
Aristote đặc sắc ở chỗ, dưới dạng phôi thai nó đã bao hàm tất cả nhứng
2


phần mục, trào lưu, các kiểu của logic học hiện đại như xác suất, biểu
tượng, biện chứng.
Giai đoạn phát triển mới của logic học hình thức gắn bó hữu cơ với
việc xây dựng logic quy nạp diễn ra từ thế kỉ XVII đi liền với tên tuổi
của nhà triết học và tự nhiên học kiệt xuất người Anh F.Bacon (1561
− 1626). Ông cho rằng tam đoạn luận của Aristote hoàn toàn vô ích vì
nó không cho phép tìm ra các thông tin mới từ các tiền đề đã có. Vậy
nên khoa học sử dụng nó không thể phát triển các qui luật mới thông
qua việc nghiên cứu các sự kiện thực nghiệm đã biết. Ông xây dựng nên
logic quy nạp mà về sau được một nhà triết học và logic học Anh khác
là S.Mill (1806 − 1873) phát triển, thúc đẩy khoa học vươn tới tầm cao

mới.
Những nhu cầu của khoa học không chỉ về phương pháp quy nạp mà
còn về phương pháp diễn dịch vào thế kỉ XVII đã được nhà triết học
người Pháp R.Descates (1596 − 1650) nhận diện đầy đủ hơn cả. Dựa
trên những dữ liệu toán học, ông đã nhấn mạnh ý nghĩa của diễn dịch
như là phương pháp nhận thức khoa học cơ bản nhất.

1.1.2.2. Sự xuất hiện và phát triển của logic toán
Cuộc cách mạng thực sự trong các nghiên cứu logic học diễn ra nhờ
sự xuất hiện của logic toán, chính nó đã mở ra một thời kì mới, hiện đại
trong sự phát triển của logic học.
Những phôi thai của logic toán đã có ngày từ ở Aristote, cũng như
ở các nhà triết học kế tục ông, dưới dạng các yếu tố của logic vị từ, lí
thuyết các suy luận tình thái và logic mệnh đề.
Những thành tựu ngày càng nhiều của toán học và sự thâm nhập của
các phương pháp toán vào các khoa học khác ngay ở sau thế kỉ XIX đã
đặt ra hai vấn đề cơ bản. Thứ nhất là ứng dụng logic học để xây dựng
cơ sở lí thuyết cho toán học, thứ hai là toán học hóa logic học. Nhà toán
3


học và logic học người Đức Leibniz (1646 − 1716) đã có ý đồ sâu sắc và
thành công nhất trong việc giải quyết những vấn đề nêu trên. Do vậy,
thực chất ông là người khởi xướng logic toán. Ông đã phát minh ra ngôn
ngữ biểu tượng vạn năng với kì vọng nhờ đó có thể duy lí hóa mọi khoa
học thực nghiệm.
Những tư tưởng của Leibniz được phát triển tiếp ở thế kỉ XVIII và
nửa đầu thế kỉ XIX. Tuy nhiên, chỉ từ nửa sau thế kỉ XIX mới có những
điều kiện chín muồi cho sự phát triển của logic toán. Nhà toán học và
logic học người Anh J.Bool (1815 − 1864) trong các công trình của mình

đều ứng dụng toán học vào logic học. Ông đã phân tích toán học đối
với lí thuyết suy luận vạch thảo phép tính logic (Đại số Bool). Nhà toán
học và logic học người Đức G.Frege (1848 − 1925) ứng dụng logic học
để nghiên cứu toán học và các cơ sở của nó, xây dựng số học hình thức
hóa. Nhà triết học, toán học, logic học người AnhB.Russel (1872 − 1970)
cùng với A.Uaitkhed (1861 − 1947) trong tác phẩm cơ bản "Các nguyên
tắc cơ bản của toán học" đã xây dựng hệ tiên đề diễn dịch cho logic học.

1.1.3

Ý nghĩa của việc nghiên cứu logic học

Có tư duy, ắt có sai lầm, như Brochad đã từng phát biểu: "Đối với
con người, sai lầm là qui luật mà chân lí là ngoại lệ".
Có loại sai lầm do tư duy không phù hợp với thực tế khách quan (ngộ
nhận về thế giới tự nhiên, về người khác và cả về bản thân), loại này
dẫn đến những phán đoán giả dối. Có loại sai lầm do tư duy không phù
hợp với các qui luật của tư duy, loại này dẫn đến nhứng suy luận phi
logic.
Vì vậy logic học luôn luôn có ích và cần thiết cho mọi người.
Không phải không logic học thì người ta đều tư duy thiếu chính xác,
vì tư duy đúng đắn có thể được hình thành bằng kinh nghiệm, qua quá
trình học tập, giao tiếp, ứng xử . . . Nhưng đó chưa phải là thứ tư duy
4


logic mang tính tự giác. Và như vậy, ta cũng rất dễ tư duy sai lầm do
ngộ biện.
Logic học sẽ giúp ta nâng cao trình độ tư duy để có được tư duy khoa
học một cách tự giác. Nhờ đó, ta có thể chủ động tránh được những sai

lầm trong tư duy của bản thân.
Logic học cũng là công cụ hữu hiệu để khi cần thiết, ta có thể tranh
luận, phản bác một cách thuyết phục trước những lập luận mâu thuẫn,
ngụy biện, thiếu căn cứ của người khác.
Logic học còn trang bị cho ta phương pháp tư duy khoa học, nhờ đó
ta có thể tham gia nghiên cứu khoa học, lĩnh hội và trình bày tri thức,
tham gia các hoạt động thực tiễn khác một cách hiệu quả.
Logic học cũng giúp ta có được một thế giới khách quan, nhân sinh
quan toàn diện, biện chứng,
Đặc biệt, logic học là cái cơ sở không thể thiếu được trong một số
lĩnh vực như toán học, điều khiển học, pháp lí, quản lí, ngoại giao, điều
tra, dạy học, . . .

1.2

Mệnh đề

1.2.1

Mệnh đề

Trong suy luận và biểu đạt, người ta thường dùng các mệnh đề.
Mệnh đề, hay mệnh đề logic là một khái niệm nguyên thủy, không định
nghĩa.
Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất đúng hoặc sai. Một
mệnh đề đều hoặc đúng hoặc sai. Không có mệnh đề nào có thể vừa
đúng vừa sai.
Mệnh đề đúng có giá trị chân lí là 1, mệnh đề sai có giá trị chân lí là
0.
Ta thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa A, B, X, Y, . . .

5


Ví dụ 1.1
Các phát biểu sau đây là các mệnh đề:
A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á".
B = " BCN N (2, 5, 8) = 40 " .
C = " Hàm số y = x3 là hàm số lẻ.
D = "Tam giác đều có hai cạnh bằng nhau".
E = "Số 6 là số nguyên tố".
F = " Tháng 2 có 30 ngày".
Trong đó mệnh đề A, B, C là mệnh đề đúng, mệnh đề D, E, F là
mệnh đề sai.
Tuy nhiên, không phải bất cứ câu nào cũng là mệnh đề.
Ví dụ 1.2
Các phát biểu sau đây không là mệnh đề:
(i) Hôm nay là thứ mấy?
(ii) Ôi! Bạn hát hay quá!
(iii) Số nguyên x chia hết cho 3
Câu (i), (ii) không phải là mệnh đề vì không phải là câu khẳng định,
câu (iii) không phải mệnh đề vì không biết được tính đúng, sai của nó.

1.2.2

Các phép toán mệnh đề

1.2.2.1. Phép phủ định
Giả sử A là một mệnh đề. Khi đó câu "Không phải là A" là một
mệnh đề khác, được gọi là phủ định của A và kí hiệu là A.

Nhận xét 1.3 Nếu A đúng thì A sai và nếu A đúng thì A sai. Tổng giá
trị chân lí của A và A là 1.
A A
Bảng giá trị chân lí của phép phủ định: 1

0

0

1

6


Mệnh đề phủ định của phủ định của mệnh đề A chính là mệnh đề A.
A =A
Ví dụ 1.4
Nếu A = "Nước Việt Nam nằm ở châu Á" thì mệnh đề phủ định A =
"Nước Việt Nam không nằm ở châu Á"
Ở đây G(A) = 1 còn G(A) = 0
Ví dụ 1.5
Nếu B = "20 lớn hơn 26" thì mệnh đề phủ định B = "20 không lớn hơn
26"
Ở đây G(B) = 0 còn G(B) = 1
Chú ý: Mệnh đề phủ định A thường được diễn đạt là "Không phải A".
1.2.2.2. Phép hội
Hội của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A và B, kí hiệu
A ∧ B, đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng và sai trong các trường
hợp còn lại.
Bảng giá trị chân lí của phép hội:

A B A∧B
1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề hội của hai mệnh đề A, B ta ghép hai mệnh
đề đó bởi liên từ "và" hay một liên từ khác cùng loại. Những liên từ đó
là: mà, nhưng, song, đồng thời, cùng,. . .
Ví dụ 1.6
Hội của hai mệnh đề A = "Tam giác ABC là tam giác vuông" và B =

"Tam giác ABC là tam giác cân" là một mệnh đề: "Tam giác ABC là
tam giác vuông cân".
7


Ví dụ 1.7
Giải hệ hai phương trình thực chất là ta đi tìm tập hợp M các nghiệm
thỏa mãn cả hai phương trình đã cho: M = M1 ∩ M2 . Theo ngôn ngữ
mệnh đề, đó là hội của hai mệnh đề "f1 (x0 ) = g1 (x0 )" và "f2 (x0 ) =
g2 (x0 )" với x0 ∈ D.
Ví dụ 1.8
Từ những khái niệm đã có, ta có thể liên kết chúng lại để định nghĩa
một khái niệm mới bằng phép hội:
A = "Tứ giác ABCD là hình bình hành".
B = "Tứ giác ABCD có một góc vuông".
A = "Tứ giác ABCD có hai cạnh kề bằng nhau".
Khi đó: A ∧ B = "Tứ giác ABCD là hình chữ nhật".
A ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình thoi".
A ∧ B ∧ C = "Tứ giác ABCD là hình vuông".
1.2.2.3. Phép tuyển
Tuyển của hai mệnh đề A, B là một mệnh đề, đọc là A hoặc B, kí
hiệu A ∨ B, sai khi cả hai mệnh đề A, B cùng sai và đúng trong các
trường hợp còn lại.
Bảng giá trị chân lí của phép tuyển:
A B A∨B
1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Chú ý: Để thiết lập mệnh đề tuyển của hai mệnh đề A, B ta ghép
hai mệnh đề đó bởi liên từ "hoặc" hay một liên từ khác cùng loại.
Ví dụ 1.9
Tuyển của hai mệnh đề: A = "3 nhỏ hơn 5" và mệnh đề B = "3 bằng
5" là mệnh đề "3 nhỏ hơn hoặc bằng 5".
8


Ví dụ 1.10
Cho hai mệnh đề A = "Số có chữ số tận cùng là 0 thì chia hết cho
5" và B = "Số có chữ số tận cùng là 5 thì chia hết cho 5"

Tuyển của hai mệnh đề A và B là A ∨ B = "Số có chữ số tận cùng là
0 hoặc 5 thì chia hết cho 5".

1.2.2.4. Phép kéo theo
Cho hai mệnh đề A và B. Mệnh đề "Nếu A thì B", kí hiệu là A → B,
là một mệnh đề, sai khi A đúng mà B sai và đúng trong các trường hợp
còn lại. Trong mệnh đề A → B, A được gọi là giả thiết hay tiền đề, B
được gọi là kết luận.
Bảng giá trị chân lí của phép tuyển:
A B A→B
1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Các tên gọi thông thường của A → B hay gặp là:
(i) Nếu A thì B.
(ii) A kéo theo B.
(iii) A là một điều kiện đủ của B.
(iv) B là một điều kiện cần của A.
Ví dụ 1.11
− "Nếu tháng 2 có 29 ngày thì năm đó là năm nhuận" là mệnh đề đúng.
− "4 chia hết cho 3 nên tam giác ABC vuông tại A" là mệnh đề sai.
Chú ý 1.12 1. Trong logic, khi xét giá trị chân lý của mệnh đề A → B
người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề
A, B. Khi A đã sai thì mệnh đề A → B luôn luôn đúng bất luận B đúng
9


hay sai.
2. Trong văn học, mệnh đề kéo theo còn được diễn đạt bằng nhiều hình
thức phong phú. Chẳng hạn:
"Chuồn chuồn bay thấp thì mưa
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm".
1.2.2.5. Phép tương đương
Cho hai mệnh đề A và B. Mệnh đề "A tương đương với B", kí hiệu
là A ↔ B, là một mệnh đề, đúng khi cả hai mệnh đề A, B cùng đúng
hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại.
Bảng giá trị chân lí của phép tương đương:
A B A↔B
1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Chú ý: Trong thực tế, mệnh đề "A tương đương với B" thường được
diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn:
( i ) A nếu và chỉ nếu B.
( ii ) B là cần và đủ đối với A.
Ví dụ 1.13
− A là mệnh đề: "Tam giác ABC có ba góc bằng nhau" và B là mệnh
đề "Tam giác ABC là tam giác đều" thì A ↔ B là mệnh đề: "Tam giác

ABC có ba góc bằng nhau khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều"
và là mệnh đề đúng vì A đúng, B đúng.
− A là mệnh đề: "3 - 2 = 4" và B là mệnh đề "Hình vuông có bốn cạnh
bằng nhau" thì A ↔ B là mệnh đề: "3 - 2 = 4 nên hình vuông có bốn
cạnh bằng nhau" và là mệnh đề sai vì A sai, B đúng.
10


1.2.3

Các quy luật của logic mệnh đề

1.2.3.1. Luật đồng nhất
Tư tưởng có tính chất xác định nếu nội dung của nó (các thuộc tính
và các mối quan hệ của các sự vật phản ánh trong đó) đã được qui định
một cách chính xác. Trong tư duy, người ta chỉ có thể đồng nhất (và do
đó phân biệt) các tư tưởng với nhau nếu chúng có tính chất xác định.
Trong quá trình lập luận, mọi tư tưởng phải đồng nhất với chính nó
A ≡ A, nếu không tuân thủ qui luật đồng nhất sẽ sinh lủng củng, sai
lầm trong tư duy.
Điều này bắt buộc không được biến đổi một cách tùy tiện, vô căn
cứ nội dung của tư tưởng (không được thay thế tư tưởng này bằng tư
tưởng khác). Bình thường, tư duy của mọi người biết suy nghĩ có tính
chất xác định. Song cũng có khi tính xác định này bị vi phạm do người
ta thiếu hiểu biết về đối tượng, do sai lầm trong ngôn ngữ (những nội
dung khác nhau lại được diễn đạt bằng cùng một từ hay cụm từ).
Ví dụ 1.14
+ Có thể đưa ra những câu hỏi ngây thơ kiểu như: "Một kg sắt và một
kg bông, cái nào nặng hơn?".
+ Một học sinh viết: "Anh bộ đội bị thương hai lần, một lần ở tay và

một lần ở Quảng Trị." Trong trường hợp này, học sinh đã đồng nhất hai
cách chỉ vị trí của từ ở: 1. Nơi bị thương trên thân thể; 2. Địa danh mà
anh bộ đội bị thương.
Ví dụ 1.15
Giai thoại "Einstein không biết chữ". Albert Einstein (1879 - 1955)
là nhà vật lí người Mỹ gốc Đức - Do Thái.
Người ta kể: Có một lần, Einstein vào quán ăn, vì không mang theo
kính nên ông không đọc được thực đơn. Einstein đã nhờ người hầu bàn
đọc hộ thực đơn. Thấy vậy, người hầu bàn ghé vào tai ông và nói: "Xin
ngài thứ lỗi! Tôi cũng không biết chữ như ngài".
11


Trong trường hợp này, người hầu bàn đã nhầm hiện tượng với bản
chất, tức là vi phạm quy luật đồng nhất khi đồng nhất sự kiện "không
đọc được" với sự kiện "không biết chữ".
Chú ý 1.16 Trong định nghĩa khái niệm không được dùng chính khái
niệm A để định nghĩa nó (định nghĩa vòng quanh).
Ví dụ 1.17
+ Định nghĩa "Tổng là kết quả của phép cộng" và lại coi "Phép cộng là
phép toán tìm tổng".
+ Định nghĩa "Góc vuông là góc 90◦ " và lại định nghĩa "một độ là

1
90

của góc vuông".
1.2.3.2. Luật bài trung
- Trong hai phán đoán phủ định lẫn nhau: A và A, một phán đoán
nhất thiết phải chân thực (đúng). Không thể cả hai cùng giả dối (sai).

- Luật bài trung là cơ sở cho chứng minh phản chứng. Từ A là sai
suy ra bắt buộc A phải đúng.
Ví dụ 1.18
Dựa trên cở sở luật bài trung, ta có thể dùng phép nhị phân để phân
chia ngoại diên khái niệm thành hai tập hợp có quan hệ đối lập. Chẳng
hạn, chia số thực thành số hữu tỉ và số vô tỉ. Do vậy có thể chứng minh
√
5 là số vô tỉ bằng cách chứng minh nó không phải là số hữu tỉ.
1.2.3.2. Luật không mâu thuẫn
Hai phán đoán, trong đó một phán đoán khẳng định ("A là B"), còn
phán đoán kia phủ định cùng cái đó về cùng đối tượng ("A không là B")
thì không thể đồng thời cùng chân thực (đúng).
Chú ý 1.19 Có những phán đoán tuân theo luật không mâu thuẫn mà
không tuân tuân theo luật bài trung. Ngược lại, mọi phán đoán tuân theo
12


luật bài trung đều tuân theo luật không mâu thuẫn.

Ví dụ 1.20
Tất cả những phán đoán có dạng "Không một A nào là B" và "Tất
cả A đều là B" tuân theo luật không mâu thuẫn, nhưng không tuân theo
luật bài trung. Chẳng hạn:
A = "Không có một số nguyên tố nào chẵn" và B = "Tất cả các số
nguyên tố đều chẵn" không thể đồng thời cùng đúng, tức là tuân theo
luật không mâu thuẫn. Tuy nhiên, cũng không nhất thiết một trong hai
phán đoán A và B phải đúng. Rõ ràng "Có duy nhất một số nguyên tố
2 là số chẵn" nên cả A và B đều sai. Do đó A và B không tuân theo luật
bài trung.

Ý nghĩa:
a) Luật bài trung và luật không mâu thuẫn là cơ sở của phép phủ định.
b) Luật không mâu thuẫn có giá trị lớn đối với tư duy đúng đắn, nêu
lên căn cứ của sự tồn tại tính tất yếu logic của việc suy ra kết luận từ
các tiền đề trong các suy luận diễn dịch, phản ánh sự kiện là: một sự
vật (hoặc một thuộc tính) nào đó không thể đồng thời vừa tồn tại vừa
không tồn tại, vừa có lại vừa không.
Do vậy, trong quá trình lập luận về đối tượng nào đó, không được
vừa khẳng định vừa phủ định một cái gì đó ở cùng một quan hệ. Chẳng
hạn, không thể có một mệnh đề vừa đúng lại vừa sai.

1.3
1.3.1

Đại số vị từ
Hàm mệnh đề

− Hàm mệnh đề (hay còn gọi là vị từ) là một câu nói phụ thuộc vào
một hay nhiều đại lượng chưa xác định rõ ràng và trở thành mệnh đề
13


khi các đại lượng đó đã xác định. Các đại lượng chưa xác định rõ ràng
đó gọi là biến.
− Tập hợp X các giá trị xác định của biến gọi là tập xác định của
hàm mệnh đề.
− Tập hợp M gồm các giá trị của biến làm cho mệnh đề ứng với giá
trị đó là mệnh đề đúng gọi là miền đúng của hàm mệnh đề.
− Hằng mệnh đề là một hàm mệnh đề luôn đúng hoặc luôn sai với
mọi giá trị của biến.

Ví dụ 1.21
Ta xét các ví dụ sau:
1. "n là số nguyên tố".
Về phương diện ngôn ngữ, đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản
ánh tính đúng, sai nên nó chưa phải là mệnh đề. Nếu ta thay n bằng
một số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn:
− Thay n = 19 ta được mệnh đề đúng: "19 là số nguyên tố".
− Thay n = 10 ta được mệnh đề sai: "10 là số nguyên tố".
Như vậy "n là số nguyên tố" là một hàm mệnh đề xác định trên tập hợp
số nguyên dương.
2. "Số x lớn hơn số y"
− Thay x = 4, y = 2 thì ta được mệnh đề đúng: "Số 4 lớn hơn số 2"’
− Thay x = 4, y = 5 thì ta được mệnh đề sai: "Số 4 lớn hơn số 5" .
Vậy "Số x lớn hơn số y" là một hàm mệnh đề hai biến.
n

3. Câu nói "Số 22 + 1 là số nguyên tố, n ∈ N" (Bài toán "Số nguyên
Fermat") là một hàm mệnh đề (đúng với n = 1, 2, 3, 4, sai với n = 5, 6
...)
4. Câu nói "Giá trị của (a + b)2 và a2 + 2ab + b2 là bằng nhau" luôn
đúng với mọi giá trị của a và b nên là một hằng mệnh đề.
5. "x2 + 3x − 4 = 0 là hàm mệnh đề chứa biến x, nhưng câu "Phương
trình x2 + 3x − 4 = 0 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −4" không phải là hàm
mệnh đề vì nó luôn đúng (không cần phụ thuộc vào biến nào).
14


− Một hàm mệnh đề n biến là một hàm f đi từ tập tích X1 x X2 x
. . . x Xn đến tập {0; 1}
− Hàm mệnh đề một biến biểu thị một tính chất, hàm mệnh đề n

biến biểu thị một quan hệ n ngôi.

1.3.2

Các phép toán logic trên hàm mệnh đề một
biến

Cho A(x), B(x) là các hàm mệnh đề một biến cùng xác định trên M.
Mở rộng các phép toán logic mệnh đề đối với các hàm mệnh đề, ta
có các phép toán logic trên các hàm mệnh đề (ở đây ta chỉ xét với một
biến) được định nghĩa như sau:

1.3.2.1. Phép phủ định
Hàm mệnh đề "Phủ định của A(x)" kí hiệu là A(x), được xác định:
Với mỗi a ∈ M thì A(a) = A(a) .

1.3.2.2. Phép hội
Hàm mệnh đề "A(x) và B(x)" kí hiệu là (A ∧ B) (x) là hàm mệnh đề
mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A ∧ B) (a) được xác
định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:
- (A ∧ B) (a) = 1 nếu A (a) = B (a) = 1
- (A ∧ B) (a) = 0 nếu có ít nhất một trong hai mệnh đề A(a) hoặc B(a)
nhận giá trị 0.

15


1.3.2.3. Phép tuyển
Hàm mệnh đề "A(x) tuyển B(x)" kí hiệu là (A ∨ B) (x) là hàm mệnh
đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A ∨ B) (a) được

xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:
- (A ∨ B) (a) = 1 nếu có ít nhất một trong hai mệnh đề A(a) hoặc B(a)
nhận giá trị 1.
- (A ∨ B) (a) = 0 nếu A (a) = B (a) = 0.

1.3.2.4. Phép kéo theo
Hàm mệnh đề "A(x) kéo theo B(x)" kí hiệu là (A → B) (x) là hàm
mệnh đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A → B) (a)
được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:
- (A → B) (a) = 0 nếu A (a) = 1 và B (a) = 0
- (A → B) (a) = 1 trong tất cả các trường hợp còn lại.

1.3.2.5. Phép tương đương
Hàm mệnh đề "A(x) tương đương B(x)" kí hiệu là (A ↔ B) (x) là hàm
mệnh đề mà với mỗi a ∈ M thì giá trị chân lí của mệnh đề (A ↔ B) (a)
được xác định theo giá trị chân lí của hai mệnh đề A(a) và B(a)như sau:
- (A ↔ B) (a) = 0 nếu A(a) và B(a) không nhận cùng một giá trị.
- (A ↔ B) (a) = 1 nếu A(a) và B(a) nhận cùng một giá trị.

1.3.3

Lượng từ với mọi và tồn tại

Định nghĩa 1.22 Cho A là một vị từ với biến x xác định trên M. Lượng
từ với mọi của A là mệnh đề: "A(x) đúng với mọi giá trị của x trong
M".

16

Lượng từ "với mọi" của A được viết là: ∀ x ∈ M, A(x) .
Mệnh đề này được diễn đạt: "Với mọi x của M ta luôn có A (x)".
Ví dụ 1.23
1. "∀ n ∈ N, n chia hết cho 3" là mệnh đề sai.
2. "∀ x, x + 7 > 3" là mệnh đề sai.
3. "∀ x ∈ R, x2 + 1 > 0" là mệnh đề đúng.
Định nghĩa 1.24 Cho A là một vị từ với biến x xác định trên M. Lượng
từ tồn tại của A là mệnh đề: "Tồn tại một giá trị x trong M sao cho
A(x) đúng".
Lượng từ "tồn tại" của A được viết là: ∃ x ∈ M, A(x) .
Ví dụ 1.25
1. "Tồn tại số tự nhiên n sao cho n chia hết cho 3" là mệnh đề đúng.
2. "Tồn tại số thực x sao cho x + 7 > 3" là mệnh đề đúng.
3. "Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0" là mệnh đề sai.
Định lí 1.26 Ta có các tương đương logic sau:
(i) ∀x ∈ M, A(x) ⇔ ∃x ∈ M, A(x)
(ii) ∃x ∈ M, A(x) ⇔ ∀x ∈ M, A(x)
Như vậy hai mệnh đề ∀ x ∈ M, A(x) và ∃ x ∈ M, A(x) là phủ định của
nhau.
Ví dụ 1.27
Phủ định của mệnh đề "Tồn tại một số tự nhiên n chia hết cho 3" là
mệnh đề "Mọi số tự nhiên n đều không chia hết cho 3"
Ví dụ 1.28
Phủ định của mệnh đề "Mọi hình vuông đều là hình chữ nhật" là mệnh
đề "Tồn tại một hình vuông không phải là hình chữ nhật"

17