Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh trong dạy học đại số và giải tích lớp 11

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ VIẾT TIỆP

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC
VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên – 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ VIẾT TIỆP

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN DỤNG TOÁN HỌC
VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11

Chuyên ngành: Lý luận và PPDH bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Luận

Thái Nguyên – 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn
thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số
liệu, kết quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa
học của luận văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Xác nhận

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017

của Người hướng dẫn khoa học

Tác giả luận văn

TS. Trần Luận

Vũ Viết Tiệp

Xác nhận
của Trưởng khoa chuyên môn

i


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành được Luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành
và sâu sắc nhất đến Tiến sĩ Trần Luận, người đã nhiệt tình và tận tâm chỉ bảo,
hướng dẫn tôi trong suốt thời gian thực hiện Luận văn.

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong tổ bộ môn
phương pháp giảng dạy môn Toán của Khoa Toán và các thầy cô đã hết lòng dạy
bảo lớp K23 chúng tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học,
Khoa Toán của trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi hoàn thành khoá học.
Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn Ban giám đốc, các thầy cô giáo, các em
học sinh lớp 11 của Trung tâm Giáo dục nghề nghiệp – Giáo dục thường xuyên
Việt Yên, huyện Việt Yên, tỉnh Bắc Giang, các anh chị đồng nghiệp ở Ủy ban
nhân dân xã Tân Dĩnh, huyện Lạng Giang, tỉnh Bắc Giang đã tạo mọi điều kiện
thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình.
Xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, bạn bè, các anh chị là học viên
nhóm chuyên ngành Phương pháp giảng dạy đã luôn động viên khích lệ, giúp
đỡ tôi trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Do khả năng và thời gian có hạn, mặc dù đã cố gắng rất nhiều song bản
Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi sai sót. Tôi rất mong tiếp tục nhận
được sự chỉ dẫn, góp ý của các nhà khoa học, các thầy cô giáo.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017
Tác giả luận văn

Vũ Viết Tiệp

ii


MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... ii

MỤC LỤC .........................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ................ iv
DANH MỤC CÁC BẢNG................................................................................. v
DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ, HÌNH....................................................... vi
MỞ ĐẦU............................................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu ....................................................................................... 3
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học......................................................................................... 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ...................................................................................... 4
6. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 4
7. Cấu trúc của luận văn ...................................................................................... 5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................ 6
1.1. Vai trò của việc vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học toán ở
trường phổ thông .......................................................................................... 6
1.1.1. Toán học với đời sống thường ngày của con người ..................................6
1.1.2. Toán học với các khoa học khác ...............................................................7
1.1.3. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế .............................................10
1.1.4. Phương pháp mô hình hóa.......................................................................11
1.2. Về năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS phổ thông .............. 12
1.2.1. Khái niệm năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn .............................13
1.2.2. Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT...14
1.2.3. Một số thành tố trong cấu trúc năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn....16
1.3. Một số vấn đề về bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.... 17

iii


1.3.1. Các tình huống thực tế, bài toán thực tế và một số khái niệm có liên
quan khác .................................................................................................17

1.3.2. Về các bước của quá trình vận dụng toán học vào thực tiễn...................19
1.3.3. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo
hướng tăng cường bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực
tiễn ở trường phổ thông ...........................................................................21
1.3.4. Thực trạng bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn ở
trường phổ thông .....................................................................................22
1.4. Kết luận chương 1....................................................................................... 25
Chương 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC VẬN
DỤNG TOÁN HỌC VÀO THỰC TIỄN CHO HỌC SINH TRONG
DẠY HỌC ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11................................................. 26
2.1. Một số định hướng xây dựng biện pháp..................................................... 26
2.1.1. Định hướng 1 ...........................................................................................26
2.1.2. Định hướng 2 ...........................................................................................27
2.1.3. Định hướng 3 ...........................................................................................27
2.1.4. Định hướng 4 ...........................................................................................27
2.2. Các biện pháp sư phạm............................................................................... 28
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường một số yếu tố lịch sử trong quá trình dạy
học môn học.............................................................................................28
2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế bổ sung một số tình huống thực tiễn vào dạy
học Đại số và Giải tích nhằm bồi dưỡng cho HS lớp 11 biết cách vận
dụng toán học vào thực tiễn.....................................................................33
2.2.3. Biện pháp 3: Luyện tập cho HS một số hoạt động thành phần trong
các bước vận dụng toán học vào thực tiễn ..............................................47
2.2.4. Biện pháp 4: Tổ chức một số hoạt động thâm nhập TT để tạo cơ hội
cho HS phát hiện và giải quyết những vấn đề trong TT..........................69

iv


2.2.5. Biện pháp 5: Sưu tầm và sử dụng một số bài toán của PISA nhằm bồi

dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho người học .............................75
2.3. Kết luận chương 2....................................................................................... 92
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM....................................................... 93
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................. 93
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ................................................................. 93
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm ................................................................ 93
3.4.1. Thời gian tổ chức thực nghiệm................................................................94
3.4.2. Hình thức tổ chức thực nghiệm ...............................................................94
3.5. Kết quả thực nghiệm sư phạm.................................................................... 95
3.5.1. Đánh giá định tính ...................................................................................95
3.5.2. Đánh giá định lượng ................................................................................96
3.6. Kết luận chương 3....................................................................................... 99
KẾT LUẬN..................................................................................................... 100
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................... 102
PHỤ LỤC

v


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt

Viết đầy đủ

CT

Chương trình

ĐC

Đối chứng

ĐHSP

Đại học sư phạm

GV

Giáo viên

HS

Học sinh

PP

Phương pháp

SGK

Sách giáo khoa

SP

Sư phạm

TH

Toán học

THPT

Trung học phổ thông

TN

Thực nghiệm

TT

Thực tiễn

Tr.

Trang

XS

Xác suất

XS - TK

Xác suất - Thống kê

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG
Trang

Bảng 2.1............................................................................................................. 62
Bảng 2.2............................................................................................................. 80
Bảng 2.3............................................................................................................. 81
Bảng 2.4............................................................................................................. 83
Bảng 2.5............................................................................................................. 83
Bảng 2.6............................................................................................................. 89
Bảng 3.1 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 15 phút lớp thực
nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ............................................. 96
Bảng 3.2 Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 15 phút............................... 96
Bảng 3.3 Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút lớp thực
nghiệm (TN) và lớp đối chứng (ĐC) ............................................. 97
Bảng 3.4 Bảng phân bố về tần suất điểm kiểm tra 45 phút............................... 97

v


DANH MỤC BIỂU ĐỒ, ĐỒ THỊ, HÌNH
Trang
Biểu đồ 2.1 Trạng thái hiện thời của thẻ nhớ .................................................... 80
Biểu đồ 2.2......................................................................................................... 82
Biểu đồ 2.3 Các mặt hàng xuất khẩu của nước Zedland ................................... 84
Biểu đồ 2.4 Dân số trung bình của Việt Nam qua một số mốc thời gian.......... 84
Biểu đồ 2.5 Số HS các lớp của một trường THPT trong năm học 2015-2016 . 87
Biểu đồ 3.1 Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 15 phút của lớp TN
và lớp ĐC ....................................................................................... 97
Biểu đồ 3.2 Biểu đồ phân bố tần suất điểm bài kiểm tra 45 phút của lớp TN
và lớp ĐC ....................................................................................... 98

Đồ thị 2.1 Tốc độ của chiếc xe theo thời gian................................................... 78

Hình 1.1 Sơ đồ các bước vận dụng toán học vào thực tiễn............................... 20
Hình 2.1 Trò chơi đu ......................................................................................... 35
Hình 2.2. Vi khuẩn E.Coli ................................................................................. 36
Hình 2.3 Dòng họ loài ong ................................................................................ 37
Hình 2.4 ............................................................................................................. 53
Hình 2.6 Cột cờ trường học (Nguồn Internet)................................................... 72
Hình 2.7 Tháp Rùa (Nguồn Internet) ................................................................ 73
Hình 2.8 Mô hình hình chóp.............................................................................. 74
Hình 2.9 ............................................................................................................. 85
Hình 2.10 ........................................................................................................... 88
Hình 2.11 ........................................................................................................... 90

vi


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Để thực hiện thắng lợi các mục tiêu của đất nước đề ra trong thời kỳ
công nghiệp hóa, hiện đại hóa thì nhân tố con người giữ vai trò rất quan trọng.
Do đó, nhiệm vụ đặt ra cho ngành Giáo dục - Đào tạo là xây dựng những con
người có khả năng lao động một cách năng động, sáng tạo. Nghị quyết Đại hội
Đại biểu toàn quốc lần thứ XII của Đảng Cộng sản Việt Nam năm 2016 đã chỉ
ra rằng: “Phát huy nhân tố con người trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội;
tập trung xây dựng con người về đạo đức, nhân cách, lối sống, trí tuệ và năng
lực làm việc; xây dựng môi trường văn hoá lành mạnh”.
Vì vậy, để thích ứng kịp thời với sự phát triển của nền kinh tế xã hội và
nhu cầu tuyển dụng, Chiến lược phát triển giáo dục trong giai đoạn từ nay đến
năm 2020 đã đưa ra mục tiêu là: “Xây dựng một nền giáo dục tiên tiến, đậm đà
bản sắc dân tộc, thích ứng với nền kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ

nghĩa, tạo cơ hội học tập cho mọi người và khả năng hội nhập với nền kinh tế
thế giới. Đào tạo những người lao động Việt Nam có phẩm chất đạo đức, kiến
thức và kĩ năng nghề nghiệp của thời đại, có năng lực tư duy độc lập, sáng tạo,
có ý thức làm chủ và tinh thần trách nhiệm”.
Hiện nay, vấn đề đổi mới nội dung và chương trình SGK phổ thông đã
và đang được thực hiện một cách sâu rộng trên phạm vi toàn quốc nhằm đáp
ứng các mục tiêu trên. Quan điểm xây dựng chương trình giáo dục phổ thông
theo tinh thần Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 của Hội nghị lần thứ
8 Ban chấp hành Trung ương Đảng (khoá XI) về đổi mới căn bản, toàn diện
giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá trong điều
kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Nghị
quyết số 88/2014/QH13 ngày 28/11/2014 của Quốc hội về đổi mới chương
trình, SGK giáo dục phổ thông; Quyết định số 404/QĐ-TTg ngày 27/3/2015

1


của Thủ tướng Chính phủ phê duyệt Đề án đổi mới chương trình, SGK giáo
dục phổ thông đã đưa ra: “Nội dung giáo dục phổ thông bảo đảm tinh giản,
hiện đại, thiết thực, thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn (TT), phù hợp
với đặc điểm tâm - sinh lý lứa tuổi học sinh (HS)…”.
Có thể nói rằng, toán học (TH) là một môn học có mối liên hệ rất mật
thiết với TT và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều các lĩnh vực khác nhau
của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc
biệt như vậy, TH trở nên thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm
cho đời sống xã hội ngày càng hiện đại và văn minh hơn. Chính vì vậy, việc
rèn luyện cho HS năng lực vận dụng kiến thức TH vào TT là điều rất cần thiết
đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục TH.
Ta đã biết, TT vừa là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm nghiệm tính
chân lý của mọi khoa học nói chung và của TH nói riêng. TH phát triển được

là nhờ mối liên hệ mật thiết với TT, thông qua đó để bộc lộ sức mạnh lý
thuyết vốn có của nó. Do đó, dạy học toán ở trường phổ thông là để làm rõ
mối quan hệ giữa TH và TT, việc bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT là
một vấn đề rất cần thiết.
Các kiến thức TH cho dù là ở trường phổ thông nhưng chúng luôn có
tính trừu tượng và khái quát cao. Việc học các kiến thức TH không chỉ giúp HS
nhận biết những kiến thức trừu tượng của một môn khoa học chính xác mà còn
làm cho HS hiểu được rằng các kiến thức TH xuất phát từ đời sống hàng ngày
của các em; giúp cho HS có những phương pháp, cách thức vận dụng các kiến
thức TH vào giải quyết những vấn đề trong TT cuộc sống; đồng thời tạo cơ sở
cho việc học các kiến thức TH ở các bậc học trên.
Theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay, quá trình dạy
học toán ở trường phổ thông cần được tổ chức sao cho mọi HS đều làm việc,
sao cho có thể huy động khả năng của từng HS trong việc tìm tòi, khám phá
nội dung mới của bài học, tạo các điều kiện và phương tiện hoạt động để các

2


em tự phát hiện và tham gia vào giải quyết các tình huống có vấn đề trong học
tập. Đây là một trong những định hướng quan trọng “Dạy học thông qua hoạt
động của bản thân từng HS”. Với yêu cầu thực tế xã hội, yêu cầu tăng cường
vận dụng TH được tiếp tục đặt ra và được nhấn mạnh hơn. Nghị quyết của
Quốc hội về đổi mới chương trình giáo dục, trong phần mục tiêu của đổi mới,
có nêu yêu cầu: “tăng cường tính TT, kỹ năng thực hành, năng lực tự học”.
Đối với bộ môn Toán, có quan điểm: “Phải lựa chọn kiến thức TH cốt lõi,
giàu tính ứng dụng, đặc biệt ứng dụng vào TT Việt Nam”.
Trong chương trình môn Toán ở trường phổ thông, phần Đại số và Giải
tích lớp 11 có rất nhiều những thuật ngữ, kí hiệu, khái niệm mới và cũng có
nhiều bài toán khó. Vì vậy trong quá trình dạy và học sẽ gặp những khó khăn

nhất định. Để dạy phần Đại số và giải tích lớp 11 có hiệu quả, góp phần bồi
dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS, đòi hỏi người giáo viên (GV)
phải đề ra được những biện pháp hợp lý về cách thức lựa chọn nội dung cũng
như phương pháp giảng dạy.
Với những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu:
“Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh
trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một số biện pháp nhằm bồi
dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích
lớp 11.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu: Năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
của học sinh và các vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này
trong dạy học môn Toán.
3.2 Phạm vi nghiên cứu: Phần Đại số và Giải tích lớp 11.

3


4. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp thích hợp khai thác nội dung thực tế
trong dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11 và hướng dẫn thực hiện các biện
pháp đó hợp lý thì sẽ góp phần bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho
HS, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Một số vấn đề về bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT cho HS
phổ thông.
5.2. Khảo sát thực trạng bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT ở một
số nhà trường phổ thông.

5.3. Xây dựng một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào
TT cho HS phổ thông thông qua dạy học Đại số và Giải tích ở lớp 11.
5.4. Thực nghiệm sư phạm (SP) để minh họa tính khả thi và hiệu quả của
các biện pháp đề xuất.
6. Phương pháp nghiên cứu
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu
trong nước về các vấn đề liên quan đến đề tài luận văn.
6.2. Phương pháp điều tra thực tế: Điều tra một số khía cạnh về tình hình
vận dụng TH vào TT trong thực tế dạy học Toán ở nước ta hiện nay và ý kiến
GV phổ thông về một số vấn đề liên quan đến đề tài luận văn, lấy ý kiến đóng
góp qua phiếu thăm dò.
6.3. Phương pháp thống kê: Thống kê số liệu, phân tích kết quả điều tra,
thực trạng và thực nghiệm.
6.4. Phương pháp thực nghiệm SP: Tổ chức thực nghiệm SP dạy học một
số biện pháp đã đề xuất để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp
đã đề xuất.

4


7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Danh mục tài liệu tham khảo”, nội
dung chính của luận văn được trình bày gồm ba chương:
Chương 1. Cơ sở lý luận và TT
Chương 2. Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực vận dụng TH vào TT
cho HS trong dạy học Đại số và Giải tích lớp 11
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm

5

Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Vai trò của việc vận dụng toán học vào thực tiễn trong dạy học toán ở
trường phổ thông
1.1.1. Toán học với đời sống thường ngày của con người
Toán học không phải là những công thức vô bổ mà TH gắn liền với sự
phát triển của loài người. Những bài toán đặt ra xuất phát từ nhu cầu TT, từ bài
toán cho sản xuất đến giải quyết các bài toán dự đoán tự nhiên, vũ trụ,…
Thời xa xưa, khi con người chưa có sự hỗ trợ của các máy móc hiện đại nên
bản thân các bài toán phát sinh đều là những bài toán đơn giản, số lượng tính toán
là cỡ nhỏ, vì vậy các công cụ toán để sử dụng cũng là những công thức vô cùng
đơn giản và sơ khai như phép cộng, phép chia hay khai căn một cách gần đúng…
Ngày nay, với sự hỗ trợ của máy tính hiện đại, các bài toán con người có
thể đặt ra là vô cùng trừu tượng và phức tạp, với số lượng các phép tính lớn, vượt
ra xa khỏi khả năng tự nhiên của một con người. Vì vậy, các công cụ tính toán và
các khái niệm mới cũng hết sức trừu tượng nên khó có thể tìm một ứng dụng tự
nhiên của nó trong đời sống hàng ngày, chúng ta chỉ có thể chỉ ra nó ứng dụng
vào công việc gì mà khó có thể giải thích cụ thể xem nó ứng dụng như thế nào.
Theo [1] thì trong đời sống hằng ngày, con người phải đối mặt với cuộc
sống, họ phải mua bán tính toán, trong đầu họ luôn thường trực một vấn đề:
làm sao có lợi cho bản thân mình nhất. Đặc biệt, trước khi quyết định một công
việc quan trọng gì đó, họ đều đưa ra những phán đoán. Trong cuộc sống hiện
đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều đầy biến động, con người lại càng phải
tính toán; có thể nói: chỉ khi đi ngủ mới không để phép tính ở trong đầu.
Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt
gặp những “hình ảnh” của Toán học: mặt hồ nước yên ả của hình mặt phẳng,
những đóa hoa hướng dương hình tròn, những con ong xây tổ theo những hình

6


lục giác đều… Galileo Galilei (Ga-li-lê) đã nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng
ngôn ngữ toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các
hình toán học khác”. Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào
khám phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải xã hội, con người
phải tính toán đến vấn đề tiêu thụ để thu lại về là lớn nhất. Bởi vậy, họ phải tính
toán đến chất lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu,... tất cả những vấn đề đó,
đều liên quan đến TH.
Khác với động vật, con người được thừa hưởng nền văn minh của các xã
hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong
sách vở, trong đó có tri thức TH. Con người phải đến trường để lĩnh hội và phát
triển vốn tri thức của xã hộ truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức của xã
hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời sống thực tiễn của
bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và phong phú: học
tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ Tổ quốc. Không phải khi nào cũng cho
phép chúng ta ngồi học trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để giải
quyết các vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một tòa nhà
mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa các vị trí của ta và mục
tiêu của địch… Gặp những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng
tạo, sử dụng phương pháp TH, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ.
Tóm lại, đối với con người bình thường cho dù họ là ai, ở cương vị
nào trong xã hội thì trong cuộc sống hằng ngày cũng đụng chạm đến các tri
thức TH.
1.1.2. Toán học với các khoa học khác
Toán học là một trong những khoa học cổ nhất của loài người. Nhưng
chưa bao giờ TH phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng sâu sắc như ngày
nay. Ở thời đại chúng ta những phát minh mới mẻ của TH xuất hiện hàng ngày,
rất nhiều ngành mới ra đời, nhiều quan niệm cũ bị đảo lộn. Ngày nay, TH

7


không chỉ áp dụng trong thiên văn, vật lý, cơ học mà còn xâm nhập vào hoá
học, sinh học và nhiều ngành khoa học xã hội nữa.
Chúng ta biết rằng những kiến thức TH đầu tiên của loài người về số
học, hình học, tam giác lượng,... đều đẻ ra từ nhu cầu của TT. Các số hình
thành và phát triển do nhu cầu của phép đếm và tính toán. Rất nhiều sách ghi
lại rằng hình học phát sinh ở Ai Cập do nhu cầu đo đạc đất đai hàng năm sau
mỗi vụ lụt của sông Nin (hình học tiếng Hy Lạp là sự đo đất) ngành hàng hải
đòi hỏi những kiến thức về thiên văn, mà bộ môn này lại cần những kiến thức
về lượng giác do đó lượng giác phát sinh và phát triển. Ở thời kỳ Phục Hưng,
sự phát triển mạnh mẽ của kỹ nghệ và sự hình thành quan hệ sản xuất tư bản
chủ nghĩa đòi hỏi phải phát triển cơ học và ngành này đã thúc đẩy phải hoàn
chỉnh phép tính vi phân và tích phân.
Trong thế kỷ XVIII, TH chủ yếu nhằm giải quyết yêu cầu của cơ học. Từ
nửa đầu thế kỷ XIX, kỹ thuật cơ khí phát triển dựa vào động cơ hơi nước. Vấn
đề nâng cao năng suất của máy đưa vật lý lên hàng đầu. TH cần phát triển để
giải quyết những vấn đề về nhiệt, điện động, quang, đàn hồi, từ trường của trái
đất,... Nhờ đó kho tàng TH được bổ sung nhiều kết quả quan trọng về giải tích,
phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, hàm phức, đại số... Cũng ở
thời kỳ Phục Hưng sự phát triển của hội hoạ và kiến trúc đòi hỏi nhiều ở
phương pháp vẽ phối cảnh do đó nảy sinh ra môn hình học xạ ảnh. Những bài
toán mới của thiên văn, cơ học, trắc địa và các khoa học khác ở thời kỳ này
cũng là những nguồn kích thích mới đối với sự phát triển TH. Khoảng cuối thế
kỷ XIX, do nhu cầu của nội bộ TH là xây dựng cơ sở cho giải tích, lý thuyết tập
hợp của Cantor ra đời và thắng lợi. Lý thuyết tập hợp đã tỏ ra là một lý thuyết
có hiệu lực và dần dần xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực TH. Nhờ đó người ta
có thể xây dựng phương pháp xử lý mới đối với TH là phương pháp tiên đề

trừu tượng. Rồi chính những mâu thuẫn trong lý thuyết tập hợp đã thúc đẩy sự
phát triển của logic toán và tầm quan trọng về lý luận cũng như TT của nó tăng

8


lên không ngừng trong mấy chục năm gần đây. Với quan điểm của lý thuyết tập
hợp và phương pháp tiêu đề trừu tượng nhiều bộ môn TH hiện đại như lý
thuyết hàm số thực, đại số trừu tượng, tô pô trừu tượng v.v... ra đời. Trong mấy
chục năm lại đây do sự phát triển của kỹ thuật từ cơ khí hoá lên tự động hoá và
sự ra đời của kỹ thuật tự động hoá mà nhiều bộ môn TH mới ra đời và phát
triển cực kỳ nhanh chóng như thông tin học, lý thuyết các chương trình TH, lý
thuyết máy tự động, lý thuyết độ tin cậy, lý thuyết đại số về các sơ đồ liên lạc
về điều khiển,... Do sự phát minh ra máy tính điện tử thúc đẩy mạnh mẽ quá
trình tự động hoá nền sản xuất hiện đại, TH ngày càng mở rộng phạm vi ứng
dụng của nó. Để phục vụ cho máy tính điện tử có lý thuyết lập chương trình, lý
thuyết Angorit, giải tích số,... Gần đây do nhu cầu TT của sự phát triển khoa
học mà các ngành trung giao giữa TH và các khoa học khác như ngôn ngữ toán,
kinh tế toán, sinh vật toán ra đời, đánh dấu một xu hướng mới trong quan hệ
giữa TH và các khoa học khác.
Theo [1], toán học là một khoa học suy diễn, nó cũng như các khoa học
khác có nguồn gốc TT, lấy TT làm thước đo chân lí và là nơi bộc lộ sức mạnh
vốn có của nó. Các nhà TH I.I.Blekman và A.D.Muwskix cho rằng: “Loại bỏ
ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ
xương, không có tí thịt, dây thần kinh hoặc mạch máu nào”. Đánh giá tầm quan
trọng của TH đối với các hiện tượng vật lí, hiện tượng tự nhiên của môi trường
xung quanh, Herbert Fremont cho rằng: “Hãy tưởng tượng xem làm sao có thể
miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lí mà không có ngôn ngữ đặc trưng của
đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc thiên nhiên cũng như
các đồ vật do con người tạo ra mà không có những khái niệm hình học…”. Một

đặc trưng của TH là tính trừu tượng hóa cao độ, chính đặc điểm này đã khiến TH
đi vào mọi lĩnh vực của cuộc sống. Đồng thời, “càng trừu tượng càng có nhiều
khả năng ứng dụng cụ thể, làm cho TH ngày càng xâm nhập nhiều vào các lĩnh
vực hoạt động của con người, tạo nên xu thế “toán học hóa” của khoa học kĩ

9


thuật, công nghệ hiện đại, biến TH trở thành “nữ hoàng của các khoa học”. Toán
học không chỉ cung cấp những con số, những công thức, những hình học đặc biệt
quan trọng là nó cung cấp “phương pháp toán học” cho các ngành khoa học, thể
hiện qua việc mô hình hóa các lớp đối tượng mà nó nghiên cứu. Điều này đã làm
cho các ngành khoa học có sử dụng TH phát triển như vũ bão, đang dần từng
bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa học chính xác. Trong lịch sử phát
triển của các ngành khoa học tự nhiên, ta bắt gặp vô vàn các thành quả ghi nhận
sự đóng góp của TH. Chẳng hạn trong lĩnh vực Hóa học, người ta dùng toán để
xác định các chất tạo thành sau phản ứng hay tìm ra công thức hóa học của các
vật liệu nhân tạo. Không chỉ có lĩnh vực Khoa học tự nhiên, ngay cả trong lĩnh
vực Kinh tế - xã hội và tư duy con người, TH cũng xâm nhập vào và thể hiện
được vai trò quan trọng của nó. Ở lĩnh vực Kinh tế, tư tưởng tối ưu hóa đã được
con người toán học hóa và từ đó TH trở thành công cụ phục vụ cho quy hoạch
sản xuất, quản lí kinh tế mang lại lợi nhuận cao. Điển hình trong lĩnh vực này là
mô hình tăng trưởng kinh tế của Karl Marx, các mô hình tăng trưởng kinh tế của
trường phái Keynes… Càng xâm nhập sâu vào các lĩnh vực của cuộc sống, TH
càng sắc sảo làm thay đổi tư duy con người và trở thành công cụ nhận thức cho
mọi khoa học. Có thể cho thấy rằng toán học góp phần giúp cho con người
thấy được vũ trụ như là một toàn thể không thể tách rời. “Phát hiện ra cấu
trúc toán học chính là đi sâu một bước vào vào tính thống nhất của thế giới về
mặt quan hệ số lượng”.
Khó có thể mà kể hết được các vai trò của toán học trong các khoa học,

rõ ràng toán học là công cụ, là đòn bẩy của phát minh, luôn đồng hành với mọi
khoa học. Đúng như Kart Marx đã khẳng định: “Một khoa học chỉ đạt được sự
hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học” [1].
1.1.3. Hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế
Theo Hands Freudenthal, thuật ngữ “toán học hóa” xuất hiện trong các
cuộc thảo luận trước khi đưa vào văn bản chính thức. Tiên đề hóa, công thức

10


hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của thuật ngữ “toán học hóa”, trong đó tiên
đề hóa xuất hiện đầu tiên trong các ngữ cảnh của TH. Trong các công trình
khoa học, nhiều tác giả có đề cập đến vấn đề toán học hóa; tuy nhiên không giải
thích tường minh thuật ngữ này nhưng có một điểm chung mà họ đề cập đến là
xây

dựng

mô

hình

toán

cho

vấn

đề

đang

quan

tâm.

Theo

hpt//www.merriamwebster.com/dictionary, thuật ngữ “toán học hóa” được giải
nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to Mathematical
form). Mô hình là vật thay thế cho đối tượng nghiên cứu nên dạng toán học vừa
đề cập đến ở trên cũng có thể coi là mô hình toán học.
Bởi vậy, để thực hiện được hoạt động toán học hóa các vấn đề thực tế,
con người cần được trang bị phương pháp mô hình hóa.
1.1.4. Phương pháp mô hình hóa
Theo [1], phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà
con người dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
- Quan niệm về mô hình: Về mô hình, có nhiều quan niệm khác nhau,
có thể dẫn ra đây một vài ví dụ:
+ Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với hệ thống S các đặc
trưng nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo
những đặc trưng đó.
+ Mô hình là một “vật” hay “hệ thống vật” đóng vai trò đại diện hoặc
vật thay thế cho “vật” hay “hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu.
+ Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện
bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu…
Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật
gốc) mà ta quan tâm.
- Các đặc trưng của mô hình: Mô hình là vật đại diện, vật trung gian
cho sự nghiên cứu, nên mô hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của

vật gốc (tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình

11


phải đồng cấu hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật
gốc theo nghĩa: đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính
chất và những mối quan hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây
dựng những mô hình đơn giản hơn vật gốc. Iu.M.Xviregiev cho rằng: “Mô hình
có thể là thô thiển và chưa hoàn thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh
chính của thực tế, những khía cạnh mà chúng ta quan tâm tới”. Tuy nhiên,
không phải bao giờ mô hình cũng đơn giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát
triển, của khoa học kĩ thuật, con người sử dụng nhiều phương tiện hiện đại để
mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể phức tạp hơn vật gốc.
- Đứng về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó
ra đời nhờ quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong
quá trình trừu tượng hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất,
chỉ giữ lại những thuộc tính bản chất, hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu
đã được nghiên cứu đã được lí tưởng hóa. Bởi vậy mô hình mang tính lí tưởng,
tính chất này cho phép con người sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có
trong TT. Điều này đã làm cho phương pháp mô hình hóa có tính chất cách
mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình xây dựng mô hình là một quá trình
nhận thức khoa học tích cực.
- Quá trình mô hình hóa: có ba giai đoạn như sau:
+ Giai đoạn 1 là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật”
đại diện thông thường cần sự liên tưởng các vấn đề tương tự. Trong giai đoạn
này, vai trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng.
+ Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Trong giai đoạn này,
mô hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người áp dụng các phương
pháp lí thuyết và thực nghiệm khác nhau.

+ Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong
giai đoạn này, các kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng
nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
1.2. Về năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn của HS phổ thông

12


1.2.1. Khái niệm năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn
- Theo từ điển Tiếng Việt [14, Tr. 660-661], “năng lực” có hai nghĩa:
1. Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một
hoạt động nào đó.
2. Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người có khả năng hoàn thành
một loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Theo tâm lí học, năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá
nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định, nhằm
đảm bảo hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy [13]. Như vậy,
nghĩa thứ hai trong từ điển là tương tự với khái niệm về năng lực trong tâm lí học.
Trong luận văn sẽ quan niệm về năng lực như trong tâm lí học. Với nghĩa đó,
năng lực có thể được rèn luyện, bồi dưỡng, phát triển… (Với nghĩa thứ nhất trong
từ điển, năng lực nói chung là một yếu tố đã xác định, ổn định, như năng lực
chuyên chở của một đoàn xe, năng lực thông qua hàng hóa của một bến cảng…).
Cũng theo tâm lí học, để có một loại năng lực nào đó, phải có một loại hoạt
động. Vận dụng TH vào TT là một loại hoạt động riêng, phổ biến và cần thiết
trong đời sống. Vận dụng TH vào TT thực chất là sử dụng toán học làm công cụ
để giải quyết một tình huống thực tế; tức là dùng những công cụ toán học thích
hợp để tác động, nghiên cứu khách thể nhằm mục đích tìm một phần tử chưa biết
nào đó, dựa vào một số phần tử cho trước trong khách thể hay để biến đổi, sắp
xếp những yếu tố trong khách thể, nhằm đạt mục đích đã đề ra [13].
Hoạt động vận dụng TH vào TT có thể được xem xét dưới hai cấp độ: ở cấp

độ chuyên sâu, có thể hiểu đó là hoạt động nghề nghiệp của một số ít người - các
chuyên gia về toán ứng dụng; ở cấp độ phổ biến, có thể coi đây là hoạt động của
mọi người có văn vốn hóa phổ thông.
Năng lực vận dụng TH vào TT được phản ánh, biểu hiện qua khả năng
thực hiện các hoạt động vận dụng TH vào TT và có thể rèn luyện được nhờ sự
bền bỉ trong hoạt động của người làm toán. Việc xem xét cấu trúc năng lực vận
dụng TH vào TT là một vấn đề phức tạp và không phải là vấn đề chính được xét
13


tới trong luận văn. Tuy nhiên, để thấy được một số biểu hiện của người có khả
năng vận dụng TH vào TT, tác giả Bùi Huy Ngọc trong [13] đã chỉ ra 6 thành tố
trong cấu trúc năng lực vận dụng TH vào TT sẽ được trình bày ở mục 1.2.3.
1.2.2. Bồi dưỡng năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho học sinh THPT
Tâm lý học cũng xác định rằng năng lực của một cá nhân chỉ có thể phát
triển thông qua hoạt động của cá nhân đó. Đồng thời, ngoài việc phụ thuộc vào
tư chất và điều kiện xã hội, lịch sử; sự phát triển của năng lực sẽ phụ thuộc vào
tri thức, kỹ năng, vào xu hướng, hứng thú, vào phẩm chất tính cách, thái độ của
cá nhân phù hợp với lĩnh vực hoạt động đòi hỏi năng lực này.
Khi xét ở cấp độ phổ biến, năng lực vận dụng TH vào TT được xem như
là một thành tố của văn hóa toán học, vì khái niệm “Văn hóa toán học” có bao
gồm yếu tố “sử dụng TH để thích ứng một cách có văn hóa với các tình huống
(khi cần thiết) trong cuộc sống”. Đối với người lao động, hoạt động vận dụng
TH và TT, dù xét ở cấp độ phổ biến, vẫn là phức tạp vì luôn gắn liền, phụ thuộc
vào nghề nghiệp của mỗi cá nhân. Trong khi đó, đối với HS THPT, hoạt động
vận dụng TH vào TT lại tương đối thống nhất, chỉ là hoạt động học tập và các
hoạt động thông thường trong đời sống. Tuy nhiên, năng lực vận dụng TH vào
TT của mỗi người trong cuộc sống lao động sau này, đều được đặt nền móng từ
những yếu tố của năng lực vận dụng TH vào TT khi còn là HS.
Trong luận văn, năng lực vận dụng TH vào TT được xét là ở cấp độ phổ

biến, các kiến thức TH vận dụng chỉ là các kiến thức ở lớp 10, 11.
Từ những luận điểm trên, chúng ta đi đến nhận định là để nâng cao năng
lực vận dụng TH vào TT cho HS lớp 11 thông qua dạy học Đại số và Giải tích
thì cần phải tổ chức cho HS tập luyện vận dụng TH vào TT thông qua khai thác
những nội dung thực tế, những tình huống thực tế được đưa vào trong quá trình
dạy học. Trong những hoạt động kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng cho HS,
cần chú ý khai thác những tri thức, kĩ năng có liên quan đến hoạt động vận
dụng TH vào TT, thông qua đó cũng kết hợp xây dựng, bồi dưỡng cho HS
những xu hướng, hứng thú và hình thành, phát triển những phẩm chất tính
14


cách, thái độ có tác dụng tích cực đến hoạt động vận dụng TH vào TT. Các
hoạt động như vậy gọi chung là hoạt động rèn luyện vận dụng TH vào TT.
- Những căn cứ để xác định cấu trúc năng lực vận dụng TH vào TT:
+ Theo [1] cấu trúc của năng lực TH đã được nhiều tác giả nghiên cứu
xác định và có nhiều quan điểm khác nhau, Krutecxki V. A. trình bày cấu trúc
năng lực TH của HS vào quan điểm lí thuyết thông tin, theo đó năng lực TH
của HS gồm 4 thành phần là:
Năng lực thu nhận thông tin Toán học;
Năng lực chế biến thông tin TH;
Năng lực lưu trữ thông tin TH;
Thành phần tổng hợp khái quát: khuynh hướng TH của trí tuệ.
Mỗi thành phần này lại có thể gồm một số yếu tố chi tiết hơn (tất cả các
thành phần trên bao gồm 9 yếu tố).
+ Căn cứ để phân tích cấu trúc năng lực vận dụng TH vào TT. Để phân
tích cấu trúc của năng lực vận dụng TH và TT, chúng tôi chủ yếu dựa vào từ
hai căn cứ sau đây:
Căn cứ thứ nhất xuất phát từ hoạt động vận dụng TH vào TT trong quá
trình dạy học, cụ thể là từ các tình huống thực tế điển hình. Khi thực hiện vận

dụng TH vào TT để giải quyết các tình huống thực tế, nói chung đều dẫn đến
giải quyết những tình huống thực tế điển hình. Với mỗi loại tình huống điển
hình, khi giải quyết thường phải tiến hành một số loại hoạt động riêng. Để thực
hiện mỗi loại hoạt động như vậy, sẽ phải huy động một loại năng lực riêng,
nằm trong năng lực vận dụng TH và thực tế. Năng lực riêng này trở thành một
thành tố trong cấu trúc của năng lực vận dụng TH vào TT.
Căn cứ thứ hai chính là quan điểm lý thuyết thông tin như Krutacxki
V.A. đã sử dụng khi trình bày cấu trúc năng lực TH của HS. Theo Krutacxki
V.A.: “Năng lực TH được hiểu là những đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là
những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học

15