Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phương pháp dạy học chủ đề giới hạn và đạo hàm thể hiện qua sáh giáo khoa đại số và giải tích lớp 11

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh
---------o0o--------

Trần thị hà

nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phơng
pháp
dạy học chủ đề giới hạn và đạo hàm thể hiện
qua
sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 11

Chuyên ngành: Lý luận và phơng pháp dạy học bộ môn toán
MÃ số: 60.14.10

Luận văn thạc sỹ giáo dục học
Ngời hớng dẫn khoa học:
TS. Nguyễn Văn Thuận

Vinh, 2009


2
mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích là nội dung mới và khó đối với lớp học sinh lớp 11. Trớc đó học
sinh đà học nhiều năm về Đại số; nhng Giới hạn, Hàm số liên tục, Đạo hàm thì
các em mới đợc làm quen từ đầu.
T duy các vấn đề thuộc về Giải tích và kỹ thuật giải quyết các bài toán
Giải tích có phần khác với Đại số. Học sinh chuyển từ sự làm việc trên những
đối tợng hữu hạn sang những đối tợng vô hạn, đòi hỏi trí tởng tợng và t duy

trừu tợng phải phong phú và ở mức độ cao hơn.
Sự thay đổi chơng trình và sách giáo khoa môn Toán trong thời gian qua
đà tạo ra sự thiếu ổn định và gây nên những khó khăn cho giáo viên trực tiếp
giảng dạy trên lớp. Mặc dù đà có những đợt bồi dỡng thờng xuyên theo chu kỳ,
những đợt tập huấn về chơng trình mới, nhng thực ra vẫn cha đủ để làm cho
giáo viên có những cái nhìn sâu sắc về bản chất vấn đề, hình dung rõ những
điểm, lí do và mức độ thay đổi về chơng trình và nội dung sách giáo khoa. Bản
lĩnh, trình độ và t duy phê phán của giáo viên nhiều lúc cha thể giúp họ tự mình
vợt qua, tìm lời giải đáp thoả đáng đối với những chỗ còn phân vân, cấn cái.
Nhiều kiến thức đà thay đổi cách trình bày, nhng khi giảng dạy, giáo viên
vẫn cha kịp cập nhật theo chơng trình mới, vẫn có tình trạng cũ, mới xen kẽ.
Đổi mới phơng pháp dạy học theo hớng hoạt động hoá ngời học cần đợc
tiến hành triển khai trong quá trình dạy về Giới hạn và Đạo hàm ở lớp 11 nhằm
nâng cao khả năng lĩnh hội kiến thức một cách vững vàng, chủ động cho học
sinh.
Giới hạn và Đạo hàm là hai trong số những chủ đề của Giải tích ở trờng
phổ thông. Mặc dầu có nhiều sự thay đổi về nội dung và chơng trình, đòi hỏi có
những đối chiếu và so sánh; phân tích và bình luận; đề xuất và kiến nghị một số
vấn đề về nội dung và phơng pháp dạy các chủ đề này, nhng đến nay cha có
công trình nào nghiên cứu đầy đủ vấn đề đó.


3
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn
là: Nghiên cứu một số vấn đề về nội dung, phơng pháp dạy học chủ đề Giới
hạn và Đạo hàm thể hiện qua sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để tìm hiểu, làm sáng tỏ một số thay đổi và điều chỉnh trong
cách trình bày kiến thức thuộc chủ đề Giới hạn và phần mở đầu Đạo hàm ở các
SGK Đại số và Giải tích 11 những năm gần đây và hiện tại. Từ đó, đa ra những

đánh giá và nhận định về những thuận lợi và khó khăn trong việc dạy các kiến
thức này, và trên cơ sở đó, đề xuất những cải tiến về nội dung và phơng pháp
dạy học một cách phù hợp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu; phân tích; so sánh, đối chiếu nội dung chủ đề Giới hạn và phần
mở đầu Đạo hàm trong các sách giáo khoa Toán những năm gần đây, nắm bắt
quan điểm và dụng ý của tác giả, để:
- Làm sáng tỏ mức độ chính xác, tính trong sáng của ngôn ngữ diễn đạt; tính
vừa sức, tính s phạm, tính hệ thống của cách trình bày.
- Thể hiện những nhận định và bình luận trên cơ sở quan điểm của tác giả luận
văn; đề xuất hoặc kiến nghị những chỗ cần chỉnh lí hoặc hoàn thiện.
- Đề xuất một số vấn đề về phơng pháp dạy học vận dụng trong quá trình dạy
học các chủ đề này.
- Thực nghiệm s phạm nhằm kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của những
kiến nghị, đề xuất.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu tiến hành phân tích, so sánh, đối chiếu chủ đề Giới hạn và mở đầu về
Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán hiện hành và những năm gần đây, thì có
thể làm sáng tỏ một số điểm cần và có thể điều chỉnh, hoàn thiện về mặt nội
dung; đề xuất đợc những luận điểm phù hợp về phơng pháp dạy học nhằm góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học các chủ đề này ở trờng phổ thông.
5. Phơng pháp nghiên cứu


4
Các phơng pháp nghiên cứu đợc sử dụng bao gồm:
5.1. Nghiên cứu lý luận;
5.2. Tìm hiểu, điều tra thực tiễn;
5.3. Thử nghiệm s phạm;
6. Đóng góp của luận văn

6.1.Về mặt lý luận: Xây dựng và thực nghiệm các phơng thức s phạm
thích hợp trong dạy học về giải tích chủ đề giới hạn và phần mở đầu của đạo
hàm.
6.2.Về mặt thực tiễn: Có thể sử dụng luận văn để làm tài liệu tham khảo
cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trờng THPT.
7. Cấu trúc của luận văn:
Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chơng:
- Chơng 1: Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn và phần mở đầu chủ đề
Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán THPT
- Chơng 2: Một số vấn đề về phơng pháp dạy học nội dung chủ đề Giới
hạn và phần mở đầu Đạo hàm (Sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11)
- Chơng 3: Thử nghiệm s phạm

Chơng 1
Nghiên cứu nội dung chủ đề Giới hạn và phần mở đầu chủ đề
Đạo hàm trong sách giáo khoa Toán Trung häc phỉ th«ng


5
1.1. Chủ đề Giới hạn và mở đầu chủ đề Đạo hàm trong sách giáo
khoa Đại số và Giải tích 11 (ban Cơ bản) hiện hành:
1.1.1. Chủ đề Giới hạn:
Đây có thể xem là chủ đề cơ bản nhất và quan trọng của Giải tích vì Giải
tích đợc xây dựng trên cơ sở của Lý thuyết Giới hạn. Đây cũng là một trong
những chơng khó của Giải tích ở trờng THPT. Các khái niệm Giới hạn là mới và
trừu tợng (định nghĩa dÃy số có giới hạn 0, định nghĩa giới hạn của hàm số,
giới hạn vô cực của dÃy số và hàm số,). Cách tiếp cận các khái niệm mới này
cũng khác với cách tiếp cận toán học khác trớc đây.
Mục tiêu của chơng: chơng này cung cấp cho học sinh kiến thức cơ bản
về lý thuyết giới hạn.

Về kiến thức: Làm cho học sinh nắm đợc:
- Định nghĩa dÃy số có giới hạn 0;
- Định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn;
- Định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực;
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số;
- Các định lý và các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và giới hạn
một bên của dÃy số và hàm số;
- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn;
- Một số tính chất của hàm số liên tục;


6
Về kỹ năng:
- Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt các định lý và các quy tắc tìm giới hạn
của dÃy số và hàm số để từ một số giới hạn đà biết tìm đợc giới hạn của
những dÃy số và những hàm số khác.
- Biết tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
- Biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một
đoạn. Biết áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng
minh sự tồn tại nghiệm của một số phơng trình đơn giản.
Cấu tạo của chơng:
Chơng gồm hai phần, dự kiến đợc thùc hiƯn trong 20 tiÕt, ph©n phèi cơ
thĨ nh sau:
A. Giới hạn của dÃy số (6 tiết)
Đ1. DÃy số có giới hạn 0

(1 tiết)

Đ2. DÃy số có giới hạn hữu hạn

(2 tiết)

Đ3. DÃy số có giới hạn vô cực

(1 tiết)

Luyện tập

(2 tiết)

B. Giới hạn của hàm số. Hàm số liên tục (11 tiết)
Đ1. Định nghĩa và một số định lý về giới hạn của hàm số

(3 tiết)

Đ2. Giới hạn một bên

(1 tiết)

Luyện tập

(1 tiết)

Đ3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực

(1 tiết)

Đ4. Các dạng vô định

(1 tiết)

Luyện tập
Đ5. Hàm số liên tục

(1 tiết)
(2 tiết)

Luyện tập

(1 tiết)

Ôn tập và kiĨm tra ch¬ng

(3 tiÕt)


7
Cách sắp xếp các bài học và cách trình bày chơng này trong Đại số và
Giải tích 11 có nhiều điểm khác với các SGK và sách Chỉnh lý hợp nhất trớc
đây.
- Sách Chỉnh lí hợp nhất đà định nghĩa dÃy số có giới hạn (hữu hạn) mà
không định nghĩa dÃy số có giới hạn 0.
- Trong SGK này các tác giả đà dành một tiết cho khái niệm dÃy số có
giới hạn 0.
- Sách chỉnh lí đà đa số dơng nhỏ tuỳ ý và một số nguyên dơng N vào
trong định nghĩa dÃy số có giới hạn hữu hạn. Sau đó đà áp dụng định nghĩa đó
để chứng minh 3 kết quả:
lim

1

=0,
n

lim c = c và

lim

2n - 3
= 2.
n

- Trong SGK này các tác giả không đa ra các kí hiệu , N vì cho rằng
điều đó sẽ làm rắc rối cho học sinh.
Về dÃy số dần đến vô cực, sách Chỉnh lí hợp nhất năm 2000 đà giới
thiệu dÃy số có giới hạn + và -. Trong khi SGK míi chØ giíi thiƯu d·y sè cã
giíi hạn + và dÃy số có giới hạn - mà không đề cập đến dÃy số có giới hạn
. Vì sao có sự thay đổi này? Điều này sẽ đợc làm rõ trong Đ3. Đây là sự thay
đổi lớn trong cách trình bày của SGK mới.
- Sau khi định nghĩa dÃy số có giới hạn vô cực và hàm số có giới hạn vô
cực, các SGK trớc đây cũng nh sách chỉnh lý hợp nhất đà lu ý học sinh không đợc áp dụng các định lý về giới hạn của dÃy số và hàm số để tìm giới hạn vô cực
của dÃy số và hàm số. Tuy nhiên học sinh đà không đợc chỉ dẫn cách tìm giới
hạn vô cực. Trong sách chỉnh lý, sau Định lý: Nếu lim un= 0
*

) thì

lim

1
= .

un

Ngợc lại, nếu lim un= thì lim

1
= 0 ”,
un

(un ≠ 0, ∀ ∈ N
n

cã ®a ra mét vÝ dô:

2 1
+
n − 2n + 1
n 2 n3 =
lim 2
= lim
(vì tử số dần tới 1 và mÉu sè dÇn tíi 0).
2 1
3
2n − n + 3
− 2+ 3
n n
n
3

1−

8
Dựa vào đâu mà học sinh có kết luận trên? với cách trình bày nh trên
chắc là học sinh sẽ gặp khó khăn lúng túng khi giải bài tập tìm giới hạn vô cực.
Mục 3 của Đ3 và Đ6 chơng VI của SGK đà giới thiệu một vài quy tắc tìm
giới hạn vô cực của dÃy số và hàm số. Đó là cơ sở lý thuyết mà học sinh có thể
vận dụng để tìm giới hạn vô cực của dÃy số và hàm số. Đây là các điểm mới so
với các SGK và sách chỉnh lý hợp nhất trớc đây.
* Về định nghĩa Giới hạn của hàm số:
Sách Chỉnh lý hợp nhất năm 2000 đà giới thiệu định nghĩa giới hạn của
hàm số tại một điểm, định nghĩa hàm số có giới hạn vô cực và định nghĩa giới
hạn của hàm số tại vô cực rải rác ở các trang 117, 118, 121, 123 xen kẽ với các
định lý về giới hạn hữu hạn. Cách trình bày này có phần tản mạn, thiếu tập
trung. Ta biết rằng có hai định nghĩa giới hạn của hàm số: định nghĩa Côsi và
định nghĩa Hainơ, hai định nghĩa này là tơng đơng. Các định nghĩa trong SGK
và sách chỉnh lý hợp nhất cũng nh SGK này đều đợc cho dới dạng Hainơ. Trong
chơng trình mới điều này là bắt buộc. Nếu các định nghĩa giới hạn của hàm số
cho dới dạng Côsi thì cách trình bày trong sách chỉnh lý hợp nhất là có thể chấp
nhận đợc. Song dới dạng Hainơ, giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực và
giới hạn vô cực của hàm số đều đợc định nghĩa thông qua giới hạn của dÃy số.
Các định nghĩa đợc xây dựng hoàn toàn tơng tự. Vì vậy SGK này chỉ nêu một
vài định nghĩa các trờng hợp còn lại đợc giao cho học sinh tự xây dựng và phát
biểu.
Cách trình bày này không những tiết kiệm đợc thời gian và tránh đợc sự
nhàm chán khi phải nhắc đi nhắc lại các định nghĩa đợc xây dựng theo cùng
một cách trong các tiết học khác nhau mà còn hợp lí vì rằng các định lí về giới
hạn của hàm số đúng cho cả trờng hợp giới hạn tại một điểm lẫn giới hạn vô cực
của hàm số(và đúng cho cả trờng hợp giới hạn một bên của hàm số).
* Về các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn:
Khi đề cập đến các tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn, hầu hết

các SGK Toán ở cấp THPT đều giới thiệu định lý Bônxanô - Côsi (Bolzano Cauchy), tức là định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục. Một số ít SGK


9
còn giới thiệu thêm một định lí quan trọng nữa, đó là định lí Vâyơxtrát
(Weierstrass):
Nếu hàm số liên tục trên đoạn [a; b] thì:
a.

Hàm số bị chặn trên [a; b]

b.

Hàm số đạt đợc giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn này.

Sách Chỉnh lí hợp nhất đà giới thiệu cả hai định lí, đà nêu và gộp chúng
trong Định lí 3 (trang 135). Đây là lần đầu học sinh làm quen với hai định lí
quan trọng này. Nên phát biĨu chóng riªng rÏ, nh vËy häc sinh dƠ tiÕp thu hơn.
Hệ quả của định lí 3 ở trang 136 của sách Chỉnh lí hợp nhất thật ra chỉ là hệ quả
của Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục.
SGK này đà không đề cập đến định lí Vâyơxtrát, lí do đơn giản: các hàm
số liên tục hay gặp thờng có đạo hàm trên một khoảng, có thể trừ ra một số hữu
hạn điểm. Lập bảng biến thiên của hàm số trên một khoảng hay đoạn đợc xét,
có thể tìm đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số trên
khoảng hoặc đoạn đó.
1.1.2. Chủ đề Đạo hàm
Đạo hàm là một trong những khái niệm quan trọng nhất của Giải tích.
Nó là công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số. Nhờ khái niệm
đạo hàm, ta có thể nghiên cứu: tính đơn điệu của hàm số, vấn đề cực trị của hàm
số, các khoảng lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị hàm số, điều này giúp ích rất

nhiều cho việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Đạo hàm cũng là một công cụ hữu
hiệu để giải quyết một số bài toán quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học (Cơ
học, Điện học, Hoá học, ).
Mục tiêu của chơng:
Về kiến thức:
- Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm;
- Nhớ các công thức và các quy tắc tính đạo hàm;
- Nắm đợc định nghĩa vi phân, công thức tính gần đúng nhờ vi ph©n;


10
- Hiểu đợc định nghĩa đạo hàm cấp cao và ứng dụng trong cơ học của đạo
hàm cấp hai.
Về kĩ năng: Học sinh cần đạt đợc các yêu cầu sau
- Tính đợc đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa đối với một
số hàm số đơn giản;
- Vận dụng tốt các quy tắc tính đạo hàm của tổng hiệu tích thơng các hàm
số và cách tính đạo hàm của hàm số hợp;
- Biết cách tính đạo hàm cấp cao của một số hàm thờng gặp;
- Biết các ứng dụng của đạo hàm và vi phân để giải một số bài toán về tiếp
tuyến, vận tốc,
Cấu tạo của chơng: Gồm 5 bài, dự kiến thực hiện trong 16 tiết, cụ thể:
Đ1. Khái niệm đạo hàm

(3 tiết)

Luyện tập

(1 tiết)

Đ2. Các quy tắc tính đạo hàm
Luyện tập
Đ3. Đạo hàm của các hàm số lợng giác
Luyện tập

(3 tiết)
(1 tiết)
(2 tiết)
(1 tiết)

Đ4. Vi phân

(1 tiết)

Đ5. Đạo hàm cấp cao

(1 tiết)

Luyện tập
Ôn tập và kiểm tra chơng

(1 tiết)
(2 tiết)

* Những điểm mới về cấu trúc và thời lợng:
Trong chơng trình, SGK Chỉnh lí hợp nhất năm 2000, nội dung phần
Giải tích liên quan đến khái niệm Đạo hàm đợc dành 46 tiết và đợc phân bố vào
2 chơng đầu của lớp 12:
Chơng I: Đạo hàm (20 tiết)

11
Chơng II: ứng dụng của đạo hàm (26 tiết)
Trong chơng trình đổi mới này, nội dung trên của SGK nâng cao đợc chia
thành 3 mảng nội dung và đợc phân bố vào 2 năm học: Đạo hàm (cuối lớp 11,
tiếp nối ngay với chơng giới hạn trớc đó), ứng dụng của đạo hàm đầu lớp 12 và
công thức tìm đạo hàm của các hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số luỹ thừa
(xen kẽ vào nội dung của chơng tiếp theo ở lớp 12).
Đạo hàm trình bày ở chơng V- Chơng cuối của năm học lớp 11. Điều đó
có những u điểm cơ bản sau:
- Tiếp nối ngay đợc chơng Giới hạn (chơng IV) đà học trớc đó nên vận
dụng đợc dễ dàng các định lí, tính chất vừa học của chơng Giới hạn.
- Không gây căng thẳng cho học sinh phải học liên tục học dồn dập nhiều
giờ vào một vấn đề.
- Đáp ứng kịp thời những kiến thức cần thiết phục vụ cho việc học tập tốt
các môn học khác nh: Vật lí, Hoá học, Sinh học,...
Thời gian dành cho chơng Đạo hàm chỉ có 16 tiết, giảm 4 tiết so với SGK
chỉnh lí hợp nhất năm 2000. Nhng bù lại, chơng này cha đề cập đến các công
thức tính đạo hàm của hàm số mũ, hàm số Lôgarít và hàm số Luỹ thừa (đà đợc
chuyển lên lớp 12). Để tăng tính khả thi của sách, các tác giả đà cải tiến cách
trình bày, rút gọn cách xây dựng một số khái niệm, tăng thời gian luyện tập,
giảm thời lợng giảng bài lí thuyết nhng vẫn đảm bảo bám sát chơng trình và
chuẩn kiến thức đà đợc quy định.
Về mục câu hỏi và bài tập sau mỗi bài, SGK đà cố gắng cải tiến theo hớng:
Bớt những bài tập phải tính toán cồng kềnh, những bài tập áp dụng quy
tắc tính đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung gian, những bài tập
tính Đạo hàm của các hàm số cho bởi nhiều biểu thức Giải tích...
- Đa dạng hoá các bài tập: cụ thể có nhiều câu hỏi và bài tập có hình ảnh
hình học, nhiều bài tập ôn tập đợc những kiến thức mà học sinh đà học ở lớp 10
và đầu lớp 11 nhiều bài tập áp dụng thực tế.

12
* Những điểm mới về nội dung:
Để thực hiện những định hớng về đổi mới nội dung và PPDH môn Toán
theo tinh thần phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh SGK Đại số và Giải
tích lớp 11 nâng cao đà có những thay đổi sau:
- Đổi mới phơng pháp trình bày một số khái niệm nh: thay đổi định nghĩa
tiếp tuyến, định nghĩa hàm số hợp,...
- Giảm một số kiến thức khó nh: Đạo hàm một phía, đạo hàm trên đoạn,
quan hệ giữa đạo hàm và liên tục,.... Bớt chứng minh một số định lí.
- Tăng cờng luyện tập tại lớp, thêm một số bài tập về nhà (nhng các bài
tập này thờng là dễ) bỏ hẳn những bài toán phức tạp hoặc những bài toán khó.
Chẳng hạn: Bớt đi những bài toàn tính theo định nghĩa Đạo hàm của hàm số cho
bởi hai hay nhiều biểu thức, đạo hàm của hàm số hợp qua nhiều hàm số trung
gian...
- Thêm một số bài toán ứng dụng thực tế, bài toán có hình ảnh hình học,
bài toán tổng hợp (mà không khó) ôn tập đợc nhiều kiến thức đà học ở lớp 10 và
lớp 11
Ví dụ: Đ3. Đạo hàm của các hàm số lợng giác
Trớc khi phát biểu Định lí 1, nên yêu cầu học sinh xem (mà không tính
toán) bảng giá trị của
nhỏ thì

sin x
x

sin x
x

ở trong SGK để đi đến nhận xét: với x (dơng) càng

càng gần với 1. Trong khuôn khổ của chơng trình, Định lí này

không đợc chứng minh. Tuy nhiên, đối với các học sinh giỏi, nhất là đối với các
học sinh chuyên toán, giáo viên cũng có thể hớng dẫn cho học sinh chứng minh
định lí này, nhng trớc đó, học sinh phải đợc trang bị Định lí kẹp sau đây:
Định lí: Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x0; các hàm số g1, f và g2
cùng xác định trên D = (a; b)\{x0} sao cho g1(x) ≤ f(x) ≤ g2(x) víi mäi x
thc D. Khi ®ã, nÕu xlim g1 ( x) = xlim g 2 ( x) = L (víi L∈ R) th× xlim f ( x = L) .
x
x
x
0

0

Trong ví dụ minh hoạ cho định lí 1, ta cã kÕt qu¶ sau:

0


13
sin 2 x
sin 2 x
= 2 lim
= 2.
x →0
x →0
x

2x

lim

§ã chỉ là một trờng hợp riêng của định lí: Nếu hàm số u = u(x) thoả
sin u ( x )
lim
lim
=1
mÃn các điều kiện: u(x) 0 với mọi x x0 và x x u ( x) = 0 thì xx
0

0

u ( x)

.
Tất nhiên định lí trên vẫn đúng với u(x) 0 với mọi x thuộc một
khoảng nào đó chứa x0 sao cho x x0. Tuy nhiên, để đơn giản ta chỉ đa ra các
ví dụ và bài tập với hàm số u = u(x) thoả mÃn điều kiƯn u(x) ≠ 0 víi mäi x ≠ x0.
Cã thĨ chứng minh phần b) của định lí 2 nh sau:
Hàm sè y = g(x) = sin(u(x)) cã thĨ xem lµ hàm số hợp của hàm số f(u) =
sinu và hàm sè trung gian u = u(x) chó ý r»ng f (u) = (sinu) = cosu
áp dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta đợc:

y = g(x) = f[u(x)].u(x) = [cos u(x)].u(x), chứng minh tơng tự cho phần b) của
các định lí 3, 4 và 5.
* Một số vấn đề lu ý khi dạy khái niệm Giới hạn vô cực
Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số tại một điểm, tại vô cực và
giới hạn vô cực của hàm số đều đợc định nghĩa thông qua Giới hạn của dÃy số,

nên khái niệm Giới hạn vô cực của dÃy số (ở đây coi vai trò của n là x tức:
lim f ( x) ) đợc xem nh là một trong những trờng hợp mở rộng khái niệm Giới

x +

hạn của hàm số, còn các trờng hợp mở rộng còn lại nh
x (- , a+, a-) hoàn toàn tơng tự, nên khi đà nắm vững bản chất về Giới hạn vô
cực của dÃy số, thì sẽ là bớc đệm để học tốt về Giới hạn vô cực của hàm số.
Chính vì vậy, khi dạy học về các khái niệm Giới hạn nói chung, khái niệm Giới
hạn vô cực của dÃy số nói riêng, ta quan tâm đến các vấn đề:
a. Khi dạy học về khái niệm Giới hạn của dÃy số
Ta phải định nghĩa phân biệt rõ ràng giới hạn dơng vô cực (+ ) và âm
vô cực (- ) chứ không định nghĩa giới hạn vô cực ( ) ở dạng chung chung:


14
+) ''DÃy số un đợc gọi là có giới hạn + khi n dần tới dơng vô cực nếu
với mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho: un > M, ∀ n > n0.
KÝ hiÖu: nlim un = + ''.
+
+) ''DÃy số un đợc gọi là có giới hạn - khi n dần tới dơng vô cực nếu
với mỗi số dơng M tồn tại số nguyên dơng n0 sao cho: un < - M, ∀ > n0,
n
KÝ hiÖu: nlim (un ) = - ''.
+
+) Hoặc để đơn giản và làm rõ mối quan hệ giữa hai khái niệm ( ) ta
xem định nghĩa dÃy số un có giới hạn - thông qua + nh sau: ''DÃy số un
đợc gọi là có giới hạn - nếu nlim (-un ) = + ∞ ”.
→+∞
b. VỊ kÝ hiƯu: + ∞ , - có thể xem nh là Giới hạn cđa d·y sè

VÝ dơ: nlim
→+∞

10001000
n

= 0; nlim ( n −10001000 ) = + ∞ ; nlim
→+∞
→+∞

( − n)
10001000

=-

∞.
Qua vÝ dô nµy ta thÊy, víi ''mét sè thùc rÊt lín'' lµ nói đến một số cụ thể ở
trạng thái tĩnh tại, cố định''. Còn bản chất của + và - không phải là
những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của + tức là
khoảng (a, + ) và lân cận của - là khoảng (- ; a) với

a

R, do đó

không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng, nhng kết
quả giới hạn (nếu có) của dÃy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn (0, hằng số L
0) hoặc Giới hạn vô cực ( ), nên ta cã thĨ xem kÝ hiƯu + ∞ vµ - ∞ nh là
giới hạn của dÃy số. Thực ra, có thể định nghĩa đợc các giới hạn vô cực + và
- , nhng định nghĩa này khác hẳn về bản chất so với định nghĩa của giới hạn

hữu hạn. Nh vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn lộn, giữa hai
khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việc biến đổi
các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lÇm trong kÝ hiƯu nh:
1
0

= ∞ ?; (+ ∞ ) - (+ ∞ ) = 0 ?; 0. ∞ = 0 ?...

c. Không phải mọi dÃy số đều có giới hạn hữu hạn hoặc vô cực ( )


15
VÝ dơ: D·y sè un = (-1)n kh«ng cã giíi hạn hữu hạn và giới hạn vô cực.
n 2
n
Ví dụ : XÐt nlim (( − 1) n ) vµ nlim q với q < 1 đều không tồn tại giới hạn
+
+

d. Khi tìm giới hạn của dÃy số:
Ta sẽ gặp một số trờng hợp đặc biệt, mà khi đó các qui tắc thông thờng và các
định lý về giới hạn hữu hạn không cho phép xác định đợc giới hạn của các dÃy số là có
hay không và nếu có thì bằng bao nhiêu đấy chính là các dạng vô định của dÃy số.
Ví dụ: Xét dạng vô ®Þnh

0
0

u 
: nlim  n  , víi nlim ( u n ) = nlim


→+∞ 
→+∞
→+∞
 vn 

cơ thĨ:
+) Víi:un=

1
1
1
1
mµ nlim ( 2 )= 0, nlim ( n ) =0,
2 ,vn=
→+∞
→+∞
n
n
n

u 
1
nhng: nlim  n  = xlim ( ) =0.
→+∞ 
vn  →+∞ n
 
1
1
+) Víi: un= n , vn = n , mµ nlim un = nlim vn = 0,

→+∞
− +
> ∞

u 
nhng nlim  n  = nlim 1 = 1.

→+∞ 
→+∞
 vn 
1

+)Víi: un = n , vn =

1
, mµ nlim un= 0, nlim vn= 0
→+∞
→+∞
n2

u 
nhng nlim  n  = nlim n = + ∞ .
 →+∞
→+∞ 
 vn 
1

+)Víi: un= n , vn = -

1

, mµ nlim un= nlim vn=0,
→+∞
→+∞
n2

 un
 vn

nhng nlim 
→+∞ 
+)Víi: un=

(−1) n
n


 = nlim (-n) =- ∞ .
 →+∞


, vn =

1
n

; nlim un = nlim vn=0,
→+∞
→+∞

u 

th× nlim n = nlim (-1)n không tồn tại.
+
+ 
 vn 

(v )
n

= 0,


16
0
0

Qua ví dụ này thì kết quả của dạng vô ®Þnh

cã thĨ b»ng: 0, h»ng sè L

≠ 0, hay ∞ , hoặc không tồn tại.
Vậy các trờng hợp tổng quát về dạng vô định (

0
0

;

; - ; 0. )

cụ thể:
* Dạng vô định (

* Dạng (

0
0

u
) lµ: nlim  n  , víi nlim ( u n ) = nlim (v n ) = 0.

→+∞ 
→+∞
→+∞
 vn 
 un
 vn

) lµ: nlim 
→+∞ 

∞
∞


 , víi nlim ( u n ) = nlim (v n ) = + ∞

→+∞

→+∞


hc nlim ( u n ) = nlim (v n ) = - ∞
→+∞
→+∞
* Víi ( ∞ - ∞ ) lµ: nlim ( un − vn ) ; nlim ( un ) = nlim
→+∞
→+∞
→+∞

(v ) = + ∞
n

hc nlim ( u n ) = nlim (v n ) = -
+
+
* Dạng (0. ) là: nlim ( u n .v n ) , víi nlim ( u n ) = 0
+
+
và nlim
+

(v ) = +
n

hoặc nlim
+

(v ) = -

n

Tơng ứng với từng dạng vô định này thì đà có từng loại phơng pháp để
giải, đợc trình bày rõ ở ví dụ và bài tập có trong SGK và các sách tham khảo.
e. Khi thực hiện các phép toán về giới hạn vô cực của dÃy số:
Lúc này không áp dụng đợc các định về giới hạn hữu hạn của dÃy số để tìm
giới hạn các dÃy số này, nhng SGK thì không hớng dẫn cách thực hiện các phép
toán về giới hạn vô cực, mà chỉ có định lý:
*
Nếu nlim un = 0, ( un 0, n N ) thì
+

Ngợc lại, nếu nlim un = ∞ th×
→ +∞

VÝ dơ: TÝnh

lim

n →+∞

lim

n →+∞

1
= ∞.
un

1

=0
un

2 7
−9− + 3
− 9n 3 − 2n + 7
n n = ∞ , ( ?!)
lim
= lim
n → +∞ 3n 2 − n + 3
n → +∞ 3
1 3
− +
n n 2 n3


17
(?) Có phải tử số dần tới 9 và mẫu số dần về 0, nên phân thức dần về ?
(?) Dựa vào đâu mà có kết luận nh trên ?
Với cách trình bày nh trên chắc chắn học sinh sẽ gặp khó khăn và lúng
túng khi giải các bài toán liên quan đến tìm giới hạn vô cực của dÃy số.
Vì vậy, nên ta phải xét đến các định lý về mối liên hệ giữa: Giới hạn hữu
hạn (0; L 0) với giới hạn vô cực ( ). Chúng là cơ sở cho việc tìm giới hạn:
'' tổng, hiệu, tích, thơng '' của các dÃy số dạng này.
* Cụ thể các định lý đó là:

Định lý 1: NÕu

 lim un = + ∞ , (− ∞ )
n→ + ∞


 vn ≥ un , ( ≤ un ) ; ∀ n > n0 , (n0 ∈ N )

Định lý 2: Nếu

lim un = + , (− ∞ )
n→ + ∞

 (vn ) ≥ L, (≤ L); L ∈ N

th×

lim vn = + ∞ , (- ∞ ).

th×

n →+∞

lim (un+vn) = + ∞ , (-

∞

lim (un.vn) = + ∞ , (-

∞

n →+∞

).

 lim un = +
n +
Định lý 3: Nếu
v > 0, (v < 0)
lim vn = 

 n → +∞  + ∞ , (− ∞ )

th×

 lim un = −
n +
Định lý 4: Nếu
v > 0, (v < 0)
 nlim∞ vn = 
→+
 + ∞ , ( )


thì

n +

).

Định lý 5:

lim un = ∞

n →+∞

⇔

lim

n →+∞

1
un

lim (un.vn) = - ∞ , (+ ∞ ).

n →+∞

= 0±.


18


u > 0
nlim un =
+
u < 0

Định lý 6: NÕu 
+
 lim v =  0 ; vn > 0, ∀ n ∈ N
 n → +∞ n  0− ; v < 0, ∀ n ∈ N

n



lim un = u
n +
Định lý 7: NÕu 
th×
 nlim∞ vn = ± ∞
→+

th×

 
lim  un  = ± ∞ .
v 
 n

n →+∞

 
lim  un  = 0 ±
v 
 n

n →+∞

(Theo qui t¾c tích dấu định lý 6).
* Trên cơ sở đó, ta xây dựng qui tắc về các phép toán giới hạn vô cực
dÃy số.

* Qui tắc 1: Sử dụng với phép to¸n:
lim ( un + vn ) = lim ( u n ) + lim (v n ) .
n →+∞
n →+∞

n +

Kết quả đợc thể hiện ở bảng 1 nh sau:
-

0

L 0

-

(un )

-

-

+

lim ( u n )

n +

-

(-)
(vô định)

0

-

L' 0

-

+

L 0

+

L' 0

L + L'

+

+

+

+

0

(-)
(vô định)

* Qui tắc 2: Sử dơng víi phÐp to¸n:
lim ( u n − v n ) = lim ( u n ) - lim (v n ) .
n +
n +

n +

Kết quả đợc thể hiện ë b¶ng 2 nh sau:


19
-∞

lim ( u n )

n →+∞

+∞

0

L≠ 0

+∞

+∞

+∞

lim (v n )

n +

-

(-)
(vô định)

0

-

0

L 0

+

L' 0

-

- L' 0

L - L'

+

+

-

-

-

(-)
(vô định)

* Qui tắc 3: Sử dụng với phép toán:
lim

n +

( u n .v n ) =

lim ( u n ) . lim (v n ) .
n +

n +

Kết quả đợc thĨ hiƯn ë b¶ng 3 nh sau:
lim ( u n )

n +

L 0

-

0

-

+

(0. )
(vô định)

0

(0. )
(vô định)

0

L'<0

+

0

L'>0

-

lim (v n )
n +

L' 0
+

-

(0. )
(vô định)

L<0

L >0

+

-

-
(0. )
(vô định)

0
L. L'
-

+

+

-
+
+

lim u

n
u
n +
* Qui tắc 4 Sư dơng víi phÐp to¸n: nlim  n  = lim v

+
n
vn
n +

Kết quả đợc thể hiƯn ë b¶ng 4 nh sau:
-∞

0

L≠ 0

+∞


20
lim

n +

(un )
L<0

L>0

lim (v n )

n +

(vô
định)




-
0-

+

0+

-

L'< 0

+

L'> 0

0
L' 0

0

+

0
0

(vô định)

0

(vô định)




+

-

-

-

+

+

-

0

L
L'

(vô định)

0

0




-
+
(vô định)




Qua việc thiết lập 4 bảng này ta thấy, nếu chỉ xem giới hạn vô cực kiểu
chung chung là thì sẽ không có kết quả ở các dòng và cột chia nhỏ của 4
bảng trên (mỗi bảng gồm 5 cột và 5 dòng chính). Ngoài ra, ở bảng 4 và bảng
5 sẽ không có kết quả - và + mà chỉ là , đây cũng chính là những khó

khăn và sai lầm gây thắc mắc cho học sinh trong quá trình giải toán về tìm giới
hạn nói chung, giới hạn vô cực nói riêng, nhất là trong việc khảo sát hàm số.
1.2. Chủ đề Giới hạn, Đạo hàm trong chơng trình 11 Nâng cao và
chơng trình 11, 12 Chỉnh lí hợp nhất.
1.2.1. Trong SGK do Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên
Trớc hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chøc cho häc
sinh biĨu diƠn d·y sè vµ nhËn xÐt khoảng cách từ điểm

Un

đến tọa độ 0. Qua

thao tác s phạm, giáo viên hớng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên đợc mặt lôgic
của khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt ''trực giác
số'', ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều đợc đề cập nhằm hình thành ở học
sinh biểu tợng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dÃy số. Tuy nhiên, mặt ''suy
luận'' chỉ đợc đề cập có mức độ. Vậy muốn đi đến khái niệm Giới hạn 0, học
sinh lại cần hiểu đợc mệnh đề tổng quát '' U n nhá h¬n mét sè d¬ng bÊt kú, kể từ
một số hạng nào đó trở đi''. Sau đó thông báo rằng với đặc trng này dÃy ( U n ) đợc
gọi là có giới hạn 0 khi n → + ∞ .


21
Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ '' U n nhỏ hơn...'', chứ cha phải là ''
Un

nhỏ hơn...''. Tuy nhiên, với dÃy số này, học sinh có thể cã quan niÖm sai

lÖch r»ng: ''nÕu d·y ( U n ) có giới hạn là 0, thì

Un

phải là dÃy đơn điệu và dần tới 0

chỉ từ một phía, thậm chí ( U n ) phải dơng''. Nhng dÃy ( U n ) có thể là dÃy không
đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía. Mục
đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác khái niệm Giới hạn 0,
do đó mô tả đặc trng của dÃy số này trên cả hai phơng diện ''trực giác số'' và
''trực giác hình học''. Để khắc phục khuyết điểm này và cũng cố biểu tợng ban
đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dÃy đan dấu:
Ví dụ: Chứng minh d·y sè
XÐt: nlim un
→+∞

( −1) n
n →+∞
n

= lim

un =

= 0

( − 1) n
n

cã giíi h¹n 0

⇔ un − 0 =

(1)
n

=

1
n

< (nhng ở đây

không dùng kí hiệu này mà gọi là nhỏ hơn một số dơng bất kỳ", kể từ một số hạng
nào đó trở đi).
Đồng thời hợp thức hóa tính chất cơ bản của dÃy số đà cho là: ''Hơn nữa
ngời ta chứng minh đợc rằng

Un

có thể nhá h¬n mét sè d¬ng bÊt kú, kĨ tõ mét

sè hạng nào đó trở đi''. Cụm từ ''nhỏ hơn một số dơng bất kỳ, kể từ một số hạng
nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải cho cụ thể hai
giá trị số dơng là:
- Nếu số dơng là 0,1 tức

un =

- Với số dơng là 0, tức un

=

1
< 0,1 n > 100
n

thì từ số hạng thứ 101 trở đi;

1
< 0,01 n > 10000 thì
n

từ số hạng thứ 1001 trở đi.

Việc trình bày hỗn hợp ''trực giác - suy luận'' nh vậy cho phép đảm bảo
đợc cả tính s phạm và tính chặt chẽ toán học trong việc khẳng định tính chất cơ
bản của dÃy số đà cho. Giới hạn L 0 đợc định nghĩa qua khái niệm Giới hạn 0
và theo con đờng suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình bày ví
dụ củng cố).
Vấn đề là đa vào khái niệm Giới hạn qua mô tả mà không trình bày
định nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả đợc bản chất khái niệm, trªn tinh


22
thần đó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn + đợc đa vào theo
con đờng qui nạp. Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm đợc mô tả
nhờ vào các ghi nhận "trực giác số" và ''trực giác hình học" với suy luận. Còn
các khái niệm Giới hạn L 0 và Giới hạn - đợc định nghĩa qua các Giới hạn
0 và Giới hạn + .
Ngoài ra, SGK còn cho một số kết quả của giới hạn cơ bản đặc biệt, để
học sinh sử dụng kết quả đó làm cơ sở chứng minh những bài toán về giới hạn

(mà theo nh cách 2, của bớc 1 là đối với loại toán này ta không có cách giải, mà
chỉ có cách là công nhận các kết quả và định lý về giới hạn).
1.2.2. Trong SGK do Trần Văn Hạo và Ngô Thúc Lanh chủ biên năm
2000:
Đối với SGK Đại số và Giải tích 11, định nghĩa hàm số liên tục tại một
điểm tơng tự nh SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000.
''Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (c; b). Hàm số f(x) đợc gọi là liên
tục tại điểm a (c; b) nếu lim f(x) = f(a)''.
xa
Hàm số f(x) không liên tục tại điểm x = a thì gọi là gián đoạn tại điểm x
= a, tuy nhiên sau đó sách đà đa ra chú ý:
"Nh vậy một hàm số f(x) là liên tục tại ®iĨm x = a nÕu vµ chØ nÕu 3 ®iỊu kiện
sau đợc thỏa mÃn đồng thời:
i)

f(x) xác định tại x=a;

ii)

lim f(x) tồn tại;
xa

iii) lim f(x) = f(a).
xa
Một hàm số là gián đoạn tại x = a khi và chỉ khi một trong ba điều kiện
không đợc thỏa mÃn ".
Vậy lại có sự không thống nhất trong định nghĩa về các khái niệm liên
tục - gián đoạn của hàm số tại mét ®iĨm.

23
Qua phân tích trên ta thấy, có những quan điểm và sự không thống nhất
về các khái niệm chủ đề Giới hạn, do đó sẽ khó khăn cho học sinh trong hiểu
và nắm vững kiến thức, dẫn tới khó khăn và sai lầm trong ứng dụng vào bài tập.
1.2.3. Về mở rộng khái niệm giới hạn của dÃy số và hàm số
1.2.3.1. Một số vấn đề về giới hạn vô cùc cđa d·y sè
2
n
VÝ dơ: XÐt nlim n = +∞ vµ nlim q = +∞ víi q > 1.
→ +∞
→ +

Nhng còn các giới hạn dÃy số un = (( − 1) n n 2 ) vµ

vn = q n

víi q < - 1 không

có giới hạn, tức là:
n 2
n
Ví dơ: XÐt nlim (( − 1) n ) vµ nlim q với q < 1 đều không tồn tại.
+
+

Cũng có một số quan điểm coi rằng tơng tự nh số tự nhiên +7 và +8 đợc
viết cho gọn là 7 và 8 nên cũng có thể xem kí hiệu đợc dùng để chỉ + , nh
vậy việc dùng kí hiệu để chỉ đại lợng vô cùng lớn nh vậy có thể gây nhầm
lẫn.
1.2.3.2. Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số

+ Mở rộng khái niệm giới hạn của hàm số ra vô cực (f(x) ); giới
hạn tại vô cực (x ) để ứng dụng khảo sát nh tìm tiệm cận của hàm số.
Nh SGK Đại số và Giải tích 11 (Đoàn Quỳnh Tổng chủ biên) đà phân biệt các
giới hạn tại + và tại , cũng nh các giới hạn + và . Điều đó dẫn
đến những khác biệt ở Giải tích 12 (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000) khi xét
tiệm cận.
Chẳng hạn, khi xét tiệm cận ngang (SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000)
thờng chỉ phải tìm một giới hạn lim f ( x ) , nay ta ph¶i xÐt c¶ hai giới hạn xlim
x
x

+
0

f (x)

và xlim f ( x ) . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang nếu chỉ cần một trong hai
x

0

giới hạn đó là tồn tại và hữu hạn. Cụ thể, giả sử hai giới hạn đó lần lợt là y1 và
y2 thì khi
y1 y2, thì đồ thị hàm số sẽ có hai tiệm cËn ngang lµ y = y 1 vµ y =y2; còn
khi y1 = y2 đồ thị có một tiệm cận ngang y = y 1. Điều này cũng xảy ra t¬ng tù


24
đối với tiệm cận xiên. Cũng nh vậy, khi xét tiệm cận đứng, phải xét tất cả các
điểm x0 sao cho một trong các giới hạn xlim f ( x ) vµ xlim f ( x ) lµ + ∞ hoặc - .

x
x
+
0


0

+ Mở rộng khái niệm giới hạn một phía là giới hạn trái (x a-) và giới
hạn phải (x a+) là cơ sở để xét tính liên tục của hàm số. Vì vậy, cần phải xét
đến khái niệm giới hạn trái và phải của hàm số tại một điểm
Ví dụ: Tính:

lim x 1
x 1

Ta có tập xác định D = [1; + ). Nên x phải lấy các giá trị lớn hơn hoặc
bằng 1, rõ ràng x không thể dần đến 1 từ phía bên trái, tức xlim x 1 không có,
1


mà chØ cã xlim x − 1 = 0.
→1
+

a. Mèi quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn tại một điểm của hàm số:
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x→ a
x→ a
x→ a

VÝ dô: TÝnh:

1
x→ x
0

lim

Lúc này ta phải phân biệt ra: xlim
0



1
=x

và

lim
+

x 0

1
1
= + , vậy: lim
x x
0
x

giới hạn này không tồn tại. ở ví dụ này thì ta thấy:
+ Điểm a = 0 là điểm giáp ranh cho nên khi x 0 , tức là các dÃy xn
mang giá trị âm; còn khi x 0 + tức là các dÃy xn mang giá trị dơng;
+ Điểm a 0 các dÃy xn a, (a 0) thì ta thÊy r»ng dï cho x → a+ hay
x → a- thì các dÃy xn không đổi dấu.
Tóm lại, trong nhiều trờng hợp cần phân biệt: giới hạn hàm số khi x a
hoặc cả hai phía x a+ hay x a-.
b. Mối quan hệ giữa giới hạn một phía và giới hạn tại vô cực của hàm sè f(x):
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x a
x a
x a

Cái gốc: x a và f(x) L là hữu hạn nhng sau đó mở réng ra x → ± ∞


25
và f(x) , chẳng hạn: lim f ( x ) = L ⇔ xlim f ( x ) = xlim f ( x ) = L.
x→∞
→ −∞
→ +
Mở rộng nh vậy là cha hợp lý điều này không phản ánh đúng bản chất vì:
- ; + nằm ở hai cực có khoảng cách rất xa nhau, nhng mà trong khi đó a+;
a- chỉ là một sự gần gũi giữa hai phía tại một điểm của x a, thế thì chẳng lẽ
lại xem rằng lúc này - ; + lại là gần gũi nhau, không lẽ xem x a cũng
nh là x → ± a.
VÝ dô:

lim

x →∞

2
Ta cã: lim x + 1
x →∞

x +1

chung chung r»ng:

x 2 +1
x +1


1
1+

 lim x = 1
1  x→ + ∞ 1
1+
x 1+ 2

x
x =
= lim
nhng không thể nói giới hạn một cách

x
x 1

1
x  +   1 +

 x x   lim x = − 1
x→ − ∞
1
 − 1−
x

lim

x

x 2 +1
x +1

không tồn tại (!).

Hay nói tóm lại, kh«ng chÊp nhËn lim f ( x ) = L mà phải phân biệt ra rõ ràng
x
lim f ( x ) = L hc lim f ( x ) = L.
x +

x

Trong SGK năm 2000, nội dung phần Giải tích liên quan đến khái niệm
đạo hàm đợc giành 46 tiết và phân bố trong hai chơng đầu của lớp 12:

Chơng I: Đạo hàm

(20 tiết)

Chơng II: ứng dụng của đạo hàm

(26 tiết)