bài tập phương pháp phần tử hữu hạn

Assignment 4
Bài 1
Cho Hình 1. Dầm có độ cứng EI. Độ cứng của lò xo tại B và C lần lượt là EL/L3 và kEL/L3.
Yêu cầu (giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn):
a)
b)
c)

Xác định chuyển vị xoay tại B và C.
Xác định chuyển vị đứng tại điểm giữa các nhịp.
Vẽ biểu đồ mômen.

qL2

q

A

3

EI/L

P=kqL

B

L

kqL2

3

kEI/L

kq

C

D

L

L

Hình 1.

Bài 2
Cho Hình 2. Vẽ biểu đồ M bằng phương pháp PTHH (có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc).

q
P=kqL

I

I

kL
Hình 2.

L

2I


Bài 1: K = 4.6
 Rời rạc hóa phần tử:

 q3  3
 0 0
 q5  5
q  4
 0 0
q  6
q1    ; q2   4  ; q3   6 
 q3  3
 0 0
 q5  5
 0  0
q4  4
 q6  6
 Ma trận độ cứng:
0
0
3
4
12 6L

4L2
EI 
K


 1 L3 

dx

3

K 2

K 3

4

12 6L

4L2
EI 
 3
L 

dx

5

12 6L  0
6L 2L2  0
12 6L  3

4L2  4

5

12 6L  3
6L 2L2  4
12 6L  5

4L2  6

6

12 6L

4L2
EI
 3
L 

dx

6

0

0

12 6L  5
6L 2L2  6
12 6L  0

4L2  0

Ma trận độ cứng của lò xo:
0 3

K 4 

EI  1 1 0
,
L3  1 1  3

0 5

K 5 

4.6EI  1 1 0
L3  1 1  5


 Ma trận ghép nối:

3

4

 25 0

8L2
EI
K   3 
  L 


dx

5

6

12 6 L  3
6 L 2 L2  4
28.6 0  5

8L2  6

 Vecto tải:

0
0

0 
0



0
0
0

0 

P



 1 


2
2 
 0.5qL  3  0.5qL  3
qL2 /12  qL2  4 13qL2 /12  4

P2


 3  2.3qL2  3
2.3qL2



2
0.575qL2

 4 0.575qL  4

 
2 
2.3qL2

 5  2.3qL  5
0.575qL2  4.6qL2  6 4.025qL2  6

P3

 2.3qL2  5


2
23qL / 60  6


0

0


0

0

P

 14qL2 / 5  3


2
 61qL /120  4


2
 4.6qL
5
2


529qL /120 
6

0  0

0  3

P4  

0  0

0  5

P5  

 Giải hệ phương trình:  K  .q  P


qL4
q


0.0783
 3
EI

2
3
q

25
0

12
6
L
3
3


14qL / 5

  3
qL

q4  0.053




2
2 
2

8L 6 L 2 L  4 q4   61qL /120  4 
EI
EI
 3 
 
 

28.6 0  5 q5   4.6qL2  5 
L 
qL4
q  0.1826


8L2  6 q6  529qL2 /120  6  5
EI
dx

3
q  0.5056 qL
 6
EI
 Chuyển vị đứng tại giữa nhịp từng phần tử: x  L / 2

v   N q 



x2
x3
N

1

3

2
 0.5

1

2
3
L
L

x x2

N

x
(1

2
 )  0.125 L
 2
L L2

 N  
x2
x3

N 3  3 2  2 3  0.5

L
L

2
 N 4  x   x  x   0.125L

2

 L L 
 Trên đoạn AB

0

0

0
0


4
qL4

qL
 v1   N .q1   0.5 0.125L 0.5 0.125L  0.0783


0.0458

EI
EI  3


qL3 
 0.053



EI  4
 Trên đoạn BC

 v2   N  .q2


qL4  3

0.0783

EI 

qL3  4

0.053


qL4
EI
  0.5 0.125L 0.5 0.125L  
 0.0606
4
EI
0.1826 qL  5

EI 

3
 0.5056 qL 
6


EI 

 Trên đoạn CD

 v3   N q3


qL4  5

0.1826

EI 

qL3
qL3  6

  0.5 0.125L 0.5 0.125L   0.5056


0.1545

EI
EI 

0

0



0

0

 Vẽ M = Mp +M0

EI  6 L 4 L2 6 L 2 L2 
S   3 

L  6 L 2 L2 6 L 4 L2 
0

0

0
0


4
0.5758qL2 
EI  6 L 4 L2 6 L 2 L2  
qL
M


 q 1 L3  6L 2L2 6L 4L2  0.0783  3  0.6818qL2 
EI 





3 

qL
 0.053


EI  4


M 


qL4  3
 0.0783 EI 


qL3  4

0.053
2
EI  6 L 4 L2 6 L 2 L2  
EI    0.1734qL 
 3 





L  6 L 2 L2 6 L 4 L2  

1.2906qL2 
qL4 

5
0.1826

EI 

3
 0.5056 qL 
6

EI 

M 


qL3  5

0.1826

EI 

2
EI  6 L 4 L2 6 L 2 L2  
qL3  6  3.118qL 
 3 


0.5056




2
L  6 L 2 L2 6 L 4 L2  
EI 
2.1068qL 
0

0


0

0

q 2

q 3


k=4.6


ời rạc hó

tc u

t đầu

t cuối

α

c

s

c2

s2

cs

1

1

2

90

0

1

0

1

0

2

2

3

0

1

0

1

0

0

3

4

3

90

0

1

0

1

0

Phần tử

 Thi t lập

[K]2, [K]3 v K 

1,

0 0

0

4 0

12 0 6L 12

0 0
0

2
4L
6L

EI 
K 1  L3 
12



dx
4 0

K 2

0 6L  0
0 0  0
0 2L2  0

0 6L  4
0 0 0

4L2  6

6 7

0
0 0

12 6L

4L2
2EI 



(4.6L)3 


dx

6

0

0 0
0 12
0 6L
0 0
12

9
0 4
6L  0
2L2  6
EI
 
0  7 (4.6L)3
6L  0

4L2  9

4 0

6 7

0

9

0 0
0
0 4
0 0

24 12L 0 24 12L  0


8L2 0 12L 4L2  6


0
0
0 7


24 12L  0


8L2  9
dx


0 0

K 3

0

7 0

9

12 0 6L 12 0 6L  0

0 0
0 0 0  0

4L2 6L 0 2L2  0
EI 
 3

L 
12 0 6L  7

0 0 0


4L2  9
dx

h p nối K 

4

6

7

9

6L
0
0 4
12

2
0.082L 0 0.041L2  6
EI
K   3 
 
L 
12
6L  7


0.082L2  9
dx
 Thi t lập các

cto tải P

1, {P}2, {P}3, {P}n,

{P}1 = {P}3 = {0}

P2

0

4
 4.6qL 


2

0
2

 q  4.6L  

6
12


0

7
 4.6qL 


2

0
2

 q  4.6L  



12
9

0 0 0

Pn  0

4

0 0 4.6qL 0 0 0 0 0

h p nối P

 4.6qL  4

2
 q  4.6L   6


12
P  

0

7
 q 4.6L 2 

 
 

12
 9



0 6 7 0 9
T




K  q  P
 Giải phương trình:   e

6L
12

0.082L2
EI 
L3 

dx

 4.6qL 


0

0  q4   q  4.6L 2 
 
0 0.041L2  q6  

12
 

12
6L  q7  
0


0.082L2  q9   q  4.6L 2 



12



qL4
q


0.3088
 4
EI

qL3


q

1.3843
 6
EI

4
q  0.2924 qL
 7
EI

3
q  0.5848 qL
 9
EI

Phần tử (

có c = 0, s = 1

EI  6L 0 4L2
S1  L3 
2
 6L 0 2L

M   S .q
q 1

1

Phần tử (

S2


1

EI  6L 0 4L2

L3  6L 0 2L2

0




0




0

2 
2
4
6L 0 2L  
qL    0.9158qL 
 
 0.3088

2 
6L 0 4L2  
EI   3.6844qL 


0


qL3 

 1.3843 EI 

có c = 1, s = 0

2EI

(4.6L)3

0 6L 4L2

2
0 6L 2L

M   S .q
q 2

6L 0 2L2 

6L 0 4L2 

2

2



2L2 

0 6L 4L2 

0

6L

2EI 0 6L 4L2

(4.6L)3 0 6L
2L2


qL4 

0.3088


EI 

0




3 
 1.3843 qL 
2
2
0 6L 2L  
EI   0.0897qL 

 

2 
0 6L 4L2  
qL4   0.0088qL 
0.2924

EI 


0


3 

qL
 0.5848


EI 

Phần tử (

S3 

có c = 0, s = 1

EI  6L 0 4L2

L3  6L 0 2L2

Mq  S3 .q3 
3



6L 0 2L2 

6L 0 4L2 

EI  6L 0 4L2

L3  6L 0 2L2

iểu đồ mom n :

0





0




0

2 
2
6L 0 2L  
qL4    0.5848qL 
 
 0.2924
2
6L 0 4L2  
EI   0.5848qL 


0


qL3 

 0.5848 EI 