Ánh xạ và nội dụng dạy học ánh xạ ở phổ thông

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc1 of 141.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

La Thị Phượng

ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG DẠY HỌC
ÁNH XẠ Ở PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN:
Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2017

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc1 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc2 of 141.
1

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong Tổ đại số, các
thầy cô trong khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trường ĐHSP Hà Nội 2 và các bạn
sinh viên. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới cô ThS. Dương

Thị Luyến - Giảng viên khoa Toán người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá
trình hoàn thiện khóa luận này.
Do thời gian có hạn và năng lực bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Em xin kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và
các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng dụng
trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
La Thị Phượng

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc2 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc3 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

LỜI CAM ĐOAN
Em xin khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của em do bản
thân em đã nghiên cứu và hoàn thiện trên cơ sở những kiến thức đã đọc và đọc thêm
tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn và giúp đỡ của cô ThS. Dương Thị Luyến. Nó
không trùng lặp với kết quả của bất cứ người nào khác.
Hà Nội, ngày 04 tháng 04 năm 2017
Sinh viên
La Thị Phượng

i

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc3 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc4 of 141.

Mục lục

Lời mở đầu

1

1 NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ TẬP HỢP, ÁNH
XẠ
1.1

1.2

1.3

1.4

3
Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Các khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Một số tính chất thông thường . . . . . . . . .

4

1.1.4

Bản số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2

Đồ thị của ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.3

Hai ánh xạ bằng nhau. . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.4

Thu hẹp và mở rộng ánh xạ . . . . . . . . . . .

12

Ảnh và tạo ảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.2

Các tính chất cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . .

15

Các ánh xạ đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4.1

15

Đơn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ii

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc4 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc5 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.5

1.6

1.7

La Thị Phượng

1.4.2

Toàn ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4.3

Song ánh

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Tích các ánh xạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6.1

Định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.6.2

Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.6.3

Điều kiện có ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . .

22

1.6.4

Quy tắc tìm ánh xạ ngược. . . . . . . . . . . . .

23

Phép toán hai ngôi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.7.2

Các tính chất thường gặp ở phép toán hai ngôi

27

2 MỐI LIÊN HỆ GIỮA ÁNH XẠ VÀ NỘI DUNG TOÁN
Ở PHỔ THÔNG.

28

2.1

Ánh xạ trong toán tiểu học . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.1

Hình thành số tự nhiên . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2

So sánh hai số tự nhiên . . . . . . . . . . . . .

30

2.1.3

Biểu thức đại số . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Ánh xạ và nội dung dạy học Toán ở phổ thông. . . . .

34

2.2

2.2.1

Ánh xạ và nội dung dạy học hàm số ở phổ thông 34

2.2.2

Ánh xạ và nội dung dạy học dãy số ở phổ thông

2.2.3

Ánh xạ và nội dung dạy học đại số tổ hợp ở phổ

2.2.4

42

thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Các phép toán nhìn theo quan điểm ánh xạ. . .

54

iii

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc5 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc6 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

2.2.5

La Thị Phượng

Ánh xạ với nội dung dạy học đạo hàm của hàm
số, tích phân của hàm số . . . . . . . . . . . . .

2.2.6

56

Ánh xạ với nội dung dạy học phép biến hình ở
phổ thông. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tài liệu tham khảo

63

iv

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc6 of 141.

57


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc7 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Nhìn lại lịch sử toán học ta có thể thấy có nhiều tri thức toán phổ
thông chính là mô hình ( hình ảnh) của toán học cao cấp, toán học
hiện đại. Sự liên hệ đó thể hiện nhiều trong các chủ đề như: Lý thuyết
tập hợp, quan hệ, ánh xạ, ...Song do sự hạn chế về tri thức của học
sinh phổ thông nên việc trình bày của sách giáo khoa phổ thông có
nhiều khi phải tránh đi mối liên hệ đó. Điều này đã làm cho không ít
sinh viên khoa Toán ở các trường sư phạm khi tiếp xúc với toán cao
cấp đều cho rằng toán học cao cấp là một thế giới tách biệt với toán

học phổ thông mà họ từng học ở bậc phổ thông.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để giúp sinh viên khoa toán ở các
trường sư phạm khi học toán cao cấp có thể tự mình nhận ra mối
liên hệ giữa toán học cao cấp và môn toán ở trường phổ thông, giúp
họ những người giáo viên tương lai ở các trường phổ thông có thể tự
mình tìm thấy và khai thác khả năng vận dụng toán học cao cấp trong
giảng dạy sau này để từ đó nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ
cho họ. Điều này có ảnh hưởng như thế nào đến việc học tập của sinh
viên? Việc tìm lới đáp cho câu hỏi này thực sự rất cần thiết và cấp
bách cho việc cải tiến phương pháp dạy học toán ở đại học cũng như
là ở phổ thông.
Với ý tưởng trên, đề tài này quan tâm đặc biệt tới đối tượng “ánh
xạ và nội dung dạy học ánh xạ ở phổ thông”.Ánh xạ là một khái niệm
quan trọng, xuyên suốt trong chương trình học của các cấp từ tiểu
1

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc7 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc8 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

học, THPT cho đến đại học. . . do đó việc dạy học ánh xạ ở các trường
đại học có tầm quan trọng đặc biệt. Việc làm rõ được các mối liên
hệ toán phổ thông trong quá trình dạy học toán cao cấp ở đại học sẽ
giúp giáo viên nhận thức đúng đắn tinh thần, quan điểm, ngôn ngữ và
phương pháp của toán cao cấp trong việc dạy học toán ở phổ thông.
Với tất cả những lí do trên em xin chọn đề tài “ánh xạ và nội dung

dạy học ánh xạ ở phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung dạy học Toán ở
phổ thông.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
Nghiên cứu nội dung dạy học ánh xạ, chương trình toán ở phổ
thông, tìm mối liên hệ giữa ánh xạ với nội dung dạy học toán ở phổ
thông.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Ánh xạ, tập hợp, bộ SGK Toán 1,2,3,4,5, Đại số và giải tích lớp
10,11,12
5. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lí thuyết , hệ thống hóa va
khái quát hóa.
6. Bố cục của khóa luận.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung khóa luận gồm hai chương:
Chương 1: Những kiến thức cơ sở về tập hợp, ánh xạ.
Chương 2: Mối liên hệ giữa ánh xạ và nội dung Toán ở phổ thông.

2

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc8 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc9 of 141.

Chương 1
NHỮNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ
TẬP HỢP, ÁNH XẠ
1.1

1.1.1

Tập hợp
Các khái niệm

- Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa.Nó đồng
nghĩa với các cụm từ: Toàn thể, bộ phận, nhóm, họ,...
ví dụ:
Họ nghiệm của hệ phương trình
Tập nghiệm của hệ phương trình
- Để kí hiệu các tập hợp ta dùng các chữ in hoa: A, B, ..., C, ...X, Y, ..
- Quan hệ bao hàm: Cho hai tập A và B.
Nếu mọi phần tử của A đều là phần tử của B thì ta nói A là bộ phận
của B. Kí hiệu A ⊂ B, đọc là A được bao hàm trong B và viết ∀a ∈ A
thì a ∈ B.
- Quan hệ bằng nhau giữa các tập hợp. Cho hai tập A và B.
Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói A bằng B và viết A=B.
3

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc9 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc10 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.1.2

La Thị Phượng

Các phép toán trên tập hợp

1. Phép hợp
Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi tập hợp gồm những phần tử hoặc
thuộc A, hoặc thuộc B là hợp của hai tập A,B. Kí hiệu A ∪ B.
Như vậy A ∪ B = { x ∈ A hoặc x ∈ B}
2. Phép giao
Cho hai tập A và B. Ta gọi tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A,
vừa thuộc B là tập giao của hai tập A và B. Kí hiệu: A ∩ B
Như vậy A ∩ B = x|x ∈ A, x ∈ B
3. Phép toán hiệu.
Cho hai tập A và B, ta gọi tập gồm các phần tử thuộc A nhưng không
thuộc B là tập hiệu của A cho B. Kí hiệu: A \ B
Như vậy A \ B = x|x ∈ A, x ∈
/B
4. Tích đề các
Cho hai tập hợp A và B. Ta gọi tập hợp gồm các phần tử là một cặp
gồm hai thành phần, thành phần thứ nhất là phần tử của A,thành
phần thứ hai là phần tử của B là tích đề các của A với B. Kí hiệu:
A×B
Như vậy A × B = (a, b)|a ∈ A, b ∈ B
1.1.3

Một số tính chất thông thường

1. Giao hoán
A ∪ B = B ∪ A, A ∪ B = B ∪ A, A \ B = B \ A, A × B = B × A
2. Tính kết hợp
4

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc10 of 141.

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc11 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C), (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Phép toán hiệu và tích đề các không có tính chất kết hợp.
3. Luật phân phối
Các phép toán trên tập hợp đều có tính chất phân phối chẳng hạn
như:
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
4. Luật lũy đẳng
A ∩ A = A, A ∪ A = A
5. Luật đối ngẫu
Cho A, B ⊂ X, X \ A = A . Khi đó
(A ∩ B) = A ∪ B ; (A ∪ B) = A ∩ B
1.1.4

Bản số .

Định nghĩa: Khi các tập hợp A và B tương đương với nhau thì ta
nói rằng chúng có cùng một lực lượng hay cùng một bản số.
Mỗi tập hợp có một bản số, sao cho hai tập hợp tương đương có cùng
một bản số.
Bản số của tập hợp A kí hiệu là Card(A).
Vậy theo định nghĩa: Card(A) = Card(B) ⇔ A ∼ B

1.2

1.2.1

Ánh xạ
Định nghĩa và ví dụ

a) Định nghĩa
Cho hai tập hợp X và Y tùy ý khác rỗng. Một ánh xạ từ X đến Y là

5

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc11 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc12 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

một quy tắc f cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ X với một và chỉ một
phần tử y thuộc Y .
Ví dụ
X là tập hợp các lớp học của một trường đại, Y là tập hợp các cố vấn
học tập của trường đại học đó và f là một quy tắc đặt tương ứng mỗi
lớp với một cố vấn học tập lớp đó. Ta có ánh xạ f : X → Y .
Ta thường kí hiệu ánh xạ f như sau:
f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
X được gọi là tập xác định hay tập nguồn của ánh xạ f ,kí hiệu Df .
Y được gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ f , kí hiệu Rf .
x gọi là tạo ảnh (nghịch ảnh) của y qua ánh xạ f .

y gọi là ảnh của x qua ánh xạ f và viết y = f (x).
Từ định nghĩa ta thấy để quy tắc :
f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
là một ánh xạ thì phải thỏa mãn hai điều kiện sau:
Điều kiện 1: Quy tắc f xác định khắp nơi nghĩa là với mỗi x ∈ X
phải có ảnh y tương ứng thuộc Y hoặc với ∀x ∈ X thì y = f (x) ∈ Y .
Điều kiện 2: Quy tắc f đơn trị nghĩa là với mỗi x ∈ X chỉ có tương
ứng một phần tử duy nhất y thuộc Y hoặc với ∀x1 , x2 ∈ X sao cho
x1 = x2 thì f (x1 ) = f (x2 ).
Như vậy để xét xem một quy tắc có là ánh xạ hay không ta kiểm tra
xem nó có thỏa mãn hai điều kiện trên hay không?
- Hình ảnh sau đây không phải là ánh xạ vì quy tắc f không xác định
khắp nơi.
6

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc12 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc13 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

- Hình ảnh sau đây không phải là ánh xạ vì quy tắc f không đơn
trị.

b) Các ví dụ
Ví dụ 1. Giả sử X = {1, 2, 3} và Y = {a, b, c} Tương ứng
1→a

2→b
3→c
Xác định một ánh xạ từ X đến Y .




 1 2 3
Ngoài cách viết trên ta thường viết dưới dạng bảng như sau: 
.
a b c
7

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc13 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc14 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

Ví dụ 2 .Một hàm số xác định trên tập X ⊂ R là một ánh xạ từ
X đến R. Chẳng hạn:
Hàm số y = x + 5 là ánh xạ
f : R −→ R
x −→ y = x + 5
Là ánh xạ vì:
- Với mọi x ∈ R luôn tồn tại y = x + 5 ∈ R.
- Với mọi x1 , x2 ∈ X sao cho x1 = x2
thì x1 + 5 = x2 + 5 hay f (x1 ) = f (x2 ).

Ví dụ 3. Quy tắc:
f : X −→ Y = X
x −→ y = x
là một ánh xạ vì:
- Với mọi x ∈ X luôn tồn tại y = x ∈ Y
- Với mỗi y ∈ Y sẽ có tương ứng một phần tử x = y ∈ X
Ta gọi những ánh xạ đi từ tập X vào chính nó sao cho với mọi phần
tử x trong X ta có f (x) = x là ánh xạ đồng nhất và kí hiệu là 1X .
Ví dụ 4. Cho A ⊂ X, khi đó quy tắc :
f : A −→ X
a −→ y = a
là một ánh xạ vì:
- Với mọi a ∈ A luôn tồn tại y = a ∈ X (vì A ⊂ X )
- Với mọi a1 , a2 ∈ A sao cho a1 = a2 thì f (a1 ) = f (a2 )
Ánh xạ f như trên được gọi là ánh xạ bao hàm.
Ví dụ 5. Quy tắc:

8

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc14 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc15 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

f : R −→ R
1
x

không là ánh xạ vì với x = 0 thì quy tắc f không xác định.
x −→ y =

Ví dụ 6. Giả xử X = {1, 2, 3, 4} và Y = {a, b, c, d}. Các tương ứng
sau đây không phải là ánh xạ từ X đến Y .

1.2.2

Đồ thị của ánh xạ.

Định nghĩa.
Cho ánh xạ:

9

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc15 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc16 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
Khi đó ta gọi tập
Gf = {(x, f (x))|x ∈ X} ⊂ X × Y là đồ thị của ánh xạ f .
Từ định nghĩa ánh xạ suy ra : Với mọi x ∈ X tồn tại duy nhất
y ∈ Y để (x, y) ∈ Gf .
Ví dụ 1. Cho ánh xạ

f : R −→ R
x −→ x − 2
Đồ thị của f là tập hợp G = {(x − 2)|x ∈ R}. Khi biểu diễn G lên
mặt phẳng tọa độ oxy ta được đồ thị là một đường thẳng như hình vẽ

Ví dụ 2. Cho ánh xạ:
f : R −→ R
x −→ y = x2 − 4x + 4
Đồ thị của f là tập G = {(x, x2 − 4x + 4)|x ∈ R}. Khi biểu diễn G lên

10
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc16 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc17 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

mặt phẳng tọa độ oxy ta được một parabol như hình vẽ:

Ví dụ 3. Cho X = {a, b, c}, Y = {1, 2, 3}, f : X → Y là ánh
xạ xác định bởi f (a) = 1, f (b) = 2, f (c) = 3 thì đồ thị của f là
Gf = (a, 1), (b, 2), (c, 3).
1.2.3

Hai ánh xạ bằng nhau.

Định nghĩa.
Cho hai ánh xạ.

f : X −→ Y

và

g : X −→ Y

x −→ f (x)
x −→ g(x)
ta
 nói ánh xạ f bằng ánh xạ g nếu:

 X = X ,Y = Y
Kí hiệu f = g

 ∀x ∈ X, f (x) = g(x)
Ví dụ 1. Cho hai ánh xạ.

11
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc17 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc18 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

f : R −→ R
x −→ f (x) = x3 − 1
Khi đó ta có f = g

và

g : R −→ R
x −→ g(x) = (x − 1)(x2 − x + 1)

Ví dụ 2. Cho hai ánh xạ:
f : R −→ R

và

g : R −→ [0; +∞)

x −→ x2
x −→ x2
Khi đó hai ánh xạ f và g không bằng nhau vì chúng có tập đích
khác nhau.
Nhận xét. Hai ánh xạ f và g được gọi là bằng nhau nếu chúng có
cùng nguồn,cùng đích và cùng quy tắc đặt tương ứng (các xác định
ảnh).
1.2.4

Thu hẹp và mở rộng ánh xạ

Định nghĩa. Giả sử:
f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
là một ánh xạ và A là một bộ phận của X. Ta gọi ánh xạ
g : A −→ Y
x −→ g(x) = f (x)
Gọi là ánh xạ thu hẹp (hay ánh xạ cảm sinh) của f vào bộ phận

A, kí hiệu là g = f |A ,còn ánh xạ f gọi là một mở rộng của g trên tập
X.
Ví dụ: Cho các ánh xạ
f : R −→ R
x −→ f (x) = cos x

12
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc18 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc19 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

g :

π π
− ;
2 2

La Thị Phượng

−→ R
x −→ g(x) = cos x

h : R −→ [−1, 1]
x −→ h(x) = cos x
π π
−→ [−1, 1]
k : − ;
2 2

x −→ k(x) = cos x
Bốn ánh xạ này không bằng nhau vì các tập nguồn và các tập
π π
đích của chúng khác nhau. Chúng trùng nhau trên X = − ;
và
2 2
Y = [−1, 1]. Ta không đồng nhất chúng, nhưng kí hiệu giá trị chung
của chúng tại x là cosx
π π
g là thu hẹp của f vào − ;
2 2
π π
k là thu hẹp của h vào − ;
2 2
h được cảm sinh bởi f bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]
k được cảm sinh bởi g bằng cách thu hẹp đích vào [−1, 1]
Nhận xét: Cho ánh xạ :
f : X −→ Y
x −→ y = f (x)
Khi đó có duy nhất một ánh xạ thu hẹp của f trên A là ánh xạ:
g : A −→ Y
x −→ g(x) = f (x)
Song có rất nhiều mở rộng của f chẳng hạn như:
g : A ∪ {α} −→ Y a −→ f (a), α −→ b

13
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc19 of 141.

.

luan van thac si su pham,luan van ths giao duc20 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3
1.3.1

La Thị Phượng

Ảnh và tạo ảnh
Định nghĩa

Cho ánh xạ
f : X −→ Y

A ⊂ X, B ⊂ Y .

x −→ y = f (x)
Tập hợp f (A) = {y ∈ Y | tồn tại x ∈ A sao cho f (x) = y} được gọi
là ảnh của tập hợp A qua ánh xạ f .
- Nếu A = X thì f (A) = f (X) gọi là ảnh của ánh xạ f .
Tập hợp f −1 (B) = {x ∈ X|f (x) ∈ B} được gọi là tạo ảnh toàn phần
của tập hợp B qua ánh xạ f .
- Nếu B = Y thì f − 1(Y ) = X
- Nếu B = {b}, thì f − 1(B) = f − 1({b}) := f − 1(b) = x ∈ X|f (x) = b .
Tập hợp f (X) ⊂ Y gọi là ảnh của ánh xạ f , kí hiệu Imf .
Ví dụ.
1) Giả sử A =

(0, a)|a ∈ R

và f : R2 → R là ánh xạ f (x, y) =

y, ∀x, y ∈ R. Khi đó f (A) = a|∀a ∈ R hay f (A) = R.
2) Với f : R → R, f (x) = x2 , thì mỗi phần tử a ∈ A sẽ có phần tạo
ảnh tương ứng như sau:
- Nếu a < 0 thì f − 1(a) = φ
- Nếu a = 0 thì f − 1(0) = {0}
√ √
- Nếu a>0 thì f − 1(a) = − a, a

14
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc20 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc21 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.3.2

La Thị Phượng

Các tính chất cơ bản.

Cho ánh xạ f : X → Y . A, B là các tập hợp con của X; C, D là các
tập hợp con của Y . Khi đó :
A = ∅ ⇔ thì f (A) = ∅
A ⊂ B ⇒ f (A) ⊆ f (B)
f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B)
f (A ∪ B) = f (A) ∩ f (B)

f −1 (C ∪ D) = f −1 (C) ∪ f −1 (D)
f −1 (C ∩ D) = f −1 (C) ∩ f −1 (D)

1.4
1.4.1

Các ánh xạ đặc biệt.
Đơn ánh

Ánh xạ:
f : X −→ Y

được gọi là một đơn ánh nếu thỏa mãn:

x −→ y = f (x)
Với ∀x1 , x2 ∈ X : x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 )
Hoặc ∀x1 , x2 ∈ X : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
Một cách tương đương, ta có thể định nghĩa đơn ánh như sau:
Ánh xạ f là đơn ánh nếu mọi y = f (x) có không quá một tạo ảnh
x thuộc X, hay phương trình ẩn x: f (x) = y vô nghiệm hoặc có một
nghiệm duy nhất với mọi y thuộc Y
Hình ảnh dưới đây cho ta một đơn ánh

15
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc21 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc22 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

Hình ảnh dưới đây không là đơn ánh

Người ta gọi ánh xạ đơn ánh là ánh xạ một- một ( 1-1 ).
1.4.2

Toàn ánh

Ánh xạ:
f : X −→ Y

được gọi là toàn ánh nếu thỏa mãn:

x −→ y = f (x)
Mỗi y ∈ Y đều tồn tại ít nhất một phần tử x ∈ X sao cho y = f (x)
hay f (X) = Y
Một cách tương đương ta có định nghĩa toàn ánh như sau:
16
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc22 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc23 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

Ánh xạ f là toàn ánh nếu mọi y thuộc Y đều có ít nhất một tạo ảnh
x thuộc X hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có nghiệm với mọi y
thuộc Y .

Người ta còn gọi một toàn ánhf : X → Y là một ánh xạ từ X lên Y
Hình ảnh dưới đây cho ta một toàn ánh

Hình ảnh dưới đây không cho ta một toàn ánh

17
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc23 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc24 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

1.4.3

La Thị Phượng

Song ánh

Ánh xạ :
f : X −→ Y

được gọi là song ánh nếu f vừa là đơn ánh

x −→ y = f (x)
vừa là toàn ánh. Nói một cách khác
f : X −→ Y
là một song ánh nếu và chỉ nếu với mỗi y ∈ Y
x −→ y = f (x)
tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X để y = f (x).

Một cách tương đương ta có thể định nghĩa song ánh như sau:
Ánh xạ f là song ánh nếu mọi y thuộc Y có một và chỉ một tạo ảnh
x thuộc X, Hay phương trình ẩn x, f (x) = y luôn có một nghiệm duy
nhất với mọi y thuộc Y
Một ánh xạ song ánh gọi là ánh xạ một-một lên hay một đối một.
Hình ảnh dưới đây cho ta một song ánh

Hình ảnh dưới đây không là một song ánh

18
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc24 of 141.


luan van thac si su pham,luan van ths giao duc25 of 141.
Khóa luận tốt nghiệp Đại học

La Thị Phượng

Ví dụ Xét tính đơn ánh, toàn ánh, xong ánh của các ánh xạ sau:
1.

f : R −→ R
x −→ 2x + 1

2.

f : R −→ R
x −→ y = x2 − 5x + 4

Giải

1. ∀x1 , x2 ∈ R, x1 = x2 ⇒ 2x1 + 1 = 2x2 + 1 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ). Vậy f
là đơn ánh.
∀y ∈ R, ∃x =

y−1
2

để f (x) = y. Vậy f là toàn ánh.

Do đó f là song ánh.
2.Ta có f (1) = f (4) = 0. Vậy f không là đơn ánh
f − 1(−4) = φ. Vậy f không toàn ánh.
Nhận xét
1. Các hàm số bậc nhất y = ax + b, a = 0, vừa là đơn ánh vừa là toàn
ánh tức là song ánh.
2. Các hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c, a = 0 không là đơn ánh, không
là toàn ánh ( ta có thể thu hẹp ánh xạ để hàm số trở thành song ánh.)

19
luan van thac si su pham,luan van ths giao duc25 of 141.