Phương pháp lặp mann, phương pháp lặp krasnoselskịj và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ KIỀU TRANG

PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN, PHƯƠNG PHÁP
LẶP KRASNOSELSKIJ VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM
BẤT ĐỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ KIỀU TRANG

PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN, PHƯƠNG PHÁP
LẶP KRASNOSELSKIJ VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM
BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG
2. TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

Thái Nguyên - 2016

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




i

Mục lục
Lời cảm ơn

iii

Bảng ký hiệu

1

Mở đầu

2

Chương 1. Không gian Banach, không gian Hilbert và bài
toán điểm bất động
3
1.1

1.2

Không gian định chuẩn. Không gian Banach . . . . . . .
1.1.1 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . .

3
4

1.1.2

Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3 Ánh xạ J-đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . .
Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
9

1.2.1
1.2.2

1.3

Định nghĩa không gian Hilbert . . . . . . . . . . . 9
Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2

Nguyên lý ánh xạ co Banach . . . . . . . . . . . . 11

Chương 2. Phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp
lặp Mann tìm điểm bất động
2.1 Phương pháp lặp Krasnoselskij và Phương pháp lặp

14

Mann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1 Phương pháp lặp Picard . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2
2.1.3

Phương pháp lặp Krasnoselskij . . . . . . . . . . 18
Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . 21

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

ii

2.2

So sánh tốc độ hội tụ của lặp Krasnoselskij và Mann
trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Sự hội tụ với ánh xạ Lipschitz, giả co suy rộng . . 28
2.2.2

Ví dụ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

iii

Lời cảm ơn
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn
Bường và TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình,
người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn chỉ bảo rất tận tình, truyền
cho tác giả nhiều kiến thức và kinh nghiệm quý báu trong suốt quá
trình làm luận văn.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban
chủ nhiệm Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái
Nguyên, cùng các giảng viên tham gia giảng dạy cao học Toán của
trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học
tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A
(khóa 2014–2016) đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong
quá trình học tập, nghiên cứu.
Cuối cùng tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng
nghiệp đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu và hoàn thành luận văn.
Tác giả

Bùi Thị Kiều Trang

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

1

Bảng ký hiệu
R

tập số thực

H
X

không gian Hilbert thực
không gian Banach

X∗
C

không gian đối ngẫu của X
tập con đóng lồi của H

A
dom(A)

toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert
miền hữu hiệu của toán tử A

x, y

tích vô hướng của hai vectơ x và y

x
xn → x

chuẩn của vectơ x
xn hội tụ mạnh đến x

xn
I

xn hội tụ yếu đến x
ánh xạ đơn vị

x

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




2

Mở đầu
Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tối ưu,
bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân, . . . . Do đó, việc nghiên
cứu các phương pháp giải bài toán điểm bất động là vấn đề thời sự
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước và trên thế
giới. Bài toán tìm điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là

một tập con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là một ánh xạ.
Tìm phần tử x∗ ∈ C

sao cho T (x∗ ) = x∗ .

Có nhiều phương pháp để tìm điểm bất động của một ánh xạ như
phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp
lặp Mann, . . . . Các phương pháp này đều hội tụ tới điểm bất động của
một ánh xạ, nhưng tốc độ hội tụ là khác nhau. Việc so sánh tốc độ hội
tụ của các phương pháp này thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà
toán học như Babu [4], Berinde [5], Mawuli Adzoro [7].
Mục đích của luận văn là trình bày phương pháp lặp Krasnoselskij,
phương pháp lặp Mann, để tìm điểm bất động của lớp ánh xạ liên tục
Lipschitz trong không gian Hilbert, đồng thời so sánh tốc độ hội tụ
của các phương pháp.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương với nội dung
chính như sau: Chương 1 nhắc lại một số khái niệm về không gian định
chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert và một số tính chất.
Chương 2 trình bày về phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp
lặp Mann tìm điểm bất động của lớp ánh xạ liên tục Lipschitz trong
không gian Hilbert, đồng thời so sánh tốc độ hội tụ của các phương
pháp này trên các lớp ánh xạ liên tục Lipschitz trên cơ sở tổng hợp
các kết quả từ [6] và [7].

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

3

Chương 1

Không gian Banach, không gian
Hilbert và bài toán điểm bất động
Chương này trình bày các khái niệm về không gian định chuẩn,
không gian Banach, không gian Hilbert và bài toán điểm bất động. Cụ
thể, Mục 1.1 giới thiệu khái niệm về không gian định chuẩn, không gian
Banach, ánh xạ giả co trong không gian Banach, ánh xạ J-đơn điệu
và mối liên hệ giữa chúng. Mục 1.2 giới thiệu về không gian Hilbert
và toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Mục 1.3 trình bày khái
niệm về bài toán điểm bất động và nguyên lý ánh xạ co về sự tồn tại
điểm bất động của một ánh xạ. Các kiến thức của chương này được
tổng hợp từ các tài liệu [1], [2] và [3].

1.1

Không gian định chuẩn. Không gian Banach

Cho X là tập hợp. Ký hiệu 2X là một họ các tập con khác rỗng của
X. Cho T là một ánh xạ với miền xác định là D(T ) và miền giá trị là
R(T ).
Nhiều sự kiện quan trọng của giải tích thật ra chỉ dựa trên các tính
chất của khoảng cách, mà không liên quan gì tới những tính chất khác
của đường thẳng, mặt phẳng hoặc không gian ba chiều thông thường.
Vì vậy, muốn khảo sát bản chất các sự kiện đó, người ta đưa ra khái
niệm khoảng cách để đi tới khái niệm không gian mêtric, không gian
định chuẩn.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




4

1.1.1

Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là một không gian mêtric nếu
(a) Với mỗi cặp phần tử x, y của X đều xác định, theo một quy tắc
nào đó, một số thực d(x, y), gọi là khoảng cách giữa x và y;
(b) Quy tắc nói trên thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(d1 ) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y;
(d2 ) d(y, x) = d(x, y) với mọi x, y ∈ X;
(d3 ) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.
Hàm số d(x, y) gọi là mêtric của không gian.
Định nghĩa 1.1.2 Cho X là không gian tuyến tính trên R. Một chuẩn
trên X là một hàm giá trị thực
kiện sau thỏa mãn:

·

: X → [0, ∞) sao cho các điều

(n1 ) x ≥ 0 với mọi x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0;
(n2 ) kx = |k| x với mọi k ∈ R, x ∈ X;
(n3 ) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X.
Cặp (X, . ) được gọi là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.3 Cho X và Y là 2 không gian tuyến tính trên R.
Ánh xạ T : X → Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu
T (αx + βy) = αT (x) + βT (y)

(1.1)

với mọi x, y ∈ X, α, β ∈ R.
Đôi khi ta sử dụng toán tử tuyến tính hoặc phép biến đổi tuyến tính
thay cho ánh xạ tuyến tính. Điều kiện (1.1) trên tương đương với
T (x + y) = T (x) + T (y),
T (αx) = αT (x),

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

∀x, y ∈ X;

∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R.



(1.2)


5

Định nghĩa 1.1.4 Cho (X, . ) là một không gian định chuẩn trên
R. Ánh xạ T từ một tập lồi đóng Ω ⊂ X vào chính nó được gọi là một
ánh xạ co nếu tồn tại hằng số 0 ≤ q < 1 sao cho với mọi x, y ∈ Ω,
Tx − Ty ≤ q x − y .
Cho (X, . ) là một không gian định chuẩn trên R, T : X → X
là một ánh xạ. Ta nói x ∈ X là điểm bất động của ánh xạ T nếu
T (x) = x. Ký hiệu tập tất cả điểm bất động của T là Fix(T ) := {x ∈
X : T (x) = x}. Nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng tồn tại
một điểm bất động x∗ của ánh xạ T trên tập lồi đóng Ω của X và nó
là duy nhất, đồng thời dãy lặp xn+1 = T xn , n = 1, 2, . . . hội tụ mạnh
tới x∗ .
Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X →
X là ánh xạ co yếu nếu tồn tại hằng số δ ∈ (0, 1) và L ≥ 0 sao cho:
d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + Ld(y, T x),

∀x, y ∈ X.

(1.3)

Chú ý 1.1.6 Do tính đối xứng của khoảng cách, điều kiện co yếu (1.3)
bao gồm
d(T x, T y) ≤ δd(x, y) + Ld(x, T y),

∀x, y ∈ X.

(1.4)

Thật vậy, ta thay thế trong (1.3) tương ứng d(T x, T y) và d(x, y) bởi
d(T y, T x) và d(y, x), sau đó hoán đổi x và y. Do đó, để kiểm tra tính

co yếu của T cần kiểm tra cả (1.3) và (1.4).
Định nghĩa 1.1.7 Cho (X, d) là không gian mêtric. Ánh xạ T : X →
X gọi là:
(1) Liên tục Lipschitz (hoặc L-liên tục Lipschitz) nếu tồn tại hằng số
L > 0 sao cho
d(T x, T y) ≤ Ld(x, y) ∀x, y ∈ X;
(2) Không giãn nếu T là 1-liên tục Lipschitz;

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




6

(3) Phép đẳng cự nếu d(T x, T y) = d(x, y) với mọi x, y ∈ X.
1.1.2

Không gian Banach

Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy
đủ.
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn . . Ký hiệu X ∗ là
không gian đối ngẫu của X và giá trị của f ∈ X ∗ tại x ∈ X là x, f .
Cho {xn } là một dãy trong X. Ký hiệu sự hội tụ mạnh của {xn } đến
x ∈ X là xn → x và sự hội tụ yếu là xn
x.
Định nghĩa 1.1.9 Không gian Banach X được gọi là phản xạ, nếu

với mọi phần tử x∗∗ ∈ X ∗∗ , không gian liên hợp thứ hai của X, đều
tồn tại phần tử x ∈ X sao cho
x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ X ∗ .
Định lý 1.1.10 Cho X là không gian Banach. Khi đó, các khẳng định
sau là tương đương:
(i) X là không gian phản xạ.
(ii) Mọi dãy bị chặn trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.
Ví dụ 1.1.11 Các không gian vectơ định chuẩn hữu hạn chiều, không
gian Hilbert H, không gian lp , Lp [a, b], 1 < p < ∞ là các không gian
Banach phản xạ.
Ký hiệu U := {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của không gian
Banach X.
Định nghĩa 1.1.12 Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu
với mọi điểm x, y ∈ U , x = y ta có
(1 − λ)x + λy < 1 ∀λ ∈ (0, 1).
Ví dụ 1.1.13 Không gian X = Rn với chuẩn x
n

x

2

được xác định bởi

1/2

x2i

=

2

,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

i=1

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




7

là không gian lồi chặt. Không gian X = Rn , n ≥ 2 với chuẩn x

1

xác

định bởi
x

1

= |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |,

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn

không phải là không gian lồi chặt.
1.1.3

Ánh xạ J-đơn điệu
∗

Định nghĩa 1.1.14 Ánh xạ J : X → 2X xác định bởi
J(x) = f ∈ X ∗ : x, f = x . f , x = f

∀x ∈ X

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X.
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J có các tính chất sau.
(1) Nếu X là không gian lồi chặt, thì J là ánh xạ 1 − 1;
(2) Nếu X là không gian phản xạ, thì J là toàn ánh;
(3) J(λx) = λJ(x) với mọi λ > 0, J(−x) = −J(x) với mọi x = 0.
Định nghĩa 1.1.15 Cho X là không gian Banach. Ánh xạ T : X → X
được gọi là
(i) J-đơn điệu nếu với mỗi x, y ∈ D(T ) ⊂ X tồn tại j(x−y) ∈ J(x−y)
sao cho
T (x) − T (y), j(x − y) ≥ 0;
(ii) J-đơn điệu mạnh nếu tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
T (x) − T (y), j(x − y) ≥ k x − y 2 , k > 0 ∀x, y ∈ D(T ).
Định nghĩa 1.1.16 Cho X là không gian Banach. Ánh xạ T : X → X
được gọi là
(i) Giả co mạnh nếu tồn tại số k > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D(T ) ⊂ X
tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) thỏa mãn
(I − T )(x) − (I − T )(y), j(x − y) ≥ k x − y 2 ;

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




8

(ii) Giả co nếu với mọi x, y ∈ D(T ) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho
(I − T )(x) − (I − T )(y), j(x − y) ≥ 0,
ở đây J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach X.
Chú ý 1.1.17 (1) Từ Định nghĩa 1.1.15 và 1.1.16 ta nhận thấy ánh
xạ T là giả co (mạnh) khi và chỉ khi ánh xạ (I − T ) là J-đơn điệu
(mạnh);
(2) Từ một kết quả của Babu [4], định nghĩa ánh xạ giả co và ánh xạ
J-đơn điệu có thể phát biểu tương ứng như sau.
Định nghĩa 1.1.18 Cho X là một không gian Banach, K là một tập
con của X, ánh xạ T : K → K.
(i) T là một ánh xạ giả co mạnh nếu tồn tại một số t > 1 sao cho với
mọi x, y ∈ D(T ) và r > 0, bất đẳng thức sau đây thỏa mãn:
x − y ≤ (1 + r)(x − y) − rt(T x − T y) ;

(1.5)

(ii) T là ánh xạ giả co nếu t = 1 trong bất đẳng thức trên;
(iii) T là ánh xạ J-đơn điệu mạnh nếu tồn tại hằng số k > 0 sao cho
bất đẳng thức sau
x − y ≤ (x − y) + r[(T − kI)x − (T − kI)y]

(1.6)

thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(T ) và r > 0;
(vi) T là ánh xạ J-đơn điệu nếu k = 0 trong bất đẳng thức trên.
Như trên ta thấy một ánh xạ T là giả co mạnh nếu và chỉ nếu I − T
là một ánh xạ J-đơn điệu mạnh, tức là tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) và
một số k sao cho
(I − T )x − (I − T )y, j(x − y) ≥ k x − y 2 ,

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN



(1.7)


9

do vậy, với ánh xạ giả co mạnh T , bất đẳng thức sau
x − y ≤ x − y + r[(I − T − kI)x − (I − T − kI)y]
thỏa mãn với mọi x, y ∈ K và mọi r > 0 (ở đây k =

1.2
1.2.1

(1.8)

t−1
t ).

Không gian Hilbert
Định nghĩa không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian tuyến tính trên R. Tích vô
hướng trên X là hàm ·, · : X × X → R sao cho với mọi x, y, z ∈ X
mọi α, β ∈ R các điều kiện sau thỏa mãn:
(i1 ) x, x ≥ 0 và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(i2 ) x, y = y, x ;
(i3 ) αx + βy, z = α x, z + β y, z .
Cặp (X, ·, · ) được gọi là không gian tích vô hướng.
Định nghĩa 1.2.2 Dãy {xn }∞
n=0 gọi là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu
xn − xm , xn − xm

1
2

= xn − xm → 0,

n, m → ∞.

Không gian tích vô hướng X gọi là đủ nếu mỗi dãy Cauchy trên X
đều hội tụ tới một điểm của X.
Định nghĩa 1.2.3 Không gian tích vô hướng đầy đủ là không gian
Hilbert.
Tập con C của không gian véctơ thực X gọi là lồi nếu với mỗi
x, y ∈ C, tập

λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]

chứa trong C. Tập con C

của không gian định chuẩn thực là bị chặn nếu tồn tại M > 0 sao cho
x ≤ M với mọi x ∈ C.
Chú ý 1.2.4 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không gian
Banach. Ánh xạ này nói chung là đa trị. Nếu X là không gian Hilbert
thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là toán tử đơn vị I trong không
gian Hilbert đó.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




10

Định nghĩa 1.2.5 Cho H là một không gian Hilbert thực với chuẩn
· và tích vô hướng ·, · , K là một tập con khác rỗng của H. Ánh
xạ T : K → K là giả co suy rộng nếu với mọi x, y ∈ K, tồn tại một số
r > 0 sao cho
Tx − Ty

2

≤ r2 x − y

2

+ T x − T y − r(x − y) 2 .

(1.9)

Điều kiện (1.9) tương đương với
T x − T y, x − y ≤ r x − y

2

(1.10)

hoặc
(I − T )x − (I − T )y, x − y ≥ (1 − r) x − y

2

ở đây I là ánh xạ đồng nhất.
1.2.2

Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.2.6 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của
không gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được
gọi là:
(i) đơn điệu trên C, nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(ii) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho

A(x) − A(y), x − y ≥ η||x − y||2

∀x, y ∈ C.

Rõ ràng nếu T là giả co suy rộng với r < 1 thì I − T là ánh xạ đơn
điệu mạnh. Với r = 1 trong (1.9) thì T là ánh xạ giả co.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz,
| T x − T y, x − y | ≤ T x − T y

x−y .

Từ đó suy ra bất kỳ ánh xạ L-Lipschitz T đều là ánh xạ giả co suy
rộng với r = L.
Ví dụ sau chỉ ra rằng ánh xạ T có thể đồng thời là L-Lipschitz với

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




11

hằng số L > 0 và giả co suy rộng với hằng số r > 0.
Ví dụ 1.2.7 Cho H là một đường thực với chuẩn thông thường, K =
[ 12 , 2] và T : K → K là một tự ánh xạ xác định bởi T x = x1 với mọi
x ∈ K. Khi đó, T là một ánh xạ L-Lipschitz với hằng số L = 4 và cũng
là ánh xạ giả co suy rộng với hằng số r = 4.

1.3
1.3.1

Bài toán điểm bất động
Bài toán điểm bất động

Định nghĩa 1.3.1 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Banach X
được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu x = T x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ), nghĩa là
Fix(T ) = {x ∈ D(T ) : T x = x}.
Chú ý rằng tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không
gian Banach lồi chặt X nếu khác rỗng là một tập lồi và đóng. Bài toán
điểm bất động được phát biểu như sau: Cho C là một tập con lồi của
không gian Banach X, T : C → X là một ánh xạ.
Hãy tìm phần tử x ∈ C

sao cho T (x) = x.

(1.11)

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.11) tương đương với
việc giải phương trình toán tử
T (x) − x = 0.
1.3.2

(1.12)

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach

như sau.
Định lý 1.3.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X
là ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động q trong X và với xấp
xỉ ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T xn ,
với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới q.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




12

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach
vào năm 1922, nó được sử dụng để thiết lập sự tồn tại nghiệm của
phương trình tích phân. Kể từ đó, vì sự đơn giản và hữu dụng, nó
đã trở thành một công cụ rất phổ biến trong việc giải quyết các vấn
đề tồn tại trong nhiều ngành của toán học giải tích. Chú ý rằng, nếu
một ánh xạ không giãn T : X → X có một điểm bất động thì nó có
thể không duy nhất và dãy {xn } được xác định bởi xn+1 = T xn với
n = 0, 1, 2, ... có thể không hội tụ tới điểm bất động của T . Ví dụ, cho
T : R → R xác định bởi T (x) = 1 − x.
Khi đó, cho x0 = 1,
x 1 = T x0 ,
x2 = T x1 = 1,
x3 = T x2 = 0,
...,
x2n = T x2n−1 = 1,

x2n+1 = T x2n = 0,
...,
và dãy {xn } được xác định như trên không hội tụ tới điểm bất động
duy nhất 12 ∈ R của T . Sự tồn tại điểm bất động được trình bày trong
định lý sau.
Định lý 1.3.3 Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng
giới nội của H, T : C −→ C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T có
ít nhất một điểm bất động trong C.
Tính chất của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được công
bố trong định lý sau.
Định lý 1.3.4 Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập lồi đóng
và giới nội của H. Giả sử T : C −→ C là một ánh xạ không giãn và
d-compact. Khi đó tập điểm bất động của ánh xạ T là một tập lồi và
khác rỗng.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




13

Bổ đề 1.3.5 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert thực H. Với mỗi x ∈ H, tồn tại phần tử z ∈ C sao cho z−x ≤
y − x với mọi y ∈ C, và z = PC x nếu và chỉ nếu z − x, y − z ≥ 0
với mọi y ∈ C.
Nếu C là một tập con lồi của X và T : C → C là một ánh xạ không
giãn thì với mọi λ ∈ (0; 1) ánh xạ Tλ : C → C được xác định bởi:

Tλ x = λx + (1 − λ)T x, ∀x ∈ C
cũng là ánh xạ không giãn đồng thời T và Tλ cùng có điểm bất động
trong C.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




14

Chương 2

Phương pháp lặp Krasnoselskij,
phương pháp lặp Mann tìm điểm
bất động
Chương này nghiên cứu sự hội tụ và so sánh tốc độ hội tụ của
phương pháp lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann tìm điểm
bất động của một ánh xạ. Cụ thể, Mục 2.1 giới thiệu các phương pháp
lặp Picard, phương pháp lặp Krasnoselskij, phương pháp lặp Mann
và trình bày các định lý hội tụ mạnh của các phương pháp. Trong
Mục 2.2 trình bày định lý so sánh tốc độ hội tụ của phương pháp
lặp Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann trong không gian Hilbert.
Phần cuối cùng của chương trình bày một ví dụ số (viết trên ngôn ngữ
Matlab) để minh họa cho tốc độ hội tụ của các phương pháp này. Nội
dung của chương được viết trên cơ sở tổng hợp từ các tài liệu tham
khảo [5] và [6].

2.1

Phương pháp lặp Krasnoselskij và Phương pháp
lặp Mann

Mục này giới thiệu các phương pháp lặp Picard, phương pháp lặp
Krasnoselskij và phương pháp lặp Mann; đồng thời trình bày một số
định lý hội tụ mạnh của các phương pháp này.

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




15

2.1.1

Phương pháp lặp Picard

Cho X là một tập bất kỳ và T : X → X là một ánh xạ. Với bất kỳ
x0 ∈ X, dãy {xn }n≥0 ⊂ X xác định bởi
xn = T xn−1 = T n x0 ,

n = 1, 2, . . .

(2.1)

được gọi là dãy xấp xỉ liên tiếp với giá trị đầu x0 hay dãy lặp Picard.
Sau đây ta trình bày chứng minh của định lý đã được thể hiện ở Định
lý 1.3.2.
Định lý 2.1.1 Cho (X, d) là không gian mêtric đủ, T : X → X là
một ánh xạ a-co. Khi đó,
(i) T có một điểm bất động duy nhất Fix(T ) = {x∗ };
∗
(ii) Dãy lặp Picard {xn }∞
n=0 xác định bởi (2.1) hội tụ tới x với bất kỳ

x0 ∈ X.
(iii) Ước lượng tiền nghiệm và hậu nghiệm tương ứng là:
d(xn , x∗ ) ≤

an
d(x0 , x1 ),
1−a

n = 0, 1, 2, . . .

(2.2)

và
d(xn , x∗ ) ≤

a
d(xn−1 , xn ),
1−a

n = 0, 1, 2, . . .

(2.3)

Chứng minh. Trước hết ta chỉ ra có nhiều nhất một điểm bất động
của ánh xạ T . Thật vậy, giả sử x∗ , y ∗ ∈ Fix(T ), x∗ = y ∗ . Từ điều kiện
a-co của ánh xạ T ta có
d(x∗ , y ∗ ) = d(T x∗ , T y ∗ ) ≤ ad(x∗ , y ∗ ) < d(x∗ , y ∗ ),

0 ≤ a < 1,

điều này vô lý.
Bây giờ, ta chứng minh tồn tại điểm bất động. Với x0 ∈ X bất kỳ,
dãy lặp Picard (2.1) là dãy Cauchy. Thật vậy, từ (2.1) và tính a-co của
ánh xạ T ta có
d(x2 , x1 ) = d(T x1 , T x0 ) ≤ ad(x1 , x0 ),

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




16

suy ra
d(xn+1 , xn ) ≤ an d(x1 , x0 ),

n = 0, 1, 2, . . . .

(2.4)

Vậy với bất kỳ số n, p ∈ N, p > 0 ta có
n+p−1

d(xn+p , xn ) ≤

n+p−1

ak d(x1 , x0 )

d(xk+1 , xk ) ≤
k=n
n

≤

k=n

(2.5)

a
d(x1 , x0 ).
1−a

Vì 0 ≤ a < 1, từ an → 0 khi n → ∞ cùng với (2.5) chứng tỏ rằng
dãy {xn }∞
n=0 xác định bởi (2.1) là dãy Cauchy. Mà (X, d) là không gian
∗
mêtric đủ, do đó dãy {xn }∞

n=0 hội tụ tới x ∈ X.
Vì T là ánh xạ liên tục Lipschitz, nên
x∗ = lim xn+1 = lim T (xn ) = T ( lim xn ) = T x∗ ,
n→∞

n→∞

n→∞

và suy ra x∗ là điểm bất động của T. Chứng tỏ rằng với mỗi x0 ∈ X,
dãy lặp Picard hội tụ trong X và giới hạn của nó là điểm bất động của
T. Do đó T có ít nhất một điểm bất động, suy ra với mỗi x0 ∈ X dãy
lặp Picard hội tụ tới cùng giá trị x∗ , đó là điểm bất động duy nhất của
T . Ta chứng minh xong (i) và (ii).
Để chứng minh (iii) ta sử dụng (2.5):
an
d(xn+p , xn ) ≤
d(x0 , x1 ),
1−a

∀p ∈ N∗ .

Cho p → ∞,
d(xn , x∗ ) = d(x∗ , xn ) = lim d(xn+p , xn ) ≤
p→∞

an
d(x0 , x1 ),
1−a

n ≥ 0,

nên ta có (2.2).
Để có được ước lượng hậu nghiệm (2.3), từ giả thiết T là ánh xạ
a-co và (2.1), ta có
d(xn+1 , xn ) ≤ ad(xn , xn−1 )

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




17

và
d(xn+k , xn+k−1 ) ≤ ak d(xn , xn−1 ) k ∈ N∗
nên
d(xn+p , xn ) ≤ (a + a2 + · · · + ap )d(xn , xn−1 ) ≤

a
d(xn , xn−1 ).
1−a

Cho p → ∞ trong bất đẳng thức cuối ta được (2.3).
Sau đây ta trình bày chứng minh của định lý đã được thể hiện ở Định
lý 1.3.3.
Định lý 2.1.2 (Định lý điểm bất động Brower–Gohde–Kirk) Cho C
là tập con lồi đóng bị chặn của không gian Hilbert H và T : C → C là

ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Cho v0 ∈ C là một điểm tùy ý và một số thực s thỏa
mãn 0 < s < 1. Ký hiệu
Us (x) = (1 − s)v0 + sT x,

x ∈ C.

Vì C là tập lồi và đóng nên Us : C → C là một ánh xạ s-co, do đó có
duy nhất điểm bất động us (suy ra từ nguyên lý ánh xạ co Banach).
Mặt khác vì C là tập lồi, đóng và bị chặn trong không gian Hilbert H
nên C là tập compact yếu. Do đó ta có thể tìm một dãy {sj } ∈ (0, 1)
sao cho sj → 1 khi j → ∞ và uj hội tụ yếu tới phần tử p của H. Vì C
là tập đóng yếu, nên p ∈ C. Ta sẽ chứng minh p là điểm bất động của
T. Thật vậy, nếu u là điểm tùy ý trong H, ta có
uj − u

2

= (uj − p) + (p − u)

2

= uj − p 2 + p − u 2 +2 uj −p, p−u ,

ở đây 2 uj − p, p − u → 0 khi j → ∞ vì uj − p hội tụ yếu về 0 trong
H. Hơn nữa, vì sj → 1 và Usj uj = uj , nên
T uj − uj = [sj T uj + (1 − sj )v0 ] − uj + (1 − sj )[T uj − v0 ]
= (Usj uj − uj ) + (1 − sj )(T uj − v0 ) =
= 0 + (1 − sj )(T uj − v0 ) → 0,

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

j → ∞.




18

Đặt u = T p, ta nhận được
lim ( uj − T p

2

j→∞

− uj − p 2 ) = p − T p 2 .

Mặt khác vì T là ánh xạ không giãn nên
T uj − T p ≤ uj − p ,
và do đó,
uj − T p ≤ uj − T uj

T uj − T p ≤ uj − T uj

+

+

uj − p

.

Suy ra
lim sup( uj − T p −

uj − p ) ≤ lim

j→∞

j→∞

uj − T uj = 0

và từ tính bị chặn của C ta có
lim sup( uj − T p

2

− uj − p

2

)=

j→∞

= lim sup( uj − T p −

uj − p )( uj − T p −

uj − p )

j→∞

≤ 0,
suy ra
p − Tp

2

= 0,

nghĩa là p là điểm bất động của T.
Định lý 2.1.3
2.1.2

Phương pháp lặp Krasnoselskij

Cho X là một không gian định chuẩn, T : X → X là một ánh xạ,
phần tử x0 ∈ X và λ ∈ [0, 1]. Dãy {xn }∞
n=0 xác định bởi
xn+1 = (1 − λ)xn + λT xn ,

n = 0, 1, 2, . . .

(2.6)

được gọi là phương pháp lặp Krasnoselskij hay dãy lặp Krasnoselskij
và được ký hiệu bởi Kn (x0 , λ, T ).

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN




19

Định nghĩa 2.1.4 Cho H là không gian Hilbert và C là tập con của
H. Ánh xạ T : C → H là nửa compact nếu nó có tính chất: dãy {un }
bị chặn trong H và dãy {T un − un } hội tụ mạnh, thì tồn tại dãy con
{unk } của dãy {un } cũng hội tụ mạnh.
Định lý 2.1.5 Cho C là tập con lồi đóng bị chặn của không gian
Hilbert H, T : C → C là ánh xạ không giãn và nửa compact. Khi
đó, tập điểm bất động Fix(T ) của ánh xạ T là tập lồi khác rỗng. Ngoài
ra, với bất kỳ x0 ∈ C và số λ thỏa mãn 0 < λ < 1, dãy lặp Krasnoselskij
xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh tới điểm bất động của T .
Chứng minh. Vì T là ánh xạ không giãn, theo Định lý 2.1.2, T có
điểm bất động trong C, nghĩa là Fix(T ) = ∅. Hơn nữa, vì Fix(T ) là
tập hợp lồi, nên với x, y ∈ Fix(T ), λ ∈ [0, 1] ta có
uλ = (1 − λ)x + λy ∈ Fix(T ).
Với mỗi x0 ∈ C, dãy {xn }∞
n=0 cho bởi (2.6) thuộc C và bị chặn. Cho
p là một điểm bất động của T , và cũng là điểm bất động của Uλ cho
bởi
Uλ = (1 − λ)I + λT.

(2.7)

Trước hết ta chứng minh dãy {T un − un }n∈N hội tụ mạnh về 0. Thật
vậy
xn+1 − p = (1 − λ)xn + λT xn − p = (1 − λ)(xn − p) + λ(T xn − p).
Mặt khác, với bất kỳ hằng số a,
a(xn − T xn ) = a(xn − p) − a(T xn − p).
Từ đó,
xn+1 − p

2

= (1 − λ)2 xn − p

2

+ λ 2 T xn − p

2

+ 2λ(1 − λ) T xn − p, xn − p

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN

20

và
a2 xn − T xn

2

2

= a2 xn − p

2

+ a2 T xn − p

− 2a2 T xn − p, xn − p .

Cộng tương ứng hai vế của bất đẳng thức trên, sử dụng tính chất
không giãn của T và T p = p, ta nhận được
xn+1 − p

2

2

+ a2 xn − T xn

≤ [2a2 + λ2 + (1 − λ)2 ] xn − p

2

+ 2[λ(1 − λ) − a2 ] T xn − p, xn − p .
Nếu ta chọn a sao cho a2 ≤ λ(1 − λ) thì từ bất đẳng thức trên ta có
xn+1 − p

2

2

+ a2 xn − T xn

≤

≤ (2a2 + λ2 + (1 − λ)2 + 2λ(1 − λ) − 2a2 ) xn − p
= xn − p 2 ,
ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy–Schwarz,
T xn − p, xn − p ≤ T xn − p

xn − p ≤ xn − p 2 .

Cho a2 = λ(1 − λ) > 0,
a2 xn − T xn

2

≤ xn − p

2

− xn+1 − p 2 ,

cho n = 0 tới n = N ta được
N

λ(1 − λ)

N

x n − T xn

2

n=0

≤

[ xn − p

2

− xn+1 − p 2 ]

n=0

= x0 − p

2

− xN +1 − p

2

≤ x0 − p 2 ,
suy ra
∞

xn − T xn

2

< ∞ và

xn − T xn → 0 khi n → ∞.

n=0

S hóa bi Trung tâm Hc liu

ĐHTN



2