Bồi dưỡng năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trong dạy học môn toán THPT ban cơ bản

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO ĐẶNG SƠN

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN THPT BAN CƠ BẢN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên, 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐÀO ĐẶNG SƠN

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA
TÌNH HUỐNG THỰC TIỄN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN THPT BAN CƠ BẢN

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Luận

Thái Nguyên, 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn
thành với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết
quả được trình bày trong luận văn là trung thực. Những kết luận khoa học của luận
văn chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2017
Tác giả luận văn

Đào Đặng Sơn

i


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của Tiến sĩ
Trần Luận. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy. Thầy đã tận tình
hướng dẫn và hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn
thành luận văn.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong Tổ bộ môn Phương
pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; Ban Chủ nhiệm
khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm – Đại học
Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thiện đề tài luận văn ở trường.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Toán và các bạn đồng
nghiệp trường THPT Bình Giang, huyện Bình Giang, tỉnh Hải Dương đã giúp đỡ,
tạo những điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá trình nghiên cứu và thực nghiệm
tại trường.
Dù đã rất cố gắng, song luận văn cùng không tránh khỏi những hạn chế thiếu

sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp của thầy cô và các bạn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Đào Đặng Sơn

ii


MỤC LỤC
Trang
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................ ii
MỤC LỤC .................................................................................................................iii
DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN ........................ iv
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...............................................................................................3
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..............................................................................................4
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................................4
5. Giả thuyết khoa học ................................................................................................4
6. Phương pháp nghiên cứu.........................................................................................4
7. Những đóng góp của luận văn ...............................................................................5
Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................................... 6
1.1. Vai trò của việc bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn cho
học sinh THPT .....................................................................................................6
1.1.1. Vai trò của Toán học với đời sống của con người ............................................ 6
1.1.2. Toán học và các khoa học khác ........................................................................ 7
1.1.3. Hoạt động toán học hoá các vấn đề thực tế ...................................................... 8
1.1.4. Phương pháp mô hình hóa .............................................................................. 10

1.2. Về năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh THPT ................11
1.2.1. Khái niệm năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn ................................. 12
1.2.2. Bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT 13
1.2.3. Vị trí của năng lực Toán học hóa trong cấu trúc năng lực vận dụng toán
học vào thực tiễn ............................................................................................. 15
1.3. Vấn đề bài toán có nội dung thực tiễn ...............................................................17
1.3.1. Tình huống thực tế, bài toán thực tiễn và một số khái niệm có liên quan khác .......... 17
1.3.2. Về các bước của quá trình vận dụng Toán học vào thực tiễn ......................... 18
1.3.3. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT ... 20

iii


1.3.4. Một số định hướng đổi mới phương pháp dạy học môn Toán theo hướng tăng
cường bồi dưỡng năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn ở trường THPT ... 23
1.4. Khảo sát thực trạng Bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn ở
trường THPT ......................................................................................................24
1.5. Kết luận chương I ...............................................................................................27
Chương 2. BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TOÁN HỌC HÓA TÌNH HUỐNG
THỰC TIỄN CHO HỌC SINH Ở TRƯỜNG THPT QUA DẠY HỌC MÔN
TOÁN BAN CƠ BẢN ............................................................................................... 28
2.1 Bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn dựa vào việc khai
thác tiềm năng các chủ đề học tập bộ môn toán THPT ban cơ bản ...................28
2.1.1. Tìm hiểu bài toán có nội dung thực tiễn trong chương trình và SGK Toán THPT .. 28
2.1.2. Phân tích tiềm năng của một số chủ đề học tập đối với việc rèn luyện cho
học sinh năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn .................................... 29
2.1.3. Tích cực rèn luyện cho học sinh ý thức sẵn sàng cho toán học hóa thông
qua những kiến thức, kỹ năng gần với Toán học hóa ..................................... 37
2.2. Bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn dựa vào việc thiết kế
và sử dụng bài tập tình huống thực tiễn trong dạy học môn Toán .....................44

2.2.1. Sử dụng bài tập tình huống thực tiễn để gợi động cơ học tập ........................ 44
2.2.2. Rèn luyện khả năng mô hình hóa .................................................................... 46
2.2.3. Tổ chức cho HS khai thác các chức năng của mô hình, đồng thời kiểm tra
và điều chỉnh mô hình toán học ...................................................................... 72
2.2.4. Xây dựng Hệ thống bài tập tình huống thực tiễn có tính chất phân hóa ........ 86
2.3. Kết luận chương 2 ..............................................................................................98
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .............................................................. 99
3.1. Mục đích thực nghiệm .......................................................................................99
3.2. Nội dung thực nghiệm.......................................................................................99
3.3. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................................99
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm ................................................................................... 99
3.3.2. Các hình thức triển khai nội dung thực nghiệm ............................................ 100
3.3.3. Tiến trình thực nghiệm.................................................................................. 101

iv


3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm ....................................................................... 101
3.4.1. Phân tích định tính kết quả thực nghiệm ...................................................... 101
3.4.2. Phân tích định lượng kết quả thực nghiệm ................................................... 103
3.5. Kết luận chương 3 .......................................................................................... 106
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 109
PHỤ LỤC

v


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT

Viết đầy đủ

Viết tắt

1

GV

Giáo viên

2

HS

Học sinh

3

SGK

Sách giáo khoa

4

THH

Toán học hóa

5

THPT

Trung học phổ thông

iv


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Chúng ta đã biết, toán học có nguồn gốc từ thực tiễn. Số học ra đời do nhu
cầu đếm, hình học phát sinh do nhu cầu đo lại ruộng đất sau những trận lụt ở hai bờ
sông Nin hàng năm …
Thực tiễn là nguồn gốc, động lực, vừa là nơi kiểm tra tính chân lý của mọi
khoa học nói chung và Toán học nói riêng. Với vai trò đặc biệt của mình, Toán học
trở nên thiết yếu với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày
càng hiện đại và văn minh hơn.
Toán học phát triển được là nhờ có mối liên hệ mật thiết với thực tiễn, thông
qua đó để bộc lộ sức mạnh lý thuyết vốn có của nó. Mối quan hệ giữa toán học và
thực tiễn có tính chất phổ dụng, toàn bộ và nhiều tầng. Do đó, nhiều tình huống
trong đời sống ta không thể vận dụng trực tiếp các tri thức toán học mà phải qua
một bước trung gian quan trọng là toán học hóa (THH). Chẳng hạn, các bài toán giải
quyết vấn đề về kinh tế, xã hội,… có sử dụng tri thức toán thường diễn ra qua bốn
bước:
+ Bước thứ nhất là xây dựng mô hình định tính cho vấn đề thực tế; vấn đề mấu
chốt ở đây là phải xác định các yếu tố có ý nghĩa nhất.
+ Bước thứ hai là xây dựng mô hình toán học cho mô hình định tính, tức là
diễn tả mô hình định tính bằng ngôn ngữ toán học; công việc quan trọng nhất là xây
dựng hàm mục tiêu và diễn tả các điều kiện kinh tế, kỹ thuật bằng các phương trình,

bất phương trình,…
+ Bước thứ ba là giải bài toán trong bước thứ hai, đồng thời chọn phương pháp
giải tối ưu, viết chương trình cho thuật toán và chạy trên máy tính, in ra kết quả.
+ Bước thứ tư là kiểm tra kết quả, đối chiếu với thực tế để điều chỉnh cả quy
trình [30, tr.7]
Do đó, trong dạy học Toán ở bậc phổ thông, để “ làm rõ mối liên hệ giữa toán
học và thực tiễn”, việc bồi dưỡng năng lực THH tình huống thực tiễn cho học sinh
(HS) là một vấn đề cần thiết.

1


1.2. Học sinh trung học phổ thông (THPT) là những người đang trưởng thành,
đã được trang bị tương đối đầy đủ kiến thức phổ thông, sẵn sàng, chuẩn bị tham gia
vào lao động sản xuất, phát triển xã hội. Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của
khoa học và công nghệ, chúng ta, những người giáo viên (GV) cần phải đào tạo ra
những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thức vận dụng những thành
tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lại những hiệu quả thiết thực.
Vì thế, việc dạy và học Toán ở trường phổ thông phải luôn gắn bó mật thiết với
thực tiễn, nhằm rèn luyện cho HS kỹ năng và giáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng
Toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và
bảo vệ Tổ quốc- như trong Nghị quyết TW4 (khóa VII) đã nhấn mạnh: “Đào tạo
những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các
vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc
sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ
văn minh”.
1.3. Toán học là một công cụ và học tập tốt môn Toán sẽ tạo tiền đề cho học
tập tốt các môn học khác trong nhà trường. Từ thế kỷ XIX trở về trước, một nhà
toán học có thể vừa là nhà vật lí, nhà triết học hay nhà tự nhiên học…(Trước khi
Toán học trở thành một ngành độc lập). Ngày nay, chúng ta thấy càng nhiều các nhà

Toán học nghiên cứu những ứng dụng của toán học trong các ngành khoa học khác
như Công nghệ thông tin, Vật lí, …
1.4. Mặc dù chương trình, sách giáo khoa (SGK) môn Toán nói riêng và các
môn học khác nói chung đã tăng cường tính ứng dụng thực tiễn, tuy nhiên chưa
nhiều và chưa thấy rõ được ý nghĩa và vai trò của môn Toán trong thực tiễn cuộc
sống và trong các ngành khoa học. Các thầy cô giáo và các HS vẫn sa đà vào việc
học tập những kỹ năng giải nhanh một bài toán nào đó mà không cần hiểu ý nghĩa
và vai trò của nó đối với thực tiễn, vẫn tăng cường học tập, ôn tập môn Toán nhưng
để kiểm tra, để thi lấy điểm, thi đại học vv… Chính vì vậy, ở phổ thông, các GV
không thường xuyên bồi dưỡng, rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng của
toán học vào thực tiễn, đó là kiểu dạy Toán: “…xa rời cuộc sống đời thường.”
(Nguyễn Cảnh Toàn).

2


Năm 2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã quyết định thi THPT Quốc gia bằng
hình thức trắc nghiệm đối với các môn học Toán, Tiếng Anh, Khoa học xã hội (tổ
hợp các môn Địa lí, Lịch sử, Giáo dục công dân) và Khoa học tự nhiên (tổ hợp các
môn Vật lí, Hóa học, Sinh học). Đặc biệt là đối với bộ môn Toán, Bộ khẳng định
vững chắc quan điểm đánh giá năng lực HS thông qua thi trắc nghiệm môn Toán.
Nếu như trước đây, chỉ thi tự luận với khoảng 10 ý nhỏ với 10 chủ đề kiến thức cơ
bản và phân hóa, thì nay với khoảng 50 câu hỏi trắc nghiệm, HS THPT phải học
đầy đủ và cơ bản hơn. Nếu như trước đây, HS không nhất thiết phải làm hoàn thiện
một bài nào đó đã được đánh giá cho điểm thì nay HS phải làm trọn vẹn một bài
mới được điểm. Nếu như trước đây, cách thi tự luận thì việc kiểm tra năng lực vận
dụng kiến thức rất hạn chế, thì nay với khoảng 10 đến 20 phần trăm câu hỏi vận
dụng kiến thức vào thực tế. Chúng tôi thấy rằng việc bồi dưỡng, nâng cao năng lực
vận dụng toán học vào thực tiễn nói chung, hay năng lực THH là rất thiết thực đối
với HS THPT hiện nay.

Bộ SGK Toán học THPT hiện nay được ra đời từ 2005 với nhiều bộ sách khác
nhau như ban khoa học tự nhiên, ban khoa học xã hội, ban cơ bản. Tuy nhiên đến
nay, chúng tôi thấy hầu như không còn được nhắc đến ban khoa học tự nhiên và
khoa học xã hội, đa số HS đã lựa chọn học ban cơ bản.
1.5. Với mong muốn bồi dưỡng, rèn luyện cho HS năng lực vận dụng toán học
vào thực tiễn, để cho HS thấy được vai trò và ý nghĩa của toán học trong thực tiễn,
đồng thời trang bị cho HS kỹ năng vận dụng kiến thức toán học(nói riêng) và kiến
thức học được nói chung giải quyết các tình huống nảy sinh trong thực tiễn cuộc
sống, tôi đã nghiên cứu và đăng ký đề tài Luận văn là: “Bồi dưỡng năng lực Toán
học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh trong dạy học môn Toán THPT ban
cơ bản”
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu xác định những thành tố đặc trưng của
năng lực THH tình huống thực tiễn với đối tượng là HS THPT; trên cơ sở đó, đề
xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực này ở người học qua
dạy học môn Toán THPT ban cơ bản.

3


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Phân tích và tổng hợp một số quan điểm của các nhà khoa học về việc vận
dụng toán học vào trong đời sống thực tiễn, đặc biệt là vấn đề THH tình huống thực
tiễn trong dạy học Toán.
- Đưa ra quan niệm về năng lực THH tình huống thực tiễn của HS, đề xuất những
căn cứ làm cơ sở cho việc xác định các thành tố của năng lực này.
- Đề xuất các biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực THH tình
huống thực tiễn cho HS THPT qua dạy học môn Toán THPT.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THPT.

- Đối tượng nghiên cứu: Năng lực THH tình huống thực tiễn của HS và các
vấn đề liên quan cùng cách thức rèn luyện năng lực này trong dạy học môn Toán.
5. Giả thuyết khoa học
Dựa trên cơ sở lý luận và thực tiễn có thể xác định được một số thành tố chủ
yếu của năng lực THH tình huống thực tiễn cho HS THPT. Trên cơ sở đó, nếu xây
dựng và thực hiện được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học môn
Toán THPT thì có thể phát triển năng lực này cho người học, góp phần vào việc
nâng cao chất lượng dạy học Toán.
6. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan các công
trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiên cứu của
đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực THH tình huống thực tiễn của HS THPT
và việc rèn luyện năng lực này trong dạy học Toán.
- Phương pháp điều tra: Điều tra hoạt động dạy của GV, hoạt động học tập của
HS bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng việc rèn luyện năng lực
THH tình huống thực tiễn cho người học.
- Phương pháp chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về phạm vi nghiên
cứu của đề tài.
- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểm
nghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất.

4


7. Những đóng góp của luận văn
7.1. Về mặt lí luận
- Đưa ra quan niệm về năng lực THH tình huống của HS phổ thông, trên cơ sở
phân tích hoạt động THH tình huống thực tiễn. Luận văn cũng đã mô tả hoạt động
này đối với HS THPT trong dạy học Toán, đồng thời xác định các thành tố của năng
lực THH tình huống thực tiễn làm cơ sở cho việc hình thành và phát triển năng lực

này ở người học.
- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi nhằm phát triển năng lực
THH tình huống thực tiễn cho HS qua dạy học bộ môn Toán THPT ban cơ bản.
7.2. Về mặt thực tiễn
- Hệ thống các biện pháp sư phạm có thể giúp GV phổ thông nhận thức và
hành động trong thực tiễn giảng dạy theo hướng tăng cường vận dụng toán học vào
trong thực tiễn.
- Hệ thống các bài tập, ví dụ trong Luận văn là tư liệu tốt cho GV phổ thông
tham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học.

5


Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Vai trò của việc bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn cho
học sinh THPT
1.1.1. Vai trò của Toán học với đời sống của con người
Theo [2] thì hằng ngày, con người phải đối mặt với cuộc sống, họ phải mua bán,
tính toán, vấn đề là làm sao có lợi cho bản thân mình nhất. Đặc biệt, trước khi quyết
định một công việc quan trọng gì đó, họ đều đưa ra những phán đoán. Trong cuộc
sống hiện đại ngày nay, một cuộc sống đa chiều đầy biến động, con người lại càng
phải tính toán; có thể nói: chỉ có khi đi ngủ mới không để phép tính ở trong đầu.
Khi tác động vào thiên nhiên để tạo ra của cải cho mình, con người bắt gặp
những “hình ảnh” của toán học: mặt hồ yên ả là hình ảnh của mặt phẳng; mặt trăng,
mặt trời_khi mọc và lặn là hình ảnh của hình tròn, số cánh của một bông hoa
thường được bố trí theo các số hạng của dãy số Fi-bô-na-xi; những con ong xây tổ
theo những hình lục giác đều,… Galilê nói: “Thiên nhiên cũng nói bằng ngôn ngữ
toán: chữ cái của thứ ngôn ngữ đó là hình tròn, hình tam giác và các hình toán học
khác” (dẫn theo [27]). Thiên nhiên quả là hấp dẫn con người, lôi kéo họ vào khám

phá và cải tạo thế giới. Trong lao động tạo ra của cải, con người đã phải tính toán
đến vấn đề tiêu thụ để thu lãi về là lớn nhất. Bởi vậy, họ phải tính toán đến chất
lượng sản phẩm, nguồn nguyên liệu, phương thức sản xuất, ... những vấn đề đó đều
liên quan đến toán học.
Khác với các động vật, con người biết thừa hưởng nền văn minh của các xã
hội trước đó, những kinh nghiệm và tri thức đã được tích lũy và lưu trữ trong sách
vở, trong đó có tri thức toán học. Con người phải học tập để lĩnh hội và phát triển
vốn tri thức của xã hội truyền lại và đặc biệt là vận dụng vốn tri thức đó vào đời
sống thực tiễn cho bản thân mình. Đời sống thực tiễn của con người rất đa dạng và
phong phú: học tập, lao động sản xuất, chiến đấu bảo vệ Tổ quốc. Không phải khi
nào cũng cho phép chúng ta ngồi trong một phòng học đầy đủ các phương tiện để
giải quyết các vấn đề được đặt ra. Chẳng hạn, cần xác định chiều cao của một tòa
nhà mà không có dụng cụ đo hay xác định khoảng cách giữa vị trí của ta và vị trí

6


của địch,… Gặp những trường hợp như vậy, con người đã phải nỗ lực sáng tạo, sử
dụng phương pháp toán học, lợi dụng thiên nhiên để hoàn thành nhiệm vụ.
Tóm lại, đối với người bình thường, cho dù họ là ai, ở cương vị nào trong xã
hội thì trong cuộc sống hằng ngày cũng đụng chạm đến các tri thức toán học.
1.1.2. Toán học và các khoa học khác
Toán học là một khoa học suy diễn, nó cũng như các khoa học khác có nguồn
gốc từ thực tiễn. Các nhà toán học I. I. Blekman và A. D. Mưskix cho rằng: “Loại
bỏ ứng dụng ra khỏi toán học cũng có nghĩa đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ
xương, không có tí thịt dây thần kinh hoặc mạch máu nào” (dẫn theo [31, tr.33]
Đánh giá tầm quan trọng của toán học đối với các hiện tượng vật lý, hiện tượng tự
nhiên của môi trường sống xung quanh, Herbert Fremont cho rằng: “Hãy tưởng
tượng xem làm sao có thể miêu tả và làm việc với các liên hệ vật lý mà không có
ngôn ngữ đặc trưng của đại số, làm sao ta có thể điều tra, khai thác các cấu trúc

thiên nhiên cũng như những đồ vật do con người tạo ra mà không có những khái
niệm hình học…” [42, tr.3]. Một đặc trưng của toán học là tính trừu tượng hoá cao
độ, chính đặc điểm này đã khiến cho nó đi vào mọi lĩnh vực của cuộc sống, “càng
trừu tượng càng có nhiều khả năng ứng dụng cụ thể, làm cho toán học càng ngày
càng xâm nhập vào nhiều lĩnh vực hoạt động của con người, tạo nên xu thế “toán
học hoá” của khoa học kỹ thuật, công nghệ hiện đại, biến toán học trở thành nữ
hoàng của các khoa học” [34, tr.131]. V. Upenski đã chỉ rõ: “Toán học nêu ra
những mô hình khá tổng quát và đủ rõ ràng để nghiên cứu thực tiễn xung quanh ta.
Đây chính là ưu điểm và sức mạnh của Toán học so với các khoa học khác. Mô hình
toán học là điểm xuất phát và là yếu tố quan trọng của việc THH tình huống thực
tiễn” (dẫn theo [2, tr.77]). Toán học không chỉ cung cấp những con số, những công
thức, những hình hình học mà đặc biệt quan trọng là nó cung cấp “phương pháp
toán học” cho các ngành khoa học, thể hiện qua việc mô hình hoá các lớp đối tượng
mà nó nghiên cứu. Điều này đã làm cho các ngành khoa học có sử dụng Toán học
phát triển như vũ bão, đang dần từng bước chuyển từ khoa học mô tả sang khoa học
chính xác... Khó có thể mà kể hết được vai trò của toán học trong các khoa học, rõ
ràng toán học là công cụ, là đòn bẩy của phát minh, luôn đồng hành với mọi khoa

7


học. Đúng như Karl Marx đã khẳng định: “Một khoa học chỉ đạt được sự hoàn
chỉnh khi nó sử dụng toán học”.[2]
1.1.3. Hoạt động toán học hoá các vấn đề thực tế
Mục 1.1.1 và 1.1.2 trên cho thấy toán học đã xâm nhập vào trong cuộc sống
đời thường, trong lao động sản xuất và nghiên cứu của mọi ngành khoa học, đó là
quá trình Toán học hoá các vấn đề thực tế. Theo Hans Freudenthal: "THH dẫn thế
giới của cuộc sống về thế giới của các ký hiệu…" [6, tr.41]. Ông cho rằng: “Tiên
đề hóa, công thức hóa, sơ đồ hóa được xem là tiền đề của sự ra đời thuật ngữ
“THH”; trong đó tiên đề hóa là thuật ngữ chính đầu tiên xuất hiện trong các ngữ

cảnh của toán học”. Thuật ngữ “toán học hoá” thường được dùng trong các cuộc
thảo luận của các nhà khoa học trước khi đưa vào trong các văn bản chính thức [6,
tr.30]. Bởi vậy, thuật ngữ này ra đời một cách tự nhiên và đi vào đời sống. Trong
[4], [34], [36], tuy không giải nghĩa thuật ngữ này một cách tường minh nhưng khi
bàn đến quá trình THH thì trọng tâm mà các tác giả đề cập đến là việc xây dựng mô
hình toán cho các tình huống thực tế. Trong [2, tr.97], tác giả cho rằng: “Khả năng
xây dựng mô hình toán học của một tình huống thực tế, được coi là cơ sở của việc
“THH các tình huống thực tế”. Theo http//www.merriamwebster.com/dictionary,
“THH” có nghĩa là: đưa về dạng toán học (Mathematization: reduction to
Mathematical form). Từ đó, có thể hiểu quá trình toán học hoá vấn đề thực tế là quá
trình đưa vấn đề đó về dạng toán học (xây dựng mô hình toán cho vấn đề thực tế).
Do vậy, để có thể thực hiện được hoạt động THH các vấn đề thực tế, con người cần
được trang bị phương pháp mô hình hóa.
Hoạt động THH các vấn đề thực tế là hoạt động chuyển vấn đề thực tế về vấn
đề trong nội tại bản thân toán học nhằm sử dụng vai trò công cụ của khoa học này
để nghiên cứu giải quyết. Hoạt động này có thể phân chia thành hai dạng: dạng thứ
nhất là hoạt động của các nhà khoa học; dạng thứ hai là hoạt động của những người
có học vấn phổ thông.
- Đối với các nhà khoa học, người ta quan tâm đến việc mô tả quy luật của tự
nhiên, của xã hội bằng công cụ toán học để mang lại những ứng dụng thiết thực
trong khoa học và đời sống. Quá trình xây dựng mô hình toán học cho các vấn đề

8


thực tế vô cùng phức tạp; nó xuất phát từ thực tiễn cuộc sống muôn hình muôn vẻ.
Mô hình toán học có thể có nhiều cấp độ, có thể mô tả một lớp rộng rãi các đối
tượng của hiện thực khách quan, cũng có thể phân chia thành nhiều lớp các mô hình
riêng biệt và chúng có nhiều mức độ khác nhau, đơn giản nhất là mô hình của các
quá trình cụ thể. Trong sự suy diễn ở trên là đi từ mô hình tổng quát đến mô hình

riêng biệt, cụ thể; tuy nhiên, trên thực tế, việc xây dựng mô hình đi ngược lại. Quá
trình xây dựng mô hình toán học không phải là quá trình hình thức hoá mà nó chứa
đựng những giả định (giai đoạn trực giác), các tính toán dựa trên những giả định và
so sánh với thông tin thu nhận được. Tuy phức tạp nhưng người ta cũng hình dung
ra được các giai đoạn phải thực hiện trong quá trình này. Theo A. A. Dorođnhixưn,
quá trình mô hình hóa của các nhà khoa học có thể phân thành các bước sau: 1)
Nhận biết các dạng liên hệ (người); 2) Xây dựng mô hình toán học (người); 3) Giải
bài toán trên mô hình (máy); 4) So sánh kết quả đã giải với thông tin thu được, xác
định những điều không phù hợp (máy); 5) Phân tích các nguyên nhân có thể gây
nên sự không phù hợp (người); 6) Xây dựng mô hình toán học mới. Sau đó quá
trình lặp lại từ 2 đến 6, số lần lặp lại tuỳ thuộc vào tư duy sắc bén của con người.
Nếu kết quả phù hợp thì có thể chấp nhận mô hình, ngược lại thì phải quay về bước
1 [4, tr.24].
- Đối với người có học vấn bậc phổ thông, hoạt động THH các vấn đề thực tế
xảy ra khi họ đối mặt với các tình huống có ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống cá
nhân. Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng toán học phổ thông để
giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân mình. Khác với dạng hoạt
động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu, hoạt động dạng thứ hai lại thiên về việc vận
dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ biến thường xảy ra trong
cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang tính chất gián tiếp. Cụ thể là,
trước tình huống đối mặt trong cuộc sống, họ phải liên tưởng tới những tri thức toán
học phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết nhằm thỏa mãn
nhu cầu của mình. Không những thế, người lao động còn biết nhìn lại quá trình giải
quyết một cách nghiêm túc, tìm ra được lược đồ tối ưu để bổ sung vào vốn kinh
nghiệm, phục vụ cho các hoạt động thực tiễn của mình.

9


Hoạt động THH các vấn đề thực tế rất quan trọng, cần thiết đối với mọi người

lao động. Hoạt động dạng thứ hai vừa mô tả ở trên mang tính chất phổ biến cho
những người có học vấn phổ thông, giúp cho họ năng động thích ứng với thực tiễn
đời sống.
1.1.4. Phương pháp mô hình hóa
Phương pháp mô hình hóa là phương pháp nhận thức khoa học mà con người
dùng phương tiện là mô hình để nghiên cứu các sự vật và hiện tượng.
- Quan niệm về mô hình: Về mô hình, có nhiều quan niệm khác nhau, có thể
dẫn ra đây một vài ví dụ:
+ Khách thể M là mô hình của khách thể A đối với hệ thống S các đặc trưng
nào đó, nếu M được xây dựng hoặc được chọn để bắt chước A theo những đặc trưng
đó” [1, tr.107].
+ Mô hình là một “ vật” hay “ hệ thống vật” đóng vai trò đại diện hoặc vật
thay thế cho “ vật” hay “ hệ thống vật” mà ta quan tâm nghiên cứu [36, tr.175].
+ Mô hình là một hệ thống được hình dung trong óc hoặc được thực hiện
bằng vật chất phản ánh hay tái tạo lại đối tượng nghiên cứu…[26, tr.347].
Nói tóm lại, mô hình là vật trung gian dùng để nghiên cứu đối tượng (vật
gốc) mà ta quan tâm.
- Các đặc trưng của mô hình: Mô hình là vật đại diện, vật trung gian cho sự
nghiên cứu, nên mô hình phải bảo lưu được các mối quan hệ cơ bản của vật gốc
(tính chất nào là cơ bản do con người quan niệm). Bởi vậy, mô hình phải đồng cấu
hay đẳng cấu với vật gốc. Mô hình đẳng cấu (đồng cấu) với vật gốc theo nghĩa:
đồng nhất hoàn toàn về mặt cấu trúc (đồng nhất những tính chất và những mối quan
hệ chủ yếu). Tính chất này cho phép con người xây dựng những mô hình đơn giản
hơn vật gốc. Iu.Xviregiev cho rằng : “ Mô hình có thể là thô thiển và chưa hoàn
thiện, song nó phải xét đến mọi khía cạnh chính của thực tế, những khía cạnh mà
chúng ta quan tâm tới” [40, tr.28]. Tuy nhiên, không phải bao giờ mô hình cũng đơn
giản hơn vật gốc. Ngày nay, với sự phát triển, của khoa học kĩ thuật, con người sử
dụng nhiều phương tiện hiện đại để mô tả đối tượng nghiên cứu, cho nên nó có thể
phức tạp hơn vật gốc.

10


- Về mặt nhận thức, mô hình là sản phẩm của quá trình tư duy, nó ra đời nhờ
quá trình trừu tượng hóa của ít nhiều các đối tượng cụ thể. Trong quá trình trừu tượng
hóa, con người đã vứt bỏ những dấu hiệu không bản chất, chỉ giữ lại những thuộc tính
bản chất, hay nói cách khác, đối tượng nghiên cứu đã được nghiên cứu đã được lí
tưởng hóa. Bởi vậy mô hình mang tính lí tưởng, tính chất này cho phép con người
sáng tạo ra trên đó những yếu tố chưa hề có trong thực tiễn. Điều này đã làm cho
phương pháp mô hình hóa có tính chất cách mạng, có tính phát triển. Do đó, quá trình
xây dựng mô hình là một quá trình nhận thức khoa học tích cực [36, tr.177].
- Quá trình mô hình hóa : Theo Phan Anh, quá trình mô hình hóa có ba giai
đoạn như sau:
+ Giai đoạn 1 là giai đoạn xây dựng mô hình, đó là quá trình tìm “vật” đại
diện thông thường cần sự liên tưởng các vấn đề tương tự. Trong giai đoạn này, vai
trò của trí tưởng tượng và trực giác rất quan trọng.
+ Giai đoạn 2 là giai đoạn nghiên cứu trên mô hình. Trong giai đoạn này, mô
hình trở thành đối tượng nghiên cứu; trên đó, người áp dụng các phương pháp lí
thuyết và thực nghiệm khác nhau.
+ Giai đoạn 3 là giai đoạn xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình. Trong giai
đoạn này, các kết quả thu được trên mô hình được chuyển về đối tượng nghiên cứu
để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình [2, tr.19].
Giai đoạn 1 chính là quá trình “THH”
1.2. Về năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh THPT
Theo Đinh Thị Phương Hạnh, Toán học có nguồn gốc thực tiễn, tuy nhiên có
tính trừu tượng cao độ, chính nhờ đặc điểm này mà toán học có tính độc lập tương
đối. Tính trừu tượng cao độ của toán học chỉ che lấp làm mất đi nguồn gốc thực tiễn
của nó trong đời sống thực. Sự hình thành và phát triển của toán học được thể hiện
qua hai xu hướng chính: toán học lí thuyết và toán học ứng dụng. Sự phân chia đó
cũng chỉ có tính chất tương đối, vì suy cho cùng, mọi lí thuyết của nó dù xa hay

gần, cuối cùng cũng trở thành phản ánh, ứng dụng trong thực tiễn. Lí thuyết càng
trừu tượng thì ứng dụng càng lớn, Newton nói rằng: “ không có gì gần thực tiễn hơn
là một lí thuyết đẹp” [7].

11


1.2.1. Khái niệm năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn
- Theo từ điển Tiếng Việt, “ năng lực” có hai nghĩa:
1. Khả năng, điều kiện chủ quan hoặc tự nhiên sẵn có để thực hiện một hoạt
động nào đó.
2. Phẩm chất tâm lí và sinh lí tạo cho con người có khả năng hoàn thành một
loại hoạt động nào đó với chất lượng cao.
Theo tâm lí học, năng lực là tổng hợp những thuộc tính độc đáo của cá nhân
phù hợp với những yêu cầu đặc trưng của một hoạt động nhất định,nhằm đảm bảo
hoàn thành có kết quả tốt trong lĩnh vực hoạt động ấy. Như vậy, nghĩa thứ hai trong
từ điển là tương tự với khái niệm về năng lực trong tâm lí học. Trong luận văn sẽ
quan niệm về năng lực tâm lí học. Với nghĩa đó, năng lực có thể được rèn luyện, bồi
dưỡng, phát triển…(Với nghĩa thứ nhất trong từ điển, năng lực nói chung là một
yếu tố đã xác định, ổn định, như năng lực chuyên chở của một đoàn xe, năng lực
thông qua hàng hóa của một bến cảng…)
Cũng theo tâm lí học, để có một loại năng lực nào đó, phải có một loại hoạt
động. Vận dụng toán học vào thực tiễn là một loại hoạt động riêng, phổ biến và cần
thiết trong đời sống. Như vậy, chúng ta có thể nói đến năng lực vận dụng Toán học
vào thực tiễn.
- Hoạt động THH tình huống thực tiễn xảy ra khi HS đối mặt với các tình
huống có thực ngoài xã hội. Họ phải nỗ lực chuyển những tình huống này về dạng
toán học phổ thông để giải quyết, phục vụ cho hoạt động thực tiễn của bản thân
mình. Khác với dạng hoạt động thứ nhất là hoạt động nghiên cứu, hoạt động dạng
thứ hai lại thiên về việc vận dụng toán học vào trong các tình huống đơn giản, phổ

biến thường gặp trong cuộc sống. Tuy nhiên, việc vận dụng đó lại mang tính chất
gián tiếp, cụ thể là trước tình huống đó, họ phải liên tưởng đến những tri thức
Toán học đã biết, phù hợp để từ đó đặt ra được bài toán và tìm cách giải quyết bái
toán đó. Ngoài ra, chúng ta còn phải xem xét lại quá trình giải quyết một cách
nghiêm túc, tìm được cách giải quyết tối ưu để bổ sung vào vốn sống, kinh nghiệm
của bản thân.

12


Cũng cần phải xác định một cách rõ ràng khái niệm “thực tiễn” và khái niệm
“thực tế”. “Thực tiễn” là toàn bộ hoạt động của con người, trước hết là lao động sản
xuất, trong khi đó “thực tế” là tổng thể nói chung những gì đang tồn tại, đang diễn
biến trong tự nhiên và trong xã hội về mặt có liên quan đến đời sống con người.
Luận văn chỉ quan tâm đến những tình huống thực tiễn đơn giản, phổ biến trong
cuộc sống mà bằng kiến thức đã học, HS có thể nhận thức được.
Như vậy, năng lực THH tình huống thực tiễn của HS là khả năng vận dụng
những hiểu biết của mình để chuyển hóa một tình huống thực tiễn về dạng Toán học.
Để đưa được toán học vào thực tiễn chúng tôi thấy HS không chỉ đơn thuần có
kiến thức và kỹ năng toán học, HS cần phải có cả những yếu tố khác, chẳng hạn như
phải có vốn sống, vốn văn hóa, ... nằm ngoài khuôn khổ toán học. Với quan niệm
mô hình là vật thay thế cho đối tượng nghiên cứu nên “dạng toán học” trong quan
niệm ở trên có thể coi là mô hình toán học cho tình huống thực tiễn. Do đó theo
chúng tôi, cốt lõi của hoạt động THH tình huống thực tiễn là việc xây dựng mô hình
toán học cho tình huống đó.
1.2.2. Bồi dưỡng năng lực Toán học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh
THPT
Tâm lý học cũng xác định rằng năng lực của một cá nhân chỉ có thể phát triển
thông qua hoạt động của cá nhân đó. Đồng thời, ngoài việc phụ thuộc vào tư chất và
điều kiện xã hội, lịch sử; sự phát triển của năng lực sẽ phụ thuộc vào tri thức, kỹ

năng, vào xu hướng, hứng thú, vào phẩm chất tính cách, thái độ của cá nhân phù
hợp với lĩnh vực hoạt động đòi hỏi năng lực này.
Từ những luận điểm trên, chúng ta đi đến nhận định là để bồi dưỡng năng lực
THH tình huống thực tiễn cho HS THPT qua dạy học Toán, phải tổ chức cho HS
tập luyện THH vào tình huống thực tiễn thông qua khai thác những nội dung thực
tế, những tình huống thực tế để đưa vào trong quá trình dạy học. Trong những hoạt
động kiến tạo những tri thức, rèn luyện kỹ năng cho HS, cần chú ý đến những tri
thức, kĩ năng có liên quan đến hoạt động thực tiễn, đồng thời chú ý kết hợp thực
hiện những hoạt động nhằm xây dựng, bồi dưỡng cho HS những cách thức, phương
pháp và hình thành, phát triển những phẩm chất tính cách, thái độ có tác dụng tích

13


cực đến hoạt động THH. Các hoạt động đó gọi chung là hoạt động bồi dưỡng năng
lực THH tình huống thực tiễn.
Năng lực THH tình huống thực tiễn được xem như là một thành tố của văn hóa
toán học, vì khái niệm "Văn hóa toán học" bao gồm cả yếu tố "sử dụng toán học để
thích ứng một cách có văn hóa với các tình huống (khi cần thiết) trong cuộc sống ".
Đối với người lao động, hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn, dù xét ở cấp
độ phổ biến, vẫn là phức tạp vì luôn gắn liền, phụ thuộc vào nghề nghiệp của mỗi cá
nhân. Trong khi đó, đối với HS THPT nói riêng và HS nói chung, hoạt động vận
dụng Toán học vào thực tiễn lại tương đối thống nhất, chỉ là hoạt động học tập và
các hoạt động thông thường trong đời sống. Tuy nhiên, năng lực THH tình huống
thực tiễn của mỗi người trong cuộc sống lao động sau này, đều được đặt nền móng
từ những yếu tố của năng lực THH khi còn là HS.
Trong luận văn, năng lực THH được xét là ở cấp độ phổ biến, các kiến thức toán
học vận dụng chỉ là các kiến thức ở THPT.
- Rèn luyện năng lực THH tình huống thực tiễn cho HS THPT. Tâm lý học
xác định rằng năng lực của một cá nhân chỉ có thể phát triển thông qua hoạt động

của cá nhân đó và ngoài việc phụ thuộc vào tư chất, vào điều kiện xã hội, lịch sử, sự
phát triển của năng lực phụ thuộc vào tri thức, kỹ năng, vào xu hướng, tính cách,
thái độ của cá nhân phù hợp với lĩnh vực hoạt động đòi hỏi năng lực này .
Từ những luận điểm trên, chúng ta đi đến nhận định là để nâng cao năng lực
THH tình huống thực tiễn cho HS THPT thông qua dạy học phải tổ chức cho HS
tập luyện THH các bài toán thực tiễn thông qua khai thác những nội dung thực tế,
những tình huống thực tế được đưa vào trong quá trình dạy học. Trong những hoạt
động kiến tạo tri thức, rèn luyện kỹ năng cho HS, cần chú ý khai thác những tri
thức, kĩ năng có liên quan đến hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn, thông
qua đó cũng kết hợp xây dựng, bồi dưỡng cho HS những xu hướng, hứng thú và
hình thành, phát triển những phẩm chất tính cách, thái độ có tác dụng tích cực đến
hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn.

14


1.2.3. Vị trí của năng lực Toán học hóa trong cấu trúc năng lực vận dụng toán
học vào thực tiễn
Từ căn cứ đã xác định, xin đưa ra một số thành tố trong cấu trúc năng lực vận
dụng Toán học vào thực tiễn của HS. Đó là 6 thành tố sau:
1. Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tế.
2. Năng lực chuyển đổi thông tin giữa thực tế và toán học.
3. Năng lực thiết lập mô hình toán học của các tình huống thực tế.
4. Năng lực ước chừng trong xử lí các thông tin toán học từ tình huống thực tế.
5. Năng lực áp dụng các mô hình toán học vào các tình huống thực tế.
6. Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lí các thông tin toán học từ tình
huống thực tế.
Trong cấu trúc năng lực Toán học (Dẫn theo [25]), các thành tố năng lực có
quan hệ mật thiết và ảnh hưởng lẫn nhau, có tác dụng tương hỗ, đan xen nhau;
chính vì vậy trong việc phát triển năng lực toán học ở HS, việc rèn luyện, phát triển

năng lực này thường liên quan đến kỹ năng, năng lực khác; chẳng hạn, năng lực
nắm được cấu trúc hình thức của bài toán là cơ sở góp phần quan trọng cho năng
lực tư duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian
(nếu không nắm được cấu trúc hình thức của bài toán thì năng lực tư duy lôgic
trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian của HS bị hạn chế
đi rất nhiều), ... Việc rèn luyện cho HS vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn
vừa nhằm hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, vừa phát
triển năng lực tư duy của HS. Đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, góp phần
phát triển năng lực Toán học ở HS.
Trong 6 thành tố chúng tôi xin được trình bày kỹ tầm quan trọng đối với thực
tiễn một thành tố:
* Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tế
Ý thức lựa chọn phương án tối ưu trong xử lý các tình huống thực tế (gọi tắt là ý
thức tối ưu hóa) là một thuộc tính tâm lí thường có mặt trong các hoạt động vận dụng
Toán học vào thực tiễn và góp phần để hoạt động này thực hiện thành công. Bởi vậy,
ý thức tối ưu hóa cũng được coi là một thành tố của năng lực vận dụng Toán học vào

15


thực tiễn vì năng lực là tổng hợp những thuộc tính tâm lý cá nhân phù hợp với một
hoạt động nhất định, nhằm đảm bảo hoàn thành tốt hoạt động ấy.(Dẫn theo [7])
Biểu hiện của ý thức tối ưu hóa là ở chỗ chủ thể luôn luôn có ý thức và thói
quen lựa chọn phương án tốt nhất theo một nghĩa nào đó để thực hiện, khi đối mặt
với các tình huống thực tế. Trong nhiều trường hợp, ý thức và thói quen tối ưu hóa
thường đóng vai trò động cơ thôi thúc chủ thể tìm cơ hội vận dụng Toán học vào
thực tiễn. Việc lựa chọn phương án tốt nhất trong những trường hợp khác nhau, có
khi chỉ bằng trực giác, bằng kinh nghiệm, có khi sử dụng các công cụ, các kiến thức
toán học và cũng có khi thành công, có khi không thành công. Chẳng hạn, từ địa
điểm A đến địa điểm B trong một thành phố có nhiều cách di chuyển khác nhau:

bằng taxi, bằng xe buýt, bằng xe máy, bằng xe đạp... và phải kết hợp nhiều yêu cầu
như về đảm bảo thời gian, về chi phí, về đặc điểm đường đi (như ô nhiễm, tắc
đường...) chủ thể cần chọn một trong các cách di chuyển. Trong trường hợp không
phức tạp, việc lựa chọn có thể là thành công nhưng trong trường hợp phức tạp, việc
lựa chọn có thể không thành công, thậm chí không xác định được là có thành công
hay không, phương án đã lựa chọn có là tốt nhất hay không. Điều quan trọng là chủ
thể luôn có ý thức đặt ra những nhiệm vụ như vậy khi đối mặt với thực tế.
Ý thức tối ưu hóa là một thành tố của năng lực vận dụng Toán học vào thực
tiễn nhưng không tách biệt với cách thành tố khác, không phải chỉ sử dụng hỗ trợ
những loại hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn riêng nào mà nó có tác dụng
hỗ trợ cho tất cả các thành tố khác thực hiện thêm hiệu quả. Như vậy, ý thức tối ưu
hóa được sử dụng trong tất cả các tình huống thực tế điển hình đã được đưa ra.
Theo chúng tôi, trên đây là 6 thành tố chủ yếu thường có mặt trong năng lực
vận dụng Toán học vào thực tiễn đối với HS. Cần xác định rằng, trong nhiều trường
hợp, ngoài các thành tố trên, năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn còn có thể
có những yếu tố khác nữa. Phân tích năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn
thành những thành tố như vậy cũng không phải để khu biệt, đối lập chúng với nhau
mà chủ yếu nhằm mục đích xem xét năng lực vận dụng Toán học vào thực tiễn rõ
hơn, dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Các thành tố đó không phải tác động riêng rẽ,
mình nói chung đan xen, hỗ trợ lẫn nhau, cùng phối hợp với những mức độ khác

16


nhau trong các hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn của mỗi cá nhân. Cũng
có những trường hợp một số thành tố được tổng hợp thành một năng lực nào đó,
như có thể coi năng lực THH tình huống thực tế là tổng hợp từ ba thành tố: Năng
lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tế; Năng lực chuyển đổi thông
tin giữa thực tế và toán học; Năng lực thiết lập mô hình toán học của tình huống
thực tế.

1.3. Vấn đề bài toán có nội dung thực tiễn

1.3.1. Tình huống thực tế, bài toán thực tiễn và một số khái niệm có liên quan khác
Theo Phan Anh, Tình huống thực tiễn là tình huống mà khách thể của nó chứa
đựng các yếu tố mạng nội dung thực tiễn(tức là mang nội dung hoạt động của con
người)[2, tr.31].
Xét tình huống một chiếc máy bay bay từ Nội Bài vào Tân Sơn Nhất. Đây là
một tình huống thực tế, chủ thể có thể là hành khách, khách thể gồm nhiều yếu tố
như tốc độ máy bay, độ dài đường bay, thời gan bay, độ cao v.v...
Một hoạt động vận dụng toán học vào thực tiễn trong trường hợp này có thể là
tìm thời gian của hành trình khi biết độ dài chặng đường và biết vận tốc của máy
bay, ... . Trong hoạt động đó, đã vận dụng toán học để tìm một phần tử chưa biết
của khách thể.
Xét tình huống cần thông báo một số số liệu thực tiễn nào đó sau khi thu thập
được. Một hoạt động vận dụng Toán học vào thực tiễn ở đây có thể là tiến hành sắp
xếp để biểu diễn các số liệu đó dưới dạng một biểu đồ hình quạt hay biểu đồ hình
cột. Trong hoạt động này, Toán học đã được vận dụng để sắp xếp các phần tử
trong khách thể nhằm đạt một mục đích đã được chủ thể đề ra.
* Bài toán thực tế (thực tiễn) và bài toán có nội dung thực tiễn
+ Khái niệm bài toán: Chúng tôi đồng ý với quan niệm của các tác giả L.N.
Lanđa, A.N. Lêonchiep: "Bài toán là mục đích đã cho trong những điều kiện nhất
định, đòi hỏi chủ thể (người giải toán) cần phải hành động, tìm kiếm cái chưa biết
trên cơ sở mối liên quan với cái đã biết". Theo chúng tôi, như vậy, một bài toán
phải có các giả thiết (những điều kiện nhất định) và các câu hỏi, kết luận (cái chưa
biết cần tìm kiếm).

17