Giả thuyết hayman và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

GIẢ THUYẾT HAYMAN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT
CHO CÁC HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

NGUYỄN THỊ THƯƠNG

GIẢ THUYẾT HAYMAN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT
CHO CÁC HÀM PHÂN HÌNH P -ADIC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
PGS.TS. HÀ TRẦN PHƯƠNG

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải
tích với đề tài "Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho hàm phân hình

p-adic" là sự nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Hà Trần
Phương. Các kết quả chính trong luận văn chưa từng được công bố trong các
luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác ở Việt Nam.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thương

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS. Hà Trần Phương, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để
tôi có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình
học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Bản luận văn không thể tránh những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp

ý của quý thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện
hơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thương

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Một số ký hiệu viết tắt

1

Mở đầu

2

Chương 1. Giả thuyết Hayman p-adic

5

1.1. Phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình p-adic . . . . . . . .

13

Chương 2. Vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p-adic

34

2.1. Đa thức duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2. Các hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ . . . . . . . . . .

40

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

49

iii


Một số ký hiệu viết tắt
Cp

Không gian các số phức p-adic.

|.|

Giá trị tuyệt đối |.|p trên Cp .

A(Cp )

Tập hợp các hàm nguyên trong Cp .

M(Cp )

Tập hợp các hàm phân hình trong Cp ,
tức là, trường phân số của A(Cp ).

Cp (z)

Tập các hàm hữu tỷ trên Cp . Khi đó Cp (z) ⊂ M(Cp ).

Γ(a, r1 , r2 )

Hình vành khăn {z ∈ Cp : r1 < |z − a| < r2 }.

Cp (a; r)

Đĩa mở {z ∈ Cp : |z − a| < r}.

Cp a; r

Đường tròn {z ∈ Cp : |z − a| = r}.

Cp [a; r]

Đĩa đóng {z ∈ Cp : |z − a| ≤ r}.

A(Cp (a; r))

Tập hợp các hàm giải tích trong đĩa Cp (a; r),
∞

tức là, Cp - đại số của chuỗi lũy thừa

an (z − a)n

n=0

với an ∈ Cp hội tụ trong Cp (a; r).

M(Cp (a; r))

Tập hợp các hàm phân hình trong đĩa Cp (a; r),
tức là, trường phân số của A(Cp (a; r)).

Ab (Cp (a; r))

Cp (a; r)-đại số con của A(Cp (a; r)) chứa biên của
hàm giải tích f ∈ A(Cp (a; r)), thỏa mãn sup |an | rn < +∞.
n∈N

Mb (Cp (a; r)) Trường phân số của Ab (Cp (a; r)).
∞

Ar (Cp )

Vành của chuỗi lũy thừa f (z) =
n=0

thỏa mãn điều kiện lim |an |rn = 0.
n→∞

1

an z n (an ∈ Cp )


A(r (Cp )

Tập các chuỗi lũy thừa của z mà bán kính hội tụ
lớn hơn hoặc bằng r.

Mf (Cp )

Tập hợp các hàm phân hình nhỏ đối với f trong Cp .

Mf (Cp (0; R)) Tập hợp các hàm phân hình nhỏ đối với f trong Cp (0; R).
Cp

Mở rộng đại số của Cp .

Cp (0; R)

Đĩa mở z ∈ Cp : |z| < R

log

Logarit thực cơ số e.

Z(r, f )

Hàm đếm tại các không điểm của f trong Cp (0; R)

chứa trong Cp .

(với 0 < r < R).

N (r, f )

Hàm đếm tại các cực điểm (hàm đếm không kể bội)
của f trong Cp (0; R) (với 0 < r < R).

m(r, f )

Hàm bù (hàm xấp xỉ) của f .

T (r, f )

Hàm đặc trưng của f .

v(z) = − log |z|.
Ar (Cp ) = A(∞ (Cp ).
Au (Cp (a; r)) = A(Cp (a; r))\Ab (Cp (a; r)).
Mu (Cp (a; r)) = M(Cp (a; r))\Mb (Cp (a; r)).
Các phần tử trong M(Cp )\Cp (z) được gọi là hàm siêu việt và có vô hạn
không điểm hoặc cực điểm.
(Với a ∈ Cp , r > 0 và r1 , r2 thỏa mãn 0 < r1 < r2 )

2


Mở đầu
Năm 1967, W. K. Hayman đã đặt ra một giả thuyết khá nổi tiếng mà ta
thường gọi là giả thuyết Hayman: Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn điều kiện

f n (z)f (z) = 1 với mọi z ∈ C, trong đó n là một số nguyên dương nào đó thì
f phải là hàm hằng. Và ông cũng đặt ra câu hỏi: nếu f là hàm phân hình siêu
việt, thì f + af m có vô số không điểm mà không là không điểm của f với mỗi
số nguyên m ≥ 3 và a ∈ C\ {0}? Giả thuyết này thu hút được sự quan tâm
nghiên cứu của nhiều tác giả và đã có nhiều công trình khoa học được công bố
theo hướng nghiên cứu này trong các trường hợp khác nhau: hàm phân hình
phức, hàm phân hình p-adic, đa thức sai phân,.... Các kết quả nghiên cứu giả

thuyết Hayman theo hướng này tập trung lại thành một vấn đề chung được
gọi là “Sự lựa chọn Hayman”.
Từ năm 2008, trong công trình [19], nhà toán học J. Ojeda đã nghiên cứu
giả thuyết Hayman trong trường hợp hàm phân hình siêu việt p-adic. Ý tưởng
chính trong bài báo này của ông là trả lời câu hỏi của Hayman bằng cách xét
hàm f + T f m với T ∈ Cp (z) và ông đã chứng minh câu hỏi của Hayman đúng
khi m ≥ 5 và m = 1. Ngoài ra, trong một số công trình gần đây J. Ojeda đã
công bố một số kết quả về vấn đề duy nhất cho hàm phân hình p-adic. Ông
đã chứng minh: với f , g là các hàm nguyên trên Cp , Giả sử a ∈ Cp \ {0} và
3


n, k ∈ N, k ≥ 2, α là hàm nguyên nhỏ đối với f và g . Nếu f n (f − a)k f và
g n (g − a)k g chung nhau giá trị α kể cả bội, với n ≥ max {6 − k, k + 1} thì
f = g . Nếu α ∈ Cp ∗ và n ≥ max {5 − k, k + 1} thì f = g . Và : với f , g là hai
hàm giải tích không giới nội trong một đĩa mở của Cp , α là hàm nhỏ giải tích
trong cùng đĩa. Nếu f n (f − a)2 f và g n (g − a)2 g chung nhau giá trị α kể cả
bội, với n ≥ 4 thì f = g . Nếu f n (f − a)f và g n (g − a)g chung nhau giá trị α
kể cả bội, với n ≥ 5 thì f = g .
Mục đích của luận văn "Giả thuyết Hayman và vấn đề duy nhất cho
các hàm phân hình p-adic" trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về giả
thuyết Hayman p-adic và vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p-adic, được
J.Ojeda công bố trong các tài liệu [19] và [20]. Luận văn được bố cục thành 2
chương cùng phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1. Giả thuyết Hayman p-adic. Trình bày những kiến thức cơ bản
về phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic, giả thuyết Hayman cho các hàm
phân hình p-adic - một trong những kết quả nghiên cứu của J.Ojeda từ năm
2008.
Chương 2. Vấn đề duy nhất cho các hàm phân hình p-adic. Trong chương
này chúng tôi trình bày lại một số nghiên cứu của J.Ojeda và một số tác giả

khác trong thời gian gần đây về vấn đề đa thức xác định duy nhất cho các
hàm phân hình và các hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ.

4


Chương 1
Giả thuyết Hayman p-adic
1.1. Phân bố giá trị cho hàm phân hình p-adic
Các hàm đặc trưng Nevanlinna
Trong phần này ta luôn quy ước các số thực ρ0 , r, ρ thỏa mãn 0 < ρ0 <

r < ρ ≤ ∞.
∞

Định nghĩa 1.1. Giả sử f (z) =

an z n ∈ Aρ (Cp ), ta định nghĩa số hạng lớn

n=0

nhất bởi µ(r, f ) = max |an |r

n

n≥0

và chỉ số trung tâm là

ν(r, f ) = max{n : |an | rn = µ(r, f )}.

n≥0

Với r = 0, ta định nghĩa µ(0, f ) = lim+ µ(r, f );
r→0

ν(0, f ) = lim+ ν(r, f ).
r→0

Mệnh đề 1.2. Chỉ số trung tâm ν(r, f ) tăng theo r khi r → ρ và thỏa mãn
r

log µ(r, f ) = log |aν(0,f ) | +

ν(t, f ) − ν(0, f )
dt + ν(0, f ) log r.
t

0

5


Cho f ∈ A(ρ (Cp ), biểu diễn f dưới dạng:
∞

an z n (am = 0, m ≥ 0).

f (z) =
n=m

1
f −a
1
là số không điểm kể cả bội của f −a trong miền {|z| ≤ r}. Đặc biệt n 0,
=
f
m. Cố định một số thực ρ0 : 0 < ρ0 < ρ. Ký hiệu hàm đếm của f tại a là:
Hệ số am còn được ký hiệu là f ∗ (0). Với a ∈ Cp tùy ý, ta ký hiệu n r,

r

N r,

1
f −a

n t,

=

1
f −a
t

dt.

ρ0
r

n t,

Và N (r, f = a) =

1
1
− n 0,
f −a
f −a
t

dt + n 0,

1
log r.
f −a

ρ0

Mệnh đề 1.2 kéo theo công thức Jensen

N (r, f = 0) = log µ(r, f ) − log |am |
do đó

N r,

1
f

= N (r, f = 0) − N (ρ0 , f = 0) = log µ(r, f ) − log µ(ρ0 , f ).

Ta cũng ký hiệu số các không điểm phân biệt của f − a trong Cp [0; r] là
1
n r,
và hàm đếm không kể bội
f −a
r

N r,

1
f −a

n t,

=

1
f −a
t

dt.

ρ0

Định nghĩa 1.3. Giả sử f ∈ M(ρ (Cp ) là một hàm phân hình, khi đó tồn
tại hai hàm f0 , f1 ∈ Ar (Cp ) sao cho f1 , f0 không có nhân tử chung trong
6


Ar (Cp ) và f =

n r,

1
f −a

f1
. Với a ∈ Cp ∪ {∞}, ta định nghĩa hàm đếm số không điểm
f0

của f tại a bởi

1
n r,
f −a

Định nghĩa hàm đếm N

1
N r,
f −a


1


 n(r, f ) = n r,
f0
=
1



 n r,
f1 − af0

1
của f tại a bởi
f −a

1


 N (r, f ) = N r,
f0
=
1


 N r,
f1 − af0

: a = ∞,
: a = ∞.

r,

: a = ∞,
: a = ∞.

Ký hiệu


 N (r, f ) = N (r, f0 = 0)
N (r, f = a) =
 N (r, f − af = 0)
1

0

: a = ∞,
: a = ∞.

1
1
và N r,
lần
f −a
f −a
lượt là số cực điểm phân biệt của f , hàm đếm không kể bội của f , số không
Tương tự, ta định nghĩa n(r, f ), N (r, f ), n r,

điểm phân biệt của f tại a, hàm đếm không kể bội của f tại a trong {|z| ≤ r}.
Định nghĩa 1.4. Hàm bù (hay còn gọi là hàm xấp xỉ ) của hàm f là hàm
được cho bởi công thức

m(r, f ) = log+ µ(r, f ) = max {0, log µ(r, f )} .
Đặc biệt

m r,

1
f

= log+ µ r,

1
f

= log+

1
= max {0, − log µ(r, f )} .
µ (r, f )

7


Định nghĩa 1.5. Hàm đặc trưng của hàm f là hàm được cho bởi công thức

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )

(ρ0 < r < ∞).

Khi đó, công thức Jensen được viết lại là

T

r,

1
f

= T (r, f ) − log µ(ρ0 , f ).

(1.1)

Ngoài ra, cho α ∈ Cp (0; R) và h ∈ M(Cp (0; R)). Nếu h có một không điểm
cấp n tại α, ta đặt ωα (h) = n, nếu h có một cực điểm cấp n tại α, ta đặt

ωα (h) = −n, và cuối cùng, nếu h(α) = 0 và ∞, ta đặt ωα (h) = 0.
Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn 0 không là không điểm cũng không là cực
điểm của f . Cho r ∈ (0, R). Khi đó, ta cũng ký hiệu Z(r, f ) là hàm đếm tại
các không điểm của f trong Cp (0; R)

ωα (f )(log r − log |α|),

Z(r, f ) =
ωα (f )>0 |α|≤r

và tương tự ta đặt

(log r − log |α|).

Z(r, f ) =
ωα (f )>0 |α|≤r

Ta cũng sẽ xét hàm đếm tại các cực điểm của f trong Cp (0; R)

N (r, f ) = Z r,

1
f

và

N (r, f ) = Z r,

1
f

.

Khi đó, hàm Nevanlinna T (r, f ) được xác định bởi

T (r, f ) = max {Z(r, f ) + log |f (0)| ; N (r, f )} .
Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn 0 không là không điểm và không là cực
điểm của f và cho S là tập con hữu hạn của Cp . Ta kí hiệu Z0S (r, f ) là hàm
8


đếm tại các không điểm của f trong Cp [0; r] thỏa mãn các không điểm đó
không là không điểm của f − s bất kì với s ∈ S . Khi đó

Z0S (r, f ) =

ωα (f )(log r − log |α|).
s∈S,ωα (f −s)=0, |α|≤r

Một số tính chất
Mệnh đề 1.6. Giả sử fi ∈ M(ρ (Cp ) (i = 1, 2, ..., k). Khi đó với mỗi r > 0,
ta có
k

k

fi ) ≤

N (r,
i=1
k

k

N (r, fi );

N r,

i=1

≤

i=1

N (r, fi );
i=1

k

fi ) ≤ max m(r, fi );

m(r,

k

fi

i=1

i∈{1,...,k}

k

fi ) ≤

m(r,
i=1

m(r, fi ).
i=1

A. Boutabaa và A. Escassut trong [5], A. Escassut trong [7], P. C. Hu và C.
C. Yang trong [16] cho ta một số kết quả liên quan tới lý thuyết Nevanlinna
dưới đây.
Bổ đề 1.7. Nếu f ∈ A(Cp )\Cp [z] tương ứng nếu f ∈ Au (Cp (0; R)) thì f có
vô số không điểm.
Bổ đề 1.8. Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R)) thỏa mãn

f (0) = 0 và cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) . Với b ∈ Cp bất kì, ta có
Z(r, f − b) = Z(r, f ) + O(1).
Bổ đề 1.9. Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R)) thỏa mãn

f (0) = 0 và cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) . Hàm T (r, f ) và Z(r, f ) là

tương đương sai khác một hằng số cộng.

9


Mệnh đề 1.10. Cho fi ∈ M(Cp ) tương ứng cho fi ∈ M(Cp (0; R)) thỏa
mãn fi (0) = 0, ∞ với i = 1, . . . , k . Khi đó, cho r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) ,
ta có
k

Z

r,

k

≤

fi
i=1

k

T

r,

Z (r, fi ),
i=1

k

fi

≤

i=1

k

T (r, fi ),

T

r,

i=1

k

fi

≤

i=1

T (r, fi ),
i=1

và T (r, f ) là hàm tăng của r.

Mệnh đề 1.11. Cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn f (0) = 0, ∞. Khi đó, f ∈

Mb (Cp (0; R)) khi và chỉ khi T (r, f ) bị chặn trong (0, R).
Hai định lý cơ bản
Cố định hai số thực ρ và ρ0 sao cho 0 < ρ0 < ρ < ∞. Trước tiên, ta tìm
hiểu Định lý cơ bản thứ nhất, định lý này tương tự với trường hợp phức.
Định lý 1.12 (Định lý cơ bản thứ nhất). Nếu f là hàm phân hình khác hằng
trên Cp (0; ρ) thì với mọi a ∈ Cp ta có

m r,

1
f −a

+ N r,

1
f −a

= T (r, f ) + O(1).

Mệnh đề 1.13 (Bổ đề đạo hàm logarit). Cho f là hàm phân hình khác hằng
trên Cp (0; ρ). Khi đó với một số nguyên k > 0, với mọi r < ρ ta có

µ r,

f (k)
f

≤

1
,
rk

đặc biệt

m r,

f (k)
f

1
≤ klog+ .
r
10


Với một hàm phân hình khác hằng f trong Cp (0; ρ), ta định nghĩa giá trị
phân nhánh bởi

NRam (r, f ) = 2N (r, f ) − N (r, f ) + N r,

1
f

.

Tiếp theo ta xem xét Định lý cơ bản thứ hai trong trường hợp p-adic.
Định lý 1.14 (Định lý cơ bản thứ hai). Cho f là hàm phân hình khác hằng

trên Cp (0; ρ) và a1 , ..., aq ∈ Cp là các số phân biệt. Đặt

δ = min {1, |ai − aj |} ,

A = max {1, |ai |} .
i

i=j

Khi đó với 0 < r < ρ,
q

(q − 1) T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

N r,

1
f − aj

− NRam (r, f ) − log r + Sf

N r,

1
f − aj

− log r + Sf ,

j=1
q

≤ N (r, f ) +
j=1
q

log µ (ρ0 , f − aj ) − log µ (ρ0 , f ) + (q − 1) log

trong đó Sf =
j=1

A
.
δ

Nhận xét 1.15. Do lượng Sf trong Định lý cơ bản thứ hai là một đại lượng
bị chặn nên

Sf
= 0.
r→∞ T (r, f )
lim

Ta ký hiệu

1
n r, ; a1 , a2 , ..., aq
f

1
=n r,

f

q

+

q

−

n r,
j=1

khi đó
11

n r,
j=1

1
,
f − aj

1
f − aj
(1.2)


0 ≤ n r,

1
; a1 , a2 , ..., aq
f

≤ n r,

1
f

.

Định nghĩa hàm đếm
r

N r,

1
; a1 , a2 , ..., aq
f

=

n t,

1
; a1 , a2 , ..., aq
f
dt.
t

ρ0

Khi đó, từ công thức (1.2), bất đẳng thức thứ hai trong Định lý 1.14 có thể
viết lại mạnh hơn như sau:
q

(q − 1)T (r, f ) ≤ N (r, f ) +

N r,
j=1

1
f − aj

− N r,

1
; a1 , a2 , ..., aq
f

− log r + Sf .
Một số dạng của Định lý cơ bản thứ hai
Định lý sau đây là một dạng Định lý chính thứ hai cho hàm phân hình trên
Cp .
Định lý 1.16 ([2], [9]). Cho β1 , ..., βn ∈ Cp với n ≥ 2 và cho f ∈ M(Cp )
tương ứng f ∈ M(Cp (0; R)) . Giả sử S = {β1 , ..., βn }. Giả thiết rằng không
hàm nào trong các hàm f, f và f − βj bằng 0 hoặc ∞ tại gốc với 1 ≤ j ≤ n.
Khi đó với mọi r > 0 tương ứng với mọi r ∈ (0, R) ta có
n

Z (r, f − βj ) + N (r, f ) − Z0S (r, f ) − log r + O(1).

(n − 1)T (r, f ) ≤
j=1

Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa hàm nhỏ đối với hàm phân hình.
Định nghĩa 1.17. Cho f ∈ M(Cp ) tương ứng cho f ∈ M(Cp (0; R) thỏa
mãn f (0) = 0, ∞. Một hàm α ∈ M(Cp ) tương ứng cho α ∈ M(Cp (0; R)
12


không có không điểm và cực điểm tại 0 được gọi là hàm nhỏ đối với f nếu nó
T (r, α)
T (r, α)
= 0 tương ứng lim−
=0 .
thỏa mãn lim
r→+∞ T (r, f )
r→R T (r, f )
Nếu 0 là một không điểm hoặc cực điểm của f hoặc α, ta có thể thay đổi
biến sao cho gốc mới không là không điểm hoặc cực điểm của f và α. Như vậy
ta có thể thấy rằng quan hệ sau cùng không thực sự phụ thuộc vào gốc.
Định lý 1.18 ([17]). Cho f ∈ A(Cp ) tương ứng cho f ∈ A(Cp (0; R))
khác hàm hằng thỏa mãn f (0) = 0 và cho u1 , u2 ∈ A(Cp ) tương ứng cho

u1 , u2 ∈ A(Cp (0; R)) là hàm nhỏ đối với f và không có không điểm tại 0. Khi
đó

T (r, f ) ≤ Z(r, f − u1 ) + Z(r, f − u2 ) + S(r),
trong đó S(r) = 2T (r, u1 ) + 3T (r, u2 ) − log r + O(1).

Một định lý Nevanlinna đặc biệt được biết đến từ Định lý Nevanlinna trên
ba hàm nhỏ ([21]):
Bổ đề 1.19. Cho f ∈ M(Cp )\{0} tương ứng f ∈ M(Cp (0; R)) và cho

α ∈ Mf (Cp ) tương ứng α ∈ Mf (Cp (0; R)) không có không điểm và cực
điểm tại 0. Khi đó, với r > 0 tương ứng r ∈ (0, R) , ta có T (r, f ) ≤ Z(r, f )+

Z(r, f − α) + N (r, f ) + Sf (r).

1.2. Giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình p-adic
Trong phần này, ta nghiên cứu giả thuyết nổi tiếng của Hayman cho hàm
phân hình siêu việt trong một trường p-adic bằng việc sử dụng phương pháp
của giải tích p-adic và đặc biệt lý thuyết Nevanlinna p-adic.
13


Trước tiên, ta tìm hiểu giả thuyết Hayman cho các hàm phân hình siêu việt
trong một trường thặng dư đặc số bất kỳ và tiếp theo trong trường thặng dư
đặc số 0. Vấn đề đặt ra là: Cho f ∈ M(Cp ) là một hàm siêu việt và T ∈ Cp (z).
Ta có thể kết luận rằng f + T f m có vô số không điểm mà không là không điểm
1
của f ? Đặt g = , có thể thấy rằng số không điểm của f + T f m mà không là
f
không điểm của f chính là số không điểm của g g m−2 − T . Như vậy, giải quyết
giả thuyết Hayman tương tương với việc trả lời câu hỏi: Cho g ∈ M(Cp ) là
một hàm siêu việt và T ∈ Cp (z). Ta có thể kết luận g g n − T có vô số không
điểm?
Thật vậy, đặt

g (z) =

1
.
f (z)

Khi đó

−1
T
g
(z)
+
[g(z)]m
[g(z)]2
−1
m−2
=
g (z) − T ),
m (g
[g(z)]

f (z) + T f m (z) =

(1.3)

tại n = m − 2.
Câu hỏi đã nghiên cứu trong giải tích phức nhiều năm, xét T = a ∈ C.
Vào năm 1959, W.K.Hayman ([14]) chứng minh nếu g là một hàm phân hình
siêu việt, a ∈ C\ {0} và n ≥ 3 thì g g n − a có vô số không điểm. Hai mươi
năm sau, E.Mues ([24]) chứng minh trường hợp n = 2 và cuối cùng vào năm

1995, W.Bergweiler và A.Eremenko ([1]), H.H.Chen và M.L.Fang ([6]) chứng
minh giả thiết này cũng đúng với n = 1, điều này hoàn thiện chứng minh giả
thuyết Hayman. Như vậy, trong trường hợp phức, chúng ta có thể kết luận
rằng f + af m có vô số không điểm mà không là không điểm của f khi m ≥ 3.
14


Nhận xét 1.20. Trong C, f + f m có thể không có không điểm nếu m = 1
hoặc m = 2 có thể chỉ ra tương ứng f (z) = exp(z) và f (z) = tan(−z).
Trong giải tích p-adic, ta cũng có thể nhận được các kết quả trong một bài
toán tương tự. Trước khi phát biểu định lý chính, ta nhắc lại một số ký hiệu
sử dụng trong nhiều công trình trong giải tích p-adic, đặc biệt các ký hiệu này
được sử dụng bởi A.Escassut trong [7].
+∞

Cho f (z) =

an z n ∈ A(Cp ). Ta xét tập

n=0

|f | (r) =

lim

|z|→r,|z|=r

|f (z)|

Giới hạn này tồn tại và |∗| là một giá trị tuyệt đối trên A(Cp ) tương

ứng trên A(Cp (0; r)) . Nó mở rộng trên M(Cp ) tương ứng M(Cp (0; R))
|g| (r)
g
bằng cách đặt |f | (r) =
khi mà f = , g, h ∈ A(Cp ) tương ứng
|h| (r)
h
g, h ∈ A(Cp (0; R)) .

an z n ∈ M(Cp ) và r > 0. Xét f trong đường

Mặt khác, cho f =
n∈Z
+

tròn Cp 0; r . Ta ký hiệu ν (f, r) (tương ứng ν − (f, r)) là số nguyên lớn nhất

i ∈ Z (tương ứng số nguyên nhỏ nhất i ∈ Z) thỏa mãn v (ai ) − i log r =
inf (v(an ) − n log r) (như vậy, ν + (f, r) = ν(r, f )). Ta chỉ viết ν(f, r) khi

n∈Z
+

ν (f, r) = ν − (f, r).
Bây giờ ta nhắc lại các tính chất cổ điển của hàm phân hình (xem chương
23 ([7])). Cho f ∈ M(Cp (0; R)) và r ∈ (0, R).
(i) Sự sai khác giữa số không điểm và cực điểm của f trong đường tròn
Cp 0; r tính cả bội thì bằng ν + (f, r) − ν − (f, r).
(ii) Nếu f có không điểm và cực điểm trong đĩa đóng Cp [0; r ] và không có
không điểm và cực điểm trong vành Γ(0, r , r ) thì ν + (f, r) = ν − (f, r), ∀r ∈

15


(r , r ).
Ở đây ta xét N∗ = N\ {0}, R > 1 là một số nguyên và T =

A
∈ Cp (z) với
B

A, B ∈ Cp [z] không có không điểm chung.
Như hệ quả của Định lý 2.1 ([5]), bổ đề dưới đây được coi là dạng p-adic
của công thức Jensen.
Bổ đề 1.21. Cho f ∈ M(Cp ) tương ứng cho f ∈ M(Cp (0; R)) thỏa mãn 0
không là không điểm và không là cực điểm của f . Khi đó

log |f |(r) = Z(r, f ) − N (r, f ) + log |f (0)|.
Định lý 1.22 ([19]). Cho f ∈ M(Cp ) là một hàm siêu việt tương ứng cho
1
thì
f ∈ Mu (Cp (0; R)) . Nếu lim |T | (r) > 0 tương ứng lim |T | (r) >
r→+∞
r→R
R
f + T f có vô số không điểm mà không là không điểm của f .
Chứng minh. Giả sử r > 0 tương ứng giả sử r ∈ [1, R) . Theo Bổ đề 4
1
([3]), ta có |f | (r) ≤ |f | (r). Ta sẽ kiểm tra sự tồn tại của ρ ∈ (0, +∞)
r
tương ứng ρ ∈ [1, R) thỏa mãn |f | (r) < |T f | (r) ∀r ∈ (ρ, +∞) tương

ứng ∀r ∈ (ρ, R) . Thật vậy, nếu f ∈ M(Cp ) thì ρ tồn tại vì lim |T | (r) > 0.
r→+∞
1
Bây giờ, ta giả sử f ∈ Mu (Cp (0; R)). Từ lim |T | (r) > , bởi tính liên tục,
r→R
R
1
∀r ∈ (ρ, R). Như vậy, ta đã
ta có thể tìm ρ ∈ [1, R) thỏa mãn |T | (r) >
r
chứng minh sự tồn tại của ρ ∈ (0, +∞) tương ứng ρ ∈ [1, R) thỏa mãn
1
|f | (r) ≤ |f | (r) < |T f | (r). Do đó
r

|f + T f | (r) = |T f | (r) ∀r > ρ tương ứng ∀r ∈ (ρ, R) .
Trước tiên, giả sử f có hữu hạn cực điểm. Khi đó f có vô số không điểm
trong Cp tương ứng trong Cp (0; R) bởi vì f là hàm siêu việt trong Cp tương
16


ứng không bị chặn trong Cp (0; R) . Hơn nữa, tồn tại một dãy tăng {rn }n∈N
với lim rn = +∞ (tương ứng lim rn = R) thỏa mãn f có không điểm và
n→+∞

n→+∞

không có cực điểm trong Cp 0; rn , T không có không điểm và cực điểm trong
Cp 0; rn và

|f + T f | (r) = |T f | (r) ∀r ≥ r1 .
Từ |f + T f | (r) = |T f | (r) trong một lân cận của rn , ta có

ν + (f + T f, rn ) − ν − (f + T f, rn ) = ν + (f, rn ) − ν − (f, rn ),

(1.4)

trong đó ν + (f, rn ) − ν − (f, rn ) là số không điểm của f trong Cp 0; rn và

ν + (f + T f, rn )−ν − (f + T f, rn ) là số không điểm của f + T f trong Cp 0; rn
(kể cả bội). Vì vậy, ta có thể suy ra f + T f có không điểm trong Cp 0; rn và
số không điểm của f + T f bằng số không điểm của f trong Cp 0; rn (kể cả
bội).
Mặt khác, từ mỗi không điểm của f trong Cp 0; rn không là một không
điểm của f + T f hoặc là một không điểm của f + T f có bậc thấp hơn bậc
của nó, do (1.4) tồn tại ít nhất một không điểm của f + T f mà không là
không điểm của f trong Cp 0; rn . Từ điều này đúng với mọi n ∈ N, ta được

f + T f có vô số không điểm trong Cp (tương ứng trong Cp (0; R)) mà không
là không là không điểm của f .
Bây giờ, giả sử f có vô số cực điểm. Khi đó, tồn tại một dãy tăng {rn }n∈N
với lim rn = +∞ (tương ứng lim rn = R), thỏa mãn f có cực điểm trong
n→+∞

n→+∞

Cp 0; rn , T không có không điểm và cực điểm trong Cp 0; rn và

|f + T f | (r) = |T f | (r) ∀r ≥ r1 .
17

Cho n ∈ N. Giả sử sn và tn lần lượt là số không điểm và cực điểm của f
trong Cp 0; rn , giả sử γn và τn lần lượt là số không điểm và cực điểm của

f + T f trong Cp 0; rn . Khi đó
ν + (f, rn ) − ν − (f, rn ) = sn − tn và ν + (f + T f, rn ) − ν − (f + T f, rn ) = γn − τn .
Từ |f + T f | (r) = |T f | (r) trong một lân cận của rn , ta lại có

ν + (f, rn ) − ν − (f, rn ) = ν + (f + T f, rn ) − ν − (f + T f, rn ).
Vì vậy, γn − τn = sn − tn trong Cp 0; rn . Nhưng ta có thể rằng τn là số cực
điểm của f trong Cp 0; rn (kể cả bội). Vì vậy, từ T không có không điểm và
cực điểm trong Cp 0; rn , ta có τn > tn kéo theo γn > sn . Do đó, f + T f phải
có ít nhất một không điểm trong Cp 0; rn mà không là không điểm của f . Vì
điều này đúng với tất cả n ∈ N, ta suy ra f + T f có vô số không điểm trong
Cp (tương ứng trong Cp (0; R)) mà không là không điểm của f .
Định lý 1.23 ([19]). Cho f ∈ M(Cp ) là một hàm siêu việt và deg(A) ≥

deg(B) tương ứng cho f ∈ Mu (Cp (0; R)) . Cho m > 2 là một số nguyên.
Nếu lim sup |f | (r) > 0 tương ứng lim sup |f | (r) = +∞ thì f + T f m có vô
r→+∞

r→R

số không điểm mà không là không điểm của f .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử 0 không là không điểm cũng
không là cực điểm của T f m và f + T f m . Ta sẽ chứng minh f có vô số không
điểm trong Cp tương ứng trong Cp (0; R) . Trước tiên, ta giả sử f ∈ M(Cp ).
Từ giả thiết lim sup |f | (r) > 0, tức là, tồn tại một dãy {Γ(0, r n , r n )}n∈N với
r→+∞

lim r

n→+∞

n

= +∞, và một hằng số C > 0 thỏa mãn Z(r, f ) ≥ N (r, f )+C

∀r ∈

(r n , r n ). Nếu f có hữu hạn không điểm, chẳng hạn q , thì Z(r, f ) = q log r
n∈N

18


và do đó N (r, f ) + C ≤ q log r. Vì vậy f có hữu hạn cực điểm, mâu thuẫn vì

f là một hàm siêu việt.
Bây giờ, giả sử f ∈ Mu (Cp (0; R)). Nếu f có hữu hạn không điểm trong
Cp (0; R) thì lim Z (r, f ) < +∞ và do đó lim sup |f | (r) < +∞, mâu thuẫn
r→R

r→R

với giả thiết.
Giả sử tập các không điểm của f + T f m mà không là không điểm của f
là hữu hạn. Khi đó, tồn tại ρ > 0 tương ứng ρ ∈ [1, R) thỏa mãn f + T f m
không có không điểm khác không điểm bội của f trong Cp \Cp [0, ρ] tương ứng

trong Γ(0, ρ, R) và T không có không điểm và cực điểm trong Cp \Cp [0, ρ]
tương ứng trong Γ(0, ρ, R) . Thế nên mỗi cực điểm của f + T f m là một cực
điểm của f m cùng số bội. Vì vậy

N (r, f + T f m ) − N (ρ, f + T f m )
=N (r, f m ) − N (ρ, f m ) ∀r ∈ Cp \Cp [0, ρ] (tương ứng ∀r ∈ (ρ, R)).

(1.5)

Giả sử σ > ρ thỏa mãn Cp 0; σ chứa ít nhất một không điểm của f . Mỗi
không điểm của f , chẳng hạn có bậc q , không là không điểm của f + T f m
hoặc là một không điểm của f + T f m với bậc q − 1. Từ f + T f m không có
không điểm trong Cp 0; r khác không điểm của f và T không có không điểm
và cực điểm trong Cp 0; r , dễ thấy số không điểm của f + T f m trong Cp 0; r
(kể cả bội) là ít hơn số không điểm của T f m (kể cả bội). Vì thế, hàm

Ψ(r) = Z(r, f m ) − Z(ρ, f m ) − [Z(r, f + T f m ) − Z(ρ, f + T f m )]
là hàm tăng nghiêm ngặt trong [σ, +∞) tương ứng trong [σ, R) .
Bây giờ, ta sẽ chỉ ra có một dãy tăng của các khoảng (r n , r n ) với ρ <

rn < rn < rn+1 và lim rn = +∞ tương ứng lim rn = R thỏa mãn
n→+∞

n→+∞

19


|f + T f m | (r) = |T f m | (r) ∀r ∈ (r n , r n ). Trước tiên, ta giả sử f ∈ M(Cp ).
Từ lim sup |f | (r) > 0, tồn tại một dãy của hình vành khăn {Γ(0, rn , r n )}n∈N

r→+∞

với ρ < rn < rn , lim rn = +∞ và hằng số C > 0 thỏa mãn
n→+∞

|f | (r) > C

∀r ∈ (r n , rn )

∀n ∈ N.

Từ T không có không điểm và cực điểm trong (r n , r n ) và deg(A) ≥ deg(B)
suy ra tồn tại λ > 0 thỏa mãn |T | (r) ≥ λ

∀r ∈ (r n , r n ). Vì vậy

|T f m | (r) > C m λ ∀r ∈ (r n , rn )
Mặt khác, theo Bổ đề 4 ([3]), |f | (r) ≤

∀n ∈ N.

1
|f | (r). Vì vậy, ta có thể suy ra
r

rằng

1
1 1
1

f
<
(r)
≤
Tfm
r |T f m−1 | (r) λr C

m−1

.

1 1 m−1
Vì vậy, cho r đủ lớn, ta có
< 1. Do đó |f | (r) = |T f m | (r). Bởi
λr C
vậy, |f + T f m | (r) = |T f m | (r). Như vậy, đẳng thức này đúng trong tất cả các
hình vành khăn Γ(0, r n , r n ) khi r n đủ lớn. Vì vậy, không mất tính tổng quát,
ta có |f + T f m | (r) = |T f m | (r) ∀r ∈ (r n , r n )

∀n ∈ N.

Bây giờ, ta giả sử f ∈ Mu (d(0, R− )). Từ lim sup |f | (r) = +∞ tồn tại 1 dãy
r→R

của các hình vành khăn {Γ(0, r n , r n )}n∈N với ρ < rn < rn và lim rn = R
n→+∞

thỏa mãn |f | (r) ≥ n ∀r ∈ (r n , r n ) và n ∈ N. Từ T ∈ Cp (z), tồn tại hằng
số λ > 0 thỏa mãn inf |T | (r) = λ. Khi đó |T f m | (r) ≥ λ |f | (r)nm−1

∀r ∈

r∈[1,R)

(r n , r n ) và n ∈ N. Hơn nữa, ta có thể thấy |f | (r) < |f | (r) ∀r ∈ (r n , r n )
bởi vì rn > 1. Do đó, khi n đủ lớn, ta có |f | (r) < |f | (r) < λnm−1 |f | (r) ≤

|T f m | (r) ∀r ∈ (r n , r n ), từ đó |f + T f m | (r) = |T f m | (r) ∀r ∈ (r n , r n ).
20