Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân hình P Adic

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU ĐÌNH TRUNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI
PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2013
1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
LƯU ĐÌNH TRUNG
VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI
PHÂN CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. VŨ HOÀI AN
Thái Nguyên - Năm 2013
2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau Đại học, Đại học Sư phạm - Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Vũ Hoài An. Nhân dịp
này, tôi xin cảm ơn Tiến sĩ Vũ Hoài An, người đã hướng dẫn giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến
các nhà toán học của Khoa Toán, Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên
và Viện Toán học Việt Nam.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong và xin được cảm ơn ý
kiến đóng góp của các nhà khoa học và bạn đọc.

Thái Nguyên, tháng 03 năm 2013
Tác giả
Lưu Đình Trung
3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iii
Mục lục
Các kí hiệu iv
Mở đầu 1
1 Phân bố giá trị của hàm phân hình p - adic và đường cong
chỉnh hình p-adic 6
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic . . . . . . 6
1.1.1 Không gian C
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Hàm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Hai Định lí chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic . 16
1.2.1 Hai Định lí chính . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai . . . . . . 19
1.3 Định lí Nevanlinna Cartan p-adic . . . . . . . . . . . . 21
2 Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân
hình p-adic. 31
2.1 Phân bố giá trị của đơn thức sai phân của hàm phân
hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Vấn đề xác định duy nhất đối với đơn thức sai phân
của hàm phân hình p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Kết luận của Luận văn 49
TÀI LIỆU THAM KHẢO 50
4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
iv
Các kí hiệu

• C
p
: Trường số phức p-adic
• f : Hàm phân hình p-adic
• N
f
(a, r): Hàm đếm của f tại a
• m
f
(∞, r) : Hàm xấp xỉ của f
• T
f
(r): Hàm đặc trưng của f
• E
f
(S): Ảnh ngược tính cả bội của tập S đối với f
5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết phân bố giá trị do Nevanlinna xây dựng được xem là thành
tựu toán học đẹp đẽ nhất của toán học thế kỷ XX, mà ngày nay được gọi
là Lý thuyết Nevanlinna. Nội dung chính của Lý thuyết phân bố giá trị là
hai Định lý cơ bản. Định lý cơ bản thứ nhất là mở rộng Định lý cơ bản
của đại số, mô tả sự phân bố đều giá trị của hàm phân hình khác hằng
trên mặt phẳng phức C. Định lý cơ bản thứ hai là mở rộng Định lý Picard,
mô tả ảnh hưởng của đạo hàm đến sự phân bố giá trị của hàm phân hình.
Hà Huy Khoái là người đầu tiên xây dựng tương tự Lý thuyết phân bố
giá trị cho trường hợp p-adic. Ông và các học trò đã tương tự lý thuyết
Nevanlinna cho trường số phức p-adic mà ngày nay thường gọi là lý thuyết
Nevanlinna p-adic. Họ đã đưa ra hai Định lý chính cho hàm phân hình

và ánh xạ chỉnh hình p-adic. Một trong những ứng dụng sâu sắc của lý
thuyết phân bố giá trị (phức và p-adic) là Vấn đề xác định duy nhất cho
các hàm phân hình khác hằng (phức và p-adic) qua điều kiện ảnh ngược
của tập hợp điểm mà ngày nay được gọi là Định lý 5 điểm của Nevanlinna
(hoặc tương tự của Định lý 5 điểm cho trường hợp p-adic).
Vấn đề xác định duy nhất được nghiên cứu liên tục và mạnh mẽ với kết quả
của H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, H.X.Yi, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy
Khoái, I.Lahiri, G.Dethloff, Đỗ ĐứcThái, A. Escassut, Phạm Việt Đức, Hà
Trần Phương, Vũ Hoài An,. . .
Năm 1977, F.Gross đưa ra một ý tưởng mới là không xét ảnh ngược của
các điểm riêng rẽ mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong C

{∞}.
Ông đưa ra hai câu hỏi sau:
6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
i) Tồn tại hay không tập S của C

{∞} để với bất kỳ các hàm phân
hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện E
f
(S) = E
g
(S) ta có f ≡ g ?
ii) Tồn tại hay không hai tập S
i
, i = 1, 2, của C

{∞} để với bất kỳ
các hàm phân hình khác hằng f, g thỏa mãn điều kiện E

f
(S
i
) = E
g
(S
i
),
i = 1, 2, ta có f ≡ g ?
Các công trình sâu sắc của F.Gross và C.C.Yang, H.X.Yi, P.Li, E. Mues-
M.Reinders , H.Fujimoto, M.Shirosaki, M.Ru, P.C.Hu-C.C.Yang, Hà Huy
Khoái, A. Escassut, Vũ Hoài An, Tạ Thị Hoài An, T.T.H.An- J.T Y.Wang-
P M.Wong . . góp phần trả lời câu hỏi của F.Gross.
Phân bố giá trị và vấn đề xác định duy nhất đã được nhiều nhà toán học
trong và ngoài nước xét trong mối liên hệ với đạo hàm của hàm phân hình
và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ. Người khởi xướng hướng nghiên cứu
này là Hayman. Năm 1967, Hayman đã chứng minh kết quả sau đây:
Định lí A.[4] Cho f là hàm phân hình trên C. Nếu f (z) = 0 và f
(k)
(z)
= 1 với k là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Năm 1967, Hayman cũng đưa ra giả thuyết sau đây:
Giả thuyết Hayman.[4] Nếu một hàm nguyên f thỏa mãn f
n
(z) f

(z)
= 1 với n là một số nguyên dương nào đó và với mọi z ∈ C, thì f là hằng.
Giả thuyết Hayman đã được Hayman kiểm tra đối với hàm nguyên siêu
việt và n > 1, đã được Clunie kiểm tra đối với n ≥ 1. Các kết quả này và

các vấn đề liên quan đã hình thành nhánh nghiên cứu được gọi là sự lựa
chọn của Hayman.
Tiếp đó, đối với các hàm nguyên f và g, C. C. Yang và G. G. Gundersen
đã nghiên cứu trường hợp ở đó f
(k)
và g
(k)
nhận giá trị 0 CM, k = 0, 1.
Công trình quan trọng đầu tiên thúc đẩy hướng nghiên cứu này thuộc về
C.C.Yang – X.H. Hua. Năm 1997, hai ông đã chứng minh định lý sau đây:
Định lí B.[13] Cho f và g là hai hàm phân hình khác hằng, n ≥ 11 là
một số nguyên và a ∈ C - {0}. Nếu f
n
f

và g
n
g

nhận giá trị a CM thì
hoặcf = dg với d
n+1
= 1 hoặc f (z) = c
1
e
cz
và g (z) = c
2
e
−cz

, ở đó c, c
1
,
c
2
là các hằng số và thỏa mãn (c
1
c
2
)
n+1
c
2
= −a
2
.
Từ đó, hướng nghiên cứu trên phát triển mạnh mẽ với những kết quả sâu
7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
sắc của I. Lahiri, Q. Han – H. X. Yi, W. Bergweiler, J. K. Langley, K. Liu,
L. Z. Yang, L. C. Hong, M. L. Fang, B. Q. Li, P. C. Hu - C.C.Yang, A.
Eremenko, G. Frank - X. Hua – R. Vaillancourt . . . . Công cụ sử dụng ở
đó là một số kiểu Định lí chính thứ hai cho đa thức vi phân cùng với với
các ước lượng giữa hàm đặc trưng, hàm đếm của hàm và đạo hàm.
Trong trường hợp p-adic, kết quả đầu tiên theo hướng nghiên cứu này
thuộc về J. Ojeda. Năm 2008, J. Ojeda đã xét vấn đề nhận giá trị của
f

+ T f
n

với T là hàm hữu tỷ. Ở đó, J. Ojeda đã nhận được kết quả sau:
Định lí C.[11] Cho f là hàm phân hình trên C
p
, n ≥ 2 là một số nguyên
và a ∈ C
p
- {0}. Khi đó nếu f
n
(z) f

(z) = a với mọi z ∈ C
p
thì f là hằng.
Năm 2011, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã thiết lập các kết quả tương
tự cho đơn thức vi phân dạng f
n
(z)

f
(k)
(z)

m
. Họ đã nhận được kết quả
sau:
Định lí D.[4] Cho m, n, k là các số nguyên, f là hàm phân hình trên C
p
,
a ∈ C
p

- {0} thỏa mãn điều kiện f
n
(z) (f
(k)
)
m
(z) = a với mọi z ∈ C
p
.
Khi đó f là đa thức bậc < k nếu một trong các điều kiện sau xảy ra:
i. f là một hàm nguyên.
ii. k > 0 và hoặc m = 1, n >
1+
√
1+4k
2
hoặc m > 1, n ≥ 1.
Năm 2012, Hà Huy Khoái - Vũ Hoài An - Nguyễn Xuân Lai [7] đã xét vấn
đề duy nhất khi (f
n
)
(k)
, (g
n
)
(k)
cùng nhận một giá trị.
Gần đây,K. Boussaf-A.Ecassut-J.Ojeda đã bắt đầu nghiên cứu các hàm
phân hình trên C
p

: f

P

(f), g

P

(f) nhận một hàm nhỏ.
Trong những năm gần đây,vấn đề trên được nhiều nhà toán học trong và
ngoài nước xét trong mối liên hệ với đa thức sai phân của đa thức sai phân
của hàm phân hình và ảnh ngược của các điểm riêng rẽ. Năm 2006,Halburd
và Korhonen đã thiết lập tương tự của lý thuyết Nevanlinna cho toán tử sai
phân của hàm phân hình có bậc hữu hạn. Năm 2007, I.Laine và C.C.Yang
[10] đã thiết lập tương tự Định lý A của Hayman cho một kiểu đa thức
sai phân đặc biệt của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn.Hai ông đã
chứng minh kết quả sau đây:
Định lý E.[10] Cho f là hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn trên C và c
8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
4
là một số phức khác 0, n là một số nguyên, n ≥ 2. Khi đó f
n
(z) f (z + c)
nhận a, a ∈ C, vô hạn lần.
Năm 2009,K. Liu và L.Z.Yang đã tương tự Định lý D(xem [5]) cho Toán
tử sai phân của hàm nguyên siêu việt có bậc hữu hạn, đã tương tự Định
lý B(xem[5]) cho một kiểu đa thức sai phân đặc biệt của hàm phân hình.
Cho f là hàm phân hình p−dic. Toán tử sai phân của f được xác định như
sau: 



c
f=f (z + c)-f (z), 


1
c
f=


c
f, ,


n+1
c
f=


n
c
(f (z + c) − f (z)),
n = 1, 2, , ở đó c ∈ C
p
là một hằng số khác 0.
Đa thức sai phân của f được xác định như sau:
A (z, f) =

λ∈I
a

λ
(z)f
λ
0
f
λ
1
(z + c) f
λ
n
(z + nc), với
c ∈ C
p
, c = 0, n ∈ N
∗
, a
λ
(z) = o (T
f
(r)).
Đơn thức sai phân của f được xác định như sau:
M (z, f) = af
n
f
q
1
(z + c) f
q
k
(z + kc); a, c

k
∈ C
p
, a = 0, c = 0, k ∈ N
∗
.
Năm 2012, Hà Huy Khoái và Vũ Hoài An đã tương tự Định lý E, Định
lý B cho Toán tử sai phân,đa thức sai phân của hàm phân hình p − dic.
Họ đã nhận được kết quả sau:
Cho P là đa thức bậc n trên C
p
. Viết P = a
0
(z − a
1
)
m
1
(z − a
s
)
m
s
Định lý F.[5] (Tương tự Giả thuyết Hay man cho hàm phân hình p−adic
và Toán tử sai phân của nó)
Giả sử f là hàm phân hình trên C
p
, n, k
i
, s, q, i = 1, q, là các số nguyên,

s ≥ 1, q ≥ 1, k
i
≥ 1, n ≥
q

i=1
(2k
i
+ 1) 2
i
+ q + s + 1 −3
q

i=1
k
i
, 


q
c
f, không
đồng nhất bằng 0. Khi đó P (f)




1
c
f


k
1
(


q
c
f)
k
q
− a có không điểm,ở
đó a ∈ C
p
, a = 0.
Định lý G.[5] (Tương tự Giả thuyết của Hayman cho hàm phân hình
p − adic và đa thức sai phân của nó)
Giả sử f là hàm phân hình trên C
p
,n, q
i
, s, k, i = 1 k, là các số nguyên,s ≥
1, q
i
≥ 1, k ≥ 1, n ≥
k

i=1
q
i

+ 2k + s + 1
Khi đó
P (f) (f (z + c))
q
1
(f (z + kc))
q
k
− a có không điểm,ở đó a ∈ C
p
, a = 0
Định lý H.[5] (Tương tự của Định lý B của Yang-Hua cho hàm phân
9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
5
hình p − adic và Đa thức sai phân của nó)
Giả sử f, g là các hàm phân hình trên C
p
.
1. Nếu E
f
n
f(z+c)f (z+kc)
(1) = E
g
n
g(z+c)g(z+kc)
(1) , k ≥ 1, n ≥ 5k + 8 là các
số nguyên thì f = hg với h
n+k
= 1 hoặcfg = l với l

n+h
= 1.
2. Nếu E
f
n
f(z+c) (f (z+kc))
q
k
(1) = E
g
n
g(z+c) (g(z+kc))
q
k
(1)
k ≥ 1, q
i
> 1, i = 1, , k, n ≥
k

i=1
q
i
+ 8k + 8 là các số nguyên thì f = hg
với h
n+q
1
+ +q
k
= 1 hoặc fg = l với l

n+q
1
+ +q
k
= 1.
3.Nếu
E
f
n
f(z+e
1
c) f(z+e
m
c)(f(z+t
1
c))
q
1
(f(z+t
k
c))
q
k
(1) =
E
g
n
g(z+e
1
c) g(z+e

m
c)(g(z+t
1
c))
q
1
(g(z+t
k
c))
q
k
(1).
với e
j
≥ 1, j = 1, , m, t
i
≥ 1, q
i
> 1, k ≥ 1, i = 1, k, n ≥ 5m +
k

i=1
q
i
+
8k + 8 là các số nguyên thì f = hg với h
n+m+q
1
+ +q
k

= 1 hoặc fg = l với
l
n+m+q
1
+ +q
k
= 1.
Theo hướng nghiên cứu này, đề tài nghiên cứu vấn đề:
VẤN ĐỀ DUY NHẤT ĐỐI VỚI ĐƠN THỨC SAI PHÂN CỦA
HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC.
Đây là một vấn đề có tính thời sự của giải tích p-adic.
Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo luận văn gồm:
Chương 1. Phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic và đường cong chỉnh
hình p-adic.
Chương 2.Vấn đề duy nhất đối với đơn thức sai phân của hàm phân hình
p-adic.
10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
6
Chương 1
Phân bố giá trị của hàm phân hình
p - adic và đường cong chỉnh hình
p-adic
Hiện nay Bài Giảng Nhập Môn Giải tích p-adic[1] của Hà Trần Phương là
tài liệu tiếng Việt được dùng cho cao học ngành giải tích của Trường Đại
học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Sách chuyên khảo về hàm phân hình
không Acsimet của Hu-Yang [9], bài báo của Hà Huy Khoái và Mai Văn
Tư [8] là các tài liệu tham khảo tiếng Anh rất tốt cho cao học, nghiên cứu
sinh và những người muốn tìm hiểu về lý thuyết phân bố giá trị p-adic.
Trên cơ sở các tài liệu này, trong chương 1 chúng tôi trình bày một số kiến
thức về phân bố giá trị của hàm phân hình p-adic và đường cong chỉnh

hình để dùng cho Chương 2.
1.1 Hàm đặc trưng của hàm phân hình p-adic
1.1.1 Không gian C
p
Với p là một số nguyên tố cố định, Ostrowski đã khẳng định: Chỉ có hai
cách trang bị chuẩn không tầm thường cho trường hữu tỉ Q. Mở rộng theo
chuẩn thông thường ta có trường số thực R, mở rộng theo chuẩn p-adic ta
11Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
7
có trường số Q
p
.
Kí hiệu C
p
=

Q
p
là bổ sung của bao đóng đại số của Q
p
. Ta gọi C
p
là
trường số phức p-adic.
Chuẩn trên C
p
được mở rộng tự nhiên của chuẩn p-adic trên Q
p
.
Kí hiệu:

D
r
= {z ∈ C
p
: |z| ≤ r}, D
<r>
= {z ∈ C
p
: |z| = r}.
Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên D
r
được biểu diễn bởi f(z) =

n≥0
a
n
z
n
.
Do lim
n−→∞
|a
n
||z
n
| = 0 nên tồn tại n ∈ N
∗
để |a
n
||z

n
| đạt giá trị lớn nhất.
Khi đó ta đặt: |f|
r
= max
n≥0
{|a
n
||z
n
|}.
Trong suốt luận văn ta quy ước log là log
p
.
1.1.2 Hàm đặc trưng
Giả sử f là một một hàm chỉnh hình khác hằng trên C
p
. Với mỗi a ∈
C
p
, viết f =

P
i
(z − a) với P
i
các đa thức bậc i. Định nghĩa v
f
(a) =
min {i : P

i
= 0}.
Cho d ∈ C
p
, định nghĩa một hàm v
d
f
: ∈ C
p
−→ N xác định bởi v
d
f
(a) =
v
f−d
(a). Cố định số thực ρ
0
với 0 < ρ
0
≤ r. Định nghĩa N
f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
f

(a, x)
x
dx ở đó n
f
(a, x) là số nghiệm của phương trình f(z) = a tính
cả bội trên đĩa |z| ≤ x.
Nếu a = 0 thì đặt N
f
(r) = N
f
(0, r). Cho l là một số nguyên dương. Đặt
N
l,f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
l,f
(a, x)
x
dx, ở đó n
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min {v

f−a
(z), l}.
Cho k là một số nguyên dương, ta định nghĩa hàm v
≤k
f
từ C
p
vào N xác
định bởi:
v
≤k
f
(z) =



0 nếu v
f
(z) > k
v
f
(z) nếu v
f
(z) ≤ k
.
và
n
≤k
f
(r) =


|z|≤r
v
≤k
f
(z), n
≤k
f
(a, r) = n
≤k
f−a
(r).
Định nghĩa
12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
8
N
≤k
f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x

dx. Nếu a = 0 thì đặt N
≤k
f
(r) = N
≤k
f
(0, r).
Ta đặt N
≤k
f
(a, r) =
1
ln p

r
ρ
0
n
≤k
f
(a, x)
x
dx,
ở đó n
≤k
l,f
(a, x)=

|z|≤r
min


v
≤k
f−a
(z), l

.
Tương tự ta định nghĩa:
N
<k
f
(a, r), N
<k
l,f
(a, r), N
>k
f
(a, r), N
≥k
f
(a, r), N
≥k
l,f
(a, r), N
>k
l,f
(a, r).
Giả sử f là một hàm phân hình trên C
p
, khi đó tồn tại hai hàm f

2
, f
1
sao
cho f
1
, f
2
không có không điểm chung và f =
f
1
f
2
. Với a ∈ C
p

{∞}, ta
định nghĩa hàm đếm số không điểm n
f
(a, r) của f tại a hay còn gọi hàm
đếm số a - điểm của f bởi :
n
f
(a, r) =



n
f
(∞, r) = n

f
2
(0, r)
n
f
1
−af
2
(0, r).
Định nghĩa hàm đếm N
f
(a, r) của f tại a bởi:
N
f
(a, r) =



N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r)
N
f
1
−af
2
(0, r).

Tương tự ta cũng định nghĩa các hàm n
f
(∞, r), N
f
(∞, r), n
f
(a, r), N
f
(a, r).
Ta có N
f
(a, r) = N
f
1
−af
2
(r), N
f
(∞, r) = N
f
2
(r).
Giả sử f
1
=
∞

n=m
1
a

n
z
n
, f
2
=
∞

n=m
2
b
n
z
n
, trong đó m
2
, m
1
∈ N và a
m
1
= 0,
b
m
2
= 0. Ta có
N
f
(0, r) = N
f

1
(0, r) = log|f
1
|
r
- log|a
m
1
|,
N
f
(∞, r) = N
f
2
(0, r) = log|f
2
|
r
- log|b
m
2
|.
Kéo theo
N
f
(0, r) − N
f
(∞, r) = log|f|
r
- log

|a
m
1
|
|b
m
2
|
= log |f|
r
− log |f
∗
( 0)|,
Trong đó f
∗
(0) =
a
m
1
b
m
2
. ta có
f
∗
(0) = lim
z−→0
z
m
2

−m
1
f(z) ∈ C
p
∗
.
Hơn nữa ta có N
f
(0, r) − N
f
(∞, r) = N
f
1
(0, r) − N
f
2
(0, r) = log |f
1
|
r
−
13Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
9
log |f
1
|
ρ
0
−log |f
2

|
r
+ log |f
2
|
ρ
0
=log
|f
1
|
r
|f
2
|
r
−log
|f
1
|
r
0
|f
2
|
r
0
=log |f|
r
−log |f|

ρ
0
.
Tiếp theo ta định nghĩa hàm xấp xỉ của hàm f bởi công thức
m
f
(∞, r) = max {0, log |f|
r
},
Với mỗi a ∈ C
p
, đặt m
f
(a, r) = m
1
f − a
(∞, r). Ta có
m
f
(0, r) = log
+
µ
f
(0, r) = max {0, −log |f|
r
}.
Sau đây ta có một số tính chất đơn giản của hàm đếm và hàm xấp xỉ.
Mệnh đề 1.1. [1]
Giả sử f
i

là hàm phân hình không đồng nhất 0 trên C
p
, i = 1, 2, , k. Khi
đó với mỗi r > 0, ta có
N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1); N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i

(∞, r) + O(1);
m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, k}
m
f
i
(∞, r) + O(1); m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
m
f
i
(∞, r) +
O(1).
Chứng minh.
Với mỗi kí hiệu f
i

=
f
i1
f
i2
, trong đó f
i1
, f
i2
∈ A(C
p
). Khi đó, viết
k

i=1
f
i
=
F
f
12
f
k2
;
k

i=1
f
i
=

G
f
12
f
k2
. Trong đó F, G ∈ A(C
p
).
Do đó, mỗi cực điểm của hàm
k

i=1
f
i
hoặc
k

i=1
f
i
chỉ có thể là không điểm
của hàm f
12
f
k2
, nên nó là cực điểm của một trong các hàm f
i
. Suy ra
n
k


i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r); n
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
n
f
i
(∞, r).
Điều này kéo theo
N
k

i=1

f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1); N
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
N
f
i
(∞, r) + O(1).
Ngoài ra ta có
log |
k

i=1
f
i

|
r
≤ log max
i∈{1, ,k}
|f
i
|
r
= max
i∈{1, ,k}
log |f
i
|
r
,
14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
10
nên m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤ max
i∈{1, ,k}
m
f
i
(∞, r) và log |
k


i=1
f
i
|
r
=
k

i=1
log |f
i
|
r
.
Do đó m
k

i=1
f
i
(∞, r) ≤
k

i=1
m
f
i
(∞, r) + O(1).
Mệnh đề được chứng minh.

Tiếp theo ta định nghĩa hàm đặc trưng cho bởi công thức
T
f
= m
f
(∞, r) + N
f
(∞, r). Ta có T
f
(r) = max
1≤i≤2
log |f
i
|
r
+ O(1).
f được gọi là siêu việt nếu lim
r−→∞
T
f
(r)
log r
= ∞.
Mệnh đề 1.2. [1]
Giả sử f
i
là các hàm phân hình không đồng nhất 0 trên C
p
,i = 1, 2, , k.
Khi đó với mỗi ρ

0
< r, ta có
T
k

i=1
f
i
(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1); T
k

i=1
f
i
(r) ≤
k

i=1
T
f
i
(r) + O(1) .
Hơn nữa T

f
(r) là một hàm tăng theo r.
Trong lý thuyết phân bố giá trị , công thức Poisong-Jensen sau đây là kết
quả quan trọng:
Giả sử
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
là hàm chỉnh hình p-adic không đồng nhất không trên D
r
.
Đặt
T = −log r, n
f
(0, r) = n
−
f
(T )
c = −log ρ
Γ
f
(T ) = {t ∈ R : (n
−
f
(t) − n

+
f
(t)) = 0, t ≥ T }
15Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
11
ở đó T = −log r
Với các kí hiệu đã được xác định này và chú ý rằng số các phần tử của
Γ
f
(T ) là hữu hạn, chúng ta phát biểu và chứng minh định lí sau đây.
Định lý 1.3. [3](Công thức Poison-Jensen)
Giả sử f là hàm chỉnh hình p-adic không đồng nhất không trên D
r
. Khi đó
T
f
(r) − T
f
(ρ) = N
f
(r) =

c>t≥T
(n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − T) + n

−
f
(c)(c − T).
Chứng minh. Viết
f(z) =
∞

n=0
a
n
z
n
Để đơn giản ta đặt
 = n
f
(0, 0), a = log |a

|,
M =
1
ln p
r

0
n
f
(0, x) − 
x
dx +  log r,
M

1
=
1
ln p
ρ

0
n
f
(0, x) − 
x
dx +  log ρ,
M
2
=
1
ln p
r

ρ
n
f
(0, x) − 
x
dx +  log
r
ρ
,
M
3

=
1
ln p
r

ρ
n
f
(0, x) − 
x
dx,
M
4
=

c>t≥T
((n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − T) + n
−
f
(c)(c − T),
M
5
=


t≥T
((n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − T) +  log r,
M
6
=

t≥T
((n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − T),
Γ = Γ
f
(T ).
16Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
12
Ta sẽ chứng minh
T
f
(r) = T
f

(ρ) = M
3
= M
4
. (1.1)
Để chứng minh (1.1), trước tiên ta chứng minh
T
f
(r) − a = M = M
5
(1.2)
Trường hợp 1.  = 0
Khi đó
M =
1
ln p
r

0
n
f
(0, x)
x
dx, M
5
= M
6
.
Nếu Γ = ∅ thì T
f

(r) = a và M = 0, M
6
= 0
Do đó
T
f
(r) − a = M = M
6
.
Nếu Γ = ∅ thì số phần tử của Γ là hữu hạn. Giả sử Γ gồm n phần tử
t
(1)
, t
(2)
, , t
(n)
ở đó T ≤ t
(1)
< t
(2)
< < t
(n)
. Đặt
b
i
= p
−t
(i)
, i = 1, 2, , n,
s = n

f
(0, r), s
1
= n
f
(0, b
2
), c
1
= |a
s
|,
c
2
= log |f|
b
1
, c
3
= log |f|
b
2
, c
4
= |a
s
1
|,
M
7

=

t≥t
(1)
(n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − t
(1)
),
M
8
=

t≥t
(2)
(n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − t
(2)
).
Để ý rằng, vì n
+

f
(t
(i)
) = n
−
f
(t
(i+1)
), i = 1, , n − 1 và n
−
f
(t) − n
+
f
(t) = 0
với mọi t = t
(i)
, i = 1, , n nên
M
7
= M
6
+ s(T − t
(1)
), M
8
= M
7
+ s
1

(t
(1)
− t
(2)
).
Hơn nữa ta có 0 < b
n
< b
n−1
< < b
1
≤ r.
Chứng minh hệ thức (1.2) bằng quy nạp theo n.
Với n = 1.
17Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
13
Xét b
1
= r.Khi đó n
f
(0, x) = 0, 0 < x < r.Từ đây và tính liên tục của
T
f
(r), ta nhận được (1.2).
Xét b
1
< r.Ta có
M = s(log r − log b
1
) = log c

1
r
s
− log c
1
b
s
1
,
T
f
(b
1
) = log c
1
b
s
1
.
Do b
1
< r và n = 1 nên
s = n
−
f
(t
(1)
), T
f
(r) = log c

1
r
s
Vì các phần tử t với t > t
(1)
không phụ thuộc vào Γ và T
f
(r) liên tục nên
n
+
f
(t
(1)
) = 0, T
f
(b
1
) = a.
Do đó
M = (n
−
f
(t
(1)
) − n
+
f
(t
(1)
))(t

(1)
− t) = T
f
(r) − a.
Vậy
M = M
6
= T
f
(r) − a.
Do đó (1.2) được chứng minh trong trường hợp này.
Với n ≥ 2 giả sử hệ thức (1.2) đúng với mọi v(1 ≤ v ≤ n − 1). Ta chứng
minh hệ thức (1.2) đúng với mọi n
Xét b
1
< r .Khi đó 0 < b
n
< b
n−1
< < b
1
< r và vì vậy
T < t
(1)
< < t
(n)
. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có:
1
ln p
b

1

0
n
f
(0, x)
x
dx = c
2
− a = M
7
.
Vậy
M = c
2
− a +
1
ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx = M
7
+
1

ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx
= M
6
+ s(T − t
(1)
) +
1
ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx. (1.3)
18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
14
Mặt khác
1

ln p
r

b
1
n
f
(0, x)
x
dx = s(log r −log b
1
) = s(t
(1)
−T) = log(a
1
r
s
)−log(a
1
b
s
1
),
c
2
= log(c
1
b
s
1

) (1.4)
Do các phần tử t với T ≤ t < t
(1)
không phụ thuộc Γ nên
T
f
(r) = log c
1
r
s
(1.5)
Từ (1.3), (1.4), (1.5) ta có
M = T
f
(r) − a = M
6
+ s(T − t
(1)
) + s(t
(1)
− T ) = M
6
Xét b
1
= r .Khi đó ta có 0 < b
n
< < b
2
< b
1

= r và do đó
T = t
(1)
< t
(2)
< < t
(n)
. Áp dụng giả thiết quy nạp ta có
1
ln p
b
2

0
n
f
(0, x)
x
dx = c
3
− a = M
8
= M
7
+ s
1
(t
(1)
− t
(2)

).
Vậy
M = c
3
−a+
1
ln p
b
1

b
2
n
f
(0, x)
x
dx = M
7
+s
1
(t
(1)
−t
(2)
)+
1
ln p
b
1


b
2
n
f
(0, x)
x
dx.
(1.6)
Hơn nữa, ta có n
f
(0, x) = s
1
khi b
2
≤ x ≤ b
1
và
1
ln p
b
1

b
2
n
f
(0, x)
x
dx = s
1

(log b
1
−log b
2
) = s
1
(t
(2)
−t
(1)
) = log c
4
b
s
1
1
−log c
4
b
s
1
2
,
c
3
= log c
4
b
s
1

2
. (1.7)
Vì t /∈ Γ khi t
(1)
< t < t
(2)
, và T
f
(r) liên tục nên
T
f
(r) = log c
4
b
s
1
1
. (1.8)
Từ (1.6), (1.7) và (1.8), ta nhận được
M = T
f
(r) − a = M
7
+ s
1
(t
(1)
− t
(2)
) + s

1
(t
(2)
− t
(1)
) = M
7
.
19Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
15
Vì T = t
(1)
nên M
7
= M
6
.
Do đó M = T
f
(r) − a = M
6
.
Trường hợp 2  = 0
Khi đó f = f
1
f
2
với f
1
= z


.
Ta có
n
f
2
(0, 0) = 0; n
f
(0, 0) = ; n
f
(0, x) = n
f
2
(0, x) + .
Kéo theo
T
f
(r) = T
f
1
(r) + T
f
2
(r) =  log r + T
f
2
(r).
Hàm f
2
đóng vai trò như hàm f trong trường hợp 1, do đó

1
ln p
r

0
n
f
2
(0, x)
x
dx = T
f
2
(r) − a = M
6
.
Vậy
M = T
f
2
(r) − a +  log r = T
f
(r) − a = M
5
.
Chứng minh tương tự như trên ta nhận được
M
1
= T
f

(ρ) − a = M
9
(1.9)
ở đó
M
9
=

t≥c
(n
−
f
(t) − n
+
f
(t))(t − c) +  log ρ.
Tiếp tục chứng minh (1.1)
Ta có
M = M
1
+ M
2
= M
5
, M
3
= M
2
Áp dụng (1.2) và (1.9) nhận được
M

3
= M − M
1
= T
f
(r) − T
f
(ρ) = M
5
− M
9
= M
4
.
Định lý 1.3 được chứng minh
Hệ quả 1.4. [3]
Giả sử f là hàm phân hình p-adic không đồng nhất không trên D
r
. Khi đó
T
f
(r) = N
f
(r) − N
1
f
(r) + O(1),
ở đó O(1) là đại lượng bị chặn khi r −→ +∞.
20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
16

1.2 Hai Định lí chính của lý thuyết Nevanlinna p-adic
1.2.1 Hai Định lí chính
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày hai Định lí chính trong lý thuyết
Nevanlinna p-adic. Ta kí hiệu|.| thay cho |.|
p
trên C
p
. Ta cố định hai số
thực ρ và ρ
0
sao cho 0 < ρ
0
< ρ < ∞. Trước tiên ta chứng minh Định lý
chính thứ nhất .
Định lý 1.5. [1]
Nếu f là một hàm khác hằng trên C
p
(0, ρ) thì với mọi a ∈ C
p
ta có
m
f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1).
Chứng minh
Ta có
m

f
(a, r) + N
f
(a, r) = T
f
(a, r) = T
f−a
(r) − log |f −a|
ρ
0
.
Ta lại có
T
f−a
(r) ≤ T
f
(r)+ log
+
|a|, T
f
(r) ≤ T
f−a
(r)+ log
+
|a|,
Từ đó ta có kết luận của định lý.
Mệnh đề sau là Bổ đề đạo hàm logarit.
Mệnh đề 1.6. [1]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p

(0, ρ) thì với mỗi số nguyên
k > 0 ta có |
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
, đặc biệt |
f
(k)
f
|
r
≤ k log
+
1
r
.
Chứng minh
f ∈ A
(ρ)
(C
p
) ta có |
f


f
|
r
= |f|
r
≤
1
r

,
Do đó |
f
(k)
f
|
r
= |
k

i=1
f
(i)
f
(i−1)
|
r
=
k

i=1

|
f
(i)
f
(i−1)
|
r
≤
1
r
k
,
Trong đó f
(0)
= f.
Bây giờ xét f =
g
h
∈ M
(ρ
(C
p
). Khi đó
|
f

f
|
r
= |

hg

− gh

h
2
.
h
g
|
r
= |
g

g
−
h

h
|
r
≤ max

|
g

g
|
r
, |

h

h
|
r

≤
1
r

,
21Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
17
Tương tự ta cũng thu được
|
f
(k)
f
|
r
≤
1
r
k
.
Mệnh đề được chứng minh.
Với một hàm phân hình khác hằng f trong C
p
(0, ρ), ta định nghĩa
N

Ramf
(∞, r) = 2N
f
(∞, r) − N
f

(∞, r) + N
f

(0, r).
Tiếp theo ta giới thiệu Định lý chính thứ hai.
Định lý 1.7. (Định lý chính thứ hai) [1]
Nếu f là hàm phân hình khác hằng trên C
p
(0, ρ) và a
1
, , a
q
∈ C
p
là các
số phân biệt. Đặt δ = min
i=j
{1, |a
i
− a
j
|}, A = max {1, |a
i
|}. Khi đó với

0 < r < ρ,
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
1
, r) − N
Ramf
(∞, r) − log r + S
f
≤ N
f
(r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) − log r + S
f
,

trong đó S
f
=
q

j=1
log |f − a
j
|
ρ
0
− log |f

|
ρ
0
+ (q − 1) log
A
δ
.
Chứng minh
Trong chứng minh khi viết | | ta hiểu là | |
p
Lấy r

∈ |C
p
|sao cho
ρ
0

< r

< ρ. Ta viết f =
f
1
f
0
trong đó f
1
, f
0
∈ A
r

(C
p
) không có không
điểm chung và đặt
F
0
= f
0
, F
i
= f
1
− a
i
f
0

(i = 1, 2, , q).
Khi đó |f
k
(z)| ≤ Amax {|F
2
(z)|, |F
i
(z)|} , (k = 0, 1). (1)
Ta luôn sử dụng
W = W (f
0
, f
1
) =





f

0
f

1
f
0
f
1






là kí hiệu Wronskian của f
0
và f
1
.
Đặt W
i
= W (F
0
, F
i
) = W .
Bây giờ ta cố định z ∈ C
p
[0, r

] − C
p
[0, ρ] sao cho
22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
18
W (z), f
1
(z), F
i
(z) = 0,i = 0, 1, , q.

Khi đó tồn tại một chỉ số j ∈ {1, 2, , q} sao cho
|F
j
(z)| = min
1≤j≤q
|F
i
(z)|.
Chú ý rằng |f
0
(z)| =
|F
i
(z) − F
j
(z)|
|a
j
− a
i
|
≤
1
δ
|F
i
(z)|(i = j).
Như vậy chúng ta có thể lấy các chỉ số phân biệt β
1
, , β

q−1
với β
l
=
j(l = 1, 2, , q − 1) sao cho
0 < max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤ |F
β
1
(z)| ≤ ≤ |F
β
q−1
(z)| < ∞
Khi đó ta có |f
k
(z)| ≤
A
δ
max {δ|f
2
(z)|, F
j
(z)} ≤
A
δ
|F
β

l
(z)|,
với mỗi k = 0, 1; l = 1, 2, q − 1. Như vậy ta thu được
|

f(z)| = max
k
|f
k
(z)| ≤
A
δ
|F
β
l
(z)
|, l = 0, , q − 1, trong đó

f(z) = (f
0
, f
1
) : C
p
−→ C
2
p
là một biểu diễn của f. Vì W = W
j
, ta thu

được log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
= log |F
β
l
F
β
q−l
− logD
j
(z)|,
trong đó D
j
=
|W
j
|
|F
0
F
j
|
= |
F


j
F
j
−
F

0
F
0
|.
Khi đó log |F
β
l
(z) F
β
q−l
| ≤ log
|F
0
(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z).
Bởi vậy ta có
(q − 1) log | f(z)| ≤ log
|F
0

(z) F
q
(z)|
|W (z)|
+ log D
j
(z) + (q − 1) log
A
δ
.
Đặt r = |z|. Lại có
D
j
(z) ≤ max

|F

0
(z)|
|F
0
(z)|
,
|F

j
(z)|
|F
j
(z)|


≤
1
r
,
Như vậy log D
j
(z) ≤ −log r. Hơn nữa ta có
log |F
0
(z)|
r
= log |f
2
|
r
= N
2
(0, r) + log |f
2
|
ρ
0
= N
f
(∞, r) + log |f
2
|
ρ
0

,
log |W (z)|
r
= log |f
0
f

1
− f
1
f

0
|
r
= N
W
(0, r) + log |W |
ρ
0
= N
W
(0, r) +
log |f

|
ρ
0
+ 2 log |f
2

|
ρ
0
.
log |f

i
| = log |F
i
|
r
= log |f
1
−a
i
f
2
|
r
= N
f
(a
i
, r) + log |f −a
i
|
r
+ log |f
2
|

ρ
0
,
với mỗi i = 1, 2, , q và chú ý rằng
log

f(z)| = T
f
(r) + log |f
2
|
ρ
0
ta thu được
(q − 1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) − N
W
(0, r) − log r + S
f

(1).
23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
19
Chú ý rằng W = f
0
f

1
− f
1
f

0
= f
2
0
f

.
Ta có
n
W
(0, r) = 2n
f
(∞, r) − n
f

(∞, r) + n
f


(0, r).
Điều đó kéo theo
N
W
(0, r) = N
Ramf
(∞, r).
và n
f
(∞, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) − n
W
(0, r) ≤ n
f
(∞, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r).

Từ đó suy ra bất đẳng thức trong Định lí.
Chú ý
Ta viết
n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) = n
f

(0, r) +
q

j=1
n
f
(a
i
, r) −
q

j=1
n
f
(a
i

, r)
và định nghĩa
n(r,
1
f

; a
1
, a
q
) =
r

ρ
0
n(t,
1
f

; a
1
, a
q
)
t
dt.
Khi đó ta có
0 ≤ n(r,
1
f


; a
1
, a
q
) ≤ n
f

(0, r).
và Định lý 1.6 được viết lại như sau
(q −1)T
f
(r) ≤ N
f
(∞, r) +
q

j=1
N
f
(a
i
, r) −N(r,
1
f

; a
1
, a
q

) −log r + S
f
.
1.2.2 Các chú ý về Định lý chính thứ hai
Trong phần này chúng ta nghiên cứu thêm một số dạng của Định lý chính
thứ hai, đặc biệt là Bổ đề về quan hệ số khuyết. Giả sử f là một hàm phân
hình khác hằng trên C
p
.
Chú ý rằng T (r, f) −→ ∞ khi r −→ ∞.
Ta định nghĩa số khuyết của f tại a ∈ C
p
như sau:
24Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
20
δ
f
(a) = lim
r−→∞
inf
m
f
(a, r)
T
f
(r)
= 1 − lim
r−→∞
sup
N

f
(a, r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(a) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(a, r)
T
f
(r)
.
Dễ thấy
0 ≤ δ
f
(a) ≤ Θ
f
(a) ≤ 1.
Nếu a = ∞ ta kí hiệu
δ
f
(∞) = lim
r−→∞
inf

m
f
(∞.r)
T
f
(r)
= 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
.
Θ
f
(∞) = 1 − lim
r−→∞
sup
N
f
(∞.r)
T
f
(r)
.
Định lý 1.8. ( Bổ đề quan hệ số khuyết) [1]
Giả sử f là một hàm phân hình khác hằng trên C

p
. Khi đó

a∈C
p

{∞}
δ
f
(a) ≤

a∈C
p

{∞}
Θ
f
(a) ≤ 2.
Có thể thấy, quan hệ này chưa phải tốt nhất và bây giờ ta xem xét cẩn
thận hơn.
Giả sử f là một hàm nguyên trên C
p
. Khi đó
N
f
(r) = log |f|
r
− log |f|
ρ
0

−→ ∞.
Khi r −→ ∞ và như thế |f|
r
> 1 khi r đủ lớn. Bởi vậy
m
f
(∞, r) = log |f|
r
.
Khi r đủ lớn, kéo theo
N
f
(r) = T
f
(r) + O(1).
Do đó
N
f
(a, r) = T
f
(r) + O(1).
25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên