Bài toán biên thứ nhất đối với phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính với dạng đặc trưng không âm

✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙× P❍❸▼

▼❊❯◆●❑❍❆▼ ❑❊❖P❍❖❯❱❖◆●

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❚❍Ù ◆❍❻❚ ✣➮■ ❱❰■
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ✣❸❖ ❍⑨▼ ❘■➊◆● ❈❻P ❍❆■
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❱❰■ ❉❸◆● ✣➄❈ ❚❘×◆● ❑❍➷◆● ❹▼

▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✼


✣❸■ ❍➴❈ ❚❍⑩■ ◆●❯❨➊◆
❚❘×❮◆● ✣❸■ ❍➴❈ ❙×P❍❸▼

▼❊❯◆●❑❍❆▼ ❑❊❖P❍❖❯❱❖◆●

❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❇■➊◆ ❚❍Ù ◆❍❻❚ ✣➮■ ❱❰■
P❍×❒◆● ❚❘➐◆❍ ✣❸❖ ❍⑨▼ ❘■➊◆● ❈❻P ❍❆■
❚❯❨➌◆ ❚➑◆❍ ❱❰■ ❉❸◆● ✣➄❈ ❚❘×◆● ❑❍➷◆● ❹▼
❈❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤✿ ❚❖⑩◆ ●■❷■ ❚➑❈❍
▼➣ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✵✶✳✵✷
▲❯❾◆ ❱❿◆ ❚❍❸❈ ❙➒ ❚❖⑩◆ ❍➴❈

◆❣÷í✐ ❤÷î♥❣ ❞➝♥ ❦❤♦❛ ❤å❝
❚❙✳ ◆●❯❨➍◆ ❚❍➚ ◆●❹◆

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✲ ◆➠♠ ✷✵✶✼

▲❮■ ❈❆▼ ✣❖❆◆
❚æ✐ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♥ë✐ ❞✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ tr✉♥❣
t❤ü❝ ✈➔ ❦❤æ♥❣ trò♥❣ ❧➦♣ ✈î✐ ✤➲ t➔✐ ❦❤→❝✳ ❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❝❛♠ ✤♦❛♥ r➡♥❣ ♠å✐
sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝❤♦ ✈✐➺❝ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝↔♠ ì♥ ✈➔ ❝→❝ t❤æ♥❣
t✐♥ tr➼❝❤ ❞➝♥ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ ✤÷ñ❝ ❝❤➾ rã ♥❣✉ç♥ ❣è❝✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

▼❡✉♥❣❦❤❛♠ ❑❊❖P❍❖❯❱❖◆●

✐


▲❮■ ❈❷▼ ❒◆
▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤÷ñ❝ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❞÷î✐ sü ❤÷î♥❣ ❞➝♥ t➟♥ t➻♥❤ ✈➔ sü ❝❤➾
❜↔♦ ♥❣❤✐➯♠ ❦❤➢❝ ❝õ❛

❚❙✳ ◆❣✉②➵♥ ❚❤à ◆❣➙♥ ❡♠ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥

❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✈➔ s➙✉ s➢❝ ✤➳♥ ❝æ✳

❚æ✐ ❝ô♥❣ ①✐♥ ❦➼♥❤ ❣û✐ ❧í✐ ❝↔♠ ì♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ✤➳♥ ❝→❝ t❤➛② ❣✐→♦✱ ❝æ ❣✐→♦
tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❙÷ P❤↕♠ ✕ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ❝ô♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ t❤➛②
❝æ ❣✐→♦ t❤❛♠ ❣✐❛ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❦❤â❛ ❤å❝ ✷✵✶✺✲✷✵✶✼ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ✤❡♠ ❤➳t
t➙♠ ❤✉②➳t ✈➔ sü ♥❤✐➺t t➻♥❤ ✤➸ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ tr❛♥❣ ❜à ❝❤♦ ❝❤ó♥❣ tæ✐ ♥❤✐➲✉
❦✐➳♥ t❤ù❝ ✈➔ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠✳
❱➔ ❝✉è✐ ❝ò♥❣✱ ①✐♥ ❣û✐ ❧í✐ ❜✐➳t ì♥ ❜è ♠➭✱ ❝↔♠ ì♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤✱ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝
✤ç♥❣ ♥❣❤✐➺♣✱ ❜↕♥ ❜➧ ✤➣ ❧✉æ♥ ✤ç♥❣ ❤➔♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï tæ✐ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤

❤å❝ t➟♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝ô♥❣ ♥❤÷ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳

❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✼
◆❣÷í✐ ✈✐➳t ❧✉➟♥ ✈➠♥

▼❡✉♥❣❦❤❛♠ ❑❊❖P❍❖❯❱❖◆●

✐✐


▼ö❝ ❧ö❝
▲í✐ ❝❛♠ ✤♦❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▲í✐ ❝↔♠ ì♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ö❝ ❧ö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
▼ð ✤➛✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐
✐✐
✐✐✐
✶
✸

✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸

✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

1
(Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✸✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Hloc

✽

0

✶✳✹✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✺✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1,0 (QT ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

0
1,0

✶✳✻✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H

(QT ) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✼✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✼✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ tê♥❣
q✉→t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✶

✶✳✼✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ▲❛♣❧❛❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✶✳✽✳

❇➔✐ t♦→♥

❜✐➯♥ ❤é♥ ❤ñ♣ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐

♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤

♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✹

✶✳✽✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❤é♥ ❤ñ♣ t❤ù ♥❤➜t ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✶✳✽✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❤é♥ ❤ñ♣ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ tr✉②➲♥
♥❤✐➺t t❤✉➛♥ ♥❤➜t ✈î✐ ❤➺ sè ❧➔ ❤➡♥❣ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✐✐✐

✷✼


❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠
r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❞↕♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✷✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈î✐ ❞↕♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣
❦❤æ♥❣ ➙♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✵

✷✳✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✷✳✷✳✶✳ P❤➙♥ ❧♦↕✐ ❝→❝ ✤✐➸♠ tr➯♥ ❜✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✷✳✷✳✷✳ P❤→t ❜✐➸✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✶

✷✳✸✳ ❈→❝ ♠➺♥❤ ✤➲ ❜ê trñ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✷

✷✳✹✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ❝❤♦ t♦→♥ tû

✸✹

▲✭✉✮ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✳✺✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷✳✺✳✶✳ ✣→♥❤ ❣✐→ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ tr♦♥❣ Lp (Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✻

✷✳✺✳✷✳ ❙ü tç♥ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣
❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (Ω) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹✶

❑➳t ❧✉➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼
❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✽

✐✈


é
ở ổ ữỡ tr r ữỡ tr t ỵ t
ởt ở ổ t ồ ỡ ứ t ỵ tt ứ
t ự ử rở t ồ õ ỹ ỵ tt
t ồ ồ Pữỡ tr t
t ự q tr ổ t ờ tớ q
tr ứ ữỡ tr r r t
ự q tr õ t ờ tớ q tr ổ ứ

ừ ữỡ tr ữớ t ỹ
t tr
t t tớ t = 0, t q tr r
ổ t t ừ ữỡ tr ố ợ
ữủ ồ t
ứ ộ t ữủ trỏ rt q trồ tt ừ ỵ tt
ữỡ tr r ố ữủ s
ữỡ tr r t ữỡ tr r
t t ồ t t tự t ố ợ ữỡ
tr r t t ợ trữ ổ
ử ự ởt số t t ỡ ừ
ữỡ tr r tr tờ q ỵ tt
t tự t ố ợ ữỡ tr r
t t ợ trữ ổ ỗ õ ữỡ
ợ ở ử t ữ s
ữỡ r ởt số tự ỡ ổ
ữ H () ,

0

0
1,0

H () , H (QT ) , H (QT ) , t tự
t ố ợ ữỡ tr t t ộ ủ tự t ố
ợ ữỡ tr r
ữỡ r t tự t ố ợ ữỡ tr
r t t ợ trữ ổ sỹ tỗ
t s rở ừ t t tự t ừ
ữỡ tr r t t ợ trữ ổ

ự t ừ ữỡ tr t r ữ ỳ
1

1
Hloc
() ,

1

1,0




tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✳

✷


❈❤÷ì♥❣ ✶
❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝❤✉➞♥ ❜à
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❙♦❜♦❧❡✈✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥
❜✐➯♥ ❤é♥ ❤ñ♣ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤õ ②➳✉
❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔② ✤÷ñ❝ t❤❛♠ ❦❤↔♦ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ [2] , [3] , [4] .

✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐
❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞

♥ ❝❤✐➲✉ Rn

✈î✐ ∂Ω ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♠✐➲♥ ♥➔②✳

x = (x1 , x2 , ..., xn ) ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Rn .
∂
Dxi =
❧➔ t♦→♥ tû ❧➜② ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t❤❡♦ ❜✐➳♥ xi .
∂xi
●✐↔ sû α = (α1 , α2 , ..., αn ) ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝→❝ ❝❤➾ sè✱ tr♦♥❣ ✤â αi ❧➔ ❝→❝ sè
♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ ✈➔ |α| =

n

αi . ❑❤✐ ✤â

i=1

Dα = Dxα11 Dxα22 ...Dxαnn =
❦➼ ❤✐➺✉✿

uxi xj

∂ |α|
. ✣➸ ❝❤♦ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ ✤æ✐ ❦❤✐ t❛ ❞ò♥❣
∂xα11 ∂xα22 ...∂xαnn

∂ 2u
✤➸ ❝❤➾ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ ❝õ❛ ❤➔♠ ✉✳
=
∂xi ∂xj

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❝➜♣ ❤❛✐ ❧➔
♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❝â ❞↕♥❣✿
n

∂ 2u
L (u) ≡
a✐❥ (x)
+
∂x
∂x
i
j
i,j=1

n

ai (x)
i=1

✸

∂u
+ a (x) u = f (x) ,
∂xi

✭✶✳✶✮


tr õ ởt ởt tỡ t tr Rn , u

ởt t tỷ t t tr , [aij (x)]
tr ỗ số ừ ừ t tỷ tọ


a (x) = aji (x) , i, j = 1, n.

P ữỡ tr r t t

ự ữỡ tr t t r õ
ữỡ tr r t t õ r ữớ
t ữỡ tr ỡ ữỡ tr t ữỡ
tr r ữỡ tr r t ữỡ tr
r t t
t A (x) = [a (x)] , a (x) ữủ tỹ i, j = 1, n.
sỷ x0 ởt tũ ỵ 1 (x0 ) , 2 (x0 ) , ..., n (x0 )
tr r tỹ ừ tr A (x0 ) .
n+ = n+ (x0 ) số tr r ữỡ n = n (x0 )
số tr r n0 = n0 (x0 ) số tr r ổ

n = n+ + n + n0 .
õ

Pữỡ tr ữủ ồ ữỡ tr t t x0
t t x0 n+ = n n = n.
Pữỡ tr ữủ ồ ữỡ tr r t x0
r t x0 n+ = n 1 n = 1 n+ = 1
n = n 1.
Pữỡ tr ữủ ồ ữỡ tr r t x0
r t x0 n0 > 0.

Pữỡ tr ữủ ồ ữỡ tr t r
r tr t tữỡ ự õ t r r
t ộ ừ .
t ữỡ tr r

ử

2u
2u
+
a(x
)
= f (x),
1
x21
x22



tr♦♥❣ ✤â a(x1 ) > 0 ✈î✐ x1 > 0; a(x1 ) < 0 ✈î✐ x1 < 0 ✈➔ a(x1 ) = 0 ❦❤✐

x1 = 0. P❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♥➔② ❧➔ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈î✐ x1 > 0, ❤②♣❡r❜♦❧✐❝ ✈î✐ x1 < 0;
♣❛r❛❜♦❧✐❝ ✈î✐ x1 = 0.

✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω)

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈ H 1 (Ω) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❣ç♠ ♥❤ú♥❣
❝→❝ ❤➔♠ u ∈ L2 (Ω) s❛♦ ❝❤♦ Dα u ∈ L2 (Ω) ✈î✐ ✤❛ ❝❤➾ sè α : |α| ≤ 1.
❍❛② ❝â t❤➸ ✈✐➳t✿

H 1 (Ω) = { u (x)| u (x) ✈➔ uxi ∈ L2 (Ω) , i = 1, n .

◆❤➟♥ ①➨t

∗ H 1 (Ω) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
∗ ❚❛ ✤÷❛ ✈➔♦ H 1 (Ω) t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣✿
n

[u, v]H 1 (Ω) =

(uxi vxi ) dx +
Ω

i=1

Ω

❑❤✐ ✤â ❝❤✉➞♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ s➩ ❧➔✿


 21

n

u

H 1 (Ω)

=

uxi
Ω

✭✶✳✷✮

uvdx.

2
L2 (Ω)

+ u

2
L2 (Ω)

dx .

✭✶✳✸✮

i=1

✶✳✷✳✶✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω)
❚➼♥❤ ❝❤➜t✶✿ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✷✿ ◆➳✉ Ω ∈ Ω ✈➔ u ∈ H 1 (Ω) t❤➻ u ∈ H 1 (Ω ) .
❚➼♥❤ ❝❤➜t ✸✿ ◆➳✉ u ∈ H 1 (Ω) , a (x) ∈ C 1 Ω t❤➻ au ∈ H 1 (Ω) .

❈â t❤➸ t➼♥❤ (au)xi t❤❡♦ q✉② t➢❝ ❧➜② ✈✐ ♣❤➙♥ t❤æ♥❣ t❤÷í♥❣ ✤è✐ ✈î✐ t➼❝❤

❤❛✐ ❤➔♠✳

❚➼♥❤ ❝❤➜t ✹✿ ●✐↔ sû ∂Ω ∈ C 1. ❑❤✐ ✤â✱ t➟♣ ❤➔♠ C ∞

Ω trò ♠➟t ❦❤➢♣

♥ì✐ tr♦♥❣ H 1 (Ω) .

✶✳✷✳✷ ❱➳t ❝õ❛ ❤➔♠

✭♥✲✶✮ ❝❤✐➲✉ trì♥ ♥➡♠
tr♦♥❣ Ω. ◆➳✉ tr♦♥❣ Ω ♠ët ❤➔♠ ✉ ✤÷ñ❝ ❝❤♦ ❤➛✉ ❦❤➢♣ t❤➻ ❣✐→ trà ❝õ❛ ✉
●✐↔ sû Ω ❧➔ ♠ët ♠✐➲♥ tr♦♥❣ Rn ✈➔ Σ ❧➔ ♠ët ♠➦t

✺


tr➯♥ ♠➦t Σ ❝è ✤à♥❤ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❦❤æ♥❣ ✤ì♥ trà ✈➻ ♠❡sΣ = 0 ♥➯♥ ❤➔♠

✉

tr➯♥ Σ ❝â t❤➸ ❝â ❣✐→ trà tò② þ✳ ❙♦♥❣ ✈î✐ ♠ët þ ♥❣❤➽❛ ①→❝ ✤à♥❤ t❛ ❝â t❤➸ ♥â✐
✈➲ ❝→❝ ❣✐→ trà ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ✤÷ñ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❤➛✉ ❦❤➢♣ tr➯♥ ♠ët ♠➦t

✭♥✲✶✮

❝❤✐➲✉✳ ❘ã r➔♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳ tr➯♥ Σ ❝õ❛ ♠ët ❤➔♠ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ Ω ❧➔ ❤➔♠ ❧✐➯♥
tö❝ tr♦♥❣ Σ.
●✐↔ sû Σ ❧➔ ♠ët ♠➦t

✭♥✲✶✮

❝❤✐➲✉ t❤✉ë❝ ❧î♣ C 1 ♥➡♠ tr♦♥❣ Ω ✈➔ Σ1

❧➔ ♠ët ♠➞✉ ❝õ❛ ♥â ✤÷ñ❝ ❝❤✐➳✉ ✤ì♥ trà ❧➯♥ ♠ët ♠✐➲♥

❉

❝õ❛ ♠➦t ♣❤➥♥❣

{xn = 0} ✈➔ ❝â ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤✿
xn = g (x ) , x = (x1 , x2 , ..., xn−1 ) , g (x ) ∈ C 1 D .
❉♦ ♠✐➲♥ Ω ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ t❛ ❝â t❤➸ ✤➦t Ω tr♦♥❣ ♠ët ❦❤è✐ ❧➟♣ ♣❤÷ì♥❣

0 < xi < a, i = 1, n ✈î✐ ♠ët sè ❛ ❃ ✵ ♥➔♦ ✤â✳
●✐↔ sû u (x) ∈ C01 Ω ✈➔ ✤➦t ✉✭①✮ ❂ ✵ ❜➯♥ ♥❣♦➔✐ Ω, u (x , 0) = 0.
❚❤❡♦ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ◆❡✇t♦♥✲▲❡✐❜♥✐t③✱ t❛ ❝â
g(x )

∂u (x , ξn )
dξn ,
∂ξn

u (x)|Σ1 = u (x , g (x )) − u (x , 0) =
0

✈î✐ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r
g(x )

u (x)|Σ1

2

≤ g (x )
o

∂u (x , ξn ) 2
dξn ≤ a
∂ξn

◆❤➙♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ♥➔② ✈î✐
2

u (x)|Σ1 ×
a

≤a
0

1+

∂g
∂x1

1+
2

+ ... +

∂u (x , ξn ) 2
dξn ×
∂ξn

▲➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ t❤❡♦

∂g
∂x1

1+

a

0

∂u (x , ξn ) 2
dξn .
∂ξn

2

+ ... +
∂g
∂xn−1

∂g
∂x1

∂g
∂xn−1

2

, t❛ ✤÷ñ❝✿

2

2

+ ... +

∂g
∂xn−1

2

✭✶✳✹✮

.

❉ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✹✮✱ t❛ ✤÷ñ❝✿
|u (x , g (x ))|

2

1+

D

✻

∂g
∂x1

2

+ ... +

∂g
∂xn−1

2

dx


a

∂u (x , ξn ) 2
dξn
∂ξn

≤a
0 D

Ω

❙✉② r❛

1+
n

∂u 2

dx ≤ a
∂xn

=a

|u| +
i=1

n
2

|u| ds ≤
Σ1

∂u
∂xi

2

Ω

2

∂g
∂x1

|u| +
i=1

Ω

∂u
∂xi

2

+ ... +

∂g
∂xn−1

2

dx.

2

dx.

❉♦ ✈➟②

u
✈î✐

L2 (Σ1 )

≤ C2 u

H 1 (Ω) ,

✭✶✳✺✮

❈ ❂ ❝♦♥st ❃ ✵✱ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✉✳ ❉♦ ♠➦t Σ ❝â t❤➸ ♣❤õ ❜ð✐ ♠ët

sè ❤ú✉ ❤↕♥ ♠➞✉ ❧♦↕✐ Σ1 ♥➯♥ t❛ ❝â✿

u
✈î✐

L2 (Σ1 )

≤C u

H 1 (Ω) ,

✭✶✳✻✮

❈ ❂ ❝♦♥st ❃ ✵✱ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✉✳

❇➙② ❣✐í ❣✐↔ sû u ∈ H 1 (Ω) tç♥ t↕✐ ❞➣② up (x) , p = 1, 2, ... ❈→❝ ❤➔♠
t❤✉ë❝ C 1 Ω ❤ë✐ tö ✤➳♥ ✉ tr♦♥❣ ❝❤✉➞♥ H 1 (Ω) . ✣è✐ ✈î✐ up = uq , t❛ ❝â

up − uq
❉♦ up − uq

L2 (Σ)

≤ C up − uq

H 1 (Ω) .

✭✶✳✼✮

→ 0 ❦❤✐ p, q → ∞,
♥➯♥ up − uq L2 (Σ) → 0 p, q → ∞.
◆❤÷ ✈➟②✱ ❞➣② ❝→❝ ✈➳t up |Σ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ up tr➯♥ Σ ❧➔ ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣
L2 (Σ) . ▼➔ L2 (Σ) ❧➔ ✤➛② ✤õ ♥➯♥ tç♥ t↕✐ uΣ (x) ∈ L2 (Ω) s❛♦ ❝❤♦ up |Σ ❤ë✐
tö ✤➳♥ uΣ (x) ❦❤✐ p → ∞.
❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐î✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ✭✶✳✼✮ ❦❤✐ p → ∞, t❛ ✤÷ñ❝✿
H 1 (Ω)

up − uΣ

L2 (Σ)

≤ C up − u

H 1 (Ω) .

✭✶✳✽✮

●✐↔ sû tç♥ t↕✐ uk (x) , k = 1, 2, ... ❧➔ ♠ët ❞➣② ❦❤→❝ ❝→❝ ❤➔♠ t❤✉ë❝

C 1 Ω ♠➔ u − uk (x) H 1 (Ω) → 0 ❦❤✐ k → ∞. ❱➔ uΣ ❧➔ ❣✐î✐ ❤↕♥ tr♦♥❣
❝❤✉➞♥ L2 (Σ) ❝õ❛ ❞➣② uk |Σ , k = 1, 2, ...
❉♦ ✭✶✳✼✮ ✈➔ ✭✶✳✽✮✱ t❛ ❝â
✼

2

dx


u u

L2 ()

u uq

C u uq

H 1 ()

L2 ()

+ uq uq

+ uq uq

L2 ()

+ uq u

+ uq u

H 1 ()

L2 ()

H 1 ()

q t ữủ u = u .
r u ổ ử tở ồ uk (x) ợ k = 1, 2, ...
u (x) tr H 1 () .

ồ u (x) tở L2 () t ừ u (x) tở
H 1 ()

tr t t u|

u|

L2 ()

s u

L2 () .

ữ t ừ ởt ởt sỹ rở
ừ ởt tr ởt t

t



u C H 1 () t t ừ tr ợ tữ
t ừ u C ữủ u| trũ ợ t ừ õ tr ợ
tữ t ừ u H 1 () ữủ u|

t u| ừ u H 1 () tọ
u

L2 ()

C u

H 1 () .

t tở ợ C 1 tở ,
C 1 t tũ ỵ tở H 1 () ổ õ t u| tr
, u| L2 () t tự ú
1
()
ổ Hloc

ổ Hloc1 () ổ ỗ ỳ ợ

f L2,loc () s D f L2,loc () ợ số tũ ỵ , 1.

t

1
Hloc
() ổ t t

0

ổ H 1 ()

ổ H 1 () ổ ỗ ỳ ợ
0

u (x) H 1 () s t u| ừ u (x) = 0.



❍❛② ❝â t❤➸ ✈✐➳t✿
0

H 1 (Ω) = { u (x)| u (x) ∈ H 1 (Ω) ✈➔ u|∂Ω = 0}.

◆❤➟♥ ①➨t

0

∗ ❈❤✉➞♥ tr♦♥❣ H 1 (Ω) ❧➔ ❝❤✉➞♥ tr♦♥❣ H 1 (Ω) .
0

∗ ❚❛ t❤➜② H 1 (Ω) = H 1 (Ω) .
❚❤➟t ✈➟② ❣✐↔ sû ✉❂✶ ❧✐➯♥ tö❝ tr♦♥❣ Ω, u ∈ H 1 (Ω) . ❑❤✐ ✤â ✈➳t ❝õ❛
0

tr➯♥ ∂Ω ❜➡♥❣ ✶✳ ❙✉② r❛ u ∈
/ H 1 (Ω) .

∗ ❚➟♣ ❤➔♠

✉

0

trò ♠➟t ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr♦♥❣ H 1 (Ω) .

C0∞ (Ω)

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✶✳ ✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❋r❡❞r✐❝✮✳ ❱î✐ ♠å✐ u ∈ H 1 (Ω) t❛ ❝â✿
0

n

u

tr♦♥❣ ✤â C1= const

uxi

C1

L2 (Ω)

✭✶✳✶✵✮

L2 (Ω),

i=1

> 0.

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼✐➲♥ Ω ❜à ❝❤➦♥ ♥➯♥ ❝â t❤➸ ✤➦t ♥â tr♦♥❣ ♠ët ❦❤è✐ ❧➟♣

♣❤÷ì♥❣ 0 < xi < a, i = 1, n ✈î✐
0

❛❃✵

❜➜t ❦➻ x = (x1 , ..., xn−1 ) .

●✐↔ t❤✐➳t u ∈ H 1 (Ω) t❛ ❝â✿
xn

u (x , xn ) =

1.
0

∂u (x , s)
ds.
∂xn

❚❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r✱ t❛ ❝â✿
xn
2

|u (x , xn )| =

xn

ds
0

0

2

|u (x , xn )| ds ≤aa
Ω

n

0

≤ a2
n

❙✉② r❛ u

L2 (Ω)

❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

≤ C1

a

0

①a tr➯♥ ♠✐➲♥ Ω, t❛ ✤÷ñ❝✿

▲➜② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❤❛✐ ✈➳ t❤❡♦

Ω

∂ (x , s) 2
ds ≤ a
∂xn

i=1

uxi

∂u (x , s) 2
ds = a2
∂xn

∂ (x , s) 2
ds.
∂xn
∂u (x , s) 2
dx
∂xn

Ω

∂u
∂xi

2

.

L2 (Ω)

L2 (Ω) ,

tr♦♥❣ ✤â C1 ❂❝♦♥st ❃ ✵✳ ✣à♥❤ ❧þ ✤÷ñ❝

i=1

✾


ỵ t tr H 1 () t tr
L2 () .

ổ H 1,0 (QT )
sỷ ởt tr Rn QT = ì [0, T ] trử
õ ở



tr Rn+1 = Rn ì (, +) .

ổ H 1,0 (QT ) ổ ỗ ợ

u (x, t) L2 (QT ) õ r s rở uxi L2 (QT ) , i = 1, n.
t õ t t
H 1,0 (QT ) = {u (x, t)| u (x, t) uxi L2 (QT ) , i = 1, n .

t

ổ H 1,0 (QT ) ổ rt ợ t ổ ữợ
n

[u, v]H 1,0 () =

uxi vxi dxdt +
QT i=1

uvdxdt.
QT

C 1 t C QT trũ t ỡ tr H 1,0 (QT ) .
sỷ ởt t ợ C1 tr õ t trũ ợ
T = {x , 0 < t < T } .
ữỡ tỹ ữ ố ợ H 1 () , t õ t t ừ
u H 1,0 (QT ) tr t trử T ữ s
sỷ C 1 tỗ t ỡ uk , k = 1, 2, ..., uk C 1 QT ,
s uk us H 1,0 (QT ) 0 k .
uk (x, t) ợ t [0, T ] , t ố ừ tở C 1

uk us
ợ k, s = 1, 2, ...

2
L2 ()

C 2 uk us

2
H 1 () ,

st ử tở T .

t ợ t [0, T ] , t õ

uk us

L2 (T )

C uk us


H 1,0 (QT ) , k, s

= 1, 2, ...


❉♦ ❞➣② uk , k = 1, 2, ... ❧➔ ❞➣② ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ H 1,0 (QT ) ♥➯♥ ❞➣②

uk |(x,t) ∈ ΣT , k = 1, 2, ... ❧➔ ❞➣② ❝ì ❜↔♥ tr♦♥❣ L2 (ΣT ) . ❱➻ ✈➟② tç♥ t↕✐
❤➔♠ uΣT ∈ L2 (ΣT ) ♠➔ ❞➣② uk |(x,t) ∈ ΣT , k = 1, 2, ... ❤ë✐ tö ✤➳♥ ♥â tr♦♥❣
L2 (ΣT ) , ❤➔♠ ♥➔② ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❝❤å♥ ❞➣② uk , k = 1, 2, ...①➜♣
①➾ ❤➔♠ ✉✳
❍➔♠ uΣT ❝ô♥❣ ✤÷ñ❝ ❣å✐ ❧➔ ✈➳t ❝õ❛ ❤➔♠ u ∈ H 1,0 (QT ) tr➯♥ ♠➦t trö ΣT
✈➔ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ u|ΣT .
❚❛ ❝â u L2 (ΣT ) ≤ C u H 1,0 (QT ) , tr♦♥❣ ✤â
u
✈î✐

L2 (ΣT )

≤ u|ΣT

L2 (ΣT )

,

❈ ❃ ✵✱ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ ✈➔♦ ✉✳
0
1,0

✶✳✻✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H (QT )

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✼✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H

0
1,0

(QT ) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❣ç♠ ♥❤ú♥❣ ❧î♣
❤➔♠ u (x, t) ∈ H 1,0 (QT ) s❛♦ ❝❤♦ ✈➳t u|ΓT ❝õ❛ ✉✭①✱t✮ ❜➡♥❣ ✵ ✈î✐
ΓT = ∂Ω × [0, T ] .
❍❛② ❝â t❤➸ ✈✐➳t✿
0
1,0

H

(QT ) = u (x, t)| u (x, t) ∈ H 1,0 (QT ) ✈➔ u|ΓT = 0 .

◆❤➟♥ ①➨t

0

❚❛ ❝ô♥❣ ❝â ❦➳t q✉↔ C0∞ QT trò ♠➟t ❦❤➢♣ ♥ì✐ tr♦♥❣ H 1,0 (QT ) .
0

❚ù❝ ❧➔ C0∞ QT = H 1,0 (QT ) .

✶✳✼✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤
❡❧❧✐♣t✐❝

✶✳✼✳✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝
tê♥❣ q✉→t
❚r♦♥❣ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ Ω ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❡❧❧✐♣t✐❝ ❝➜♣ ❤❛✐✿
✶✶

♥

❝❤✐➲✉ Rn , ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤


n

n

u

(a (x)
)+
L(u) =
x
x
j
i
i,j=1
n

= f (x) +
i=1

bj (x)
j=1

u
+ C(x)u
xj

fi
,
xi



tr õ (x) C 1 (), bj (x) C 1 (), C(x) C(), i, j = 1, n tỹ
tr [ (x)] ố ự ữỡ

số

tỹ f (x) L2 (), fi (x) L2 (), i = 1, n.
t ừ ữỡ tr tữỡ ữỡ ợ
ợ x (), r t tự
n
2

(x)i j à||2

||
i,j=1

n
2

ợ , à = cst > 0, = (1 , ..., n ) Rn , || =

i2 .
i=1

t tự t ố ợ ữỡ tr t t t

tử tr , tr (x) trữợ tọ
ữỡ tr tự tọ
n



L(u) = f (x) +

i=1

fi
,
xi



u | = (x).

ờ s rở ừ t tự t
u(x) C 2() C() ữủ ồ ờ

ừ t tự t ố ợ ữỡ tr tọ


u(x) H 1 () ữủ ồ s rở ừ
0

t tự t ố ợ ữỡ tr
0

tọ

ợ v H 1 () tọ ỗ t tự t s

n

L(u, v) =

n

a uxi vxj dx +
i,j=1

u


bi xi C)v dx

bi vx i + (
i=1



n

i=1


n

=−

f vdx +
Ω

✭✶✳✶✹✮

fi vxi dx.

i=1

Ω

❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✤è✐ ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t

❚r♦♥❣ ♠✐➲♥ ❜à ❝❤➦♥ Ω ⊂ Rn ①➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ✈î✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥
❜✐➯♥ t❤✉➛♥ ♥❤➜t✿

n

L(u) = f (x) +
i=1

∂fi
∂xi
✭✶✳✶✺✮

u |∂Ω = 0
0

❚r♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ H 1 (Ω), t❛ ✤÷❛ ✈➔♦ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ s❛✉ ✤➙②✿
n

[u, v]

0

H 1 (Ω)

❛✐❥ ✉xi vxj dx.

=

✭✶✳✶✻✮

Ω i,j=1

❚❛ ❦✐➸♠ tr❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✭✶✳✶✻✮✿
n

∗[u, u]

0

H 1 (Ω)

①→❝ ✤à♥❤ ❞÷ì♥❣✳

∗[u, u]

0

H 1 (Ω)

0

❛✐❥ ✉xi uxj dx ≥ 0, ✈î✐ ∀u ∈ H 1 (Ω) ❞♦ ♠❛ tr➟♥ [❛ (x)]

=

✐❥

Ω i,j=1

= 0 ⇒ u = 0.
n

∗[u, v]

0

H 1 (Ω)

n

❛✐❥ ✉xi vxj dx =

=

❛✐❥ ✈xj uxi dx = [v, u]

Ω i,j=1

Ω i,j=1

❞♦ ♠❛ tr➟♥ [❛✐❥ (x)] ✤è✐ ①ù♥❣✳

0

H 1 (Ω)

n

∗[u + v, t]

0

H 1 (Ω)

❛✐❥ (u + v)xi txj dx

=
Ω i,j=1
n

=

n

a✐❥ uxi txj dx +
Ω i,j=1

= [u, t]

a✐❥ vxi txj dx
Ω i,j=1

0

H 1 (Ω)

+ [v, t]

0

H 1 (Ω)

.

n

∗[λu, v]

0

H 1 (Ω)

n

❛✐❥ (λu)xi vxj dx = λ

=
Ω i,j=1

❚➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ t÷ì♥❣ ù♥❣ ♠î✐ ❧➔✿
0

H 1 (Ω)

=

uxi
Ω

i=1

✶✸

2

Ω i,j=0

dx =

0

H 1 (Ω)

1/2

n

|u|

❛✐❥ ✉xi vxj dx = λ[u, v]

[u, u].

.

▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ❍❛✐ ❝❤✉➞♥ | . | ✈➔ . ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✉➞♥ ❝ô


u

1/2

n

=

0

H 1 (Ω)

uxi

2
L2 (Ω)

+ u

2
L2 (Ω)

dx

i=1

Ω

t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ ❝❤✉➞♥ ♠î✐ |u|

0

H 1 (Ω)

[u, u] t❤➻ t❛ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤

=

0

∃C1 , C2 > 0 s❛♦ ❝❤♦ C1 u ≤ |u| ≤ C2 u , ∀u ∈ H 1 (Ω).
❚❤➟t ✈➟②✱ t❤❡♦ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❋r❡❞r✐❝✱ t❛ ❝â✿
n

∗ u

2

=

0

H1

2
L2 (Ω)

( u

(Ω)

+

uxk

2

L2 (Ω) )dx

k=1

Ω

n

≤

n
2

((1 + µ)
k=1

Ω

Ω k=1

n

≤ (1 + µ)

γ
Ω
−1

≤ (1 + µ)γ

uxk 2 dx

uxk )dx = (1 + µ)
−1

❛✐❥ ✉xj ✉xi dx
i,j=1

[u, u] = (1 + µ)γ −1 |u|

2
0

H 1 (Ω)

. (∗)

n

∗ |u|

2
0

H 1 (Ω)

❛✐❥ ✉xi ✉xj dx

= [u, u] =
Ω i,j=1

n

≤

u2xk dx

µ

n

k=1
n

Ω

≤µ

Ω k=1

uxk

2
L2 (Ω) dx

Ω k=1

≤µ

uxk
Ω

=µ u

u2xk dx

=µ

n
2
L2 (Ω)

+

uxk

2

L2 (Ω) )dx

k=1
2
0

H 1 (Ω)

. (∗∗)

❚ø ✭✯✮ ✈➔ ✭✯✯✮ s✉② r❛ ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳
❑❤✐ ✤â ✭✶✳✶✹✮ s➩ trð t❤➔♥❤✿
n

[u, v]

0

H 1 (Ω)

+ u,

n

bi vxi − C)v

bi vxi + (
i=1

i=1

✶✹

L2 (Ω)


n

= f [f, v]L2 () +



[fi , vxi ]L2 () .
i=1

ờ sỷ b0(x), b1(x), ..., bn(x) tử tũ ỵ tr
0

õ tỗ t t tỷ t t tứ L2() H 1 ()
tr t L2() s

,

n

0

u,

bi vxi + b0 v

= [Au, v]

i=1

0

H 1 ()

L2 ()



, v H 1 () .
0

ỡ ỳ ữủ t ữ ởt t tỷ t t tứ H 1 ()
0
H 1 () t t tử

ự rữợ t t ự tỗ t t tỷ
0

A : L2 () H 1 (),
0

ợ u L2 (), t tr H 1 ().
n

l(v) = u,

bi vxi + b0 v
i=1

ó r

.
L2 ()

t t ợ ở
n

|l(v)| u

i=1

ợ

C u

bi vxi + b0 v

L2 ()

L2 ()

L2 ()

st ổ ử tở

v

0

H 1 ()

,

0

t ỵ t tỗ t t F H 1 () s
0

l(v) = [F, v]

0

H1

()

t tỷ

, ợ v H 1 () F

0

H 1 ()

= l C u

L2 () .

0

tứ L2() H 1 () ữủ Au = F
0

t



s tọ t t A C ợ u L2 (), v H 1 (), t
õ

n

u,

bi vxi + b0 v
i=1

= [Au, v]
L2 ()



0

H 1 ()

.




0

ữủ ữ t tỷ tứ H 1 () t t tỷ tử
0

t t t tũ ỵ tr H 1 () s r t t
0

tr H 1 (). õ tứ ổ t ý tỷ ừ õ t õ t
0

0

rút r ởt ỡ tr H (). A : L2 () H 1 ()
1

t tỷ
õ
0

tử

0

t ỡ tr H 1 (). t tỷ
0

A : H 1 () H 1 () t tỷ t tử ờ ữủ ự

ớ ờ ỗ t tự õ t t ữợ
[u, v] + [Au, v] = [F, v] .
0

t t ỗ t tự ợ v H 1 (), t õ

[f, v]L2 () C f

L2 ()

v

0

H 1 ()

,

0

t ỵ t tỗ t t F H 1 (), s

[f, v]L2 () + [fi , vxi ]L2 () = [F, v]

0

H 1 ()

.

ỗ tớ ử ờ ợ b1 (x), b2 (x), ..., bn (x) số ừ
n

ữỡ tr t b0 (x) =
i=1

t ữủ ữợ

[u, v]

0

H 1 ()

bixi C(x) t ỗ t tự

+ [Au, v]

0

H 1 ()

= [F, v]

0

H 1 ()

.

ứ õ ữỡ tr õ t t ữủ ữợ ữỡ tr t
0

tỷ tr ổ H 1 () ữ s
0

u + Au = F, u H 1 (),
tr õ

t tỷ t tử

Pữỡ tr ữủ ồ ữỡ tr t t







❇ê ✤➲ ✶✳✺✳ ◆➳✉

n

tr♦♥❣ Ω t❤➻ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
i=1

u + Au = 0 ❝❤➾ ❝â ♥❣❤✐➺♠ t➛♠ t❤÷í♥❣✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû ✉ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t❤✉➛♥ ♥❤➜t
1
2

bixi − C ≥ 0

u + Au = 0. ❚❛ s✉② r❛ u

2

0

H 1 (Ω)

+ [Au, u]

= 0. ❚❛ ❝â✿

0

H 1 (Ω)

1
1
bi uxi |u|2 + bi 2uxi u − bixi |u|2
2
2
1
bixi 2

2
= (bi |u| )xi −
|u|
2
2
✈➔ u |∂Ω = 0,
bi uxi u =

♥➯♥✿
n

[Au, u]

0

H 1 (Ω)

+ u,

bi uxi + (

=

(
i=1
n

=
Ω

i=1

=0+
❞♦ (

1
2

n

i=1

L2 (Ω)

i=1

1
(bi |u|2 )xi −
2

n

i=1

1
( bi |u|2 )xi dx +
2
(

1

2

Ω

(

1
2

Ω

n

Ω

n

bixi − C)|u|2 dx

(
i=1

bixi − C)|u|2 dx
i=1

bixi − C)|u|2 dx ≥ 0. (∗)
i=1

i=1

▼➦t ❦❤→❝ t❛ ❧✉æ♥ ❝â u

n

bi uxi 2
|u| )dx+
2

bixi − C ≥ 0). ❚ø ✤â s✉② r❛ u

❚ø ✭✯✮ ✈➔ ✭✯✯✮ ⇒ u

− C)

bi uxi − C)|u|2 )dx

bi uxi u + (
i=1
n

Ω

✐①i

n

(
Ω

b

i=1

n

=

n

0

H 1 (Ω)

0

H 1 (Ω)

≥ 0.

0

H 1 (Ω)

≤ 0.

(∗∗)

= 0 ⇒ u ≡ 0.

✣à♥❤ ❧þ ✶✳✻✳ ✭✣à♥❤ ❧þ ❋r❡❤♦❧♠ t❤ù ♥❤➜t✮✳ ◆➳✉ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✷✮ ✈➔ ✭✶✳✶✺✮

0

❝â ♥❤✐➲✉ ❤ì♥ ♠ët ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣ ✉✭①✮ tr♦♥❣ H 1 (Ω) t❤➻ u(x) ∈ H 1 (Ω)
✈î✐ f, fi ∈ L2(Ω), i = 1, n.
❚ø ❇ê ✤➲ ✭✶✳✹✮ ✈➔ ✤à♥❤ ❧þ ❋r❡❤♦❧♠ t❤ù ♥❤➜t✱ t❛ s✉② r❛ ✤÷ñ❝ ✤à♥❤ ❧þ
s❛✉✿
✶✼


ỵ

n

tr t ợ ồ f, fi L2(),
i=1
t õ s rở t
1
2

bixi C 0

t tự t ợ ổ t t
t t ợ ổ t t tự



u | = (x), (x) 0, x .

ổ tt L2 () õ t t tr ữủ

t tở H 1 ().
C 1 () t tỗ t t tr ữ tr õ tỗ t
(x) C 1 () (x) H 1 () s | = H 1 () C1 C 1 () ,
ợ C1 = cst > 0, ổ ử tở .
t t = u t t t s rở ừ t
0

ữủ ữ t t H 1 (), tọ
n

L() = f +
i=1

n

fi
+
( xj )xi +
xi i,j=1
n

i=1
n

i,j=1

tr õ

j=1

n



n

uxi uxj +

L(u) =

bj xj + C

fi
,
xi

=f+
ợ

n

bj uxj + Cu = f +
j=1

i=1

fi
,
xi

n

bj xj + C L2 (),

f =f+
i=1
n

bj xj L2 (),

f = fi +
j=1

| = 0.
rữớ ủ t ữủ ữ t t tự
t ợ t t

ỹ tỗ t s rở ừ t tự t õ
ổ t t



✣à♥❤ ❧þ ✶✳✽✳ ◆➳✉

n

tr♦♥❣ Ω, ϕ(x) ❧➔ ❣✐→ trà tr➯♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛
i=1
1
❤➔♠ ♥➔♦ ✤â tr♦♥❣ H (Ω) t❤➻ ❜➔✐ t♦→♥ ✭✶✳✶✷✮✱ ✭✶✳✷✵✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣

❞✉② ♥❤➜t ✉✭①✮ ✈➔ t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✿
1
2

bixi − C ≥ 0

n

u

≤ C( f

H 1 (Ω)

+

L2 (Ω)

fi

L2 (Ω)

+ ✐♥❢ φ

H 1 (Ω) ),

i=1

φ ∈ H 1 (Ω), φ |∂Ω = ϕ.

tr♦♥❣ ✤â ❈❂ ❝♦♥st❃✵✱ ❦❤æ♥❣ ♣❤ö t❤✉ë❝ f, fi(i = 1, n), φ ✈➔ ✈î✐ ϕ ∈ C 1(∂Ω)
t❛ ❝ô♥❣ ❝â
n

u

H 1 (Ω)

≤ C( f

+

L2 (Ω)

fi

L2 (Ω)

+ ϕ

✭✶✳✷✷✮

C 1 (∂Ω) ).

i=1

❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳

1
❱➻

2

n

0

bixi − C ≥ 0 tr♦♥❣ Ω ♥➯♥ tr♦♥❣ H 1 (Ω) t❛ ❝â
i=1

t❤➸ ✤÷❛ ✈➔♦ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ ♠î✐ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✈î✐ t➼❝❤ ✈æ ❤÷î♥❣ t❤æ♥❣
t❤÷í♥❣ ♥❤÷ s❛✉✿
n

u, v

0

H 1 (Ω)

=

❛✐❥ uxi uxj + cuv)dx.

(
Ω

✭✶✳✷✸✮

i,j=1

✣➦t
n

l(v) = −
❑❤✐ ✤â

❛✐❥ φxi vxj + Cφv +

(
Ω

n

i,j=1

n

bj φxj v + f v +
j=1

i=1

∂fi
)dx.
∂xi

❧✭✈✮ ❧➔ ♣❤✐➳♠ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤✳ ❱✐➳t ✭✶✳✷✶✮ ❞÷î✐ ❞↕♥❣
[u, v]

0

H 1 (Ω)

= l(v).

0

❚❛ ❝â✱ ✈î✐ ∀v ∈ H 1 (Ω) t❤➻

|l(v)| ≤ max a (x) φxi
✐❥

x∈Ω

L2 (Ω)

vxj

L2 (Ω)

+ max bj (x) φxj
x∈Ω

L2 (Ω)

v

L2 (Ω)

v

L2 (Ω)

n

+max c(x) φ
x∈Ω

L2 (Ω)

v

L2 (Ω)

+ f

L2 (Ω)

v

L2 (Ω)

+

fi
i=1

✶✾

L2 (Ω)