Bài toán khoảng cách trong khảo sát hàm số nguyễn mạnh cường

Thầy Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email:
Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups
Địa chỉ học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ

 

NGUYỄN MẠNH CƯỜNG
GV chuyên luyện thi THPTQG

ad  bc
c

2

Bài toán
khoảng cách
trong khảo
sát hàm số
Một vài công thức giải nhanh

Nguyễn Mạnh Cường - 0967453602

Mùa thi 2017
0


Thầy Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email:
Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups
Địa chỉ học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ

MỘT VÀI CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG

KHẢO SÁT HÀM SỐ
Xét hàm số y 


ax  b 
d

 x   ; ad  bc  0  có đồ thị  C 
cx  d 
c


Một điểm M  x0 ;


d

ax0  b 
   C  bất kỳ  x0   
c
cx0  d 


Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x  

d

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang y 

a

là d1  x0 

c

là d 2 

c

d
c

ax0  b
cx0  d





cx0  d
c

a
c



ad  bc
c  cx0  d 

 d a
Lưu ý: Giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là điểm I   ; 
 c c

Các dạng toán thường gặp:
❶ Tìm M trên đồ thị  C  sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng k lần khoảng
cách từ M đến tiệm cận ngang:
d1  kd 2  x0  

d
c



k

 k  0  , trong đó 



ad  bc
c2

0

❷ Tìm M trên đồ thị  C  sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến các tiệm cận là nhỏ nhất:
min d  2  x0  

d
c

  , trong đó  

ad  bc
c2

0

❸ Tìm M trên đồ thị  C  sao cho khoảng cách từ điểm M đến I là nhỏ nhất, với I là giao điểm của
hai tiệm cận:
min MI  

2  x0  

d
c

  , trong đó  

ad  bc
c2

0

❹ Tìm M trên đồ thị  C  sao cho tổng khoảng cách từ điểm M đến các tiệm cận bằng k:








d c

2
2
 x0   c  2 k  k  4
, trong đó k  2  2
d1  d 2  k  
 x   d  c k  k 2  4 2
 0
c 2

1

ad  bc
c2

0


Thầy Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email:
Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups
Địa chỉ học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ

Bài tập vận dụng:
Ví dụ 1. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số y 

x 1
x 1

thỏa mãn khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận

đứng bằng 4 lần khoảng cách từ điểm M đến tiệm cậng ngang. Phương án đúng là:
A. M  3; 2 

B. M   1; 0 

C. Cả A và B

D. Đáp án khác

Bài giải.
Áp dụng công thức d1  kd 2  x0  

Ví dụ 2. Cho hàm số y 

2x  3
x3

 x0  3  M  3; 2 
 1
  k 
C

k 4
c
x



1

M

1;
0


 0

d

có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến

tiệm cận ngang bằng 9 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng, phương án đúng là:
A. M  2; 7  , M  6;1 B. M  6;1 , M  4;11 C. M  6;1 , M  6;5  D. M  2; 7  , M  4;11
Bài giải.
Áp dụng công thức d1  kd 2  x0  

Ví dụ 3. Cho hàm số y 

x 1
2 x

 x0   2  M   2;  7 
 3
  k 

D


1
k
c
 x0   4  M   4;11
9

d

có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đến

tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, phương án đúng là:
A. M  3; 2 

B. M 1; 0 

C. M  3; 2  , M  0; 0,5 

D. Cả đáp án A và B

Bài giải.
Áp dụng công thức d1  kd 2  x0  

 x0  3  M  3;  2 
 1
  k 
D

k 1
c
 x0  1  M 1; 0 

d

Ví dụ 4. Tìm điểm M trên đồ thị hàm số y 

2x 1
2  3x

sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận

là nhỏ nhất, phương án đúng là:
A. M 1; 1

1 1
B. M  ;  
3 3

C. Cả đáp án A và B

Bài giải.

2

D. Đáp án khác


Thầy Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email:
Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups
Địa chỉ học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ

 x0  1  M 1;  1


Áp dụng công thức min d  2  x0     
1
1 1 C
c
x0   M  ;  

3
3 3


d

Ví dụ 5. Cho hàm số y 

2x 1

1

3

có đồ thị (C). Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ M thuộc (C)

x 1

đến hai tiệm cận của (C) là:
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Bài giải.
 1
Áp dụng công thức min d  2 
min d  2  B

Ví dụ 6. Cho hàm số y 

2x 1
x 1

có đồ thị (C). Tìm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến

hai tiệm cận là nhỏ nhất, phương án đúng là:
A. M  0;1

B. M  2;3 

C. M  0; 2 

D. Cả đáp án A và B

Bài giải.
Áp dụng công thức min d  2  x0  

Ví dụ 7. Cho hàm số y 

2x  3
x3

 x0  0  M  0;1
 1
  
D

c
 x0   2  M   2; 3 

d

có đồ thị (C). Tìm M trên (C) sao cho khoảng cách từ điểm M đến

điểm I là ngắn nhất, với I là giao điểm của hai tiệm cận. Phương án đúng là:
A. M  6;5 

B. M  0;  1

C. M  6;5  , M  0; 1

D. Đáp án khác

Bài giải.

Áp dụng công thức min MI   2  x0  

 x0  6  M  6;5 
 3
  

C
c
 x0  0  M  0;  1

d

Ví dụ 8. Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ điểm M thuộc đồ thị hàm số y 
giao điểm của hai tiệm cận là:
A. 16

2

B.

4 2

C. 16

D. 4

3

3x  1
x5

đến điểm I là

Thầy Nguyễn Mạnh Cường – SĐT: 0967.453.602 – Email:
Facebook.com/cuong.mathteacher – Facebook.com/groups/cuong.mathteachergroups
Địa chỉ học: CS1: 53/17/Thịnh Quang, Đống Đa, Hà Nội – CS2: Ngã Tư Cổ Tiết, Tam Nông, Phú Thọ

Bài giải.
 4
 min MI  4 2  B
Áp dụng công thức min MI   2 

Ví dụ 9. Cho hàm số y 

3x  1
x5

có đồ thị (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến

điểm I là nhỏ nhất, với I là giao điểm của hai tiệm cận. Phương án đúng là:
A. M 1; 1

B. M  3; 5 

C. Cả đáp án A và B

D. Đáp án khác

Bài giải.
Áp dụng công thức min MI   2  x0  

 x0  9  M  9; 7 
 4
  

D
c
 x0  1  M 1;  1

d

Ví dụ 10. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y 

2x 1
x3

sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm

cận bằng 8, phương án đúng là:
A. M 10; 3  , M  4; 9 

B. M  2; 5  , M  4;1

C. Đáp án khác

D. Cả đáp án A và B

Bài giải.
 x0
d c


2
2

x



k

k

4

 0
 x0
c 2
k 8
Áp dụng công thức d1  d 2  k  



 7
x
 x   d  c k  k 2  4 2
 0
 0
c 2
x
 0







4

 10  M 10; 3 
 4  M  4; 9 
 2  M  2;  5 
  4  M   4;1

D