Ổn định và điều khiển hệ phương trình nơron có trễ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

LÊ THỊ NGỌC HOA

ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

LÊ THỊ NGỌC HOA

ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NƠRON CÓ TRỄ

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH VŨ NGỌC PHÁT

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải
tích với đề tài "ỔN ĐỊNH VÀ ĐIỀU KHIỂN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
NƠRON CÓ TRỄ " được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng
lặp với luận văn, luận án và các công trình đã công bố.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết Luận văn

Lê Thị Ngọc Hoa

i


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH Vũ Ngọc Phát, người đã định
hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để
tôi có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học sư phạm
- Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá
trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Lê Thị Ngọc Hoa

ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Một số ký hiệu viết tắt

v

Mở đầu

1

1 Cơ sở toán học

3

1.1

Hệ phương trình vi phân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Hệ phương trình vi phân có trễ. . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Lý thuyết ổn định Lyapunov.

. . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4

Hệ phương trình vi phân điều khiển . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5

Mô hình mạng nơron có trễ

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.6

Bài toán ổn định hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.7

Các bổ đề bổ trợ

14

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii


2 Ổn định và ổn định hóa hệ nơron có trễ

16

2.1

Ổn định hệ phương trình nơron có trễ . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Ổn định hóa hệ phương trình nơron có trễ . . . . . . . . . .

24

2.3

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Kết luận chung

34

Tài liệu tham khảo

35

iv


Một số ký hiệu viết tắt
R+

Tập hợp các số thực không âm.

Rn

Không gian Euclid n chiều.

< x, y > hoặc xT y Tích vô hướng của 2 véctơ x, y .
x

Chuẩn véctơ Euclid của x.

xt

Chuẩn đoạn quĩ đạo trễ xt : xt = sup

x(t + s) .

t∈[−h,0]

Rn×r

Không gian các ma trận n × r chiều.

AT

Ma trận chuyển vị của A.

I

Ma trận đồng nhất.

λ(A)

Giá trị riêng của A.

λmax (A)

Giá trị riêng lớn nhất của A:

λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
λmin (A)

Giá trị riêng nhỏ nhất của A:

λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}.
C([0, t], Rn )

Tập các hàm liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn .

C 1 ([0, t], Rn )

Tập các hàm khả vi liên tục trên [0, t] giá trị trong Rn .

L2 ([0, t], Rn )

Tập các hàm khả tích bậc 2 trên [0, t] giá trị trong Rn .

A≥0

Ma trận xác định không âm.

A>0

Ma trận xác định dương.

diag{x1 , ..., xn }

Ma trận chỉ có số hạng đường chéo x1 , ..., xn .

LM I

Bất đẳng thức ma trận tuyến tính.
v


Mở đầu
Trong lý thuyết định tính các hệ động lực, bài toán ổn định và điều khiển
có vai trò rất quan trọng. Nghiên cứu bài toán ổn định và bài toán điều khiển
các hệ động lực đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu không thể
thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Hệ mạng tế bào thần kinh (nơron)
là các mô hình toán sinh học được mô tả trong nhiều lĩnh vực ứng dụng như
xử lý tín hiệu, nhận dạng mẫu và liên kết tế bào thần kinh. Các mô hình
nơron có trễ là phổ biến và có nhiều ứng dụng thực tế. Bởi vậy, việc nghiên
cứu tính ổn định và ổn định hóa của hệ nơron có trễ là vấn đề quan trọng,
cho đến nay đang được nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước quan tâm,
và đã thu được nhiều kết quả quan trọng. Trong luận văn này, chúng tôi trình
bày một số kết quả nghiên cứu gần đây về tính ổn định và ổn định hóa cho
một số lớp hệ nơron có trễ. Các hệ nơron xét trong luận văn là các hệ có trễ
tổng quát, các hệ nơron với các hàm kích hoạt khác nhau, trong đó độ trễ
là các hàm số liên tục và bị chặn trên khoảng hữu hạn. Phương pháp hàm
Lyapunov kết hợp với các kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính được
sử dụng linh hoạt để giải bài toán ổn định và ổn định hóa.

1


Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương.
Chương 1 trình bày cơ sở toán học: hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ
phương trình điều khiển, hệ phương trình nơron có trễ, bài toán ổn định và
ổn định hóa.
Chương 2 trình bày các điều kiện đủ về tính ổn định và ổn định hóa hệ nơron
có trễ.

2


Chương 1
Cơ sở toán học
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở toán học về: hệ phương
trình vi phân, hệ phương trình vi phân điều khiển, hệ phương trình nơron
có trễ, bài toán ổn định hóa và các bổ đề bổ trợ. Nội dung chương này được
trình bày từ tài liệu [1], [3].

1.1

Hệ phương trình vi phân.

Xét hệ phương trình vi phân:



x(t)

˙
= f (t, x(t)),


x(t0 ) = x0 ,

t ∈ I = [t0 − b, t0 + b] ,
(1.1)

x ∈ Rn ,

t0 ≥ 0,

trong đó:

f (. . . ) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : x − x0 ≤ a} .
Nghiệm của hệ phương trình (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn hệ
phương trình vi phân (1.1). Giả sử f (t, x) liên tục trên I × D.
3


Khi đó, nghiệm của x(t) của (1.1) cho bởi dạng tích phân:
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds,

t ≥ 0.

t0

Định lý 1.1.1. (Định lý Picard-Lindeloff). Xét hệ phương trình vi phân (1.1),
trong đó giả sử hàm f(.) liên tục theo t ∈ I và thoả mãn điều kiện Lipschitz
theo biến x ∈ D tức là:

∃k > 0 : f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ k x1 − x2 ,

∀t ≥ 0.

Khi đó, với mỗi (t0 , x0 ) ∈ I × D sẽ tìm được số b > d > 0 sao cho hệ (1.1)
luôn có duy nhất nghiệm x(t) trên khoảng [t0 − d, t0 + d].
Định lý 1.1.2. (Định lý Caratheodory) Giả sử là hàm f(t,x) đo được theo

t ∈ I và liên tục theo x ∈ D. Nếu tồn tại hàm khả tích m(t) trên (t0 , t0 + β)
sao cho f (t, x(t)) ≤ m(t) mọi (t, x) ∈ I × D thì hệ (1.1) có nghiệm trên
khoảng (t0 , t0 + β) , β > 0.
Chú ý rằng, định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ
không duy nhất.
Định lý 1.1.3. (Định lý tồn tại nghiệm trên R+ ). Giả sử hàm f(.) là bị chặn

f (t, x) ≤ M và thỏa mãn điều kiện Lipschitz:
f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ k x1 − x2 ,

∀x1 , x2 ∈ Rn , ∀t ≥ 0.

Khi đó, hệ (1.1) có nghiệm duy nhất x(t) xác định trên R+

4

1.2

Hệ phương trình vi phân có trễ.

Chúng ta nhận thấy rằng các quá trình xảy ra trong tự nhiên thường có
liên quan đến quá khứ. Các hệ phương trình có phụ thuộc trễ thể hiện được
đặc điểm phụ thuộc vào quá khứ này của hệ thống, phần dưới đây sẽ trình
bày một số khái niệm cơ bản cho hệ có trễ.
Xét một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h (0 ≤ h < +∞) .
Với x(t) là một hàm liên tục, kí hiệu xt (δ) = x (t + δ) , ∀δ ∈ [−h, 0] là nghiệm
trên đoạn trễ và khi đó chuẩn được xác định bởi công thức:

xt = sup

x (t + δ) .

δ∈[−h,0]

Khi đó, hệ phương trình vi phân có trễ được cho dưới dạng:

.

 x(t)
= f (t, xt ), t ≥ 0,

 x(t) = ϕ (t) ,

(1.2)

t ∈ [−h, 0] .

trong đó:

ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) ,

ϕ = sup

ϕ (t) .

t∈[−h,0]

Hệ (1.2) được gọi là tuyến tính nếu

f (t, ϕ) = L (t, ϕ) + h (t) ,
trong đó L (t, ϕ) là tuyến tính theo ϕ.
Giả sử t0 = 0, ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) cho trước và f (t, ϕ) liên tục. Khi đó,

5


nghiệm x(t) của hệ (1.2) cho bởi dạng tích phân:

t ∈ [−h, 0] ,

x (t) = ϕ (t) ,

(1.3)

t

f (s, x(s))ds,

x(t) = ϕ (0) +

t ≥ 0.

0

Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết hàm f (.) của hệ (1.2) thỏa mãn
các điều kiện của định lý (1.1.3) về tồn tại nghiệm trên [0, +∞].

1.3

Lý thuyết ổn định Lyapunov.

Tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định
tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý
toán,... Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một
trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc
ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng
thái cân bằng đó. Sự nghiên cứu bài toán ổn định hệ thống được bắt đầu từ
cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học V. Lyapunov và đến nay đã trở thành một
hướng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết phương trình vi phân, lý
thuyết hệ thống và ứng dụng.
Xét một hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân (1.1), giả thiết f(t,x) là
hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện
ban đầu luôn có nghiệm trên [0, +∞]. Khi đó, dạng tích phân của nghiệm
được cho bởi:
t

x(t) = x0 +

f (s, x(s))ds,
t0

6

t ≥ 0.


Định nghĩa 1.3.1. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định nếu:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : x0 < δ
thì ta đều có

x(t) < ε,

∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.3.2. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu
nó là ổn định và

lim x(t) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.3.3. Nghiệm 0 của hệ (1.1) được gọi là ổn định mũ nếu có các
hằng số dương α, M, sao cho:

x(t) ≤ M e−α(t−t0 ) x0 , ∀t ≥ t0 .
Trong luận văn này, ta sẽ nói hệ là ổn định thay vì nói nghiệm 0 là ổn định.
Xét hệ phương trình vi phân có trễ (1.2):

.

 x(t)
= f (t, xt ), t ≥ 0,

 x(t) = ϕ (t) ,

t ∈ [−h, 0] .

Với hệ (1.2) ta luôn giả thiết f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R+ . Điều đó đảm bảo cho
hệ (1.2) luôn có nghiệm 0.

Các khái niệm ổn định cho phương trình vi phân có trễ (1.2) được định
nghĩa tương tự cho hệ phương trình vi phân không có trễ.
7


Định nghĩa 1.3.4. Hệ (1.2) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại

δ > 0 sao cho với mọi ϕ(.) mà ϕ < δ thì nghiệm x(t) của hệ (1.2) thỏa mãn
x (t) < ε,

∀t ∈ R+

Định nghĩa 1.3.5. Hệ (1.2) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và

lim x (t) = 0.

t→∞

Định nghĩa 1.3.6. Cho α > 0. Hệ (1.2) là α−ổn định nếu tồn tại số N > 0,
sao cho với mọi ϕ ∈ C ([−h, 0] , Rn ) , thì nghiệm x (t, ϕ) của hệ thỏa mãn điều
kiện:

x (t, ϕ) ≤ N ϕ e−αt ,

t ≥ 0.

Để giải bài toán ổn định ta sử dụng phương pháp hàm Lyapunov
Xét lớp hàm K là tập các hàm liên tục tăng chặt

a(.) : R+ → R+ , a(0) = 0 .
Định nghĩa 1.3.7. Hàm V (t, x) : R+ × Rn → R gọi là hàm Lyapunov của
hệ phương trình vi phân (1.1) nếu: V (t, x), V (t, 0) = 0, là hàm khả vi, liên
tục theo (t, x) và thỏa mãn các điều kiện sau:
i) V (t, x) là hàm xác định dương theo nghĩa:

∃a(.) ∈ K : V (t, x) ≥ a( x ),
ii) Df V (t, x) =

∂V
∂t

+

∂V

∂x f (t, x)

≤ 0,

8

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .


Nếu hàm Lyapunov và thoả mãn thêm điều kiện:
iii) ∃b(.) ∈ K : V (t, x) ≤ b( x ),

∀(t, x) ∈ R+ × Rn .

iv) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, x) ≤ −γ( x ), ∀t ∈ R+ ,

∀x ∈ Rn \ {0} ,

thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lý 1.3.8. Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov thì ổn định. Hơn nữa nếu
hàm Lyapunov đó là chặt thì hệ là ổn định tiệm cận.
Đối với hệ có trễ, hàm Lyapunov cũng được định nghĩa tương tự:
Định nghĩa 1.3.9. Hàm V (t, xt ) : R+ × C([−h, 0], Rn ) → R gọi là hàm
Lyapunov của hệ phương trình vi phân có trễ (1.2) nếu: V (t, xt ), V (t, 0) = 0,
là hàm khả vi, liên tục theo (t, xt ) và thỏa mãn các điều kiện sau:
i) V (t, xt ) là hàm xác định dương theo nghĩa:

∃a(.), b(.) ∈ K : a( x ) ≥ V (t, xt ) ≥ b( xt ),

∀(t, xt ) ∈ R+ × C([−h, 0], Rn ).
Vt+h,xt+h −V (t,xt )
h
h→0

ii) Df V (t, xt ) := lim

≤ 0.

Nếu hàm Lyapunov và thoả mãn điều kiện:
iii) ∃γ(.) ∈ K : Df V (t, xt ) ≤ −γ( xt ),

∀t ∈ R+ ,

Với mọi nghiệm x(t) thì ta gọi là hàm Lyapunov chặt.
Định lý 1.3.10. Giả sử tồn tại hàm: V (t, xt ) : R+ × C([−h, 0], Rn ) → R+

9


sao cho:

(i)λ1 x(t)

2

≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2 ,

(ii)Df V (t, xt ) ≤ 0,
với mọi nghiệm của hệ là ổn định và bị chặn tức là:

∃N > 0 : x(t, ϕ) ≤ N ϕ ,

∀t ≥ 0.

Hơn nữa, nếu điều kiện (ii) được thay bởi điều kiện:
iii)

∃λ3 > 0 : Df V (t, xt ) ≤ −2λ3 V (t, xt ),
thì hệ (1.2) là ổn định mũ và nghiệm đó thỏa mãn đánh giá:

∃N > 0 : x(t, ϕ) ≤ N ϕ e−λ3 t , ∀t ≥ 0.

1.4

Hệ phương trình vi phân điều khiển

Hệ phương trình điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân

x(t)
˙
= f (t, x(t), u(t)),

t ≥ 0,

(1.4)

trong đó x(t) ∈ Rn là véctơ trạng thái, u(t) ∈ Rm , n ≥ m, là véctơ điều khiển
và hàm f (t, x, u) : R+ × Rn × Rm → Rn . Các đối tượng điều khiển trong các
mô hình điều khiển hệ động lực được mô tả như những dữ liệu đầu vào có tác

động quan trọng, ở mức độ này hoặc mức độ khác, có thể làm ảnh hưởng đến
sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy, ta hiểu một hệ thống điều khiển
là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự
10


liên hệ vào - ra :

u(t) → x˙ = f (t, x, u) → x(t).
Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều
khiển (đầu vào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mong
muốn, như tính điều khiển được, tính ổn định hóa, tính tối ưu, vv...

1.5

Mô hình mạng nơron có trễ

Xét mô hình hệ nơron điều khiển có trễ dạng:

x(t)
˙
= − Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t)))
t

+ W2

c(x(s))ds + Bu(t)

(1.5)

t−k(t)

x(t) =φ(t), t ∈ [−d, 0],

d = max{h2 , k},

trong đó x(t) = [x1 (t), x2 (t), ..., xn (t)]T ∈ Rn là vectơ trạng thái,

u(.) ∈ L2 ([0, t], Rn ) là véc tơ điều khiển, n là số nơron và
f (x(t)) =[f1 (x1 (t)), f2 (x2 (t)), ..., fn (xn (t))]T ,
g(x(t)) =[g1 (x1 (t)), g2 (x2 (t)), ..., gn (xn (t))]T ,
c(x(t)) =[c1 (x1 (t)), c2 (x2 (t)), ..., cn (xn (t))]T ,
là các hàm kích hoạt; A = diag{a1 , a2 , ..., an }, ai > 0, i = 1, ..., n, là ma trận
đường chéo dương và W0 , W1 , W2 , B là các ma trận hằng số cho trước có số
chiều thích hợp, hàm trễ h(t), k(t) thỏa mãn điều kiện:

0 ≤ h1 ≤ h(t) ≤ h2 ,

0 ≤ k(t) ≤ k,
11

∀t ≥ 0.

(1.6)


Hàm ban đầu φ(t) ∈ C([−d, 0], Rn ),

d = max{h2 , k}. Ta giả sử các hàm

kích hoạt của hệ là f (.), g(.), c(.) thỏa mãn điều kiện: tồn tại các số dương

ai , bi , ci > 0 sao cho
| fi (ξ) |≤ ai | ξ |,

i = 1, 2 . . . , n,

∀ξ ∈ R,

| gi (ξ) |≤ bi | ξ |,

i = 1, 2 . . . , n,

∀ξ ∈ R,

| ci (ξ) |≤ ci | ξ |,

i = 1, 2 . . . , n,

∀ξ ∈ R.

(1.7)

Xét hệ (1.5) với u(t) = 0 :

x(t)
˙
= − Ax(t) + W0 f (x(t)) + W1 g(x(t − h(t)))
t

+ W2

c(x(s))ds,

+

(1.8)

t∈R .

t−k(t)

1.6

Bài toán ổn định hóa

Bài toán ổn định hóa là bài toán ổn định (ổn định Lyapunov) các hệ điều
khiển. Do đó, cơ sở toán học của bài toán ổn định hóa là lý thuyết ổn định
Lyapunov. Dựa trên những kết quả đã biết của tính ổn định Lyapunov người
ta đã nghiên cứu, phát triển và ứng dụng vào giải bài toán ổn định hóa các
hệ thống điều khiển.
Bài toán ổn định hóa hệ điều khiển (1.4) là tìm hàm điều khiển ngược (có
thể phụ thuộc vào biến trạng thái mà người ta thường gọi là hàm điều khiển
ngược): u(t) = h(x(t)) sao cho hệ đóng:

x(t)
˙
= f (t, x(t), h(x(t))) = F (t, x(t))
12

là ổn định tiệm cận (hoặc ổn định mũ). Như vậy, mục đích của vấn đề ổn định
hóa hệ thống điều khiển là tìm các hàm điều khiển ngược sao cho hệ thống
đã cho ứng với điều khiển đó trở thành hệ thống ổn định.
Đối với hệ tuyến tính:
.

x (t) = Ax + Bu,

t ≥ 0,

(1.9)

trong đó x ∈ Rn , u ∈ Rm . Bài toán ổn định hóa là tìm hàm điều khiển ngược

u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng
x(t)
˙
= (A + BK)x(t),

t≥0

là ổn định tiệm cận. Trước tiên ta trình bày một số tiêu chuẩn cơ sở để
hệ tuyến tính trên là ổn định hóa được. Ta nói ma trận A là ổn định nếu

Reλ(A) < 0.
Định lý 1.6.1. Hệ (1.9) gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận K ∈
Rm×n sao cho ma trận A + BK là ma trận ổn định.
Thí dụ 1.1: Xét hệ (1.9) trong đó



1 2 
A=
,
0 −1

 
1
B =  .
2

Ta chọn K = (0, −3). Khi đó ta có


−2 −1
A + BK = 

0 −1

13


có giá trị riêng là λ = −2, −1 nên là ma trận ổn định. Vậy hệ là ổn định hóa
được, với hàm điều khiển ngược là u(t) = Kx(t).
Ta nhắc lại, hệ điều khiển tuyến tính (1.9) là điều khiển được về 0 toàn cục
(GNC), nếu rank[B, AB, . . . , An−1 B] = n.
Định lý 1.6.2. Hệ (1.9) gọi là ổn định hóa được nếu nó là điều khiển được
về 0 toàn cục.
Thí dụ 1.2: Xét hệ điều khiển (1.9) trong đó:


 

0
0 0 
A=
;B =  .
1
0 −2
.

Ta thấy hệ x (t) = Ax là ổn định, do đó hệ là ổn định hóa được với K = 0.
Tuy nhiên, ta thấy hệ không là GNC vì:




0 0 
rank[B, AB] = rank 
 = 1 < 2.
1 −2

1.7

Các bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.7.1. Cho x, y ∈ Rn và ma trận đối xứng xác định dương N ∈ Rm×n ,
ta có

±2xT y ≤ xT N −1 x + y T N y,

∀x, y ∈ Rn .

Bổ đề 1.7.2. Cho bất kì ma trận đối xứng xác định dương M>0, số γ > 0 và
hàm vectơ ω : [0, γ] → Rn , sao cho tích phân có liên quan được xác định thì

14


ta có:

γ

γ

ω(s)ds)T M (

(
0

γ

ω T (s)M ω(s)ds).

ω(s)ds) ≤ γ(
0

0

Bổ đề 1.7.3. ( Bổ đề Schur)
Cho các ma trận X, Y, Z, trong đó Y = Y T > 0, X = X T , ta có



T
X Z 
T −1
X +Z Y Z <0⇔
 < 0.
Z −Y

15


Chương 2
Ổn định và ổn định hóa hệ nơron có
trễ
Chương này trình bày các tiêu chuẩn về tính ổn định và ổn định hóa hệ
phương trình nơron có trễ. Nội dung trình bày từ tài liệu [3], [4].

2.1

Ổn định hệ phương trình nơron có trễ

Xét hệ nơron điều khiển có trễ (1.5), trong đó u(t) = 0, f, g, c là các hàm
kích hoạt và các hàm trễ h(.), k(.) thỏa mãn điều kiện (1.6).
Ta sử dụng các ký hiệu sau đây để đơn giản hóa công thức trong chứng
minh:

G = diag{bi , i = 1, . . . , n},

H = diag{ci , i = 1, . . . , n},

F = diag{ai , i = 1, . . . , n},

c2 = max{c2i , i = 1, . . . , n},

λ = λmin (P ),

16


1
1
Λ =λmax (P ) + h1 λmax (Q) + h32 λmax (R) + (h2 − h1 )2 (h2 + h1 )λmax (S)
2
2
1 2 2
+ c k λmax (D2 ),
2
Ξ11 =Q + 2αP − e−2αh2 R + F D0 F + kHD2 H − AT N1 − N1T A,
Ξ12 = − AT N2 + e−2αh2 R,
Ξ14 = − AT N4 + P − N1T ,
Ξ22 = − e−2αh2 R − e−2αh2 S + GD1 G,
Ξ33 = − e−2αh1 Q − e−2αh2 S,
Ξ44 =h22 R + (h2 − h1 )2 S − N4 − N4T .
Sau đây là định lý cho ta điều kiện đủ để hệ nơron (1.8) là α-ổn định.
Định lý 2.1.1. Cho α > 0. Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác định
dương P, Q, R, S , ba ma trận đường chéo dương Di , i = 0, 1, 2, và các ma trận

Nj , j = 1, . . . , 4 thỏa mãn bất đẳng thức


T
T
Ξ11 Ξ12 −A N3 Ξ14 N1 W0

 ∗ Ξ e−2αh2 S −N T N T W

22
0
2
2


 ∗
∗
Ξ33
−N3T N3T W0


 ∗
∗
∗
Ξ44 N4T W0



 ∗
∗
∗
∗
−D0



 ∗
∗
∗
∗
∗


∗
∗
∗
∗
∗

17

ma trận tuyến tính (LMI)

N1T W1 kN1T W2 

N2T W1 kN2T W2 



T
T
N3 W1 kN3 W2 



T
T
N4 W1 kN4 W2 
 < 0.



0
0



−D1
0


−2αk
∗
−ke
D2

(2.1)


Khi đó hệ (1.8) là α-ổn định. Hơn nữa, nghiệm x(t, φ) của hệ thỏa mãn:

Λ
φ e−αt ,
λ

x(t, φ) ≤

∀t ≥ 0.

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov-Krasovskii cho hệ (1.8) như sau:
5

V (t, xt ) =

Vi (t, xt ),
i=1

trong đó

V1 (t, xt ) =xT (t)P x(t),
t

e2α(s−t) xT (s)Qx(s)ds,

V2 (t, xt ) =
t−h1

0

t

e2α(θ−t) x˙ T (θ)Rx(θ)dθds,
˙

V3 (t, xt ) =h2

−h2 t+s

−h1 t

e2α(θ−t) x˙ T (θ)S x(θ)dθds,
˙

V4 (t, xt ) =(h2 − h1 )
−h2 t+s
0

t

V5 (t, xt ) =

e2α(θ−t) cT (x(θ))D2 c(x(θ))dθds.

−k t+s

Dễ dàng kiểm tra được

λ( x(t) )2 ≤ V (t, xt ) ≤ Λ xt 2h ,

t ≥ 0.

(2.2)

Lấy đạo hàm hai vế của Vi (t, xt ), i = 1, . . . , 5 tại t dọc theo nghiệm ta thu
được

V˙ 1 (t, xt ) =2xT (t)P x(t),
˙
V˙ 2 (t, xt ) =xT (t)Qx(t) − e−2αh1 xT (t − h1 )Qx(t − h1 ) − 2αV2 (t, xt ),
18