Đề thi chuyên toán Lam Sơn - Thanh Hóa năm 2006-2007

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2006
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (1,5 điểm):
Tìm 3 số x,y,z thoả mãn điều kiện:
44175026
1750
256
2
4
6
16
=+++

+

+

zyx
zyx
.
Câu 2 (1,5 điểm):
Cho biểu thức: A=x
2
+xy+y
2
-3x-3y+2009. Với giá trị nào của x, y thì A đạt giá trị
bé nhất, hãy tìm giá trị bé nhất đó.
Câu 3 (1,5 điểm):
Giải hệ phơng trình sau:

=++
=+
=++
14
7
6
222
zyx
zxyzxy
zyx
Câu 4 (2 điểm):
Tìm các cặp số nguyên x; y thoả mãn điều kiện :
(x-2006)
2
=y(y+1)(y+2)(y+3).
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh AB lấy hai điểm E và F (E gần A hơn); P
là giao điểm của CE và DF. Hai đờng tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPF cắt nhau
ở điểm thứ hai Q. Chứng minh rằng PQ||AD.
Câu 6 (1 điểm):
Cho hình tứ diện ABCD có AD=BC, AC=BD. Gọi E và F lần lợt là trung điểm
của AB và CD. Chứng minh rằng EF vuông góc với AB và CD.
------------------Hết-------------------
Họ và tên thí sinh:...........................................Số báo danh:.................................
Chữ ký giám thị 1:............................Chữ ký giám thị 2:.................................

Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006
Đề thi chính thức Môn thi: Toán (Dùng cho thí sinh thi chuyên Toán)
hớng dẫn chấm thi
Bản hớng dẫn này gồm 3 trang
I. Hớng dẫn chung:
- Đáp án dới đây chỉ trình bày một lời giải, nếu học sinh làm bằng cách khác mà đúng, vẫn
cho điểm tối đa.
- Việc chi tiết hoá điểm số (nếu có) phải đúng với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất trong
toàn Hội đồng chấm thi.
- Điểm toàn bài lấy theo thang điểm 10 và làm tròn đến 0,5 (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ
0,5 làm tròn thành 1,0).
II. Đáp án và thang điểm:
Câu
Đáp án Điểm
Câu 1
Điều kiện để đẳng thức có nghĩa là x>6; y>2 và z>1750.
Ta có:
6
)64(
6
6
6
6
4
2
6
16
2

=


+



x
x
x
x
x
xx
.
Từ đó đẳng thức đã cho tơng đơng với:
( )
( )
( )
0
1750
175016
2
22
6
64
2
2
2
=

+


+


z
z
y
y
x
x
.
Suy ra
{
161750
22
46
=
=
=
z
y
x

=
=
=
2006
6
22
z
y
x
.
0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 2
Ta có :
A=x
2
-2x+1+y
2
-2y+1+xy-x-y+1+2006.
A=(x-1)
2
+(y-1)
2
+(x-1)(y-1)+2006.
A=[(x-1)+
2
1

(y-1)]
2
+
4
3
(y-1)
2
+2006.
A
min
=2006 khi x=1, y=1.

0,5đ
0,25đ
0,25đ
0.25đ
0,25đ
2
Câu 3
Hệ đã cho tơng đơng với







=++++
=+
=++

14)(2)(
7
6
2
zxyzxyzyx
zxyzxy
zyx







=++
=+
=++
11
7
6
zxyzxy
zxyzxy
zyx


(3) 7
(2) 9)(
(1) 6

=+
=+
=++
zxyzxy
zxy
zyx
Từ (1) và (2) suy ra xy và x+z là nghiệm của phơng trình bậc hai: t
2
-
6t+9=0, phơng trình này có hai nghiệm t
1
=t
2
=3.
Thay vào trên ta có:







=
=+
=
2
3

3
zx
zx
y
x, z là nghiệm của phơng trình m
2
-3m+2=0,
m
1
=1, m
2
=2
Vậy hệ có nghiệm là (1;3;2) và (2;3;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Câu 4
Ta có (x-2006)
2
= (y
2
+3y)(y
2
+3y+2).
Đặt t= y
2
+3y, ta đợc (x-2006)
2

= t
2
+2t.
Nếu t>0 thì t
2
<t
2
+2t<t
2
+2t+1=(t+1)
2
nên (x-2006)
2
không phải là số
chính phơng.
Vậy t<0, hay y
2
+3y=y(y+3)<0, hay y chỉ có thể bằng 0,-1, -2 hoặc -3
(do y` nguyên). Vậy các cặp số nguyên cần tìm là (2006 ;-3),
(2006 ;-2), (2006 ;-1), (2006 ;0).
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
3
P
E
F
D
C

Q
B
A K
M
A
B
C
D
E
F
Câu 5
Hình vẽ:
Kéo dài PQ căt AB
tại
K, cắt CD tại M, ta
chứng minh
KM//AD hay ta
chứng minh
MC
MD
KB
KA
=
là đủ.
Thật vậy: tứ giác AQPE nội tiếp , suy ra KAQ đồng dạng với
KPE, suy ra KE.KA=KP.KQ, tơng tự ta có KF.KB=KP.KQ, từ đó
suy ra KE.KA=KF.KB hay
KE
KF
KB

KA
=
(1)
Theo giả thiết PKF đồng dạng với PMD nên
PM
KP
MD
KF
=
(2) và
PKE đồng dạng với PMC nên
PM
KP
MC
KE
=
(3)
0,5đ
0,5
0,5đ
0,5đ
Từ (2) và (3) suy ra
MC
KE
MD
KF
=
hay
MC
MD

KE
KF
=
(4). Từ (1) và (4) suy
ra
MC
MD
KB
KA
=
(điều phải chứng minh)
0,5đ
Câu 6
Từ giả thiết ta có ACD=BCD
(ccc).
Suy ra hai trung tuyến tơng ứng
AF và
BF bằng nhau, vậy tam giác AFB
cân,
Do đó trung tuyến FE cũng là đ-
ờng cao, vậy FE vuông góc
vớiAB.
Chứng minh tơng tự, tam giác CED
cân, suy ra EF vuông góc với CD,
từ đó suy ra điều cần phải chứng minh.
0,5đ
0,5đ
4