GIAO AN DAY THEM TOAN 7

Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
Buổi 1
Ôn tập
BỐN PHÉP TÍNH TRONG TẬP HỢP Q CÁC SỐ HỮU TỈ
KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Cộng trừ số hữu tỉ

+ x ∈ Q, y ∈ Q,
a
b
x = ; y = ( a , b, m ∈ Z )
m
m
a b a+b
x+ y = + =
;
m m
m
a b a −b
x− y = − =
m m
m

Nhân, chia số hữu tỉ
1. Qui tắc
a
c
; y = (b, d ≠ 0)
b
d

a c ac
x. y = . =
b d bd
a c a d ad
x: y = : = . =
b d b c bc
( y ≠ 0)
x=

x: y gọi là tỉ số của hai số x và y, kí
hiệu:

x
y
1
x

* x ∈ Q thì x’= hay x.x’=1thì x’ gọi là
số nghịch đảo của x.
Tính chất
∀
x∈
Q; y ∈
Q; z ∈
Q
cã:
a) TÝnh chÊt giao ho¸n: x + y =
y +x; x . y = y. z
b) TÝnh chÊt kÕt hîp: (x+y) +z =
x+( y +z)

(x.y)z =
x(y.z)

víi x,y,z ∈ Q ta lu«n cã :
1. x.y=y.x ( t/c giao
ho¸n)
2. (x.y)z= x.(y,z)
( t/c kÕt hîp )
3. x.1=1.x=x
4. x. 0 =0
5. x(y+z)=xy +xz
(t/c ph©n phèi cña phÐp
nh©n ®èi víi phÐp céng.

c) TÝnh chÊt céng víi sè 0:
x + 0 = x;

Bổ sung
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
1.


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

x+ y x y
= +
z
z z
x− y x y
= − ( z ≠ 0)

z
z z
x = 0
2. x. y = 0 ⇔ 
y = 0
3. –(x.y) = (-x).y = x.(-y)
BÀI TẬP
Bài số 1: Tính

− 2 − 1 − 52 − 3 − 55
+
=
=
3
26
78
78
11 1 11 − 6
5 1
=
=
b) − =
30 5
30
30 6
− 9 17 (−9).17 (−9).1 − 9
1
. =
=
=

= −1 ;
c)
34 4
34.4
2.4
8
8
1 1 18 25 18.25 3.25 75
7
=
=
=1
d) 1 .1 = . =
17 24 17 24 17.24 17.4 68
68
− 5 3 − 5 4 (−5).4 (−5).2 − 10
1
: =
. =
=
=
= −3 ;
e)
2 4
2 3
2.3
1.3
3
3
1 

4  21  − 5  21.( −5) 3.( −1) − 3
1
=
=
= −1
f) 4 :  − 2  = .  =
5 
5  5  14 
5.14
2
2
2

a)

Chú ý: Các bước thực hiện phép tính:
Bước 1: Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
Bước 2: Áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính.
Bước 3: Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Bài số 2: Thực hiện phép tính:
2
7 2
− 19
1
1 3 2
− 4. +  = − 4. = − 7 =
= −6
3
4 3
3

3
2 4 3
3
33
33 42 − 9 − 3
1
 −1 5 
=
=
= −1
b)  + .11 − 7 = .11 − 7 = − 7 = −
6
6
6
6
6
2
2
 3 6
− 1  1 3  − 1 7 − 22 − 11
−1  1  1 7  
−  −  − ÷ =
− +  =
− =
=
c)
24  4  2 8  
24  2 8  24 8
24
12

a)

 5 7  1  2

1 

− 24  1

− 27 

− 24

4

− 28

−4

− +
−
=
=
=
b)  − ÷−  −  − − ÷ =
35 35
35
5
 7 5   2  7 10   35  2 70 

Lưu ý: Khi thực hiện phép tính với nhiều số hữu tỉ cần:


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
 Nắm vững qui tắc thực hiện các phép tính, chú ý đến dấu của
kết quả.
 Đảm bảo thứ tự thực hiện các phép tính.
 Chú ý vận dụng tính chất của các phép tính trong trường hợp
có thể.
Bài số 3: Tính hợp lí:
3 −2

 −2  3  −16  3

− 16 

3 − 22

3.( −22)

−2

+
=
=
= .
a)  ÷. + 
÷. = 
9  11 9
11 .9

3
 3  11  9  11 11  3
 1 13  5 

2

1 5

b)  − ÷: −  − + ÷: =
 2 14  7  21 7  7
7
 1 13 2 1  5  1 13   1 1  5  − 6 2  5 − 22 7 − 22
− : =
. =
= −1
 − + −  : =  −  +  −  : = 
21 5
15
15
 2 14 21 7  7  2 14   21 7  7  14 21  7
59
63
4  1
5  1 4
 4 59 
c) :  − ÷ + 6 :  − ÷ = .(−7) + .( −7) = (−7). +  = (−7). = (−7).7 = −49
9  7
9  7 9
9
9

9 9 

Lưu ý khi thực hiện bài tập 3: Chỉ được áp dụng tính chất:
a.b + a.c = a(b+c)
a : c + b: c = (a+b):c
Không được áp dụng:
a : b + a : c = a: (b+c)
Bài tập số 4: Tìm x, biết:
a)
b)
d)
e)
f)

−2
4
x=
;
3
15
8
− 20
:x=
15
21
11  2
 2
−  + x =
12  5
 3

1

2 x x −  = 0
7

3 1
2
+ :x=
4 4
5

−2
5
− 14
ĐS: x =
25
−3
ĐS: x =
20

ĐS: x =

ĐS: x = 0 hoặc x = 1/7
ĐS: x =-5/7

Bài tập số 5: Tìm x, biết
a) (x + 1)( x – 2) < 0
x = 1 và x – 2 là 2 số khác dấu và do x + 1 > x – 2, nên ta có:
x + 1 > 0
 x > −1

⇔
⇔ −1 < x < 2

x − 2 < 0
x < 2
2
b) (x – 2) ( x + ) > 0
3
2
x – 2 và x + là hai số cùng dấu, nên ta có 2 trường hợp:
3

* Trường hợp 1:


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
x − 2 > 0
x > 2


⇔
2
−2 ⇔ x > 2

x
+
>
0
x
>



3
3

* Trường hợp 2:
x − 2 < 0
x < 2
−2


⇔
2
−2 ⇔ x <

3
 x + 3 < 0
 x < 3


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

Buổi 2:
Ôn tập
GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

 Kiến thức cơ bản
a) Định nghĩa:
b) Cách xác định:
c) Tính chất:

x = −x

x≥x

x ≥0

dấu bằng sảy ra khi x = 0

 Hệ thống bài tập
Bài tập số 1: Tìm x , biết:

a) x =

4
4
⇒ x= ;
7
7

b) x =

c) x = −0,749 ⇒ x = 0,479 ;

−3
3
⇒ x= ;
− 11
11

1
1
d) x = −5 ⇒ x = 5
7
7

Bài tập số 2: Tìm x, biết:

a) x = 0 ⇒ x = 0;

b) x = 1,375 ⇒ x = 1,375hoÆcx
= −1,375

2
c) x = −1 = > không tồn tại giá trị của x, vì
5
d)
e)

3
−3
x = víix< 0 = >x =
4
4
x = 0,35víix> 0 ⇒ x = 0,35

Bài tập số 3: Tìm x ∈ Q, biết:
2.5 − x = 1.3
a)
=> 2.5 – x = 1.3 hoặc 2.5 – x = - 1.3

x = 2.5 – 1,3 hoặc x = 2,5 + 1,3
x = 1,2
hoặc x = 3,8
Vậy x = 1,2 hoặc x = 3,8

x ≥0


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
Cách trình bày khác:
Trường hợp 1: Nếu 2,5 – x ≥ 0 => x ≤ 2,5 , thì 2.5 − x = 2,5 − x
Khi đó , ta có: 2, 5 – x = 1,3
x = 2,5 – 1,3
x = 1,2 (thoả mãn)
Trường hợp 2: Nếu 2,5 – x < 0 => x . 2,5, thì 2.5 − x = −2,5 + x
Khi đó, ta có: -2,5+x = 1,3
x = 1,3 + 2,5
x = 3,8 (thoả mãn)
Vậy x = 1,2 hoặc x = 3,8
b) 1, 6 - x − 0,2 = 0
=> x − 0,2 = 1,6
KQ: x = 1,8 hoặc x = - 1,4
*Cách giải bài tập số 3: x = a (a > 0) ⇔ x = a hoặc x = -a
Bài tập số 4.Tìm x, biết:
a) 2 3 x − 1 + 1 = 5

b)

x
−1 = 3

2

c) − x +

2 1
+ = 3,5
5 2

d) x −

1
1
=2
3
5

Bài tập số 5: Tìm x, biết:
9
1
=2
4
3
21
x 2
+ 3: − = 6
5
4 3

a) 6,5 − : x +

b)

11 3
1 7
+ : 4x − =
4 2
5 2

c)

15
3
1
− 2,5 : x + = 3
4
4
2

d)


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

Buổi 3
Ôn tập
CÁC LOẠI GÓC ĐÃ HỌC Ở LỚP 6 – GÓC ĐỐI ĐỈNH

 Kiến thức cơ bản:
1. Hai góc đối đỉnh:
* Định nghĩa:

Hai góc đối đỉnh lag hai góc mà mỗi cạmh của góc này là tia đối của mỗi cạnh góc
kia.
* Tính chất:

j
∠ O1®èi ®Ønh ∠ O2=>∠ O1=∠ O2

3

4 1 2
O

2. Kiến thức bổ sung (dành cho học sinh khá giỏi)
- Hai tia chung gốc cho ta một góc.
- Với n đường thẳng phân biệt giao nhau tại một điểm có 2n tia chunggốc. Số
góc tạo bởi hai tia chung gốc là: 2n(2n-1) : 2 = n( 2n – 1)
Trong đó có n góc bẹt. Số góc còn lại là 2n(n – 1). Số cặp góc đối đỉnh là: n(n – 1)

 Bài tập:
Bài tập 1: Cho góc nhọn xOy; vẽ tia Oy’ là tia đối của tia Oy.
a) Chứng tỏ góc xOy’ là góc tù.
b) Vẽ tia phân giác Ot của góc xOy’;gócxOt là góc nhon, vuông hay góc tù.
Bài giải


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

t

y'

x

O

y

a) Oy' lµtia®èi cñatiaOy, nªn: ∠ xOy vµ∠ xOy' lµhai gãc kÒbï
=>∠ xOy +∠ xOy' =180°
=>∠ xOy' =180° - ∠ xOy
V×∠ xOy <90° nªn ∠ xOy' >90° . Hay ∠ xOy' lµgãc tï
1
b) V×Ot lµtiaph©n gi¸c cña∠ xOy' nªn: ∠ xOt = ∠ xOy'
2
mµ∠ xOy' <180°
=>∠ xOt <90°
Hay ∠ xOt lµgãc nhän

Bài tập 2:
a) Vẽ hình theo cách diễn đạt sau: Trên đường thẳng aa’ lấy điểm O. Vẽ tia Ot sao
cho góc aOt tù. Trên nửa mặt phẳng bờ aa’ không chứa tia Ot vẽ tia Ot’ sao cho
góc a’Ot’ nhọn.
b) Dựa vào hình vẽ cho biết góc aOt và a’Ot’ có phải là cặp góc đối đỉnh không?
Vì sao?
Bài giải:


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

t

a

a'

t'

V×tiaOt' kh«ng lµ tia®èi cñatiaOt nªn hai gãc ∠ aOt vµ∠ a'Ot' kh«ng ph¶i lµcÆpgãc ®èi ®Ønh

Bài tập 3:
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ giao nhau tại O sao cho góc xOy = 450. Tính số đo
các góc còn lại trong hình vẽ.
Bài giải


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

x'
y
45°
y'

* Ta cã: ∠ xOy +∠ yOx' =180° (t/c hai gãc kÒbï )
=>∠ yOx' =180° - ∠ xOy
=180° - 45°
= 135°
* ∠ xOx' =∠ yOy' =180° ( gãc bÑt)
* ∠ x'Oy' =∠ xOy =45° (cÆ
pgãc ®èi ®Ønh)
∠ xOy' =∠ x'Oy =135° ( cÆ

pgãc ®èi ®Ønh)

Bài tập 4:
Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ giao nhau tại O. Gọi Ot là tia phân giác của góc
xOy; vẽ tia Ot’ là tia phân giác của góca x’Oy’. Hãy chứng tỏ Ot’ là tia đối của tia
Ot.
Bài giải

x


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

y

x'

t
t'
y'

Tacã: ∠ xOt =

x
1

∠ xOy (tÝnh chÊt tiaph©
n gi¸c cñamét gãc)
2
∠ xOy =∠ x'Oy'(t/c hai gãc ®èi ®Ønh)

∠ x'Ot' =∠ xOt 9 ®èi ®Ønh)
1
=>∠ x'Ot' = ∠ x'Oy'
2
1
T ¬ng tù, ta cã ∠ y'Ot' = ∠ x'Oy'
2
=>Ot' lµtia ph©
n gi¸c cña gãc x'Ot'
Bài tập 5:
Cho 3 đường thẳng phân biệt xx’; yy’; zz’ cắt nhau tại O; Hình tạo thành có:
a) bao nhiêu tia chung gốc?
b) Bao nhiêu góc tạo bởi hai tia chung gốc?
c) Bao nhiêu góc bẹt?
d) Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?
Bài giải


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

y

x'

t
t'
y'

x

a) Cã 6 tiachung gèc
b) Cã 15 gãc t¹o bëi hai tia chung gèc.
c) Cã 3 gãc bÑt
d) Cã 6 cÆ
pgãc ®èi ®Ønh
Bài tập 6:
Từ kết quả của bài tập số 5, hãy cho biết:Nếu n đường thẳng phân biệt cắt nhau tại một
điểm có bao nhiêu góc bẹt? Bao nhiêu cặp góc đối đỉnh?
Bài giải:
Có n góc bẹt; n(n – 1) cặp góc đối đỉnh.
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ:
* Xem và tự làm lại cácbài tập đã chữa trên lớp.
* Làm bài tập:
1) Cho hìnhchữ nhật ABCD, hai đường chéo AC và BD giao nhau tại O. Gọi tên các
cặp góc đối đỉnh có trên hình vẽ.
Hướng dẫn: Sử dụng định nghĩa hai góc đối đỉnh.
2) Trên đường thẳng xy lấy điểm O. Vẽ tia Ot sao cho góc xOt bằng 300. Trên nửa mặt
bờ xy không chứa Ot vẽ tia Oz sao cho góc xOz = 1200. Vẽ tia Ot’ là tia phân giác của
góc yOz. Chứng tỏ rằng góc xOt và góc yOt’ là hia góc đối đỉnh.
Hướng dẫn:


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

t
30°

y
O
120°

x

t
z
- tính góc t’Oz
- Tính góc tOt’
3) Cho 2004 đường thẳng phân biệt cắt nhau tại O; hình tạo thành có bao nhiêu cặp góc
đối đỉnh.
Hưỡng dẫn: Sử dụng kết quả của bài tập 6.


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

Buổi 4
ÔN TẬP
LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ

LÍ THUYẾT:
1) ĐN luỹ thừa
xn =x .x . x . x ....( có n thừa số bằng nhau và bằng x) trong đó x ∈ Q , n ∈ N, n> 1
a
a n an
n
nếu x= thì x =( ) = n ( a,b ∈ Z, b ≠ 0)
b
b
b

2) Các phép tính về luỹ thừa

với x , y ∈ Q ; m,n ∈ N* thì :
xm . xn =xm+n ; xm : xn =xm –n (x ≠ 0, m ≥ n );

(xm)n =xm.n;

x
xn
( ) n = n (n ≠ 0)
y
y

3) Mở rộng
* Luỹ thừa với số mũ nguyên âm:
x-n=

1
( x ≠ 0)
xn

* So sánh hai luỹ thừa:
a) Cùng cơ số
Với m>n>0
Nếu x> 1 thì xm > xn
x =1 thì xm = xn
0< x< 1 thì xm< xn
b) Cùng số mũ
Với n ∈ N*
Nếu x> y > 0 thì xn >yn
x>y ⇔ x2n +1>y2n+1
x > y ⇔ x 2n > y 2n

(− x) 2 n = x 2 n
(− x ) 2 n +1 = − x 2 n +1

BÀI TẬP:
DẠNG 1: TÍNH:
Bài tập số 1: Tính:
0

 −1
a)   ;
 2 

2

 1
b)  3  ;
 2

4

 1
c) ( − 2,5) 3 ; d)  − 1  ;


4

(x.y)n =xn .yn;


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

21

6

3  9 
e)   :   ;
 7   49 

0

2

−7 1
f) 3 −   +   : 2 ; g) 253 : 52
 6  2

Bài tập số 2: Tính:
5

1
a)   .55 ; b)
5

( 0,125)

3

1203
d)
;

403

.512 ; c) ( 0,25) .1024 ;
4

32
390 4
e)
; f)
( 0,375) 2
1304

GV: Hướng dẫn:
- Biến đổi các luỹ thừa về dạng các luỹ thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- áp dụng các công thức về luỹ thừa để thực hiện phép tính.
- Lưu ý về thưa tự thực hiện các phép tính: Luỹ thừa -> trong ngoặc -> nhân
-> chia -> cộng -> trừ
DẠNG 2: VIẾT CÁC BIỂU THỨC SỐ DƯỚI DẠNG LỮU THỪA
Bài tập số 3: Viết các biểu thức sô sau dưới dạng an (a∈ Q, n ∈ N)
1
a) 9.3 . .32 ;
81
3

 3 1
b) 4.2 :  2 .  ;
 16 
5

2

2
c) 3 .2 .  ;
3
2

5

2

1 1
d)   . .92
 3 3

Bài tập số 4: Viết các số sau đâu dưới dạng luỹ thừa của 3:
1; 243; 1/3; 1/9
GV: Hướng dẫn:
Cách làm như dạng 1
DẠNG 3: TÌM SỐ CHƯA BIẾT:
Bài tập sô 5: Tìm x ∈ Q, biết:
2

1

a)  x −  = 0 ;
2


b) ( x − 2 ) = 1 ;
2

2

1
1

c) ( x − 2 ) = −8 ; d)  x +  =
2
16

3

GV: Hướng dẫn:
- Biến đổi các luỹ thừa về dạng các luỹ thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- Áp dụng tính chất: Nếu an = bn thì a = b nếu n lẻ; a = ± b nếu n chẵn
(n∈ N, n ≥ 1 )
- Tìm x.
Bài tập số 6: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
a) 2. 16 ≥ 2n > 4;
b) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
DẠNG 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bài tập số 7: Tìm giá trị của các biểu thức sau:

( 0,8)
4510.520
; b)
;
15
( 0,4) 6
75

5

a)

c)

215.9 4
66.83

GV: Hướng dẫn:
áp dụng các qui tắc của các phép tính về luỹ thừa để thực hiện
DẠNG 5: SO SÁNH
Bài tập số 8: So sánh
a) 291 và 535 ; b) 9920 và 999910


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
GV: Hướng dẫn:
- Biến đổi các luỹ thừa về dạng các luỹ thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ.
- So sánh.
DẠNG 6: ÁP DỤNG VÀO SỐ HỌC
Bài tập số 9: Chứng minh rằng:
a) 87 – 2 18 chia hết cho 14
b) 106 – 57 chia hết cho 59


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

Buổi 5
ÔN TẬP

TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
 LÍ THUYẾT:
1. Tỉ lệ thức:
a) Định nghĩa:
a
b

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số bằng nhau. =
(a,b,c,d ∈ Q; b,d ≠ 0)
Các số

c
hoặc a : b = c : d
d

a,d là ngoại tỉ .
b,c là ngoại tỉ .

b) Tính chất:
T/c 1: Nếu

a c
= ⇒ ad = bc
b d

T/c 2 :Nếu ad = bc (a,b,c,d ≠ 0)
⇒

a c a b d c d b
= ; = ; = ; =

b d c d b a c a

2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

a c e a±c±e
= = =
= ........
b d f b±d ± f

(GT các tỉ số đều có nghĩa)

LẬP TỈ LỆ THỨC TỪ ĐẲNG THỨC, TỪ CÁC SỐ, TỪ TỈ LỆ THỨC CHO
TRƯỚC
Bài tập số 1: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ đẳng thức sau :
6. 63 = 9. 42
Bài tập số 2: Lập tất cả các tỉ lệ thức có thể được từ tỉ lệ thức sau:
1
1

6 : (−27) =  − 6 : 29 
2
4


Bài tập số 3: Hãy lập tất cả các tỉ lệ thức từ 4 trong 5 số sau đây:
4; 16; 64; 256 ;1024
GV hướng dẫn:
- Lập đẳng thức
- Từ đẳng thức suy ra một tỉ lệ thức.
- Từ tỉ lệ thức suy ra ba tỉ lệ thức còn lại bằng cách:

Đổi chỗ trung tỉ, giữ nguyên ngoại tỉ
Đổi chỗ ngoại tỉ, giữ nguyên trung tỉ.


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
Đổi chỗ cả ngoại tỉ và trung tỉ
DẠNG 2: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Bài tập số 4: Cho tỉ lệ thức
a c 3a + 2c
= =
b d 3b+ 2 d
a.c a2 − c2
=
3)
b.d b2 − d2

1)

a c
= . Hãy chứng tỏ:
b d
a c − 2a + 7 c
2) = =
b d − 3b+ 7 d
2
a
3a2 − 2ac
4) 2 = 2
b 3b − 2bd

GV hướng dẫn:
-

Đặt

a c
= = k => a = kb; c = kd (*)
b d

- Thay (*) vào các tỉ số để tính và chứng minh
Học sinh có thể trình bày các cách chứng minh khác.
DẠNG 3:TÌM SỐ CHƯA BIẾT TRONG TỈ LỆ THỨC.
Bài tập số 5: Tìm x trong các tỉ lệ thức.
a)

x
−2
=
27 3,6

b) – 0,52 : x = -9,36 : 16,38
−2 −x
=
8
d) x
25

x
− 60
=

c)
− 15
x

e) 3,8 : 2x =

1 2
:2
4 3

f) 0,25x : 3 =

5
: 0,125
6

GV hướng dẫn:
- Tìm trung tỉ chưa biết, lấy tích ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
- Tìm ngoại tỉ chưa biết, lấy tích trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết.
Bài tập sô 6: Tìm a,b,c biết rằng:
1) a:b:c :d = 2: 3: 4: 5 và a + b + c + d = -42
2)

a b c
= = , a + 2b− 3c = −20 ;
2 3 4

3)

a b b c

= ; = , a − b + c = −49
2 3 5 4

Bài tập số 7: Tìm các số x, y, z biết:
a) x : y : z = 3 : 5 : (-2) và 5x – y + 3z = - 16
b) 2x = 3 y, 5y = 7z và 3x – 7y + 5z = 30;
d)

x y
= và x2y2 = 4;
2 4

c) 4x = 7y và x2 + y2 = 260

e) x : y : z = 4 : 5 : 6 và x2 – 2y2 + z2 = 18

GV hướng dẫn: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số chưa biết
Bài tập số 8.Tìm x, y, z biết:


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
a)

x y
=
và xy = 54
2 3

c)

x y
=
2 3

;

b)

y z
=
và x + y + z = 92
5 7

d)

x y
=
; x2 – y2 = 4 với x, y > 0
5 3
x2 y2
=
và x2 + y2 = 100
9 16

GV hướng dẫn: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số chưa biết
Tiểu kết:
Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận thì rất
dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến khả năng
quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán về dạng quen
thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.

B HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ.
Tìm các số x, y, z biết rằng:
a) 3 x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32
c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95

b)

x −1 y − 2 z − 3
=
=
và 2 x + 3 y − z = 50
2
3
4
x y z
d) = = và xyz = 810
2 3 5

Buổi 6
ÔN TẬP
TỈ LỆ THỨC. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU (TIẾP)
DẠNG 4: TOÁN CÓ LỜI VĂN
I.Phương pháp chung:
-Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi các em
chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán.


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
- Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số được rồi thì việc tìm ra đáp án cho
bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trước, nhưng đa số

học sinh quên không trả lời cho bài toán theo ngôn ngữ lời văn của đầu bài. Phải
luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy!
Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải
đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó – dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu.
Và kết quả tìm được của kí hiệu đó phải được đối chiếu với điều kiện ban
đầu xem có thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có
thoả mãn thì ta trả lời cho bài toán.
II.Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Tìm phân số

a
biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và vào
b

mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi.
Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau.
Lời giải:
Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x ≠ 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá
trị phân số không đổi.
Ta có:
Vậy:

a
a+x
→
=
b
b+ x

a

= 1.
b

a
a+ x
a+ x−a
x
=
=
= =1
b
b+ x
b + x −b
x

Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là:

3
và các tử tỉ lệ với 3;
196

5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7.
Thật không đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện bài cho
cứ rối tung lên, phải làm sao đây?
Giáo viên có thể gỡ rối cho các em bằng gợi ý nhỏ: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 còn các
5
3
mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với: và 7 ”.
4

Như vậy, học sinh sẽ giải quyết bài toán ngay thôi !
Lời giải:
Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y.
Theo bài toán, ta có :

5
3
x : y = : 7 và
4

⇔

x 21
=
y 20

x–y=

và x – y =

3
.
196

3
196


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
Hay :

x
y
=
21 20

và x – y =

3
196

áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
3
x
y
x− y
3
= =
= 196 =
21 20
21 − 20
196
1
x
3
3
9
→ x=
+)
=

.21 =
.
21 196
196
28

+)

y
3
3
15
→ y=
=
.20 =
20 196
196
49

Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là:

9
15
và
.
28
49

Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ
lệ với 1; 2; 3.

Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhưng khi bắt tay vào tìm lời giải
cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm được đáp án
cho bài toán này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách hợp lí, lập luận logic
từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các yếu tố đó để tìm ra đáp án
cho bài toán.
Lời giải:
* Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c ∈ N; 0 ≤ a, b, c ≤ 9 và a, b, c
không đồng thời bằng 0)
Ta có 1 ≤ a+b+c ≤ 27.
Vì số cần tìm M18 = 2.9 mà (2;9)=1
Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27
(1).
Ta có:

a b c a+b+c
→ a=
= = =
1 2 3 1+ 2 + 3

Vì a ∈ N* nên a + b + c M6
Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18

a+b+c
6

(2).

18
a b c a+b+c
Khi đó: = = =

= 6 =3
1 2 3 1+ 2 + 3
a
= 3 → a = 3.1 = 3
1
b
+)
= 3 → b = 3.2 = 6
2
c
+)
= 3 → c = 3.3 = 9
3
Mà số cần tìm M18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 .

+)

Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
Ví dụ 4.
Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi

1
tấm vải thứ
2


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
nhất,

2

3
tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy
3
4

tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi
tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.
Lời giải:
Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất:

1
a (m)
2

2
b
3
3
Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba: c
4

Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai:

Theo đề bài, ta có:

(m)
(m)

a + b + c = 126 và

1
1
1
a= b= c.
2
3
4

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a + b + c 126
= = =
=
=14
2 3 4 2+3+ 4
9

a
=14 → a = 14.3 = 28
2
b
+) =14 → b = 14.3 = 42
3
c
+) =14 → c = 14.4 = 56
4

+)

Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.
Ví dụ 5.
Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang
tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì
mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển.
Lời giải:
* Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c ∈ N * và a, b,
c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có:
Tủ 1: a –100 (quyển)
Tủ 2: b
(quyển)
Tủ 3: c + 100 (quyển)
Theo đề bài ta có :

a − 100 b c + 100
= =
16
15
14

và a + b + c = 2250.

2250
a − 100 b c + 100 a − 100 + b + c + 100
→
= =
=
= 45 =50
16

15
14
16 + 15 + 14

+)

a − 100
=50 → a –100 = 50.16 ⇔ a = 800 + 100 = 900 (t/m)
16


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
b
=50 → b = 50.15 = 750
(t/m)
15
c + 100
+)
=50 → c + 100 = 50.14 ⇔ c = 700 – 100 = 600
14

+)

(t/m)

Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
Tủ 2 có : 750 quyển sách
Tủ 3 có : 600 quyển sách.
Ví dụ 6.
Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có

40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe
ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền,
biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí
nghiệp đến cầu?
Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá,
vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm
bình thường thôi:
Lời giải:
Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng) với
0 < a, b, c < 38.
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c =

40 20 30
:
=
= 8: 2:9
1,5 3
1

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a + b + c 38
= = =
=
=2
8 2 9 8 + 2 + 9 19

a
= 2 ⇒ a = 2.8 = 16 (t/m)
8
b

+) = 2 ⇒ b = 2.2 = 4 (t/m)
2
c
+) = 2 ⇒ c = 2.9 = 18 (t/m)
9

+)

Vậy: Mỗi xí nghiệp I, II, III theo thứ tự phải trả: 16 triệu đồng, 4 triệu đồng, 18
triệu đồng.
Bài Tập về nhà
Bài tập số 8: Số học sinh bốn khối 6, 7, 8, 9 tỉ lệ với các số 9; 8; 7; 6. Biết rằng số học
sinh khối 9 ít hơn số học sinh khối 7 là 70 học sinh. Tính số học sinh của mỗi khối.
Bài tập số 9: Theo hợp đồng, hai tổ sản xuất chia lãi với nhau theo tỷ lệ 3 : 5 .Hỏi mỗi
tổ được chia bao nhiêu nếu tổng số lãi là 12 800 000 đồng.
Bài tập số 10: Tính độ dài các cạnh của một tam giác biết chu vi là 22 cm và các cạnh
tỉ lệ với các số 2; 4; 5.
GV hướng dẫn:
Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bước 2: Thiết lập các đẳng thức có được từ bài toán.


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7
Bước 3: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, để tìm giá trị của ẩn
Bước 4: Kết luận


Chuyên đề bồi dưỡng lớp 7

Buổi 7

ÔN TẬP
ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN VÀ 1 SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ
THUẬN
LÍ THUYẾT:

-

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y = k.x ( với k là
hằng số khác 0) thì ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k.

-

Khi y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k thì x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ
là

-

1
và ta nói x, y tỉ lệ thuận với nhau.
k

Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau y = kx( với k là hằng số khác
0). Khi đó, với mỗi giá trị x1, x2, x3, …khác 0 của x ta có một giá trị tương
ứng

y1 = kx1; y2 = kx2; y3 = k x3 ; …..của y và luôn có:
1/

y1 y2 y3
= = = ........ = k

x1 x2 x3

2/

x1 y1 x1 y1 x2 y2
= ; = ; = ;………….
x2 y2 x3 y3 x3 y3

BÀI TẬP
Bài 1: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.
a. Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau:
x

-3

-2

2

4

5

y
9
6
-6
-12
-15
b. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ nào? Viết công thức.

c. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ nào? Viết công thức.
Hdẫn:
a. Vì x, y tỉ lệ thuận nên k = 6 : (-2) = -3. Từ đó điền tiếp vào bảng giá trị.
b. y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ -3. Công thức: y = -3x.
c. x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ

−1
−1
. Công thức: x =
y.
3
3

Bài 2: Các giá trị của 2 đại lượng x và y được cho trong bảng sau:
x

-3

-2

0,5

1

4

y

-4,5

-3

0,75

1,5

6