Chuyên đề thể tích khối đa diện nguyễn văn thân

Chuyên đề Thể tích khối đa diện

VẤN ĐỀ 1: ÔN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG
1/ Các hê ̣ thức lươ ̣ng trong tam giác vuông
Cho DABC vuông ta ̣i A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyế n. Ta có:

A

B

 BC 2 = AB 2 + AC 2 (Pitago )  
 AH .BC = AB.AC  
 AB 2 = BH .BC , AC 2 = CH .CB  
1
1
1

=
+
, AH 2 = HB.HC  
AH 2
AB 2 AC 2
BC
 
 AM =
2

C

H M

2/ Các hê ̣ thức lươ ̣ng trong tam giác bất kỳ
a) Đi ̣nh lı́ hà m số cosin

b2 + c2 - a 2
2bc
2
a + c2 - b2
* b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B  cos B =
2ac
2
a + b2 - c2
* c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cosC  cos C =
2ab
* a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A  cos A =

A
c

b
a

B

C

b) Đi ̣nh lı́ hà m số sin

A

c

a
b
c
=
=
= 2R
sin A sin B
sin C

b

B

(R là bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiế p ABC)

C

a

R

c) Công thức tı́ nh diê ̣n tı́ ch củ a tam giá c

A
c

b
a

B

1
1
1
S DABC = a.ha = b.hb = c.hc  
2
2
2
1
1
 S DABC = ab sin C = bc sin A =
2
2
abc
 S DABC =
, S DABC = p.r  
4R
æ
S DABC = p (p - a )(p - b )(p - c ), ççp
è
p – nửa chu vi
r – bán kı́nh đường tròn nô ̣i tiế p



C

1
ac sin B  

2

=

a + b + c ö÷
÷÷ø
2

R – bk đường ngoại nô ̣i tiế p

d) Công thức tı́ nh độ dà i đường trung tuyế n củ a tam giá c

A
.

N

K
B

M

Nguyễn Văn Thân

C

AB 2 + AC 2 BC 2
BA2 + BC 2 AC 2
* BN 2 =
2

4 .
2
4
2
2
2
CA + CB
AB
* CK 2 =
2
4

* .AM 2 =

Trang 1


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

3/ Đinh
̣ lı́ Talet

A

AM
AN
MN
=
=
=k

AB
AC
BC
2
æ AM ö÷
÷÷ = k 2
= çç
çè AB ÷ø

* MN / /BC 

M

N

B

*

C

S DAMN
S DABC

(Tı̉ diê ̣n tı́ ch bằ ng tı̉ bı̀ nh phương đồ ng dạng)

4/ Diêṇ tı́ch của đa giác
B

a/ Diêṇ tı́ch tam giác vuông

 S DABC =

Diê ̣n tıć h tam giác vuông bằ ng ½ tıć h 2 ca ̣nh góc
vuông.

C

A

b/ Diêṇ tı́ch tam giác đều

+ Diê ̣n tı́ch tam giác đề u:
+ Chiề u cao tam giác đề u:

S Dđề u =
hD đề u =

B

2

(ca ̣nh) . 3
4

(ca ̣nh) . 3
2

c/ Diêṇ tı́ch hın
̀ h vuông và hın

̀ h chữ nhâ ̣t

+ Đường chéo hı̀nh vuông bằ ng ca ̣nh nhân 2 .
+ Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằ ng dài nhân rô ̣ng.

a

h
A

C

A

B

a

+ Diê ̣n tıć h hın
̀ h vuông bằ ng ca ̣nh bı̀nh phương.

O

D

C

A

d/ Diêṇ tı́ch hın

̀ h thang

2
ìï
ïïS DABC = a 3
ï
4
 ïí
ïï
a 3
ïïh =
2
ïî

ì
S HV = a 2
ï
ï
ï
í
ï
AC = BD = a 2
ï
ï
î

D

S =

Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang:
SHı̀nh Thang =

1
.(đáy lớn + đáy bé) . chiề u cao
2

B

1
AB.AC
2

H

e/ Diêṇ tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc

+ Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc nhau A
bằ ng ½ tı́ch hai đường chéo.
+ Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc nhau ta ̣i
trung điể m của mỗi đường.

(AD + BC ) .AH
2

C

B
C  S H .Thoi =

1
AC .BD
2

D

Lưu ý: Trong tı́nh toán diê ̣n tı́ch, ta có thể chia đa giác thành những hıǹ h đơn giản dễ tı́nh diê ̣n tı́ch, sau đó
cô ̣ng các diê ̣n tı́ch đươ ̣c chia này, ta đươ ̣c diê ̣n tı́ch đa giác.

VẤN ĐỀ 2: ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11
1/ Chứng minh đường thẳ ng d // mp(a)

ì
ï
d // d '
ï
ï
ï
a. Phương pháp 1: Chứng minh íd ' Ì (a)  d // mp(a)
ï
ï
ï
(d Ë (a))
ï
ï
î
Nguyễn Văn Thân

Trang 2

Chuyên đề Thể tích khối đa diện

ì
ïd Ì (b )

b. Phương pháp 2: Chứng minh ï
í

 d // mp(a)
ï
b ) // (a)
(
ï
ï
î
c. Phương pháp 3: Chứng minh d và (a) cùng vuông góc với mô ̣t đường thẳ ng hoă ̣c cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t
phẳ ng.

( )

2/ Chứng minh mp(a) // mp b

( )

a. Phương pháp 1: Chứng minh mp(a) chứa hai đường thẳ ng cắ t nhau song song với mp b .

( )

b. Phương pháp 2: Chứng minh mp(a) và mp b cùng song song với 1 mă ̣t phẳ ng hoă ̣c cùng vuông góc với 1

đường thẳ ng.
3/ Chứng minh hai đường thẳ ng song song:
a. Phương pháp 1: Hai mp(a), b

( )

có điể m chung S và lầ n lươ ̣t chứa 2 đường thẳ ng song song a, b thı̀

(a) Ç (b ) = Sx // a // b .
ìïa // mp(a)
ïï
ï
b. Phương pháp 2: Chứng minh ía Ì mp (b )
ïï
ïï(a) Ç (b ) = b
îï

 a // b .

c. Phương pháp 3: Hai mă ̣t phẳ ng cùng song song với mô ̣t đường thẳ ng thı̀ giao tuyế n của chúng song song với
đường thẳ ng đó.
d. Phương pháp 4: Mô ̣t mă ̣t phẳ ng cắ t hai mă ̣t phẳ ng song song theo giao tuyế n song song.
e. Phương pháp 5: Hai đường thẳ ng cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳ ng thı̀ song song với nhau.
f. Phương pháp 6: Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳ ng: Đường trung bın
̣ lı́ Talét đảo, …
̀ h, đinh

( )

4/ Chứng minh đường thẳ ng d ^ mp a

ì
ï
d ^a
ï
ï
ï
ïd ^ b
 d ^ mp (a )
a. Phương pháp 1: Chứng minh: ï
í
a Çb
ï
ï
ï
ï
a, b Ì mp (a )
ï
ï
î
ìïd // d '
ï
b. Phương pháp 2: Chứng minh: í
 d ^ mp (a )
ïïd ' ^ mp (a )
ïî
ìïd ^ mp (b )
c. Phương pháp 3: Chứng minh: ï
 d ^ mp (a )

í
ïïmp (b ) // mp (a )
ïî
d. Phương pháp 4: Hai mă ̣t phẳ ng cắ t nhau cùng vuông góc với mă ̣t phẳ ng thứ 3 thı̀ giao tuyế n của chúng vuông

ìï(a ) ^ (P )
ïï
góc với mă ̣t phẳ ng thứ 3: ï
í(b ) ^ (P )
ïï
ïï(a ) Ç (b ) = d
î

 d ^ (P )

e. Phương pháp 5: Có hai mă ̣t phẳ ng vuông góc, đường thẳ ng nào nằ m trong mă ̣t phẳ ng này và vuông góc với giao

ì
ï
(a) ^ (b )
ï
ï
ï
ï(a ) Ç (b ) = a
 d ^ (b )
tuyế n của 2 mặt phẳng, cũng vuông góc với mă ̣t phẳ ng kia: ï
í
ï
d
Ì

a
(
)
ï
ï
ï
d ^a
ï
ï
î
5/ Chứng minh đường thẳ ng d ^ d '
a. Phương pháp 1: Đường thẳng d ^ (a ) thì d ^ tất cả các đường thẳng nằm trong mp (a ) .
Nguyễn Văn Thân

Trang 3


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

b. Phương pháp 2: Sử du ̣ng đinh
̣ lý ba đường vuông góc.
c. Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa d và d ' bằ ng 900 .
d. Phương pháp 4: Sử du ̣ng hın
̀ h ho ̣c phẳ ng.
6/ Chứng minh mp a ^ mp b

( )

( )

ì
ï
ï(a ) É d
 mp (a ) ^ mp (b ) (chứng minh mp chứa 1 đường thẳ ng vuông
ï
d ^ (b )
ï
ï
î

a. Phương pháp 1: Chứng minh ï
í

góc với mp kia)
b. Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mă ̣t phẳ ng bằ ng 900 .

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH
(Phần này cần nắm cho thật vững)
I. TÍNH GÓC
1. Tính góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau
Phương pháp : Có thể sử dụng một trong các cách sau:
a. Cách 1: (theo phương pháp hình học)
+ Góc giữa hai đường thẳ ng song song hoặc trùng nhau thì bằng 0
+ Góc giữa hai đường thẳ ng chéo nhau: Là gó c tạo bởi hai đường
thẳ ng cắ t nhau lầ n lượt vẽ cù ng phương với hai đường thẳ ng đó :

ì
ï
ïa // a '  (a
, b) = (a

', b ') = f
í
ï
b
b
'
//
ï
î

a'

a



b'

b

(chú ý: Gó c giữa hai đường thẳ ng chỉ lấy góc nhọn không lấy góc tù)

 
a b
b. Cách 2 : (theo phương pháp véc tơ): cos  a, b     .
a  b

2. Tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  P 
Phương pháp xác định :
+ a   P    A

+ Trên đường thẳng a lấy điểm M bất kỳ.
+ Tìm điểm H là hình chiếu của M trên mp  P   MH   P 


+ a
;  P   MAH
Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng thì góc bằng 0
3. Xác định góc giữa hai mặt phẳng  P  và  Q 
Phương pháp :
+ Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng

 P  và  Q 
+ Tìm 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng  P  và  Q 

đồng thời 2 đường thẳng này cùng vuông góc với giao tuyến chung
của 2 mặt phẳng  P  và  Q 

 P  và  Q  là góc của 2 đường thẳng
cùng vuông góc với giao tuyến chung của 2 mặt phẳng  P  và  Q 
+ Góc của 2 mặt phẳng

Chú ý: 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc bằng 0
II. TÍNH KHOẢNG CÁCH
1. Tính các khoảng cách giữa một điểm và mặt phẳng
Phương pháp : Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng , ta phải đi tìm đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó
đến mặt phẳng , ta hay dùng một trong hai cách sau :
Cách 1 :
+ Tìm một mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) .
Nguyễn Văn Thân

Trang 4


Chuyên đề Thể tích khối đa diện
+ Xác định m  P   Q  .

+ Dựng MH  m  P  Q  ,  MH  P 
Suy ra MH là đoạn cần tìm .
Cách 2: Dựng MH / / AK  P 
Chú ý :
+ Nếu MA / /  P   d
.
d
 M , P  
 M , P  
+ Nếu MA P   I 

d  M , P  
IM



d  M , P  
IA



2. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:
d

với A P  .
+ Khi a / /  P   d
 a , P  
 A, P  
+ Khi đường thẳng a  P  hoặc a   P  thì khoảng cách bằng 0
3. Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :
+ Khi  P  / /  Q   d  P , Q   d  M , Q  với A 
    
  

 P

.

 P   Q 
 d P , Q   0
+ Khi 
    
  P   Q 
4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng
     ' 
a. Khi 
 d  ,  '   0 .
    
      '

b. Khi    / /   '  d 

   ,   ' 

 d M ,


  '

 d  N ,   




với M    , N   ' .

c. Khi hai đường thẳng chéo nhau :
+ Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

và
    ' là đường thẳng  a  cắt    ở M và cắt   ' ở N

(a)
M



đồng thời vuông góc với cả    và   ' .
'
+ Đoạn MN được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau    và   ' .
N
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn
vuông góc chung của hai đường thẳng đó .

Phương pháp :
+ Cách 1 : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)
+ Cách 2 : Dựng hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là
khoảng cách cần tìm .
+ Cách 3 : Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó .
* Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau :
+ Dựng  P   b ,  P  / / a .
+ Dựng a ' hch P  a , bằng cách lấy M a
+ Dựng đoạn MN    , lúc đó a’ là đường thẳng đi qua N
và song song a .
+ Gọi H  a 'b , dựng HK / / MN
 HK là đoạn vuông góc chung cần tìm
( Hay MN là đoạn vuông góc chung cần tìm) .
* Nếu hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc nhau thì:
+ Dựng một mp  P   b ,  P   a tại H .
+ Trong (P) dựng HK b tại K .
+ Đoạn HK là đoạn vuông góc chung của a và b .

VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT
Nguyễn Văn Thân

Trang 5


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

I. HÌNH CHÓP ĐỀU
1/ Đinh
̣ nghıã : Mô ̣t hı̀nh chóp đươ ̣c go ̣i là hı̀nh chóp đề u nế u có đá y là một đa giá c đều và có chân đường cao trù ng với
tâm củ a đa giá c đá y.

Nhận xé t:
+ Hı̀ nh chó p đề u có cá c mặt bên là những tam giá c cân bằ ng nhau.
+ Cá c mặt bên tạo với đá y cá c gó c bằ ng nhau.
+ Cá c cạnh bên củ a hı̀ nh chó p đề u tạo với mặt đá y cá c gó c bằ ng nhau.
S
+ Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông ...)
2/ Hai hın
h
cho
p
đề
u
thươ
ng
gă
̣p
́
̀
̀
a/ Hı̀nh chó p tam giá c đều:
Cho hı̀nh chóp tam giác đề u S .ABC . Khi đó:
+ Đáy ABC là tam giác đề u.
+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S .
+ Chiề u cao: SO .( O là tâm của đáy)







A

+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: SAO = SBO = SCO .

C



+ Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO .

O

2
1
AB 3
.
+ Tıń h chấ t: AO = AH , OH = AH , AH =
3
3
2
Lưu ý : Hı̀ nh chó p tam giá c đề u khá c với tứ diê ̣n đề u:
+ Tứ diê ̣n đề u có các mă ̣t là các tam giác đề u.
+ Tứ diê ̣n đề u là hı̀nh chóp tam giác đề u có ca ̣nh bên bằ ng ca ̣nh đáy.
b/ Hı̀nh chó p tứ giá c đều:
Cho hı̀nh chóp tam giác đề u S .ABCD .
+ Đáy ABCD là hı̀nh vuông.
+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i S .

́

̃

̣t

̀

̣t

́

B

S

A

+ Chiề u cao: SO .
+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy:

 = SBO
 = SCO
 = SDO
.
SAO

+ Goc giưa mă bên va mă đay: SHO .

H

D
H

O

B

C

II. TỨ DIỆN ĐỀU:
+ Tứ diê ̣n đề u có 4 mă ̣t là các tam giác đề u
+ Khi hı̀nh chóp tam giác đề u có ca ̣nh bên bằ ng ca ̣nh đáy thì đó là tứ diê ̣n đề u. Do đó tứ diê ̣n đề u có tính chất như
hình chóp tam giác.
III. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên

Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành

Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là

Nguyễn Văn Thân

Trang 6


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.
IV. CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHÓP CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
1/ Hın
̀ h chóp có mô ̣t ca ̣nh bên vuông góc với đáy: Chiề u cao củ a hı̀ nh chó p là độ dà i cạnh bên vuông gó c với đá y
Vı́ du:̣ Hı̀nh chóp S .ABCD có ca ̣nh bên SA ^ ABCD thı̀ chiề u cao là SA .

(

)

2/ Hın
̀ h chóp có mô ̣t mă ̣t bên vuông góc với mă ̣t đáy: Chiề u cao củ a hı̀ nh chó p là chiề u cao củ a tam giá c chứa
trong mặt bên vuông gó c với đá y.
Vı́ du:̣ Hı̀nh chóp S .ABC có mă ̣t bên SAB vuông góc với mă ̣t đáy ABC thı̀ chiề u cao của hı̀nh chóp là chiề u

(

)

(

)

cao của DSAB .
3/ Hın
̀ h chóp có hai mă ̣t bên vuông góc với đáy: Chiề u cao củ a hı̀ nh chó p là giao tuyế n củ a hai mặt bên cù ng
vuông gó c với đá y.
Vı́ du:̣ Hı̀nh chóp S .ABCD có hai mă ̣t bên SAB và SAD cùng vuông góc với mă ̣t đáy ABCD thı̀ chiề u cao

(

) (

)

(

)

là SA .

4/ Hın
̀ h chóp đều và tứ diện đều: Chiề u cao củ a hı̀ nh chó p là đoạn thẳ ng nố i đı̉nh và tâm củ a đá y.
Vı́ du:̣ Hı̀nh chóp tứ giác đề u S .ABCD có tâm mă ̣t phẳ ng đáy là giao điể m O của hai đường chéo hı̀nh
vuông ABCD thı̀ có đường cao là SO .

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH,
DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN
Thể tích

1
V  B.h
3

KHỐI CHÓP

Diện tích xung quanh

Diện tích toàn phần

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích 2 mặt đáy

Sxq = Tổng diện tích các mặt bên

Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

+ B là diện tích đáy
+ h đường cao hình chóp

KHỐI LĂNG

TRỤ

KHỐI CHÓP
CỤT

V  B.h

+ B là diện tích đáy
+ h là đường cao lăng trụ

(

)

h
B + B '+ BB '
3
+Với B, B ' là diê ̣n tı́ ch hai đá y
V =

+ h đường cao hình chóp

Chú ý:
3
I. Thể tı́ch hın
̀ h hô ̣p chữ nhâ ̣t: V = a.b.c  Thể tı́ch khố i lâ ̣p phương: V = a

a

a

b

c
Hình hộp chữ nhật

a

a

Hình lập phương

II. 4 phương pháp thường dùng tı́nh thể tı́ch
1.Tı́nh thể tı́ch bằ ng công thức.
+ Tın
́ h các yế u tố cầ n thiế t: đô ̣ dài ca ̣nh, diê ̣n tıć h đáy, chiề u cao,….
+ Sử du ̣ng công thức tı́nh thể tıć h.
Nguyễn Văn Thân

Trang 7


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

+ Cần năm vững các công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, ....
2. Tı́nh thể tı́ch bằ ng cách chia nhỏ: Ta chia khố i đa diê ̣n thành nhiề u khố i đa diê ̣n nhỏ mà có thể dễ dàng tı́nh thể
tı́ch của chúng. Sau đó, ta cô ̣ng kế t quả la ̣i, ta sẽ có kế t quả cầ n tı̀m.
3. Tı́nh thể tı́ch bằ ng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khố i đa diê ̣n mô ̣t khố i đa diê ̣n khác, sao cho khố i đa
diê ̣n thêm vào và khố i đa diê ̣n mới có thể dễ dàng tı́nh đươ ̣c thể tıć h.
4. Tı́nh thể tı́ch bằ ng tı̉ số thể tı́ch.
* Trong nhiề u bà i toá n, viê ̣c tı́ nh trực tiế p thể tı́ ch khố i đa diê ̣n có thể gặp khó khăn vı̀ hai lı́ do:

+ Hoặc là khó xá c đi ̣nh và tı́ nh được chiề u cao.
+ Hoặc tı́ nh được diê ̣n tı́ ch đá y nhưng cũng không dễ dà ng.
* Khi đó , ta có thể là m theo cá c phương phá p sau:
+ Phân chia khố i cầ n tı́ nh thể tı́ ch thà nh tổ ng hoặc hiê ̣u cá c khố i cơ bả n (hı̀ nh chó p hoặc hı̀ nh lăng trụ) mà
cá c khố i nà y dễ tı́ nh hơn.
+ Hoặc là so sá nh thể tı́ ch khố i cầ n tı́ nh với một đa diê ̣n khá c đã biế t trước hoặc dễ dà ng tı́ nh thể tı́ ch.
* Trong dạng nà y, ta thường hay sử dụng phương pháp tỉ số, lấy kế t quả củ a bà i toá n sau:

Cho hı̀nh chóp S.ABC. Lấ y A’, B’, C’ tương ứng trên ca ̣nh SA, SB, SC. Khi đó:

VS .A ' B 'C '
VS .ABC

=

Chứng minh:
Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mă ̣t phẳ ng (SBC).
Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳ ng hàng.

Ta có:

VS .A ' B 'C '
VS .ABC

=

VA ' SB 'C '
VA.SBC

SA ' SB ' SC '

.
.
.
SA SB SC

S

1
S DSB 'C ' .A ' H '
= 3
1
.AH
S
3 DSBC

H’

B’

A’

H

C’
A

1
SB '.SC '.sin a.A ' H '
SB '.SC '.SA '
= 2

=
 (Ðpcm ) .
1
SB.SC .SA
SB.SC .sin a.AH
2
 
Trong đo: a = B ' SC ' = BSC .

B

C

́

Lưu ý : Kế t quả trên vẫn đú ng nế u như trong cá c điểm A’, B’, C’ có thể có điểm A º A ', B º B ',C º C ' .
Thông thường, đố i với loại nà y, đề thường cho điểm chia đoạn theo tı̉ lê ̣, song song, hı̀ nh chiế u,…
III. Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách
* Cá c bà i toá n tı̀m khoả ng cá ch: Khoảng cách từ mô ̣t điể m đế n mô ̣t mă ̣t phẳ ng, khoảng cách giữa hai đường
thẳ ng, trong nhiề u trường hơ ̣p có thể qui về bài toán thể tı́ch khố i đa diê ̣n. Viê ̣c tı́nh khoảng cách này dựa vào công thức

hiể n nhiên: h =

h=

3V
, ở đâyV , B, h lầ n lươ ̣t là thể tıć h, diê ̣n tıć h đáy và chiề u cao của mô ̣t hın
̀ h chóp nào đó (hoă ̣c
B

V
đố i với hı̀nh lăng tru ̣).
S

* Phương phá p nà y á p dụng được trong trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tı̀m khoảng cách về bài toán
tı̀m chiề u cao của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng tru ̣) nào đó. Dı ̃ nhiên, các chiề u cao này thường là không tı́nh đươ ̣c trực tiế p
bằ ng cách sử du ̣ng các phương pháp thông thường như đinh
̣ lı́ Pitago, công thức lươ ̣ng giác,… Tuy nhiên, các khố i đa diê ̣n
này la ̣i dễ dàng tıń h đươ ̣c thể tıć h và diê ̣n tıć h đáy. Như vâ ̣y, chiề u cao của nó sẽ đươ ̣c xác đinh
̣ bởi công thức đơn giản trên.
* Phương pháp: Sử du ̣ng các đinh
h
ho
trong
không
gian
sau
đây:
̣ lı́ của hın
̣c
̀
+ Nế u AB // mp P trong đó mp P chứaCD thı̀ d AB,CD = d éêAB, P ùú .

( )
( )
+ Nế u mp (P ) // mp (Q ) trong
d (AB,CD ) = d éêmp (P ), mp (Q )ùú .
ë
û

đó

(
)
mp (P ), mp (Q )

ë

( )û

lầ n

lươ ̣t

chứa

AB

và

CD

thı̀:

+ Từ đó, qui bài toán tı̀m khoảng cách theo yêu cầ u bài toán về viê ̣c tı̀m chiề u cao của khố i chóp (hoă ̣c mô ̣t khố i
lăng tru ̣) nào đó.

Nguyễn Văn Thân

Trang 8

Chuyên đề Thể tích khối đa diện

+ Giả sử bài toán đã đươ ̣c qui về tı̀m chiề u cao kẻ từ đı̉nh S của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng tru ̣). Ta tı̀m thể tı́ch
của hı̀nh chóp (lăng tru ̣) này theo mô ̣t con đường khác mà không dựa vào đı̉nh S này, chẳ ng ha ̣n như quan niê ̣m hı̀nh chóp
ấ y có đı̉nh S ' ¹ S . Sau đó, tın
́ h diê ̣n tıć h đáy đố i diê ̣n với đı̉nh S . Như thế , ta suy ra đươ ̣c chiề u cao kẻ từ S cầ n tı̀m.

CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TOÁN KHỐI CHÓP
DẠNG 1: HÌNH CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

(

)

Bài 1. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy là DABC vuông cân ở B, AC = a 2, SA ^ mp ABC , SA = a .
3

a
(đvtt ) .
6
b. Go ̣i G là tro ̣ng tâm của DSBC , mp (a ) đi qua AG và song song với BC cắ t SC , SB lầ n lươ ̣t ta ̣i M , N . Tı́nh
ĐS: VS .ABC =

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABC .

2a 3
(đvtt ) .
27

Bài 2. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy là DABC đề u ca ̣nh a và SA ^ (ABC ) , SA = 2a . Go ̣i H , K lầ n lươ ̣t là hı̀nh
ĐS: VSAMN =

thể tı́ch khố i chóp S .AMN .

chiế u vuông góc của điể m A lầ n lươ ̣t lên ca ̣nh SB, SC .

a3 3
(đvtt ) .
30

a. Tıń h thể tıć h khố i chóp H .ABC theo a .

ĐS: VH .ABC =

b. Tı́nh thể tı́ch khố i A.BCKH theo a .

ĐS: VA.BCKH =

3a 3 3
(đvtt ) .
50

a 3
(đvđd) .
ëê
10
Bài 3. Cho tứ diê ̣n ABCD có ca ̣nh AD vuông góc với mp (ABC ) , AC = AD = 4 (cm ), AB = 3 (cm ) ,

(

)

ĐS: d éH , SAC ù =

c. Tính khoảng cách từ H đến mp SAC .

(

)ûú

6 34
(cm )
17

Bài 4. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác có AC = a, AB = 3a , BAC = 600 . Go ̣i H là hình chiếu

BC = 5 (cm ) . Tı́nh khoảng cách từ A đế n mp (BCD ) .

(

ĐS: d éA, DBC ù =
êë

(

)úû

)

của S trên ABC biết H Î AB và AH = 2HB . Cạnh bên SC hợp với đáy một góc 450 .
a. Tıń h thể tıć h khố i chóp S .ABC
b. Tıń h khoảng cách từ A đế n mp SBC .

(

)

(

)



Bài 5. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy DABC là tam giác vuông ta ̣i B và SA ^ ABC với ACB = 600 ,

BC = a, SA = a 3 . Go ̣i M là trung điể m của ca ̣nh SB .

(

)

(

)

a. Chứng minh rằ ng: mp SAB ^ mp SBC .

a3
(đvtt ) .

2
a3
ĐS: VMABC =
(đvtt ) .
4
a
ĐS: d éM , SAC ù = (đvđd )
)ûú
ëê (
2

ĐS: VS .ABC =

b. Tıń h thể tı́ch khố i chóp S .ABC .
c. Tıń h thể tıć h khố i tứ diê ̣n MABC .

(

)

d. Tıń h khoảng cách từ điể m M đế n mp SAC .

(

)

Bài 6. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a , SA ^ ABCD , SA = a 3 . Gọi O là giao

điểm của hai đường chéo hình vuông ABCD .
a. Tıń h thể tıć h khố i chóp S .ABCD theo a .

Nguyễn Văn Thân

ĐS: VS .ABCD =

a3 3
(đvtt ) .
3
Trang 9


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

ĐS: VS .ABCD =

b. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .OBC theo a .

(

)

c. Tıń h khoảng cách từ điể m A đế n mp SBC .

a3 3
(đvtt ) .
12

ĐS: d éA, SBC ù =
êë

(

)úû

a 3
(đvđd)
2

a 3
(đvđd)
ëê
4
Bài 7. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a , SA ^ (ABCD ) . Cạnh SC tạo với mặt phẳng

(

)

d. Tı́nh khoảng cách từ điể m O đế n mp SBC .

(

ĐS: d éA, SBC ù =
(

)ûú

)

đáy ABCD một góc 600 .

ĐS: VS .ABCD =

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABCD theo a .

a3 6
(đvtt ) .
3

b. Xác đinh
̣ và tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n vuông góc chung của hai đường thẳ ng SC và BD . ĐS: d(SC ;BD ) =

a 3
4

Bài 8. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy là hın
̀ h vuông ca ̣nh bằ ng a , chiề u cao SA = 2a . Go ̣i N là trung điể m của SC .
a. Tính diện tích toàn phần hình chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

b. Tıń h thể tı́ch khố i chóp S .ABCD theo a .

( )

2a 3
(đvtt ) .
3

c. Mă ̣t phẳ ng P chứa AN và song song với BD lầ n lươ ̣t cắ t SB, SD ta ̣i M , P . Tın
́ h thể tı́ch khố i chóp

2a 3
S .AMNP theo a .
ĐS: VS .AMNP =
(đvtt ) .
9
Bài 9. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t tâm O, SA ^ mp (ABCD ) . Biế t AB = 3a , góc
 = 600 . Mặt bên SBC hợp với đáy một góc 450 .
BAC
( )

(

)

a. Tıń h thể tıć h khố i chóp S .ABCD theo a .

ĐS: VS .ABCD = 9a 3 3 đvtt .

b. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp SOAD .

ĐS: VS .OAD =

9a 3 3
(đvtt ) .
4

3a 2
(đvđd)
ëê

ûú
2
Bài 10. Cho khố i chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Biế t rằ ng SA ^ (ABCD ), SC hơ ̣p với mă ̣t phẳ ng

(

)

c. Tıń h khoảng cách từ điể m O đế n mp SBC .

ĐS: d éO,(SBC )ù =

chứa đáy ABCD mô ̣t góc 300 và AB = a, BC = 2a .
a. Tıń h thể tıć h khố i chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

a 3 15
(đvtt ) .
3

a 3 15
(đvtt ) .
6
c. Gọi O là giao điểm của AC và BD . Tı́nh khoảng cách từ điể m O đế n mp (SCD ) .
b. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABC .

ĐS: d éO , SCD ù =
êë

(

)úû

Nguyễn Văn Thân

ĐS: VS .ABC =

a 1140
(đvđd)
60

Trang 10


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

DẠNG 2: HÌNH CHÓP CÓ MỘT MẶT VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY
Chú ý:

ì
ï
(P ) ^ (Q )
ï
ï
ï
ï(P ) Ç (Q ) = a
 b ^ (Q )
-ï
í

ï
b
P
Ì
(
)
ï
ï
ï
b ^a
ï
ï
î
- Tam giác BAC cân tại A , I là trung điểm BC  AI vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác
DABC .
- Tam giác ABC đều , G là trọng tâm DABC , M , N , P lần lượt là trung điểm cạnh BC , AC , AB . Ta cần nhớ:
ìï
ïïAG = 1 GM = 2 AM
ïï
3
3
ïï
1
2
+ íBG = GN = BN
ïï
3
3
ïï
1

2
ïïCG = GP = CP
3
3
ïïî
+ AM , BN ,CP vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác của DABC .
Bài 1. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a . Mă ̣t bên SAB là tam giác đề u nằ m trong mă ̣t
phẳ ng vuông góc với mă ̣t phẳ ng đáy (ABCD ) .
a. Chứng minh rằ ng chân đường cao của khố i chóp đã cho trùng với trung điể m của ca ̣nh AB .
b. Tıń h thể tı́ch khố i chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

c. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .BCD .

ĐS: VS .BCD =

a3 3
(đvtt ) .
6

a3 3
(đvtt ) .
12

a 3
(đvđd) .
2
Bài 2. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Mă ̣t bên SAB là tam giác đề u ca ̣nh là a và nằ m trong
mă ̣t phẳ ng vuông góc với mp (ABCD ) . Cạnh bên SC hơ ̣p với mp (ABCD ) mô ̣t góc bằ ng 300 .

(

)

ĐS: d éD , SBC ù =

d. Tıń h khoảng cách từ D đế n mp SBC .

a. Tıń h thể tıć h khố i chóp S .ABCD đã cho.

chóp

mp (SAB ) ^ mp (ABC ) .

S .ABC có

a 3 30
.
12

ĐS: d éC , SAD ù =

a 3
(đvđd) .
2

(

)

ĐS: d éB , SAC ù =
)ûú

a 390
(đvđd) .
13

là

tam

êë

ëê

(

)úû

(

 = 900, ABC
 = 300 , DSBC
BAC

ĐS: VS .ABC =

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABC .

(

ĐS: VS .ABCD =

)

c. Tı́nh khoảng cách của điểm B đến mp SAC
hı̀nh

)ûú

(

b. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến mp SAD

Bài 3. Cho

(

ëê

)

(

ëê

(

)

)ûú

đề u

ca ̣nh

a

và

a 3 39
(đvtt ) .
96

ĐS: d éB , SAC ù =

b. Tính khoảng cách từ B đến mp SAC .

giác

a 39
(đvđd) .
8

c. Gọi G là trọng tâm DSBC . Tın
́ h khoảng cách của điểm G đến mp SAC .

(

Bài 4. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ta ̣i B , có BC = a . Mă ̣t bên SAC

(

)

) vuông góc với

0

mă ̣t phẳ ng đáy, mă ̣t bên SAB ta ̣o với mă ̣t phẳ ng đáy mô ̣t góc 45 . Biết DSAC cân tại S .
Nguyễn Văn Thân

Trang 11


Chuyờn Th tớch khi a din

(

)

a. Gi H l trung im AC . Chng minh SH ^ ABC .
S: VS .ABC =

b. Tnh thờ tch khụ i chop S .ABC .

a3
(vtt ) .
12

a 2
(vd) .
ởờ
4
Bi 5. Cho hnh chop S .ABCD co ay ABCD la hn
h vuụng ca nh a , mp (SAB ) ^ mp (ABCD ) , SA = SB , goc

(

)

S: d ộH , SBC ự =

c. Tớnh khong cỏch t H n mp SBC .

(

)ỷỳ

gia ng th ng SC va m t ph ng ay b ng 450 .
a. Tnh theo a thờ tch cua khụ i chop S .ABCD .

(

)

S: VS .ABCD

a3 5

=
(vtt ) .
6
a 30
(vd) .
6

S: d ộD , SBC ự =

b. Tớnh khong cỏch t D n mp SBC .

ởờ

(

)ỷỳ

2a 5
.
9
Bi 6. Cho hnh chop S .ABCD co ay ABCD la hnh vuụng ca nh a , mp (SAC ) ^ mp (ABCD ) , DSAC , vuụng

(

)

c. Gi G l trng tõm DSAB . Tn
h khoang cach ca im G n mp SCD .

S: d ộG , SCD ự =

(

ờở

)ỳỷ

cõn ti S .
a. Tn h theo a thờ tc h cua khụ i chop S .ABCD .

S: VS .ABCD =

b. Tnh theo a thờ tch cua khụ i chop S .BCD .

S: VS .BCD =

(

)

a3 2
(vtt ) .
12

S: d ộB , SAD ự =

b. Tớnh khong cỏch t B n mp SAD .

ởờ

(

a3 2
(vtt ) .
6

)ỷỳ

a 6
(vd) .
12

DNG 3: HèNH CHểP Cể HAI MT VUễNG GểC VI Y
Chỳ ý:

(Q ) ^ (P ) ỹùùù
(R) ^ (P ) ùýù a ^ (P )
(Q ) ầ (R) = a ùùùùỵ

Bi 1. Cho hnh chop S .ABC co SA = AB = AC = BC = a . Hai mp(SAB ) va mp(SAC ) cung vuụng goc vi
mp(SBC ) .

a3 3
(vtt )
12

S: SB, (ABC ) = 450 .
S: VS .ABC =

a. Tnh thờ tch cua hnh chop S .ABC .
b. Tớnh gúc gia ng thng SB v mp(ABC ) .

a 15
(vd) .
5
Bi 2. Cho hỡnh chúp S .ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh ch nht cú AB = a, BC = 2a . Hai mp (SAB ) v

(

)

c. Tớnh khong cỏch t A n mp SBC .

S: d ộA, SBC ự =
ờở

(

)ỳỷ

mp (SAD ) cung vuụng gúc vi m t ph ng ỏy, cnh SC hp vi ỏy mt gúc 600 .
a. Tớnh th tớch khi chúp S .ABCD theo a .

{ }

b. Gi O = AC ầ BD . Tớnh th tớch khi chúp S .OBC theo a .

(

)

c. Tớnh khong cỏch t O n mp SCD .
Nguyn Vn Thõn

S: VABCD =

2a 3 15
(vtt )
3

S: VS .OBC =

a 3 15
6

(vtt )

a 60

(vd) .

S: d ộO , SCD ự =
ởờ

(

)ỷỳ

2 19

Trang 12

Chuyên đề Thể tích khối đa diện

(

) (

)

Bài 3. Cho hı̀nh chóp S .ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân ta ̣i A . Hai mă ̣t phẳ ng SAB và SAC cùng vuông góc

(

)

(

)

(

)

với mă ̣t phẳ ng đáy ABC , cho BC = a 2 , mă ̣t bên SBC ta ̣i với đáy ABC mô ̣t góc 600 .
a. Tı́nh thể tı́ch của khố i chóp S .ABC
b. Tıń h khoảng cách từ điể m A đế n mă ̣t phẳ ng SBC .

(

)

2
AB . Tıń h khoảng cách từ điể m D đế n mă ̣t phẳ ng (SAC ) .
3
Bài 4. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hın
̀ h vuông ca ̣nh a , hai mă ̣t bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc
c. Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho: AD =

(

)

với ABCD . Cho SB = 3a . Go ̣i M là trung điể m của CD .
a. Tıń h thể tıć h của khố i chóp S .ABCM .
b. Tı́nh khoảng cách của điểm M đến mp SBC

(

)

(

)

(

)

Bài 5. Cho hın

̀ h chóp S .ABCD có đáy ABCD là hın
̀ h chữ nhâ ̣t, các mă ̣t bên SAB và SAD cùng vuông góc với

(

)

(

)

mă ̣t đáy ABCD , cho AB = a, AD = 2a, SC ta ̣o với mă ̣t đáy ABCD mô ̣t góc 450 .
a. Tı́nh thể tı́ch của khố i chóp S .ABCD theo a .
b. Gọi H là hình chiếu của A trên cạnh BD . Tính thể tı́ch của khố i chóp S .AHCD theo a .
c. Tı́nh khoảng cách của điểm C đến mp SAH .

(

)

d. Tıń h khoảng cách 2 đường thẳ ng SB và AH .



(

)

(

Bài 6. Cho hı̀nh chóp S .ABCD có đáy ABCD là hı̀nh thoi cạnh a , BAD = 1200 . Biết mặt bên SAB và SAD

(

)

)

cùng vuông góc với mặt đáy ABCD . Cạnh bên SC tạo với đáy một góc 600 .

a3
(đvtt ) .
2
a3
= (đvtt ) .
4

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

b. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .BCD .

ĐS: VS .BCD

(

)

ĐS: d éC , SAB ù =

c. Tính khoảng cách từ C đến mp SAB .

êë

(

)úû

a 3
(đvđd) .
2

DẠNG 4: HÌNH CHÓP ĐỀU
Định nghĩa:
+ đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều ...)
+ các mặt bên là tam giác cân tại đỉnh của hình chóp.
+ đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của đa giác đều.
+ các cạnh bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
+ các mặt bên tạo với đáy 1 góc đều bằng nhau.
Chú ý:
+ Tứ diện đều là hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng cạnh bên.
+ Hình chóp đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều (hình chóp có đáy là tứ giác đều là hình
chóp chỉ có đáy là đa giác đều )
Bài 1. Cho hình chóp đều S .ABCD có cạnh đáy 2a , góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 . Gọi G là trọng tâm tam
giác DSAC .

ĐS: VS .ABCD =

a. Tính thể tích của hình chóp S .ABCD .

(

)

b. Tính khoảng cách từ A đến mp SBC .

Nguyễn Văn Thân

4a 3 3
(đvtt ) .
3

(

)

ĐS: d éA, SBC ù = a 3 đvđd .
ëê

(

)ûú

Trang 13


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

a 3

(đvđd) .
ëê
3
Bài 2. Cho khố i chóp tứ giác đề u S .ABCD . Mô ̣t mă ̣t phẳ ng (P ) qua A, B và trung điể m M của SC . Tı́nh tı̉ số thể tı́ch

(

c. Tính khoảng cách từ G đến mp SAB

)

ĐS: d éG , SAB ù =
(

của hai phầ n khố i chóp bi ̣phân chia bởi mă ̣t phẳ ng đó.

)ûú

ĐS:

VS .ABMN

=

VABCDNM

3
5

Bài 3. Cho tứ diê ̣n đề u ABCD có ca ̣nh a . Lấ y các điể m B ',C ' trên AB và AC sao cho AB ' =

ĐS: VAB 'C ' D =

a. Tıń h thể tıć h khố i tứ diê ̣n AB 'C ' D .

(

)

b. Tıń h khoảng cách từ B ' đế n mp ACD .

ĐS: d  B '; ACD 




a
2a
.
, AC ' =
3
2

a3 2
(đvtt ) .
36
a 6

 đvđd 
6

Bài 4. Cho khố i tứ diê ̣n đề u ABCD ca ̣nh bằ ng a . Go ̣i M là trung điể m của ca ̣nh DC .

a. Tı́nh thể tı́ch khố i tứ diê ̣n đề u ABCD .

(

ĐS: VABCD =

`

)

a3 2
(đvtt ) .
12

ĐS: VM .ABC =

b. Tıń h khoảng cách từ M đế n mp ABC . Suy ra thể tıć h hı̀nh chóp M .ABC .

a3 2
24

Bài 5. Cho khố i chóp tam giác đề u S .ABC biế t ca ̣nh đáy bằ ng a , ca ̣nh bên bằ ng 2a .

ĐS: VS .ABC =

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABC .

a 3 11
(đvtt ) .
2

1
AC . Tı́nh khoảng cách từ E đế n mp (SBC ) .
3
Bài 6. Cho khố i chóp tam giác đề u S .ABC biế t ca ̣nh đáy bằ ng a , mă ̣t bên hơ ̣p với đáy mô ̣t góc 600 . Trên cạnh SB
SE
1
SF
2
lấy điểm E sao cho:
= , trên cạnh SC lấy điểm F sao cho:
= .
SB
3
SC
3
b. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho: AE =

ĐS: VS .ABC =

a. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp S .ABC .

a3 3
(đvtt ) .
24

b. Tıń h thể tı́ch khố i chóp S .AEF .

Bài 7. Cho hı̀nh chóp tứ giác đề u S .ABCD có ca ̣nh đáy bằ ng a , góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy bằ ng 600 .
a. Tıń h thể tıć h của khố i chóp S .ABCD theo a .
b. Gọi O là tâm của đáy ABCD . Tın
́ h thể tı́ch của khố i tứ diện SOAB .
c. Tıń h khoảng cách từ điể m A đế n mp SBC .

(

)



Bài 8. Cho hı̀nh chóp tứ giác đề u S .ABCD có ca ̣nh đáy bằ ng a và BSA = 600 .

a. Tıń h diện tích xung quanh của hı̀nh chóp đề u này.

ĐS: S =

a2 3
(đvdt ) .
3

a3 2
(đvtt ) .
6
Bài 9. Cho hı̀nh chóp tứ giác đề u S .ABCD có ca ̣nh đáy bằ ng a và ca ̣nh bên hơ ̣p với đáy mô ̣t góc 600 .
b. Tı́nh thể tı́ch của khố i chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

(

a. Tıń h diện tích toàn phần của hın
̀ h chóp đề u này.

ĐS: Stp = a 2

b. Tı́nh thể tı́ch của khố i chóp S .ABCD .

ĐS: VS .ABCD =

Nguyễn Văn Thân

)

10 + 1 (đvdt ) .

a3 6
(đvtt ) .
6

Trang 14


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ
DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG
HÌNH LĂNG TRỤ

HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình hành
+ Chiều cao là khoảng cách của 2 mặt đáy
Hình hộp: là hình lăng trụ có 2 đáy là hình bình hành

+ 2 mặt đáy là đa giác song song và bằng nhau.
+ các cạnh bên song song và bằng nhau
+ các mặt bên là hình bình chữ nhật và vuông góc với 2
mặt đáy
+ Chiều cao là cạnh bên
Hình hộp chữ nhật : là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là
hình chữ nhật
Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có 6 mặt là
hình vuông.

Chú ý: + Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ có đáy tam giác đều là hình lăng trụ xiên có 2 đáy là tam giác đều.
+ Hình lăng trụ tứ giác đều là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình vuông.
Bài 1. Cho hı̀nh lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u. Biế t ca ̣nh bên AA ' = a . Tı́nh thể tich khố i
lăng tru ̣ trong các trường hơ ̣p sau:

(

)

a. mp A ' BC hơ ̣p với đáy mă ̣t phẳ ng chứa đáy ABC mô ̣t góc 600 .

(

)

(

ĐS: VABC .A ' B 'C ' = a 3 3 đvtt

)

a3 3
(đvtt )
4

b. Đường thẳ ng A ' B hơ ̣p với mp ABC mô ̣t góc 450 .

ĐS: VABC .A ' B 'C ' =

c. Chiề u cao kẻ từ A ' của DA ' BC bằ ng đô ̣ dài ca ̣nh đáy của lăng tru ̣.

ĐS: VABC .A ' B 'C ' = a 3 3 đvtt

(

)



Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 600 . Đường

(

)

(

)

chéo BC ' của mặt bên BC 'C 'C tạo với mặt phẳng mp AA 'C 'C một góc 300 .
a. Tính thể tích của khối lăng trụ theo a .
b. Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.
Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC

(

)

ĐS: VABC .A ' B 'C ' = a 3 6 đvtt .

(

)

( )
là tam giác vuông tại B, BC = a , mp (A ' BC ) tạo với
ĐS: S xq = 2 2 3 + 3 a 2 đvdt

đáy một góc 300 và DA ' BC có diện tích bằng a 2 3 .

3a 3 3

(đvtt )
2

a. Tính thể tích khối lăng trụ ABC .A ' B 'C ' .

ĐS: VABC .A ' B ' C ' =

b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ.

ĐS: Stp = 3 + 4 3 + 30 a 2 đvdt

(

)

(

)

Bài 4. Cho hın
̀ h lăng tru ̣ tam giác đề u ABC .A ' B 'C ' có ca ̣nh đáy bằ ng a . Biế t khoảng cách giữa hai đường thẳ ng

AB và A 'C bằ ng

Nguyễn Văn Thân

a 15
.
5

Trang 15


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

a. Tıń h thể tıć h khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .

ĐS: VABC .A ' B 'C ' =

3a 3
(đvtt ) .
4

b. Tı́nh thể tı́ch khố i đa diện A ' BCB 'C ' .
c. Tı́nh khoảng cách từ A đế n mp A ' BC .

(

)

Bài 5. Cho lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u ca ̣nh a . Biế t rằ ng AB ' hơ ̣p với mă ̣t bên
BCC ' B ' mô ̣t góc 300 .

(

)

(

)

a. Tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n thẳ ng AB ' .

ĐS: AB ' = a 3 đvđd .

b. Tıń h thể tı́ch khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .

ĐS: VABC .A ' B 'C ' =

(

)

a3 3
(đvtt ) .
2

c. Tıń h khoảng cách từ C đế n mp AB 'C ' .



Bài 6. Cho lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣i A . Biế t AB = a; ACB = 600 và đường

(

)

thẳ ng BC ' hơ ̣p với mă ̣t bên AA 'C 'C mô ̣t góc 300 .

(

ĐS:VABC .A ' B 'C ' = a 3 6 đvtt

a. Thể tıć h khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C '

)

3a 2 3
(đvdt ) .
2
Bài 7. Cho hı̀nh lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣i B, AB = a, AA ' = 2a , A 'C = 3a .
Go ̣i M là trung điể m đoa ̣n thẳ ng A 'C ' và I là giao điể m của AM và A 'C .
4a 3
a. Tı́nh thể tı́ch của khố i tứ diê ̣n IABC .
ĐS: VIABC =
(đvtt )
9
ĐS: S DABC ' =

b. Tı́nh diê ̣n tı́ch tam giác ABC ' .

2a 5
(đvđd)
5
Bài 8. Cho hı̀nh lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân ta ̣i B ; AC = 2a . Biế t rằ ng
mp (A ' BC ) hơ ̣p với mp (ABC ) mô ̣t góc 450 .

(

)

b. Tıń h khoảng cách từ A đế n mp IBC theo a .

ĐS: d A, IBC =
( ( ))

a. Tıń h thể tıć h khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .
b. Tính diện tích toàn phần hình lăng trụ.

ĐS: VABC .A ' B 'C ' = a 3 2 đvtt .

(

)



Bài 9. Cho lăng tru ̣ đứng ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣i A , góc ACB = 300 , AA ' = 3a ,
AC = 2a .
a. Tı́nh thể tı́ch khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .
b. Tı́nh thể tı́ch khố i chóp A ' BCC ' B ' .
c. Mă ̣t phẳ ng A ' BC chia khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' thành hai khố i đa diê ̣n. Tı́nh thể tı́ch của mỗi khố i đa diê ̣n.

(

)

Bài 10. Cho lăng tru ̣ đứng có đáy là tam giác đề u, biế t rằ ng tấ t cả các ca ̣nh của lăng tru ̣ bằ ng a .

ĐS: V =

a. Tıń h thể tıć h và tổ ng diê ̣n tıć h các mă ̣t bên của lăng tru ̣.

a3 3
; S xq = 3a 2 .
4

b. Tı́nh thể tı́ch khố i tứ diện ABCB ' .

DẠNG 2: HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN
Bài 1. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u với tâm O . Cạnh bên CC ' = a và hơ ̣p
với mă ̣t phẳ ng chứa đáy ABC mô ̣t góc 600 . Hın
̀ h chiế u của điể m C ' lên mp ABC trùng với O .

(

)

a. Chứng minh rằ ng: AA ' B ' B là hı̀nh chữ nhâ ̣t. Tı́nh diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t này.

ĐS: S =

a2 3
.
2

ĐS: V =

3a 3 3
.

8

b. Chứng minh hình chóp O.A ' B 'C ' là hình chóp tam giác đều.
c. Tı́nh thể tı́ch khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' này.
Nguyễn Văn Thân

Trang 16


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

Bài 2. Cho hình lăng trụ ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a . Điểm H là hình chiếu vuông góc

(

)

(

)

của A ' xuống mp ABC là trung điểm của AB . Mặt bên AA 'C 'C tạo với đáy một góc bằng 45 .
a. Tính thể tích của khối lăng trụ này.

ĐS: VABC .A ' B 'C ' =

b. Tính khoảng cách từ điểm C ' đến mp  AHA '  .

ĐS: d éC ', AHA ' ù =
êë

(

)úû

3a 3
(đvtt )
16

a 3
(đvđd)
2

Bài 3. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u ca ̣nh a . Biế t ca ̣nh bên bằ ng a 3 và nó
hơ ̣p với mă ̣t phẳ ng chứa đáy ABC mô ̣t góc 600 .

ĐS: VABC .A ' B 'C ' =

a. Tıń h thể tıć h khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .

3a 3 3
(đvtt ) .
8

a 15
(đvđd)
ëê
5
Bài 4. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u ca ̣nh a . Hın
̀ h chiế u của điể m A ' trên

mp (ABC ) trùng với trọng tâm G của DABC . Biết cạnh bên AA ' = a 2 .
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mp  A ' BC  .

ĐS: d éA, A ' BC ù =
(

)ûú

a. Tı́nh thể tı́ch khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' .
b. Tıń h thể tı́ch khối chóp G .A ' B 'C ' .
Bài 5. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC .A ' B 'C ' có đáy ABC là tam giác đề u ca ̣nh a . Hın
̀ h chiế u của điể m A ' xuố ng
mp ABC trùng với tâm O của đường tròn ngoa ̣i tiế p DABC và biế t rằ ng đường thẳ ng AA ' ta ̣o với mă ̣t phẳ ng chứa

(

)

đáy ABC mô ̣t góc 450 .Tın
́ h thể tıć h khố i lăng tru ̣ ABC .A ' B 'C ' đã cho.

CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB 

A. V  2 2a 3
Câu 2.

B. V  2a 3

2a

.
D. V 

C. V  2a 3

Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BB '  2m .

A. V  8m 3

B. V  2m 3

C. V 

8 3
m
3

2 2 3
a
3

D. V  6m 3

Câu 3. Hỏi khi các cạnh của khối lập phương tăng lên 5 lần, thì lúc đó thể tích của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu
lần?
A. 125 lần.
B. 15 lần.

C. 25 lần.
D. 5 lần.
Câu 4.

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB  a 2 và AC = a 5 .Tính độ dài đường sinh l của hình

nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l  7a
Câu 5.

B. l  10a

D. l  7a

C. l  3a

Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB  a 2 và BC = a 6 .Tính độ dài đường sinh l của hình

nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. l  2a
Câu 6.

B. l  2 2a

C. l  4a

D. l  3a

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m và AD  2m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD

và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp  2 m 2 .
Câu 7.

B. Stp   m 2 .

C. Stp  6 m 2 .

D. Stp  10 m 2 .

Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AD  2m và AA’=3m.

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
A. V  6m 3
Nguyễn Văn Thân

B. V  2m 3

C. V  m 3

D. V  12m 3
Trang 17


Chuyên đề Thể tích khối đa diện

Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SC  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt

Câu 8.

cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A. R  a

C. R  2a

B. R  2a

2
a
2

D. R 

Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AD  2m và AA’=3m.

Câu 9.

Tính diện tích toàn phần Stp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
A. Stp  22 m 2 .

B. Stp  6 m 2 .

C. Stp  2 m 2 .

D. Stp  11 m 2 .

Câu 10. Tính diện tích toàn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AB 
A. Stp  12a

B. Stp  64a

3

C. Stp  2a

3

2a .
3
D. Stp  8a

3

Câu 11. Tính diện tích toàn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AA '  2m .
A. Stp  24m3

B. Stp  64m3

C. Stp  12m3

D. Stp  8m3

Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SC  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính thể tích V của khối

cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. V 

4 3
a
3

B. V 

4 3
a C. V  4 a 3
3

D. V  4a 3

Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
B. R  a C. R  2a

A. R  2a

D. R 

2
a
2

Câu 14. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết AC
A. V  2a 3

B. V  2 2a 3

 2a

C. V 

B. V  8m 3

D. V 

C. V  2a 3

Câu 15. Tính thể tích V của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết BC '  2
A. V  2 2m3

.

8 2 3
m
3

2 2 3
a
3

2m .

D. V  6 2m3

Câu 16. Hỏi khi thể tích của khối lập phương tăng lên 8 lần, thì lúc đó các cạnh của khối lập phương sẽ tăng lên bao nhiêu
lần?
A. 8 lần.
B.2 lần.
C. 4 lần.
D. 24 lần.

Câu 17. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AC  a 2 và AB = a 5 .Tính thể tích V của khối nón nhận

được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. V 

2 5 3
a
3

B. V 

2 5 3
a
3

C. V  2 5 a 3

D. V 

10 3
a
3

Câu 18. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại B, AB  3m và BC = 2m . Tính thể tích V của khối nón nhận

được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.
A. V  12 m 3

B. V  12 m3

C. V  6m 3

Câu 19. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m và AC 

D. V  2 m 3

3 m. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của

AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ đó.
A. Stp  2 m 2 .

B. Stp 

3  m2 .

C. Stp  2 3  m 2 .

D. Stp 

3 2
m .
3

Câu 20. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AA’=3m và có độ dài

đường chéo AC 
Nguyễn Văn Thân

3 m. Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’.
Trang 18

Chuyên đề Thể tích khối đa diện

A. V  2m 3

B. V  6m 3

C. V  m 3

D. V  12m 3

Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có SA  (ABCD), SA  2a và ABCD là hình vuông cạnh a . Tính bán kính R của mặt

cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD..
B. R  a

A. R  2a

C. R  2a

D. R 

2
a
2

Câu 22. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng

0

(ABCD) bằng 60 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
B. R  a

A. R  2a

C. R 

2 3
a
3

D. R 

3
a
2

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng

0

(SBD) bằng 30 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD.
A. R  2a

B. R 

6
a
3

C. R 

2 3
a
3

D. R 

3
a
2

Câu 24. Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh

2a . Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng

0

(ABCD) bằng 60 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. V 

8 3 3
a
9

B. V 

2 3 3
a
9

C. V 

32 3 3
a
27

D. V 

2 3 3
a
9

Câu 25. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AC 

5 m và

AA’=3m. Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A. V  3 5m3

B. V  6m 3

D. V  5m3

C. V  2m 3

Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1m , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 600. Tính diện tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD.
A. Stp  5 m 2 .
B. Stp  3  m 2 .
C. Stp  5  m 2 .
D. Stp  1 m 2 .
Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, cạnh AB = 6a. có SA  (ABC), SB  10a . Tính diện

tích toàn phần Stp của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. Stp  544 a2

B. Stp  60 a2

C. Stp  136 a2 D. Stp  30a2

Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính diện tích toàn phần Stp của khối
nón nhận được khi quay tam giác SHA xung quanh trục SH.
A. Stp  6 a2 B. Stp  9a2

C. Stp  a2

D. Stp  9a2

Câu 29. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo các cạnh là AB  1m, AC 

5 m và Góc

0

giữa mặt (A’BC) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích V của khối chóp D.A’B’C’D’.
A. V 

5 3
m
3

B. V  2 5m3

C. V  2 3m3

D. V 

3 3
m
3

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh 2m. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc
cạnh BC sao cho HC = HB. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABC) bằng 600. Tính thể tích V của khối nón nhận
được khi quay tam giác SHB xung quanh trục SH.
A. V  3m3

Nguyễn Văn Thân

B. V 

3 3

m
3

C. V  3m 3

D. V  m 3

Trang 19