Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm green đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

LÊ THU TRANG

LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VÀ SỰ HỘI CỦA CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
—————————————————

LÊ THU TRANG

LŨY THỪA HỌ IĐÊAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH
VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA HÀM GREEN ĐA PHỨC

Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. DƯƠNG QUANG HẢI

Thái Nguyên - Năm 2017


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải
tích với đề tài "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức" được hoàn thành bởi nhận thức của tôi, không trùng lặp với
luận văn, luận án và các công trình đã công bố.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết Luận văn

Lê Thu Trang

i


Lời cảm ơn
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên dưới sự hướng dẫn của TS. Dương Quang Hải. Nhân dịp này tôi xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy về sự hướng dẫn tận tình cùng những kinh
nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội và Viện Toán học đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình và bạn bè đã luôn
động viên, khích lệ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập,

nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn

Lê Thu Trang
ii


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của
hàm Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh
hình

3

1.1

Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Họ iđêan các hàm chỉnh hình và hàm Green đa phức kết hợp
với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

1.5

8

Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . .

15

Một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . .

19

iii


2 Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức

25

2.1

Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Sự hội tụ của hàm Green đa phức . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.3

Một số trường hợp đặc biệt về sự hội tụ của hàm Green đa phức 37

Kết luận

46

Tài liệu tham khảo

47

iv


Mở đầu
Hàm Green đa phức được giới thiệu và nghiên cứu đầu tiên bởi L. Lempert
năm 1981. Cụ thể, hàm Green đa phức là nghiệm của bài toán cực trị được đặt
ra một cách tự nhiên đối với các hàm đa điều hoà dưới âm. Từ đó, cho chúng
ta một dạng của bổ đề Schwarz, tức là có thể kiểm soát những modun của các
hàm chỉnh hình bị chặn mà cùng triệt tiêu tại một điểm cho trước. Đặc biệt,
trên một miền siêu lồi, Lempert đã chứng minh được rằng hàm Green đa phức
một cực trùng với nghiệm của bài toán cực trị nhận được bằng cách nghiên
cứu các đĩa giải tích đi qua điểm cực này. Từ đó, hàm Green đa phức đóng vai
trò quan trọng trong lý thuyết thế vị phức. Một số kết quả về hàm Green đa
phức với các cực logarit trên miền siêu lồi và hàm Green đa phức với cực hữu
hạn đã nhận được sự quan tâm và nghiên cứu bởi nhiều tác giả như: Lelong,
Klimek, Demailly, Zaharjuta, E. Amar, Thomas, Dan Coman,...
Khi nghiên cứu về hàm Green đa phức, Lempert đã chỉ ra nó là nghiệm của
toán tử Monge - Ampère phức. Tuy nhiên, vì toán tử Monge - Ampère phức
là không tuyến tính nên việc nghiên cứu toán tử này dẫn đến việc nghiên cứu
sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm trên một
miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Vấn đề này đã được nhiều tác giả quan tâm
1

nghiên cứu như: Demailly, Lempert, Lelong, Magnusson, Rashkovskii, Láruson,
Sigurdsson, Thomas và gần đây là Nguyễn Quang Diệu, Dương Quang Hải,...
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi đã lựa chọn đề tài "Luỹ thừa họ iđêan
các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green đa phức".
Mục đích chính của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu sự hội tụ của hàm
Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ vào
việc nghiên cứu sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm chỉnh hình và sự hội
tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này.
Luận văn trình bày lại một số kết quả của các tác giả nêu trên, chủ yếu dựa
vào các tài liệu [2], [8] và [11]. Các kết quả nghiên cứu được trình bày trong
phạm vi 48 trang, trong đó có phần mở đầu, 2 chương nội dung, phần kết luận
và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: "Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm
Green đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình". Luận văn trình
bày các kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, hàm đa điều hòa dưới
cực đại, toán tử Monge - Ampère phức,hàm Green đa phức, họ iđêan các hàm
chỉnh hình, một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức.
Chương 2: "Lũy thừa họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của hàm Green
đa phức". Đây là nội dung chính của luận văn. Nội dung của chương này trình
bày các kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức với tập cực gồm hữu hạn
điểm cùng hội tụ về điểm gốc nhờ sự hội tụ của họ iđêan lũy thừa các hàm
chỉnh hình và sự hội tụ của các hàm Green đa phức liên kết với họ iđêan này.

2


Chương 1

Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh
hình và sự hội tụ của hàm Green đa

phức kết hợp với một họ iđêan các
hàm chỉnh hình
Trong chương này, luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị và khái
niệm về sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình, sự hội tụ của hàm Green
đa phức kết hợp với một họ iđêan các hàm chỉnh hình để phục vụ cho nghiên
cứu ở chương sau. Phần cuối chương là một số kết quả nghiên cứu về sự hội tụ
của hàm Green đa phức với tập cực hữu hạn và cùng hội tụ về một điểm trên
một miền siêu lồi bị chặn trong Cn .

3


1.1

Một số khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X → [−∞, +∞)
được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi α ∈ R tập mở {x ∈ X :

u(x) < α} là mở trong X .
Định nghĩa 1.1.2. Cho Ω là một tập con mở trong Cn và u : Ω → [−∞, +∞)
là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với −∞ trên bất kì thành phần
liên thông nào của Ω. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω
và b ∈ Cn , hàm λ → u(a + λb) là điều hòa dưới hoặc trùng −∞ trên mỗi
thành phần của tập hợp {λ ∈ Cn : a + λb ∈ Ω}. Trong trường hợp này, ta viết

u ∈ P SH(Ω). (Ở đây ký hiệu P SH(Ω) là lớp hàm đa điều hòa dưới trong Ω).
Mệnh đề 1.1.3. [6] Hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn nguyên lý cực trị trong
miền bị chặn, tức là nếu Ω là một tập con mở liên thông bị chặn của Cn và

u ∈ P SH(Ω), thì u là hằng hoặc với mỗi z ∈ Ω,
u(z) < sup lim sup u(y).
ω∈∂Ω y→ω
y∈Ω

Định nghĩa 1.1.4. Cho Ω là một tập con mở trong Cn . Giả sử u : Ω → R là
một hàm đa điều hòa dưới. Khi đó, u được gọi là cực đại nếu với mọi tập con
compact G ⊂ Ω và mọi hàm nửa liên tục v trên G sao cho v ∈ P SH(G) và

v ≤ u trên ∂G, ta có v ≤ u trên G.
Ký hiệu M P SH(Ω) là tập hợp các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω.
Cho một miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu U

Ω là tập con compact tương đối trong

Ω.
4


Định nghĩa 1.1.5. Một miền bị chặn Ω ⊂ Cn được gọi là miền siêu lồi nếu
tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm, liên tục ρ : Ω → (−∞, 0) sao cho với

c < 0,
Ωc = {z ∈ Ω : ρ(z) < c}

Ω.

Cho u là đa điều hòa dưới trên miền Ω ⊂ Cn . Ký hiệu d = ∂ + ∂ và

dc = i(∂ − ∂).

Định nghĩa 1.1.6. Nếu u ∈ C 2 (Ω) thì toán tử

∂ 2u
(dd u) = (dd u) ∧ . . . ∧ (dd u) = 4 n!det
∂zj ∂ z¯k
c

n

c

c

n

n

dV,
1≤j,k≤n

với dV là độ đo thể tích trong Cn gọi là toán tử Monge-Ampère phức.
Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên Ω, tức là phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C0 (Ω) trên Ω,

C0 (Ω)

ϕ(ddc u)n .

ϕ→
Ω

Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn
địa phương trên Ω thì tồn tại dãy {um }m>1 ⊂ P SH(Ω) ∩ C ∞ (Ω) sao cho

um

u và {(ddc um )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon µ trên Ω tức là:
ϕ(ddc um )n =

lim
n

Ω

ϕdµ, ∀ϕ ∈ C0 (Ω).
Ω

Hơn nữa, µ không phụ thuộc vào việc chọn dãy {um } như trên, ta ký hiệu

(ddc u)n = µ và gọi là toán tử Monge-Ampère phức của hàm u.

5


1.2

Hàm Green đa phức

Định nghĩa sau đây về hàm Green đa phức được đưa ra và nghiên cứu đầu
tiên bởi Lelong (xem [6] và [7]).

Định nghĩa 1.2.1. Cho Ω là một miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Cho S :=

{a1 , . . . , aN } là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Hàm Green đa phức của
Ω với tập cực S được xác định như sau:
GΩ
S (z) := sup{u(z) : u ∈ P SH− (Ω), u(z) ≤ log|z − a| + O(1), ∀a ∈ S},
trong đó, ký hiệu P SH− (Ω) là tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới âm
trên Ω.
Hàm Green đa phức có một tính chất cơ bản sau đây (xem [6])
1. Hàm Green đa cực bất biến dưới nhóm các tự đồng cấu của Ω. Tổng quát
hơn, nếu Ω

Cm là một miền siêu lồi và nếu f : Ω → Ω là một ánh xạ

chỉnh hình thì với mọi z, a ∈ Ω, ta có
Ω
Ω
GΩ
{a} (z) ≥ G{f (a)} (f (z)) =: f ∗ G{a} (z).
Ω
Đặc biệt, nếu f là song chỉnh hình thì GΩ
{a} = f ∗ G{a} .

2. GΩ
{a} (z) là hàm đa điều hòa dưới âm với cực tại a.
3. GΩ
{a} là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω\ {a}.
4. Nếu Ω ⊂ Cn là một miền siêu lồi thì hàm GΩ (z, a) := GΩ
{a} x(z) là liên tục
trên Ω × Ω.

6


Hơn nữa, hàm Green đa phức GS là một đa điều hoà dưới hàm âm trên Ω
nên GS thỏa mãn tính chất sau đây.
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn , cho S = {a1 , a2 , ..., aN }
là một tập hữu hạn các điểm trong Ω. Khi đó, ta có các bất đẳng thức sau
N

Gaj (z) ≤ GS (z) ≤ min {Gaj (z)}.

(1.1)

j=1,N

j=1

Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm Green đa phức, hàm vế trái của bất
đẳng thức trên là một trong những hàm đa điều hoà dưới âm của các hàm lấy
supremun trong định nghĩa của GS . Mặt khác, hàm Green đa phức GS cũng
là một hàm trong họ các hàm Green được định nghĩa ở vế phải. Do đó, ta có
bất đẳng thức trên.
Tiếp theo, chúng ta có một số ví dụ về hàm Green đa phức trên các đa đĩa
đơn vị.
Ví dụ 1.2.3. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với cực tại

ω = (a, 0), a ∈ C được xác định bởi
G{(a,0)} (z) := max log

z1 − a

, log |z2 | .
1 − az1

Ví dụ 1.2.4. Trên song đĩa đơn vị D2 ⊂ C2 , hàm Green đa phức với các cực
trong S = {ω1 = (a1 , 0), ..., ωN = (aN , 0)} ⊂ D2 được xác định bởi


N

z1 − aj
, log |z2 | .
GS (z) = max
log


1
−
a
z
j
1
j=1
Tổng quát hơn, ta có ví dụ sau
7


Ví dụ 1.2.5. Trên đa đĩa đơn vị Dn ⊂ Cn . Khi đó, hàm Green đa phức với
cực w trên đa đĩa đơn vị Dn được cho bởi:

Gw (z) = max {log |Tw1 (z1 )|, . . . , log|Twn (zn )|} = max log

1≤j≤n

zj − wj
,
1 − wj zj

trong đó, Tw (z) là phép biến đổi M o¨bius của hình cầu đơn vị (xem [12, tr.
25-28]).

1.3

Họ iđêan các hàm chỉnh hình và hàm Green đa phức kết hợp
với họ iđêan các hàm chỉnh hình

Trong phần này, luận văn trình bày khái niệm về họ iđêan các hàm chỉnh
hình I và hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình GI
trên một miền siêu lồi bị chặn Ω trong Cn .
1.3.1

Họ iđêan các hàm chỉnh hình

Giả sử Ω là miền (tập mở và liên thông) siêu lồi bị chặn trong Cn sao cho

0 ∈ Ω. Ký hiệu O(Ω) = {f : Ω → C, f là hàm chỉnh hình trên Ω }. Khi đó,
với mỗi tập con S ⊂ Ω, ký hiệu I(S) = {f : Ω → C, f là hàm chỉnh hình,

f |S = 0} là họ iđêan các hàm chỉnh hình triệt tiêu tại những điểm trong S.
Trong luận văn, ta chỉ xét những iđêan I ⊂ O(Ω) sao cho tập hợp các không
điểm của chúng V (I) := {z ∈ Ω : f (z) = 0, ∀f ∈ I} ⊂ Ω là một tập hợp
hữu hạn. Các phần tử của I được định nghĩa một cách địa phương như sau:

Vì Ω là miền siêu lồi nên Ω là miền giả lồi. Khi đó, tồn tại một số hữu hạn
các phần tử sinh ψj ∈ O(Ω) thoản mãn với mọi f ∈ I , tồn tại các hàm chỉnh
8


hình hj ∈ O(Ω) sao cho f =

j

hj ψj (xem [3, tr. 190]).

Trong luận văn, chúng ta chỉ xét những iđêan I sao cho V (I) là một tập
hữu hạn. Cho p ∈ N∗ , ký hiệu I p là một iđêan sinh bởi các tích gồm p phần
tử của I .
Tiếp theo, chúng ta có khái niệm về độ dài iđêan và bội Hillbert-Samuell
của một iđêan.
1.3.2

Độ dài iđêan và bội Hillbert-Samuell của một iđêan

Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn sao cho 0 ∈ Ω.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử I là một họ iđêan các hàm chỉnh hình của O(Ω)
sao cho V (I) là tập hữu hạn. Khi đó,
(i) Độ dài của iđêan I , ta ký hiệu (I) được xác định như sau:

(I) := dim O(Ω)/I < +∞;
(ii) Bội Hillbert-Samuell của iđêan I , ký hiệu e(I) được xác định bởi

n!
(I k ) < +∞;

n
k→∞ k

e(I) := lim

(iii) Iđêan I ⊂ O(Ω) được gọi là iđêan tham số hóa hay iđêan giao đầy nếu I
là một iđêan có đủ n phần tử sinh.
Sau đây là một số ví dụ về độ dài của iđêan.
Ví dụ 1.3.2. Cho a ∈ Ω, ta định nghĩa
Ma := I{a} = z1 − a1 , ..., zn − an .

9


Khi đó, ta có
Ma = 1,

Mpa



n + p − 1
=
 , với p
n

1.

Đặc biệt, chúng ta quan tâm đến iđêan bình phương cực đại tại điểm không
M20 : M20 là tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) sao cho f (0) = 0

và các đạo hàm riêng của f ,

∂f
∂zj (0)

= 0, với mọi 1

j

n. Khi đó, với

M20 = n + 1.
Chứng minh. Thật vậy, ta có a ∈ Ω ⊂ Cn , a = (a1 , a2 , ..., an ), ai ⊂ C, i =

1, ..., n. Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → C, F(f ) := f (a) ∈ C. Khi đó,
I{a} = {f ∈ O(Ω) : f (a) = 0}. Do đó, nếu f ∈ I{a} thì F(f ) = 0. Suy ra,
f ∈ ker F ⇒ ker F = I{a} ⇒ O/I = O(Ω)/ ker F ∼
= ImF ⊂ C.
Vậy dim O/I = dim ImF = 1 ⇒ (Ma ) = 1.
Trong trường hợp với hai cực, ta có kết quả sau
Ví dụ 1.3.3. Cho S = {a1 , a2 } ⊂ Ω; a1 , a2 ∈ Cn . Khi đó, độ dài iđêan

(I(S)) = 2.
Chứng minh. Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → C2 , F(f ) := (f (a1 ), f (a2 )).
Với mọi f ∈ I(S) : f (a1 ) = f (a2 ) = 0 ⇒ F(f ) = 0 ⇒ f ∈ ker F và ngược
lại. Suy ra, ker F = I(S). Hơn nữa, O/I = O(Ω)/ ker F ∼
= ImF ⊂ Cn ⇒

(I(S)) = dim O/I = dim ImF . Ta sẽ chứng minh, ImF = C2 tức là chỉ
cần chỉ ra C2 ⊂ ImF . Giả sử, với bất kì x = (x1 , x2 ) ∈ C2 ta chỉ ra tồn

tại f ∈ O(Ω) sao cho F(f ) = (x1 , x2 ). Vì a1 = a2 nên tồn tại hai hướng
10


v1 = 0, v2 = 0 sao cho các đường thẳng phức
qua a2 ,

2 (z)

1 (z)

đi qua a1 nhưng không đi

đi qua a2 nhưng không đi qua a1 .

Đặt

F1 (z) :=

2 (z)
2 (a2 )

∈ C2 [z1 , z2 ], F2 (z) :=

1 (z)
1 (a1 )

∈ C2 [z1 , z2 ].

Hiển nhiên, Fj ∈ O(Ω), (j = 1, 2), Fj là các hàm chỉnh hình trên Ω. Với mọi

x = (x1 , x2 ) ∈ C2 , tồn tại hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) cho bởi f := x1 F1 +
x2 F2 . Suy ra, F(f ) := (f (a1 ), f (a2 )) = (x1 F1 (a1 ) + x2 F2 (a1 ); x1 F1 (a2 ) +
x2 F2 (a2 )) = (x1 ; x2 ). Vậy (I(S)) = dim F = dim C2 = 2.
Tổng quát hai ví dụ 1.3.2 và 1.3.3, ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.3.4. Cho N ∈ N và I là họ iđêan các hàm chỉnh hình triệt tiêu
tại N điểm phân biệt a1 , ..., aN . Khi đó,

I = N.

Chứng minh. Xét ánh xạ tuyến tính F : O(Ω) → CN xác định bởi F (f ) :=

f (a1 ), ..., f (aN ) , với mọi f ∈ O Ω . Rõ ràng, KerF = I . Do đó,

I =

dim O(Ω)/I = dim ImF . Vậy, ta chỉ cần chỉ ra rằng, ImF = CN . Thật vậy,
cho v là một hướng khác không trong Cn sao cho các đường thẳng phức lj
hướng v đi qua điểm aj và điểm ak ∈
/ lj , với mọi k = j, k, j = 1, ..., N . Đặt

Fj :=

l1 (z)...lˆj (z)...lN (z)
∈ C[z1 , ..., zn ], j = 1, ..., N.
l1 (aj )...lˆj (aj )...lN (aj )

Khi đó, Fj (aj ) = 1 và Fj (ak ) = 0, với mọi k = j, k, j = 1, ..., N . Suy ra,
với mọi (x1 , ..., xN ) ∈ CN , tồn tại hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) xác định bởi

f :=

N
j=1 xj Fj .

Suy ra, f (ak ) = xk , với mọi k = 1, ..., N .

11


Tiếp theo, để nghiên cứu về mối quan hệ độ dài iđêan và bội Hillbert Samuell, theo Định nghĩa 1.3.1 ta có e(I) ≥ (I). Dấu bằng chỉ xảy ra trong
một số trường hợp đặc biệt. Cụ thể, ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.3.5. [13] Giả sử V (I) = {a}. Khi đó, e(I) = (I) khi và chỉ khi

I là iđêan giao đầy.
1.3.3

Hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình

Khái niệm về hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình
được đưa ra và nghiên cứu bởi Rashkovskii và Sigurdsson năm 2005 (xem [9])
Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn , I là iđêan các hàm chỉnh hình trên

Ω sao cho V (I) là tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.6. Với mỗi a ∈ Ω, giả sử (ψa,i )i là họ các hàm sinh chỉnh
hình của I trong Ω. Khi đó, hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan I , ký
hiệu GI , được xác định bởi

GI (z) := sup{u(z) : u ∈ FI },
trong đó

FI := sup{u(z) : u ∈ P SH_ Ω , u(z)

max log |ψa,i |+O(1), ∀a ∈ Ω} (1.2)
i

Theo [9], hàm Green đa phức GI ∈ FI . Hơn nữa, hàm Green đa phức kết
hợp với họ iđêan I ,

GI (z) = max log |ψa,i (z)| + O(1),
i

12

(1.3)


thỏa mãn các tính chất (ddc GI )n = 0 trên Ω\V (I) và nếu V (I)

Ω thì GI (z)

bằng 0 tại biên của Ω. Mặt khác, hàm Green đa phức GI là hàm đa điều hoà
dưới duy nhất thoả mãn các tính chất này. Đặc biệt, với mọi p ∈ N và với mọi
iđêan luỹ thừa I p của iđêan I , ta có

GI p = p GI .

(1.4)

Các điều kiện trong Định nghĩa 1.3.6 trên đây chỉ được xét đến khi các điểm

cực a ∈ I . Dễ thấy, từ Định nghĩa 1.3.6 ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.3.7. [8] Nếu I ⊂ J thì GI ≤ GJ .
Đặc biệt, nếu S ⊂ Ω, S là tập hợp hữu hạn trong Ω và I = I(S), ta có
Bổ đề 1.3.8. [8] GI(S) = GS .
Mối quan hệ giữa trọng Monge-Ampère của hàm Green đa phức GI với bội
Hilbert-Samuel của iđêan I được cho bởi kết quả sau đây
Mệnh đề 1.3.9. Cho a ∈ Ω. Khi đó, nếu V I = {a} thì

ddc GI

n

= e I δa ,

trong đó δa là độ đo Dirac tại a.
Chứng minh. Trước hết, bằng cách chọn hằng số thích hợp, ta chuẩn hoá toán
tử ddc sao cho ddc log |z|

n

= δ0 với toán tử Monge-Ampère trong Cn . Do độ

dài của iđêan là hữu hạn và Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Theo Định lý B
của Cartan, ta chọn các phần tử sinh ψj ∈ O Ω của iđêan I . Với mọi f ∈ I ,
tồn tại các hàm chỉnh hình hj ∈ O(Ω) sao cho f =
13

j

hj ψj ([3, tr. 190]).

Theo giả thiết, V I = {a} và mối quan hệ (1.3) suy ra trọng Monge-Ampère
của hàm Green đa phức GI tại điểm a bằng trọng Monge-Ampère của hàm
1
2

log

|ψj |2 . Từ đó, theo [1, Bổ đề 2.1] suy ra
(ddc GI )n = e(I)δa .

Tiếp theo, để nghiên cứu sự hội tụ của các hàm Green đa phức, chúng ta
cần khái niệm sau về chính quy hóa của hàm đa điều hòa dưới gần điểm kì dị
của nó.
Định nghĩa 1.3.10. [10] Cho một hàm ϕ ∈ P SH− (Ω), chính quy hóa của
hàm ϕ tại điểm a ∈ Ω là cận trên của tất cả các hàm chính quy hóa gϕ của
hàm

sup{u ∈ P SH− (Ω) : u ≤ ϕ + O(1) gần a}.
Hàm gϕ là hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω\{ϕ = −∞}. Nếu ϕ bị chặn
địa phương gần biên của Ω thì gϕ = 0 trên ∂Ω. Rõ ràng, hàm ϕ ≤ gϕ . Hơn
nữa, nếu ϕ bị chặn địa phương và cực đại trên lân cận thủng của a thì ϕ(z) =

gϕ (z) + O(1), với z gần a, và trong trường hợp này thì ϕ trùng với hàm Green
đa phức với tập các điểm kì dị xác định bởi ϕ và (ddc gϕ )n (a) = (ddc ϕ)n (a)
vẫn đúng mà không cần giả thiết tính cực đại của ϕ.
Chúng ta đã biết rằng, hàm Green đa phức luôn nhỏ hơn hoặc bằng hàm
Lempert. Do đó, khi nghiên cứu các trường hợp bất đẳng thức này xảy ra nhỏ
hơn thực sự cho trường hợp các cực đơn, dẫn đến bài toán phải xét tập cực

14


S = Sε phụ thuộc vào tham số ε và các điểm cực trong Sε hội tụ đến cùng một
điểm khi ε → 0. Điều này dẫn đến nghiên cứu sự hội tụ của hàm Green đa
phức, limε→0 GSε . Trước hết, chúng ta có khái niệm về sự hội tụ của họ iđêan
các hàm chỉnh hình.

1.4

Sự hội tụ của họ iđêan các hàm chỉnh hình và sự hội tụ của
hàm Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình

1.4.1

Giới hạn của họ iđêan các hàm chỉnh hình

Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn , với 0 ∈ Ω. Ký hiệu O(Ω) là tập
các hàm chỉnh hình trên Ω. Đặt Sε = {a1 (ε), a2 (ε), ..., aN (ε)} ⊂ Ω là tập hữu
hạn các điểm trong Ω phụ thuộc ε. Giả sử lim aj (ε) = 0, 1 ≤ j ≤ N . Trong
ε→0

[8], với mỗi tập hữu hạn Sε ⊂ Ω, chúng ta kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh
hình triệt tiêu tại các điểm trong Sε , ký hiệu

Iε := I(Sε ) = {f ∈ O(Ω) : f (aj (ε)) = 0, 1 ≤ j ≤ N },
gọi là họ iđêan các hàm chỉnh hình kết hợp với Sε . Khi đó, hàm Green đa phức
kết hợp với họ iđêan Iε , ký hiệu Gε := GIε . Tiếp theo, giả sử A ⊂ C sao cho

0 ∈ A\A và ε ∈ A. Khi đó, chúng ta quan tâm đến sự hội tụ của Iε và Gε ,

khi A

ε → 0 trong trường hợp tổng quát và trong trường hợp đặc biệt khi

¯
Iε := I(Sε ). Sự hội tụ của họ các iđêan (Iε )ε∈A của các hàm chỉnh hình trên Ω
ở đây được hiểu là sự hội tụ theo topo của không gian Douady (Xem [8]). Cụ
thể, chúng ta có định nghĩa sau đây về giới hạn của họ iđêan các hàm chỉnh
hình.
15


Định nghĩa 1.4.1. [8] Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn . Khi đó,
giới hạn của họ iđêan các hàm chỉnh hình (Iε )ε∈A trên Ω được định nghĩa như
sau:
(i) Ta định nghĩa giới hạn infimum của họ iđêan các hàm chỉnh hình Iε

ε∈A

trong O(Ω), ký hiệu lim inf Iε , là tất cả các hàm chỉnh hình f ∈ O(Ω) sao
A ε→0

cho tồn tại dãy các hàm chỉnh hình (fε )ε sao cho fε ∈ Iε , với mọi ε ∈ A
ta có fε → f hội tụ đều địa phương trên Ω, tức là, fε → f hội tụ đều địa
phương trên các tập con compact của Ω, khi A

ε → 0.

(ii) Ta định nghĩa giới hạn supremum của họ iđêan các hàm chỉnh hình Iε

ε∈A

trong O(Ω), ký hiệu lim sup Iε , là iđêan của O(Ω) sinh ra bởi tất cả các
A ε→0

hàm chỉnh hình f trên Ω sao cho tồn tại một dãy con fj ∈ Iεj và fj → f
đều địa phương khi j → ∞, trong đó dãy εj → 0 trong A.
(iii) Nếu lim inf Iε = I = lim sup Iε thì ta nói rằng họ iđêan các hàm chỉnh
A ε→0

hình (Iε )ε∈A trong O(Ω) hội tụ đến I và ta viết lim Iε = I.
A ε→0

Theo Định nghĩa 1.4.1, dễ thấy với mọi f ∈ lim inf Iε thì f ∈ lim sup Iε . Do
đó, ta có hệ quả sau
Hệ quả 1.4.2. lim inf Iε ⊂ lim sup Iε .
A ε→0

A ε→0

Mặt khác, nếu (Iε )ε∈A là họ các iđêan các hàm chỉnh hình với độ dài hữu
hạn trong O(Ω), ta luôn có

(lim Iε ) = lim (Iε ).
ε→0

ε→0

16

(1.5)


Tiếp theo, đặt I∗ := lim inf Iε . Hơn nữa, giả sử rằng V I∗ = {0}. Khi đó, ta
ε→0

luôn có đẳng thức giữa giới hạn của hàm Green đa phức và giới hạn của hàm
Green đa phức kết hợp với họ iđêan các hàm chỉnh hình tương ứng, trước hết
ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.4.3. [8] Giả sử V I∗ = {0} . Khi đó, ta có

GI∗

lim inf GIε + O(1).
ε→0

Trong trường hợp khi hàm Green đa phức GI∗ hội tụ đều trên các tập con
compact của Ω\{0}, từ Mệnh đề 1.4.3 suy ra GI∗

g . Hơn nữa, trong [8,

Mệnh đề 1.2] cũng đã chứng minh được kết quả sau
Mệnh đề 1.4.4. (i) Nếu GIε hội tụ đều trên các tập con compact của Ω\{0}
tới hàm g thì Glim sup Iε

g.

ε→0

(ii) Đặc biệt, nếu họ iđêan các hàm chỉnh hình Iε hội tụ thì khi đó ta có

G lim Iε
ε→0

1.4.2

lim GIε .

ε→0

Điều kiện giao đầy đều của họ iđêan các hàm chỉnh hình

Trong phần này, để nghiên cứu khi nào xảy ra đẳng thức trong Mệnh đề
1.4.4 ở trên, tức là khi nào hàm Green đa phức kết hợp với iđêan giới hạn của
một họ các iđêan các hàm chỉnh hình trên Ω bằng với giới hạn của họ các hàm
Green đa phức kết hợp với họ iđêan đó. Và khi đó họ các hàm Green đa phức
sẽ hội tụ nếu họ iđêan kết hợp với nó thỏa mãn điều kiện giao đầy đều. Khái
niệm điều kiện giao đầy đều của họ iđêan các hàm chỉnh hình được định nghĩa
như sau
17


Định nghĩa 1.4.5. [8] Họ iđêan các hàm chỉnh hình (Iε ) được gọi là thỏa
mãn điều kiện giao đầy đều nếu và chỉ nếu với mọi ε ∈ A, tồn tại một hàm
chỉnh hình Ψ0 và các hàm chỉnh hình Ψε trong lân cận của Ω ⊂ Cn sao cho

Ψ0 là ánh xạ chỉnh hình riêng của Ω lên Ψ0 (Ω) và thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) {aj (ε), 1 ≤ j ≤ N } = Ψ−1
ε ({0}), với mọi ε ∈ A;
(ii) Với mọi ∀ε ∈ A, ε = 0, với mỗi z thuộc lân cận của aj (ε), 1 ≤ j ≤ N , ta

có

|log |Ψε (z)| − log |z − aj (ε)|| ≤ C(ε) < +∞;
(iii) lim Ψε (z) = Ψ0 =: (Ψ10 , . . . , Ψn0 ), hội tụ là đều trên Ω.
A ε→0

Từ các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.4.5 suy ra Iε = I(Sε ) =

< Ψ1ε , . . . , Ψnε >. Tiếp theo, chúng ta có kết quả
Định lý 1.4.6. [8] Giả sử (Iε )ε∈A là họ iđêan các hàm chỉnh hình của Ω thỏa
mãn điều kiện giao đầy đều. Đặt Sε = V (Iε ) và I0 =< Ψ10 , . . . , Ψn0 >. Khi đó,
ta có các khẳng định sau:
(i) lim Iε = I0 ;
ε→0

(ii) lim Gε = GI0 hội tụ đều địa phương trên Ω\{0}
ε→0

Sau đây, chúng ta có một ví dụ về giới hạn họ iđêan các hàm chỉnh hình và
giới hạn của hàm Green đa phức trong song đĩa đơn vị của C2 , với tập cực hữu
hạn Sε gồm bốn điểm cùng hội tụ về điểm gốc.
Ví dụ 1.4.7. Cho tập Sε ⊂ D2 ⊂ C2 gồm bốn điểm cùng hội tụ về điểm gốc
như sau Sε = {aε1 = (0, 0), aε2 = (ε, 0), aε3 = (0, ε), aε4 = (ε, ε)}. Cho (Iε ) là họ
18


iđêan các hàm chỉnh hình trên D2 sao cho V (Iε ) = Sε . Dễ dàng thấy rằng họ

(Iε ) thoả mãn các điều kiện giao đầy đều và Iε =< Ψ1ε (z), Ψ2ε (z) >, trong đó
Ψ1ε (z) = z1 (z1 −ε), Ψ2ε (z) = z2 (z2 −ε). Theo Định lý 1.4.6, suy ra tồn tại các giới

hạn lim Iε = I0 =< z12 , z22 > và lim Gε = GI0 = max{2log |z1 | , 2log |z2 |},
A ε→0

A ε→0

sự hội tụ là đều địa phương trên các tập con compact của D2 .

1.5

Một số kết quả về sự hội tụ của hàm Green đa phức

Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu một số kết quả về sự hội tụ của hàm
Green đa phức với tập cực S thuộc hình cầu đơn vị trong Cn . Ký hiệu || · || là
chuẩn Euclide, a·b :=

aj bj , B(a, r) = {z ∈ Cn : ||z −a|| ≤ r}, Bn = B(0, 1).

Trước hết, chúng ta có hai kết quả sau đây cần thiết cho việc chứng minh sự
hội tụ của hàm Green đa phức.
Mệnh đề 1.5.1. [11] Cho Ω là miền siêu lồi, bị chặn trong Cn , và K ⊂ Bn \{0},

N ∈ N sao cho với mọi η1 > 0, tồn tại δ1 > 0 chỉ phụ thuộc vào η1 , nếu
z1 , z2 ∈ K, ||z1 − z2 || ≤ δ1 và S ⊂ B(0, δ1 ) thì tồn tại một ánh xạ chỉnh hình
Φ xác định trên Bn thỏa mãn Φ|S = id|S , Φ(z1 ) = z2 và Φ(Bn ) ⊂ B(0, 1 + η1 ).
(z −a)·

Chứng minh. Đặt P (z) :=
a∈S

z1

P (z)
, Φ(z) := z +
(z2 −z1 ), z ∈ Bn .
||z1 ||
P (z1 )

1
Chọn bất kì δ1 ≤ minK z . Khi đó, |P (z1 )| ≥ 2−N minK ||z||. Mặt khác,
2
N
|P (z)| ≤ 2 , ∀z ∈ Bn . Suy ra, ||z1 − z2 || ≤ 2−2N ||z1 ||N η1 =: δ1 .
Mệnh đề 1.5.2. [11] Cho K ⊂ Bn \0 là một tập compact. Khi đó, với mọi

η > 0, tồn tại δ > 0 chỉ phụ thuộc vào η, N và K sao cho: Nếu z1 , z2 ∈
19