Rèn luyện các kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa cho học sinh trong dạy học hình học ở trường trung học cơ sở nước CHDCND lào

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
––––––––––––––––––––––

SONEPASIT SIVONGSAY

RÈN LUYỆN CÁC KĨ NĂNG TƯƠNG TỰ HÓA
VÀ ĐẶC BIỆT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ
NƯỚC CHDCND LÀO
Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Cao Thị Hà

THÁI NGUYÊN - 2017


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu
và kết quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực, chưa từng được
công bố trong bất kì một công trình của tác giả nào khác.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

SONEPASIT SIVONGSAY

i

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học
PGS. TS Cao Thị Hà, đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện
luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, khoa sau đại học, khoa Toán,
các thầy cô giáo giảng dạy và toàn thể các bạn học viên lớp cao học Lí luận và
phương pháp dạy học bộ môn Toán K23 - Trường Đại học Sư Phạm Thái
Nguyên đã tận tình giảng dạy, góp nhiều ý kiến quý báu cho tôi trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu khoa học và làm luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, các em học
sinh của Trường Năng Khiếu và Dự Bị đại học dân tộc Viêng Chăn, thủ đô
Viêng Chăn đã giúp đỡ tôi trong quá trình nghiên cứu.
Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian có hạn và năng lực của bản
thân còn nhiều hạn chế trong kinh nghiên cứu, nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp, chỉ bảo của các thầy,
cô giáo và các bạn đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 5 năm 2017
Tác giả luận văn

SONEPASIT SIVONGSAY

ii


MỤC LỤC
Lời cam đoan ........................................................................................................ i
Lời cảm ơn ........................................................................................................... ii
Mục lục ............................................................................................................... iii
Danh mục các bảng............................................................................................. iv

Danh mục các hình .............................................................................................. v
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................... 3
4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................................. 3
5. Giả thuyết khoa học ..................................................................................... 3
6. Dự kiến cấu trúc luận văn ............................................................................ 3
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.............................................. 4
1.1. Tương tự hóa ............................................................................................. 4
1.1.1.Tương tự là gì? ................................................................................................. 4
1.1.2. Tương tự hóa trong toán học ......................................................................... 6
1.2. Đặc biệt hóa............................................................................................... 8
1.3. Các thao tác tư duy liên quan đến hoạt động tương tự hóa và đặc biệt hóa .. 11
1.3.1. Phân tích - tổng hợp......................................................................................11
1.3.2. Dự đoán thông qua so sánh..........................................................................15
1.3.3. Khái quát hóa ................................................................................................17
1.4. Tầm quan trọng của việc rèn luyện các kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt
hóa cho học sinh trong quá trình DH ............................................................. 18
1.5. Dạy học giải toán hình học ..................................................................... 23
1.5.1. Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học ........................................23
1.5.2. Vai trò của bài tập hình học với việc rèn luyện các kĩ năng tương tự hóa
và đặc biệt hóa của học sinh ...................................................................................25

iii


1.6. Thực trạng việc tổ chức dạy học hình học cho học sinh ở trường trung
học cơ sở nước cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ........................................... 30
1.6.1. Thuận lợi trong dạy học hình học cho học sinh ở trường trung học cơ sở

nước cộng hòa dân chủ nhân dân Lào ...................................................................30
1.6.2. Khó khăn trong dạy học hình học cho học sinh khá giỏi ở trường trung
học cơ sở nước cộng hòa dân chủ nhân dân Lào .................................................31
1.7. Kết luận chương 1 ................................................................................... 32
Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TƯƠNG TỰ
HÓA VÀ ĐẶC BIỆT HÓA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC HÌNH
HỌC Ở TRƯỜNG THCS ............................................................................... 33
2.1. Sơ lược về nội dung Hình học trong chương trình môn Toán ở trường
THCS nước CHDCND Lào ........................................................................... 33
2.2. Một số biện pháp rèn luyện kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa trong
DH Hình học cho HS trường THCS nước CHDCND Lào ............................ 34
2.2.1.Biện pháp 1: Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa cho học
sinh trong hoạt động tìm kiếm lời giải bài toán ....................................................34
2.2.2. Biện pháp 3: Rèn luyện kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa cho HS
trong việc đề xuất bài toán mới ..............................................................................45
2.3. Kết luận chương 2 ................................................................................... 57
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ...................................................... 58
3.1. Mục đích thực nghiệm ............................................................................ 58
3.2. Nội dung thực nghiệm ............................................................................. 58
3.3. Đối tượng thực nghiệm sư phạm............................................................. 59
3.4. Triển khai thực nghiệm ........................................................................... 59
3.5. Đánh giá kết quả thực nghiệm ................................................................ 75
3.6. Kết luận chung về thực nghiệm .............................................................. 83
KẾT LUẬN....................................................................................................... 84
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 85

iv


DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1: Nội dung thực nghiệm sư phạm ........................................................ 58
Bảng 3.2: Chất lượng học tập học kì I năm học 2016 - 2017 của hai lớp 8A
và 8B trường năng khiếu và dự bị đại học dân tộc viêng chăn,
huyện Saithany, thủ đô Viêng Chăn .................................................. 59
Bảng 3.3: Thời gian thực nghiệm sư phạm ....................................................... 60
Bảng 3.4: Kết quả điểm kiểm tra lớp 8A và lớp 8B........................................... 82

iv


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phát huy nguồn lực con người được coi là yếu tố cơ bản để phát triển xã
hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững. Sự nghiệp phát triển đất nước ta
trong giai đoạn hiện nay đòi hỏi chúng ta phải có một nguồn nhân lực tương
xứng, đó là những con người có lòng yêu nước, có ý chí, có sức khỏe và giỏi về
chuyên môn nghiệp vụ. Vì vậy, phát triển giáo dục và đào tạo được coi là một
trong những động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại
hóa. Chính vì vậy, để có thể đào tạo được những con người phát triển toàn diện,
một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, làm sao cho thông qua
quá trình học tập người học không chỉ học được kiến thức đã học vào cuộc sống.
Nghị quyết hội nghị lần thứ VIII ban chấp hành trung ương Đảng nhân
dân cách mạng Lào (năm 2006) và chiến lược giáo dục từ năm 2006 đến 2020,
kế hoạch giáo dục khóa VII (2010 – 2015 ) nêu rõ: Để giải phóng đất nước
vượt qua đất nước nghèo trong năm 2020 nên đào tạo cho con người có kiến
thức cao, có tay nghề cao, tự chủ sáng tạo, có khả năng vâ ̣n du ̣ng, thực hành
của người ho ̣c, qua đó mà góp phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất
nước.... Một trong những yêu cầu quan trọng mà chương trình nhấn mạnh đến
đó là “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy được tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc

điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh
phương pháp tự học, khả năng hợp tác” đồng thời cũng yêu cầu các hình thức
tổ chức giáo dục cần “ đảm bảo chất lượng giáo dục chung cho mọi đối tượng
và tạo điều kiện phát triển năng lực cá nhân học sinh”. “Giáo viên chủ động
lựa chọn vận dụng các phương pháp và hình thức tổ chức giáo dục cho phù hợp
với nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể”.
Mục tiêu giáo dục trung học cơ sở của Nước CHDC nhân dân lào là giúp
HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ

1


bản nhằm hình thành nhân cách con người xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách
và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên cao hoặc đi vào cuộc
sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ tổ quốc.
Tương tự hóa và đặc biệt hóa là những thao tác tư duy có vai trò rất quan
trọng trong quá trình dạy học toán ở trường trung học cơ sở. Tương tự và đặc
biệt hóa là phương pháp giúp chúng ta mò mẫm, dự đoán để tìm lời giải của bài
toán, mở rộng, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức và góp phần quan trọng trong
việc hình thành những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.
Trong trường phổ thông, môn Toán được xác định là môn học có vai trò
to lớn trong việc hình thành và phát triển những phẩm chất trí tuệ cho HS. Tuy
nhiên trong thực tiễn DH, việc phát triển những phẩm chất trí tuệ cho HS vẫn
chưa được nhiều giáo viên quan tâm và đối với nhiều GV Toán của Nước
CHDCND Lào đây cũng là một công việc khó khăn. Vậy làm thế nào để có thể
giúp GV Toán nhận thức được vai trò quan trọng của việc hình thành các phẩm
chất trí tuệ cho HS trong quá trình DH? Làm thế nào để GV có thể hình thành
được tốt nhất các phẩm chất đó cho HS? Để trả lời câu hỏi đó đã có một số công
trình nghiên cứu của các tác giả nghiên cứu về cơ chế và đề xuất các biện pháp sư
phạm để phát triển những phẩm chất trí tuệ cho HS trong quá trình DH nói chung

và DH Toán nói riêng. Tuy nhiên vấn đề nghiên cứu để phát triển các phẩm chất
trí tuệ cho HS khá giỏi cấp Trung học cơ sở của Nước CHDCND Lào thông qua
DH Hình học vẫn còn là vấn đề mở. Với các lí do trên tôi lựa chọn đề tài “Rèn
luyện các kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa cho học sinh trong dạy học
Hình học ở trường trung học cơ sở Nước CHDCND Lào”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu để xuất một số biện pháp sư phạm rèn luyện các kĩ năng
tương tự hóa và đặc biệt hóa cho học sinh trong dạy học Hình học ở trường
Trung học cơ sở Nước CHDCND Lào.
2


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn sẽ trả lời các câu hỏi sau:
- Kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa của HS là gì? Vai trò của kĩ năng
tương tự hóa và đặc biệt hóa trong quá trình học tập?
- Dạy học hình học có những ưu, nhược điểm gì trong việc rèn luyện các
kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa cho học sinh?
- Những tác động sư phạm nào có thể rèn luyện được các kĩ năng tương tự
hóa và đặc biệt hóa cho học sinh trong DH Hình học?
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu về lý luận và
phương pháp dạy học môn Toán, các tài liệu nghiên cứu có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp điều tra, quan sát: Dự giờ thăm lớp, tìm hiểu, trao đổi ý
kiến với một số giáo viên giàu kinh nghiệm, dạy giỏi Toán trung học cơ sở về
những vấn đề liên quan đến đề tài.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Để kiểm nghiệm một số kết quả
nghiên cứu trong thực tiễn dạy học ở trường trung học cơ sở.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được một số biện pháp sư phạm phù hợp để rèn cho HS các

kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa và vận dụng được chúng vào trong quá
trình DH Hình học thì không những học sinh đạt kết quả cao trong học tập mà
còn đáp ứng mục tiêu phát triển tư duy của học sinh trường THCS của nước
CHDCND Lào.
6. Dự kiến cấu trúc luận văn
Chương I. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương II. Các biện pháp rèn luyện kĩ năng tương tự hóa và đặc biệt hóa
cho học sinh trong dạy học hình học ở trường THCS
Chương III. Thực nghiệm sư phạm

3


Chương 1
CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tương tự hóa
1.1.1.Tương tự là gì?
Từ tương tự có nguồn gốc từ “αναλογια”, một từ toán học của Hy Lạp từ
này có nghĩa là sự bằng nhau của hai tỉ số.
Theo từ điển tiếng việt [tr.1097] tương tự là sự giống nhau về một mặt
nào đó của hai đối tượng. Theo từ điển Bách khoa toàn thư [34], tương tự là sự
giống nhau trong một số mặt, tính chất và quan hệ giữa những đối tượng không
đồng nhất với nhau.
Dưới góc độ triết học, tương tự là dựa trên việc phân tích những cái riêng
để tìm ra các thuộc tính, đặc điểm chung, từ đó suy ra các thuộc tính chung
khác của chúng. Bên cạnh đó, tương tự cũng yêu cầu phải chỉ ra những đặc
điểm khác nhau hay cái đơn nhất của các cái riêng. Quá trình này tuân theo quy
luật của phép duy vật biện chứng [10].
Dưới góc độ tâm lý học, theo Helmar Gust và các cộng sự [29], tương tự
được áp dụng giữa các hình mẫu hoặc các trường hợp cụ thể, mà những gì được

biết đến về một hình mẫu này được sử dụng để suy ra thông tin mới về hình
mẫu khác. Trực giác là yếu tố cơ bản của tương tự khi có sự tương đồng trên
các tình huống khác nhau. Trong nhận thức khoa học, với một tình huống hiện
tại, gợi nhớ là quá trình nhắc lại về một tình huống đã biết. Khi hai tình huống
hiện diện trong trí nhớ, lập tương ứng có thể xảy ra. Hình 1.1 dưới đây sẽ minh
họa quá trình thực hiện tương tự và liên quan đến khả năng nhận thức.

4


Trí nhớ
Đầu vào:
Nguồn và
đích

Gợi nhớ

Lập luận

Sáng tạo

Lập tương ứng

Học tập bằng
trừu tượng

Chuyển đổi

Đầu ra:
Phép

tương tự

Học tập bằng
chuyển đổi

Hình 1.1. Tương tự trong quá trình nhận thức (theo [29])
- Trí nhớ: Thông tin được lưu trữ trong bộ nhớ và có thể xuất hiện lại
trong các trường hợp nhất định. Khi tiếp xúc với những tình huống mới (có
chứa những chi tiết khác so với kinh nghiệm đã có), quá trình gợi nhớ lại
những thông tin tương tự đã biết sẽ xảy ra.
- Lập luận: Áp dụng các đặc điểm, quy tắc từ nguồn, lập luận rút ra
những đặc điểm, quy tắc của đích. Khả năng đúng đắn của tương tự càng cao
khi có càng nhiều điểm tương đồng giữa nguồn và đích.
- Học tập bằng chuyển đổi: Học tập bằng chuyển đổi được thực hiện
bằng cách chuyển các quy tắc, đặc điểm của nguồn thành các quy tắc, đặc điểm
của đích. Quá trình lập tương ứng liên kết giữa nguồn và đích tạo ra một quan
hệ tương tự giữa chúng.
- Học tập bằng trừu tượng: Học tập bằng trừu tượng được thực hiện
bằng việc xác định cấu trúc chung của nguồn và đích một cách tổng quát. Sau
đó, khái quát và sàng lọc các đặc điểm tương tự giữa nguồn và đích để xác định
nguyên tắc chung áp dụng trong nhiều trường hợp.
- Sáng tạo: Sáng tạo là tạo ra một ý tưởng, hành động, hoặc đối tượng
mới có giá trị. Tương tự có thể được xem như là một cách để sáng tạo, vì chúng
có thể đưa ra các tri thức mới thông qua một tri thức tương tự đã biết.

5


Theo quan điểm Giáo dục học và cấu trúc thì tương tự được xem xét
như sau:

Theo G. Polya (1997), tương tự là một kiểu giống nhau nào đó. Những
đối tượng phù hợp với nhau trong những mối quan hệ được quy định là những
đối tượng tương tự. Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong các
mối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng.
Theo Hativah (trích theo [33, tr. 163-165]), được định nghĩa như là “sự
so sánh giữa những vật nói chung khác nhau nhưng nổi bật lên là sự giống nhau
ở vài khía cạnh thích hợp”. Vật làm cơ sở cho tương tự, là phần tử để so sánh,
được gọi là nguồn; trong khi đó, những vật được giải thích hoặc được học nhờ
sử dụng tương tự được gọi là đích. Sử dụng tương tự là một quá trình liên quan
đến sự trao đổi giữa nguồn và đích.
Trong luận văn, chúng tôi xem xét tương tự hóa là suy luận trong đó kết
luận về sự giống nhau về các dấu hiệu của một số đối tượng được rút ra từ sự
giống nhau về các dấu hiệu khác của các đối tượng ấy
1.1.2. Tương tự hóa trong toán học
Người ta thường xét sự tương tự hóa trong toán học trên các khía
cạnh sau:
- Hai phép chứng minh là tương tự nếu đường lối, phương pháp chứng
minh là giống nhau.
- Hai hình là tương tự nếu chúng có nhiều tính chất giống nhau hay nếu
vai trò của chúng giống nhau trong vấn đề nào đó, hoặc giữa các phần tử tương
ứng của chúng có quan hệ giống nhau.
-Hai tính chất là tương tự nếu chúng biểu diễn các yếu tố hoặc các thuộc
tính của hai hình tương tự.
Chẳng hạn, đường thẳng trong mặt phẳng tương tự với mặt phẳng trong
không gian vì trong mặt phẳng thì đường thẳng là đường đơn giản nhất và mặt
phẳng trong không gian là mặt đơn giản nhất. Có nhiều định lý vẫn đúng nếu
thay “đường thẳng” bởi “mặt phẳng” và ngược lại. Chẳng hạn định lý “hai

6

đường thẳng (hai mặt phẳng) cùng song song với đường thẳng (mặt phẳng) thứ
ba thì song song với nhau”.
Tam giác trong hình học phẳng được xem tương tự với tứ diện trong hình
học không gian vì tam giác là hình có diện tích hữu hạn được giới hạn bởi một
số đường thẳng tối thiểu, còn tứ diện là hình có thể tích hữu hạn được giới hạn
bởi một số mặt phẳng tối thiểu. Mặt khác chúng ta có thể xem tam giác tương
tự với tứ giác, ngũ giác,…vì chúng đều là trường hợp đặc biệt của đa giác.
Ngoài ra, chúng ta có thể xem tam giác tương tự với hình chóp vì trong mặt
phẳng cho một đoạn thẳng và một điểm không thuộc đoạn thẳng đó, nối điểm
đã cho với hai đầu mút của đoạn thẳng ta được một tam giác. Trong không gian
cho một đa giác và một điểm không thuộc mặt phẳng chứa đa giác đó, nối điểm
đó với các đỉnh của đa giác ta sẽ có một hình chóp. Như vậy, xét về cấu tạo tam
giác và hình chóp là hai hình tương tự.
Tính chất đường cao của tam giác tương tự với tính chất các đường cao
của hình tứ diện. Với ý nghĩa đó từ các đường cao, đường trung tuyến, đường
phân giác của tam giác có thể đề xuất và chứng minh các tính chất tương tự của
đường cao, mặt phẳng phần giác của tứ diện.
Phép tương tự hóa được xem như là tiền thân của khái quát hóa, bởi vì
việc chuyển từ một trường hợp riêng này sang một trường hợp riêng khác của
cùng một cái tổng quát, là một bước để đi tới những trường hợp riêng bất kì của
cùng một cái tổng quát đó. Nhiều khi học sinh đã có một sự hình dung nhất
định về cái chung nhưng chưa hiểu nó một cách đầy đủ, chỉ có thể đưa ra
những hiện tượng riêng lẻ coi như đại biểu của cái chung. Vì thế trong những
trường hợp nhất định, ta có thể coi sự thực hiện phép tương tự như là biểu hiện
của khái quát hóa.
Ví dụ 1.1: Cho hình thoi ABCD. Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh
của nó. Chứng minh rằng M, N, P, Q là bốn đỉnh của hình chữ nhật.
Trong ∆ABC có: MN là đường trung bình nên MN // AC
Trong ∆ADC có PQ là đường trung bình nên PQ // AC

7


Suy ra MN // PQ

(1)

Tương tự NP // MQ

(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình
bình hành (3) (hai cặp cạnh song song)

Hình 1.4

Mặt khác BD ⊥ AC (hai đường chéo của hình thoi vuông góc nhau)
Nên suy ra MN ⊥ MQ hay QMN  90 (4)
Từ (3) và (4) ta được MNPQ là hình chữ nhật (hình bình hành có một
góc vuông).
Như vậy trong ví dụ này chúng tôi đã khai thác vai trò như nhau của 4
điểm M, N, P, Q để rút ra kết luận NP // MQ sau khi đã chứng minh được
MN // PQ.
1.2. Đặc biệt hóa
Theo G.Polya. “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập
hợp đã cho”. Hay nói cách khác đặc biệt hóa chính là quá trình đi từ cái chung
đến cái riêng, là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lí
bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể.

Những dạng đặc biệt hóa thường gặp trong môn toán có thể được biểu
diễn theo sơ đồ sau:
Đặc biệt hóa

Đặc biệt hóa từ
cái tổng quát đến cái
riêng lẻ

Đặc biệt hóa từ
cái riêng đến cái
riêng hơn

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ đã biết

Đặc biệt hóa tới cái
riêng lẻ chưa biết
Hình 1.5
8


Ví dụ 1.2: Sơ đồ sau thể hiện một hệ thống phân loại đa giai đoạn.

Hình 1.6
Chẳng hạn, chúng ta đặc biệt hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu đa giác
sang việc nghiên cứu đa giác đều. Từ việc nghiên cứu đa giác đều ta lại đặc biệt
hóa để nghiên cứu tam giác đều. Đó là đặc biệt hóa từ cái riêng đến cái riêng hơn.
Đặc biệt hóa là suy luận chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng
sang một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.
Đặc biệt hóa có tác dụng kiểm nghiệm lại kết quả trong những trường

hợp riêng hoặc để tìm ra kết quả khác. Nói riêng, trong giải toán, việc xét
trường hợp đặc biệt của một bài toán nhiều khi giúp ta giải được bài toán hoặc
giúp ta tìm thấy hướng giải của bài toán.
Ta dùng đặc biệt hóa để minh họa, giải thích những khái niệm, định lí
tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể. Đặc biệt hóa thường được sử
dụng trong các bài toán dựng hình, tìm quĩ tích, phương pháp này giúp chúng ta

9


mò mẫm, dự đoán quĩ tích trên cơ sở đó hình thành phương pháp chứng minh
cho toàn bộ bài toán.
Ví dụ 1.3: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Điểm M di chuyển trên
đoạn thẳng AB . Dựng trên mặt phẳng bờ AB chứa điểm D hai hình vuông
AMNP và BMEF . Chứng minh rằng AN và BE cùng đi qua một điểm cố định.

Đây là một bài toán của học
sinh lớp 9, khi dạy học sinh cách
giải ta nên gợi ý cho học sinh xét vị
trí đặc biệt của điểm M . Xét điểm M là
trung điểm đoạn thẳng AB , khi đó
điểm N trùng với điểm E và trùng với tâm O
của hình vuông ABCD.

Hình 1.7

Từ đó học sinh có thể dự đoán AN và BE luôn đi qua giao điểm O của
hai đường chéo của hình vuông ABCD .
Việc chứng minh rằng AN và BE cùng đi qua một điểm cố định rất đơn
giản: Vì DAC = DAN = 45 , điểm N nằm trong hình vuông ABCD. Suy ra A,

N, C thẳng hàng. Tương tự ta có B, E, D thẳng hàng. Vậy AN và BE cùng đi
qua giao điểm O của AC và BD.
Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa thường được vận dụng
trong tìm tòi, giải toán. Từ một tính chất nào đó muốn khái quát hóa ta thử đặc
biệt hóa. Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì ta mới tìm cách chứng minh
dự đoán từ khái quát hóa. Nhưng nếu sai thì dừng lại.
Ví dụ 1.4: Cho tam giác ABC cân tại A(A  90 ) đường cao BH. Chứng
minh rằng:

1
2B
. [26; tr.3]

CH BC 2

Để chứng minh

1
2B
ta tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD  AC

CH BC 2

10


1
2

Do đó AB  AC  AD  CD.

Đặc biệt tam giác BCD có đường trung tuyến AB
1
2

ứng với cạnh CD và AB  CD nên tam giác
BCD vuông tại B.
Xét BCD vuông tại B, đường cao BH,
ta có: BC 2  CD.CH  2 AD.CH
Suy ra BC 2  2 AB.CH (Vì CD  2AB ).
Do đó

Hình 1.8

1
2B

CH BC 2

Nhận xét: Đề bài cho BH là đường cao nhưng chưa phải đường cao
tương ứng với cạnh huyền của tam giác vuông. Vì vậy, ta vẽ thêm hình phụ để
tạo ra tam giác vuông đỉnh B sao cho BH là đường cao ứng với cạnh huyền rồi
vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông. Ta cũng có thể
vẽ hình phụ theo cách khác: Qua B vẽ một đường thẳng vuông góc với BC cắt
tia CA tại D. Cách này cũng tạo ra một tam giác vuông với BH là đường cao
ứng với cạnh huyền.
1.3. Các thao tác tư duy liên quan đến hoạt động tương tự hóa và đặc biệt hóa
1.3.1. Phân tích - tổng hợp
Theo Hoàng Chúng: “Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành
từng phần, hoặc tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái
toàn thể đó”; “Tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của cái toàn thể, hoặc

kết hợp lại những thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
đó” [2, Tr 16].
Theo Từ điển Tiếng Việt: “Phân tích là phân chia thật sự hay bằng tưởng
tượng một đối tượng nhận thức, ra thành các yếu tố, trái với tổng hợp; tổng hợp
là tổ hợp bằng tưởng tượng hay thật sự, các yếu tố riêng rẽ nào đó làm thành
một chỉnh thể, trái với phân tích” [12, Tr 746, 979].

11


Theo triết học: “Phân tích là phương pháp phân chia cái toàn thể ra thành
từng bộ phận, từng mặt, từng yếu tố để nghiên cứu và hiểu được các bộ phận, mặt,
yếu tố đó; tổng hợp là phương pháp dựa vào sự phân tích và liên kết, thống nhất các
bộ phận, mặt, các yếu tố, để nhận thức được cái toàn thể” [25, Tr 86].
Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ
thống thành những vật, tách một vật thành những bộ phận riêng lẻ; Tổng hợp là
liên kết (trong tư tưởng) những bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành
một hệ thống” [9, Tr 46].
Từ những định nghĩa trên có thể hiểu: phân tích là dùng trí óc chia cái
toàn thể ra thành từng phần (những vật), là chia nhỏ là tách một vật thành
những bộ phận riêng lẻ hoặc tách ra từng thuộc tính từng yếu tố hay khía cạnh
riêng biệt nằm trong cái toàn thể để tìm mối liên hệ giữa các phần, các bộ phận,
các yếu tố đó và hiểu được chúng; tổng hợp là dùng trí óc hợp lại các phần của
cái toàn thể, là kết hợp lại liên kết những bộ phận riêng lẻ hoặc kết hợp thống
nhất các thuộc tính các yếu tố hay các khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn
thể đó để nhận thức được cái toàn thể. Ta có thể nêu lên những biểu hiện cụ thể
của HĐ phân tích và tổng hợp như sau:
• Những biểu hiện cụ thể của HĐ phân tích và tổng hợp

Phân tích:

+ Thao tác chia nhỏ cái toàn thể thành từng phần;
+ Tìm mối liên hệ giữa các phần với cái toàn thể để hiểu cái toàn thể sâu
sắc hơn.
Tổng hợp:
+ Kết hợp lại, liên kết, thống nhất các phần trong cái toàn thể;
+ Nhận thức được cái toàn thể.
• Những biểu hiện cụ thể của mối quan hệ giữa phân tích và tổng hợp

trong dạy học giải bài tập hình học:

12


(1) Tổng hợp định hướng cho phân tích: tổng hợp các kết quả đã biết,

xem xét BT có những cách giải nào, định hướng cho phân tích BT; liên hệ với
những kiến thức đã biết cần huy động để giải BT.
(2) Phân tích BT tìm cách giải: phân tích yếu tố đã cho và yếu tố phải

tìm, tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đó; chia BT ra các trường hợp khác nhau,
sau đó xét từng trường hợp riêng.
(3) Tổng hợp - trình bày lời giải BT: tổng hợp các kết quả của HĐ phân

tích có được lời giải và trình bày lời giải của BT. Sau đó tiếp tục mở rộng phát
triển BT ở khía cạnh tổng hợp kết quả đã có của BT định hướng cho HĐ phân
tích tiếp theo để có lời giải khác hay có BT mới hay khái quát thành tri thức
phương pháp.
Ví dụ 1.5: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC  3 5cm . Hình vuông
ADEF cạnh 2 cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC. Tính các độ dài
AC, AB?

Hoạt động phân tích bài toán tìm cách giải
- Bài toán yêu cầu tính chiều dài của AB, AC
- Muốn tính được AB, AC thì ta phải tìm DB và FC
- Ta đặt DB  x(cm),FC  y(cm)
Hình 1.9

ABADx2x
 AC  AF  y  2  y

- Muốn tính được DB, FC dựa vào xét 2 tam giác đồng dạng là BDE và EFC
Hoạt động tổng hợp - trình bày lời giải
Đặt DB  x(cm),FC  y(cm)
Xét tam giác BDE và EFC có: BD EF (vì ADEF là hình vuông)
⇒∆BDE ∼ ∆EFC (vì cạnh của 2 tam giác song song với nhau)



DB FC
x 2

   x. y  4 (1)
FE DE
2 y

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

13


BC 2  AB2  AC2

 (3 5 ) 2  ( x  2) 2  ( y  2) 2
 45  x 2  4x  4  y 2  4 y  4
 37  x 2  y 2  4( x  y)
Đặt x  y  A(A  2) (2)
Kết hợp (1) và (2) ta được x, y là nghiệm của phương trình bậc hai:

A 2  8  4A  37  (A  5)( A  9)  0
⇔ A = 5 ( thỏa mãn) hoặc A = - 9 < 0 (loại)
Với A  5  y  5  x . Thay vào (1) ta được:

x 2  5x  4  0  (x  1)( x  4)  0  x  1, x  4
Với x  1  y  4 , khi đó AB = 3 cm, AC = 6 cm
Với x  4  y  1, khi đó AB = 6 cm, AC = 3 cm
 Hoạt động phân tích và tổng hợp với HĐ đặc biệt hóa đề xuất bài
toán mới
Ở ví dụ 1.5 ta xét trường hợp một tam giác vuông cân với một đường
trung tuyến thì hai tam giác ma ta xét sẽ đồng dạng theo trường hợp nào mà ta
đã được. Ta có bài toán mới như sau:
Ví dụ 1.5.1: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, đường trung tuyến BM.
Gọi D là hình chiếu của C trên BM, H là hình chiếu của D trên AC. Tính

AH
?
DH
Hoạt động phân tích bài toán tìm cách giải
- Nhận thấy bài toán trên thuộc dạng tính tỉ số đoạn thẳng, ta nghĩ tới
việc tính lần lượt AH và DH hoặc dựa vào một tỉ số đã biết rồi suy ra tỉ số cần
tìm (có thể dựa vào tam giác đồng dạng để tìm)
- Củng cố kiến thức về hai tam giác đồng dạng, tính chất đường trung
tuyến, hình chiếu

14


- Dựa vào những kiến thức đã biết về hệ thức lượng đã biết để tìm lời giải
Hoạt động tổng hợp - trình bày lời giải
Xét ∆HCD và ∆ABM có:

H  A  90 ( giả thiết )
ABM  HCD ( vì ∆ABH = ∆ACH )

⇒ ∆HCD ∽ △ABM ( g.g )
⇒

HC HD

mà AB = 2AM (theo giả thiết)
AB AM

nên HC = 2HD
Đặt DH = x thì HC = 2x

Hình 1.10

Xét ∆ vuông MDC có:
1
DH 2  HC.HM hay x 2  HM .2x  HM= .x
2

1

5
AM  MC  HM  HC  2x  x  x
2
2
 AH  AM  HM 


5
1
x  x  3x
2
2

AH
 3x : x  3
DH

Vậy

AH
3
DH

1.3.2. Dự đoán thông qua so sánh
So sánh là quá trình nhận biết và làm rõ những đặc điểm giống nhau và
khác nhau giữa các đối tượng nhận thức.
So sánh là tiền đề cho tương tự hóa. So sánh giúp tìm ra các đặc điểm
giống nhau của các đối tượng để suy ra những thuộc tính chung, tương tự giữa
hai đối tượng. Bên cạnh đó, so sánh cũng giúp tìm ra những đặc tính khác nhau
giữa các đối tượng để tìm ra những chỗ mà sử dụng tương tự hóa cho kết quả

không đúng, hay những điểm dị biệt của hai đối tượng.

15


 Dự đoán dựa vào đặc biệt hóa:
Ví dụ 1.6: Cho nửa đường tròn đường kính AOB và điểm M thuộc nửa
đường tròn. Kẻ MH ⊥ AB, trên tia OM lấy điểm N sao cho ON = MH. Tìm quỹ
tích điểm N khi M thay đổi trên nửa đường tròn.
Phân tích:
- Yếu tố cố định: nửa đường tròn đường kính
AOB
- Yếu tố không đổi: MH ⊥ AB, ON = MH
- Yếu tố thay đổi: điểm M, H, N

Hình 1.11

Dự đoán:
Khi M trùng A hoặc trùng B thì N trùng O. Gọi I là điểm chính giữa
cung AB. Khi M trùng I thì N trùng I. Nếu M là điểm bất kì thuộc nửa đường
tròn, xác định vị trí của N. Ba điểm O, I, N không thẳng hàng nên dự đoán quỹ
tích của N là đường tròn đi qua O, I, N trong đó O, I, là cố định.
 Từ tương tự hóa để dự đoán:
Ví dụ 1.7: Chứng minh định lý góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn:
“Số đo của góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai
cung bị chắn”
Tương tự cách chứng minh đối với định lý góc có đỉnh nằm bên ngoài
đường tròn, dựa vào kiến thức đã biết về góc ngoài của tam giác và số đo của
góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn ta dễ dàng chứng minh được định
lý trên như sau:

Trường hợp 1: hai cạnh của góc là cát tuyến.

BAC là góc ngoài của ∆AEC nên:
BAC  ACD  BEC , BAC 
ACD 

1
sđ BC
2

1
sđ AD
2

Hình 1.12

16


1
1
 BEC  BAC  ACD  sđ BC  sđ AD
2
2

1
 BEC  (s đ BC  s đ AD).
2
Trường hợp 2: Một cạnh là cát tuyến, một
cạnh là tiếp tuyến. Ta có:

1
BAC  ACE  BEC , BAC  sđ BC ,
2
ACE 

1
sđ AC
2

1
1
 BEC  BAC  ACD  sđ BC  sđ AC
2
2
 BEC 

Hình 1.13

1
(s đ BC  s đ AC ).
2

Trường hợp 3: Hai cạnh đều là tiếp tuyến.
Tương tự ta chứng minh được:

 AEC 

1
(s đ AmC  s đ AnC ).

2
Hình 1.14

1.3.3. Khái quát hóa
Theo G. Polya. “Khái quát hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp
đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu một tập hợp lớn hơn, bao gồm cả tập hợp
ban đầu” [14, tr. 21]. Trong “Phương pháp dạy học môn toán” của Nguyễn Bá
Kim có nêu rõ hơn như sau: “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng
sang tập hợp lớn hơn tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm
chung của các phần tử trong tập hợp xuất phát” [7, tr.21].
Khái quát hóa là quá trình dùng trí óc hợp nhất nhiều đối tượng khác
nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính nhất định, những quan

17


hệ chung nhất định. Quá trình này bao gồm việc quan sát, phân tích tìm các mối
quan hệ giữa các đối tượng để chỉ ra các đặc điểm chung có tính khái quát.
Ví dụ 1.8: Trong hình tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng một nửa số
đo của góc ở tâm cùng chắn một cùng. Chúng ta có 3 trường hợp sau:

Hình 1a

Hình 1b

Hình 1c

Hình 1.15
Tâm O nằm trên một cạnh của góc (hình 1a).
Tâm O nằm bên trong của góc (hình 1b).

Tâm O nằm bên ngoài của góc (hình 1c).
Trong ba trường hợp trên chúng ta đều chứng minh được góc nội tiếp
bằng một nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Từ đó bằng khái quát
hóa chúng ta đi đến qui luật phổ biến đối với mọi góc nội tiếp và góc ở tâm
cùng chắn một cung nói chung. Định lí được rút ra nhờ khái quát hóa trên cơ sở
phân tích ba trường hợp riêng lẻ có thể xảy ra (và chỉ có thể xảy ra một trong
ba trường hợp đó mà thôi).
1.4. Tầm quan trọng của việc rèn luyện các kĩ năng tương tự hóa và đặc
biệt hóa cho học sinh trong quá trình DH
Ta đã biết, tương tự hóa và đặc biệt hóa là hai hoạt động tư duy quan
trọng của mỗi người và nó cũng là 2 con đường sáng tạo Toán học. Môn Toán
được xác định là môn học cung cấp cho HS nhiều cơ hội để rèn luyện tương tự
hóa và đặc biệt hóa vì ta có thể vận dụng tương tự hóa, đặc biệt hóa để giúp cho

18


việc giải quyết bài toán có thể nhanh gọn hơn; ta có thể sử dụng tương tự hóa
và đặc biệt hóa trong việc tiếp cận vấn đề mới hình thành những tri thức mới,
đề xuất và giải những bài toán mới, trên cơ sở đó chúng ta sẽ đào sâu và hiểu rõ
các khái niệm, định lí, góp phần mở rộng vốn kiến thức của mình. Từ đó sẽ tạo
cho chúng ta hiệu rõ hơn bản chất và các quy luật của các sự kiện toán học, xác
lập mối liên hệ và thống nhất giữa các tri thức mà chúng ta tiếp nhận được.
a. Tương tự hóa và đặc biệt hóa giúp HS trình bày lời giải bài toán
nhanh chóng
Ví dụ 1.9: Cho hình tròn

có trung tâm O và điểm A ở ngoài φ đường

thẳng (d) và (d') qua A giáp với hình tròn

tại điểm T và (T') lần lượt. Chứng

minh rằng AT  AT '. [16;tr.73]

Hình 1.16
- (AT) là tiếp tuyến hình tròn φ có trung tâm O. Ta có ∆ATO là tam giác
vuông tại T.
Sử dụng định lí Pytago ta có OA2  OT 2  AT 2
⇔ AT 2  AO2  OT 2
- Tương tự ta có AT ' O là tam giác vuông tại T '
Nên ta có AT '2  AO2  OT '2
Ta có AO2  OT 2  AO2  OT '2 . Ta biết OT  OT ' (bán kính)
 AT 2  AT '2 Vậy  AT  AT ' (đpcm).

19