MỘT SỐ KINH NGHIỆM SỬ DỤNG MAPLE, GEOMETER’S SKETCHPAD TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG CĐSP

MỘT SỐ KINH NGHIỆM SỬ DỤNG MAPLE, GEOMETER’S SKETCHPAD
TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC Ở TRƯỜNG CĐSP

Thạc sỹ Nguyễn Thanh Cảnh
Trường Cao đẳng sư phạm Hưng Yên
Áp dụng tin học trong giảng dạy đang trở thành một nhu cầu tất yếu của
việc đổi mới phương pháp dạy và học. Trường CĐSP Hưng Yên chúng tôi cũng
sớm bắt nhịp được với yêu cầu đó. Mặc dù, việc sử dụng tin học hỗ trợ giảng dạy
trong nhà trường chúng tôi còn ở nhiều cấp độ khác nhau, còn phải học tập kinh
nghiệm nhiều của các trường bạn. Song chúng tôi cũng đã đạt được một số kết quả
tích cực khi sử dụng các phần mềm tin học trong việc hỗ trợ giảng dạy Toán. Đi
đầu trong phong trào áp dụng tin học ứng dụng vào giảng dạy là giảng viên
Nguyễn Viết Thạch - Chủ nhiệm Khoa Tự nhiên. Trong quá trình giảng dạy chúng
tôi thường áp dụng hai phần mềm Geometer’s Sketchpad và Maple để hỗ trợ công
việc của mình. Khai thác tính năng ưu việt của các phần mềm này đã được nhiều
thầy cô trình bày trong tài liệu hướng dẫn, trong các báo cáo hội thảo. Qua công
việc của mình, chúng tôi đã thu được một số kinh nghiệm khi sử dụng Geometer’s
Sketchpad và Maple, có thể chưa được nhiều song cũng muốn trao đổi kinh
nghiệm với các bạn đồng nghiệp.
1. Trước hết, về phần mềm Maple là một trong những phần mềm tin học
hữu ích, nó giúp các thầy cô giáo, các kỹ sư, các chuyên gia trong việc tính toán,
lập trình, vẽ hình....Cuốn sách Tính toán, lập trình và giảng dạy trên Maple đã
được giáo sư Phạm Huy Điển (ViệnToán học) biên soạn, sách do NXB KH&KT
phát hành năm 2002, trong sách đã giới thiệu rất kỹ về phần mềm này. Có thể nói
Maple có ảnh hưởng đến rất nhiều lĩnh vực của Toán học, chúng tôi chỉ đề cập đến
việc sử dụng Maple để vẽ các mặt bậc hai khi giảng dạy bài mặt bậc hai không suy
biến. Chúng ta biết rằng, từ phương trình các mặt bậc hai không suy biến các thầy
cô giáo có thể hướng dẫn sinh viên tìm hiểu tính chất của từng mặt bậc hai đó còn
việc vẽ hình mô tả cho những mặt bậc hai này có thể chiếm nhiều thời gian của
giáo viên. Khi sử dụng Maple để vẽ mặt bậc hai không suy biến, chúng tôi thấy

nếu sử dụng lượng giác để tham số hoá phương trình mặt bậc hai thì sẽ rất đơn
giản, hình nhận được sẽ tốt hơn so với hình ghép bởi hai phương trình. Chẳng hạn,

x2 y2 z2
vẽ mặt Elip xôit
+ + = 1(1) mà chúng ta vẽ dưới dạng
a2 b2 c2
x2 y2
z = ± c 1− 2 − 2 thì hình thu được sẽ chưa đạt yêu cầu mỹ thuật. Chúng tôi
a b
đã tham số hoá phương trình các mặt bậc hai không suy biến như thế nào? Trước
hết chúng tôi suy nghĩ biểu diễn x,y,z qua các hàm số lượng giác của hai biến s và
t sao cho chúng thoả mãn phương trình của mặt bậc hai cần vẽ. Ví dụ khi vẽ mặt
Elip xôit trên, nếu chúng ta nhận thấy phương trình chính tắc của nó là

X 2 + Y 2 + Z2 = 1(2) thì sẽ đưa ra được cách tham số hoá bằng lượng giác.

Chẳng hạn: X = cos(s)*cos(t), Y =cos(s)*sin(t), z =sin(s) (3) .Sau đó, chúng tôi
thấy rằng bằng phép biến đổi afin thích hợp từ phương trình (2) ta sẽ có phương
trình (1). Như thế chỉ cần nhân thêm vào vế phải của các đẳng thức trong (3) một
số tuỳ ý chúng ta sẽ có những mặt Elip xôit theo ý muốn.
Bằng cách tham số hoá lượng giác phương trình mặt bậc hai không suy
biến, với một thời gian suy nghĩ không nhỏ, chúng tôi đã vẽ được nón tiệm cận của
mặt Hypebolit một tầng.Nếu sử dụng thêm lệnh Animate ta có thể cho cả mặt
Hypebolit một tầng cùng với nón tiệm cận chuyển động quanh trục của nó. Bên
cạnh đó nếu phối hợp giữa Power Point và Maple để thực hiện bài giảng về
mặt bậc hai không suy biến thì hiệu quả bài học tăng lên rõ rệt. Dưới đây,
chúng tôi giới thiệu câu lệnh để vẽ các mặt bậc hai không suy biến bằng việc
lượng giác hoá phương trình chính tắc của chúng.

Trước hết, sau khi khởi động phần mềm chúng ta dùng lệnh :
>
plot3d([10*cos(s)*cos(t),4*cos(s)*sin(t),3*sin(s)],s
=-Pi..Pi,t= -Pi..Pi);
để vẽ Elip xôit thực ( Hình 1)


Lệnh : >
plot3d({[8*cos(s)*cos(t),6*cos(s)*sin(t),3*sin(s)],
[0,4*t,4*s]},s=-Pi/2..Pi/2,t= -Pi/2..Pi/2);
để biểu diễn giao tuyến của mặt Elip xôit với mặt phẳng là đường Elip.( Hình 2)

Hình 2

Hình 1

Lệnh : >
plot3d([cos(s)/cos(t),3*sin(s)/cos(t),4*tan(t)],s=Pi..Pi,t=-Pi/3..Pi/3);
để vẽ mặt Hypebollôit một tầng (Hình 3)
Lệnh : >
plot3d({[6*cos(s)/cos(t),sin(s)/cos(t),tan(t)],
[6*s,2*t,0]},s=-Pi..Pi,t=-1..1);
để biểu diễn giao tuyến của Hypebollôit một tầng và mặt phẳng có thể là
đường Elip (Hình 4)
Lệnh : >
plot3d({[6*cos(s)/cos(t),sin(s)/cos(t),tan(t)],
[6*cos(s)*tan(t),sin(s)*tan(t),tan(t)]},s=Pi/2..Pi/2,t=-1..1);dùng để vẽ nón tiệm cận của mặt Hypebolloit
một tầng. ( Hình 5)

Hình 3

Hình 4

Hình 5


Lệnh : >
plot3d({[3/cos(t),18*sin(s)*tan(t),8*cos(s)*tan(t)],
[-3/cos(t),18*sin(s)*tan(t),8*cos(s)*tan(t)]},s=Pi/2..Pi/2,t=-Pi/3..Pi/3);
sử dụng để vẽ mặt Hypebollôit hai tầng (Hình 6)

Hình
6

2. Phần mềm Geometer’s Sketchpad hỗ trợ việc giảng dạy toán cũng rất
đáng kể. Đóng góp quan trọng nhất của phần mềm là gần gũi với người sử
dụng - giáo viên giảng dạy hình học. Thông qua việc làm bài tập lớn của sinh
viên lớp Toán –Tin hoặc qua các buổi học tập ngoại khoá hướng dẫn cho sinh
viên tiếp cận với Sketchpad chúng tôi rút ra một số kinh nghiệm sâu sắc khi sử
dụng Sketchpad trong hình học.
Một là nên thiết lập những Macrô, tức là những mẫu vẽ sẵn để khi cần
chỉ bằng một vài lần nhấp chuột ta thu được hình vẽ cần thiết. Từ thấp đến
cao, chúng tôi đã xây dựng được nhiều Macrô như : trục đẳng phương của hai
đường tròn, vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn, đường tròn Apôlôniut,
các đường cô nic với các yếu tố xác định ban đầu khác nhau, xây dựng macrô
cho phép nghịch đảo....Vấn đề này đã được giảng viên Nguyễn Viết Thạch
trình bày trong đợt tập huấn tại thành phố Hồ Chí Minh tháng 4/ 2006.
Hai là trong việc thiết kế hình vẽ cho các bài toán, nhất là các bài toán liên
quan đến tìm quỹ tích, chứng minh họ đường thẳng đi qua điểm cố định thì
yêu cầu không thể thiếu được là sự cố kết giữa các điểm và các đường thẳng.

Chẳng hạn, khi yêu cầu sinh viên vẽ tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ một điểm
ở ngoài hình tròn có em đã làm như sau : Lấy một điểm tuỳ ý trên đường tròn
nối với điểm đã cho. Sau đó di chuyển điểm trên đường tròn cho đến vị trí tiếp
điểm, như thế chỉ cần thay đổi vị trí điểm, đường tròn hình vẽ sẽ không đạt
yêu cầu nữa. Để vẽ đúng cần thực hiện như sau :
- Giả sử tâm đường tròn là O, điểm nằm ngoài hình tròn là A. Vẽ đường
tròn đường kính OA.
- Xác định giao điểm B của hai đường tròn. Khi đó đường thẳng AB
chính là tiếp tuyến cần kẻ
Ví dụ trên đây, chỉ là gợi mở sự cố kết giữa các yếu tố của hình học. Chúng ta
thử bắt tay vào việc xây dựng hình vẽ cho hai bài toán sau :
Bài 1: Cho hai đường thẳng giao nhau tại O. Một đoạn thẳng AB có độ dài
không đổi có đầu mút nằm trên hai đường thẳng đó.Tìm tập hợp các trung
điểm I của AB.
Chúng tôi nhận thấy, hình vẽ tốt phải là hình mà khi thay đổi góc giữa hai
đường thẳng, thay đổi độ dài cho trước của đoạn thẳng thì vẫn sử dụng được
hình vẽ. Điều này cũng thể hiện sự cố kết giữa các yếu tố hình học mà bài này
muốn đề cập.
Chúng tôi vẽ hình theo các bước sau :
- Vẽ một đoạn thẳng (độ dài đoạn thẳng sẽ hiểu là độ dài cho trước
trong bài 1). Nếu muốn độ dài cho trước nhập từ bàn phím thì sử dụng máy
tính nhập số vào chương trình và đặt một đoạn thẳng có độ dài bằng số đó.
- Vẽ đường tròn tâm O bán kính là đoạn thẳng nói trên và trên đường
tròn lấy hai điểm X,Y bất kỳ. Xác định hai điểm đối xứng với X,Y qua tâm O.
Gọi là X’,Y’. Kẻ hai đường thẳng XX’ và YY’.
- Trên các đoạn XX’ lấy điểm K, YY’ lấy điểm E tuỳ ý ; vẽ đường tròn
tâm K, E bán kính bằng bán kính đường tròn đã vẽ ban đầu.
- Xác định giao điểm H của đường tròn tâm K với đường thẳng YY’,

giao điểm F của đường tròn tâm E với đường XX’.
- Tìm vết của hai trung điểm đoạn KH, EF ta được kết quả bài toán.
(Hình 7)


Nếu sử dụng lệnh movement để cho OX vuông góc với OY sẽ nhận được bài
toán quen thuộc (khi hai đường thẳng ban đầu vuông góc với nhau thì tập hợp
các trung điểm cần tìm là đường tròn. Hình 8)

Hình 7
Hình 8
Bài 2 : Cho hai đường tròn ngoài nhau có bán kính khác nhau (O,R) và
(O’,R’). Một đường tròn thay đổi tâm I luôn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn
(O), (O’) đã cho lần lượt tại A và B. Trên đường tròn tâm I lấy điểm M. Gọi K
là giao điểm của MA với (O) ; H là giao điểm của MB với (O’). Chứng minh
khi M di chuyển trên đường tròn I đồng thời đường tròn ( I ) cũng thay đổi thì
đường thẳng KH luôn đi qua một điểm cố định.
Việc xây dựng hình vẽ đảm bảo cho sự cố kết giữa các điểm, đường thẳng và
đường tròn sao cho khi đường tròn (I) thay đổi (tâm, bán kính ) nhưng phải
luôn tiếp xúc với hai đường tròn đã cho là điều quan trọng nhất và cũng khó
thực hiện nhất. Chúng tôi giới thiệu cách vẽ hình của mình :
- Vẽ trục đẳng phương của hai đường tròn.
- Lấy điểm tuỳ ý trên trục đẳng phương.
- Vẽ tiếp tuyến với từng đường tròn kẻ từ điểm vừa chọn trên trục đẳng
phương. ( Được 4 tiếp điểm )


- Giao điểm của từng cặp
đường thẳng chứa các bán
kính đi qua tiếp điểm của

hai đường tròn sẽ là tâm I
của đường tròn cần dựng.
Có hai đường tròn cùng tiếp
xúc ngoài với (O) và (O’)
khi đó đường KH đi qua
tâm vị tự ngoài của (O) và
(O’), hai đường tròn : tiếp xúc ngoài với đường tròn này và tiếp xúc
trong với đường tròn còn lại khi đó đường KH đi qua tâm vị tự trong .
Ba là : Sử dụng Geometer’s Sketchpad có thể giúp chúng ta kiểm định sự
phát triển của bài toán hoặc từ bài toán tổng quát có thể về các trường hợp
riêng của nó. Chẳng hạn, từ bài toán 1 nếu chúng ta xét trường hợp riêng của
nó đó là khi hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau. Hoặc bài toán 2 chỉ
là một trường hợp của bài toán tổng quát : hai đường tròn (O) và (O’) có một
vị trí tương đối nào đó. Vì thế, khi xây dựng hình vẽ cho một bài toán chúng
tôi thường suy nghĩ làm thế nào để chỉ cần sử dụng một hình vẽ những sẽ thể
hiện được các trường hợp của bài toán. Chúng tôi lấy ví dụ : Có thể xây dựng
được hình vẽ thể hiện các trường hợp của trục đẳng phương ứng với các vị trí
tương đối của hai đường tròn hay không ?
Kết luận:
Đối với phần mềm Geometer’s Sketchpad, Maple chúng tôi đã dành nhiều
thời gian tìm tòi những tính năng của nó để vận dụng được nhiều vào toán học
phổ thông cũng như trong giảng dạy ở trường CĐSP. Trên đây là một số điều
chúng tôi cảm nhận được sự tích cực của các phần mềm hỗ trợ giảng dạy
Toán. Áp dụng trong giảng dạy, bước đầu thu được một số kết quả đáng khích
lệ. Được trao đổi kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp chúng tôi mong muốn
học hỏi thêm về các phần mềm tin học hỗ trợ giảng dạy, nhằm càng nâng cao
hiệu quả giờ dạy của mình.
Xin trân trọng cảm ơn.