SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM

SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD
HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM
ThS. Trịnh Thanh Hải-Đỗ Thị Trinh
Trịnh Thị Phương Thảo
ĐHSP Thái Nguyên
1. Đặt vấn đề
Trong trong các đề thi học sinh giỏi THPT, đề thi đại học thường xuất
hiện những dạng phương trình mà ẩn là một hàm số- Phương trình hàm. Để
giải các phương trình hàm chúng ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Phương pháp sử dụng giới hạn.
- Phương pháp sử dụng điểm bất động.
- Phương pháp sử dụng tính chất đối xứng.
- Phương pháp thế.
- Phương pháp dùng đa thức phụ...
Trong phạm vi bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến việc tìm hướng
giải phương trình hàm với sự hỗ trợ của phần mềm MathCAD bằng cách:


Bước 1: Quan sát dạng đề bài để có được một vài nhận xét đặc biệt, từ
các nhận xét này ta dự đoán dạng của hàm số cần tìm.



Bước 2: Dùng phần mềm MATHCAD kiểm tra dự đoán. Nếu kết quả
đúng với dự đoán thì đây sẽ là cơ sở để đi tìm cách giải của bài toán.
2. Một số ví dụ minh hoạ.
Do các bài tập về phương trình hàm là rất khó đối với đa số học sinh

nên trong các tài liệu dành cho THPT chỉ giới thiệu một vài dạng phương
trình hàm đơn giản của các hàm số liên tục mà chủ yếu là các hàm số dạng đa
thức.

2.1. Ví dụ 1: Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ → ¡ thoả mãn
f(x + y) = f(x) + f(y)

∀x, y ∈ ¡

- Ta có nhận xét biểu thức f(x + y) = f(x) + f(y) gợi nhớ cho ta đến tính
chất của dạng tuyến tính nên ta đưa ra phỏng đoán: Có khả năng f(x)=ax+b ?
1


Để thử nghiệm phỏng đoán trên, ta sử dụng đoạn lệnh sau với
MathCAD:
Khai báo dạng tổng quát của f(x):
f(a,b,x) :=a.x+b
Khai báo giả thiết bài toán:
VP:=f(a,b,x) +f(a,b,y) → a.x+2.b+a.y
VT:=f(a,b,(x+y)) → a.(x+y)+b
Giải phương trình đối với các hệ số a, b
Given
Khai báo phương trình: VT=VP

 a
0

Giải phương trình: u:=Find(a,b) →  
Kết luận: Hàm cần tìm có dang: u0.x + u1 → a.x

Kết quả chạy chương trình bằng MathCAD cho kết quả f(x)=ax.
Từ kết quả này ta tìm hướng giải bài toán như sau:
Từ giả thiết f(x+y)=f(x)+f(y) với ∀x, y ∈ ¡ nên có thể lấy nhiều giá trị

x, y khi đó ta có một dãy các kết quả đúng. Hình ảnh dãy gợi nhớ cho ta đến
phương pháp sử dụng giới hạn, cụ thể:
• Bước 1:
Đặt x = y = 0 ta có f(0) = 2 f(0) ⇔ f(0) = 0.
Cho x = y = 1 ta có f(2) = 2f(1).
Cho x = 2; y = 1 ta có f(3) = f(2) + f(1) = 3f(1).
Quy nạp ta được f(n) = nf(1).
Kí hiệu f(1) = a, ta có f(n) = na với n∈ ¥ + .
Cho x = n; y = - n ta có 0 = f(0) = f(n) + f(-n) ⇒ f(n) = - f(- n)
⇒ f(-n) = a(- n). Vậy f(n) = an ∀n ∈ ¢ .
Đặt x = y ta có:

f(2x) = 2f(x); f(3x) = 3f(x)...
f(mx)= mf(x)

 n
an = f (n) = f  m. ÷ = m. f
 m

với m ∈ ¥ , x ∈ ¡ . Hay:

n
n
n
 ÷ ⇔ f  ÷ = a.
m
m
m
2

Vậy f(x) = ax,

∀x ∈ ¤ .

xn = x .
• Bước 2: Với ∀x ∈ ¡ luôn tồn tại { xn } n∈¥ , xn ∈ ¤ sao cho nlim
→+∞
nên f ( xn ) = axn . Qua giới hạn ta thu được kết quả: f ( x) = ax

∀x ∈ ¡ .

• Bước 3: Thay vào ta có:
Vế trái = f(x + y) = a(x + y) = ax + ay = f(x) + f(y) = Vế phải.
2.2.Ví dụ 2: Tìm tất cả các hàm liên tục f : ¡ → ¡ thoả mãn điều kiện
f(x2) + f(x) = x2 + x ∀x ∈ ¡
Ta có nhận xét: Giả sử f(x) có dạng đa thức và bậc f(x) lớn hơn 1 thì
f(x2) sẽ có bậc lớn hơn 2 (trái giả thiết). Mặt khác bậc f(x) không thể là không
được vì vế phải là đa thức có bậc 2. Như vậy f(x) có thể là đa thức bậc nhất?
Sử dụng MathCAD để thử nghiệm dự đoán trên bằng chương trình
sau:
Khai báo dạng hàm số và lấy 2 giá trị bất kỳ để xác định hệ phương trình:
h(a,b,x):=a.x+b
x1:=5
y1:=3
2
BT1:=h(a,b,x1 ) → 25.a+b BT2:=h(a,b,x1) → 5.a+b
BT3:=h(a,b,y12) → 9.a+b
BT4:=h(a,b,y1) → 3.a+b
2

t1:= x + x substitute x= x1 → 30
t2:= x2 + x substitute x= y1 → 12
Giải hệ phương trình
Given BT1+BT2=t1

BT3+BT4= t2

 1
0

u:=Find(a,b) →   Kết quả f(x) có dạng: uox + u1 → x

Sau khi biết trước được kết quả, tương tự như ví dụ 1, ta có thể vận
dụng phương pháp sử dụng giới hạn để tìm được kết quả f(x)=x
2.3.Ví dụ 3: Tìm các hàm số f(x) và g(x) được xác định bởi hệ sau:
 f (3x − 1) + g (6 x − 1) = 3x

2
2
 f ( x + 1) + x g ( 2 x + 3) = 2 x + x

(1)
(2)

∀x ≠ ±1

Ta có các nhận xét sau: Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có dạng đa thức
thì từ (1) ta có nhận xét một trong các khả năng có thể xảy ra là bậc f(x) và

3

g(x) đều bằng 1? Mặt khác từ (2) ta thấy g(x) có thể là hằng vì nếu không bậc
của x2g(2x+3) sẽ là 3. Ta dự đoán có khả năng f(x) = ax+b và g(x) =c ?
Ta sẽ sử dụng MathCAD để kiểm nghiệm dự đoán này.
Khai báo hàm số và giả thiết ban đầu:
f(a,b,x):= a.x+b
BT1:=f(a,b,(3.x+1)) → a.(3.x-1)+b
BT2:=f(a,b,(x+1)) → a.(x-1)+b
Thiết lập và giải hệ phương trình:
Given
BT1 +c = 3.x
BT2+x2.c= 2.x2+x
BT2+x=x+2

 1
 
u:=Find(a,b,c) → −1
 
 2 
Kết quả : f(x):=u0x + u1 → x-1

g(x):=u2 → 2

Từ kết quả trên gợi ý cho ta đến việc đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán:
Trong (1) đặt 3x - 1 = t + 1. Khi đó : 6x - 1 = 2t + 3
Từ (1) ta có f(t + 1) + g(2t + 3) = t + 2 hay f(t + 1) = t + 2 - g(2t + 3) (1')
Thay (1') vào (2) ta có: x + 2 - g(2x + 3) + x2g(2x + 3) = 2x2 + x
⇔ (x2 - 1)g(2x + 3) = 2x2 - 2
⇔ g là hàm hằng

⇔ g(2x + 3) = 2 đúng ∀x ≠ ±1

⇔ g(x) = 2 ∀x ∈ ¡ \ { ±1} (*)

Thay (*) vào (1') ta có f(x + 1) = x.
Đặt x + 1 = t -> x = t - 1. Khi đó : f(t) = t - 1 hay f(x) = x - 1.
Thay f(x) = x - 1 và g(x) = 2 vào hệ phương trình ta thấy f(x) và g(x)
thoả mãn đầu bài. Vậy 2 hàm cần tìm là: f(x) = x - 1 và g(x) = 2.
2.4. Ví dụ 4: Đối với dạng toán xác định đa thức f(x) có bậc n khi biết
giá trị của f(x) tại n+1 giá trị cụ thể, học sinh đã giải được với trường hợp
n=2, khi đó bài toán được đưa về việc giải hệ ba phương trình với ba ẩn số là
các hệ số a, b, c. Tuy nhiên với n lớn hơn 2 thì học sinh thường gặp khó khăn
4


vì chẳng hạn chỉ cần n=3 thì ta cũng phải giải hệ 4 phương trình 4 ẩn (Các
máy tính điện tử bỏ túi học sinh thường dùng cũng chỉ hỗ trợ giải hệ 3
phương trình, 3 ẩn). Trong trường hợp này ta có thể sử dụng phương pháp
dùng đa thức phụ:
Chẳng hạn: Tìm đa thức f(x) bậc 3 biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1
• Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c.
Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0 ⇔ a, b, c là nghiệm của hệ phương
trình:
0 = 10 + c
a = 5


0 = 12 + a + b + c ⇔ b = −7
0 = 4 + 4a + 2b + c

c = −10


Vì vậy ta đặt g(x) = f(x) + 5x2 - 7x - 10 với g(0) = g(1) = g(2) = 0
• Bước 2:
Do bậc của f(x) = 3 nên bậc của g(x) = 3 và g(x) chia hết cho x, (x - 1),
(x - 2). Gọi m là hệ số của x3 của đa thức f(x) thì g(x) = mx(x - 1)(x - 2)
⇒ f(x) = mx(x - 1)(x - 2) - 5x 2 + 7x + 10. Mặt khác theo giả thiết f(3) = 1 ⇒
m = 5/2. Vậy đa thức cần tìm là: f ( x) =

5 3 25 2
x − x + 12 x + 10 .
2
2

Sử dụng MathCAD để kiểm tra lại kết quả trên với chương trình sau:
Khai báo hàm số và thiết lập các điều kiện ban đầu theo giả thiết
f(a,b,c,d,x) → a.x3 +b.x2 +c.x +d
f(a,b,c,d,0) → d
f(a,b,c,d,1) → a+b+c+d
f(a,b,c,d,2) → 8.a+4.b+2.c+d
f(a,b,c,d,3) → 27.a+9.b+3.c+d
Giải hệ phương trình để tìm các hệ số a,b,c,d:
Given
d=10
a+b+c+d =12
8.a+4.b+2.c+d = 4
27.a+9.b+3.c+d=1

5

u:=Find(a,b,c,d)

 5 
 2 


−25 

→
 2 


 12 
 10 

Kết quả: u0.x3 + u1.x2+u2.x+u3 →

5 3 25 2
x −
x + 12x + 10
2
2

3. Kết luận
Qua các ví dụ trên phần nào thấy được sự hỗ trợ của phần mềm toán
MathCAD trong việc kiểm tra tính đúng đắn của các dự đoán toán học một
cách nhanh chóng, chính xác và đưa ra các thông tin quan trọng hỗ trợ để quá
trình tìm tòi lời giải của bài toán.

Mặt khác, qua các ví dụ trên cũng phần nào minh hoạ cho ý tưởng kết
hợp giữa tư duy toán học với việc sử dụng công cụ phần mềm trong nghiên
cứu, học tập bộ môn toán.
Theo chúng tôi, khả năng của các phần mềm toán học là rất lớn và ta có
thể khai thác chúng ở rất nhiều các góc độ khác nhau. Việc nghiên cứu và
giảng dạy cho sinh viên cách sử dụng một số phần mềm toán thông dụng như
MAPLE, MathCAD, Cabri Geometry, SketchPad... là cần thiết và đem lại
hiệu quả thực sự.
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, NXB GD 2005.
[2] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXB Giáo dục, 1998.
[3] Tạp chí toán học và tuổi trẻ số 08/2003, 11/2003.

6