Sự tồn tại nghiệm và các tính chất của nghiệm của một số phương trình tích phân hàm phi tuyến (tóm tắt)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

PHẠM HỒNG DANH

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM VÀ CÁC TÍNH CHẤT
CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN HÀM PHI TUYẾN

Ngành:
Mã số chuyên ngành:

TOÁN GIẢI TÍCH
62 46 01 02

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2017


Công trình được hoàn thành tại:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC
Trường Đại học Khánh Hòa

Phản biện 1:

PGS. TS. Nguyễn Bích Huy

Phản biện 2:

TS. Nguyễn Minh Quân

Phản biện 3:

TS. Đào Nguyên Anh

Phản biện độc lập 1:

PGS. TS. Nguyễn Đình Huy

Phản biện độc lập 2:

PGS. TS. Mai Đức Thành

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp cơ sở đào tạo họp tại
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh
vào lúc
giờ
tháng
năm 2017

Có thể tìm luận án trên tại các thư viện:
Thư viện Khoa học Tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh
Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh


Mở đầu
Phương trình tích phân phi tuyến nói chung và phương trình tích phân hàm phi tuyến

nói riêng là một trong những chủ đề rất được quan tâm trong lĩnh vực giải tích phi tuyến.
Kể từ công trình đầu tiên của Volterra đến nay, các phương trình tích phân đã thu hút sự
quan tâm của các nhà khoa học không chỉ vì toán học thuần tuý mà còn vì nhiều ứng dụng
của chúng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ. Lý thuyết về các phương
trình tích phân đang phát triển nhanh nhờ các công cụ của giải tích phi tuyến, đặc biệt, lý
thuyết topo và lý thuyết điểm bất động là những công cụ mạnh để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của các phương trình. Trong các công trình thuộc loại này, các định lý như định lý
điểm bất động Banach (1922), định lý điểm bất động Schauder (1930), định lý điểm bất động
Krasnoselskii (1955) và các định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii, nguyên lý loại trừ phi
tuyến của Leray-Schauder (1932), ... thường được áp dụng để xem xét tính giải được của các
phương trình tích phân, trên cơ sở đó, khảo sát một số tính chất có thể có của nghiệm.
Các phương trình có liên quan đến phương trình tích phân như phương trình vi tích phân
cũng đã thu hút sự quan tâm của các nhà khoa học không chỉ vì vai trò quan trọng của chúng
trong các lãnh vực giải tích hàm mà còn vì vai trò quan trọng của chúng trong nhiều ứng dụng,
chẳng hạn, cơ học, vật lý, dân số, kinh tế và các lĩnh vực của khoa học khác, có thể xem các
cuốn sách được viết bởi Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge University
Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag, 1985]. Nhìn
chung, các kết quả về sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi tích phân theo một biến hoặc
hai biến, ba biến, ..., đã thu được nhờ vào các phương pháp cơ bản, trong đó các định lý điểm
bất động thường được áp dụng.
Nghiên cứu sâu hơn về phương trình tích phân hàm phi tuyến và các phương trình có liên
quan như phương trình vi tích phân, chúng ta có thể thấy rằng, chúng có rất nhiều dạng, hoặc
đã giải được hoặc chưa giải được, và hiển nhiên rằng ứng với mỗi dạng phải tìm kiếm phương
pháp giải thích hợp. Sau đây là bốn dạng phương trình mà chúng tôi quan tâm nghiên cứu
trong thời gian gần đây và đã đạt được một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất của
nghiệm.
- Dạng 1. Hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến, có dạng cụ thể như sau
n
f i ( x ) = ∑m
k =1 ∑ j=1 εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )),

Z X (x)
ijk
0

f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ),

(1)

với i = 1, ..., n, x 2 Ω = [ b, b], trong đó aijk , bijk là các hằng số thực cho trước; Rijk , Sijk ,
Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R là các hàm liên tục cho trước và f i : Ω ! R là các ẩn
hàm, ε là một tham số bé. Hệ này có nguồn gốc từ dạng phương trình hàm f ( x ) = a ( x, f (S( x ))) ,
trong không gian các hàm liên tục có biến phân bị chặn trên một đoạn bị chặn, đã được nghiên
cứu trong [T. Kostrzewski, Demonstratio Math. 26 (1993) 61 - 74; Demonstratio Math. 26
(1993) 275 - 285], [M. Lupa, Demonstratio Math. 26 (1993) 137 - 147].
Trong [N. T. Long, N. H. Nghia, N. K. Khoi, D. V. Ruy, Demonstratio Math. 31 (1998)
313 - 324], Long và cộng sự đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của (1), ứng với Ψ
0.
Trong [C. Q. Wu, Q. W. Xuan, D. Y. Zhu, South-East Asian Bull. Math. 15 (1991) 109 - 115],
Wu và cộng sự đã nghiên cứu hệ (1) ứng với m = n = 2, Ψ
0 và Sijk là các nhị thức bậc
nhất, tức là nghiên cứu hệ sau đây
f 1 ( x ) = a11 f 1 (b11 x + c11 ) + a12 f 2 (b12 x + c12 ) + a13 f 1 (b13 x + c13 ) + g1 ( x ),
(2)
f 2 ( x ) = a21 f 1 (b21 x + c21 ) + a22 f 2 (b22 x + c22 ) + a23 f 2 (b23 x + c23 ) + g2 ( x ),
8 x 2 Ω = [ b, b], ở đây aij , bij , cij , b là các hằng số cho trước thỏa các điều kiện
jc j
bij < 1, max ij
b, max ∑3j=1 aij < 1,
(3)

i,j 1 jbij j
1 i 2
1


các hàm số g1 , g2 liên tục cho trước, và f 1 , f 2 các ẩn hàm. Nghiệm của hệ (2) cũng được xấp
xỉ bởi một dãy qui nạp hội tụ đều và ổn định đối với các hàm g1 , g2 . Trong [N. T. Long,
Demonstratio Math. 37 (1) (2004) 123 - 132; Demonstratio Math. 37 (2) (2004) 349 - 362],
một trường hợp đặc biệt của (1) với Ω là một khoảng bị chặn hoặc không bị chặn trong R đã
được nghiên cứu. Áp dụng định lý điểm bất động Banach, sự tồn tại duy nhất và tính ổn định
nghiệm của hệ (1) đối với các hàm gi được chứng minh. Trường hợp Ψ( x, y, z) = y và Rijk , Sijk
là các nhị thức bậc nhất, g 2 Cr (Ω; Rn ), hệ (1) có một khai triển Maclaurin của nghiệm đến
cấp r. Hơn nữa, nếu gi là đa thức bậc r thì nghiệm của hệ (1) cũng là một đa thức bậc r; còn
nếu gi là các hàm liên tục thì nghiệm của hệ được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều.
Trường hợp Ψ( x, y, z) = z và có ít nhất một aijk 6= 0, Sijk ( x ), Xijk ( x ) là các nhị thức bậc nhất
thì dù cho gi ( x ) là đa thức bậc r, nghiệm của hệ (1) cũng không nhất thiết là một đa thức.
Trường hợp này, nghiệm của hệ (1) được xấp xỉ bởi một dãy các đa thức hội tụ đều. Với Ω là
miền nhiều chiều, trong [N. T. Long, N. H. Nghia, Z. Anal. Anw. 19 (2000) 1017 - 1034], hệ
(1) cũng được xem xét với dạng đặc biệt sau đây
n
f i ( x ) = ∑m
k =1 ∑ j=1 aijk x, f j ( Sijk ( x )) + gi ( x ), i = 1, ..., n, x 2 Ω

Rp.

(4)

Cũng sử dụng nguyên lý ánh xạ co, các tác giả đã thiết lập sự tồn tại, tính duy nhất và sự
ổn định của nghiệm của (4) đối với các hàm gi . Hơn nữa, sự hội tụ bậc hai và khai triển tiệm
cận nghiệm cũng được khảo sát.

Từ các công trình nêu trên, chúng tôi tiếp tục khảo sát phương trình tích phân hàm phi
tuyến (1) với ba nội dung chính. Một là, tiếp tục sử dụng định lý điểm bất động Banach
để tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm của (1). Hai là, trong
trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R), khảo sát sự hội tụ bậc hai của (1). Ba là, trong trường hợp
Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ, thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm cho (1) đến
cấp N + 1 theo ε. Một số ví dụ minh họa cũng đã được trình bày. Cuối chương luận án trình
bày một chú ý về một phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian
Banach cùng với các ví dụ minh họa.
- Dạng 2. Phương trình tích phân hàm phi tuyến một chiều có biến trễ nhận giá trị trong
không gian Banach tổng quát, có dạng cụ thể như sau
x (t) = V t, x (t),

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, x (σ1 (s)),

+

Z ∞
0

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr

ds

(5)

F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ ,

trong đó E là không gian Banach, các hàm số µi , σi , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) có tính chất
0 µi (t) t; 0 σi (t) t; 0 χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, ..., q, và các hàm V : R+ E2 ! E;
V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E là liên tục, ở đây ∆µi = f(t, s) 2 R2+ :
s µi (t)g.
Dạng phương trình này đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng phương pháp điểm bất động.
Áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii và với các giả thiết thích hợp, Dhage
và Ntouyas [B. C. Dhage, S. K. Ntouyas, Nonlinear Studies 9 (2002) 307 – 317], Purnaras [I.
K. Purnaras, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 17 (2006), pp. 1-24] đã thu được một
số kết quả về sự tồn tại nghiệm cho các phương trình tích phân hàm phi tuyến
x (t) = Q(t) +

Z µ(t)
0

k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds +

Z σ(t)
0

v(t, s) g(s, x (η (s)))ds,

(6)

0
t
1, trong đó E = R, 0

µ(t)
t; 0
σ(t)
t; 0
θ (t)
t; 0
η (t)
t, với
mọi t 2 [0, 1]. Một số phương trình tổng quát hơn (6) cũng đã được nghiên cứu trong [I. K.
Purnaras, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 17 (2006), pp. 1-24].

2


Với kỹ thuật này, Purnaras cũng thu được kết quả tồn tại cho phương trình sau
Z µ(t)

x (t) = q(t) +

+

Z λ(t)
β(t)

α(t)

k (t, s) f (s, x (θ (s)))ds

b
k (t, s) F s, x (ν(s)),

Z σ(s)
0

(7)
k0 (s, v, x (η (v)))dv ds, t 2 [0, 1].

Gần đây, sử dụng kỹ thuật của độ đo phi compact và định lý điểm bất động Darbo, Z. Liu
và các cộng sự trong [Zeqing Liu, Shin Min Kang, Jeong Sheok Ume, Applied Mathematics
Letters, 24 (6) (2011) 911-917] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm và nghiệm ổn định tiệm cận
của phương trình
x (t) = f

t, x (t),

Z t
0

u(t, s, x ( a(s)), x (b(s))) ds , t 2 R+ .

Trong [C. Avramescu, C. Vladimirescu, Electronic J. Qualitative Theory of Diff. Equat.
25 (2005) 1 - 6], sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii, Avramescu và
Vladimirescu đã chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận cho phương trình
Z t

x (t) = q(t) +

0

K (t, s, x (s))ds +

Z ∞
0

G (t, s, x (s))ds, t 2 R+ ,

trong đó các hàm q, K, G là các hàm cho trước, nhận giá trị trong E = R p , liên tục và thỏa
các điều kiện phù hợp.
Trong trường hợp E là không gian Banach tùy ý, sự tồn tại của nghiệm ổn định tiệm cận
của phương trình
x (t) = q(t) + f (t, x (t)) +

+

Z ∞
0

G t, s, x (s),

Z t
0

V t, s, x (s),

Z s
0

Z s
0

V1 (t, s, r, x (r )) dr ds

G1 (t, s, r, x (r )) dr ds, t 2 R+ ,

đã được chứng minh trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Nonlinear Anal. TMA. 74 (18) (2011)
7111 - 7125], bằng cách xây dựng một không gian Fréchet dựa trên khái niệm nửa chuẩn và sử
dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong không gian Fréchet.
Tiếp nối và kế thừa các kỹ thuật trong các công trình vừa đề cập, sử dụng các công cụ
thích hợp của giải tích hàm, chúng tôi chỉ ra các điều kiện đủ để thu được sự tồn tại nghiệm
và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (5). Hơn thế nữa, tính compact của tập nghiệm
cũng được chứng minh. Chúng tôi tìm được một số ví dụ minh hoạ cho các kết quả đạt được.
- Dạng 3. Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều chiều nhận giá trị trong không
gian Banach tổng quát, với dạng như sau
u( x ) = V

+

Z

x, u( x ),
N
R+

Z

Bx

V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy

N,

F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy, x 2 R+

(8)

N = f( x , ..., x ) 2 R N : x
trong đó R+
0, ..., x N
0g, Bx = [0, x1 ] ... [0, x N ], các hàm
N
1
1
N ! R N là liên tục với tính chất σ ( x ), ..., σ ( x ) 2 B , 8 x 2 R N ; và
σ1 , ..., σ p , χ1 , ..., χq : R+
p
x
1
+
+
N
các hàm V : R+
E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N
Eq ! E được giả sử liên tục, ở đây
+
N
N : y 2 B g và E là không gian Banach.
∆ = f( x, y) 2 R+
R+
x
Dạng phương trình tích phân này được quan tâm nghiên cứu bởi tầm quan trọng trong
toán học và bởi các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ, trong kỹ

thuật, cơ khí, vật lý, kinh tế, ...Xem Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge
University Press, New York, 1991], Deimling [Nonlinear Functional Analysis, Springer Verlag,
1985]. Sau đây là một ví dụ, trong Corduneanu [Integral equations and applications, Cambridge
University Press, New York, 1991], phương trình tích phân dưới đây mô tả mô hình toán học
của quá trình đông máu

3


1
2

f (t, x ) = f 0 ( x ) +

Z tZ x
0

0

φ( x

y, y) f (s, x

y) f (s, y)dyds

Z tZ ∞
0

0

f (s, x )φ( x, y) f (s, y)dyds.

Trong [M. M. El-Borai, M. A. Abdou, M. M. El-Kojok, J. Korea Soc. Math. Educ., Ser.
B, Pure Appl. Math. 15 (1) (2008) 1 - 17], El-Borai và các cộng sự đã xét phương trình tích
phân phi tuyến Volterra-Hammerstein trong miền n chiều có dạng
µφ( x, t) = f ( x, t) + λ

Z tZ
0

Ω

F (t, τ )K ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ,

trong đó x = ( x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ); µ, λ là hằng số. Sau đó, trong [M. A. Abdou, A. A.
Badr, M. M. El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475],
M.A. Abdou và các cộng sự đã khảo sát phương trình tích phân phi tuyến dưới đây trong miền
n chiều
Z
Z Z
t

µφ( x, t) = λ

k ( x, y)γ (t, y, φ(y, t)) dy + λ

ΩZ

+λ

t

0

0

Ω

G (t, τ )k ( x, y)γ (τ, y, φ(y, τ )) dydτ

F (t, τ )φ( x, τ )dτ + f ( x, t),

ở đây x = ( x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ). Sử dụng định lý điểm bất động Banach, sự tồn tại duy
nhất nghiệm của các phương trình này được chứng minh.
Gần đây trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484
- 494], phương trình tích phân
Z Z
y

x

u( x, y) = q( x, y) + f ( x, y, u( x, y)) +

+

Z ∞Z ∞
0

0

0

0

V ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt

F ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) 2 R2+ ,

đã được khảo sát, và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình đã được chứng
minh.
Vận dụng các kỹ thuật này, cùng với việc lựa chọn các công cụ thích hợp của giải tích
hàm, chúng tôi thu được các kết quả tương tự cho phương trình (8) là: Sự tồn tại nghiệm, sự
tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, tính compact của tập nghiệm. Các ví dụ minh họa các kết
quả cũng được chỉ ra.
- Dạng 4. Phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có dạng như
sau
Z Z
1

u( x, y) = g( x, y) +

0

1

0

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt,

(9)

hoặc có dạng tổng quát hơn
u( x, y) = g( x, y) +

Z 1Z 1
0

0

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt,

(10)

với nọi ( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω
! R hay K :
m
n
Ω Ω R3 ! R là các hàm số cho trước. Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u = ∂∂yun , để chỉ các

R2

đạo hàm riêng cấp m
1, n
1 của một hàm u( x, y) xác định trên Ω, lần lượt đối với biến
thứ nhất và biến thứ hai.
Trong [N. Lungu, I. A. Rus, Journal of Mathematical Inequalities, 3 (4) (2009) 519 - 527],
áp dụng lý thuyết toán tử Picard kết hợp vận dụng định lý điểm bất động Banach, Lungu và
Rus đã chứng minh sự tồn tại, tính duy nhất nghiệm, các bất đẳng thức tích phân liên quan
đến nghiệm và sự phụ thuộc liên tục của nghiệm vào các dữ liệu của phương trình tích phân
hàm Volterra-Fredholm, theo hai Zbiến

Z trong không gian Banach, có dạng
x

u( x, y) = g( x, y, h(u)( x, y)) +

0

y

0

K ( x, y, s, t, u(s, t)) dsdt, ( x, y) 2 R2+ .

Trong [B. G. Pachpatte, J. Inequal. Pure and Appl. Math. 10 (4) (2009), Art. 108, 10 pp],
dựa trên ứng dụng của định lý điểm bất động Banach và các bất đẳng thức tích phân với

4


các đánh giá tường minh, BG Pachpatte đã nghiên cứu một số tính chất cơ bản của nghiệm
phương trình tích phân Fredholm theo hai biến như sau
u( x, y) = f ( x, y) +

Z aZ b
0

0

g ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t), D2 u(s, t)) dtds.

M. A. Abdou và các cộng sự cũng đã xét sự tồn tại của nghiệm khả tích của phương trình
tích phân phi tuyến, kiểu Hammerstein - Volterra loại hai, bằng cách sử dụng các kỹ thuật của
độ đo phi compact yếu và định lý điểm bất động Schauder, xem [M. A. Abdou, A. A. Badr,
M. M. El-Kojok, Applied Mathematics and Computation, 217 (12) (2011) 5466 - 5475].
Trong [Monica Lauran, Miskolc Mathematical Notes, 13 (1) (2012) 67-74], M. Lauran thiết
lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm của phương trình tích phân kiểu Volterra bằng
cách sử dụng các khái niệm của toán tử không giãn (nonexpansive operator), nguyên lý ánh
xạ co và định lý điểm bất động Schaefer.
Bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Perov, trong [A. Aghajani, E. Pourhadi, M.
Rivero, J. Trujillo, Mathematica Slovaca (2014), Apr. (In Press)], A. Aghajani và các cộng sự
đã chứng minh một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và đánh giá nghiệm của phương trình
vi tích phân kiểu Fredholm theo hai biến.
Gần đây, trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long, Nonlinear Anal. TMA. 74 (11) (2011) 3769 3774; Acta Mathematica Scientia, 33B (2) (2013) 484 - 494; Mathematische Nachrichten, 288
(5-6) (2015) 633-647], sử dụng các công cụ của giải tích hàm và một định lý điểm bất động
kiểu Krasnosel’skii, các tác giả đã khảo sát tính giải được và sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm
cận của phương trình tích phân hàm phi tuyến theo một biến hoặc hai biến, hoặc N biến.
Từ các công trình được đề cập ở trên và sự gợi ý từ các kết quả trong [B. G. Pachpatte,
Differential Equations & Applications, 1 (1) (2009) 27 - 39; J. Inequal. Pure and Appl. Math.
10 (4) (2009), Art. 108, 10 pp; Tamkang J. of Math. 39 (1) (2008) 85 - 94], chúng tôi thấy
rằng định lý điểm bất động Banach, định lý điểm bất động Schauder kết hợp với các công cụ
của giải tích hàm có thể được áp dụng để thu được kết quả tồn tại và một số tính chất của
nghiệm của (9) hoặc (10). Trong quá trình chứng minh, việc xây dựng các không gian Banach
( Xm , k k Xm ), ( Xm,n , k k Xm,n ) sau đây cùng với việc tìm ra các tiêu chuẩn nhận biết một tập
con của chúng là tập compact tương đối là rất hữu ích
Xm = fu 2 X = C (Ω; R) : D1k u 2 X, k = 1, 2, ..., mg,
D1k u( x, y) , u 2 Xm , ứng với (9);
kuk Xm = sup ju( x, y)j + ∑m
k =1 sup
( x,y)2Ω

( x,y)2Ω
j

Xm,n = fu 2 X = C (Ω; R) : D1i u, D2 u 2 X, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., ng,
kuk Xm,n = sup ju( x, y)j + ∑im=1 sup D1i u( x, y)
( x,y)2Ω

+ ∑nj=1 sup

( x,y)2Ω

( x,y)2Ω

j

D2 u( x, y) , u 2 Xm,n , ứng với (10).

Theo hiểu biết của chúng tôi, những kỹ thuật này chưa được sử dụng trước đó.
Toàn bộ các kết quả đạt được ứng với 4 dạng phương trình nêu trên là mới và được trình
bày trong bốn chương 1, 2, 3 và 4 của luận án, với cấu trúc và tên gọi các chương như sau.
Chương 1. Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến
Chương 1 xét hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến (1). Chương này sẽ gồm bốn
mục. Trong mục 1, bằng cách sử dụng định lý điểm bất động Banach, chúng tôi tìm điều kiện đủ
cho sự tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm của (1). Trong trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R),
mục 2 khảo sát sự hội tụ bậc hai của (1). Trong trường hợp Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ,
mục 3 thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm của (1) đến cấp N + 1 theo ε. Mục 4 trình
bày các ví dụ minh họa. Kết quả thu được ở đây là một tổng quát hoá tương đối các kết quả
trước đó và đã được công bố trong [D1]. Ngoài ra, luận án đưa ra một chú ý về một phương

5

trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach E, từ đó với E = R N , ta
thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm tương ứng trong không gian Fréchet C (R+ ; R N ). Kết quả
thu được ở đây đã được công bố trong [D4].
Chương 2. Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị trong không
gian Banach.
Chương 2 xét phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ (5). Chương này sẽ gồm
bốn mục. Trong mục 1, trình bày sự tồn tại nghiệm. Mục 2 trình bày sự tồn tại nghiệm ổn
định tiệm cận. Mục 3 trình bày tính compact của tập nghiệm. Mục 4 trình bày các ví dụ minh
họa. Kết quả thu được ở đây đã được công bố trong [D2].
Chương 3. Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị trong không
gian Banach
Chương 3 xét phương trình tích phân hàm phi tuyến (8). Chương này cũng sẽ gồm bốn
mục, với nội dung các mục như chương 2, nhưng với sự cải tiến các phương pháp và các kỹ
thuật đã sử dụng trong chương 2 cho miền nhiều chiều. Kết quả thu được đã được công bố
trong [D3].
Chương 4. Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến hai biến nhận giá trị thực
Chương 4 xét các phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực, có các
dạng (9) và (10). Chương này gồm bốn mục. Sự tồn tại của nghiệm cho (9) trong trường hợp
m = 1, hoặc m
2 sẽ được trình bày trong mục 1, 2. Sự tồn tại của nghiệm cho (10) trong
trường hợp m
1 và n
1 sẽ được trình bày trong mục 3. Sự duy nhất nghiệm hay tính
compact của tập các nghiệm cũng được nêu trong mục này. Mục 4 trình bày hai ví dụ minh
họa. Kết quả thu được ở đây được công bố trong [D5].
Tóm lại, nội dung chính của luận án là nới rộng và kế thừa các kết quả trước đó và đã
được công bố trong [D1] - [D5]. Nội dung của luận án cũng đã được báo cáo một phần trong
các hội nghị các cấp.

Để nhận được các kết quả trong luận án này, các công cụ của giải tích hàm phi tuyến đã
được áp dụng. Ngoài các khái niệm và tính chất cần thiết đặc thù cho mỗi dạng bài toán sẽ
được nêu rõ trong mỗi chương, để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi nhắc lại không gian Fréchet
N ; E ) được sử dụng trong hai chương 2 và 3 của luận án và các định lý quan trọng được
C (R+
sử dụng trong toàn bộ luận án.
N ; E ).
Không gian Fréchet C (R+
Ta biết rằng các không gian các hàm liên tục trên một tập không compact không thể có
cấu trúc của một không gian Banach, nhưng nó có thể được xây dựng để thành một không
gian Fréchet nếu chúng ta sử dụng họ đếm được các nửa chuẩn phù hợp và xác định một
mêtric tương ứng [xem [C. Avramescu, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 5 (2003) 1 15]; [C. Avramescu, EJDE. 126 (2005) 1 - 10]); K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag,
New York Berlin, G¨
ottingen Heidelberg, Vol. 123, 1965, p.32, p.52].
N ; E ) là không gian của tất cả các
Cho ( E, j j) là một không gian Banach. Cho X = C (R+
N
hàm liên tục từ R+ vào E đối với một họ đếm được các nửa chuẩn jujn = sup ju( x )j , n 2 N,
u 2 X. Khi đó X là không gian đầy đủ theo mêtric d(u, v) =

∑

x 2[0,n] N
∞
ju vjn
n
2 1+ju vj , u, v
n =1
n

2 X, và X

là một không gian Fréchet. Điều này có nghĩa là mọi dãy Cauchy fuk g trong X hội tụ về một
điểm của X.
Chi tiết của chứng minh có thể được tìm thấy ở Phụ lục trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long,
Differential Equations & Applications, 4 (2) (2012) 233 - 255].
Các định lý điểm bất động quan trọng thường sử dụng
1. Định lý 0.1. (Định lý điểm bất động Banach [K. Goebel, W. A. Kirk, Topics in metric fixed
point theory, Cambridge University Press, New York, 1990], Nguyên lý ánh xạ co của Banach).

6


Cho ( M, d) là không gian metric đầy đủ và T : M ! M là ánh xạ co, nghĩa là, tồn tại k 2 [0, 1)
sao cho d( Tx, Ty) kd( x, y), 8 x, y 2 M. Khi đó T có duy nhất một điểm bất động x 2 M. Hơn nữa
với mỗi x0 2 M cho trước, dãy lặp f T n x0 g hội tụ về x .
2. Định lý 0.2. (Định lý Schauder [M. A. Krasnosel’skii, P. P. Zabreiko, Geometrical Methods
of Nonlinear Analysis, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo, 1984]).
Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach E và T : K ! K là ánh xạ liên tục sao
cho bao đóng của T (K ) là tập compact.
Khi đó T có ít nhất một điểm bất động.
3. Định lý 0.3. (Định lý điểm bất động Krasnosel’skii trong không gian Banach [E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its Applications, Part I, Springer-Verlag, New York Berlin
Heidelberg Tokyo, 1986]).
Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không gian Banach X. Giả sử U : M ! X là
ánh xạ co và C : M ! X là toán tử hoàn toàn liên tục, nghĩa là, C liên tục và C ( M ) chứa trong một
tập compact, sao cho U ( x ) + C (y) 2 M, 8 x, y 2 M. Khi đó U + C có điểm bất động.
4. Định lý 0.4. (Định lý điểm bất động Banach trong không gian Fréchet, Banach, xem [C.
Avramescu, E. J. Qualitative Theory of Diff. Equ., No. 5 (2003) 1 - 15]).
Cho ( X, j jn ) là một không gian Fréchet và cho Φ : X ! X là một toán tử Ln co trên X đối với
một họ các nửa chuẩn j jn , tức là jΦ( x ) Φ(y)jn

Ln j x yjn , 8 x, y 2 X. Khi đó Φ có một điểm
bất động duy nhất trong X.
Chi tiết chứng minh của Định lý 0.4 có thể được tìm thấy ở Phụ lục trong [L. T. P. Ngoc,
N. T. Long, Differential Equations & Applications, 4 (2) (2012) 233 - 255].
5. Định lý 0.5. (Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong không gian Fréchet [L. T.
P. Ngoc, N. T. Long, Fixed Point Theory and Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847,
24 pages]).
Cho ( X, j jn ) là một không gian Fréchet và hai toán tử U, C : X ! X. Giả sử U là một toán tử
k n co, k n 2 [0, 1) (phụ thuộc vào n), đối với một họ các nửa chuẩn k kn tương đương với họ các nửa
jCx jn
j x jn !∞ j x jn

chuẩn j jn và C là toán tử hoàn toàn liên tục sao cho lim

bất động.

= 0, 8n 2 N. Khi đó, U + C có điểm

Chương 1
Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến
Chương này khảo sát hệ các phương trình tích phân hàm phi tuyến sau
fi (x) =

m

n

∑ k =1 ∑ j =1

εaijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )),

Z X (x)
ijk
0

f j (t)dt + bijk f j (Sijk ( x )) + gi ( x ), (1.1)

i = 1, ..., n, x 2 Ω = [ b, b], trong đó aijk , bijk là các hằng số thực cho trước; Rijk , Sijk ,
Xijk : Ω ! Ω, gi : Ω ! R, Ψ : Ω R2 ! R là các hàm liên tục cho trước và f i : Ω ! R là các
ẩn hàm, ε là một tham số bé. Kết quả thu được ở đây là một tổng quát hoá tương đối các kết
quả trước đó và đã được công bố trong [D1], [D4].
1.1 Định lý tồn tại duy nhất và ổn định của nghiệm
Với Ω = [ b, b], chúng ta ký hiệu X = C (Ω; Rn ) là không gian Banach của các hàm
f : Ω ! Rn liên tục trên Ω đối với chuẩn
k f k X = sup ∑in=1 j f i ( x )j , f = ( f 1 , ..., f n ) 2 X.
x 2Ω

Với số nguyên
n không âm r bất kỳ, ta đặt
(k)
Cr (Ω; Rn ) = f 2 C (Ω; Rn ) : f i 2 C (Ω; R), 0

k

r, 1

i

o
n .

Rõ ràng là Cr (Ω; Rn ) là không gian Banach đối với chuẩn k f kr = max

0 k r

7

f (k)

X

.


Ta viết hệ (1.1) dưới dạng của một phương trình toán tử trong X như sau
f = εA f + B f + g,
trong đó f = ( f 1 , ..., f n ), A f = (( A f )1 , ..., ( A f )n ), B f = (( B f )1 , ..., ( B f )n ), với
n
( A f )i ( x ) = ∑ m
k =1 ∑ j=1 aijk Ψ x, f j ( Rijk ( x )),

( B f )i ( x ) =

∑m
k =1

∑nj=1 bijk f j (Sijk ( x )), x
[αijk ] = ∑in=1 ∑m
k =1 max
1 j n

Ta ký hiệu
k = 1, ..., mg, và

Z X (x)
ijk
0

(1.2)

f j (t)dt ,

2 Ω, i = 1, 2, ..., n.
αijk , với mọi tập [αijk ] = fαijk 2 R : i, j = 1, ..., n;

[ Fijk ] = ∑in=1 ∑m
k =1 max Fijk
1 j n

∞

, với mọi tập [ Fijk ] = f Fijk 2 C (Ω; R) : i,

j = 1, ..., n; k = 1, ..., mg, trong đó k k∞ để chỉ chuẩn sup trên C (Ω; R); và thành lập các giả
thiết sau
( H1 ) Tất cả các hàm Rijk , Sijk , Xijk : Ω ! Ω là liên tục,
( H2 ) g 2 X,

( H3 )

[bijk ] < 1,

( H4 ) Ψ : Ω R2 ! R thỏa điều kiện sau: 8 M > 0, 9C1 ( M) > 0 :
jΨ( x, y1 , z1 ) Ψ( x, y2 , z2 )j C1 ( M) (jy1 y2 j + jz1 z2 j) với mọi ( x, y1 , z1 ), ( x, y2 , z2 ) 2
Ω [ M, M ] [ bM, bM ],
M (1 k[b ]k)
2k g k
( H5 ) M > 1 [b X ] và 0 < ε0 < 2[(1+b MC ( M)+ijknM ] [a ] ,
)
k ijk k
0 k ijk k
1
trong đó M0 = sup fjΨ( x, 0, 0)j : x 2 Ωg .
Cho trước M > 0, ta đặt K M = f f 2 X : k f k X
M g.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử ( H1 ) và ( H3 ) là đúng. Khi đó, toán tử tuyến tính I B : X ! X là khả đảo
1
và ( I B) 1
.
1 k[bijk ]k
Ta viết lại hệ phương trình hàm (1.2) như sau
(1.3)
f = ( I B) 1 (εA f + g) T f .
Bổ đề 1.1.2. Giả sử ( H1 ), ( H3 ), ( H4 ) là đúng. Khi đó, với mỗi M > 0, ta có
(i) k A f k X
[ aijk ] [(1 + b) C1 ( M) k f k X + nM0 ] , 8 f 2 K M ;
(ii) A f

A f¯

X

(1 + b) C1 ( M) [ aijk ]

f

f¯

X

, 8 f , f¯ 2 K M .

Định lý 1.1.3. Giả sử ( H1 ) ( H5 ) là đúng. Khi đó, với mỗi ε, với jεj ε0 , hệ (1.3) có một nghiệm
duy nhất f 2 K M .
Nhận xét 1.1.1: Định lý 1.1.3 cho một thuật giải xấp xỉ liên tiếp f (ν) = T f (ν 1) , ν = 1, 2, ...,
trong đó f (0) 2 X cho trước. Khi đó, dãy f f (ν) g hội tụ trong X về nghiệm f của (1.3) và ta có
ε0 (1+b)C1 ( M )k[ aijk ]k
σν
(0)
f (0)
với mọi ν 2 N, trong đó σ =
<
đánh giá f (ν) f
1 σ Tf
1 k[bijk ]k
X
X
1.
1.2 Thuật giải lặp cấp hai
Xét thuật giải sau đây cho hệ (1.1)

(ν)
(ν)
(ν)
n
f i ( x ) = ( B f (ν) )i ( x ) + ε ∑ m
k =1 ∑ j=1 αijk ( x ) f j ( Rijk ( x ))
Z X (x)
(1.4)
ijk
(ν)
(ν)
(ν)
n
+ ε ∑m
f j (t)dt + gi ( x ),
k =1 ∑ j=1 βijk ( x )
với mọi x 2 Ω, 1
(ν)

Wijk ( x ) =

0

i

n, và ν = 1, 2, ... trong đó

( ν 1)

x, f j

( Rijk ( x )),

Z X (x)
ijk
( ν 1)
0

fj

8

(t)dt ,

(1.5)


(ν)

(ν)

(ν)

và với αijk ( x ), βijk ( x ) và gi ( x ) phụ thuộc vào f (ν
(ν)
αijk ( x )

=

(ν)

Wijk ( x )

aijk ∂Ψ
∂y

(ν)

(0)

γν = [bijk ] + jεj

aijk ∂Ψ
∂z

=

như sau
(ν)

(1.6)

Wijk ( x ) ,

(ν)
( ν 1)
n
ε ∑m
( Rijk ( x ))
i (x)
k =1 ∑ j=1 αijk ( x ) f j

Z X (x)
ijk
(ν)
( ν 1)
n
ε ∑m
fj
(t)dt,
k =1 ∑ j=1 βijk ( x )
0
(0)
f n ) 2 K M cho trước. Khi đó, ta có.
Giả sử ( H1 ) ( H3 ) là đúng và cho Ψ 2 C1 (Ω R2 ; R). Nếu f (ν 1)
(ν)
(ν)
[αijk ] + b [ βijk ] < 1, khi đó, tồn tại một hàm duy nhất f (ν) 2 X

gi ( x ) = gi ( x ) + ε ( A f ( ν

và f (0) = ( f 1 , ...,
Định lý 1.2.1.

,

(ν)
βijk ( x )

1)

1) )

của hệ (1.4) - (1.7).
Tiếp theo, chúng ta thành lập các giả thiết sau đây:
( H6 ) Ψ 2 C2 (Ωh R2 ; R),
i
2
1
0
( H7 ) ε0 [ aijk ] nM
M + (1 + b ) M1 + 2 (1 + b ) M2 M

[bijk ]

1

trong đó M0 =nsup fjΨ( x, 0, 0)j : x 2 Ωg và
o
∂Ψ
∂Ψ
M1 = sup
( x, y, z) : ( x, y, z) 2 A ,
∂y + ∂z
o
n
∂2 Ψ
∂2 Ψ
∂2 Ψ
+
+
(

x,
y,
z
)
:
(
x,
y,
z
)
2
A
,
M2 = sup
2
2
∂y∂z
∂y
∂z

1
M

(1.7)

2 X thỏa
là nghiệm

k gk X ,

với A = f( x, y, z) : x 2 Ω, jyj M, jzj bM g .
Định lý 1.2.2. Giả sử ( H1 ) ( H3 ), ( H6 ), ( H7 ) là đúng và giả sử f là nghiệm của hệ (1.1) và
dãy f f (ν) g được xác định bởi thuật giải (1.4) - (1.7).
(i) Nếu

f (0)

M, khi đó f (ν)

X

2

1
2 ε0

f

β M f (ν

X

1)

f

2

X

, 8ν = 1, 2, ...

(1+b) M2 k[ aijk ]k
> 0.
k[bijk ]k ε0 (1+b) M1 k[aijk ]k
(ii) Nếu số hạng đầu tiên f (0) đủ gần f sao cho β M f (0) f
< 1, thì dãy f f (ν) g hội tụ bậc hai
X
ν
2
1
về f và hơn nữa f (ν) f
β M f (0) f
, 8ν = 1, 2, ...
βM
X
X
Nhận xét 1.2.1: Với g(0) 2 K M , dãy lặp g(µ) = T µ g(0) hội tụ về f . Nếu ta chọn µ0 đủ lớn

trong đó β M =

1

sao cho β M g(µ0 )

f

β M Tg(0)

X

đầu tiên f (0) đủ gần f sao cho β M f (0)

σ µ0
X 1 σ

g (0)
f

X

< 1, và chọn f (0) = g(µ0 ) , khi đó số hạng

< 1.

1.3

Khai triển tiệm cận của nghiệm
Giả sử rằng các hàm Rijk , Sijk , Xijk , g, Ψ và các số thực aijk , bijk , M thoả mãn các giả thiết
( H1 ) ( H5 ), tương ứng. Ta sử dụng ký hiệu sau đây
Ψ[ f j ] = Ψ x, f j ( Rijk ( x )),

Z X (x)
ijk
0

f j (t)dt .

Bây giờ, ta giả sử rằng
( H8 ) Ψ 2 C N (Ω R2 ; R).

Chúng ta xét hệ bị nhiễu (1.2), trong đó ε là một tham số bé, jεj
ε0 . Xét dãy hữu hạn
các hàm f f [r] g, r = 0, 1, ..., N, f [r] 2 K M (với các hằng số M > 0, ε0 > 0 thích hợp) được xác
định như sau:
(1.8)
f [r] = ( I B) 1 P[r] , r = 0, 1, ..., N,
[r ]

[r ]

trong đó P[r] = P1 , ..., Pn

, r = 0, 1, ..., N, và P[0] = g.

9


[1]

Với r = 1 : Pi

[0]

n
= ( A f [0] ) i ( x ) = ∑ m
k =1 ∑ j=1 aijk π j [ Ψ ],

trong đó
[0]
[0]

[0]
[0]
π j [Ψ] = Ψ[ f j ] = Ψ x, f j ( Rijk ( x )), J f j ( Xijk ( x )) ,
[0]

J f j ( Xijk ( x )) =
Với r = 2 :

[2]
Pi

Z X (x)
ijk
[0]

=

f j (t)dt.

0

∑m
k =1

[1]

∑nj=1 aijk π j [Ψ],

trong đó
[0]

[1]
[0]
[1]
[1]
π j [Ψ] = π j [ D2 Ψ] f j + π j [ D3 Ψ] J f j , D2 Ψ =
Với 2

r

[r ]

N : Pi

[r 1]

n
= ∑m
k =1 ∑ j=1 aijk π j

∂Ψ
∂y ,

D3 Ψ =

∂Ψ
∂z .

[ Ψ ],

[r ]

trong đó, π j [Ψ], 0 r N 1 được xác định bởi các công thức qui
n
o
[r ]
[s]
[r s ]
[s]
[r s ]
π j [Ψ] = ∑rs=10 r r s π j [ D2 Ψ] f j
+ π j [ D3 Ψ] J f j
.
N
N
[
0
]
[
r
]
r
[
0
]
Đặt h = f + ∑r=1 f ε
f + U, khi đó v = f ε ∑r=0 f [r] εr
( I B)v = ε[ A(v + h) Ah] + Eε ,
trong đó Eε = ε[ A( f [0] + U ) A( f [0] )] ∑rN=2 P[r] εr .

nạp

fε

h thỏa hệ
(1.9)

Khi đó, ta có bổ đề sau mà chứng minh của nó có sử dụng một số kỹ thuật trong [N. T.
Long, J. Math. Anal. Appl. 306 (1) (2005) 243 - 268].
[r ]
Bổ đề 1.3.1. Các hàm π j [Ψ], 0
r
N 1 như trên ở được xác định bởi các công thức sau:
[r ]

π j [Ψ] =

1 ∂r
r! ∂εr Ψ [ h j ] ε=0 ,

r

0

Bổ đề 1.3.2. Giả sử ( H1 )
N, [ aijk ] , [bijk ] ,

f [r ]

X

N

1.
(1)

( H5 ), ( H8 ) là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số C¯ N chỉ tùy thuộc vào
(1)
, 0 r N sao cho k Eε k X C¯ N jεj N +1 .

Định lý 1.3.3. Giả sử ( H1 ) ( H5 ), ( H8 ) là đúng. Khi đó, tồn tại một hằng số ε1 > 0 sao cho, với
mọi ε 2 R, với jεj
ε1 , hệ (1.3) có một nghiệm duy nhất f ε 2 K M thỏa một đánh giá tiệm cận đến
(1)
2
C¯ jεj N +1 , trong đó các hàm f [r] , r = 0, 1, ..., N
cấp N + 1 như sau f ε ∑rN=0 f [r] εr
1 k[bijk ]k N
X
được xác định bởi (1.8).
1.4 Hai ví dụ minh họa
1.4.1 Ví dụ 1.1
Ta xét hệ (1.1) với n = 2, m = 1, Ψ ( x, y, z) = cos y sin z :
Z x

f 1 ( x ) = εa11 cos f 1 ( 3x + 32 ) sin

+εa12 cos f 2 ( 3x

2
3)

sin

Z x3
0

0

f 2 (t)dt

f 2 ( x ) = εa21 cos f 1 ( 4x + 43 ) sin

+εa22 cos f 2 ( 4x

3
4)

sin

f 1 (t)dt
!

Z x5

Z x
0

0

1
x

+ b11 f 1 ( 2x
3 + 3 ) + b12 f 2 ( 2
!

1
2 ) + g1 ( x ) ,

f 1 (t)dt

f 2 (t)dt + b21 f 1 ( 2x + 12 ) + b22 f 2 ( 2x
3

1
3 ) + g2 ( x ) ,

(1.10)

x 2 Ω = [ 1, 1], trong đó ε đủ nhỏ; aijk
aij , bijk
bij là các hằng số và tất cả các hàm g1 ,
g2 : Ω ! R; Rijk
Rij , Sijk
Sij , Xijk
Xij : Ω ! Ω là liên tục được xác định lần lượt như
sau
2

aij 2 R; bij 2 R sao cho [bij ] = ∑ max bij = max b1j + max b2j < 1;
i =1 1 j 2

1 j 2

10

1 j 2


g1 , g2 2 C (Ω; R);
R11 ( x ) R12 ( x )
Rij ( x ) =
=
R21 ( x ) R22 ( x )
S11 ( x ) S12 ( x )
Sij ( x ) =
=
S21 ( x ) S22 ( x )
X11 ( x ) X12 ( x )
Xij ( x ) =
=
X21 ( x ) X22 ( x )
Rõ ràng là ( H1 )

x
2
3 + 3
x
3
+
4
4

2x
1
3 + 3
x
1
2 + 2

x
x5

( H5 ) đúng với M >

1

x3
x

x
3
x
4
x
2
2x
3

2
3
3
4

1
2
1
3

;
;

.

2k g k X
k[bij ]k

và 0 < ε0 <

1

k[bij ]k

4k[ aij ]k

. Vì vậy, ta kết luận

rằng, với mỗi ε với jεj < ε0 , hệ phương trình (1.10) có một nghiệm duy nhất f 2 K M .
Mặt khác, vì Ψ ( x, y, z) = Ψ (y, z) = cos y sin z, ( H6 ) và ( H8 ) cũng được thỏa. Do đó, nếu
1 g
1 k[bij ]k M
k kX
2k g k X
M>

, 0 < ε0 <
và ε là đủ nhỏ, khi đó ta thu được các kết quả như
1 k[bij ]k
2(2+3M )k[ aij ]k
trong các Định lý 1.2.2 và 1.3 .3.
1.4.2 Ví dụ 1.2
1
Ta xét hệ (1.1) với n = m = 2, Ψ ( x, y, z) = Φ (z) , Φ 2
! C (R) :
f 1 ( x ) = εa11 Φ

Z x
0

f 1 (t)dt + εa12 Φ

Z x3
0

f 2 (t)dt

+ b111 f 1 ( x+2 1 )

+b112 f 1 (cos πx ) + b122 f 2 ( 2x3+1 ) + g1 ( x ),
(1.11)
f 2 ( x ) = b211 f 1 ( x 2 1 ) + b221 f 2 (sin πx ) + b222 f 2 ( 2x3 1 ) + g2 ( x ),
x 2 Ω = [ 1, 1], trong đó ε đủ nhỏ; aijk
aij , bijk là các hằng số và tất cả các hàm g1 ,
g2 : Ω ! R; Rijk Rij , Sijk , Xijk Xij : Ω ! Ω là liên tục được xác định lần lượt như sau
a11 a12

a11 a12
aij 2 R sao cho aij =
=
;
a21 a22
0
0
h i
b111 b121 b112 b122
b111
0
b112 b122
bijk 2 R sao cho bijk =
=
,
b211 b221 b212 b222
b211 b221
0
b222
[bijk ] = ∑2i=1 ∑2k=1 max bijk
1 j 2

= jb111 j + jb222 j + max fjb112 j , jb122 jg + max fjb211 j , jb221 jg < 1;
g1 , g2 2 C (Ω; R);
h
i
S111 ( x ) S121 ( x ) S112 ( x ) S122 ( x )
Sijk ( x ) =
S211 ( x ) S221 ( x ) S212 ( x ) S222 ( x )
x +1

0
cos πx 2x3+1
2
=
;
x 1
2x 1
sin πx
0
2
3
X11 ( x ) X12 ( x )
x x3
Xij ( x ) =
=
.
X21 ( x ) X22 ( x )
0
0
M (1 k[bijk ]k)
2k g k X
#.
"
Dễ thấy rằng ( H1 )-( H5 ) đúng với M >
và 0 < ε0 <
1 k[bijk ]k
4k[ aij ]k M sup jΦ0 (z)j+jΦ(0)j
jzj M

Vì vậy, với mỗi ε với jεj < ε0 , hệ phương trình (1.11) có một nghiệm duy nhất f 2 K M .

Hơn nữa, nếu Φ 2 C2 (R) hay Φ 2 C N (R), M >
"
0 < 2ε0 [ aij ]

jΦ(0)j
M

1

2k g k X
k[bijk ]k

#

và

+ sup jΦ0 (z)j + M sup jΦ00 (z)j < 1
jzj M

jzj M

[bijk ]

và ε là đủ nhỏ, các kết quả của các Định lý 1.2.2 và 1.3.3 cũng thu được.

11

1
M

k gk X


1.5

Chú ý về một phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị trong không gian
Banach
Cùng chủ đề này, chúng tôi cũng xét phương trình tích phân hàm phi tuyến nhận giá trị
trong không gian Banach có dạng
x (t) = V t, x (t),
V¯2 [ x ](s) =

Z µ (s)
2
0

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, x (θ 1 (s)), ..., x (θ p (s)), V¯2 [ x ](s) ds ,

(1.12)

V2 s, r, x (θ˜ 1 (r )), ..., x (θ˜ q (r )) dr,

t 2 R+ , trong đó E là một không gian Banach, V : R+ E2 ! E; V1 : ∆µ1 E p+1 ! E;
V2 : ∆µ2 Eq ! E được giả sử là các hàm liên tục, ∆µi = f(t, s) 2 R2+ : s µi (t)g, các hàm µ1 ,
µ2 , θ i , θ˜ j 2 C (R+ ; R+ ) là liên tục sao cho µ1 (t), µ2 (t), θ i (t), θ˜ j (t) 2 [0, t], i = 1, ..., p; j = 1, ..., q.
Trong [D4], chúng tôi sử dụng công cụ giải tích hàm và định lý điểm bất động Banach trong

một không gian Fréchet C (R+ ; E), để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương
trình trên. Các ví dụ minh họa được đưa ra để làm sáng tỏ kết quả của chúng tôi.
Trong trường hợp E = R N , xét phương trình tích phân hàm phi tuyến sau
xi (t) = Ui

t, x1 (t), ..., x N (t),
...,

Z µ (t)
1
0

W1 (t, s, x1 (θ 1 (s)), ..., x N (θ 1 (s)) ) ds,

Z µ (t)
1
0

(1.13)
WN (t, s, x1 (θ 1 (s)), ..., x N (θ 1 (s)) ) ds ,

i = 1, ..., N, t 2 R+ , trong đó các hàm liên tục Ui , Wi được xác định bởi Ui : R+ R2N ! R,
i = 1, ..., N; Wi : ∆1 R N ! R, i = 1, ..., N; ∆1 = f(t, s) 2 R2+ : s µ1 (t)g.
Giả sử rằng
( A˜ 1 ) Các hàm µ1 , θ 1 2 C (R+ ; R+ ) sao cho µ1 (t) t, θ 1 (t) t, với mọi t 2 R+ ;
Ta viết lại (1.13) theo dạng
xi (t) = Ui

t, x (t),

Z µ (t)
1
0

W1 (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds, ...,

Z µ (t)
1
0

WN (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds ,

(1.14)

; R N ).

i = 1, ..., N, t 2 R+ , trong đó x = ( x1 , ..., x N ) 2 X = C (R+
Ta định nghĩa hai hàm vecto V : R+ R2N ! R N , V1 : ∆1 R N ! R N như sau:
V (t, x, y) = (U1 (t, x, y), ..., UN (t, x, y)) , (t, x, y) 2 R+ R2N ,
V1 (t, s, x ) = (W1 (t, s, x ), ..., WN (t, s, x )) , (t, s, x ) 2 ∆1 R N .
Khi đó hệ (1.14) trở thành
x (t) = V t, x (t),

Z µ (t)
1
0

V1 (t, s, x (θ 1 (s)) ) ds

Φx (t), t

0.

(1.15)

Giả sử rằng
( A˜ 2 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+ ! R+ sao cho
¯ y¯ )j L j x x¯ j∞ + ω 0 (t) jy y¯ j∞ , 8 (t; x, y) , (t; x,
¯ y¯ ) 2 R+ R2N ,
jUi (t; x, y) Ui (t; x,
N
với mọi i = 1, ..., N; và j j∞ là một chuẩn trên R được xác định bởi j x j∞ = max j xi j ,
1 i N

x = ( x1 , ..., x N ) 2 R N .
( A˜ 3 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆1 ! R+ sao cho
jWi (t, s, x ) Wi (t, s, x¯ )j ω 1 (t, s) j x x¯ j∞ , với mọi (t, s, x ), (t, s, x¯ ) 2 ∆1 R N .
Chú ý rằng C (R+ ; R N ) là không gian Fréchet được trang bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn
j x jn = supfj x (t)j∞ : t 2 [0, n]g, n 1. Trên C (R+ ; R N ) chúng ta cũng xét họ các nửa chuẩn
khác xác định bởi k x kn = supfe hn t j x (t)j∞ : 0
t
n g, n
1, và hn > 0 là số thực tùy ý,
mà k kn tương đương với j jn , vì e nhn j x jn k x kn j x jn , 8 x 2 C (R+ ; R N ), 8n 1.
Với việc chọn các tham số phù hợp hn > 0 chúng ta sẽ chỉ ra được Ln 2 [0, 1) sao cho, toán
tử Φ là Ln co trên C (R+ ; R N ).

12

Khi đó ta có kết quả sau.
Định lý 1.5.1. Giả sử ( A˜ 1 ) ( A˜ 3 ) đúng. Khi đó (1.13) có nghiệm duy nhất y 2 C (R+ ; R N ).
Hơn nữa, cho trước y(0) 2 C (R+ ; R N ), xét dãy fy(k) g được xác định bởi
y(k) (t) = V t, y(k

1) ( t ),

Z µ (t)
1

0
f y(k) g

V1 t, s, y(k

1) ( θ

1 ( s ))

t 2 R+ , k = 1, 2, ... Khi đó, dãy
hội tụ về y trong C (R+
k y (1) y (0) k n k
(k)
y
y
Ln , 8k, n 2 N,
1 Ln

Φy(k

ds
; RN )

1) ( t ),

(1.16)

với đánh giá sai số
(1.17)

n
Ln

trong đó Ln , 0 <
< 1 là một hằng số chỉ phụ thuộc vào n.
Kết luận chương 1. Chương này thu được kết quả tồn tại, duy nhất nghiệm và ổn định của
nghiệm đối với hệ (1.1). Trường hợp Ψ 2 C2 (Ω R2 ; R), một thuật giải lặp cấp 2 được thiết
lập sinh ra một dãy hội tụ cấp hai về nghiệm của hệ (1.1) cùng với đánh giá sai số cấp hai.
Trường hợp Ψ 2 C N (Ω R2 ; R) và ε đủ nhỏ, chương này cũng thiết lập một khai triển tiệm
cận của nghiệm của (1.1) đến cấp N + 1 theo ε. Cuối cùng là các ví dụ minh họa cũng được
trình bày. Ngoài ra, cuối chương cũng nêu ra một chú ý về một phương trình tích phân hàm
phi tuyến nhận giá trị trong không gian Banach E, từ đó với E = R N , dẫn đến sự tồn tại duy
nhất nghiệm tương ứng trong không gian Fréchet C (R+ ; R N ). Kết quả chương này đã được
công bố trong [D1], [D4].

Chương 2
Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị trong
không gian Banach
Chương này khảo sát phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ
x (t) = V t, x (t),

+

Z µ (t)
1

Z ∞0
0

V1 t, s, x (σ1 (s)),

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr

ds

F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ ,

(2.1)

trong đó E là không gian Banach, các hàm số µi , σi , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) có tính chất
0 µi (t) t; 0 σi (t) t; 0 χ j (t) t, i = 1, 2, j = 1, ..., q, và các hàm V : R+ E2 ! E;
V1 : ∆µ1 E2 ! E; V2 : ∆µ2 E ! E; F : R2+ Eq ! E là liên tục, ở đây ∆µi = f(t, s) 2 R2+ :
s
µi (t)g. Kết quả thu được là sự một tổng quát hoá tương đối các kết quả trước đó và đã
được công bố trong [D2].
2.1 Sự tồn tại nghiệm

Cho X = C (R+ ; E) là không gian của tất cả các hàm liên tục từ R+ vào E. Trên X trang
bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn j x jn = supfj x (t)j : 0
t
n g, n
1. Khi đó ( X, j jn ) là

đầy đủ theo metric d( x, y) = ∑∞
n =1 2

n j x yjn ,
1+j x yjn

và X là không gian Fréchet. Trên X, chúng ta

cũng xét một họ các nửa chuẩn khác k kn được xác định bởi k x kn = j x jγ + j x jhn , n
n
hn (t γn )

1, trong

đó j x jγ = supfj x (t)j : 0 t γn g, j x jhn = supfe
j x (t)j : γn t ng, γn 2 (0, n) và
n
hn > 0 là các số thực tùy ý. Họ này là tương đương với j jn , bởi vì
e hn (n γn ) j x jn k x kn 2 j x jn , 8 x 2 X, 8n 1.
Dựa vào cấu trúc như vậy của ( X, j jn ), bổ đề sau đây là rất hữu ích để chứng minh sự tồn
tại của các nghiệm cho phương trình (2.1).
Bổ đề 2.1.1. Cho X = C (R+ ; E) là không gian Fréchet được xác định như trên và A
X. Với
mỗi n 2 N, ký hiệu Xn = C ([0, n]; E) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục x : [0, n] ! E

đối với chuẩn j x jn = supfj x (t)j : 0
t
ng và An = f x j[0,n] : x 2 Ag. Khi đó, tập A compact
tương đối trong X khi và chỉ khi với mỗi n 2 N, An là đẳng liên tục trong Xn và với mỗi t 2 [0, n], tập
13


An (t) = f x (t) : x 2 An g là compact tương đối trong E.
Để thiết lập kết quả cho phương trình (2.1), ta lập các giả thiết sau.
( A1 ) Các hàm µ1 , µ2 , σ1 , σ2 , χ1 , ..., χq 2 C (R+ ; R+ ) sao cho µi (t), σi (t), χ j (t) 2 [0, t], với
mọi t 2 R+ , i = 1, 2, j = 1, ....q.
( A2 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+ ! R+ sao cho
¯ y¯ )j L j x x¯ j + ω 0 (t) jy y¯ j , 8 (t; x, y) , (t; x,
¯ y¯ ) 2 R+ E2 ;
jV (t; x, y) V (t; x,
( A3 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆µ1 ! R+ sao cho
¯ y¯ )j ω 1 (t, s) (j x x¯ j + jy y¯ j) , 8(t, s, x, y), (t, s, x,
¯ y¯ ) 2 ∆µ1 E2 ;
jV1 (t, s, x, y) V1 (t, s, x,
( A4 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 2 : ∆µ2 ! R+ sao cho
jV2 (s, r, x ) V2 (s, r, x¯ )j ω 2 (s, r ) j x x¯ j , với mọi (s, r, x ), (s, r, x¯ ) 2 ∆µ2 E;
( A5 ) F : R2+ Eq ! E là hoàn toàn liên tục sao cho với mọi tập con bị chận I1 , I2 của R+
và mọi tập con bị chận J của Eq , với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho
8t1 , t2 2 I1 , jt1 t2 j < δ =) F (t1 , s, u1 , ..., uq ) F (t2 , s, u1 , ..., uq ) < ε,
với mọi (u1 , ..., uq ) 2 J và s 2 I2 ;
(RA6 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 3 : R2+ ! R+ sao cho với mọi tập con bị chận I của R+ ,
∞
ω 3 (t, s), 8(t, s, u1 , ..., uq ) 2 I R+ Eq .
0 sup ω 3 ( t, s ) ds < ∞, và F ( t, s, u1 , ..., uq )
t2 I

Khi đó, ta có định lý sau
Định lý 2.1.2. Giả sử ( A1 ) ( A6 ) đúng. Khi đó (2.1) có nghiệm trong X.
2.2 Nghiệm ổn định tiệm cận
Định nghĩa. Một hàm x được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (2.1) nếu với mọi
nghiệm x˜ của (2.1), ta có lim j x (t) x˜ (t)j = 0.
t!+∞

Khi đó, ta có định lý
Định lý 2.2.1. Giả sử ( A1 )
lim

t!∞

2

a¯ (t) + b(t)

Z t
0

2

( A6 ) là đúng. Nếu

a¯ (s) exp

Z t
s

(2.2)

b(r )dr ds = 0,

trong đó
8
>
>
a¯ (t) = a(t) + a(σ1 (t)) + a(σ2 (t)), a(t) =
>
>
>
Z t
>
>
>
>
¯ 20 (t) ω 2 (t, r )dr,
< b ( t ) = 2ω

1
1 L

Z ∞
0

ω 3 (t, s)ds, 8t 2 R+ ,

0

¯ 0 (t) = 1 1 L [ω 0 (t) + ω 0 (σ1 (t)) + ω 0 (σ2 (t))] ,
ω
>
>
Z t
>
>
>
>
¯ 1 (t, r ) + ω
¯ 1 (t, s)ω 2 (s, r )ds, r t,
ω (t, r ) = ω
>
>
>
r
:
¯ 1 (t, s) = ω 1 (t, s) + ω 1 (σ1 (t), s) + ω 1 (σ2 (t), s),
ω
khi đó mọi nghiệm x của (2.1) là nghiệm ổn định tiệm cận.
Hơn nữa, lim j x (t) ξ (t)j = 0, trong đó ξ 2 X là nghiệm duy nhất của phương trình
t!∞

x (t) = V t, x (t),
2.3

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, x (σ1 (s)),

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr

ds , t

(2.3)

0.

Tính compact của tập nghiệm
Định lý 2.3.1. Giả sử ( A1 ) ( A6 ) là đúng. Khi đó tập các nghiệm của phương trình (2.1) là khác
rỗng và compact.
2.4 Ví dụ minh họa
Ở mục này chúng tôi minh họa các kết quả thu được bằng một ví dụ.
Gọi E = C ([0, 1]; R) là không gian Banach của các hàm liên tục u : [0, 1] ! R đối với chuẩn
1g, u 2 E. Khi đó, với mỗi x 2 X = C (R+ ; E), với mọi t 2 R+ ,
kuk = supfju(η )j : 0 η
x (t) là một phần tử của E và chúng ta ký hiệu x (t)(η ) = x (t, η ), 0 η 1.
14


Xét phương trình (2.1) có dạng
x (t) = V t, x (t),

+

Z ∞
0

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, x (σ1 (s)),

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr

ds
(2.4)

F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds, t 2 R+ ,

trong đó σi (t) = σ¯ i t, 0 < σ¯ i
1, µi (t) = µ¯ i t, 0 < µ¯ i
1, i = 1, 2; χ j (t) = χ¯ j t, 0 < χ¯ j
1,
j = 1, ..., q. Cho trước các hàm liên tục V, V1 , V2 , F như sau.
(i) Hàm V : R+ E2 ! E,
V (t, x, y)(η ) = 8(1 k1 ) x (t, η ) + k1 j x (η )j + e t jy(η )j , 0 η 1, (t, x, y) 2 R+ E2 ,
với x (t, η ) = η +1 et và k1 là hằng số cho trước sao cho 0 < k1 < 1.
(ii) Hàm V1 : ∆1

E2 ! E, ∆h1 = f(t, s) 2 R2+ : s µ¯ 1 tg,
i
V1 (t, s, x, y)(η ) = e 2s x (t, η ) sin x (σ π(s),η ) x (η ) + e t jy(η )j ,
1

η 1, (t, s, x, y) 2 ∆1 E2 .
(iii) Hàm V2 : ∆2 E ! E, ∆2 = f(s, r ) 2 R2+ : r

0

V2 (s, r, x )(η ) = e

2r x

(s, η ) sin

η 1, (s, r, x ) 2 ∆2 E.
(iv) Hàm F : R2+ Eq ! E,

0

F (t, s; u1 , ..., uq )(η ) =

14
q

2π
x (η )
x (σ2 (r ),η )

(k1

1) e

R2+

Eq .

2s x

,

µ¯ 2 sg,

q
(t, η ) ∑ j=1 sin

π
2

Z 1r
3

0

u j (ζ )
dζ
x (χ j (s),ζ )

,

η 1, (t, s; u1 , ..., uq ) 2
Khi đó, các giả thiết ( A1 ) ( A6 ) được thỏa. Khi đó, định lý 2.2.1 đúng cho (2.4).
Hơn nữa, dễ thấy rằng phương trình

0

ξ (t) = V t, ξ (t),

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, ξ (σ1 (s)),

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, ξ (σ2 (r )))dr

ds , t

có nghiệm duy nhất ξ được xác định bởi ξ : R+ ! E, ξ (t)(η ) = ξ (t, η ) =
và x : R+ ! E, x (t)(η ) = x (t, η ) =

k x (t)

ξ (t)k = 7 lim e

t

t!∞

1
,
et +η

0,

8
,
et +η

8η 2 [0, 1],

8η 2 [0, 1], là nghiệm của (2.4). Hơn nữa lim

= 0. Do đó, ξ và x là các nghiệm ổn định tiệm cận của (2.4).

t!∞

Kết luận chương 2. Chương 2 đã kế thừa các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu trong
các công trình trước đây trong [L. T. P. Ngoc, N. T. Long: Fixed Point Theory and Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages; Nonlinear Anal. TMA. 74 (18) (2011)
7111 - 7125; Diff. Equ.Appl. 4 (2) (2012) 233 - 255]. Tuy nhiên, với sự xuất hiện của số
hạng phi tuyến V t, x (t),
Z ∞
0

Z µ (t)
1
0

V1 t, s, x (σ1 (s)),

Z µ (s)
2
0

V2 (s, r, x (σ2 (r ))) dr

ds

và tích phân

F (t, s, x (χ1 (s)), ..., x (χq (s)))ds cũng gây ra không ít khó khăn. Các kết quả của chương 2 đã

được công bố trong [D2].

Chương 3
Phương trình tích phân hàm phi tuyến nhiều biến nhận giá trị trong
không gian Banach
Chương này chúng tôi xét phương trình tích phân hàm phi tuyến
u( x ) = V

x, u( x ),

Z

Bx

V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy

+

Z

(3.1)
N
R+

F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy,

15


N = f( x , ..., x ) 2 R N : x
trong đó R+
0, ..., x N
0g, Bx = [0, x1 ] ... [0, x N ], các hàm
N
1
1
N ! R N là liên tục với tính chất σ ( x ), ..., σ ( x ) 2 B , 8 x 2 R N ; và
σ1 , ..., σ p , χ1 , ..., χq : R+
p
x
1
+

+
N
q ! E được giả sử liên tục, ở đây
các hàm V : R+
E2 ! E; V1 : ∆ E p ! E; F : R2N
E
+
N
N : y 2 B g và E là không gian Banach. Kết quả thu được đã được công
∆ = f( x, y) 2 R+
R+
x
bố trong [D3].
3.1 Không gian hàm
N ; E ) là không gian của tất cả các hàm liên tục từ R N vào E. Trên X trang
Cho X = C (R+
+
bị bởi họ đếm được các nửa chuẩn jujn = supfju( x )j : x 2 [0, n] N g, n 1. Khi đó ( X, j jn ) là

đầy đủ theo metric d(u, v) = ∑∞
n =1 2

n ju vjn
1+ju vjn

và X là không gian Fréchet.

Trên X, chúng ta cũng xét một họ các nửa chuẩn khác k kn được xác định bởi kukn =
1, trong đó jujγ = supfju( x )j : x 2 [0, n] N , j x j1
γ n g, j u j h n =

j u jγn + j u j hn , n
n

supfe hn (j xj1 γn ) ju( x )j : x 2 [0, n] N , j x j1
γn g, j x j1 = x1 + ... + x N , γn 2 (0, n) và hn > 0 là
các số thực tùy ý. k kn và j jn là tương đương, bởi vì
e hn (nN γn ) jujn kukn 2 jujn , 8u 2 X, 8n 1.
N ; E ) là không gian Fréchet được định nghĩa như trên và A
Bổ đề 3.1.1. Cho X = C (R+
X. Với
N
mỗi n 2 N, gọi Xn = C ([0, n] ; E) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục u : [0, n] N ! E
đối với chuẩn jujn = supfju( x )j : x 2 [0, n] N g và An = fuj[0,n] N : u 2 Ag.

Khi đó, tập A là compact tương đối khi và chỉ khi với mỗi n 2 N, An là đẳng liên tục trong Xn và
với mọi x 2 [0, n] N , tập An ( x ) = fu( x ) : u 2 An g là compact tương đối trong E.
Định nghĩa 3.1.1. Một hàm u˜ được gọi là một nghiệm ổn định tiệm cận của (3.1) nếu lim
j x j1 !+∞

ju( x ) u˜ ( x )j = 0, với mọi nghiệm u của (3.1).
3.2 Sự tồn tại nghiệm và nghiệm ổn định tiệm cận
Chúng ta thành lập các giả thiết sau.
N ! R sao cho
( A1 ) Tồn tại một hằng số L 2 [0, 1) và một hàm liên tục ω 0 : R+
+
N
¯ v¯ )j L ju u¯ j + ω 0 ( x ) jv v¯ j , 8 x 2 R+ , 8u, v, u,
¯ v¯ 2 E;
jV ( x; u, v) V ( x; u,
( A2 ) Tồn tại một hàm liên tục ω 1 : ∆ ! R+ sao cho 8 x, y; u1 , ..., u p , x, y; u¯ 1 , ..., u¯ p 2

∆ Ep,
p
V1 x, y; u1 , ..., u p
V1 x, y; u¯ 1 , ..., u¯ p
ω 1 ( x, y) ∑i=1 jui u¯ i j ,
N và với mọi tập
( A3 ) F là hoàn toàn liên tục sao cho với mọi tập con bị chận I1 , I2 của R+
q
con bị chận J của E , với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho 8 x, x¯ 2 I1 ,
¯ y; u1 , ..., uq ) < ε, 8(y; u1 , ..., uq ) 2 I2 J;
j x x¯ j1 < δ =) F ( x, y; u1 , ..., uq ) F ( x,
2N ! R sao cho với mọi tập con bị chận I của R N ,
(
A
)
Tồn
tại
một
hàm
liên
tục
ω
:
R
+
2
4
+
+
Z

sup ω 2 ( x, y)dy < ∞, và F x, y; u1 , ..., uq

N
R+
x2 I

( A5 )

lim

Z

η !0+ Bx , jσi (y)j1 η

ω 2 ( x, y), 8 x, y; u1 , ..., uq 2 I

j x j1 !+∞

Bx

trong đó
a¯ ( x ) = a( x ) + ∑i=1 a(σi ( x )), a( x ) =
R¯ ( x ) =

p
R ( x ) + ∑ i =1

Eq ;

dy = 0, 8i = 1, ..., p.

Định lý 3.2.1. Giả sử ( A1 ) ( A5 ) đúng. Khi đó (3.1) có nghiệm trong X.
Hơn nữa, nếu
Z
a¯ (y)dy = 0,
lim
a¯ ( x ) + R¯ ( x ) exp ( R¯ (0) x1 x2 ...x N )
p

N
R+

1
1 L

R(σi ( x )), R( x ) =

1

Z

N
R+

ω 2 ( x, y)dy;

1 L ω 0 ( x ) ω 1 ( x, 0),

16

(3.2)


N,
ω 0 ( x )ω 1 ( x, y) ω 0 ( x )ω 1 ( x, 0) ω 0 (0)ω 1 (0, 0), 8y 2 Bx , 8 x 2 R+
khi đó mọi nghiệm u của (3.1) là nghiệm ổn định tiệm cận.
Nhận xét 3.1. Giả thiết ( A5 ) là hợp lý, nhờ hai ví dụ sau đây.
Z

Ví dụ 1. Xét σi ( x ) = x, khi đó σi thỏa mãn ( A5 ), bởi vì

y2[0,n] N , jyj1 η

η ! 0+ .

Ví dụ 2. Xét σi (y) = by, 0 < b < 1, ( A5 ) cũng đúng, bởi vì

Z

ηN
N!

dy

y2[0,n] N , jbyj1 η

dy

! 0, khi
ηN

N!b N

!0

khi η ! 0+ .
Tiếp theo, chúng ta đưa ra một ví dụ mà trong đó ω 0 , ω 1 , ω 2 , σi thỏa mãn (3.2).
Ví dụ 3.
p
p
(1 L ) α1
(1 L ) α1
q
ω 1 ( x, y) = q
,
,
ω
(
x
)
=
0
λ1
N
1+ β1 exp(γ1 j x j1N )
1+ β1 exp(γ1 j x j1 )+ β2 jyj1
q
ω 2 ( x, y) =

exp( γ2 j x j1 )
λ

1+jyj2 2

, j y j2 =

y21 + ... + y2N ; σi ( x ) = σ¯ i x, 1

trong đó α1 , β1 , β2 , γ1 , γ2 , λ1 , λ2 , σ¯ i (1

0 < σ¯ i

1, σmin = min σ¯ i , γ1 >
1 i p

i

i

p,

p) là hằng số dương với λ1 > N, λ2 > N,

( p +1) α1
.
N N (1+ β1 )σmin

Ta có thể nghiệm lại rằng (3.2) đúng.
Nhận xét 3.2. Trong quá trình chứng minh định lý 3.2.1, chúng ta cần đánh giá bất đẳng
thức tích phân sau
Z sau đây

jv( x )j

p

N,
r ( x, y)jv(σi (y))jdy + a( x ), 8 x 2 R+

∑ i =1

BxZ
1
1 L

trong đó a( x ) =

N
R+

ω 2 ( x, y)dy, r ( x, y)

r ( x, 0)

R( x )

N.
r (0, 0), 8y 2 Bx , 8 x 2 R+

Khi đó, ta có đánh giá sau đây cho jv( x )jZ như sau
a¯ (y)dy,

jv( x )j a¯ ( x ) + R¯ ( x ) exp ( R¯ (0) x1 x2 ...x N )
Bx

p
p
trong đó a¯ ( x ) = a( x ) + ∑i=1 a(σi ( x )), R¯ ( x ) = R( x ) + ∑i=1 R(σi ( x )), R( x ) = r ( x, 0).
3.3 Tính compact của tập nghiệm
Định lý 3.3.1. Giả sử ( A1 ) ( A5 ) là đúng. Khi đó tập các nghiệm của phương trình (3.1) là khác
rỗng và compact.
3.4 Ví dụ minh họa
Cho E = C ([0, 1]; R) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục v : [0, 1] ! R đối
với chuẩn kvk = supfjv(t)j : 0
t
1g, v 2 E. Khi đó, với mỗi u 2 X = C (R2+ ; E), với mọi
2
x 2 R+ , u( x ) là một phần tử của E và ta ký hiệu u( x )(t) = u( x, t), 0
t
1. Xét phương
trình (3.1) theo dạng

u( x ) = V

x, u( x ),

+

Z

R2+

Z

Bx

V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy

(3.3)

F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy, x 2 R2+ ,

trong đó σi ( x ) = σ¯ i x, 0 < σ¯ i
1, i = 1, ..., p; χi ( x ) = χ¯ i x, 0 < χ¯ i
1, i = 1, ..., q; Bx =
[0, x1 ] [0, x2 ].
Cho trước các hàm liên tục V, V1 , F như sau.
2
(i) Hàm V : R2+ E2 ! E, V ( x, u, v)(t) = 2(1 k1 )u ( x, t) + k1 ju(t)j + e γj xj1 jv(t)j ,
0 t 1, ( x, u, v) 2 R2+ E2 , với u ( x, t) = 1jxj1 và γ, k1 là các hằng số cho trước sao cho
t+e

0 < k1 < 1, γ >

(1+ p ) π
2(1 k 1 ) θ

> 0, θ = min σ¯ 2i .
1 i p

17

(ii) Hàm V1 : ∆

E p ! E, V1 x, y; u1 , ..., u p (t) = e

t 1, x, y; u1 , ..., u p 2 ∆ E p , ∆ = f( x, y) 2 R2+
(iii) Hàm F : R2+ R2+ Eq ! E,

0

4
q

F x, y; u1 , ..., uq (t) =

(k1

1) e

2j y j1 u

R2+

R2+

Eq .

t 1, x, y; u1 , ..., uq 2
Ta có thể nghiệm lại rằng ( A1 )
nữa, dễ thấy rằng phương trình

0

ξ (x) = V

x, ξ ( x ),

Z

Bx

p

2j y j1 u

( x, t) ∑i=1 sin π u

và u :

! E,

lim ku ( x )

q

( x, t) ∑i=1 sin

π
2

Z 1

0

ui ( s )
ds
u (χi (y),s)

,

( A5 ) là đúng. Do đó, Định lý 3.3.1 đúng cho (3.3). Hơn

V1 x, y, ξ (σ1 (y)), ..., ξ (σ p (y)) dy , x 2 R2+

u ( x )(t) = u ( x, t) =

ξ ( x )k = lim e

j x j1 ! ∞

,

R2+ : y 2 Bx g.

có nghiệm duy nhất ξ được xác định bởi ξ : R2+ ! E, ξ ( x )(t) = ξ ( x, t) =

R2+

ui ( t )
(σi (y),t)

j x j1 ! ∞

j x j1

1
t + e j x j1

2
t + e j x j1

, 8t 2 [0, 1],

, 8t 2 [0, 1], là nghiệm của (3.3). Hơn nữa

= 0. Do đó, ξ và u là các nghiệm ổn định tiệm cận của

(3.3).
Kết luận chương 3. Chương 3 đã kế thừa các ý tưởng và phương pháp nghiên cứu của chương
N ; E ) như trên. Việc xuất hiện
2. Tuy nhiên, Zcần phải thiết lập không gian Fréchet ZX = C (R+
các tích phân

Bx

V1 x, y, u(σ1 (y)), ..., u(σ p (y)) dy và

N
R+

F x, y, u(χ1 (y)), ...., u(χq (y)) dy nên

việc tính toán và đánh giá phức tạp, cần nhiều kỹ thuật tinh tế để giải quyết. Về kết quả thu
được cho hai chương này là tương tự, nhưng phương pháp thực hiện để thu được các kết quả ở
chương 3 thì sắc sảo và phức tạp hơn. Các kết quả của chương 3 đã được công bố trong [D3].

Chương 4
Phương trình vi tích phân hàm phi tuyến theo hai biến nhận giá trị
thực
Chương cuối cùng, chúng tôi xét các phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận
giá trị thực, có các dạng như sau
u( x, y) = g( x, y) +
u( x, y) = g( x, y) +

Z 1Z 1
0

0

0

0

Z 1Z 1

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt,

(4.1)

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t), D2n u(s, t))dsdt,

8( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω

m
là các hàm số cho trước. Các ký hiệu D1m u = ∂∂xmu , D2n u =

R2

∂n u
∂yn ,

(4.2)

! R hay K : Ω Ω
!R
để chỉ các đạo hàm riêng cấp
R3

m 1, n 1 của một hàm u( x, y) xác định trên Ω, lần lượt đối với biến thứ nhất và biến thứ
hai. Kết quả thu được là sự khái quát các kết quả trước đây và đã được công bố trong [D5].
4.1 Khảo sát phương trình (4.1) với m = 1
Trong mục này, chúng tôi xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều thuộc dạng
u( x, y) = g( x, y) +

Z 1Z 1
0

0

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1 u(s, t))dsdt,

(4.3)

8( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω
! R là các hàm số cho trước.
Trước hết, ký hiệu X = C (Ω; R) là không gian Banach của tất cả các hàm liên tục u : Ω ! R
đối với chuẩn kuk X = supfju( x, y)j : ( x, y) 2 Ωg, u 2 X. Đặt
X1 = fu 2 X = C (Ω; R) : D1 u 2 X g.
(4.4)
Rõ ràng là C1 (Ω; R) X1 X và rằng chúng không trùng nhau. Thật vậy, ta có u( x, y) =
x

1
2

+ y

1
2

R2

2 X, nhưng u 2
/ X1 . Và có v( x, y) = x2 y
18

1
2

2 X1 , nhưng v 2
/ C1 (Ω; R).

Bổ đề 4.1.1. X1 là một không gian Banach đối với chuẩn được xác định bởi
kuk X1 = kuk X + k D1 uk X , u 2 X1 .
(4.5)
4.1.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta lập các giả thiết sau
( A 1 ) g 2 X1 ,
( A2 ) K 2 C (Ω Ω R2 ; R), ∂K
Ω R2 ; R), và tồn tại các hàm không âm k0 ,
∂x 2 C ( Ω
k1 : Ω Ω ! R có các tính chất sau:
(i) β = sup

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

0

k0 ( x, y, s, t)dsdt + sup

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

(ii) jK ( x, y, s, t, u, v)

¯ v¯ )j
K ( x, y, s, t, u,

∂K

∂x ( x, y, s, t, u, v )

0

k1 ( x, y, s, t)dsdt < 1,

k0 ( x, y, s, t) [ju

∂K
¯ v¯ )
∂x ( x, y, s, t, u,

u¯ j + jv

v¯ j] ,

(iii)
k1 ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j] ,
¯ v¯ 2 R.
8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v, u,
Định lý 4.1.2. Giả sử g, K trong (4.3) thoả mãn các giả thiết ( A1 ), ( A2 ). Khi đó, phương trình
(4.3) có một nghiệm duy nhất trong X1 .
4.1.2 Tính compact của tập nghiệm
Đầu tiên ta có bổ đề để nhận biết một tập con compact tương đối trong X1 .
Bổ đề 4.1.3. Cho F
X1 . Khi đó F là compact tương đối trong X1 khi và chỉ khi các điều kiện sau
đây được thỏa
(i) 9 M > 0 : kuk X1
M, 8u 2 F ;
¯ y¯ ) 2 Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ

(ii) 8ε > 0, 9δ > 0 : 8( x, y), ( x,
¯ y¯ )j + j D1 u( x, y) D1 u( x,
¯ y¯ )j) < ε.
=) sup (ju( x, y) u( x,
u2F

Tiếp theo chúng ta lập các giả thiết sau.
( A 1 ) g 2 X1 ,
Ω
( A¯ 2 ) K 2 C (Ω Ω R2 ; R), ∂K
∂x 2 C ( Ω
¯k0 , k¯ 1 : Ω Ω ! R thỏa
(i) β¯ = sup

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

0

(ii) jK ( x, y, s, t, u, v)j
(iii)

k¯ 0 ( x, y, s, t)dsdt + sup

∂K
∂x ( x, y, s, t, u, v )

R2 ; R), sao cho tồn tại các hàm không âm

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

0

k¯ 1 ( x, y, s, t)dsdt < 1,

k¯ 0 ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) ,
k¯ 1 ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) ,

8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v 2 R.
Định lý 4.1.4. Giả sử g, K trong (4.3) thoả mãn các giả thiết ( A1 ), ( A¯ 2 ). Khi đó, phương trình
(4.3) có nghiệm trong X1 . Hơn nữa, tập các nghiệm của phương trình này là compact.
4.1.3 Hai ví dụ minh họa
Ví dụ 4.1.1. Xét phương htrình (4.3), với các hàm g, K như sau i
K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y) 4sσ tσ sin 2uπu
+ sγ tγ cos D 2πv
,
(s,t)
u (s,t)
0

g( x, y) = u0 ( x, y)

4
(1+ σ )2
x γ1 j y

+

1
(1+ γ )2
γ2

1 0

k ( x, y),

trong đó u0 ( x, y) = e x +
αj , k ( x, y) = x γ˜ 1 jy α˜ jγ˜ 2 , và σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ 2 , γ˜ 1 là
các hằng số dương thỏa
0 < α < 1, 0 < γ2 1 < γ1 , 0 < α˜ < 1, 0 < γ˜ 2 1 < γ˜ 1 ,
2π

1
(1+ σ )2

+

1
(1+ γ )2

(1 + γ˜ 1 ) maxfα˜ γ˜ 2 , (1

α˜ )γ˜ 2 g < 1.

Ta có thể nghiệm lại rằng ( A1 ), ( A2 ) là đúng. Định lý 4.1.2 đúng trong trường hợp này.
Hơn nữa, u0 2 X1 là một nghiệm duy nhất của (4.3). Trong chứng minh, chúng tôi có sử dụng
bổ đề sau.

19


Bổ đề 4.1.5. Cho các số dương α, γ2 , γ1 thỏa 0 < α < 1, 0 < γ2 1 < γ1 . Khi đó
0 x γ1 j y α j γ2
maxfαγ2 , (1 α)γ2 g, 8( x, y) 2 Ω,
γ
γ
1
2
0 x 1 jy αj
maxfαγ2 , (1 α)γ2 g, 8( x, y) 2 Ω.
Ví dụ 4.1.2. Xét phương trình (4.3), với các hàm K, g được xác định bởi
K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v),
g( x, y) = u0 ( x, y)

1
(1+ σ )2

2

+

juj
u0 (s,t)

trong đó K1 (s, t, u, v) = sσ tσ

1

(1+ γ )2

+

k ( x, y),
1/3

u
u0 (s,t)

+ sγ tγ

jvj
D1 u0 (s,t)

+

v
D1 u0 (s,t)

1/5

, u0 ( x, y) =

γ˜ 2

e x + x γ1 jy αj , k ( x, y) = x γ˜ 1 jy α˜ j , và σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ 2 , γ˜ 1 là các hằng số dương thỏa
0 < α < 1, 0 < γ2 1 < γ1 , 0 < α˜ < 1, 0 < γ˜ 2 1 < γ˜ 1 ,
γ2

α˜ )γ˜ 2 g < 1.
Ta có thể nghiệm lại rằng các giả thiết ( A1 ), ( A¯ 2 ) là đúng. Định lý 4.1.4 đúng trong trường
hợp này. Hơn nữa, u0 2 X1 cũng là một nghiệm của (4.3).
4.2 Khảo sát phương trình (4.1) với m 2
2

1
(1+ σ )2

+

1
(1+ γ )2

(1 + γ˜ 1 ) maxfα˜ γ˜ 2 , (1

Ở mục này, xét phương trình vi tích phân phi tuyến hai chiều nhận giá trị thực dạng
u( x, y) = g( x, y) +

Z 1Z 1
0

0

K ( x, y, s, t, u(s, t), D1m u(s, t))dsdt,

(4.6)

8( x, y) 2 Ω = [0, 1] [0, 1], trong đó g : Ω ! R, K : Ω Ω
! R là các hàm số cho trước.

Phương pháp sử dụng ở đây là tương tự như ở mục 1, với một số cải tiến. Đặt
(4.7)
Xm = fu 2 X = C (Ω; R) : D1k u 2 X, k = 1, 2, ..., mg.
Chú ý rằng C1 (Ω; R)n Xm 6= φ, Xm nC1 (Ω; R) 6= φ, Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ, với mọi m = 2, 3, ...
Thật vậy, ta sẽ lấy các hàm u, v, w như sau
(i) u( x, y) = x 12 x 12 y 12 y 12 , ta có u 2 C1 (Ω; R), nhưng u 2
/ Xm . Do đó
C1 (Ω; R)n Xm 6= φ.

(ii) v( x, y) = x m+1 y

R2

, ta có v 2 Xm , nhưng v 2
/ C1 (Ω; R). Vậy Xm nC1 (Ω; R) 6= φ.

1
2

(iii) w( x, y) = xy, ta có w 2 Xm \ C1 (Ω; R) 6= φ.
Bổ đề 4.2.1. Xm là một không gian Banach đối với chuẩn được xác định bởi
k
(4.8)
k u k Xm = k u k X + ∑ m
k =1 D1 u X , u 2 Xm .
4.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Với phương trình (4.6), ta lập các giả thiết sau
( B1 ) g 2 Xm ,
∂2 K
∂m K

( B2 ) K 2 C (Ω Ω R2 ; R), sao cho ∂K
Ω R2 ; R), và tồn tại các
∂x , ∂x2 , ..., ∂x m 2 C ( Ω
hàm không âm k0 , k1 , ..., k m : Ω Ω ! R thỏa
(i) β = ∑im=0 sup

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

(ii) jK ( x, y, s, t, u, v)

∂i K
( x, y, s, t, u, v)
∂xi

0

k i ( x, y, s, t)dsdt < 1,

¯ v¯ )j
K ( x, y, s, t, u,

k0 ( x, y, s, t) [ju

∂i K
¯ v¯ )
( x, y, s, t, u,
∂xi

u¯ j + jv

v¯ j] ,

k i ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j] , i = 1, 2, ..., m,
(iii)
¯ v¯ 2 R.
8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v, u,
Định lý 4.2.2. Giả sử g, K trong (4.6) thoả mãn các giả thiết ( B1 ), ( B2 ). Khi đó, phương trình
(4.6) có một nghiệm duy nhất trong Xm .
4.2.2 Tính compact của tập nghiệm
Bổ đề 4.2.3. Cho F
Xm . Khi đó F là compact tương đối trong Xm khi và chỉ khi các điều kiện
sau đây được thỏa
(i) 9 M > 0 : kuk Xm
M, 8u 2 F ;
20


¯ y¯ ) 2 Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ
(ii) 8ε > 0, 9δ > 0 : 8( x, y), ( x,
¯ y¯ )j + ∑im=1 D1i u( x, y) D1i u( x,
¯ y¯ )
=) sup ju( x, y) u( x,

< ε.

u2F

Chúng ta lập các giả thiết sau.

( B1 ) g 2 Xm ,
∂2 K
( B¯ 2 ) K 2 C (Ω Ω R2 ; R), sao cho ∂K
∂x , ∂x2 , ...,
hàm không âm k¯ 0 , k¯ 1 , ..., k¯ m : Ω Ω ! R thỏa
(i) β¯ = ∑im=0 sup

Z 1Z 1
0

( x,y)2Ω 0

(ii) jK ( x, y, s, t, u, v)j

∂i K
( x, y, s, t, u, v)
∂xi

∂m K
∂x m

2 C (Ω

Ω

R2 ; R), và tồn tại các

k¯ i ( x, y, s, t)dsdt < 1,

k¯ 0 ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) ,

k¯ i ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj) , i = 1, ..., m,

(iii)
8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v 2 R.
Định lý 4.2.4. Giả sử g, K trong (4.6) thoả mãn các giả thiết ( B1 ), ( B¯ 2 ). Khi đó, phương trình
(4.6) có nghiệm trong Xm . Hơn nữa, tập các nghiệm của phương trình này là compact.
4.2.3 Hai ví dụ minh họa
Ví dụ 4.2.1. Xét phương htrình (4.6), với các hàm g, K như sau i
K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y) 4sσ tσ sin 2uπu
+ sγ tγ cos Dm2πv
,
(s,t)
u (s,t)
0

4
(1+ σ )2
e x + x γ1 j y

g( x, y) = u0 ( x, y)

+

1
(1+ γ )2
γ2

1

0

k ( x, y),

trong đó u0 ( x, y) =
αj , k ( x, y) = x γ˜ 1 jy α˜ jγ˜ 2 , và σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ 2 , γ˜ 1 là
các hằng số dương thỏa
0 < α < 1, 0 < γ2 1, γ1 > m, 0 < α˜ < 1, 0 < γ˜ 2 1, γ˜ 1 > m,
2π

1
(1+ σ )2

+

[1 + ∑im=1 γ˜ 1 (γ˜ 1

1
(1+ γ )2

1) ... (γ˜ 1

i + 1)] maxfα˜ γ˜ 2 , (1

α˜ )γ˜ 2 g < 1.

Ta có thể nghiệm lại rằng ( B1 ), ( B2 ) đúng. Như vậy, Định lý 4.2.2 đúng. Hơn nữa, u0 2 Xm
là một nghiệm duy nhất của (4.6).
Ví dụ 4.2.2. Xét phương trình (4.6), với các hàm g, K được xác định bởi
K ( x, y, s, t, u, v) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v),
g( x, y) = u0 ( x, y)

2

1
(1+ σ )2

trong đó K1 (s, t, u, v) = sσ tσ

+

juj
u0 (s,t)

1
(1+ γ )2

+

u
u0 (s,t)

k ( x, y),
1/2

+ sγ tγ

e x + x γ1 jy αjγ2 , k ( x, y) = x γ˜ 1 jy α˜ jγ˜ 2 ,
và σ, γ, α, γ2 , γ1 , α˜ , γ˜ 2 , γ˜ 1 là các hằng số dương thỏa
0 < α < 1, 0 < γ2 1, γ1 > m, 0 < α˜ < 1, 0 < γ˜ 2

jvj
D1m u0 (s,t)

+

v
D1m u0 (s,t)

1/3

, u0 ( x, y) =

1, γ˜ 1 > m,

2
+
γ˜ 1 (γ˜ 1 1) ... (γ˜ 1 i + 1)] maxfα˜ γ˜ 2 , (1 α˜ )γ˜ 2 g < 1.
Ta có thể nghiệm lại rằng ( B1 ), ( B¯ 2 ) đúng. Định lý 4.2.4 đúng. Hơn nữa, u0 2 Xm cũng là
một nghiệm của (4.6).
4.3 Khảo sát phương trình (4.2) với m 1 và n 1
Mục này tiếp tục mở rộng các kết quả thu được ở hai mục 1, 2 cho phương trình có dạng
như (4.2), trong đó m 1, n 1; K : Ω Ω R3 ! R. Đầu tiên, xét hàm
j
(4.9)
Xm,n = fu 2 X = C (Ω; R) : D1i u, D2 u 2 X, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., ng.
1
(1+ σ )2

1
(1+ γ )2

[1 + ∑im=1

Ở đây ta chú ý rằng
Xm,n X1,1 = C1 (Ω; R) C (Ω; R), m, n
C m (Ω; R) Xm,m Xm,m 1 ... Xm,2

21

1;
Xm,1

X1,1 , 8m

1.

(4.10)


Tương tự, C m (Ω; R) Xm,m Xm 1,m ... X2,m X1,m X1,1 , 8m 1. Ta chú ý thêm
rằng C2 (Ω; R) X2,2 .
Có thể là X2,2 C2 (Ω; R) 6= φ, tuy nhiên chúng tôi chưa thấy tài liệu nào để chứng minh
nó. Tôi cho rằng đây vẫn là một bài toán mở.
Bổ đề 4.3.1. Xm,n là một không gian Banach đối với chuẩn được xác định bởi

kuk Xm,n = kuk X + ∑im=1 D1i u

j

X

+ ∑nj=1 D2 u

X

4.3.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Ta lập các giả thiết sau đây.
(C1 ) g 2 Xm,n ,
i
(C2 ) K 2 C (Ω Ω R3 ; R), với ∂∂xKi ,
tại

, u 2 Xm,n .

(4.11)

∂j K
2 C (Ω Ω R3 ; R), 1 i m,
∂y j
(1)
(1) (2)
(2)
các hàm không âm k0 , k1 , ..., k m , k1 , ..., k n : Ω Ω ! R thỏa
Z 1Z 1
Z 1Z 1
(1)
k i ( x, y, s, t)dsdt
k0 ( x, y, s, t)dsdt + ∑im=1 sup
(i) β = sup
0

0
0
0
( x,y)2Ω
( x,y)2Ω
Z 1Z 1
(2)
n
k j ( x, y, s, t)dsdt < 1,
+ ∑ j=1 sup
( x,y)2Ω 0 0

(ii) jK ( x, y, s, t, u, v, w)
(iii)

(iv)

¯ v,
¯ w¯ )j
K ( x, y, s, t, u,

k0 ( x, y, s, t) [ju

i
∂i K
¯ v,
¯ w¯ )
( x, y, s, t, u, v, w) ∂∂xKi ( x, y, s, t, u,
∂xi
(1)

k i ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j + jw
j
∂j K
¯ v,
¯ w¯ )
(
x,
y,
s, t, u, v, w) ∂∂yKj ( x, y, s, t, u,
∂y j
(2)
k j ( x, y, s, t) [ju u¯ j + jv v¯ j + jw

u¯ j + jv

1

j

v¯ j + jw

n, và tồn

w¯ j] ,

w¯ j] , i = 1, 2, ..., m,

w¯ j] , j = 1, 2, ..., n,
¯ v,
¯ w¯ 2 R.

8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v, w, u,
Định lý 4.3.2. Giả sử g, K trong (4.2) thoả mãn các giả thiết (C1 ), (C2 ). Khi đó, phương trình
(4.2) có một nghiệm duy nhất trong Xm,n .
4.3.2 Tính compact của tập nghiệm
Bổ đề 4.3.3. Cho F
Xm,n . Khi đó F là compact tương đối trong Xm,n khi và chỉ khi các điều kiện
sau đây được thỏa
(i) 9 M > 0 : kuk Xm,n
M, 8u 2 F ;
¯ y¯ ) 2 Ω, j x x¯ j + jy y¯ j < δ
(ii) 8ε > 0, 9δ > 0 : 8( x, y), ( x,
¯ y¯ )j + ∑im=1 D1i u( x, y) D1i u( x,
¯ y¯ )
=) sup ju( x, y) u( x,
u2F

j

+ ∑nj=1 D2 u( x, y)

j

¯ y¯ )
D2 u( x,

< ε.

Các giả thiết được lập sau đây cho sự tồn tại và tính compact của tập nghiệm
(C1 ) g 2 Xm,n ,
i

j
(C¯ 2 ) K 2 C (Ω Ω R3 ; R), với ∂∂xKi , ∂∂yKj 2 C (Ω Ω R3 ; R), 1 i m, 1 j

(1)
(1) (2)
(2)
tại các hàm không âm k¯ 0 , k¯ 1 , ..., k¯ m , k¯ 1 , ..., k¯ n : Ω

(i) β¯ = sup

Z 1Z 1

( x,y)2Ω 0

0

k¯ 0 ( x, y, s, t)dsdt + ∑im=1

+ ∑nj=1 sup

Z 1Z 1
¯ (2)

( x,y)2Ω 0

0

sup

Ω ! R thỏa

Z 1Z 1
¯ (1)

( x,y)2Ω 0

0

k i ( x, y, s, t)dsdt

k j ( x, y, s, t)dsdt < 1,

k¯ 0 ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) ,
(1)
(iii) ∂xi ( x, y, s, t, u, v, w)
k¯ i ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) , i = 1, ..., m,
(ii) jK ( x, y, s, t, u, v, w)j
∂i K

22

n, và tồn


∂j K
( x, y, s, t, u, v, w)
∂y j

(iv)

(2)
k¯ j ( x, y, s, t) (1 + juj + jvj + jwj) , j = 1, ..., n,

8( x, y, s, t) 2 Ω Ω, 8u, v, w 2 R.
Định lý 4.3.4. Giả sử g, K trong (4.2) thoả mãn các giả thiết (C1 ), (C¯ 2 ). Khi đó, phương trình
(4.2) có nghiệm trong Xm,n . Hơn nữa, tập các nghiệm của phương trình này là compact.
4.3.3 Hai ví dụ minh họa
Ví dụ 4.3.1. Xét phươngh trình (4.2), với các hàm g, K được xác định bởi
i
γ1
γ2
2πv
2πw
K ( x, y, s, t, u, v, w) = k ( x, y) (st)γ0 sin 2uπu
,
+
st
+
st
cos
cos
(
)
(
)
m
n
(s,t)
D u (s,t)
D u (s,t)

0

1
(1+ γ0 )2

g( x, y) = u0 ( x, y)

+

1
(1+ γ1 )2

+

1

1
(1+ γ2 )2

2 0

0

k ( x, y), trong đó u0 ( x, y) = e x+y + x σ1 yσ2 ,

k ( x, y) = x σ¯ 1 yσ¯ 2 , và γ0 , γ2 , γ1 , σ1 , σ2 , σ¯ 1 , σ¯ 2 là các hằng số dương thỏa
σ1 , σ¯ 1 > m; σ2 , σ¯ 2 > n; γ0 , γ2 , γ1 > 0,
2π

1

(1+ γ0 )2

+

1
(1+ γ1 )2

+

[1 + ∑im=1 σ¯ 1 (σ¯ 1

1
(1+ γ2 )2

+ ∑nj=1

σ¯ 2 (σ¯ 2

1) ... (σ¯ 1
1) ... (σ¯ 2

i + 1)
i
j + 1) < 1.

Có thể chứng minh rằng (C1 ), (C2 ) là đúng, do đó, Định lý 4.3.3 đúng. Hơn nữa, u0 2 Xm,n
là một nghiệm duy nhất của (4.2).
Ví dụ 4.3.2. Xét phương trình (4.2), với các hàm K, g được xác định bởi
K ( x, y, s, t, u, v, w) = k ( x, y)K1 (s, t, u, v, w),
g( x, y) = u0 ( x, y)

2

1
(1+ γ0 )2

+

1
(1+ γ1 )2

juj
u0 (s,t)

+

u
u0 (s,t)

+

1
(1+ γ2 )2

k ( x, y),

trong đó
K1 (s, t, u, v, w) = (st)γ0

+ (st)γ2

e x +y

jwj
D2n u0 (s,t)

+

1/3

jvj
D1m u0 (s,t)

+ (st)γ1

w
D2n u0 (s,t)

1/7

+

v
D1m u0 (s,t)

1/5

,

x σ¯ 1 yσ¯ 2 ,

và γ0 , γ2 , γ1 , σ1 , σ2 , σ¯ 1 , σ¯ 2 là các hằng số dương
k ( x, y) =
u0 ( x, y) =
+
thỏa
σ1 , σ¯ 1 > m; σ2 , σ¯ 2 > n; γ0 , γ2 , γ1 > 0,
2

1
(1+ γ0 )2

+

x σ1 y σ2 ,

1
(1+ γ1 )2

+

m

1
(1+ γ2 )2

1 + ∑ σ¯ 1 (σ¯ 1
i =1

n

+ ∑ σ¯ 2 (σ¯ 2
j =1

1) ... (σ¯ 1

1) ... (σ¯ 2

i + 1)
#

j + 1) < 1.

Có thể nghiệm lại rằng g, K thỏa (C1 ), (C¯ 2 ). Do đó, Định lý 4.3.4 đúng trong trường hợp
này. Hơn nữa, u0 2 Xm,n cũng là một nghiệm của (4.2).
Kết luận chương 4. Có thể nói, chương 4 mang một sắc thái khác khi thiết lập một số
không gian hàm tương ứng với các phương trình vi tích phân để giải được các phương trình
này. Các không gian hàm như thế mà chúng tôi thiết lập không trùng với các không gian hàm
thông thường như C (Ω; R), C1 (Ω; R), C2 (Ω; R), ..., C m (Ω; R). Trong mỗi không gian hàm mà
chúng tôi thiết lập, chúng tôi có chỉ ra các điều kiện cần và đủ để nhận ra một tập con compact
tương đối trong mỗi không gian này. Các kết quả của chương 4 đã được công bố trong [D5].

Kết luận
Như vậy, luận án đã nghiên cứu tính giải được và một số tính chất của nghiệm của phương
trình tích phân hàm phi tuyến, phương trình vi tích phân phi tuyến, theo một biến hoặc nhiều
biến thuộc bốn dạng sau.
Dạng 1: Hệ phương trình tích phân hàm phi tuyến trên một đoạn, trên R+ ;
Dạng 2: Phương trình tích phân hàm phi tuyến có biến trễ nhận giá trị trong không gian
Banach;

23