Những khó khăn trong dạy học lượng giác

Những khó khăn trong dạy học lượng giác
Thầy Trần Thái Sơn - Giáo viên Trường THPT Trần Ân Chiêm (Thanh Hóa) - cho biết: Khó khăn
trong dạy học lượng giác là ở chỗ, công thức lượng giác nhiều, thời lượng cho việc rèn luyện bài
tập để nhớ công thức theo phân phối chương trình rất hạn chế.
Bên cạnh đó, tài liệu, bài tập về phương trình lượng giác rất nhiều nhưng chủ yếu là bài tập và
lời giải khô khan, phạm vi biến đổi, sử dụng công thức quá rộng học sinh khó định hướng. Khi
gặp một phương trình lượng giác không biết chọn công thức nào, không biết bắt đầu từ đâu
“Thực chất, với những học sinh có khả năng tiếp thu khá trở lên, phương trình lượng giác không
có gì đáng ngại. Tuy nhiên với những học sinh còn lại, việc ghi nhớ một loạt công thức rồi chọn
công thức nào để biến đổi lại là một vấn đề lớn. Do đó, các em này thường bị tụt hậu và dần dần
có cảm giác sợ lượng giác.
Biến đổi lượng giác trong giải phương trình lượng giác là vận dụng linh hoạt các công thức lượng
giác để làm các phương trình lượng giác khác lạ dần trở về các phương trình lượng giác quen
thuộc đã biết cách giải.
Trước đây, khi dạy lượng giác, tôi đã áp dụng phương pháp: Cho học sinh học thuộc lòng công
thức bằng cách chép công thức nhiều lần; giao bài tập về nhà thật nhiều để học sinh vận dụng
công thức, có kiểm tra thường xuyên và bất chợt nhưng hiệu quả vẫn chưa như mong đợi” –
thầy Sơn chia sẻ.
5 định hướng biến đổi chính
Từ kinh nghiệm thực tế, thầy Trần Thái Sơn đã chia việc biến đổi lượng giác liên miên lâu nay
thành 5 định hướng biến đổi chính:
Biến đổi về cùng một cung lượng giác; biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích; hạ bậc; biến đổi
về cùng một hàm lượng giác; biến đổi tan, cot về sin, cos.
Định hướng 1: Biến đổi về cùng một cung lượng giác
Trong phương trình lượng giác có nhiều cung khác nhau, cần tìm cách biến đổi về cùng một
cung nếu có thể:
Nếu gặp loại cung chứa Л dạng mx+nЛ, có thể dùng công thức cộng, công thức của các góc liên
quan đặc biệt. Nếu gặp loại cung gấp đôi thì dùng hệ thống công thức nhân đôi hoặc hạ bậc
Chú ý: Nếu cung chứa Л nhưng không cho ra giá trị lượng giác đặc biệt thì sẽ xử lý bằng đặt ẩn
phụ (chọn cung nhỏ làm ẩn mới, biểu diễn các cung còn lại theo ẩn mới này)
Lưu ý, với đối tượng học sinh khả năng tiếp thu hạn chế, nên luôn chọn giải pháp dùng công

thức cộng trong trường hợp này mà không dùng công thức của các góc liên quan đặc biệt vì học
sinh phải nhớ ít công thức hơn, áp dụng trực tiếp công thức và có máy tính hỗ trợ.
Định hướng 2: Tích thành tổng và ngược lại
Trong phương trình lượng giác nếu xuất hiện tích các hàm sin, cos thì biến đổi thành tổng với
mục đích xuất hiện các nhóm giống nhau để rút gọn.
Ngược lại, tổng các hàm sin, cos thì biến đổi thành tích với mục đích xuất hiện nhân tử chung
Chú ý, dấu hiệu áp dụng: Tổng (hiệu) hai cung liên quan đến cung thứ 3.


Định hướng 3: Hạ bậc
Nhiều công thức lượng giác ở dạng bậc nhất đối với các hàm sin, cos, vì vậy khi gặp các bậc
cao hơn, ta tìm cách hạ bậc để bước tiếp theo có nhiều công thức biến đổi hơn. Khi hạ bậc
thường phải kết hợp với cả hằng đẳng thức.
Học sinh yếu thường dựa vào công thức hạ bậc (bậc 2 với sin, cos) để “bịa” ra công thức hạ bậc
bậc cao hơn. Vì vậy cần lưu ý học sinh khi hạ bậc bậc cao cần kết hợp với các hằng đẳng thức.
Định hướng 4: Biến đổi về cùng một hàm lượng giác
Trong phương trình lượng giác có nhiều hàm lượng giác khác nhau, nếu thấy chúng cùng liên
quan đến một hàm trung gian (học sinh cần vận dụng linh hoạt các công thức để thấy hàm trung
gian này) thì biến đổi về hàm trung gian đó rồi đặt ẩn phụ.
Khi biến đổi đến hàm trung gian thì đặt ẩn phụ ngay, khi đó học sinh chỉ phải biến đổi đại số
Định hướng 5: Chuyển tan, cot về sin, cos
Chuyển hàm tan, cot về hàm sin, cos sẽ dễ xử lý lượng giác hơn. Nhớ đặt điều kiện trước khi
giải và đối chiếu điều kiện sau khi giải.
Lưu ý : Sau khi đưa tan, cot về sin, cos và khử mẫu, bài toán trở nên quen thuộc, ta dùng các
nguyên tắc biến đổi đã học để xử lý tiếp
Việc đối chiếu điều kiện để loại nghiệm ngoại lai, học sinh nên dùng đường tròn lượng giác.
Ghi chú: Với phương trình lượng giác có ẩn ở mẫu, việc nêu và đối chiếu điều kiện là rất quan
trọng kể cả khi điều kiện không làm ảnh hưởng tới nghiệm.
Sau khi giới thiệu cho học sinh năm nguyên tắc biến đổi trên, thầy Sơn cho biết, mình sẽ cho học
sinh vận dụng các nguyên tắc đó trong quá trình giải phương trình lượng giác với định hướng

chính là đưa về dạng phương trình tích.
Do đó, học sinh cần nhớ thêm một số nhóm biểu thức lượng giác có chung nhân tử để thuận tiện
hơn trong quá trình phát hiện nhân tử chung.
Những cách này giúp học sinh được rèn luyện công thức một cách có hệ thống, có trọng tâm
không tràn lan. Cách này cũng giúp học sinh có cái nhìn tổng quát sau khi học xong các nguyên
tắc biến đổi, từ đó biết phải bắt đầu từ đâu trong một bài giải phương trình lượng giác bất kỳ.
Để giúp học sinh thấm sâu hơn từng nguyên tắc biến đổi, sau mỗi ví dụ đặc trưng tthầy Sơn cho
biết mình đều có ghi chú cần thiết giải đáp các băn khoăn về lựa chọn công thức biến đổi, có
phần bài tập tương tự để học sinh áp dụng làm tại nhà để củng cố chắc hơn nữa.
“Tuy vậy, tôi vẫn luôn khuyến khích học sinh làm theo các hướng khác nếu được, sử dụng công
thức khác nếu có thể, đặc biệt là những học sinh có khả năng cao hơn, hoặc những học sinh đã
rèn luyện tốt những nguyên tắc biến đổi này rồi” – thầy Sơn cho hay.