BÀI GIẢNG NGUYÊN hàm và PHƯƠNG PHÁP tìm NGUYÊN hàm file word
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (584.36 KB, 92 trang )
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM VÀ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
˜ ⓣ ⓗⓑⓣⓝ™
Khái niệm nguyên hàm và tính chất
1.
Khái niệm nguyên hàm
f (x)
— Cho hàm số
xác định trên
f (x)
của hàm số
trên
K
K.
F (x)
Hàm số
F ¢(x) = f (x), " x Î K .
nếu:
F (x)
—
được gọi là nguyên hàm
f (x)
Nếu
là một nguyên hàm của
f (x)
K
hàm số
trên
là:
ò f (x) ×dx = F (x) +C , const = C Î
trên
K
thì họ nguyên hàm của
¡.
f (x), g(x)
2. Tính chất: Nếu
luôn có:
là 2 hàm số liên tục trên
·
ò f ¢(x)dx = f (x) +C .
·
ò éëêf (x) ± g(x)ùûúdx = ò f (x)dx ± ò g(x)dx
·
K
và
k¹ 0
thì ta
òkf (x)dx = kò f (x)dx.
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy
ý)
a
ò x ×dx =
xa +1
+C
a +1
1
ò x ×dx = ln x +C
1
òx
×dx = 2
ò sin x ×dx = -
cosx + C
ò cosx ×dx = sin x +C
1
ò sin
2
1
+C
x
x
×dx = - cot x + C
n
ò(ax + b) ×dx =
1
1 (ax + b)n+1
×
+C
a
n +1
1
ò ax + b ×dx = a ×ln ax + b + C
ò (ax + b)
1
1
1
×
+C
a ax + b
) =ò sin(ax + bdx
1
cos(ax + b) + C
a
×dx = 2
1
ò cos(ax + b) ×dx = a ×sin(ax + b) + C
1
ò sin (ax + b)dx = 2
1
cot(ax + b) + C
a
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
1|
TI LIU HC TP
TON 12
Chuyờn : NGUYấN HM TCH PHN
1
1
ũ cos (ax + b)dx = a tan(ax + b) +C
ũe
ũe
2
2
x
1
ũ cos x ìdx = tan x +C
ìdx = ex + C
x
ũa ìdx =
ax+b
ax
+C
lna
Nhn xột. Khi thay
x
ũx
2
ìdx =
1 ax+b
ìe
+C
a
dx
1
x- a
=
ìln
+C
2
2a
x +a
- a
(ax + b)
bng
thi lõy nguyờn ham nhõn kờt qua thờm
1
ì
a
Mt s lu y
1. Cn nm vng bang nguyờn ham.
2. Nguyờn ham cua mụt tich (thng) cua nhiờu ham ham sụ khụng bao
gi bng tich (thng) cua cac nguyờn ham cua nhng ham thanh
phn.
3. Muụn tim nguyờn ham cua mụt ham sụ, ta phai biờn ụi ham sụ nay
thanh mụt tụng hoc hiờu cua nhng ham sụ tim c nguyờn ham
(da vao bang nguyờn ham).
Dng toỏn 1. TNH NGUYấN HM BNG BNG NGUYấN HM
A PHNG PHP GII TON
1. Tich cua a thc hoc ly tha
2. Tich cac ham m
3. Cha cn
PP
ắắ
ắ
đ
PP
ắắ
ắ
đ
PP
ắắ
ắ
đ
khai trin.
khai trin theo cụng thc m.
chuyn vờ ly tha.
4. Tich lng giac bc mụt cua sin va cosin
PP
ắắ
ắ
đ
khai trin theo cụng
thc tich thanh tng.
ã
ã
2 | THBTN
sinax.cosbx =
1ộ
ự
ờsin(a + b)x + sin(a - b)xỳ
ỷ
2ở
sinax.sinbx =
1ộ
ự
ờcos(a - b)x - cos(a + b)xỷ
ỳ
2ở
TON HC BC TRUNG NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
·
cosax.cosbx =
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
1é
ù
êcos(a + b)x + cos(a - b)xú
û
2ë
5. Bậc chẵn của sin và cosin
PP
¾¾
¾
®
Hạ bậc.
B - BÀI TẬP VẬN DỤNG
BT 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (giả sử điều kiện được xác định):
Phương pháp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận
dụng các tính chất nguyên hàm.
a)
a
f (a) = 3a2 + ×
2
F (a) = a3 +
ĐS:
a2
+C .
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
b)
f (b) = 2b3 - 5b + 7.
ĐS:
b4 5b2
F (b) = + 7b + C .
2
2
……………………………………………………………………………………
………………………………….
c)
c3
F (x) = c - 3c + - 8c + C .
3
6
f (c) = 6c5 - 12c3 + c2 - 8.
ĐS:
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
F (x) =
2
d)
f (x) = (x - 3x) ×(x + 1) ×
ĐS:
x4 2x3 3x2
+C .
4
3
2
……………………………………………………………………………………
………………………………….
F (x) = -
3
e)
f (x) = (3 - x) .
ĐS:
(3 - x)4
+C .
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) =
f)
1
1
- x2 - ×
2
3
x
F (x) = ĐS:
1 x3 x
+C .
x
3 3
……………………………………………………………………………………
………………………………….
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
3|
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F (x) =
2x
g)
f (x) = 10 .
ĐS:
102x
+C .
2ln10
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) = x3 - 4x +
h)
3
×
x
F (x) =
ĐS:
x4
+ 2x2 + 3.ln x + C .
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (t) =
i)
2t 4 + 2
×
t2
F (t) =
ĐS:
2 3 2
×t - + C .
3
t
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) =
j)
x- 1
×
x2
F (x) = ln x +
ĐS:
1
+C .
x
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) = 2sin2
k)
x
×
2
F (x) = x + sin x + C .
ĐS:
……………………………………………………………………………………
………………………………….
2
l)
f (x) = cos x.
ĐS:
1
1
F (x) = x + sin2x + C .
2
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
m)
f (x) = tan2 x.
F (x) = tan x - x + C .
ĐS:
……………………………………………………………………………………
………………………………….
f (x) =
n)
1
×
sin2 x.cos2 x
F (x) = ĐS:
2
+C .
sin2 2x
……………………………………………………………………………………
………………………………….
4 | THBTN
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
o)
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F (x) = -
f (x) = 2sin3x cos2x.
ĐS:
1
cos5x - cosx + C .
5
……………………………………………………………………………………
………………………………….
x
p)
x
f (x) = e .(e - 1).
ĐS:
1
F (x) = e2x - ex +C .
2
……………………………………………………………………………………
………………………………….
æ
ö
e- x ÷
÷
f (x) = ex ×ç
2
+
×
ç
÷
ç
ç
cos2 x ÷
è
ø
F (x) = 2ex + tan x + C .
q)
ĐS:
……………………………………………………………………………………
………………………………….
I = ò( x + x) ×dx.
3
r)
ĐS:
3 23
I = ×x + C .
2
……………………………………………………………………………………
………………………………….
s)
æ
ö
1 ÷
2
÷
ç
I = òç
2
x
+
÷×dx ×
ç
3 2÷
ç
è
x ø
ĐS:
2
I = x3 + 33 x + C . I = 2 x 3
2
x
+C .
……………………………………………………………………………………
………………………………….
I =ò
t)
1
2 x
+
3
3
x
+
5
5
x
×dx ×
F (x) = x +
ĐS:
9 3 2 25 5 4
x +
x +C .
2
4
……………………………………………………………………………………
………………………………….
u)
I = ò 4sin2 x ×dx.
ĐS:
I = 2x - sin2x + C .
……………………………………………………………………………………
………………………………….
I =ò
v)
1 + cos4x
×dx.
2
I =
ĐS:
x sin4x
+
+C .
2
8
……………………………………………………………………………………
………………………………….
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
5|
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
I = 3sin x -
I = ò(3cosx - 3 ) ×dx ×
x- 1
w)
ĐS:
3x- 1
+C .
ln3
……………………………………………………………………………………
………………………………….
x)
I = ò (tan x - 2cot x)2.dx.
I = tan x - 4cot x - 9x + C .
ĐS:
……………………………………………………………………………………
………………………………….
y)
I =
I = ò 3 u.(u - 4).du.
ĐS:
33 7
u - 33 u4 + C .
7
……………………………………………………………………………………
………………………………….
BT 2. Chứng minh
F (x)
f (x)
là một nguyên hàm của hàm số
trong các trường hợp
sau:
F (x)
Phương pháp: Để
f (x),
là một nguyên hàm của hàm số
ta cần
F ¢(x) = f (x).
chứng minh:
F (x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120
a)
f (x) = 15x2 + 8x - 7.
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f (x) =
2
F (x) = ln(x + x + 3)
b)
1
2
x +3
.
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
F (x) = (4x - 5) ×ex
c)
f (x) = (4x - 1) ×ex .
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
6 | THBTN
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F (x) = tan4 x + 3x - 5
d)
f (x) = 4tan5 x + 4tan3 x + 3.
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
e)
æ
x2 + 4ö
- 2x
÷
÷
F (x) = ln ç
ç
f (x) = 2
.
÷
2
ç
÷
ç
èx + 3ø
(x + 4) ×(x2 + 3)
và
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
F (x) = ln
f)
x2 - x 2 + 1
x2 + x 2 + 1
và
2 2(x2 - 1)
f (x) =
.
x4 + 1
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
BT 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước trong các
trường hợp sau:
f (x),
Phương pháp:
Tìm nguyên hàm của hàm số
ò f (x) ×dx = F (x) +C .
a)
tức đi tính
F (xo ) + C = ×××
C.
Rồi sau đó thế
để tìm hằng số
f (x) = x3 - 4x + 5, F (1) = 3.
ĐS:
x4
5
F (x) =
- x2 + 5x - ×
4
4
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
b)
f (x) = 3 - 5cosx, F (p) = 2.
F (x) = 3x - 5sin x + 2 - 3p.
ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f (x) =
c)
3 - 5x2
, F (e) = 1.
x
F (x) = 3ln x ĐS:
5x2 5e2
+
- 2.
2
2
.............................................................................................................................................
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
7|
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f (x) =
d)
x2 + 1
3
, F (1) = ×
x
2
F (x) =
ĐS:
x2
+ ln x + 1.
2
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f (x) = x x +
e)
1
x
, F (1) = - 2.
F (x) =
ĐS:
2 5
22
x +2 x ×
5
5
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f)
I = ò sin2x.cosxdx
. ,
æ
pö
÷
F ¢ç
= 0.
ç ÷
÷
÷
ç
è3ø
biết
F (x) = -
ĐS:
1
1
7
cosx - cosx + ×
6
2
12
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
I =ò
g)
3x4 - 2x3 + 5
×dx,
x2
F (x) = x3 - x2 -
F (1) = 2.
biết
ĐS:
5
+ 7.
x
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
I =ò
x3 + 3x2 + 3x - 7
×dx,
(x + 1)2
h)
F (x) =
F (0) = 8.
biết
ĐS:
x2
8
+x +
×
2
x +1
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
x
I = ò sin ×dx,
2
æ
ö p
p÷
÷
Fç
ç
÷= 4 ×
ç
è2÷
ø
2
i)
biết
F (x) =
ĐS:
x sin x 1
+
- ×
2
2
2
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
8 | THBTN
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TI LIU HC TP TON 12
Chuyờn : NGUYấN HM TCH PHN
.............................................................................................................................................
ổ 1ữ
ử
ữ
I = ũ x ìỗ
x
+
ìdx,
ỗ
ỗ
ữ
xữ
ố
ứ
j)
F (1) =
biờt
7
ì
2
F (x) S:
1
x2
+ 3x + + 3ln x + 1.
x
2
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
I =ũ
k)
2cos2 x - 1
ìdx,
cos2 x
ổ
ử p
pữ
ữ
Fỗ
ỗ
ữ= 2 ì
ỗ
ố4ữ
ứ
F (x) = 2x - tan x + 1.
biờt
S:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
BT 4. Tim iờu kiờn cua tham sụ m hoc a, b, c
F (x)
la mụt nguyờn ham cua
f (x) :
ham sụ
F (x)
Phng phỏp:
ờ
l mụt nguyờn hm ca hm s
f (x) F Â(x) = f (x).
T ú, ta s dng ng nht thc ờ tỡm ra tham
s cn tỡm.
iù F (x) = mx3 + (3m + 2)x2 - 4x + 3
ù
ì
i
ùù f (x) = 3x2 + 10x - 4
ùợ
a)
S:
m = 1.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
b)
iù F (x) = ln x2 - mx + 5
ùù
ùi
ì
ùù f (x) = 2x + 3
ùùợ
x2 + 3x + 5
S:
m = - 3.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
Website chuyờn thi, file word cú li gii 0982.56.33.65
9|
TÀI LIỆU HỌC TẬP
c)
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
ìï F (x) = (ax2 + bx + c) ×ex
ï
×
í
ïï f (x) = (x - 3) ×ex
ïî
a = 0, b = 1, c = - 4.
ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
d)
ìï F (x) = (ax2 + bx + c) ×e- 2x
ï
×
í
ïï f (x) = - (2x2 - 8x + 7) ×e- 2x
ïî
a = 1, b = - 3, c = 2.
ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
e)
ìï F (x) = (ax2 + bx + c) ×e- x
ï
×
í
ïï f (x) = (x2 - 3x + 2) ×e- x
ïî
a = - 1, b = 1, c = - 1.
ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
f)
ìï
ïï F (x) = (a + 1)sin x + b sin2x + c sin3x
×
í
2
3
ïï f (x) = cosx
ïïî
ĐS:
a = b = c = 0.
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
g)
ìï F (x) = (ax2 + bx + c) × 2x - 3
ïï
ïí
2
×
ïï f (x) = 20x - 30x + 7
ïï
2x - 3
î
a = 4, b = - 2, c = 1.
ĐS:
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
10 | THBTN
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
.............................................................................................................................................
h)
ìï f (x) = x 3 - x, (x £ 3)
ïï
×
í
ïï F (x) = (ax2 + bx + c) × 3 - x
ïî
ĐS:
2
2
12
a = ; b=- ; c =×
5
5
5
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
.............................................................................................................................................
C - BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM
f ( x) = x3 + 3x + 2
Câu 1. Nguyên hàm của hàm số
sau?
F ( x) =
A.
F ( x) =
C.
là hàm số nào trong các hàm số
x4 3x2
+
+ 2x + C
4
2
4
F ( x) =
.
B.
x4
+ 3x2 + 2x + C
3
.
2
x
x
+ + 2x + C
4
2
F ( x) = 3x2 + 3x +C
.
D.
.
F ( x) = 5x3 + 4x2 - 7x + 120 + C
Câu 2. Hàm số
sau đây?
là họ nguyên hàm của hàm số nào
f ( x) = 15x2 + 8x - 7
A.
f ( x) = 5x2 + 4x + 7
.
f ( x) =
C.
2
3
B.
5x
4x
7x
+
4
3
2
f ( x) = 5x2 + 4x - 7
.
D.
y = x2 - 3x +
Câu 3. Họ nguyên hàm của hàm số:
F ( x) =
A.
F ( x) =
C.
.
2
3
x
3
- x2 + ln x +C
3 2
1
x
là
F ( x) =
.
B.
3
x
3
+ x2 + ln x + C
3 2
.
x3 3 2
- x + ln x + C
3 2
F ( x) = 2x - 3 .
D.
1
+C
x2
.
.
f ( x) = ( x + 1) ( x + 2)
Câu 4. Tìm nguyên hàm của hàm số
A.
x3 3 2
F ( x) =
+ x + 2x + C
3 2
.
B.
x3 2 2
F ( x) =
+ x + 2x +C
3 3
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
.
11 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F ( x) =
F ( x) = 2x + 3 + C
C.
.
D.
f ( x) =
F ( x)
Câu 5. Nguyên hàm
của hàm số
F ( x) = - ln 5 - 2x + 2ln x -
A.
F ( x) = ln 5 - 2x + 2ln x -
C.
3
+C
x
3
+C
x
x3 2 2
- x + 2x + C
3 3
2
2 3
+ + 2
5 - 2x x x
.
là hàm số nào?
F ( x) = - ln 5 - 2x + 2ln x +
.
B.
F ( x) = - ln 5 - 2x - 2ln x +
.
D.
3
+C
x
3
+C
x
.
.
f (x) = x3 - 3x2 + 5
Câu 6. Một nguyên hàm của hàm số
A.
3x2 - 6x
B.
là
3x2 - 6x + C
C.
x4
- x3 + 5x + C
4
D.
x4 - x3 + 5x + C
g(x) = - 5x4 + 4x2 - 6
Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số
A.
là:
4
- x5 + x3 - 6x + C
3
D.
B.
Câu 8. Một nguyên hàm của hàm số
C.
4
là
4
4
A.
- 20x3 + 8x
4
- x5 + x3 + C
3
f (x) = ( x - 3)
( x - 3)
- 20x3 + 8x +C
4( x - 3)
( x - 3)
3
B.
5
( x - 3)
5
C.
D.
3
3
f (x) = x3 - 3x2 + 5
Câu 9. Một nguyên hàm của hàm số
là
4
2
2
A.
3x - 6x
B.
3x - 6x + C
C.
x
- x3 + 5x + C
4
D.
x4 - x3 + 5x + C
g(x) = - 5x4 + 4x2 - 6
Câu 10.
12 | THBTN
Một nguyên hàm của hàm số
là:
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
A.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
4
- x5 + x3 - 6x + C
3
B.
D.
- 20x3 + 8x +C
4
Một nguyên hàm của hàm số
( x - 3)
A.
là:
4
4( x - 3)
4
C.
4
- x5 + x3 + C
3
f (x) = ( x - 3)
Câu 11.
- 20x3 + 8x
( x - 3)
3
B.
C.
5
( x - 3)
5
D.
3
3
æ 2 1
ö
÷
ç
÷
3
x
+
2
dx
ç
÷
òçè
÷
x
ø
Câu 12.
Tính
A.
x3
+ ln x - 2x + C
3
x3 B.
1
- 2x + C
x2
x3 + ln x + C
C.
x3 + ln x - 2x + C
D.
f (x) = - x3 + 3x2 - 2x
Câu 13.
Cho
là:
A.
-
F (x)
. Một nguyên hàm
x4
1
+ x3 - x2 +
4
4
x4
+ x3 - x2 - 1
4
B.
D.
của
x4
1
+ x3 - x2 4
4
thỏa
C.
x4
+ x3 - x2 + 1
4
f (x) = 3x2 - 2x + 1
F (x)
Câu 14.
Gọi
F ( 1) = 0
f (x)
là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số
F (x)
thì
là:
F (x) = 3x3 - 2x2 + x +C
F (x) = x3 - x2 + 1+ C
A.
B.
F (x) =
2
F (x) = x(x - x + 1) + C
C.
D.
òx( x
2
Câu 15.
Kết quả của
1 3 1 2
x - x + x +C
3
2
+ 1) dx
bằng:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
13 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
(x
F (x) =
2
A.
F (x) =
)
+1
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
(x
F (x) =
3
+C
3
ö
x2 æ
x3
÷
ç
÷
+
x
+C
ç
÷
ç
÷
2ç
è3
ø
Một nguyên hàm
1
x2
f (x) =
của hàm số
F (x) =
B.
1
x2
Câu 17.
Tìm họ nguyên hàm
là:
D.
của hàm số
2
x
1
x
, ta được kết quả
F (x) = - 3cosx + 2ln x +C
B.
F (x) = 3cosx - 2ln x + C
F (x) = - 3cosx - 2ln x + C
C.
D.
F ( x)
Câu 18.
Tìm họ nguyên hàm
là:
F (x) = x3 A.
3
F (x) =
C.
Tính
A.
F (x) =
f ( x) = 3x2 – 3x
của hàm số
3x
+C
ln3
B.
x
3
+C
3 ln3
9
, ta được kết quả
F (x) = x3 +
x
ò( 1- x)
F (x) =
F (x) =
D.
3x
+C
ln3
x3
3x
+
+C
3 ln3
dx
, ta được kết quả là:
10
1
1 - x) + C
(
10
10
1
1 + x) + C
(
10
Tìm nguyên hàm
F (x) = -
10
1
1- x) + C
(
10
F (x) = -
10
1
1+ x) + C
(
10
B.
D.
f ( x) = x ( x + 2)
F ( x)
14 | THBTN
F (x) = -
f (x) = 3sin x +
A.
Câu 20.
là:
C.
F (x) = 3cosx + 2ln x + C
C.
1
x
)
F (x) = ln x
F ( x)
Câu 19.
+C
(
F ( x)
A.
6
3
3
x2 2
F (x) =
x + 1 +C
6
D.
F (x) = -
+1
B.
C.
Câu 16.
)
2
của hàm số
2
, ta được kết quả là:
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
A.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
x4 4 3
F (x) =
+ x + 2x2 + C
4 3
F (x) =
C.
x4
F (x) =
+ 2x2 + C
4
B.
x3
+ 2x2 + C
3
D. Kết quả khác.
f (x) = x2 - 2x + 1
Câu 21.
A.
Họ nguyên hàm của
là:
1
F (x) = x3 - 2 + x + C
3
F (x) =
C.
F (x) = 2x - 2 + C
B.
1 3
x - x2 + x + C
3
F (x) =
D.
1 3
x - 2x2 + x + C
3
f (x) = (2x + 1)3
Câu 22.
A.
Nguyên hàm của hàm số
1
(2x + 1)4 + C
2
là:
(2x + 1)4 + C
B.
2(2x + 1)4 + C
C.
D. Kết quả khác
f (x) = (1- 2x)5
Câu 23.
Nguyên hàm của hàm số
-
A.
1
(1- 2x)6 + C
12
là:
(1- 2x)6 + C
B.
5(1- 2x)6 + C
C.
2x +
Câu 24.
Nguyên hàm của hàm số f(x) =
x2 -
A.
3
+C
x
x2 +
B.
3
+C
x2
f ( x)
Câu 25.
Tìm hàm số
x +x +3
B.
x +x- 3
Tìm hàm số
y = f (x) =
C.
C.
x4 x2
+ +3
4
2
x +x
D. Kết quả khác
f ¢(x) = (x2 - x)(x + 1)
biết
A.
f ( 1) = 5
2
f (0) = 3
và
2
x
x
y = f (x) =
+3
4
2
D. Kết quả khác
và
2
4
x2 + 3ln x2 + C
biết rằng
y = f (x)
Câu 26.
là :
f ’( x) = 2x + 1
2
A.
D.
3
x2
C.
5(1- 2x)4 +C
B.
x4 x2
y = f (x) =
- 3
4
2
y = f (x) = 3x2 - 1
D.
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
15 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
f (x) = 3x2 + 2x - 3
Câu 27.
Cho
có một nguyên hàm triệt tiêu khi
hàm đó là kết quả nào sau đây?
F (x) = x3 + x2 - 3x
B.
F (x) = x3 + x2 - 3x + 2
F (x) = x3 + x2 - 3x - 1
C.
D.
f '(x) = ax +
f ( x)
A.
Tìm hàm số
biết rằng
x2 1 5
+ +
2 x 2
x2 1 5
+
2 x 2
B.
C.
b
, ff'(1) = 0, (1) = 4, f (- 1) = 2
x2
x2 1 5
+ 2 x 2
f ( x) = x2 +
Câu 29.
. Nguyên
F (x) = x3 + x2 - 3x + 1
A.
Câu 28.
x =1
Một nguyên hàm của hàm số
D. Kết quả khác
3
- 2 x
x
là
F ( x) =
A.
3
x
4 3
+ 3ln x x
3
3
F ( x) =
C.
B.
x3 3 4 3
F ( x) =
+
x
3 x 3
F ( x) =
D.
x3
4 3
+ 3ln x +
x
3
3
f ( x) = ( x - 3)
Câu 30.
4
Một nguyên hàm của hàm số
( x - 3)
F (x) =
F (x) = 4( x - 3)
B.
( x - 3)
F (x) =
3
C.
F ( x)
Nguyên
là:
4
4
A.
Câu 31.
x3
3 3
+ 3ln x x
3
4
hàm
5
5
( x - 3)
F (x) =
D.
3
3
f ( x) - x3 + 3x2 - 2x
của
F ( 1) = 0
thỏa mãn
16 | THBTN
là:
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
A.
x4
1
F ( x) = + x3 - x2 +
4
4
F ( x) = -
C.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
B.
x4
1
+ x3 - x2 4
4
x4
F ( x) = + x3 - x2 - 1
4
F ( x) = -
D.
x4
+ x3 - x2 + 1
4
NHÓM 2: HÀM SỐ VÔ TỶ ( CHỨA CĂN)
1
f (x) =
Câu 32.
A.
2x - 1
Nguyên hàm của hàm số
ò f ( x) dx =
2x - 1 + C
ò f ( x) dx =
2x - 1
+C
2
.
C.
D.
f (x) =
Câu 33.
A.
C.
Tìm nguyên hàm của hàm số
ò f ( x) dx = - 2
ò f ( x) dx = 2
ò f ( x) dx = 2
B.
.
.
ò f ( x) dx = - 2
3- x
B.
3 - x +C
.
2x - 1 + C
2x - 1 + C
.
1
3 - x +C
.
là
D.
.
ò f ( x) dx = -
3- x +C
ò f ( x) dx = - 3
.
3 - x +C
.
f (x) = 2x + 1
Câu 34.
Tìm nguyên hàm của hàm số
1
A.
ò f ( x) dx = 3( 2x + 1)
ò f ( x) dx = -
C.
.
2
2x + 1 + C
1
2x + 1 + C
3
.
B.
ò f ( x) dx = 3( 2x + 1)
1
.
D.
ò f ( x) dx = 2
2x + 1 + C
.
2x + 1 + C
.
f (x) = 5 - 3x
Câu 35.
A.
Tìm nguyên hàm của hàm số
2
ò f ( x) dx = - 9( 5 -
.
3x) 5 - 3x + C
.
B.
2
ò f ( x) dx = - 3( 5 -
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
3x) 5 - 3x
.
17 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
2
C.
ò f ( x) dx = 9( 5 -
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
3x) 5 - 3x
ò f ( x) dx = .
D.
2
5 - 3x + C
3
.
f (x) = 3 x - 2
Câu 36.
A.
C.
Tìm nguyên hàm của hàm số
3
ò f ( x) dx = 4( x - 2)
2
ò f ( x) dx = 3( x - 2)
3
.
x - 2 +C
.
B.
x- 2
.
D.
3
ò f ( x) dx = - 4( x - 2)
1
ò f ( x) dx = 3( x - 2)
2
3
3
x - 2 +C
.
+C
.
f (x) = 3 1- 3x
Câu 37.
A.
Tìm nguyên hàm của hàm số
1
ò f ( x) dx = - 4( 1-
ò f ( x) dx =
C.
3x) 3 1- 3x +C
.
1
1- 3x) 3 1- 3x + C
(
4
F ( x) = ( x + 1)
2
A.
f ( x) =
C.
.
B.
D.
3
ò f ( x) dx = - 4( 1-
f ( x) =
B.
2
( x + 1) x + 1
5
F ( - 1) =
A.
F ( x) = x -
C.
18 | THBTN
2
3
+C
.
2
3
5
( x + 1) x + 1 + C
2
f ( x) = ( x + 1) x + 1 + C
D.
Biết một nguyên hàm của hàm số
F ( x) = x -
-
là một nguyên hàm của hàm số nào
5
( x + 1) x + 1
2
thỏa mãn
.
ò f ( x) dx = - ( 1- 3x)
f ( x) =
Câu 39.
3x) 3 1- 3x + C
x + 1 + 2016
Câu 38.
Hàm số
sau đây?
f ( x) =
.
1
1- 3x
+1
F ( x)
là hàm số
F ( x)
. Khi đó
2
1- 3x + 3
3
2
1- 3x + 1
3
là hàm số nào sau đây?
F ( x) = x -
2
1- 3x - 3
3
F ( x) = 4 -
2
1- 3x
3
B.
D.
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F (x) = 6 1- x
Câu 40.
Biết
Câu 41.
- 3
a
3
B.
.
2 x-
B.
f ( x) = 1 +
Câu 42.
Cho hàm số
ò f ( x) dx = A.
C.
C.
6
.
1
6
D.
1
+C
x2
1
x
x
+C
2
1
C.
1
x +C
2
2
Gọi
-
x
D.
x
+C
2
. Khi đó :
B.
1
ò f ( x) dx = x - x2 +C
2 x
-
ò f ( x) dx = x + ln x +C
2
1æ 1ö
÷
÷
ò f ( x) dx = 2çççè1+ x ø÷
÷
D.
f (x) =
F (x)
Câu 43.
.
æ1
1ö
÷
ç
dx
ç
÷
òççè x 2ø÷
÷
x x
+C
2
2
A.
. Khi đó
bằng
.
Tính
1- x
là một nguyên hàm của hàm số
giá trị của
A.
a
f (x) =
là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm số
1
1- 2x
thì
F (x)
là:
F (x) =
A.
- 1
ln 1- 2x + C
2
B.
1
F (x) = ln 1- 2x + C
2
F (x) =
F (x) = ln 1- 2x + C
C.
D.
x
+C
x - x2
F (0) = 2
f (x) = 3x + 4
Câu 44.
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
quả là:
F (x) =
A.
F (x) =
C.
2
9
( 3x + 4)
2
3
( 3x + 4)
3
3
+
+
2
9
10
3
F (x) =
2
9
( 3x + 4)
3
F (x) =
2
3
( 3x + 4)
3
B.
D.
biết
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
-
2
9
-
10
3
. Kết
19 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
æ3 2 4÷
ö
ç
÷
x
+
dx
ç
òçè
÷
x÷
ø
Câu 45.
Tìm nguyên hàm
53 5
x + 4ln x + C
3
A.
-
B.
33 5
x - 4ln x + C
5
C.
D.
33 5
x + 4ln x + C
5
33 5
x + 4ln x + C
5
f (x) = x2 + k
Câu 46.
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
k ¹ 0?
f (x) =
A.
f (x) =
C.
Câu 47.
x 2
k
x + k + ln x + x2 + k
2
2
k
ln x + x2 + k
2
f (x) =
B.
với
1 2
x
x + k + ln x + x2 + k
2
2
1
f (x) =
x2 + k
D.
Trong các hàm số sau:
f (x) = x2 + 1
f (x) = x2 + 1 + 5
(I)
(II)
f (x) =
1
f (x) =
x2 + 1
(III)
1
x2 + 1
-2
(IV)
F (x) = ln x + x2 + 1
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số
A. Chỉ (I)
B. Chỉ (III)
C. Chỉ (II)
D. Chỉ (III) và (IV)
2
æ3
1ö
÷
÷
f (x) = ç
x
+
ç
÷
ç
ç
è
ø
x÷
Câu 48.
Một nguyên hàm của hàm số
là hàm số nào sau đây:
3
A.
3
12
F (x) = x 3 x2 + 6 x5 + ln x
5
5
(
F (x) = x 3 x + x
)
B.
2
C.
D.
ò( x
Câu 49.
20 | THBTN
Nguyên hàm
1 æ3
1ö
÷
÷
F (x) = ç
x
+
ç
÷
÷
ç
3ç
è
xø
3
12
F (x) = x 3 x2 + ln x + 5 x6
5
5
)
x + e2017x dx
=
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
A.
C.
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
5 2
e2017x
x x+
+C
2
2017
B.
3 2
e2017x
x x+
+C
5
2017
D.
2 3
e2017x
x x+
+C
5
2017
2 2
e2017x
x x+
+C
5
2017
NHÓM 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
æ
pö
÷
f (x) = cosç
ç3x + ÷
÷
ç
6÷
è
ø
Câu 50.
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
æ
1 æ
pö
pö
÷
÷
+C
f (x).dx = sin ç
+C
ç3x + ÷
÷
÷
ò f (x)dx = 3 sinçççè3x + 6ø÷
ò
÷
÷
ç
6ø
è
A.
.
B.
.
ö
1 æ
pö
1 æ
p÷
÷
ç
ç
÷
÷
f
(
x
)
dx
=
sin
3
x
+
+
C
f
(
x
)
dx
=
sin
3
x
+
+C
ç
ç
÷
ò
ò
÷
÷
3 ç
6ø
6 ç
6÷
è
è
ø
C.
.
D.
.
f (x) = 1+ tan2
Câu 51.
Tìm nguyên hàm của hàm số
x
A.
ò f (x)dx = 2tan 2 +C
1
C.
.
B.
.
D.
A.
.
ò f (x)dx = -
Câu 53.
A.
C.
1 æ
pö
÷
cot ç
+C
çx + ÷
÷
÷
3 ç
3ø
è
.
1
æ
pö
÷
+C
÷
ò f (x)dx = 3 cot çççèx + 3ø÷
÷
.
D.
.
cosx)dx
Tính
- cosx - sin x + C
cosx - sin x + C
.
B.
pö
C.
ò f (x)dx = - 2tan 2 +C
.
÷
+C
÷
ò f (x)dx = cot çççèx + 3ø÷
÷
ò( sin x -
.
1
æ
pö
÷
÷
sin2 ç
x
+
ç
÷
ç
÷
3ø
è
Tìm nguyên hàm của hàm số
æ pö
÷
+C
÷
ò f (x)dx = - cot çççèx + 3ø÷
÷
æ
ò f (x)dx = tan 2 +C
x
f (x) =
Câu 52.
.
x
x
ò f (x)dx = 2 tan 2 +C
x
2
B.
D.
- cosx + sin x + C
cosx + sin x +C
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
21 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
f (x) =
Câu 54.
Một nguyên hàm của hàm số
2tanx + C
2cotx + C
A.
B.
2
cos2x
C.
f (x) = 3 Câu 55.
Một nguyên hàm của hàm số
3x - tan x + C
3x + tan x + C
A.
B.
C.
là:
2sinx + C
1
sin2x
là:
3x + cot x + C
f (x) = sin x - cosx
Câu 56.
A.
C.
Cho
D.
F (x)
. Một nguyên hàm
D.
f (x)
B.
cosx - sin x +
cosx - sin x + 2
thỏa
D.
Cho hàm số
là:
2
2
2
2
f (x) = 2x + sin x + 2cosx
Câu 57.
3x - cot x + C
æ
pö
÷
÷
Fç
=0
ç
÷
ç
÷
è4ø
của
- cosx - sin x +
- cosx - sin x + 2
2cosx + C
F (x)
. Một nguyên hàm
f (x)
của
thỏa
F (0) = 1
là:
2
A.
C.
x - cosx + 2sin x
B.
2 + cosx + 2sin x
D.
x2 + cosx + 2sin x + 2
x2 + cosx + 2sin x - 2
f (x) = tan2 x
Câu 58.
Một nguyên hàm của hàm số
A.
tan x
3
là:
3
3
B.
tan x
1
. 2
3
cos x
C.
tanx - x
D.
2sin x
cos3 x
f (x) = cos4 x - sin4 x
Câu 59.
A.
Một nguyên hàm của hàm số
cos2x
B.
1
sin2x
2
là:
C.
2sin2x
D.
cos2 x
f (x) = sin4 x + cos4 x
Câu 60.
A.
22 | THBTN
Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số
1
x + sin4x
4
B.
1
x + sin4x
4
C.
3
1
x + sin4x
4
16
?
D.
3
1
x - cos4x
4
4
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
f ( x) = sin2x + 3x2
Câu 61.
Một nguyên hàm của hàm số
là:
F ( x) =
F ( x) = cos2x + 6x
A.
B.
F ( x) = -
C.
1
cos2x + x3
2
1
cos2x + 6x
2
F ( x) = -
D.
1
cos2x - x3
2
f ( x) = 2sin2x
Câu 62.
Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số
F ( x) = sin x
?
F ( x) = 2cos2x
2
A.
B.
F ( x) =
C.
1
cos2x
2
F ( x) = - cos2x
D.
f (x) = sin x
Câu 63.
Hàm số
F (x) = cosx +C
A.
F (x) = - cosx + 1
C.
có một nguyên hàm là:
F (x) = sin x + C
B.
F (x) = - sin x + C
D.
(
Câu 64.
Biết
F (x) =
A.
)
F (x) = ò 1 + tan2 x dx
F (x)
khi đó
1
+C
cos2 x
là:
F (x) = tan x + C
B.
F (x) =- tan x +C
F (x) = cot x +C
C.
D.
F (x)
f (x) = sin2x
F (x)
Câu 65.
Gọi
là tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàmsố
thì
là:
F (x) = cos2x + C
F (x) = sin2x + C
A.
B.
F (x) = - cos2x + C
F (x) = - sin2x + C
C.
D.
f1(x) = sin2 x
F1(x)
Câu 66.
Gọi
là nguyên của hàm số
thỏa mãn
f2(x) = sin2 x
nguyên của hàm số
F1(0) = 0
F2(x)
và
là
F2(0) = 0
thỏa mãn
. Khi đó phương trình
F1(x) = F2(x)
có nghiệm là:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
23 |
TÀI LIỆU HỌC TẬP
x=
A.
TOÁN 12
p
+ kp, k Î Z
2
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
x=
B.
p
k, k Î Z
2
x = kp, k Î Z
C.
x = k2p, k Î Z
D.
y = cos2 x.sin x
Câu 67.
A.
Nguyên hàm của hàm số:
1 3
cos x + C
3
là:
3
B.
- cos x +C
C.
1 3
sin x + C
3
D. Đáp án khác.
y = cos5x.cosx
Câu 68.
Một nguyên hàm của hàm số:
là:
F ( x) = cos6x
F ( x) = sin6x
A.
B.
ö
1æ
1
1
ç
÷
ç sin6x + sin 4x÷
÷
÷
2ç
4
è6
ø
-
C.
ö
1æ
sin6x sin4x ÷
ç
÷
+
ç
÷
2ç
4 ÷
è 6
ø
D.
y = sin5x.cos3x
Câu 69.
Một nguyên hàm của hàm số:
ö
1æcos6x cos2x ÷
÷
- ç
+
ç
÷
2ç
2 ÷
è 8
ø
là:
1æ
cos6x cos2x ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
2è 8
2 ø
A.
C.
B.
cos8x + cos2x
D. Đáp án khác.
F ( x)
Câu 70.
Tìm họ nguyên hàm
f ( x) = cosx
của hàm số
F ( x) = sin x + C
, ta được kết quả là:
F ( x) = - sin x + C
A.
B.
F ( x) = cosx +C
F ( x) = - cosx + C
C.
D.
f ( x) = cosx
Câu 71.
Kết quả nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số
x=
nguyên hàm này triệt tiêu khi
p
2
?
F ( x) = sin x
A.
biết
F ( x) = - sin x
B.
F ( x) = sin x + 1
C.
F ( x) = sin x - 1
D.
1
ò cos ( 3x - 1) dx
2
Câu 72.
24 | THBTN
Tính
, ta được kết quả là:
TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM
TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
F ( x) = tan( 3x – 1) + C
F ( x) = cot ( 3x – 1) + C
A.
B.
F ( x) =
C.
1
tan ( 3x – 1) +C
3
F ( x) =
D.
1
cot ( 3x – 1) +C
3
æ
pö
÷
Fç
ç ÷
÷= 1
ç
f ( x) = tan x
è4÷
ø
Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số
biết
. Kết quả
2
Câu 73.
là:
F (x) = tan x - x +
A.
F (x) = x - tan x +
C.
Câu 74.
Tính
-
A.
Câu 75.
A.
C.
Câu 76.
ò(cos6x -
F (x) = tan x - x -
p
4
F (x) = x - tan x -
p
4
B.
p
4
D.
1)dx
, kết quả là:
1
cos(3x - 1) + C
3
Tìm
-
ò sin(3x -
p
4
B.
1
cos(3x - 1) + C
3
- cos(3x - 1) +C
C.
D. Kết quả khác
cos4x)dx
là:
1
1
sin6x + sin4x + C
6
4
B.
1
1
sin6x - sin4x + C
6
4
D.
6sin6x - 5sin4x + C
- 6sin6x + sin4x +C
Trong các hàm số sau:
f (x) =
2
f (x) = tan x + 2
(I)
(II)
2
cos2 x
f (x) = tan2 x + 1
(III)
Hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số g(x) = tanx
A. (I), (II), (III)
B. Chỉ (II), (III)
C. Chỉ (III)
D. Chỉ (II)
f ( x) = 2sin3x cos2x
Câu 77.
Nguyên hàm của hàm số
-
A.
C.
Câu 78.
1
cos5x - cosx + C
5
5cos5x + cosx + C
B.
1
cos5x + cosx + C
5
D. Kết quả khác
Lựa chọn phương án đúng:
– Website chuyên đề thi, file word có lời giải – 0982.56.33.65
25 |
