TỔNG hợp NHỮNG câu PHÂN LOẠI TUYỂN SINH vào lớp 10

TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
TỔNG HỢP NHỮNG CÂU PHÂN LOẠI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
Bài 1: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016]. Cho x, y, z là ba số thực dương. Chứng minh:

x2
8 x  3 y  14 xy
2

2



y2
8 y  3z  14 yz
2

2

z2



8 z  3x  14 zx
2

2



x yz
5

Hướng dẫn giải
Với x, y, z dương, ta có:

8 x 2  3 y 2  14 xy  (9 x 2  12 xy  4 y 2 )  ( x 2  2 xy  y 2 )  (3x  2 y) 2  ( x  y) 2  (3x  2 y) 2
 8 x 2  3 y 2  14 xy  3x  2 y
Tương tự ta có:

8 y 2  3z 2  14 yz  3 y  2 z
8 z 2  3x 2  14 zx  3z  2 x
Suy ra

P

x2
8 x 2  3 y 2  14 xy



y2
8 y 2  3z 2  14 yz



z2
8z 2  3x3  14 zx



x2

y2
z2


(*)
3x  2 y 3 y  2 z 3z  2 x

Áp dụng BĐT Cô–si cho hai số không âm, ta có:

x2
3x  2 y
x2
3x  2 y 2 x
x2
7x  2 y

2
.



3x  2 y
25
3x  2 y
25
5
3x  2 y
25
Ta có 2 BĐT tương tự

y2
7 y  2z

3y  2z
25
z2
7 z  2x

3z  2 x
25
Cộng từng vế của 3 BĐT trên, ta có

x2
y2
z2
x yz



3x  2 y 3 y  2 z 3z  2 x
5
Từ (*) và (**) ⇒

x2
8 x 2  3 y 2  14 xy



(**)

y2
8 y 2  3z 2  14 yz



z2
8 z 2  3x 2  14 zx



x yz
5

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 1


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
Bài 2: [Chuyên Trần Phú-Hải Phòng_2015-2016]. Tìm các số x,y nguyên dương thỏa mãn phương
trình: 16( x3  y3 )  15xy  371
Hướng dẫn giải

16( x3  y3 )  15xy  371

(1)

Vì x, y ∈ ℕ * nên từ (1) ⇒ 16( x3  y3 )  15xy  371  0  x3  y3  x  y
Mặt khác từ (1)  15xy  16( x3  y3 )  371 là số lẻ, suy ra x, y lẻ.

Suy ra y ≥ 1, x > y ≥ 1 ⇒ x ≥ 3. Xét hai trường hợp:
 x = 3 ⇒ y < 3 ⇒ y = 1. Thử lại ta có (x; y) = (3;1) thỏa mãn (1)
 x ≥ 5. Ta có: x – 2 ≥ y. Suy ra

16( x3  y3 )  16  x3  ( x  2)3   16  x3  ( x3  6 x2  12x  8  16(6x 2  12x  8)
Mặt khác:

15xy  371  15x( x  2)  371  15x2  30 x  371
Ta chứng minh

16(6 x2  12 x  8)  15x2  30 x  371  81x2  162x  243  0  x2  2x  3  0  ( x  1)( x  3)  0
(đúng ∀ x ≥ 5)
Suy ra 16( x3  y3 )  15xy  371 với mọi x ≥ 5
Vậy (x;y) = (3;1) là cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán.
Câu 3: [Sở GD Hải Phòng_2016-2017]

1
a

a) Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh rằng: (a  b  c)( 

1 1
 )9
b c

b) Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P

9

2
 2
2(ab bc  ca) a  b2  c 2
Hướng dẫn giải

a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương, ta có:

a  b  c  3 3 abc
1 1 1
1 1 1
   33 . .
a b c
a b c
Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều dương, ta được:
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 2


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

1 1 1
1 1 1
(a  b  c)(   )  3 3 abc .3 3 . .  9 (đpcm)
a b c
a b c
b) Với mọi a, b, c > 0 ta có

1
1

1
(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  0  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
2
2
2
1
1


2
6(ab  bc  ca) 6(a  b 2  c 2 )
13
1
2

 2
3(ab  bc  ca) 6(ab  bc  ca) a  b 2  c 2
13
1
2


 2
2
2
2
3(ab  bc  ca) 6(a  b  c ) a  b 2  c 2
13
13
13

1
1
1


 (

 2
)
2
2
2
3(ab  bc  ca) 6(a  b  c ) 6 ab  bc  ca ab  bc  ca a  b 2  c 2
 P 

Áp dụng ý a, ta có

1
1
1

 2
)9
ab  bc  ca ab  bc  ca a  b2  c 2
1
1
1
9



 2

9
2
2
ab  bc  ca ab  bc  ca a  b  c
(a  b  c ) 2
39
 P 
2
1
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c 
3
39
Vậy GTNN của P là
2
(2ab 2 bc 2ca  a 2  b2  c 2 )(

Câu 4: [Sở GD Hưng Yên_2016_1017] Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a  b  c 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

P  2a 2  ab  2b2  2b2  bc  2c2  2c 2  ca  2a 2
Hướng dẫn giải
Với a,b,c là các số dương và

a  b  c 1

Cách giải 1
Ta có:

2a 2  ab  2b2 

5
3
5
( a  b) 2  ( a  b ) 2 
( a  b) 2
4
4
4

Dấu “=” xảy ra khi a =b Hay

2a 2  ab  2b 2 

5
(a  b) b 2  4ac
2

Tương tự :

2b2  bc  2c 2 

2c 2  ca  2a 2 

5
(b  c) . Dấu “=” xảy ra khi c =b

2

5
(c  a) . Dấu “=” xảy ra khi a = c
2

Suy ra P  2a 2  ab  2b2  2b2  bc  2c 2  2c 2  ca  2a 2  5(a  b  c)
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 3


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta có :

(12  12  12 )[( a )2  ( b )2  ( c )2 ]  (1. a  1. b  1. c )2  1
Do đó a  b  c 

1
5
=> P 
3
3

a  0; b  0; c  0

1
Dấu “=” xảy ra khi a  b  c
 a  b  c 
9


 a  b  c 1
Vậy MinP =

1
5
khi và chỉ khi a  b  c 
9
3

Cách giải 2
Ta chứng minh bất đẳng thức:

a 2  b2  c2  d 2  (a  c)2  (b  d )2 (*) dấu bằng xảy ra khi

a b

c d
Thật vậy:

(*)  a 2  b 2  c 2  d 2  (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (a  c) 2  (b  d ) 2
 (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  ac  bd
 (a 2  b 2 )(c 2  d 2 )  (ac  bd ) 2
 (ad  bc) 2  0(luon dung)
=>

P
b
15b 2
c

15c 2
a
15a 2
 (a  )2  (
)  (b  ) 2  (
)  (c ) 2  (
)
4
4
4
4
4
4
2

Áp dụng bất đẳng thức * ta có:

P
b
c
15b
15c 2
a
15a 2
 (a   b  ) 2  (

)  (c  ) 2  (
)
4
4

4
4
4
4
2
b
c
a
15b
15c
15a 2
5
 (a   b   c  ) 2  (


) 
( a  b  c) 2
4
4
4
4
4
4
2
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhia ta có

( a  b  c )2  (1  1  1)(a  b c)  a  b c 

1
3

dấu = khi a = b = c
Do đó

P
5
5 1

(a  b  c) 2 
.
2
2 9
2
 P 

5
3

Dấu = khi a = b = c = 1/9
Cách giải 3
Ta có: 2a 2  ab  2b2  2(a  b)2  3ab
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 4


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
Mà ab 

( a  b) 2

4

Nên

3
5
2a 2  ab  2b 2  2(a  b) 2  3ab  2(a  b) 2  (a  b) 2  (a  b) 2
4
4
5
 2a 2  ab  2b 2 
( a  b)
2
5
5
TT : 2b 2  bc  2c 2 
(b c);
2c 2  ca  2a 2 
(c a)
2
2
Do đó P  5(a  b  c)
Mặt khác ta có

x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  3( x 2  y 2  z 2 )  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 yz  2 zx
1
 3( x 2  y 2  z 2 )  ( x  y  z )2  x 2  y 2  z 2  ( x  y  z )2
3
Áp dụng bất đẳng thức ta có:

1
1
1
5
. Dấu “=” khi a  b  c 
a  b  c  ( a  b  c )2  => MinP =
3
3
9
3
Câu 5: [Sở GD Nam Định 2016_2017]
Giải phương trình 2( x  1) x  3(2 x3  5x 2  4 x  1)  5 x3  3x 2  8
Hướng dẫn giải

2( x  1) x  3(2 x3  5x2  4 x  1)  5x3  3x2  8 (1)
Điều kiện: x ≥ 0. Với x ≥ 0, ta có

(1)  2( x  1) x  3( x  1) 2 (2 x  1)  ( x  1)(5 x 2  8 x  8)
 2( x  1) x  ( x  1) 3(2 x  1)  ( x  1)(5 x 2  8 x  8)  0( Do x+1  1>0)
 x  1  0(2)
<=> 
2
 2 x  3(2 x  1)  (5 x  8 x  8)  0(3)
Ta có (2) ⇔ x = –1 (loại)
Giải phương trình (3): Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có:

2 x  x 1
3  2x 1
 x2
2

 VT (3)  x  1  x  2  (5 x 2  8 x  8)  5 x 2  10 x  5  5( x  1) 2  0
3(2 x  1) 

Dấu bằng xảy ra ⇔ x = 1. Vậy (3) ⇔ x = 1 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là {1}
Câu 6: [Sở GD Nghệ An 2016_2017] Cho các số thực a,b,c thỏa mãn 0 ≤ a,b,c ≤ 1 và a + b + c ≥ 2.
Chứng minh rằng: ab(a + 1) + bc(b + 1) + ca(c + 1) ≥ 2.
Hướng dẫn giải
Vì 0  a, b,c  1  (1  a)(1  b)  0  1  a  b ab  0

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 5


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

 ab  a  b 1  (a  b c)  (c 1)  0
 ab(a  1)  a .ab ab  a(a  b  1)  ab  a 2  2ab  a
Tương tự ta có

bc(b 1)  b 2  2bc  b
ca(c  1)  c 2  2ca  c
Cộng lại ta được:

ab(a  1)  bc(b 1)  ca(c 1)  a 2  b2  c 2  2(ab  bc  ca)  (a  b  c)
 (a  b  c)2  (a  b c)  (a  b c 1)(a  b c)  1.2  2
=>đpcm
Câu 7: [Sở GD Quảng Ninh 2016_2017] Với x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y +
xy = 15. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2.

Hướng dẫn giải
Vì x, y là những số thực dương nên theo BĐT Côsi ta có

x  y  2 xy dấu “=” xảy ra khi x = y hay x  x  x 2  15  x  y  3
GT: x  y  xy  15  xy  15  ( x  y)
Do đó:



P  x 2  y 2  ( x  y)2  2 xy  ( x  y)2  30  2( x  y)  2 xy



2

 30  2.2 xy

dấu “=” xảy ra khi x = y = 3

Pmin  4.32  30  4.3  18 tại x = y = 3
Câu 8: [Sở GD Thanh Hóa 2016_2017]: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a 2  2b2  3c 2 .
Chứng minh rằng:

1 2 3
 
a b c
Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số, ta có

(a  2b)2  (1.a  2 2b)2  (1  2)(a 2  2b2 )  3.3c 2  9c 2  a  2b  3c
Với mọi x,y,z > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có

1 1 1
1
( x  y  z )(   )  3. 3 xyz .3. 3
9
x y z
xyz


1 1 1
9
  
x y z x yz

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có

1 2 1 1 1
9
9
9 3
    

  (đpcm)
a b a b b a  b  b a  2b 3c c
Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c.
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 6

TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
Câu 9: [Yên Bái 2016_2017]: Cho 2 số dương a,b thỏa mãn (a + b)(a + b – 1) = a2 + b2. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức: Q 

1
1
 4
2
2
a  b  2ab b  a  2ba 2
4

2

Hướng dẫn giải
Từ điều kiện đề bài suy ra  a  b    a  b   a 2  b2  2ab  (a  b)  0  a  b  2ab
2

 a  b
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: a  b  2ab 
2

2

 a  b  2 a  b  a  b  2
2

a 4  b 2  2 a 4 .b 2  2a 2b; b 4  a 2  2b 2 a

1
1
2
1
Q 2
 2


2
2
2a b  2ab 2b a  2ba
2ab(a  b) ab(a  b)
Vì a  b  2; ab 

ab
1
1
1
1
 Q
2
ab(a  b) 2
2

Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = 1
Vậy GTLN của Q là

1
2

Câu 10: [Yên Bái 2016_2017] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất
của biểu thức: P 

ab
bc
ca
 5 5
 5
5
a  b  ab b  c  bc c  a5  ca
5

Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 5 số dương, ta có:

a5  a5  a5  b5  b5  5 5 a5 .a5 .a5 .b5 .b5  5a3b 2
 3a5  2b5  5a3b2
Tương tự ta có:

2a 5  3b5  5a 2b3
 5a 5  5b5  5(a 3b 2  a 2b3 )  a 5  b5  a 2b 2 (a  b)
ab
ab
1
c
c
 5 5
 2 2




a  b  ab a b (a  b)  ab ab(a  b)  1 abc(a  b)  c a  b  c
Ta có 2 bất đẳng thức tương tự, cộng lại ta có:

P

c
a
b


1
abc a bc a bc

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
Vậy GTLN của P là 1
Câu 11: [Hà Tĩnh 2016_2017] Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 7


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

P  (2a  2b  3)(a 3  b3 ) 

7
( a  b) 2

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có:

P  (2a  2b  3)(a3  b3 ) 

7
7
 [2(a  b)  3](a  b)(a 2  ab  b 2 ) 
2
( a  b)
( a  b) 2

Do a, b là các số dương, nên áp dụng BĐT Cô si ta có: a 2  b2  2ab

7
( a  b) 2
7
 [2(a  b)  3](a  b)(2  1) 
( a  b) 2
7
 [2(a  b)  3](a  b) 
( a  b) 2
7
 2(a  b) 2  3(a  b) 
( a  b) 2
7
7
5
5

13
25
 (a  b) 2 
 [ (a  b)  ]2  (a  b) 
2
16
( a  b)
4
2
4
4
P  [2(a  b)  3](a  b)(2  ab) 

Ta có:

7
7
7
7
7
(a  b) 2 
2
( a  b) 2 .

2
2
16
( a  b)
16
( a  b)

2
5
5
5
5
[ (a  b)  ]2  [ .2 ab  ]2  0
4
2
4
2
13
13
( a  b) 
4
2
7
13 25 15
Nên ta có: P   0  

2
2 4
4

a  b
 a=b=1
ab  1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P = 15/4. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM:

a 3  b3  2 a 3b3  2(do ab=1)
a+b  2
(a+b) 2  2(a 2  b 2 )( Bunhiacopski )
 P  2(2(a  b)  3) 

7
7 15
 2(2.2  3) 

2
2(a  b )
2.2 4
2

Suy ra Min P=15/4a=b=1
Câu 12: [Hà Tĩnh 2016_2017] Với các số thực x, y thỏa mãn x  x  6 

y  6  y tìm giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y
Hướng dẫn giải
Điều kiện: x ≥ –6, y ≥ –6
Từ điều kiện đề bài ta có x + y ≥ 0 và
Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 8


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

x  y  x  6  y  6  ( x  y)2  x  y  12  2 ( x  6)( y  6) (*)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm, ta có

2 ( x  6)( y  6)  ( x  6)  ( y  6)  x  y  12
 ( x  y ) 2  x  y  12  2 ( x  6)( y  6)  2( x  y )  24
 ( x  y ) 2  2( x  y )  24  0
 4  x  y  6
Khi x = y = 3 thì x + y = 6
Ta có 2 ( x  6)( y  6)  0 nên từ (*) suy ra

( x  y ) 2  x  y  12
 ( x  y  4)( x  y  3)  0
 x  y  4( Do x  y  3  0)
Khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10 thì x + y = 4
Vậy GTLN của P là 6 khi x = y = 3 và GTNN của P là 4 khi x = 10, y = –6 hoặc x = –6, y = 10
Câu 13: [Chuyên DHSP Hà Nội 2016_2017] Cho a, b, c là ba số thực không âm và thỏa mãn: a + b +
c = 1. Chứng minh rằng 5a  4  5b  4  5c  4  7
Hướng dẫn giải
2
a(1  a)  0 a  a


Vì a, b, c không âm và có tổng bằng 1 nên 0  a, b, c  1  b(1  b)  0  b  b 2
c(1  c)  0

2

c  c

Suy ra

5a  4  a 2  4a  4  (a  2)2  a  2

Tương tự 5b  4  b  2; 5c  4  c  2
Do đó

5a  4  5b  4  5c  4  (a  b  c)  6  7

Câu 14: [Sở GD Sơn La 2016_2017] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a  b  2 2 . Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức: P 

1 1

a b
Hướng dẫn giải

Cách 1: Với mọi a, b ta luôn có: (a - b) 0
2

 a2  b2  2ab  0  a 2  b2  2ab  a 2  b2  2ab  4ab  (a  b)2  4ab (*)
Vì a, b đều dương nên ab và a+ b cũng dương bất đẳng thức (*) trở thành:

ab
4
1 1
4
4
mà a+b  2 2

  

 P 
ab
a b
a b a b
a b
4
4


 P  2
ab 2 2



Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 9


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017
2

( a  b)  0

Dấu “ = ” xảy ra  


a  b  2 2

 a  b  2

Vậy min P= 2
Cách 2: Ta có (a + b)2 – 4ab = (a - b)2  0 (a + b)2  4ab => (*) giải tiếp ta được.
co  si

1 1
Cách 3: Với hai số a > 0, b > 0 ta có P   
a b

co  si

2
2.2
4
4



 2
ab a b 2 2
ab

Dấu “ = ” xảy ra a  b  2
Vậy min P= 2
Cách 4: Ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương.
Chứng minh rằng:

1 1
4
 

(*)
a b ab

Thật vậy áp dụng vất đẳng thức cô sinh cho hai số dương a và b,

1 1
; ta được:
a b

a  b  2 ab (1)
1 1
1
 2
(2)
a b
ab
Do các vế của (1) và (2) trên đều dương nên nhân vế với vế hai BĐT dương cùng chiều, tađược:

1 1
(a  b)(  )  4
a b
Dấu đẳng thức xảy ra khi a=b.
Áp dụng (*) => P 

4
1
1
4
4
vì a+b  2 2 




 2(3)
ab
ab 2 2
a b 2 2

 P  2 dấu "=" xẩy ra khi (1), (2) và (3) đồng thời xẩy ra dấu "=" và kết hợp với điều kiện bài ra
ta có:

a  b

1 1
 a  b  2 .Vậy minP =
Khi đó:  
a
b

a  b  2 2

2 khi a=b= 2

Cách 5: Bằng phương pháp tương đương ta chứng minh bài toán sau: Cho a, b là các số dương.
Chứng minh rằng:

1 1
4
=> các bạn giải tiếp.
 

a b ab

Cách 6: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kì ta có:

( a  b) 2 a 2 b 2
a 2 b 2 ( a  b) 2
 
hay
 
(1) ( Bất đẳng thức Svac – xơ)
x y
x
y
x
y
x y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a b

x y

Thật vậy áp dụng bất đẳng thức Bun nhiacopxki cho

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 10


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

  a 2  b 2 
a 2 b2
2
2
(  )( x  y )   

  ( x )  ( y )


x
y
 x   y  


2
2
a b
a 2 b 2 (a  b) 2
 (a  b) 2  (  )( x  y )  (a  b) 2 hay
 
x
y
x
y
x y





Áp dụng (1) ta có:

 12 12  (1  1)2
(1  1)2
4


hay
P


 2


x y
2 2
 x y  x y
1 1
Dấu "=" xẩy ra khi và khỉ khi  hay a=b kết hợp với điều kiện bài ra ta có:Vậy minP =
a b

2 khi a=b= 2
Câu 15: [Sở GD Vũng Tàu hệ chuyên 2016_2017] Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca =
3abc. Chứng minh rằng:

a
b
c
3

 2
 2

a  bc b  ca c  ab 2
2

Hướng dẫn giải
Từ điều kiện đề bài ta có

ab  bc  ca
1 1 1
3   3
abc
a b c

Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

a 2  bc  2 a 2 .bc  2a bc 

a
2
1


a  bc 2a bc 2 bc
2

1 1 11 1
a
11 1

.
    2
   
b c 2  b c  a  bc 4  b c 
Tương tự ta có:

Suy ra

b
11 1
c
11 1
   ; 2
   
b  ca 4  c a  c  ab 4  a b 
2

a
b
c
11 1 1 3
 2
 2
     .
a  bc b  ca c  ab 2  a b c  2
2

Câu 16: [Sở GD Vĩnh Phúc 2015_2016] Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c
= 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 

ab
bc
ca


c  ab
a  bc
b  ca

Hướng dẫn giải
Có a + b + c = 1 => c = (a + b + c).c = ac + bc + c2
=> c + ab = ac + bc + c2 + ab = a(c + b) + c(b + c) = (c + a)(c + b)
Áp dụng BĐT Cô-si với hai số dương x, y ta có:

xy 

x y
. Dấu “=” xảy ra khi x = y
2

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 11


TOÁN HÈ 10: KHAI GIẢNG VÀ BẮT ĐẦU HỌC NGÀY 01/07/2017

1
1


1
1
ab
ab 1
1


 c  a c  b 

(

)
2
c  ab
(c  a)(c  b)
c  ab 2 c  a c  b

(1)

Tương tự: a + bc = (a + b)(a + c)
b + ca = (b + c)(b + a)

=>

bc
bc
bc 1
1

 (


)
c  bc
(a  b)(a  c) 2 a  b a  c

(2)

ca
ca
ca 1
1

 (

)
b  ca
(b  c)(a  b) 2 b  c b  a

(3)

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta có:

ab
bc
ca
bc  ca bc  ab ca  ab a  b  c 1








2
2
c  ab
a  bc
b  ca 2(a  b) 2(a  c) 2(b  c)
1
1
Từ đó giá trị lớn nhất của P là
đạt được khi và chỉ khi a = b = c =
2
3
P

Câu 17: [Sở GD Vĩnh Long 2015_2016] Biết phương trình bậc hai (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x –
c)(x – a) = 0 (x là ẩn số) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
Hướng dẫn giải
Theo đề: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0
⇔ x2 – ax – bx + ab + x2 – bx – cx + bc + x2 – cx – ax + ca = 0
⇔ 3x2 – 2(a + b + c)x + ab + bc + ca = 0

 '  (a  b  c)2  3(ab  bc  ca)

 a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ca  3ab  abc  3ca  a 2  b 2  c 2  ab  bc  ca
1
 [(a 2  2ab  b 2 )  (b 2  2bc  c 2 )  (c 2  2ca  a 2 )]
2
1

 [(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2 ]  0a, b, c
2
Vì phương trình trên có nghiệm kép nên:

a  b  0

 '  0  b  c  0  a  b  c
c  a  0

b' a b  c
Nghiệm kép: x1  x2   
abc
a
3

Ths. Trần Đình Cư. Gv Chuyên luyện thi môn Toán, TP Huế. SĐT: 01234332133

Page 12