Duong Tron (TT Thang Long)

ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 1
ĐƯỜNG TRÒN
I.Lập phương trình đường tròn :
Bài 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không ? Nếu có hãy xác
đònh tâm và bán kính của đường tròn đó.
1)
2 2
2 2 2 0x y x y+ − − − =
2)
2 2
4 6 3 0x y x y+ − + − =
3)
2 2
4 6 14 0x y x y+ − + + =
4)
2 2
2 6 15 0x y x y+ + − − =
5)
2 2
2 2 4 8 14 0x y x y+ + + + =
6)
2 2
4 4 8 16 19 0x y x y+ − − + =
Bài 2. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
1) (C) có tâm I(3 ; 5) và qua điểm A(7 ; 2)
2) (C) có tâm I(-1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – 2y + 7 = 0
3) (C) có đường kính AB với A(1 ; 1) và B(7 ; 5)
4) (C) có đường kính CD với C(1 ; 5) và D(-1 ; 1)
5) (C) có tâm là I(-1 ; 2) và chắn trên D : x + 2y + 2 = 0 một dây cung MN = 2.
Bài 3. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm :
1) O(0 ; 0), M(1 ; 2), N(-2 ; 4)

2) A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3)
3) A(4 ; 5), B(3 ; -2), C(1 ; 4)
4) A(1 ; 3), B(5 ; 6), C(7 ; 0)
5) A(2 ; 1), B(2 ; 5), C(-2 ; 1)
6) A(-2 ; 4), B(5 ; 5), C(6 ; -2)
Bài 4. Cho bốn điểm : A(-1 ; 3), B(-2 ; 2), C(4 ; -2), D(3 ; -3)
1) Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
2) Lập phương trình đường tròn đó.
Bài 5. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
1) (C) có tâm I(2 ; -5) và tiếp xúc với Ox
2) (C) có tâm I(1 ; 3) và tiếp xúc với Oy
3) (C) qua A(9 ; 9) và tiếp xúc với trục Ox tại M(6 ; 0)
4) (C) tiếp xúc với trục Ox tại A(2 ; 0) và khoảng cách từ tâm của (C) đến B(6 ; 4) bằng 5
5) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(2 ; 1)
6) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và qua M(4 ; 2)
7) (C) tiếp xúc cả hai trục tọa độ và có tâm nằm trên đường thẳng D : 4x – 2y – 8 = 0
8) (C) qua hai điểm A(2 ; 3), B(-2 ; 1) và có tâm nằm trên trục hoành
9) (C) qua hai điểm A(2 ; 0), B(3 ; 1) và có bán kính R = 5
10) (C) qua hai điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 2x + 3y = 0
11) (C) qua hai điểm A(-1 ; 2 ), B(3 ; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng D : 7x + y – 6 = 0
12) (C) tiếp xúc với đường thẳng
1
D
: x – 2y + 3 = 0 tại M(1 ; 2) và có tâm nằm trên đường
thẳng
2
D
: x – 5y – 5 = 0.
13) (C) tiếp xúc với đường thẳng
1

D
: x – 7y + 10 = 0 tại M(4 ; 2) và có tâm nằm trên đường
thẳng
2
D
: 2x + y = 0.
14) (C) tiếp xúc cả hai đường thẳng
1
D
: x + y + 4 = 0,
2
D
: 7x – y + 4 = 0 và có tâm nằm trên
đường thẳng
∆
: 4x + 3y – 2 = 0
Bài 6. Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau :
1) (C) tiếp xúc với đường thẳng D : 3x – 4y – 31 = 0 tại điểm M(1 ; -7) và có bán kính R = 5
2) (C) tiếp xúc với đường tròn (C’) :
2 2
2 0x y x+ − =
tại A(2 ; 0) và có bán kính R = 5
2 ĐƯỜNG TRÒN
3) (C) qua A(5 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng D : x + 3y + 2 = 0 tại M(1 ; -1).
4) (C) tiếp xúc với đường thẳng
1
D
: 5x – 4y – 17 = 0 tại M(4 ; 3) và tiếp xúc với đường thẳng
2
D

: x – 5y – 5 = 0.
5) (C) qua hai điểm A(-1 ; 0), B(1 ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng D : x – y – 1 = 0
Bài 7. Cho hai đường tròn (
1
C
) :
2 2
9 0x y+ − =
và
2 2
2
( ) : 2 2 23 0C x y x y+ − − − =
. Viết
phương trình đường tròn (C) đi qua các giao điểm của (
1
C
) và (
2
C
) , có tâm nằm trên đường
thẳng
D : x + 6y – 6 = 0.
Bài 8. Lập phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng D
1)
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 4C x y− + − =
và D : x – y – 1 = 0. (ĐH_D_03)
2)
2 2
( ) : ( 2) ( 3) 3C x y− + − =

và D : x + y – 1 = 0.
3) (C) :
2 2
2 4 3 0x y x y+ − − + =
và D : x – 2 = 0.
Bài 9. Cho tam giác ABC có B(0 ; 1), C(1 ; 0) và trực tâm H(2 ; 1). Lập phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 10. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2 ;
3
2
)
1) Viết phương trình đường tròn (
1
C
) có đường kính là OM.
2) Viết phương trình đường thẳng D qua M và cắt hai nửa trục dương Ox, Oy lần lượt tại A, B
sao cho
6
OAB
S
∆
=
.
3) Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp (
2
C
) của
OAB
∆
. Viết phương trình đường tròn đó.

Bài 11. Cho A(4 ; 0) và B(0 ; 3). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp
tam giác OAB.
II.Viết Phương Trình Tiếp Tuyến :
Bài 12. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm
( )M C∈
1)
2 2
( ) : 25, (3 ; 4)C x y M+ =
2)
2 2
( ) : 50, (5 ; 5)C x y M+ = −
3)
2 2
( ) : ( 3) ( 4) 169, (8 ; 16)C x y M− + + = −
4)
2 2
( ) : 4 9 0, (1 ; 2)C x y x M+ + − =
5)
2 2
( ) : 4 4 3 0, ( 3 ; 0)C x y x y M+ + + + = −
6)
2 2
( ) : 2 8 8 0, (4 ; 0)C x y x y M+ − − − =
Bài 13. Cho đường tròn (C) :
2 2
4 2 0x y x y+ − − =
.
1) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại A có hoành độ là 0
2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Oy
3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng

∆
: x + y = 0
Bài 14. Cho đường tròn (C) :
2 2
8 6 17 0x y x y+ − + + =
1) Chứng tỏ M(6 ; 5) nằm trên đường tròn (C). Viết phương tiếp tuyến D của (C) qua M
2) Chứng tỏ N(0 ; -1) nằm ngoài đường tròn (C). Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) qua N
Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ một điểm cho trước :
1)
2 2
( ) : 4 2 2 0, (3 ; 1)C x y x y A+ − + + =
2)
2 2
( ) : 4 4 1 0, (0 ; 1)C x y x y A+ + − − = −
3)
2 2
( ) : 2 4 4 0, (3 ; 5)C x y x y A+ + − + =
4)
2 2
( ) : 2 8 8 0, ( 4 ; 6)C x y x y A+ − − − = − −
5)
2 2
( ) : 2 8 13 0, (1 ; 1)C x y x y A+ + − + =
6)
2 2
( ) : 6 4 8 0, (8 ; 7)C x y x y A+ − − + =
ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 3
Bài 16. Cho đường tròn (C) :
2 2
2x y+ =

. Chứng minh các tiếp tuyến tại điểm thuộc đường tròn
có hoành độ bằng 1 vuông gốc với nhau.
Bài 17. Cho đường tròn (C) :
2 2
( 2) ( 1) 25x y− + − =
1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(5 ; -3)
3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
∆
: 5x – 12y + 2 = 0
4) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
∆
’ : 3x + 4y – 7 = 0
5) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A(3 ; 6)
Bài 18. Cho đường tròn (C) :
2 2
4 8 5 0x y x y+ − + − =
1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1 ; 0)
3) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) qua điểm A(3 ; -11)
4) Lập phương trình đường tròn vuông góc với đường thẳng
∆
: x + 2y = 0
Bài 19. Cho đường tròn (C) :
2 2
6 2 5 0x y x y+ − + + =
1) Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C)
2) Lập phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng
∆
: 4x + 2y – 1 = 0

Bài 20. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng
∆
’ : 2x – y + 7 = 0
Bài 21. Cho đường tròn (C) :
2 2
4 8 5 0x y x y+ − + − =
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng D : x + 2y = 0
2) Đònh m để đường thẳng
∆
: x + (m – 1)y + m = 0 tiếp xúc với (C)
Bài 22. Trong đường tròn (C) :
2 2
6 4 4 0x y x y+ − − + =
và A(8 ; -1)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
2) Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm EF.
3) Tính độ dài đường thẳng EF.
Bài 23. Trong đường tròn (C) :
2 2
2 4 4 0x y x y+ + − + =
và A(3 ; 5)
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ A.
2) Gọi E, F là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ A của (C). Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm EF.
3) Tính độ dài đường thẳng EF.
Bài 24. Cho đường tròn (C) :
2 2
( 1) ( 2) 4x y− + − =
. Lập phương trình tiếp tuyến (D) biết:

1) D tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân
2) D tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
Bài 25. Cho đường tròn (C) :
2 2
2 4 0x y x y+ + − =
và đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Tìm tọa độ
điểm M trên đường thẳng d mà từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C)
tại A, B sao cho
·
0
60AMB =
.
Bài 26. Cho hai đường tròn
2 2
1
( ) : 9C x y+ =
và
2 2
2
( ) : 2 3 0C x y x+ − − =
1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (
1
C
) và (
2
C
)
2) Xét vò trí tương đối của (
1
C

) và (
2
C
)
3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (
1
C
) và (
2
C
)
Bài 27. Cho hai đường tròn
2 2
1
( ) : 2 2 2 0C x y x y+ − − − =
và
2 2
2
( ) : 8 4 16 0C x y x y+ − − + =
4 ĐƯỜNG TRÒN
1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (
1
C
) và (
2
C
)
2) Xét vò trí tương đối của (
1
C

) và (
2
C
)
3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (
1
C
) và (
2
C
)
Bài 28. Cho hai đường tròn
2 2
1
( ) : 10 0C x y x+ − =
và
2 2
2
( ) : 4 2 20 0C x y x y+ + − − =
1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (
1
C
) và (
2
C
)
2) Xét vò trí tương đối của (
1
C
) và (

2
C
)
3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (
1
C
) và (
2
C
)
Bài 29. Cho hai đường tròn
2 2
1
( ) : 4 5 0C x y x+ − − =
và
2 2
2
( ) : 6 8 16 0C x y x y+ − + + =
1) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (
1
C
) và (
2
C
)
2) Xét vò trí tương đối của (
1
C
) và (
2

C
)
3) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (
1
C
) và (
2
C
)
Bài 30. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau :
1)
2 2
1
( ) : 1C x y+ =
và
2
( )C
:
2 2
( 8) ( 6) 16x y− + − =
2)
2 2
1
( ) : ( 1) ( 3) 25C x y− + + =
và
2
( )C
:
2 2
( 1) ( 3) 9x y+ + + =

3)
2 2
1
( ) : 2 4 4 0C x y x y+ − + − =
và
2
( )C
:
2 2
4 4 56 0x y x y+ + − − =
4)
2 2
1
( ) : 10 0C x y x+ − =
và
2
( )C
:
2 2
4 2 2 0x y x y+ + − − =
5)
2 2
1
( ) : 10 24 56 0C x y x y+ − + − =
và
2
( )C
:
2 2
2 4 20 0x y x y+ − − − =

6)
2 2
1
( ) : 2 6 6 0C x y x y+ + − + =
và
2
( )C
:
2 2
4 2 4 0x y x y+ − + − =
7)
2 2
1
( ) : 8 4 29 0C x y x y+ − − − =
và
2 2
2
( ) : 2 12 33 0C x y x y+ − − + =
8)
2 2
1
( ) : 2 3 0C x y x+ − − =
và
2 2
2
( ) : 8 8 28 0C x y x y+ − − + =
9)
2 2
1
( ) : 2 2 2 0C x y x y+ − − − =

và
2 2
2
( ) : 6 4 19 0C x y x y+ − − + =
10)
2 2
1
( ) : 6 5 0C x y x+ − + =
và
2 2
2
( ) : 12 6 44 0C x y x y+ − − + =
III.Họ Đường Tròn Và Quỹ Tích :
Bài 31. Cho (
m
C
) :
2 2 2
6 2 0x y mx my m+ − + + =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn có bán kính
3R =
Bài 32. Cho (
m

C
) :
2 2 2
4 2 4 3 0x y mx my m m+ − + + − =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Tìm điều kiện của m để đường tròn (
m
C
) có bán kính bằng 1
3) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn đi qua gốc tọa độ O
Bài 33. Cho (
m
C
) :
2 2
2 4( 2) 6 0x y mx m y m+ − − − + − =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn (
m
C
) khi m thay đổi

Bài 34. Cho
2 2
( ) : ( 2) ( 4) 1 0
m
C x y m x m y+ + + − + + =
1) Chứng minh (
m
C
) là họ đường tròn
ÛTrường Ngoại Ngữ Và Bồi Dưỡng Văn Hóa Thăng Tiến – Thăng Long 5
2) Chứng minh rằng : trong các đường tròn của (
m
C
) có một đường tròn qua gốc tọa độ. Tìm
phương trình đường tròn đó.
Bài 35. Cho (
m
C
) :
2 2
2( 1) 4 17 0x y m x my+ − + + + =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Với giá trò nào của m thì đường tròn (
m
C
) tiếp xúc với đường thẳng
: 1 0x y∆ + − =

3) Tìm tập hợp tâm của họ (
m
C
) khi m thay đổi
Bài 36. Cho
2 2
( ) : 4 2( 1) 1 0
m
C x y mx m y+ − − + − =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Tìm các điểm cố đònh của họ (
m
C
) khi m thay đổi
3) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn (
m
C
) khi m thay đổi
Bài 37. Cho (
m
C
) :
2 2
( 3) ( 2) 13 0x y m x m y m+ + + − + + − =
1) Chứng minh (
m
C

) là họ đường tròn
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (
m
C
) luôn đi qua hai điểm cố đònh.
Bài 38. Cho (
m
C
) :
2 2
2 2( 1) 2 1 0x y mx m y m+ − − + + − =
1) Chứng minh rằng khi m thay đổi, (
m
C
) luôn đi qua hai điểm cố đònh.
2) Chứng minh rằng (
m
C
) luôn cắt trục tung tại hai điểm phân biệt
m∀
.
Bài 39. Cho (
m
C
) :
2 2
( 2) ( 4) 1 0x y m x m y m+ + + − + + + =
1) Đònh m để (
m
C

) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất
2) Tìm tập hợp tâm của họ đường tròn (
m
C
)
3) Chứng minh rằng (
m
C
) luôn đi qua hai điểm cố đònh
Bài 40. Cho (
m
C
) :
2 2
2 4(2 1) 5 0x y mx m y+ − − − + =
1) Tìm điều kiện của m để (
m
C
) là đường tròn
2) Tìm m để đường tròn (
m
C
) cắt trục hoành tai hai điểm A, B sao cho AB = 4
Bài 41. Cho (
m
C
) :
2 2 2
2 2 2 3 0x y mx my m m+ − + + − + =
1) Đònh m để (

m
C
) là một đường tròn. Khi đó tìm tọa độ tâm và bán kính
2) Đònh m để (
m
C
) tiếp xúc với hai trục tọa độ
3) Đònh m để (
m
C
) cắt trục Ox tại hai điểm A, B sao cho AB = 2.
Bài 42. Lập phương trình đường tròn đi qua A(0 ; 1) và tiếp xúc với Ox. Tìm tập hợp tâm của
đường tròn đó.
Bài 43. Tìm tập hợp các điểm :
1)
( 1 2 cos ; 2 2sin )M t t− + −
2)
(2 4 sin ; 3 4 cos )M t t+ − +