ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ ÁNH XẠ CÔ ĐẶC

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________

Phan Văn Thanh Cảnh

ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ
ÁNH XẠ CÔ ĐẶC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi1 of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
___________________

Phan Văn Thanh Cảnh

ĐỘ ĐO PHI COMPACT VÀ
ÁNH XẠ CÔ ĐẶC
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi2 of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 of 138.

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng
dẫn, giúp đỡ quý báu của rất nhiều quý thầy cô. Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi
xin được bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới:
Phó giáo sư –Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy kính mến đã tận tình hướng dẫn, dạy
bảo tôi phương pháp nghiên cứu khoa học và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập và hoàn thành luận văn thạc sĩ của mình.
Ban Giám Hiệu, phòng Sau đại học, Khoa Toán Tin trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc,
chỉnh sửa và cho tôi những nhận xét quý báu để hoàn chỉnh luận văn này.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời chúc sức khỏe, hạnh phúc, thành công đến tất cả quý thầy cô.
Xin chân thánh cảm ơn!
Phan Văn Thanh Cảnh

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi3 1of 138.

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 of 138.

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỤC LỤC .................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 5
1.1. Ánh xạ compact ............................................................................................................5
1.2. Bậc Brouwer .................................................................................................................5
1.2.1. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C 1 ( Ω ) ................................................................... 7

( )

1.2.2. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C Ω .................................................................. 10
1.3. Bậc Leray-Schauder ..................................................................................................13

CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT .................................................................. 17
2.1. Định nghĩa, các tính chất...........................................................................................17
2.2. Một số độ đo phi compact .........................................................................................23
2.2.1. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian l p và c0 .................................... 23
2.2.2. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian C [ a, b] ..................................... 24
2.2.3. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian Lp [ a, b] .................................... 26

CHƯƠNG 3: ÁNH XẠ CÔ ĐẶC ............................................................................. 27
3.1. Định nghĩa, tính chất .................................................................................................27
3.2. Bậc tôpô của ánh xạ cô đặc .......................................................................................34
3.3. Ứng dụng cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach ..............38

CHƯƠNG 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CÔ ĐẶC................................................... 43
4.1. Tính chất phổ .............................................................................................................43
4.2. Biểu diễn ánh xạ tuyến tính cô đặc...........................................................................46

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 49

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi4 2of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 of 138.

MỞ ĐẦU
Phương pháp điểm bất động là một trong số các phương pháp quan trọng và hữu hiệu
nhất để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng nghiệm xấp xỉ cho
nhiều lớp phương trình vi phân và tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên cũng như cho
nhiều mô hình trong kinh tế, xã hội. Lí thuyết điểm bất động hình thành từ đầu thế kỉ 20,
phát triển mạnh trong thế kỉ này và tiếp tục được hoàn thiện cho đến ngày nay.
Định lí Banach về điểm bất động của ánh xạ co và định lí Schauder về điểm bất động
của ánh xạ hoàn toàn liên tục là hai kết quả được tìm ra khá sớm và là các định lí quan trọng
nhất của Lí thuyết điểm bất động. Năm 1955, Krasnoselskii đã kết hợp hai định lí này trong
định lí nổi tiếng về điểm bất động của tổng ánh xạ co và ánh xạ hoàn toàn liên tục. Cũng
thời gian này, Darbo chứng minh sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ cô đặc theo một độ đo
phi compact. Các ánh xạ co, hoàn toàn liên tục và tổng của chúng là các trường hợp riêng
của ánh xạ cô đặc, do đó định lí Darbo đã hợp nhất ba hướng nghiên cứu về điểm bất động
của các lớp ánh xạ tuy khác nhau về hình thức nhưng có cùng bản chất theo quan điểm độ
đo phi compact.
Độ đo phi compact được đưa ra từ những năm 1930 nhằm nghiên cứu các bài toán của
Tô pô đại cương. Chỉ sau khi định lí Darbo được tìm ra thì các độ đo phi compact mới được
các nhà toán học quan tâm nghiên cứu một cách hệ thống. Đến nay Lí thuyết về các ánh xạ

cô đặc theo một độ đo phi compact được xây dựng khá hoàn chỉnh và tìm được các ứng
dụng sâu sắc trong nghiên cứu phương trình vi phân, tích phân trong Giải tích hàm,…
Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách hệ thống và tương đối đầy đủ Lí thuyết về
các ánh xạ cô đặc, xây dựng bậc tôpô của chúng và một số ứng dụng ban đầu.
Nội dung của luận văn gồm bốn chương.
Chương một nhắc lại khá đầy đủ một số kiến thức về ánh xạ compact, định lí bậc
Brouwer và định lí bậc Leray Schauder làm nền tảng trong việc xây dựng định lí bậc cho
các ánh xạ k-co theo tập hợp và các ánh xạ cô đặc.
Ở chương hai, chúng ta định nghĩa độ đo phi compact và một số tính chất của chúng.
Cũng trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu một số công thức để tính độ đo phi compact
trong các không gian đặc biệt.
Trong chương ba, chúng ta sẽ khảo sát ánh xạ cô đặc, cũng như ánh xạ cô đặc đếm được.
Khái quát một cách đầy đủ định nghĩa cũng như các tính chất của chúng. Đặc biệt, định lí về

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi5 3of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 of 138.

điểm bất động của ánh xạ cô đặc đếm được và định lí bậc cho ánh xạ cô đặc đếm được được
trình bày với nhiều ứng dụng cho phương trình vi phân thường trong không gian Banach.
Cuối cùng, chương bốn giới thiệu ánh xạ tuyến tính cô đặc theo độ đo phi compact và
phổ của chúng. Đặc biệt, chương này sẽ giúp chúng ta biểu diễn một ánh xạ tuyến tính cô
đặc.

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi6 4of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 of 138.

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày một số kết quả được sử dụng làm nền tảng cho việc xây dựng các
kết luận chính của luận văn như ánh xạ compact, bậc Brouwer, bậc Leray Schauder. Các kết
quả của chương chủ yếu được tham khảo trong [1] và [5, chương 1, 2].

1.1. Ánh xạ compact
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach, tập M ⊂ E là tập compact nếu với

{ }

mọi dãy {xn }n trong M đều chứa một dãy con xni

i

x, x ∈ M .
hội tụ và lim x=
ni
i →∞

Tập M ⊂ E là tập hoàn toàn bị chặn nếu với mọi ε > 0, tồn tại một số hữu hạn quả cầu
n

mở B1 , B2 , ⋅ ⋅ ⋅, Bn có bán kính ε sao cho M ⊂  Bi .
i =1

Tập M là tập compact tương đối nếu bao đóng M là tập compact.
Định lý 1.1.2. Cho E là không gian Banach và M ⊂ E . Khi đó, M là tập compact nếu
và chỉ nếu M là đóng và hoàn toàn bị chặn.
Định nghĩa 1.1.3. Cho E , F là không gian Banach, D là tập mở trong E . Ánh xạ
f : D → F là ánh xạ compact nếu f liên tục và ảnh f ( A) là tập compact tương đối trong

F nếu A là tập con bị chặn trong D.
Định lý 1.1.4. (Định lý Ascoli-Azela) Cho E là không gian Banach. M ⊂ C ([ 0, T ] , E )
là tập compact tương đối nếu và chỉ nếu
1. M là đẳng liên tục và
2. Với mỗi t ∈ [ 0, T ]=
, M (t )

{x {t} : x (⋅) ∈ M } là tập compact tương đối trong E.

1.2. Bậc Brouwer
Định lý 1.2.1. (Định lý Stokes) Cho C là xích các hình hộp kì dị p − chiều chứa trong
tập mở V của R n và ω là dạng vi phân bậc p − 1 trên V thì ∫ d ω =
C

∫ d ω.

∂C

Bổ đề 1.2.2. (Bổ đề Sard) Cho Ω là tập mở trong  n có đạo hàm liên tục. Đặt

K=

{x ∈ Ω,det f ' ( x =) 0}. Khi đó f ( K ) là tập độ đo không trong  .
n

Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n và ϕ : Ω → =
 n ,ϕ

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi7 5of 138.

(ϕ1 ,ϕ 2 , ⋅ ⋅ ⋅,ϕ n ) .


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 of 138.

Giả sử ϕ ∈ C 1 ( Ω ) . Với x ∈ Ω, đạo hàm ϕ ' ( x ) là ánh xạ tuyến tính từ  n vào  n có
ma trận biểu diễn là:

∂ϕ1
 ∂ϕ1
 ∂x ( x ) ∂x ( x )
2
 1
∂ϕ 2
 ∂ϕ 2
x
( x)
(
)
 ∂x
∂
x
2
 1
⋅⋅⋅
 ⋅⋅⋅
 ∂ϕ
 n ( x ) ∂ϕ n ( x )
 ∂x

∂x2
 1

∂ϕ1
( x ) 
∂xn

∂ϕ 2
⋅⋅⋅
( x ) 
∂xn

⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ 

∂ϕ n
⋅⋅⋅
( x ) 
∂xn

⋅⋅⋅

Đặt J ϕ ( x ) = det ϕ ' ( x ) gọi là Jacobien của ϕ tại x.
Điểm x0 ∈ Ω là điểm đều của ϕ nếu J ϕ ( x0 ) ≠ 0, là điểm tới hạn của ϕ nếu

J ϕ ( x0 ) = 0.
Đặt Zϕ=

{x ∈ Ω, J ( x =) 0} là tập hợp tất cả các điểm tới hạn của ϕ
ϕ

thì theo bổ đề

Sard, ϕ ( Zϕ ) là tập độ đo không trong  n . Đặc biệt, với r > 0, y ∈  n và B ( y , r ) là quả cầu
mở trong  n thì B ( y , r ) \ ϕ ( Zϕ ) ≠ ∅.
Điểm y0 ∈  n là giá trị đều của ϕ nếu ảnh ngược ϕ −1 ( y0 ) chứa các điểm đều của ϕ , là
giá trị tới hạn của ϕ nếu ϕ −1 ( y0 ) chứa các điểm tới hạn của ϕ .
Giá của f kí hiệu là sup pf=

{x ∈ Ω, f ( x ) ≠ 0} trong đó

f : Ω → .

Một dạng vi phân ω (hay đơn giản là dạng) được gọi là có giá compact nếu các hàm hệ
số của dạng ω có giá compact.
Ta kí hiệu một n − dạng trên  n là: µ f ( y ) dy1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn = f ( y ) dy và nếu sup pf
compact
thì ∫ µ
=

∫ f ( y ) dy

1



∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn .

n

Nếu µ là n − dạng trên  n thì ánh xạ ϕ cảm ứng một n − dạng trên Ω, kí hiệu

µ  ϕ = f (ϕ ( x ) ) J ϕ ( x ) dx.

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi8 6of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 of 138.

Nếu ω là ( n − 1) − dạng thuộc lớp C −1 có giá compact trong  n thì do định lí Stokes

ω
∫ d ω = 0 trong đó nếu =

n

∑ ( −1) g ( y ) dy
i −1

i

i =1

1

n

∧d
yi ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ dyn (dấu ∧ trên dyi để chỉ phải

bỏ số hạng trên dyi ) thì vi phân ngoài d ω = ∑
i =1

∂gi
dy.
∂yi

Nếu µ = f ( y ) dy là n − dạng trên  n và ϕ là phép biến đổi với J ϕ ( x0 ) ≠ 0 với mọi

x ∈ Ω, từ công thức đổi biến trong tích phân, ta có:
=
∫µ

f ( y ) dy ∫ f (ϕ ( x ) ) =
J ϕ ( x ) dx
∫=





n

n

sgn J ϕ ∫ µ  ϕ .

1.2.1. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C 1 ( Ω )
Cho Ω là tập mở bị chặn trong  n , Ω = Ω ∪ ∂Ω và ϕ : Ω →  n ,ϕ ∈ C 1 ( Ω ) và liên tục
trên Ω.

Với

ϕ −1 ( y0 =
)

y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) là giá trị đều của ϕ , do định lí ánh xạ ngược, tập

{x ∈ Ω,ϕ ( x =)

}

y0 gồm các điểm cô lập trong Ω nên ϕ −1 ( y0 ) chứa hữu hạn các

phần tử.
Đặt dy0 =

∑

xi ∈ϕ −1 ( y0 )

sgn J ϕ ( xi ).

Nếu ϕ −1 ( y0 ) = ∅ thì dy0 = 0.
Vậy dy0 là số nguyên.
Định nghĩa 1.2.3. Một dạng µ = f ( y ) dy là n − dạng thuộc lớp C ∞ có giá chứa trong
một lân cận tốt D của=
y0, D  n \ ϕ ( ∂Ω ) (nghĩa là tồn tại g : D →  n thuộc lớp C 1 sao
cho g ( D ) là khối lập phương trong  n . Một lân cận D tốt của y0 luôn luôn tồn tại) và

∫ µ = 1 được gọi là thừa nhận được đối với

y0 và ϕ . Với µ là dạng thừa nhận được, ta định

nghĩa bậc tôpô của ϕ trên tập Ω tại điểm y0 bởi

deg (ϕ , Ω, y0 ) =
∫ µ  ϕ.
Tính hợp lí của định nghĩa bậc suy ra từ bổ đề sau :

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi9 7of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi10 of 138.

Bổ đề 1.2.4. Giả sử µ = f ( y ) dy là n − dạng thuộc lớp C ∞ trên  n có giá chứa trong
một lân cận tốt D và

∫ µ = 0. Khi

đó tồn tại ( n − 1) − dạng ω sao cho suppω ⊂ D và

d ω = µ.
Dưới đây là một vài tính chất của bậc.
Mệnh đề 1.2.5. Với y1 đủ gần y0 , y1 ∉ ϕ ( ∂Ω ) thì deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y1 ) .
Chứng minh. Gọi D là lân cận tốt của y0 . Với y1 ∈ D và µ là dạng thừa nhận được
đối với y0 thì µ cũng là dạng thừa nhận được đối với y1 . Áp dụng định nghĩa của bậc, ta
có deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y1 ) .
Mệnh đề 1.2.6. Nếu y0 là giá trị đều của ϕ thì

=
dy0 deg (ϕ , Ω, y0 ) .
Chứng minh. Giả sử ϕ −1=
( y0 )

{x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xk }. Tồn tại các

lân cận của N i của xi cách

k

biệt nhau sao cho ϕ là 1 − 1 trên mỗi lân cận. Đặt N = ϕ ( N i ) thì N là lân cận của y0 .
i =1

Giả sử µ là dạng thừa nhận được có giá chứa trong N , ta có:

deg (ϕ , Ω, y0 =
)

k

k

k

∫ µ  ϕ= ∑ ∫ µ  ϕ= ∑ sgn J ϕ ( x ) ∫ µ= ∑ sgn J ϕ ( x =) d ( y ).

i 1
=i 1 =
Ni

i
=i 1

i

0

Chú ý 1.2.7. Do dy0 là số nguyên và do mệnh đề 1.2.5 và mệnh đề 1.2.6 suy ra

deg (ϕ , Ω, y0 ) là số nguyên. Cũng do mệnh đề 1.2.5, deg (ϕ , Ω, y0 ) liên tục theo y0 , có giá
trị là số nguyên nên deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y ) với y nằm trong thành phần liên thông
của  n \ ϕ ( ∂Ω ) chứa y0 .
Mệnh đề 1.2.8. (Bất biến đồng luân) Xét họ tham biến các ánh xạ

ϕ t ( x ) : Ω × [0,1] →  n liên tục trên Ω × [0,1] và ϕ t ∈ C 1 ( Ω ) với mọi t ∈ [0,1]. Giả sử
y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) với mọi t ∈ [ 0,1] thì deg (ϕ t , Ω, y0 ) không phụ thuộc t.

tập A
Chứng minh. Do ∂Ω × [ 0,1] là tập compact nên
=

{ϕ ( x ) | x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1]} là tập
t

compact không chứa y0 . Vậy tồn tại một lân cận tốt D của y0 , A ∩ D =
∅. Khi đó,

deg (ϕ t , Ω, y0 ) =

∫ µ  ϕt . Đây là hàm liên tục theo t. Do bậc có giá trị trong  nên
deg (ϕ t , Ω, y0 ) là hằng số.

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi108 of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi11 of 138.

( Ωi )i∈

Mệnh đề 1.2.9. Cho
∞


y0 ∉ ϕ  Ω \  Ω i 
i =1



y0 )
deg (ϕ , Ω,=

thì

là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và

deg (ϕ , Ωi , y0 )

bậc

trừ

một

số

hữu

hạn

i

và

∞

∑ deg (ϕ , Ω , y ) .
i

i =1

0

∞


Chứng minh. Do ϕ  Ω \  Ωi  là tập compact không chứa y0 nên tồn tại lân cận tốt D
i =1



∞


của y0 , D ∩ ϕ  Ω \  Ωi  =
∅.
i =1



Trường hợp y0 là điểm đều của ϕ , khi đó ϕ −1 ( y0 ) chứa một số hữu hạn điểm, vậy

ϕ −1 ( y0 ) chứa trong một số hữu hạn các Ωi . Áp dụng mệnh đề 1.2.6 ta có kết quả.
Trường hợp y0 là điểm tới hạn của ϕ , do định lí Sard và mệnh đề 1.2.5, với y1 đủ
gần y0 , y1 là điểm đều của ϕ thì deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y1 ) .
Mệnh đề 1.2.10. Cho Ω1 , Ω 2 là tập mở, bị chặn trong  n ,  p theo thứ tự và

ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ 2 : Ω 2 →  p

liên

ϕ1 ∈ C 1 ( Ω1 ) ,ϕ 2 ∈ C 2 ( Ω 2 )

tục,

và

y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ 2 ( ∂Ω 2 ) .

Đặt ϕ1 × ϕ 2 : Ω1 × Ω 2 →  n ×  p định bởi:

=
ϕ1 × ϕ 2 ( x1 , x2 )

(ϕ ( x ) ,ϕ ( x ) ) , x
1

1

2

2

1

∈ Ω1 , x2 ∈ Ω 2 .

Khi đó, deg (ϕ1 ,ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y=
deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) × deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2 ) .
1 , y2 ) )
Chứng minh. Giả sử µ1 , µ2 là những dạng thừa nhận được đối với y1 , y2 và ϕ1 ,ϕ 2 theo
thứ tự. Khi đó µ1 × µ2 (tích ngoài) là ( n + p ) − dạng thừa nhận được đối với ϕ1 × ϕ 2 tại
điểm ( y1 , y2 ) và

∫ ( µ , µ )  (ϕ
1

 ×
n

2

1

× ϕ 2 )=

( )
∉ ϕ ( Ω ) nên y

∫µ

1



p

n

× ϕ1 ⋅

∫µ



2

× ϕ2 .

p

Mệnh đề 1.2.11. Nếu y0 ∉ ϕ Ω thì deg (ϕ , Ω, y0 ) =
0.
Chứng minh. Do y0

0

là giá trị đều của ϕ và ϕ −1 ( y0 ) = ∅ nên dy0 = 0.

Áp dụng mệnh đề 1.2.6, ta có deg (ϕ , Ω, y0 )= d ( y0 )= 0.

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi119 of 138.


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi12 of 138.

( )

1.2.2. Bậc tôpô trong trường hợp ϕ ∈ C Ω

Mệnh đề 1.2.12. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và
y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) . Khi đó tồn tại r > 0 sao cho với mọi ϕ1 ,ϕ 2 : Ω →  n liên tục, ϕ1 ,ϕ 2 ∈ C 1 ( Ω )

và ϕ − ϕ i < r, i =
1,2 thì deg (ϕ1 , Ω, y0=
) deg (ϕ 2 , Ω, y0 ) .
Ánh xạ ϕ1 ,ϕ 2 được gọi là C 1 − xấp xỉ của ϕ .

{

}

Chứng minh. =
Đặt d min y0 − ϕ ( x ) x ∈ ∂Ω và r =

d
thì r > 0. Với x ∈ ∂Ω, i = 1,2
2

ta có:

d
y0 − ϕ i ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ i ( x ) ≥ d − r => 0.
2
Xem đồng luân tϕ1 + (1 − t )ϕ 2 , t ∈ [ 0,1]. Với x ∈ ∂Ω, t ∈ [ 0,1] ta có:

y0 − tϕ1 ( x ) − (1 − t )ϕ 2 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − t ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) − (1 − t ) ϕ ( x ) − ϕ 2 ( x )
d
≥d −r =.
2
Do tính bất biến đồng luân, ta được

deg (ϕ1 , Ω, y0=
) deg (ϕ 2 , Ω, y0 ) .
Định nghĩa 1.2.13. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và
y0 ∉ ϕ ( ∂Ω ) . Ta định nghĩa bậc của ϕ tại y0 bởi deg (ϕ1 , Ω, y0 ) trong đó ϕ1 là C 1 − xấp xỉ

của ϕ .
Định lý 1.2.14. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong  n ,ϕ : Ω →  n liên tục và y0 ∉ ϕ ( ∂Ω )
thì bậc deg (ϕ , Ω, y0 ) có giá trị nguyên và thỏa mãn các tính chất sau:
1. Nếu deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ 0 thì tồn tại x0 ∈ Ω sao cho ϕ ( x0 ) = y0 .

2. Nếu y0 , y1 thuộc cùng thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) thì

deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y1 ) .
∞


3. Cho ( Ωi )i∈ là dãy các tập mở cách biệt chứa trong D và y0 ∉ ϕ  Ω \  Ωi 
i =1



thì deg (ϕ , Ωi , y0 ) =
0 trừ một số hữu hạn i và deg (ϕ , Ω,=
y0 )

∞

∑ deg (ϕ , Ω , y ) .
i =1

4. Cho Ω1 , Ω 2 là tập mở, bị chặn trong  n ,  p tương ứng,

ϕ1 : Ω1 →  n ,ϕ 2 : Ω 2 →  p và y1 ∉ ϕ1 ( ∂Ω1 ) , y2 ∉ ϕ 2 ( ∂Ω 2 ) thì
10of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi12

i

0

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi13 of 138.

deg (ϕ1 × ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y=
deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2 ) .
1 , y2 ) )

( )

{

}

đặt d min y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω thì d > 0 với ϕ1 là
Chứng minh. 1. Giả sử y0 ∉ ϕ Ω ,=
xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 <

d
và x ∈ Ω, ta có:
2

y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥ d −

d d
=
.
2 2

( )

Vậy y0 ∉ ϕ1 Ω . Khi đó, từ định nghĩa của bậc và mệnh đề 1.2.11 ta có

deg (ϕ , Ω, y0=
) deg (ϕ1 , Ω, y0=) 0 mâu thuẫn với deg (ϕ , Ω, y0 ) ≠ 0. Vậy tồn tại x0 ∈ Ω sao
cho ϕ ( x0 ) = y0 .
2. Gọi D là thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) , y0 ∈ D. Với y1 ∈ D, đặt

{

}

=
d min y0 − ϕ ( x ) , y1 − ϕ ( x ) , x ∈ ∂Ω thì d > 0 với ϕ1 là C 1 − xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 <

d
2

và x ∈ ∂Ω, ta có:

d
2
d
y1 − ϕ1 ( x ) ≥ y1 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥
2
y0 − ϕ1 ( x ) ≥ y0 − ϕ ( x ) − ϕ ( x ) − ϕ1 ( x ) ≥

Vậy y1 , y0 thuộc cùng thành phần liên thông của  n \ ϕ ( ∂Ω ) . Theo mệnh đề 1.2.5 và
theo định nghĩa của bậc, ta có:

deg (ϕ , Ω, y0 =
) deg (ϕ , Ω, y1 ) .

=
3. Xét ϕ : Ω × [ 0,1] →  n định bởi ϕ
( x, t ) ϕt ( x ) , x ∈ Ω, t ∈ [0,1] thì ϕ liên tục trên
Ω × [ 0,1].

{

}

đặt d min y0 − ϕ t ( x ) , x ∈ ∂Ω, t ∈ [0,1] thì d > 0.
Do y0 ∉ ϕ t ( ∂Ω ) , t ∈ [ 0,1] ,=

(

)

Với ψ ∈ C 1 Ω × [ 0,1] sao cho ϕ − ψ <

d
và x ∈ ∂Ω, ta có:
2

y0 − ψ t ( x ) ≥ y0 − ϕ t ( x ) − ϕ t ( x ) − ψ t ( x ) ≥

d
.
2

Vậy y0 ∉ψ t ( ∂Ω ) với mọi t ∈ [ 0,1] và ψ t là C 1 − xấp xỉ của ϕ t .

∞

4. Do y0 ∉ ϕ   Ωi  , đặt:
 i =1 
11of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi13


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi14 of 138.
∞


=
d min  y0 − ϕ ( x ) , x ∈ Ω \  Ωi  thì d > 0.


i =1

Với ϕ1 là xấp xỉ của ϕ , ϕ − ϕ1 <

∞
d


thì y0 ∉ ϕ1  Ω \  Ωi  .
2
i =1




Áp dụng mệnh đề 1.2.9, deg (ϕ , Ωi , y0 =
) deg (ϕ1 , Ωi , y0 ) trừ một số hữu hạn i và

deg (ϕ , Ω, y0=
) deg (ϕ1 , Ω, y0=)

∞

∑ deg (ϕ1 , Ωi , y0=)

∞

∑ deg (ϕ , Ω , y ).
i

=i 1 =i 1

{

0

}

5.=
Đặt d min y1 − ϕ1 ( x ) , y2 − ϕ 2 ( x ) , x ∈ ∂Ω1 , x ∈ ∂Ω 2 thì d > 0. Với ψ 1 ,ψ 2 là C 1 −
xấp xỉ của ϕ1 ,ϕ 2 theo thứ tự, ψ iϕ i <

d
,i =
1,2 thì ψ 1 ×ψ 2 là C 1 − xấp xỉ của ϕ1 × ϕ 2 và
2

yi ∉ψ i ( ∂Ωi ) , i = 1,2.
Áp dụng mệnh đề 1.2.10, ta có:
deg (ψ 1 ×ψ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y1=
, y2 ) ) deg (ϕ1 × ϕ 2 , Ω1 × Ω 2 , ( y1 , y2 ) )
= deg (ϕ1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ϕ 2 , Ω 2 , y2=
) deg (ψ 1 , Ω1 , y1 ) ⋅ deg (ψ 2 , Ω2 , y2 ) .

Định lý 1.2.5. Giả sử Ω ⊂  n là tập mở, bị chặn và đối xứng, 0 ∈ Ω. Nếu Ai ∈ ∂Ω là
đóng, Ai ∩ ( − Ai ) =∅ với=
i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k và

k

A =
i

∂Ω thì k > n + 1.

i =1

Chứng minh. Giả sử ngược lại k ≤ n. Đặt f i ( x ) = 1 trên Ai , f i ( x ) = −1 trên − Ai với
và f
=
i 1,2, ⋅ ⋅ ⋅, k − 1, f i ( x=
) 1 trên Ω với i= k , ⋅⋅⋅, n =

( f1 , f 2 , ⋅ ⋅ ⋅, f n ) .

Mở rộng f liên tục

đến Ω. Khi đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) trên ∂Ω với mọi λ ≥ 0. Nói cách khác f ( − x0 ) =
λ f ( x0 )
với λ ≥ 0 nào đó và x0 ∈ ∂Ω. Ta có λ > 0 vì f ( x ) ≠ 0 trên ∂Ω. Vì vậy, x0 ∉ Ai ∪ ( − Ai )
với i ≤ k − 1 vì f i ( − x ) =
− f i ( x ) . Do đó x0 ∈ Ak và x0 ∉ − Ak , vì vậy ta có − x0 ∈ Ai với

i ≥ k − 1 nào đó và do đó x0 ∈ Ai , điều này mâu thuẫn. Do đó, f ( − x ) ≠ λ f ( x ) trên ∂Ω với
mọi λ ≥ 0. Do đó, ta có deg ( f , Ω,0 ) =
0, nghĩa là f ( x ) = 0 với x ∈ Ω nào đó, điều này
mâu thuẫn với f n ( x ) = 1 trên Ω.
Định lý 1.2.16. (Định lý Brouwer) Cho K là tập lồi đóng, bị chặn trong  n và
f : K → K liên tục. Khi đó f có điểm bất động trong K .
Chứng minh. Ta chứng minh tồn tại g :  n → K liên tục sao cho g ( x ) = x, với mọi
x ∈ K . Có thể giả sử 0 ∈ K . Gọi E là không gian con sinh bởi K . Khi đó, tồn tại ánh xạ
ρ : E → K liên tục sao cho ρ ( x ) = x, với mọi x ∈ K .

12of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi14


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi15 of 138.

Giả sử dim E= k ≤ n. Chọn b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bn là cơ sở của  n sao cho b1 , b2 , ⋅ ⋅ ⋅, bk là cơ sở của
n

k

E . Với x ∈  , x =
∑αi bi , xét phép chiếu p :  → E định bởi p ( x ) = ∑αi bi thì p liên
n

n

1

1

tục, p ( x ) = x, ∀x ∈ E .
Khi đó,
đặt g ρ  p :  n → K liên tục thỏa mãn g ( x ) = x, ∀x ∈ K .
=
Với R > 0 đủ lớn sao cho K ⊂ B ( 0, R ) . Ánh xạ f  g :  n → K liên tục thỏa mãn

f  g ( B ' ( 0, R ) ) ⊂ K ⊂ B ( 0, R ) .
Vậy tồn tại x ∈ B ( 0, R ) sao cho f  g ( x ) = x.
Do f  g ( x ) ∈ K nên x ∈ K và g ( x ) = x. Vậy f ( x ) = x.

1.3. Bậc Leray-Schauder
Bổ đề 1.3.1. Giả sử E là không gian Banach thực, Ω ⊂ E mở, bị chặn và T : Ω → E là
ánh xạ liên tục, compact. Khi đó, với bất kì ε > 0, tồn tại không gian hữu hạn chiều F và
ánh xạ liên tục Tε : Ω → F thỏa mãn
Tε x − Tx < ε với mọi x ∈ Ω.

Chứng minh. Bởi vì T Ω là compact tương đối trong E , với bất kì ε > 0 tồn tại tập con
hữu hạn {x1 , x2 , ⋅ ⋅ ⋅, xn } ⊂ Ω thỏa mãn

n

T Ω ⊂  B (Txi , ε ).
i =1

Tε : Ω → F span {Tx1 , Tx2 , ⋅ ⋅ ⋅, Txn } như sau
Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ=
n

Tε x = ∑
i =1

φi ( x )
Γ( x)

trong đó φi=
( x ) max {0, ε − Tx − Txi

T ( xi ) với mọi x ∈ Ω,
n

} và Γ ( x ) =
∑φ ( x ). Dễ dàng kiểm tra được Tε
i =1

i

thỏa mãn các điều kiện của bổ đề 1.3.1.
Bổ đề 1.3.2. Cho E là không gian Banach trên , B là tập đóng và bị chặn chứa trong
E và T : B → E là ánh xạ compact liên tục. Giả sử Tx ≠ x, ∀x ∈ B. Khi đó, tồn tại ε 0 > 0

thỏa mãn x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ B, trong đó ε i ∈ ( 0, ε 0 ) và Tε i : B → Fε i
với i = 1,2 như trong bổ đề 1.3.1.
13of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi15


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi16 of 138.

Chứng

minh.

Giả

sử

kết

không

luận

đúng.

Khi

đó,

tồn

tại

x j với =
j 1,2, ⋅ ⋅ ⋅
ε1j → 0, ε 2j → 0, t j → t0 , x j ∈ B sao cho t jTε x j + (1 − t j ) Tε x j =
j
1

Bởi vì T là ánh xạ compact, (Tx j )

∞
j =1

j
2

(

có dãy con, đặt là Tx jk

) hội tụ đến

y ∈ E . Bởi bổ

đề 1.3.1, Tε jk x jk → y với i = 1,2. Do đó, x jk → y ∈ B. Do T liên tục nên Tx jk → Ty. Do
1

giới hạn là duy nhất nên Ty = y mâu thuẫn với Tx ≠ x, ∀x ∈ B.
Định lý 1.3.3. (Định lý Leray) Cho K là tập compact trong không gian Banach E . Khi

đó, với ε > 0 tồn tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } trong K và một ánh xạ liên tục p : K → E
sao cho:

p ( x ) − x ≤ ε , ∀x ∈ K và p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an }.
Chứng minh. Họ quả cầu mở {B ( x, ε ) , x ∈ K } là phủ mở của tập compact K . Vậy tồn
n

tại số hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K sao cho K ⊂  B ( ai , ε ).
i =1

Với mỗi i ∈ 1, n, đặt ϕ i : E →  định bởi ϕ=
max {0, ε − x − ai } thì ϕ i liên tục và
i ( x)

ϕ
=
0 khi x ∉ B ( ai , ε )
i ( x)

ϕ i ( x ) > 0 khi x ∈ B ( ai , ε )
Suy ra

ϕ i ( x ) x − ai ≤ ϕ i ( x ) ε , ∀x ∈ E

n

ϕi ( x ) > 0, ∀x ∈ K
∑



i =1
−1

Đặt

p:K → E

định

 n
 n
bởi p ( x ) =  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x )ai
=
 i 1=
 i1

thì

p

liên

tục

và

p ( K ) ⊂ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an }.
−1

 n

 n
Hơn nữa, p ( x ) − x ≤  ∑ϕ i ( x )  ∑ϕ i ( x ) ai − x ≤ ε .
=
 i 1=
 i1

Định nghĩa 1.3.4. Cho E là không gian Banach trên ,Ω là tập mở, bị chặn chứa trong
E và T : Ω → E là ánh xạ compact liên tục. Giả sử 0 ∉ ( I − T ) ( ∂Ω ) . Khi đó, bởi bổ đề

1.3.2, tồn tại ε 0 > 0 thỏa mãn
x ≠ tT ε1 x + (1 − t ) T ε 2 x, ∀t ∈ [ 0,1] và x ∈ ∂Ω

14of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi16


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi17 of 138.

trong đó ε i ∈ ( 0, ε 0 ) và Tε i : Ω → Fε i với i = 1,2 như trong bổ đề 1.3.1. Do đó, bậc của
Brouwer deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) được định nghĩa tốt và vì vậy ta định nghĩa

=
deg ( I − T , Ω
,0 ) deg ( I − Tε , Ω ∩ Fε ,0 ) ,
trong đó ε ∈ ( 0, ε 0 ) .
Bởi tính bất biến đồng luân của bậc Brouwer, ta có

(

} )

{

(

} )

{

deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2=
,0 deg I − Tε 2 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2 ,0 .

}

{

Nhưng Tε i : Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2 → Fi với i = 1,2, vì vậy ta có

(

{

} )

(

)

(

{

} )

(

)

deg I − Tε1 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2=
,0 deg I − Tε1 , Ω ∩ Fε1 ,0

và
deg I − Tε 2 , Ω ∩ span Fε1 ∪ Fε 2=
,0 deg I − Tε 2 , Ω ∩ Fε 2 ,0 .

Do đó, ta có

(

)

(

)

deg I − Tε1 , Ω ∩ F=
deg I − Tε 2 , Ω ∩ Fε 2 ,0 .
ε1 ,0
và bậc được định nghĩa trong định nghĩa 1.3.4 là tốt. Trong trường hợp tổng quát, nếu
p ∉ ( I − T )( ∂Ω ) , ta định nghĩa deg ( I − T , Ω, =

p ) deg ( I − T − p, Ω,0 ) .

Dưới đây là một số tính chất của bậc Leray Schauder.
Định lý 1.3.5. Bậc Leray Schauder có các tính chất sau:
(1) (Tính chuẩn tắc) deg ( I , Ω,0 ) =
1 nếu và chỉ nếu 0 ∈ Ω;
(2) (Tính giải được) Nếu deg ( I − T , Ω,0 ) ≠ x, thì Tx = x có nghiệm trong Ω;
(3) (Tính đồng luân) Giả sử Tt : [ 0,1] × Ω → E là ánh xạ compact liên tục và

Tt x ≠ x với mọi ( t , x ) ∈ [ 0,1] × ∂Ω. Khi đó, deg ( I − Tt , Ω,0 ) không phụ thuộc vào
t ∈ [ 0,1].

(4) (Tính cộng tính) Giả sử Ω1 , Ω 2 là hai tập con không giao nhau của Ω và

(

)

0 ∉ ( I − T ) Ω − Ω1 ∪ Ω 2 . Khi đó
deg ( I − T , Ω,0
=
) deg ( I − T , Ω1 ,0 ) + deg ( I − T , Ω2 ,0 ) .

Chứng minh. Tương tự như chứng minh các tính chất của bậc Brouwer.

15of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi17


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi18 of 138.

Định lý 1.3.6. (Định lý Schauder) Cho C là tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn chứa trong
không gian Banach E và f : C → C liên tục sao cho f ( C ) là tập compact tương đối. Khi
đó f có điểm bất động trong C.
Chứng minh. Đặt K = co f ( C ) thì K lồi, compact chứa trong C. Với mỗi m ∈  tồn
tại tập hữu hạn {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K và một ánh xạ liên tục pm : K → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } sao cho

pm ( x ) − x <

1
, ∀x ∈ K .
m

Đặt g m = pm  f|co{a1 ,a2 ,⋅⋅⋅,an } (ánh xạ thu hẹp trên co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ).
Ta có g m : co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } → co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } liên tục. Áp dụng định lý Brouwer tồn tại

xm ∈ co {a1 , a2 , ⋅ ⋅ ⋅, an } ⊂ K sao cho g m ( xm ) = xm .
pm  f ( xm ) − f ( xm ) <

Ta có xm −=
f ( xm )

1
, ∀m ∈ .
m

( )

Do dãy ( xm )m trong tập compact K nên tồn tại dãy con hội tụ xmi

i

hội tụ về

x ∈ K ,lim xmi =
x.
i

Do f liên tục nên lim xmi = f ( x ) và do xm − f ( xm ) <
i

Vậy f có điểm bất động trong C.

16of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi18

1
, ∀m ∈ , nên x = f ( x ) .
m


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi19 of 138.

CHƯƠNG 2: ĐỘ ĐO PHI COMPACT
Trong chương này, tôi giới thiệu định nghĩa độ đo phi compact Kuratowski và Hausdorff
và khảo sát một số tính chất của chúng. Sau đó mô tả một số công thức cho phép chúng ta
tính một cách chính xác độ đo phi compact Hausdorff trong một vài không gian cụ thể. Ta
kí hiệu B ( x, r ) = Br ( x ) là quả cầu đóng tâm x bán kính r . Các kết quả của mục 2.1 được
tham khảo trong [5, chương 3, trang 55-60] và mục 2.2 được tham khảo trong [3, trang 5-8].

2.1. Định nghĩa, các tính chất
Định nghĩa 2.1.1.
(1) Cho ( X , d ) là không gain mêtric và A là một tập con chứa trong X . Khi đó
diam( A) = sup d ( x, y ) được gọi là đường kính của A . Nếu diam( A) < +∞ thì A bị
x , y∈A

chặn.
(2) Cho A, B là hai tập hợp bị chặn, mêtric Hausdorff H được xác định bởi
H ( A, B ) = max{sup d ( x, B ),sup d ( y , A)}
x∈A

y∈B

Giả sử B ( X ) là họ tất cả các tập con của X . Ta có một số mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.1.2. Nếu A ⊂ B thì diam( A) ≤ diam( B ) và diam( A) = diam( A) .
Mệnh đề 2.1.3. Giả sử X là không gian Banach và A, B ⊂ X . Khi đó
(1) diam(λ B ) =| λ | diam( B )

diam( B )
(2) diam( x + B ) =
(3) diam( A + B ) ≤ diam( A) + diam( B )
(4) diam( conv ( A)) = daim( A)
Chứng minh. (1)-(3) hiển nhiên. Ta chứng minh (4). Lấy x, y ∈ conv ( A) . Khi đó tồn tại

xi ∈ (0,1), xi ∈ X , i ∈ 1, k , ti ∈ (0,1), yi ∈ A, i ∈ 1, m thỏa mãn

=
x

k

m

=
s x , y ∑s y
∑

i i
=i 1 =i 1

i

i

Ta có

17of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi19


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi20 of 138.
k

m

∑ si xi − ∑ si xi

x −=
y

=i 1 =i 1
k

=

m

k

m

∑∑ si t j xi − ∑∑ si t j yi

=i 1 =j 1
k

=i 1 =j 1

m

= ∑∑ si t j xi − yi
=i 1 =j 1
k

m

= ∑∑ si t j diam( A)
=i 1 =j 1

Do đó

diam( conv ( A)) ≤ daim( A)
Do A ⊂ conv ( A) nên diam( A) ⊂ diam( conv ( A)).
Vậy diam( conv ( A)) = diam( A).
Mệnh đề 2.1.4. Giả sử ( X , d ) là không gian mêtric. Khi đó ( B ( X ), H ) là không gian
mêtric.

0 nếu và chỉ
Chứng minh. Hiển nhiên H ( A, B ) ≥ 0 với bất kỳ A, B ∈ B ( X ), H ( A, B ) =
nếu A = B và H ( A, B ) = H ( B, A).
Với A, B, C ∈ B ( X ) , ta có

d ( x, B ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, B ), d ( y , A) ≤ d ( y , z ) + d ( z, A), ∀z ∈ C , x ∈ A và y ∈ B
Do đó

d ( x, B ) ≤ inf d ( x, z ) + sup d ( z, B ),
z∈C

z∈C

d ( y , A) ≤ inf d ( y , Z ) + sup d ( z, A)
z∈C

z∈C

Do vậy, ta có

H ( A, B )
≤ max{sup d ( x, C ) + sup d ( z, B ),sup d ( y , C ) + sup d ( z, A)}
x∈A

z∈C

y∈B

z∈C

≤ max{sup d ( x, C ),sup d ( z, A) + max{sup d ( z, B ),sup d ( y , C )}
x∈A

z∈C

z∈C

y∈B

= H ( A, C ) + H (C , B )
Do đó ( B ( X ), H ) là không gian mêtric.
Định nghĩa 2.1.5. Giả sử ( X , d ) là không gian mêtric, B là họ tất cả các tập con bị chặn
của X và A, B ∈ B. Hàm số α : β → [1, +∞ ] được xác định bởi

18of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi20


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi21 of 138.

α=
( A) inf{δ ≥ 0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các tập hợp có đường kính ≤ δ }
được gọi là độ đo phi compact Kuratowski.

Nếu thay α ( A) bởi

β=
( A) inf{δ ≥ 0 : A được phủ bởi một số hữu hạn các quả cầu bán kính δ } thì β ( A)
được gọi là độ đo phi compact Hausdorff.
Hay

( A) inf{ε > 0 : A có một ε − lưới hữu hạn trong X } được gọi là độ đo phi compact
β=
Hausdorff của tập A.
Chú ý 2.1.6.
(1) Tập

S⊂X

được

gọi

là

một

ε−

lưới

của

A

nếu

A ⊂ S + ε B (0,1) = {s + ε b, s ∈ S , b ∈ B (0,1)}.

(2) Tập S ⊂ X được gọi là một ε − lưới hữu hạn của A nếu S là một ε − lưới
của A và S là hữu hạn.
Mệnh đề 2.1.7. β ( A) ≤ α ( A) ≤ 2 β ( A) , với mọi A∈ B.
Chứng minh. Với bất kì δ > α ( A) , tồn tại một số hữu hạn các tập A1 , A2 ,..., Ak thỏa
k

mãn A ⊂  Ai và diam( A) < δ với i = 1,2,..., k . Chọn xi ∈ Ai . Khi đó Bδ ( xi ) ⊃ Ai , vậy ta
i =1

k

có A ⊂  Bδ ( xi ) và do đó β ( A) ≤ δ . Cho δ → α ( A) , ta có bất đẳng thức đầu tiên.
i =1

Trong bất đẳng thức thứ hai, nếu δ > β ( A) , thì tồn tại một số hữu hạn quả cầu
m

Bδ ( y1 ), Bδ ( y2 ),..., Bδ ( ym ) thỏa mãn A ⊂  Bδ ( yi ). Hiển nhiên diam( Bδ ( yi )) = 2δ , do vậy
i =1

ta có α ( A) ≤ 2δ . Cho δ → β ( A) , ta có bất đẳng thức thứ hai.
Mệnh đề 2.1.8. Giả sử X là không gian mêtric và B là họ tất cả các tập con bị chặn của
X . Giả sử φ là độ đo phi compact Kuratowski hoặc độ đo phi compact Hausdorff và

A, B ∈ B. Khi đó các tính chất sau được thỏa mãn:

(1) φ ( A) = 0 nếu và chỉ nếu A là compact tương đối.
(2) φ ( A) = φ ( A).
(3) Nếu A ⊂ B, thì φ ( A) ≤ φ ( B ).

max{φ ( A), φ ( B )}.
(4) φ ( A ∪ B ) =

19of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi21


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi22 of 138.

(5) φ ( A ∩ B ) ≤ min{φ ( A), φ ( B )}.
(6) φ ( A) − φ ( B ) ≤ 2 H ( A, B ).
(7) Nếu X là không gian Banach, thì
(λ A) λ φ ( A), λ ∈ R, φ ( A + B ) ≤ φ ( A) + φ ( B ), φ ( conv=
( A)) φ ( A).
φ=

Chứng minh. Chứng minh (1): Đầu tiên ta chứng minh A là compact tương đối. Do

φ ( A) = 0, nên tồn tại dãy {δ n }n∈ hội tụ về 0 và các tập A1n , A2n ,..., Akn thỏa mãn
n

k

A ⊂  Ai và diam( Ai ) ≤ δ n , i ∈ 1, kn
i =1

Ta có A là hoàn toàn bị chặn. Thật vậy, với ε > 0 cho trước, tồn tại n0 ∈  sao cho

ε
δ n < . Khi đó
3

kn0

A ⊂  Ai
i =1

kn0

Do đó, A ⊂  B ( xi , ε ) với xi ∈ Ai , i ∈ 1, kn0 . Vậy A là compact tương đối.
i =1

Ngược lại, ta chứng minh φ ( A) = 0. Do A compact tương đối nên với mọi n ∈ * ta có
 1
A ⊂  B  x,  .
 n
x∈A

Do đó, tồn tại x1 , x2 ,..., xk ∈ A thỏa mãn
1 

A ⊂  B  xi , .
 2n 
x∈A
k

Suy ra

1
n

φ ( A) ≤ , ∀n ∈ * .
Vậy φ ( A) = 0.
Chứng minh (6): Giả sử φ = α . Chứng minh cũng giống cho φ = β .
Với

ε >0

bất

kì,

tồn

tại

phủ

hữu

hạn

{ A1 , A2 ,..., Ak }

của

diam( Ai ) ≤ α ( A) + ε , i =
1,2,..., k . Tập hợp

η=
H ( A, B ) + ε , Bi =
{ y ∈ B : tồn tại x ∈ Ai , d ( x, y ) < η} với i = 1,2,..., k .
20of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi22

A

với


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi23 of 138.
k

Bởi vì H ( A, B ) < η nên B ⊂  Bi . Hiển nhiên,
i =1

diam( Bi ) ≤ 2η + diam( Ai ) < 2 H ( A, B ) + α ( A) + 3ε với i = 1,2,..., k ,
và do đó α ( B ) ≤ 2 H ( A, B ) + α ( A).
Tương tự, ta có α ( A) ≤ 2 H ( A, B ) + α ( B ).
Do đó, φ ( A) − φ ( B ) ≤ 2 H ( A, B ).
Chứng minh (7): Hiển nhiên α ( A) ≤ α ( conv ( A)). Với ε > 0 bất kì, tồn tại phủ hữu hạn
{ A1 , A2 ,..., Ak } của A với diam( Ai ) < α ( A) + ε , i =
1,2,..., k . Ta có thể giả sử rằng Bi là lồi vì

diam( conv ( Bi )) = diam( Bi ) với i = 1,2,..., k . Đặt
k

=
Λ {(λ1 , λ2 ,..., λ=
1,2,...,
=
k , ∑ λi 1} và
k ) : λi ≥ 0, i
i =1

k

với mỗi λ (λ1 , λ2 ,..., λk ) ∈ Λ.
B (λ ) = ∑ λi Bi =
i =1

Ta có

α ( B(λ )) ≤ α ( A) + ε với mọi λ ∈ Λ.
Ta

chứng

tỏ

 B (λ )

lồi.=
Với λ (λ1 ,=
λ2 ,..., λk ), µ ( µ1 , µ2 ,..., µk ) ∈ Λ

λ∈Λ
k

k

x =∑ λi xi ∈ B (λ ), y =∑ µi yi ∈ B ( µ ), trong đó xi , yi ∈ Bi với i = 1,2,..., k , ta có
i 1 =i 1

tx + (1 − t=
)y

k

∑ ( tλ
i =1

Do đó

i



tλi
(1 − t ) µi
+ (1 − t ) µi ) 
xi +
yi  .
tλi + (1 − t ) µi 
 tλi + (1 − t ) µi

 B(λ ) lồi. Do vậy, ta có

λ∈Λ

 k 
conv ( A) ⊂ conv   Bi  ⊂  B ( λ ).
=
 i 1  λ∈Λ
Bởi vì Λ là compact, tồn tại hữu hạn λ 1 , λ 2 ,..., λ n ∈ Λ thỏa mãn

 B ( λ ) ⊂  B ( λ ) + ε B ( 0 ).
λ
n

i

1

∈Λ

i =1

Do đó, ta có
conv ( A) ⊂  B ( λ i ) + ε B1 ( 0 ),
n

i =1

21of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi23

và


luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi24 of 138.

Suy ra

α ( conv ( A) ) ≤ α ( A) + 3ε .
Cho ε → 0+ , ta được α ( conv ( A) ) ≤ α ( A) . Do đó α ( conv ( A) ) = α ( A) .
Mệnh đề 2.1.9. Giả sử X là không gian Banach hữu hạn chiều và B ( 0,1) là quả cầu
đơn vị. Khi đó α ( B ( 0,1) ) = 2.
Chứng minh. Hiển nhiên diam ( B ( 0,1) ) = 2 , vậy suy ra α ( B ( 0,1) ) ≤ 2.
Nếu α ( B ( 0,1) ) < 2 , thì tồn tại A1 , A2 ,..., Ak thỏa mãn diam ( Ai ) < 2 với i = 1,2,..., k và
k

B ( 0,1) ⊂  Ai . Lấy không gian con k − chiều X k của X và tập Bk ( 0,1) = B ( 0,1)  X k với
i =1

i = 1,2,..., k . Khi đó, ta có
k

1,2,..., k
Bk ( 0,1) ⊂  Bi , diam ( Bi ) < 2, i =
i =1

Điều này mâu thuẫn với định lí 1.2.15. Do đó α ( B ( 0,1) ) = 2.
Mệnh đề 2.1.10. Giả sử X là không gian Banach tách được và β là độ đo phi compact
Hausdorff. Khi đó tồn tại một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều ( X n ) với
∞

X =  X n thỏa mãn, với bất kì tập con bị chặn, đếm được {xn :1 ≤ n < ∞},
n =1

β ( xn ) = lim limsup d ( xm , X n ) .
n →∞

m→∞

Chứng minh. Vì X tách được, tồn tại tập con đếm được { y1 , y2 ,...} của X sao cho

{ y1 , y2 ,...} = X . Đặt X n = span{ y1 , y2 ,..., yn } với n = 1,2,... Khi đó X 1 ⊂ X 2 ⊂ ... và
∞

X =  X n . Với ε > 0 bất kì và n ∈ * , đặt rn = limsup d ( xm , X n ) . Dễ thấy r1 ≥ r2 ≥ ... bởi
m→∞

n =1

vì X n tăng. Chọn L > 0 sao cho d ( xm , X n < rn + ε ) với mọi m ≥ L.
Tiếp theo, định nghĩa

xm − y }
Y= { y ∈ X n : tồn tại m ≥ L, d ( xm , X n ) =
Khi đó, Y  {x1 , x2 ,..., xL } là compact. Do đó tồn tại một số tập hữu hạn {z1 , z2 ,..., zk } sao
cho

22of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi24

luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi25 of 138.
k

Y  {x1 , x2 ,..., xL } ⊂  B ( zi , ε ).
i =1

Do vậy, ta có
k

{x1 , x2 ,...} ⊂ {x1 , x2 ,..., xL }  B (Y , rn + ε ) ⊂  B ( zi , rn + 2ε ).
i =1

Do đó β ({xn }) ≤ rn + 2ε , nghĩa là

β ( xn ) ≤ inf {rn , n ≥ 1} =
lim limsup d ( xm , X n ) .
n →∞

m→∞

, đặt r β ({xi : i ≥ 1}) và tồn tại wi hữu hạn, 1 ≤ i ≤ s, sao cho
Mặt khác, với ε > 0=
s

{x1 , x2 ,...} ⊂  B ( wi , r + ε ).
i =1

Bởi sự xây dựng của X n , tồn tại K > 0 sao cho d ( wi , X n ) < ε với i = 1,2,..., s và
n > K . Do đó, ta có

d ( xm , X n )
≤ inf { xm − wi :1 ≤ i ≤ s} + sup {d ( wi , X n ) :1 ≤ i ≤ s}
≤ r + 2ε

với m ≥ 1 và n > K . Từ điều này, ta có

lim limsup d ( xm , X n ) ≤ r.
n →∞

m→∞

xm , X n ) β ({xi : i ≥ 1}) .
Do đó, ta có lim limsup d ( =
n →∞

m→∞

2.2. Một số độ đo phi compact
Trong mục này, chúng ta chứng minh một số công thức giúp ta có thể tính độ đo phi
compact trong các không gian l p , c0 , C , Lp .
2.2.1. Độ đo phi compact Hausdorff trong không gian l p và c0
Cho không gian l p gồm các dãy khả tổng bậc thứ p và c0 là không gian gồm các dãy
hội tụ về không. Khi đó, độ đo phi compact β được tính bởi công thức sau

=
β ( A) limsup ( I − Pn ) ( x ) ,
n →∞ x∈A

trong đó Pn là phép chiếu vào bao tuyến tính của n vectơ hữu hạn đầu tiên trong cơ sở
chuẩn.

23of 138.
luan van thac si su pham, thac si giao duc ,ths xa hoi25