trường tĩnh điện .............

CHƯƠNG VIII:

TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN

A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Lực tương tác Culông giữa hai điện tích điểm:
q1 q 2
F=
(8-1)
4πεε 0 r 2
r là khoảng cách giữa hai điện tích điểm, ε0=8,86.10-12C2/N.m2 là hằng số
điện, ε là hằng số điện môi của môi trường.
2. Véc tơ cường độ điện trường:r
r F
E=
(8-2)
q
r
với F là lực điện trường tác dụng lên điện tích q.
Cường độ điện trường gây bởi một điện tích điểm q:
q
E=
(8-3)
4πεε 0 r 2
3. Véc tơ cảm ứng điện:
r
r
D = εε 0 E
(8-4)
4. Cường độ điện trường gây bởi một sợi dây thẳng dài vô hạn mang điện
đều tại một điểm cách dây một khoảng r:

λ
E=
(8-5)
2πεε 0 r
với λ là mật độ điện dài của dây.
5. Cường độ điện trường gây bởi một mặt phẳng mang điện đều:
σ
E=
(8-6)
2εε 0
với σ là mật độ điện mặt.
6. Định lý Oxtrôgratxki - Gaox:
Thông lượng cảm ứng điện gửi qua một mặt kín (S) bất kỳ:
Φ0 =

∫

(S )

n
r r
Dd S = ∑ q i

(8-7)

i =1

n

với

∑q
i =1

i

là tổng đại số các điện tích có trong mặt kín.

7. Công của lực tĩnh điện khi dịch chuyển điện tích điểm q0 từ điểm A đến
điểm B trong điện trường:
A = q0(VA - VB)
(8-8)
B

59


với VA và VB là điện thế tại điểm A và điểm B trong điện trường.
8. Tính chất thế của trường tĩnh điện:
r r
E
(8-9)
∫ dl = 0
B

9. Hiệu điện thế giữa hai điểm A và B:

r r
V A − V B = ∫ E dl
B

(8-10)

A

10. Liên hệ giữa cường độ điện trường và điện thế:
∂V
dt
U
Đối với điện trường đều: E =
d
E=−

r

hay E = − gradV

(8-11)
(8-12)

với U = V1-V2 là hiệu điện thế, d là khoảng cách giữa 2 mặt đẳng thế tương
ứng.
11. Điện thế gây bởi một điện tích điểm q tại một điểm cách nó một khoảng
r:
q
V=
(8-13)
4πεε 0 r
12. Hiệu điện thế giữa hai mặt cầu đồng tâm mang điện đều, bằng nhau trái
dấu:

Q( R2 − R1 )
V1 − V2 =
(8-14)
4πεε 0 R1 R2
R1 là bán kính của mặt cầu trong, R2 là bán kính của mặt cầu ngoài, Q là độ
lớn điện tích trên mỗi mặt cầu.
13. Hiệu điện thế giữa hai mặt trụ đồng trục dài vô hạn mang điện đều, bằng
nhau trái dấu:
R
λ
V1 − V2 =
ln 1
(8-15)
2πεε 0 R2
R1 là bán kính của mặt trong, R2 là bán kính của mặt ngoài, λ là mật điện
dài trên mặt trụ.
B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
8.1 Cho 3 điện tích bằng nhau q = 10-6C đặt tại ba đỉnh của một tam giác đều
cạnh a = 5cm.
a. Tính lực tác dụng lên mỗi điện tích.

60


b. Nếu 3 điện tích đó không được giữ cố định thì phải đặt thêm một điện
tích thứ 4 q0 có dấu và độ lớn như thế nào và đặt ở đâu để hệ 4 điện tích
nằm cân bằng?
Giải
a. Các điện tích cùng dấu và cùng độ lớn đặt tại 3 đỉnh của một tam giác đều
nên hợp lực tác dụng lên mỗi điện tích như nhau, do đó ta chỉ xác định hợp

lực tác dụng lên điện tích đặt tại C. Áp dụng định luật Culông ta biểu diễn

r
F
các lực 1 do điện tích đặt tại A
r
và F2 do điện tích đặt tại B tác
dụng lên điện tích đặt tại C như
r
r
r
hình vẽ. Lực FC do F1 và F2
tác dụng lên q đặt tại C có
phương chiều như hình vẽ, độ
lớn:
FC = 2F1cos300
trong đó:
q2
F1 = k 2
a
suy ra:
FC = 2.9.10

9

(10 )

2

−6

(5.10 )

−2 2

.

A
A
⊕
⊕
O⊕

B⊕
Hình 8-1

C
C
⊕
⊕

r
F2
r
F1

r
FC

3

≈ 6,23( N )
2

b. Muốn điện tích q0 nằm cân bằng với 3 điện tích kia thì tổng hợp lực do 3
điện tích kia tác dụng lên q0 phải bằng không, do đó q0 phải nằm tại trọng
tâm của tam giác ABC và để cho hệ nằm cân bằng thì q0 phải là điện tích
âm. Độ lớc của q0 được xác định:

k

q0 q
OC

trong đó:

OC =

2

q2
=k 2
a

a 3 2 a 3
. =
2 3
3

61

3


q0 =

Từ đó suy ra:

q 3
≈ 5 , 77 . 10 − 7 ( C )
3

q0 = -5,77.10-7 C

Vậy

8.2 Cho 2 điện tích dương q1=q và q2=4q đặt cố định trong không khí cách
nhau một khoảng a=30cm. Phải chọn một điện tích thứ 3 q0 như thế nào
và đặt ở đâu để nó cân bằng với 2 điện tích kia.
Giải

r

r

Gọi F1 và F2 là các lực điện do q1 và q2 tác dụng lên q0. Điều kiện để
q0 nằm cân bằng là:

r
r
F1 + F2 = 0

muốn vậy q0 phải nằm trên đường thẳng AB nối hai điện tích q1 và q2. Vị trí
của q0 được xác định:
M
q1
q2
F1 = F2 (1)
⊕
⊕
Đặt AM = x, theo định luật Culông ta có: A
q0
B

F1 = k

q1 q0

F2 = k

x2

Hình 8-2

q 2 q0
(a − x) 2

Thay vào (1) ta được:

k

q 2 q0
q1 q0
=
k
(a − x ) 2 (2)
x2

Biểu thức (2) thỏa mãn với mọi dấu và độ lớn của q0. Thay q1 = q và q2 = 4q
ta suy ra:
(a – x)2 = 4x2
a 30
⇒x= =
= 10(cm)
3 3
8.3 Một điện tích q=10-7C đặt trong điện trường của một điện tích điểm Q,
chịu tác dụng của lực F= 3.10-3N. Tìm cường độ điện trường E tại điểm
đặt điện tích q và độ lớn của điện tích Q. Biết rằng hai điện tích đặt cách
nhau r =30cm.
62


Giải
Theo biểu thức về mối liên hệ giữa lực điện và cường độ điện trường, ta có:
F = qE
F 3.10 −3
⇒E= =
= 3.10 4 (V / m)
−7
q
10

Từ công thức:
Q
E=k 2
r
Er 2 3.10 4.(30.10 −2 ) 2
Q=
=
= 3.10 −7 (C )
suy ra:
9
k
9.10
8.4 Tại các đỉnh A và C của một hình vuông ABCD có đặt các điện tích
dương q1=q3=q. Hỏi phải đặt tại đỉnh B một điện tích bằng bao nhiêu để
cường độ điện trường tại đỉnh D bằng 0. Tìm cường độ điện trường tại
tâm của hình vuông ABCD khi đó.
Giải

r
E
a. Hai điện tích q1 và q3 gây ra tại D các véc tơ cường độ điện trường 1 và
r
E 2 như hình vẽ, độ lớn:
B
q
A ⊕
q2
E1 = E3 = k 2
r
q

1
a
E0

r

O

Véc tơ tổng hợp E13 có phương chiều r
D
E3
⊕ C
như hình vẽ, độ lớn:
q3
q
r
2
2
E13 = E1 + E 3 = 2 E1 = 2.k 2
r
E13
E1
a
Hình 8-4
Để véc tơ cường độ điện trường tại D
r
bằng không thì q2 phải gây ra tại D véc tơ cường độ điện trường E 2 sao cho:

r
r

E2 = − E13

suy ra q2<0 , về độ lớn:
q2
q
k 2 = 2.k 2 ⇒ q 2 = 2 2q
2a
a
Vậy:

q 2 = −2 2 q
63


b. Tại O, véc tơ cường độ điện trường do q1 và q3 gây ra tại O bằng không,

r
r
E
E
do đó 0 tại O chỉ do q2 gây ra. 0 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn:
E0 = k

q2
2 2q
kq
4
2
=
k

=
a2
a2
a2
2
2

8.5 Cho 4 điện tích điểm q1=q2= 6.10-6C, q3= q4= -6.10-6C đặt tại 4 đỉnh của
1 hình vuông cạnh a=50cm. Hãy xác định:
a. Véc tơ cường độ điện trường do 4 điện tích gây ra tại tâm O của hình
vuông.
b. Lực điện tác dụng lên điện tích q0=-910-6C đặt tại tâm O của hình
vuông.
Giải
a. Ta xét trường hợp hai điện tích cùng dấu
nằm cạnh nhau:
Hai điện tích ở điểm A và C gây ra tại O các
véc tơ cường độ điện trường:

A ⊕
q1

r
E
Tổng hợp của hai véc tơ này là 13 có phương

D
q4

r

r
E1 = E3

r
E 24

chiều như hình vẽ, có độ lớn:
q
OA 2

E13 = 2k

với

OA =

O

⊕ B
r
q2
E0
r
E13

C C
r
E

q3

Hình 8-5a

a 2
2

6.10 −6
⇒ E13 = 36.10
= 8,64.10 5 (V / m)
−2 2
(50.10 )
tương tự hai điện tích ở điểm B và D gây ra tại O các véc tơ cường độ điện
trường
9

r
r
E2 = E4

r
E
Tổng hợp của hai véc tơ này là 24 có phương chiều như hình vẽ, có độ lớn:
E24 = 2k

q
= E13 = 8,64.105 (V / m)
2
OB

64

r

Véc tơ E do 4 điện tích gây ra tại O có phương chiều như hình vẽ, có độ
lớn:

E = 2.E13 = 2 .8,64.105 = 12,15.105 (V / m)
r
Lực điện tác dụng lên q0 đặt tại O là véc tơ F cùng phương và ngược chiều

r
với E (do q0<0), có độ lớn:

F = q0E = 12,15.105.9.10-6 = 10,9(N)
b. Ta xét trường hợp hai điện tích khác dấu nằm cạnh nhau:
Hai điện tích ở điểm A và C gây ra tại O các véc tơ cường độ điện trường:

r
r
E1 = − E2

r
E
Tổng hợp của hai véc tơ này là . 12 = 0

A ⊕
q1

B C

q3

r
E0

O

Hai điện tích ở điểm B và D gây ra tại O các
véc tơ cường độ điện trường:

r
r
E3 = − E 4

r
Tổng hợp của hai véc tơ này là . E34 = 0 Do

r
đó véc tơ E ’ do 4 điện tích gây ra tại O bằng 0.

⊕ C
q2

D
q4
Hình 8-5b

Lực điện tác dụng lên q0 đặt tại O cũng bằng 0
8.6 Cho hai quả cầu nhỏ giống hệt nhau, đặt cách nhau một đoạn r=10cm
trong không khí. Đầu tiên hai quả cầu tích điện trái dấu, chúng hút nhau

với lực F1=1,6.10-2N. Cho hai quả cầu tiếp xúc với nhau, rồi lại đưa ra vị
trí cũ thì thấy chúng đẩy nhau với một lực F2=9.10-3N. Tìm điện tích của
mỗi quả cầu trước khi chúng tiếp xúc với nhau.
Giải
Gọi q1 và q2 là điện tích tương ứng của mỗi quả cầu trước khi chúng
tiếp xúc nhau. Độ lớn của lực tương tác giữa chúng xác định theo định luật
Culông:

q1q2
r2
F1r 2
1,6.10 −2.(10.10 −2 ) 2
1,6
q1q2 = −
=−
= − .10 −13 (1)
9
k
9.10
9
F1 = k

suy ra:

Sau khi tiếp xúc nhau, điện tích của mỗi quả cầu có độ lớn là:

lực đẩy giữa chúng là:
65

q1 + q 2

2

do đó


2

⎛ q1 + q2 ⎞
⎜
⎟
4 F2 r 2
2
⎝
⎠
2
F2 = k
⇒ (q1 + q2 ) =
r2
k
Thay các giá trị vào ta được:

(q1 + q2 ) 2 = 4.10−14
−7

(q1 + q2 ) = ±2.10
hay
Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được:
⎧⎪q1 = −0,67.10 −7 (C )
⎨
⎪⎩q 2 = 2,67.10 −7 (C )

−7
⎪⎧q1 = 0,67.10 (C )
⎨
và:
⎪⎩q 2 = −2,67.10 −7 (C )

(2)

8.7 Cho hai quả cầu nhỏ giống hệt nhau, cùng có khối lượng m = 0,1g, điện
tích q=10-8C được treo tại cùng một điểm bằng hai sợi dây mảnh. Do lực
đẩy tĩnh điện, hai quả cầu tách ra xa nhau một đoạn a=3cm. Xác định
góc lệch của các sợi dây so với phương thẳng đứng. Cho g=10m/s2.
Giải
Mỗi quả cầu chịu tác dụng của 3 lực:
- Trọng lực: P = mg

q2
- Lực điện: F1 = k 2
a
- Lực căng dây T
Phương chiều của các lực như hình
vẽ.
Khi quả cầu cân bằng

r r r
P +T + F = 0

α

r

T
r
F

⊕

r
T

a/2

r
P

Theo hình vẽ suy ra:
Hình 8-7
2
9
−8 2
9.10 .(10 )
F
kq
tgα = =
=
=1
P mga 2 0,1.10 −3.10.(3.10 − 2 ) 2
Ö α = 450

66

⊕

r
P

r
F


8.8 Giữa hai bản kim loại song song đặt nằm ngang, tích điện bằng nhau và
trái dấu, có một hiệu điện thế U1=1000V. Khoảng cách giữa hai bản là
d=1cm. ở đúng giữa khoảng cách hai bản có một giọt thủy ngân nằm lơ
lửng. Đột nhiên hiệu điện thế giữa hai bản giảm xuống chỉ còn
U2=995V. Hỏi sau bao lâu giọt thủy ngân rơi xuống đến bản dưới. Cho
g=10m/s2.
Giải
Khi giọt thủy ngân nằm lơ lửng, các lực tác dụng vào giọt thủy ngân
gồm trọng lực và lực điện trường, hai lực này cân bằng nhau:
U
mg = qE1 = q 1
(1)
d
Khi hiệu điện thế giảm còn U2, lực điện trường không đủ lớn để cân

r

bằng với trọng lực, giọt thủy ngân chịu tác dụng của hợp lực F hướng
thẳng đứng xuống dưới và có độ lớn:

F = mg − qE2 = q

U2
d

Giọt thủy ngân sẽ rơi xuống với gia tốc:
F
q U2
a= =g−
m
m d
Từ (1) và (2) suy ra:
⎛ U ⎞
a = g ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟
⎝ U1 ⎠
Phương trình chuyển động của giọt thủy ngân:
1
S = at 2
2
S =

trong đó

(2)

d
2

Suy ra:
t=

d
=
a

d
⎛ U
g ⎜⎜1 − 2
⎝ U1

⎞
⎟⎟
⎠

=

10 −2
≈ 0,45( s )
995 ⎞
⎛
10.⎜1 −
⎟
⎝ 1000 ⎠

8.9 Cho hai điện tích q và 2q đặt cách nhau 10cm. Hỏi tại điểm nào trên
đường nối hai điện tích ấy điện trường triệt tiêu.

67


Hướng dẫn

Gọi M là điểm mà tại đó điện trường tổng hợp bằng 0, AB = a, vì hai
điệnr tích cùng dấu nên
điểm M chỉ có thể nằm trong đoạn AB để cho hai véc
r
tơ E1 do q gây ra và E 2 do 2q gây ra cùng phương ngược chiều.
Đặt AM = x ta có:
A
B
x
M
q
q
2q
E1 = k 2
x
Hình 8-9

E2 = k

2q
(a − x) 2

Điều kiện về độ lớn:

q
2q
=k
2
x
(a − x) 2

Ö x2 + 2ax – a2 = 0
Kết quả: x = 4,12 cm.
E1 = E2 ⇔ k

8. 10 Một êlectrôn điện tích e, khối lượng m chuyển động trên một quỹ đạo
tròn bán kính r quanh hạt nhân nguyên tử hyđrô. Xác định vận tốc
chuyển động của êlectrôn trên quỹ đạo. Cho biết e = -1,6.10-19C,
m = 9,1.10-31kg, khoảng cách trung bình từ êlectrôn đến hạt nhân là
r = 10-8cm.
Hướng dẫn
Lực tương tác Culông giữa êlectrôn và hạt nhân đóng vai trò là lực
hướng tâm, êlectrôn chuyển động xung quanh hạt nhân theo quỹ đạo tròn
dưới tác dụng của lực này. Ta có:

Suy ra:

e2
v2
F =k 2 =m
r
r
k
m .r

v = e

Kết quả: v ≈ 1,6.106 m/s
8.11 Một mặt phẳng rộng vô hạn tích điện đều với mật độ σ. Tại khoảng
giữa của mặt phẳng có một lỗ hổng bán kính a nhỏ so với kích thước của
mặt. Tính cường độ điện trường tại một điểm nằm trên đường thẳng

68


vuông góc với mặt phẳng và đi qua tâm lỗ hổng, cách tâm của lỗ hổng
một đoạn b.
Hướng dẫn
Áp dụng nguyên lý chồng chất điện trường: coi mặt phẳng không có lỗ hổng
tích điện đều với mật độ điện
r mặt σ, mặt phẳng này gây ra tại điểm M véc tơ
cường độ điện trường là E1 có phương chiều như hình vẽ, độ lớn:

σ
E1 =
2ξ 0ξ

r
E

Tại vị trí của lỗ hổng ta đặt
một đĩa tròn bán kính a
tích điện đều với mật độ
điện mặt -σ, đĩa tròn này
gây ra tại điểm M véc tơ
cường
độ điện trường là
r
E 2 có phương chiều như
hình vẽ, độ lớn:

r
E1
M

b

r
E2

a

O

P

⎛
⎜
1
σ ⎜
−
E2 =
1
2ξ 0ξ ⎜
a2
⎜⎜
1+ 2
b
⎝

⎞

⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠

Hình 8-11

r
vì và E 2 cùng phương ngược chiều nên véc tơ cường độ điện trường tổng
r
hợp tại M làr E cùng phương với hai véc tơ thành phần, có chiều là chiều
của véc tơ E1 , độ lớn được xác định bởi:

Kết quả

E=

σ

E = E1 − E2

2ξ 0ξ 1 +

a2
b2

8.12 Một quả cầu khối lượng m = 0,1g treo trên một sợi dây mảnh, được đặt
vào trong một điện trường đều có phương nằm ngang cường độ

69


E= 1000V/m khi đó dây treo bị lệch một góc 450 so với phương thẳng
đứng. Tìm điện tích của quả cầu.
Hướng dẫn
Quả cầu chịu tác dụng của 3 lực:
- Trọng lực: P = mg

q2
- Lực điện: F1 = k 2
a
- Lực căng dây T
Phương chiều của các lực như hình vẽ.
Khi quả cầu cân bằng:

r r r
P +T + F = 0

Kết quả

q =
⏐q⏐ = 10-6C

r
T

⊕

r

F

r
P

Theo hình vẽ ta có:
F = Ptg450
=> mg = F = qE
Suy ra:

450

Hình 8-12

mg
E

8.13 Một đĩa tròn bán kính R tâm O tích điện đều với mật độ σ. Hãy tính:
a. Điện thế do đĩa gây ra tại một điểm nằm trên trục của đĩa cách tâm O
của đĩa một khoảng là h.
b. Điện thế do đĩa gây ra tại tâm của đĩa.
M
Hướng dẫn
a.Chia nhỏ diện tích của đĩa tròn thành những
phần tử diện tích dS như hình vẽ (dS = dxdl),
điện tích trên phần tử dS là dq:
dq = σdS = σxdxdϕ
trong đó x là khoảng cách từ O đến dS, dϕ là
góc chắn cung dl. dq gây ra tại M điện thế dV
được xác định bởi:

dq
σ xdxd ϕ
dV =
=
4πξ 0ξ r
4πξ 0ξ r

70

r

O R

Hình 8-13

dS
dϕ


Điện thế do toàn bộ đĩa gây ra tại M là:

σ 2π R xdx
V = ∫ dV =
∫ dϕ ∫ 2 2
πξ
ξ
4
x +h
(V )
0

0
0

Lấy tích phân rồi thay cận vào ta được:

V =

(

σ
2ξ 0ξ

R 2 + h2 − h

)

(*)

b. Điện thế do đĩa gây ra tại tâm của đĩa:
Từ (*) cho h→0 ta được điện thế do đĩa gây ra tại tâm O, ta được kết quả
cần tìm:
Kết quả:

σ
2ξ 0ξ
σR
b. VO =
2ξ 0ξ

a. V =

(

R2 + h2 − h

)

8.14 Hai mặt phẳng song song rộng vô hạn tích điện đều với mật độ bằng
nhau nhưng trái dấu, khoảng cách giữa hai mặt phẳng là 5mm. Cường độ
điện trường giữa chúng là 104 V/m. Tính:
a. Hiệu điện thế giữa hai mặt phẳng đó.
b. Mật độ điện mặt của chúng.
Hướng dẫn
a. Từ công thức tính công:
A = qEd = q(VA – VB)
Suy ra công thức tính hiệu điện thế giữa hai mặt
phẳng:
UAB = Ed
b. Cường độ điện trường giữa hai mặt phẳng mang
điện là đều và được xác định từ công thức:
B

σ
ξ 0ξ
σ = ξ 0ξE
E=

suy ra
Kết quả:

VA

d

Hình 8-14

σ = 9.10-8C/m2

71

VB


8.15 Một điện tích điểm q đặt tại tâm O của hai đường tròn đồng tâm bán
kính lần lượt là r và R.
a. Tính công của lực điện trường khi dịch
chuyển một điện tích q0 đi từ:
- B đến A và từ C đến D.
O
C D
A
B
- B đến C và từ A đến D.
q
b. So sánh công của lực điện trường khi
dịch chuyển một điện tích q0 đi từ: A đến
C và từ D đến C.
Hình 8-15

Hướng dẫn

a. Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q0 đi từ:
- B đến A và từ C đến D.
Áp dụng công thức tính công:
A = q0(V1 – V2)
Ta có:
O
C
A
B
ABA = q0(VB – VA)
q
Và:
ACD = q0(VC – VD)
nhưng VB = VC và VA = VD nên ABA = ACD
- B đến C và từ A đến D.
Ta có:
ABC = q0(VB – VC)
Và:
AAD = q0(VA – VD)
nhưng VB = VC và VA = VD nên ABA = ACD = 0
b. Ta cũng có:
AAC = q0(VA – VC)
Và:
ADC = q0(VD – VC)
Do VA = VD nên AAC = ADC
Kết quả:
a.
ABA = ACD = 0
b.
AAC = ADC

B

B

72

D