Bất đẳng thức trong tích chập và ứng dụng

MỤC LỤC
Lời mở đầu............................................................................................................. 2
Lời cảm ơn ............................................................................................................. 4
Ký hiệu dùng trong luận văn ................................................................................ 5
Chương 1 Một số kết quả bổ trợ ............................................................................. 7
1.1 Các tích chập dùng trong luận văn .................................................................. 7
1.2 Một số mệnh đề và định lý ............................................................................. 8
Chương 2 Bất đẳng thức ngược cho tích chập ....................................................... 16
2.1 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace .................................................. 16
2.2 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine ........................................ 18
Chương 3 Tính ổn định nguồn nhiệt của bài toán truyền nhiệt ngược ................... 24
3.1 Bài toán truyền nhiệt ngược một chiều với nguồn nhiệt không tách biến ...... 24
3.2 Bài toán truyền nhiệt ngược nhiều chiều với nguồn nhiệt tách biến .............. 28
Chương 4 Phục hồi hệ số của bài toán truyền nhiệt ngược .................................... 33
4.1 Giới thiệu bài toán và một số lưu ý ............................................................... 33
4.2 Cách tìm các giá trị riêng .............................................................................. 38
4.3 Phương pháp điểm tới hạn ............................................................................ 41
4.4 Khôi phục các giá trị riêng thiếu ................................................................... 45
4.5 Thuật toán và tính duy nhất .......................................................................... 48
Kết luận ................................................................................................................ 51
Tài liệu tham khảo ............................................................................................... 52

1


LỜI MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phép biến đổi tích phân là một trong các hướng phát triển sớm nhất,
một trong những trụ cột của giải tích toán học. Các phép biến đổi tích phân ra đời
rất sớm và có vai trò quan trọng có thể kể đến như phép biến đổi Fourier, cosine

Fourier, sine Fourier, Laplace, Mellin,… lý thuyết tích chập của các phép biến đổi
tích phân bắt đầu được nghiên cứu từ khoảng thế kỷ 19 và có nhiều ứng dụng trong
tính toán tích phân, tính tổng của chuỗi, các bài toán Vật lý-Toán, xử lý ảnh,…
Do những ưu điểm của tích chập trong việc giải các bài toán phương trình vi
phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,… việc giải các bài toán
đó thường nhận được nghiệm dưới dạng tích chập, nên xây dựng các bất dẳng thức
tích chập, bất dẳng thức tích chập ngược để thuận tiện cho việc đánh giá nghiệm,
tính ổn định của bài toán ngược là một hướng nghiên cứu lôi cuốn nhiều nhà toán
học quan tâm như Saitoh S, Vũ Kim Tuấn, Nguyễn Xuân Thảo, Đinh Thanh Đức,…
Tuy nhiên, cho đến nay mới chỉ nhận được rất ít các bất đẳng thức ngược cho tích
chập, chẳng hạn bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier, tích chập Laplace.
Vì vậy, từ một công trình gần đây nghiên cứu về bài toán truyền nhiệt ngược
bằng phương pháp sử dụng bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace (xem [31]),
em đã chọn đề tài “ Bất đẳng thức trong tích chập và ứng dụng” làm luận văn tốt
nghiệp của mình.
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu về bất đẳng thức ngược cho tích chập
Laplace và thiết lập bất đẳng thức ngược mới cho tích chập Fourier cosine, sau đó
ứng dụng các kết quả trên vào việc đánh giá tính ổn định của bài toán truyền nhiệt
ngược. Cụ thể, chúng ta xét phương trình truyền nhiệt

2


u t  u xx  f (x, t),

0  x  , t  0,

và đánh giá sự ổn định của nguồn nhiệt f(x, t) không âm từ các quan sát u(x, t0) với

0<t 0 =const  T+ , T>0,  >0, 0< T.
Ngoài ra, em cũng tìm hiểu về một phương pháp để phục hồi hệ số của phương
trình truyền nhiệt một chiều từ một tập hữu hạn các phép đo.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận văn này, em sử dụng các phương pháp giải tích hàm, kĩ thuật phép
biến đổi tích phân, kĩ thuật đánh giá tích phân trong các không gian hàm Lp và một
số bất đẳng thức đã biết như bất đẳng thức Holder ngược để nghiên cứu về bất đẳng
thức ngược cho tích chập của các phép biến đổi tích phân, sau đó ứng dụng các kết
quả trên vào việc đánh giá tính ổn định của bài toán truyền nhiệt ngược. Ngoài ra
còn có sự kết hợp với một số kết quả đã biết như định lý quang phổ ngược GelfandLevitan-Gasymov của toán tử Sturm-Liouville để phục hồi hệ số của phương trình
truyền nhiệt một chiều.
4. Ý nghĩa các kết quả của luận văn
Luận văn nghiên cứu một số bất đẳng thức ngược cho tích chập và ứng dụng của
chúng vào bài toán truyền nhiệt ngược. Các kết quả của luận văn góp phần làm
phong phú thêm về lý thuyết các bất đẳng thức tích chập và bài toán truyền nhiệt
ngược. Các kết quả này đã được báo cáo tại Seminar Giải tích, trường Đại học Bách
Khoa Hà Nội.

3


LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo đã
nhiệt tình chỉ bảo và giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện luận văn. Em xin
chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Viện Toán ứng dụng và Tin học đã dạy bảo
truyền đạt kiến thức trong suốt những năm học qua để em có thể hoàn thành luận
văn này. Em cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô, anh chị và các bạn
trong Seminar Giải tích, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội và tập thể lớp

CH2012B Toán Tin đã tạo một môi trường học tập thuận lợi giúp em hoàn thành
luận văn này.
Luận văn này của em còn nhiều thiếu sót. Em mong nhận được sự góp ý của thầy
cô và các bạn. Em xin chân thành cảm ơn.

Bùi Minh Khôi
Hà Nội, tháng 09 năm 2014

4


Ký hiệu dùng trong luận văn



R   { x  R, x > 0 }.



Lp (A) , 0  p   là tập hợp các hàm số f(x) xác định trên A, A  R sao
cho
p

 |f(x)| dx   .
A

1/ p




|| f (x) ||Lp (A)    |f(x)|p dx 
A





Lp (A,  ) , 0  p   là tập hợp các hàm số f(x) xác định trên A, A  R , 
là một hàm trọng dương, sao cho
p

 |f(x)|  (x)dx   .
A

1/ p






|| f (x) ||Lp (A,  )    |f(x)|p  (x)dx  .
A


L p (A  B) , 0  p   là tập hợp các hàm số f(x, t) xác định trên A×B,
A,B  R  , sao cho
p

  |f(x, t)| dxdt   .

BA

1/ p





|| f (x, t) ||Lp (A B)     |f(x, t)|p dxdt 
BA


5

.




(f  g) (xem trang 7 ) là tích chập của 2 hàm f, g đối với phép biến đổi
Fourier.



(f  g) (xem trang 7 ) là tích chập của 2 hàm f, g đối với phép biến đổi
Fc

Fourier cosine.


(f  g) (xem trang 7 ) là tích chập của 2 hàm f, g đối với phép biến đổi
L

Laplace.

6


Chương 1 Một số kết quả bổ trợ

1.1 Các tích chập dùng trong luận văn
Chúng ta dẫn ra dưới đây các tích chập sử dụng trong luận văn này. Trước hết, ta
có tích chập Fourier được định nghĩa trong [32]:


(1.1.1)

(f  g)(x) 

 f (y)g(x  y)dy, x  R,


thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

F(f  g)(y)  2 (Ff )(y)(Fg)(y), y  R, f ,g  L1 (R),
với phép biến đổi Fourier

1
(Ff )(y) 
2



e

 ixy

f (x)dx,



tích chập Fourier cosine được định nghĩa trong [32]:

(1.1.2)

1
(f  g)(x) 
Fc
2



 f (y){g(x+y)+g(| x  y |)}dy, x  R  ,
0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
(1.1.3)

Fc (f  g)(y)  (Fcf )(y)(Fc g)(y), y  R  , f ,g  L1(R  ),
Fc

với phép biến đổi Fourier cosine

(1.1.4)

2
(Fcf )(y) 




 f (x)cos(xy)dx,
0

cuối cùng, ta có tích chập Laplace được định nghĩa trong [32]:
7


x

(f  g)(x)   f (t)g(x  t)dt, x  0,

(1.1.5)

L

0

thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

L(f  g)(p)  (Lf )(p)(Lg)(p), p  , Re p   ,
L

với phép biến đổi Laplace


(Lf )(p) 

e

 xp

f (x)dx.

0

1.2 Một số mệnh đề và định lý
Đối với tích chập Fourier (1.1.1) ta đã có bất đẳng thức Young
(1.2.1)

|| f  g ||r  || f ||p || g ||q , f  L p (R),g  Lq (R),
r 1  p 1  q 1  1

(p, q, r >0)

Tuy nhiên, đối với trường hợp điển hình khi f, g L2(R), bất đẳng thức trên không
đúng. Trong các tài liệu [26]-[29] (xem thêm [12]) chúng ta nhận được một bất
đẳng thức trong không gian Lp (p>1) có trọng cho tích chập trên.
Mệnh đề 1.2.1 ([29]) Cho hai hàm không triệt tiêu  j  L1 (R) (j=1, 2), ta có bất
đẳng thức tích chập sau:

(1.2.2)

((F11 )  (F2  2 ))( 1   2 )1/ p1  || F1 ||Lp (R ,|1|) || F2 ||Lp (R ,|2 |)
p

với mọi Fj  L p (R,|  j |) (j=1, 2). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
(1.2.3)

Fj  C je x ,

8


trong đó  là một hằng số sao cho e x  L p (R,|  j |) (j=1, 2) (ngược lại, C1 hoặc
C2=0). Ở đây
1/ p

 

|| F ||Lp (R,| |)    | F(x) |p |  (x) | dx 
 

Chứng minh:

Sử dụng bất đẳng thức Holder (với 1/p+1/q=1) và định lý Fubini ta có:


| (F11 )  (F2  2 ) |

 (F  )(x  t)(F  )(t)dt

1 1

2

2







 | (F  )(x  t)(F  )(t) | dt
1 1

2

2







1/ p
1

 | F (x  t) 
1

(x  t)F2 (t)  21/ p (t) || ( 1 (x  t)  2 (t))1/ q | dt



1/ p

  p

   | F1 (x  t) 1 (x  t)F2 p (t)  2 (t) | dt 
 


1/ q

 

  | 1 (x  t)  2 (t) | dt 
 


Suy ra
1/ p

  p

| ((F1 1 )  (F2  2 ))( 1   2 )
|   | F1 (x  t) 1 (x  t)F2 p (t) 2 (t) | dt   1
 


 


1/ p 1 p
((F11 )  (F2  2 ))( 1   2 )
    | F1p (x  t) 1 (x  t)F2p (t)  2 (t) | dt dx
L p (R )
  

1/ p 1



  p

    | F1 (x  t) 1 (x  t) | dx  | F2p (t)  2 (t) | dt
  


9




  p

    | F1 (u) 1 (u) | du  | F2p (t)  2 (t) | dt
  

 || F1 ||Lp p (R ,|1|) || F2 ||Lp p (R ,|2|)

Vậy ((F11 )  (F2  2 ))( 1   2 )1/ p1

p



 || F1 ||Lp (R ,|1|) || F2 ||Lp (R ,|2 |) .

Không như bất đẳng thức Young, bất đẳng thức (1.2.2) vẫn đúng trong trường
hợp p=2.
Với những tích chập khác, chúng ta nhận được các bất đẳng thức tích chập có
dạng tương tự (1.2.2), xem [33] để biết thêm các tích chập khác. Tuy nhiên, để xác
định trường hợp xảy ra đẳng thức như trong (1.2.2) thì cần lập luận rất tinh tế. Xem
[12] để biết thêm chi tiết.
Ngoài ra, ta thường xét trường hợp
(1.2.4)

 2 (x)  1, F2 (x)  G(x),

Trong đó G(x   ) là hàm Green nào đó. Khi đó bất đẳng thức (1.2.2) có dạng
(1.2.5)

|| (F )  G ||p  ||  ||111/ p || G ||p || F ||Lp (R ,| |) ,

ở đây  , F và G là các hàm sao cho vế phải của (1.2.5) là hữu hạn.
Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Holder (với 1/p+1/q=1) và định lý Fubini ta có:


| (F )  G |

 | (F )(t)G(x  t) | dt



1/ p

  p

   | F (t)  (t)G p (x  t) | dt 
 


10

1/ q

 

  |  (t) | dt 
 



1/ p

  p

   | F (t)  (t)G p (x  t) | dt 
 


||  ||1/L1q(R )

Suy ra

p
L p (R )

|| (F )  G ||

p/q
L1 (R )

 ||  ||

  p

p
|
F
(t)

(t)G
(x

t)
|
dt

dx

  



  p
 p
|
G
(x

t)
|
dx
 | F (t)  (t) | dt
  


p/q
L1 (R )

 ||  ||

q
p
p
 ||  ||pL1/ (R
) || G ||L p (R ) || F ||Lp (R ,|  |) .



Bất đẳng thức (1.2.5) cho phép chúng ta đánh giá hàm output


(1.2.6)

 F( )  ( )G(x   )d



dựa vào hàm input F trong phương trình vi phân tương ứng. Để biết một vài ứng
dụng xem [29]. Chúng ta cũng có dạng ngược của bất đẳng thức (1.2.5), cụ thể là,
chúng ta có thể đánh giá hàm input F dựa vào hàm output (1.2.6). Kiểu đánh giá này
có vai trò quan trọng trong các bài toán ngược. Một đánh giá nhận được bởi sử dụng
bất đẳng thức Holder ngược nổi tiếng sau đây:
Mệnh đề 1.2.2 ([34]) Cho hai hàm dương f và g thỏa mãn

0m

(1.2.7)

f
M
g

trên tập X, và với p, q>1, 1/p+1/q=1,
1/ p

(1.2.8)




fd



X


1/ q



gd



X


m
 A p,q    f 1/ pg1/ q d ,
 M X

11


nếu tích phân bên vế phải tồn tại. Ở đây

A p,q (t)  p 1/ p q 1/ q

t 1/ pq (1  t)
.
(1  t1/ p )1/ p (1  t1/ q )1/ q

Do đó, tương tự như chứng minh mệnh đề 1.2.1, sử dụng mệnh đề 1.2.2 chúng ta
nhận được:
Mệnh đề 1.2.3 ([30]). Cho F1 và F2 là hai hàm dương thỏa mãn
p
(1.2.9) 0  m1/
 F1 (x)  M1/1 p   , 0  m1/2 p  F2 (x)  M1/2 p   , p>1, x R.
1

Khi đó với bất kì các hàm dương 1 và 2 , chúng ta có bất đẳng thức tích chập
ngược :
(1.2.10)
1


 m1m 2  
1/ p 1
 A p,q 
  || F1 ||Lp (R, 1 ) || F2 ||Lp (R,2 )  ((F11 )  (F2 2 ))( 1  2 )

 M1M 2  

p

Bất đẳng thức (1.2.10) và các dạng khác nên hiểu theo nghĩa là nếu vế phải hữu
hạn thì vế trái cũng vậy, và trong trường hợp này bất đẳng thức xảy ra.
Trong công thức (1.2.10) thay 2 bởi 1, F2 (x   ) bởi G(x   ) , và lấy tích

phân theo x từ c tới d chúng ta thu được bất đẳng thức sau:
(1.2.11)
p




 m  
A
 p,q       ( )d 
 M    



p 1 

d 

p

 

F
(

)

(

)d


G
(x)dx


c
c   F( )  ( )G(x   )d  dx
p

d

p

nếu các hàm liên tục, dương  , F và G thỏa mãn
(1.2.12)

0  m1/ p  F( )G(x   )  M1/ p ,

12

x  [c,d],   R.


Bất đẳng thức (1.2.11) đặc biệt quan trọng khi G(x   ) là một hàm green.
Chúng ta đã có các ứng dụng cụ thể trong [30] về sự ổn định trong bài toán ngược.
Liên hệ với mệnh đề 1.2.2, Izumino và Tominaga [19] xét cận trên của
p 1/ p
k

q 1/ q

k

 a   b 

   a kbk
n

n

với  >0; p, q >1 thỏa mãn 1/p+1/q=1 và với hai dãy số dương a k k 1 , bk k 1 .
Trong cách tiếp cận khác của mình, họ chỉ ra hằng số A p,q (t) trong mệnh đề 1.2.2
là tốt nhất có thể. Lưu ý rằng chứng minh của mệnh đề 1.2.2 khá phức tạp. Liên hệ
với mệnh đề 1.2.2 chúng ta chú ý rằng định lý sau có chứng minh khá đơn giản.
Định lý 1.2.1. ([31]) Trong mệnh đề 1.2.2, thay f, g bởi f p và gq tương ứng, chúng
ta thu được bất đẳng thức kiểu Holder ngược
1/ p

(1.2.13)

 p 
  f d 
X


1/ q

 q 
  g d 
X


m
 
M

1/ pq

 fgd

X

Chứng minh:
Vì f p / g q  M,g  M 1/ q f p / q nên fg  M 1/ q f 1 p / q  M 1/ q f p
Suy ra,
(1.2.14)



p
 f d

1/ p



 M1/ pq



1/ p

 fgd



Mặt khác, vì m  f p / g q ,f  m1/ p g q / p nên
1/ p 1q / p

 fgd   m

g

Suy ra

13

d  m1/ p  gq d




1/ q

 fgd



 m1/ pq



q
 g d

1/ q



.

Kết hợp với (1.2.14), chúng ta có bất đẳng thức cần chứng minh
1/ p

1/ q

 f d  g d
p

q

1/ pq

M

1/ p

 fgd

m

1/ pq

1/ q

 fgd

m
 
M

1/ pq

 fgd.

Nhận xét 1.2.1 Trong một cuộc liên lạc cá nhân, giáo sư Lars-Erik Persson đã chỉ ra
kết quả thú vị sau đây

A p,q (t)  t 1/ pq

(LEP)

điều này cho thấy định lý 1.2.1 có thể suy ra trực tiếp từ mệnh đề 1.2.2. Chứng
minh của kết quả này như sau:
Bằng cách sử dụng một đánh giá hiển nhiên và bất đẳng thức Holder ta có
1

1  t  1dt
t

1

2

2

2

  u1/ p u1/ q u1/ p1/ p u1/ q 1/ q

2

t

1
2

= u1/ p u1/ q


t

2

du
u

du
u
1/ p

1/ q

 1 1/ p du   1 1/ q du 
u
 u

u
u 
t
 t
1/ p

  p(1  t1/ p ) 

1/ q

 q(1  t1/ q ) 

từ đó suy ra (LEP).

14

,


Nội dung của chương này dựa vào một phần của các tài liệu [29, 30, 31, 32, 34],
đây là các kiến thức cần để sử dụng trong các chương sau.

15

Chương 2 Bất đẳng thức ngược cho tích chập

Trong chương này, chúng ta tìm hiểu về bất đẳng thức ngược cho tích chập
Laplace và thiết lập bất đẳng thức ngược mới cho tích chập Fourier cosine.
2.1 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace
Xét bất đẳng thức tích chập ngược (1.2.10), bất đẳng thức dạng tương tự thu
được khi m1=m2=0 có vai trò quan trọng như chúng ta thấy ở phần 3.2. Vì vậy,
chúng ta nhận được bất đẳng thức tích chập ngược sau đây.
Định lý 2.1.1 ([31]) Cho p  1,   0,0    T, và f ,g  L  (0,T   ) thỏa mãn
(2.1.1)

0  f ,g  M  ,

0  t  T  .

Khi đó
1/ p

(2.1.2)

 T   t
 
(2p  2) / p
|| f ||Lp ( ,T) || g ||Lp (0, )  M
    f (s)g(t  s)ds dt 
 
  

Đặc biệt, với
t

(f  g)(t)   f (t  s)g(s)ds,

0 t  T

0

và  =0, ta có

|| f ||Lp (0,T ) || g ||Lp (0, )  M (2p2) / p || f  g ||1/L1p(0,T  ) .
Chứng minh:
Từ 0  f ,g  M với 0  t  T ta có

16

.


t

(2.1.3)

t

f



p

p

(s)g (t  s)ds   f p1 (s)g p 1 (t  s)f (s)g(t  s)ds


t

M

2p  2

 f (s)g(t  s)ds .



Do đó
T 





T  t
t p



p
2p  2
f

(s)g
(t

s)ds
dt

M
f
(s)g(t

s)ds



dt.



 


Mặt khác, ta có
T 





T  T 
t p



 p
p
p
  f (s)g (t  s)ds dt     g (t  s)dt f (s)ds


  s


T 







 T s p
 p
  g ( )d f (s)ds
 0


 T  s p

    g ( )d f p (s)ds
 0


T

 p

    g ( )d f p (s)ds
0

T

|| f ||pLp ( ,T ) || g ||Lp p (0, ) .
Suy ra
1/ p

 T   t
 
(2p  2) / p
|| f ||Lp ( ,T) || g ||Lp (0, )  M
    f (s)g(t  s)ds dt 
 
  

.



Định lý 2.1.1 được chứng minh.
17


2.2 Bất đẳng thức ngược cho tích chập Fourier cosine

Ở mục này, chúng ta xây dựng bất đẳng thức ngược mới cho tích chập Fourier
cosine với các hàm f, g thuộc không gian hai chiều.
Định lý 2.2.1 Cho p >1,   0 , T >0 và f ,g  L1 (D)  L p (D), thỏa mãn

0  f ,g  M  , với (x,t)  D , D  {(x,t): 0  x  ,0  t  T   } . Khi đó ta
có :
1/ p

|| f (x, t) ||Lp  R   (0,T)  || g(x, t) ||Lp  R   (0, )   M (2p2) / p u(x, t) L  R  (0,T  ) 
1 
trong đó
t

u(x, t)  2   f ( ,  )  g( , t   )  (x)d .
Fc


0
Chứng minh:
Từ 0  f ,g  M  , với 0  x  , 0  t  T   và công thức (1.1.2) ta có :
t 

f

p

( ,  )g p (| x   |, t   )d d

0 0
t 



f

p1

( ,  )g p1 (| x   |, t   )f ( ,  )g(| x   |, t   )d d

0 0
t 

M

2p2

  f ( , )g(| x   |, t   )d d
0 0
t 

M

2p2

  f ( , ){g(x   , t   )  g(| x   |, t   )}d d
0 0

18

t

M

2   f ( , )  g( , t   )  (x)d
Fc


0

2p2

 M 2p2 u(x, t) .
Do đó
(2.2.1)
T  

 
0

0

T  
 t  p

p
2p  2
   f ( , )g (| x   |, t   )d d  dxdt  M
  u(x, t) dxdt
0 0

0 0


Mặt khác, áp dụng định lý Fubini và đổi biến tích phân ta có:
T  

(2.2.2)

 
0

0

 t  p

p
   f ( ,  )g (| x   |, t   )d d  dxdt
0 0

 T  T  



   f
0



0

    
0

0





0

 T   



   
0





0

 T   

   
0



0

0



 T  

   
0 0 0

T  

 

0


0

( ,  )g p (| x   |, t   )d dtd dx

0

 T    T 



p

0


f ( , )g (| x   |, t   )dtd  d dx


p

p

 T  p
 
f ( ,  )   g (| x   |, t   )dt  d  d dx

 
 
 
p

 T   p
 
f ( ,  )   g (| x   |, y)dy  d  d dx

 
 0
 
p

 p

 
f ( ,  )   g (| x   |, y)dy  d  d dx

 
0
 
p

   p
 
f ( ,  )    g (| x   |, y)dxdy  d  d

 
0 0
 
p

19


T  

   p
 
f ( ,  )    g (x   , y)dxdy  d  d

 
0 
 
p

  

0 0
T  
   p
 
p
    f ( ,  )    g (z, y)dzdy  d  d

 

0 0
0 0
 
 

T 



f

p

( ,  )d d 

0 0

g

p

(z, y)dzdy .

0 0

Từ (2.2.1), (2.2.2) ta có
 

T 

f

p

( ,  )d d 

0 0

T  

g

p

(z, y)dzdy  M

0 0

2p 2

  u(x, t)dxdt .
0

0

Vậy

|| f ||L p  R   (0,T) || g ||Lp  R   (0, )   M (2p2) / p u(x, t)

1/ p
L1 R   (0,T  ) 

.



Định lý được chứng minh xong.
Nhận xét 2.2.1 Với 0  t  t 0  T   cố định,
t0

u(x, t 0 )  2   f ( ,  )  g( , t 0   )  (x)d ,
Fc


0
và nếu g( , t 0   )  g( , t 0   0 ) với 0     ,   const,  minh của định lý 2.2.1 ta có:

|| f ||L p  (0,X) (0,  ) || g(x, t 0  0 ) ||Lp (0, )  M (2p 2) / p u(x, t 0 )

1/ p
L1 (0,X  )

.

Thật vậy, vì 0  f ,g  M   với 0  x  , 0  t  T   và công thức (1.1.2),
suy ra

20


t 0 

f

p

( , )g p (| x   |, t 0   )d d  M 2p2 u(x, t 0 ) .

0 0

Do đó
X 

(2.2.3)


0

X 
 t 0  p

p
2p 2
   f ( , )g (| x   |, t 0   )d d  dx  M
 u(x, t 0 )dx ,


0
0 0


với X  0,   0 . Mặt khác, sử dụng định lý Fubini, đổi biến tích phân và do

g( , t 0   )  g( , t 0   0 ) với 0     ,   const,  X 

(2.2.4)


0

 t0  p

   f ( ,  )g p (| x   |, t 0   )d d  dx


0 0


t 0  X 



 

0 0

f p ( ,  )g p (| x   |, t 0   )dxd d

0

t 0 X X 





f p ( ,  )g p (x   , t 0   )dxd d

0 0 
t 0 X X  





0 0

0

f p ( ,  )g p (z, t 0   )dzd d

 X

    f p ( ,  )g p (z, t 0   )dzd d
0 00

 X

    f p ( ,  )g p (z, t 0  0 )dzd d
0 00

X


p

   f ( ,  )d d  g p (z, t 0  0 )dz .
0 0

0

21


Từ (2.2.3), (2.2.4), chúng ta nhận được

|| f ||L p  (0,X) (0,  ) || g(x, t 0  0 ) ||Lp (0, )  M (2p 2) / p u(x, t 0 )

1/ p
L1 (0,X  )

.

Nhận xét 2.2.2 Với x  x 0  0 cố định,
t 

u(x 0 , t)  

 f ( , ){g(x 0   , t   )  g(| x 0   |, t   )}d d ,

0 0

và nếu g(x 0   ,  )  g(x 0   0 ,  ) với 0     ,   const, tương tự chứng minh
của định lý 2.2.1 ta có:

|| f ||Lp  (0, ) (0,T)  || g(x 0   0 , t) ||Lp (0, )  M (2p 2) / p u(x 0 , t)

1/ p
L1 (0,T  )

.

Thật vậy, vì 0  f ,g  M   với 0  x  , 0  t  T   , suy ra
t 

f

p

( ,  )g p (x 0   , t   )d d  M 2p2 u(x 0 , t) .

0 0

Do đó
T 

(2.2.5)


0

T 
 t  p

p
2p2
   f ( ,  )g (x 0   , t   )d d  dt  M
 u(x 0 , t)dt .
0 0

0

Mặt khác, sử dụng định lý Fubini, đổi biến tích phân và do g(x 0   ,  ) 

g(x 0   0 ,  ) với 0     ,   const, ta có:
T 

(2.2.6)


0

 t  p

p
f
(

,

)g
(x


,
t


)d

d

  
 dt
0
0 0


T 




0

  T p

p
   f ( ,  )g (x 0   , t   )dtd  d


0 

22


T   



  
0



0

T   



  
0



T  

 

0


0

T

0

 T  p
 
f ( ,  )   g (x 0   , t   )dt  d  d
 
 

 
p

 T   p
 
f ( ,  )   g (x 0   , y)dy  d  d

 
 0
 
p

 p
 
f ( ,  )   g (x 0   , y)dy  d  d

 
0
 
p

 p
 
    f ( ,  )   g (x 0   , y)dy  d  d

 

0 0
0
 
p

T

 p
 
    f ( , )   g (x 0   0 , y)dy  d  d

 

0 0
0
 
p

T


p

   f ( ,  )d d  g p (x 0   0 , y)dy .
00

0

Từ (2.2.5), (2.2.6), chúng ta nhận được

|| f ||Lp  (0, ) (0,T)  || g(x 0   0 , t) ||Lp (0, )  M (2p 2) / p u(x 0 , t)

1/ p
L1 (0,T  )

.

Trong bất đẳng thức ngược cho tích chập Laplace ở Định lý 2.1.1, các hàm f, g
được xét trong không gian một chiều. Còn trong Định lý 2.2.1, bất đẳng thức ngược
chúng ta xây dựng là cho tích chập Fourier cosine có nhân phức tạp hơn ( xem
(1.1.2), (1.1.5) ) với các hàm f, g thuộc không gian hai chiều. Nội dung của chương
này dựa vào một phần của tài liệu [31], ngoài ra có một số kết quả mới (Định lý
2.2.1).

23


Chương 3 Tính ổn định nguồn nhiệt của bài toán truyền
nhiệt ngược

Các bài toán ngược được phát triển mạnh và thu hút sự quan tâm của nhiều nhà
toán học trong các thập kỷ gần đây. Chẳng hạn như bài toán ngược cho phương
trình đạo hàm riêng [6, 18, 25, 26, 29], bài toán ngược cho phương trình truyền
nhiệt [8, 10, 30, 31], …Trong chương này, áp dụng các bất đẳng thức ngược cho
tích chập (Định lý 2.1.1, định lý 2.2.1) chúng ta đánh giá được tính ổn định nguồn
nhiệt của bài toán truyền nhiệt ngược theo không gian hoặc thời gian.
3.1 Bài toán truyền nhiệt ngược một chiều với nguồn nhiệt không tách biến
Xét phương trình truyền nhiệt
(3.1.1)

u t  u xx  f (x, t),

0  x  , t  0,

với điều kiện biên
(3.1.2)

u x (0, t)  0, t  0,

(3.1.3)

u x (x, t)  0 khi x  ,

(3.1.4)

u(x, t)  0 khi x  ,

và điều kiện ban đầu
(3.1.5)

u(x, 0)= 0,

trong đó f  L1 (D)  L p (D) ; 0  f  M   , với mọi (x,t)  D và M là hằng số,

D  { (x,t): 0  x  ,0  t  T   } ,   0 , T >0, p>1.

24


Vấn đề của chúng ta là đánh giá sự ổn định của nguồn nhiệt không tách biến f(x,
t) từ các quan sát u(x, t0) với 0<t 0 =const  T+ , T>0,  >0, 0u(x0, t) với 0< x0=const, 0< t< T.
Định lý 3.1.1 Chúng ta xét phương trình truyền nhiệt (3.1.1) với điều kiện biên
(3.1.2) - (3.1.4) và điều kiện ban đầu (3.1.5) trong đó f  L1 (D)  L p (D) ;

0  f  M   , với mọi (x,t)  D và M là hằng số, D  {(x,t): 0  x  ,0 

t  T+ } ,   0 , T >0, p>1.
Khi đó chúng ta có :
a. Với 0<t 0 =const  T+ , T>0,  >0, 0sự ổn định của hàm f(x, t) từ một số quan sát u(x, t0) :

|| f ||

1/ p



L p (0,X) (0,t 0  2 / 2)

 C u(x, t 0 ) L  0,X 
1
 1

trong đó C1 là hằng số.
b. Với 0của hàm f(x, t) từ một số quan sát u(x0, t) :
1/ p

|| f ||L p  (0, ) (0,T)   C2 u(x 0 , t) L  0,T  
1
trong đó C2 là hằng số.
Chứng minh :
Xem t là tham số, tác động phép biến đổi Fourier cosine vào hai vế của (3.1.1) ta
có:
(3.1.6)

d
(Fc u(x, t))(y)   y 2 (Fcu(x, t))(y)  (Fcf (x, t))(y)
dt

với điều kiện (Fc u(x,0))(y)  0 .
25