Các dạng toán về tích phân và ứng dụng 12

WWW.ToanCapBa.Net
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
§ 1.NGUYÊN HÀM
1) Khái niệm nguyên hà m và tích phân bất định.
 F’(x) = f(x) thì ta gọi F(x) là nguyên hàm của f(x)
 Tập hợp các nguyên hàm của f(x) gọi là tích phân bất định của f(x) và ký
hiệu là:
= +
ò
( ) ( )f x dx F x C
2) Bảng các nguyên hàm cơ bản:
Nguyên hàm của hàm cơ
bản
Nguyên hàm của các hàm hợp
= +
ò
dx x C
kdx kx C= +
ò
1
( 1)
1
a
a
a
a
+
= + ¹ -
+
ò
x

x dx C
1
( )
( ) ( 1)
( 1)
ax b
ax b dx C
a
a
a
a
a
+
+
+ = + ¹ -
+
ò
ln= +
ò
dx
x C
x
1
ln
dx
ax b C
ax b a
= + +
+
ò

2
1
=- +
ò
dx
C
x
x
2
1
( )( )
dx
C
a ax bax b
=- +
++
ò
2= +
ò
dx
x C
x
2
= + +
+
ò
dx
ax b C
a
ax b

= +
ò
x x
e dx e C
1
+ +
= +
ò
ax b ax b
e dx e C
a
(0 1)
ln
x
x
a
a dx C a
a
= + < ¹
ò
(0 1)
ln
+
+
= + < ¹
ò
px q
px q
a
a dx C a

p a
cos sin= +
ò
xdx x C
1
cos( ) sin( )+ = + +
ò
ax b dx ax b C
a
sin cos=- +
ò
xdx x C
1
sin( ) cos( )+ =- + +
ò
ax b dx ax b C
a
2
tan
cos
= +
ò
dx
x C
x
2
1
tan( )
cos ( )
= + +

+
ò
dx
ax b C
a
ax b
2
cot
sin
=- +
ò
dx
x C
x
2
1
cot( )
sin ( )
=- + +
+
ò
dx
ax b C
a
ax b
3) Các tính chất cơ bản:
+
( )
( ) ' ( )=
ò

f x dx f x

+
( ) ( )=
ò ò
af x dx a f x dx
+
[ ( ) ( )] ( ) ( )± = ±
ò ò ò
f x g x dx f x dx g x dx
+
( ) ( ) ( ) ( )= + Þ = +
ò ò
f t dt F t C f u du F u C
WWW.ToanCapBa.Net 1
WWW.ToanCapBa.Net
4) Các phương pháp tìm nguyên hàm:
1- Phương pháp đổi biến:
[ ]
( ) ( ) '( )=
ò ò
f x dx g u x u x dx
Đặt
( ) '( )= Þ =u u x du u x dx
( ) ( ) ( )Þ = = +
ò ò
f x dx g u du G u C
2- Phương pháp nguyên hàm từng phần:
( ) ( ). '( )=
ò ò

f x dx u x v x dx
Đặt
( ) '( )
'( ) ( )
u u x du u x dx
dv v x dx v v x
ì ì
= =
ï ï
ï ï
Þ
í í
ï ï
= =
ï ï
î î
( ) ( ). ( ) ( ). '( )Þ = -
ò ò
f x dx u x v x v x u x dx
Lưu ý: +
( ). '( )
ò
v x u x dx
đơn giản hơn
( ). '( )
ò
u x v x dx
+ Nếu
( ). '( )
ò

v x u x dx
vẫn còn dạng nguyên hàm từng phần thì tiếp
tục thao tác trên như sau:
1
1
'( )
( )
u u x
dv v x dx
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
 BÀI TẬP
Dạng 1: Dạng cơ bản
Tìm các nguyên hàm của các hàm số sau:
a/.
4 2
( - 3 1)+ +
ò
x x x dx
b/.
3
2
( -3 )x x dx

x
+
ò
c/.
2011
(2 1)+
ò
x dx
d/.
3 1
dx
x +
ò
e/.
2 5
dx
x-
ò
f/.
2
(3 2 )
dx
x-
ò
g/.
3
(2 )+
ò
x x dx
h/.

3
1+ +
ò
x x
dx
x
i/.
(2sin 3cos ) x x dx+
ò
j/.
cos3
ò
xdx
k/.
sin(2 )
3
p
+
ò
x dx
l/.
2
2
(3sin )
cos
x dx
x
-
ò
m/.

-
2
(2 )
sin
x
x
e
e dx
x
+
ò
; n/.
2
cos ( 2 )
2
dx
x-
ò
p
; p/.
3 2-
ò
x
e dx
; q/.
2 1-
ò
x
x
dx

e
Dạng 2: Biến đổi về dạng cơ bản
Bài 1: Tính :
a/.
2 3
1
-
+
ò
x
dx
x
b/.
2
2 4 5
2
- +
-
ò
x x
dx
x
c/.
3
2+
ò
x
dx
x
d/.

2 2
2
( 1)+
ò
x
dx
x
e/.
(1 )(1 2 )+ -
ò
dx
x x
f/.
2
4-
ò
dx
x
g/.
2
3 2- +
ò
dx
x x
h/.
( )
2 2
-
dx
x a

x a
≠ ±
∫
i/.
( - )( )
dx
a x x
α β
−
∫
Bài 2: Tính :
a/.
sin 3 cos5
ò
x xdx
; b/.
sin sin 3
ò
x xdx
; c/.
2
sin
2
ò
x
dx
; d/.
4
sin
ò

xdx
e/.
2
tan
ò
xdx
; f/.
1 sin
1 cos
+
+
ò
x
dx
x
; g/.
2 2
sin cos
ò
dx
x x
; h/.
2 2
cos2
sin cos
ò
xdx
x x
WWW.ToanCapBa.Net 2
WWW.ToanCapBa.Net

Dạng 3: Phương pháp đổi biến
Loại 1: f(x) là đa thức
Bài 3: Tính :
I
1
=
5
(3 )-
ò
x x dx
; I
2
=
2 3 2011
(3 )-
ò
x x dx
I
3
=
2 4
(5 )-
ò
x x dx
I
4
=
3
2
2

(1 )+
ò
x x dx
Loại 2: f(x) là phân thức
Bài 4: Tính :
I
1
=
3
2 3-
ò
dx
x
I
2
=
2
2 3
3 5
- +
- -
ò
x
dx
x x
I
3
=
2
2 1

5 6
-
- +
ò
x
dx
x x
I
4
=
2
1
4 4
x
dx
x x
+
- +
ò
I
5
=
2 2
(1 )
x
dx
x+
ò
I
6

=
3
4 5
(6 5)
x
dx
x +
ò
I
7
=
3
2 3
( 1)
x dx
x +
ò
; I
8
=
3 2
2 3
( 2)
( 1)
x x dx
x
-
+
ò
; I

9
=
2
2 2
1
( 1)
x
dx
x
-
+
ò
; I
10
=
2
2
( 1)
1
x x
dx
x
+
-
ò
Loại 3: f(x) là hàm vô tỉ.
Bài 5: Tính :
I
1
=

2
1
x
dx
x +
ò
I
2
=
1
dx
x-
ò
I
3
=
(1 )
dx
x x-
ò
I
4
=
2
5x x dx+
ò
I
5
=
2 5x xdx-

ò
I
6
=
3
2 3
. 1x x dx+
ò
I
7
=
1
xdx
x+
ò
; I
8
=
2
2
( 2)
1
x x
dx
x
-
+
ò
; I
9

=
2
2009
dx
x +
ò
; I
10
=
2
( 0)
dx
a
x a
>
±
ò
Loại 4: f(x) là biểu thức chứa hàm
( )u x
e
Bài 6: Tính :
I
1
=
3cos
sin
ò
x
e xdx
; I

2
=
tan
2
cos
x
e
dx
x
ò
; I
3
=
2
-
ò
x
xe dx
; I
4
=
2 3 2
( 5)
x x
e e dx+
ò
I
5
=
1+

ò
x
dx
e
; I
6
=
2
x
x
e
dx
e +
ò
; I
7
=
2
x x
dx
e e
-
+ +
ò
; I
8
=
x x
dx
e e

-
-
ò
Loại 5: f(x) là biểu thức chứa hàm
ln( ( ))u x
Bài 7: Tính :
I
1
=
ln x
dx
x
ò
I
2
=
ln
dx
x x
ò
I
3
=
4
(ln )x
dx
x
ò
I
4

=
2 ln
2
x
dx
x
+
∫
WWW.ToanCapBa.Net 3
WWW.ToanCapBa.Net
Loại 6: f(x) là hàm số lượng giác.
Bài 8: Tính :
I
1
=
cot
ò
xdx
I
2
=
tan
ò
xdx
I
3
=
3
cos sin
ò

x xdx
I
4
=
2
1 1
sin
ò
dx
x
x
I
5
=
2
sin
cos
ò
x
dx
x
I
6
=
3
2
sin
cos
ò
x

dx
x
I
7
=
3
2
sin
cos
ò
x
dx
x
I
8
=
3
4
sin
cos
ò
x
dx
x
I
9
=
3
sin
ò

xdx
I
10
=
sin
ò
dx
x
I
11
=
3
sin
ò
dx
x
I
12
=
2
cos sin
ò
dx
x x
I
13
=
3 4
sin cos
ò

x xdx
I
14
=
4 4
sin cos
ò
x xdx
; I
15
=
sin 2cos 1-
ò
x x dx
I
16
=
cos sin
sin cos
+
-
ò
x x
dx
x x
I
17
=
( )
2 2

2 2 2 2
sin cos
sin cos
¹
+
ò
x x
dx a b
a x b x
Dạng 4: Nguyên hàm từng phần
Loại 1 :
sin( )
( ). cos( )
ax b
ax b
P x ax b dx
e
+
 
+
 
+
 
 
 
∫
Bài 9: Tính :
I
1
=

ò
x
xe dx
I
2
=
-
ò
x
xe dx
I
3
=
2
( 2 1)+ -
ò
x
x x e dx
I
4
=
cos
ò
x xdx
I
5
=
(1 )cos-
ò
x xdx

I
6
=
2
sin
ò
x
dx
x
I
7
=
cos
ò
xdx
I
8
=
sin(2 1)+
ò
x x dx
I
9
=
2
sin
ò
x xdx
Loại 2:
ln ( )

( ).
log ( )
é ù
ê ú
ê ú
ë û
ò
a
u x
P x dx
u x
Bài 10: Tính :
I
1
=
ln
ò
xdx
I
2
=
ln( 1)+
ò
x x dx
I
3
=
1
ln
1

+
-
ò
x
x dx
x
I
4
=
2
ln
ò
x xdx
I
5
=
2
ln( 1 )+ +
ò
x x dx
I
6
=
2
ln(sin )
cos
ò
x
dx
x

Loại 3:
sin
cos
x
x
e dx
x
 
 
 
∫
Bài 11: Tính :
WWW.ToanCapBa.Net 4
WWW.ToanCapBa.Net
I
1
=
sin
ò
x
e xdx
I
2
=
2
sin
ò
x
e xdx
I

3
=
2
cos
ò
x
e xdx
Dạng 5: Tìm nguyên hàm khi biết 1 giá trị hàm số
Bài 12: Tìm
( ) ( )=
ò
F x f x dx
biết:
a/.
2
1 7
( ) 2, (2)
3
f x x F
x
= - + =
; b/.
3 2
( ) 4 3 2, ( 1) 3f x x x F= - + - =
c/.
3 2
2
3 3 1 1
( ) , (1)
3

2 1
x x x
f x F
x x
+ + -
= =
+ +
; d/.
2
( ) tan , ( )
4 4
p p
= =f x x F

e/.
2
( ) , ( 1) 2, (1) 4
b
f x ax F F
x
= + - = =
§2.TÍCH PHÂN
Định nghĩa :
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = -
ò

Tính chất 1:
( ) 0
a
a
f x dx =
ò
Tính chất 2:
( ) - ( )
b a
a b
f x dx f x dx=
ò ò
Tính chất 3:
. ( ) ( )=
ò ò
b b
a a
k f x dx k f x dx
Tính chất 4:
[ ( ) ( )] ( ) ( )± = ±
ò ò ò
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
Tính chất 5:
( )
( ) ( ) ( ) , ;= + Î
ò ò ò
b c b
a a c

f x dx f x dx f x dx c a b
Tính chất 6: Nếu:
( ) 0, [ ; ]³ " Îf x x a b
thì:
( ) 0³
ò
b
a
f x dx
Tính chất 7: Nếu:
( ) ( ), [ ; ]f x g x x a b³ " Î
thì:
( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx
≥
∫ ∫
Tính chất 8 : Nếu:
( ) , [ ; ]£ £ " Îm f x M x a b
thì

( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a
− ≤ ≤ −
∫
Tính chất 9: Cho t biến thiên trên đoạn [a;b] thì
( ) ( )

t
a
G t f x dx=
ò
là nguyên
hàm của f(t) và G(a) = 0
 BÀI TẬP
Loại 1: Tích phân cơ bản
Bài 1: Tính :
WWW.ToanCapBa.Net 5
WWW.ToanCapBa.Net
I
1
=
3
2
1
( 2 3)- -
ò
x x dx
I
2
=
16
1
ò
xdx
I
3
=

2
1
1 3
æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
e
dx
x
x
I
4
=
1
0
1
dx
x +
ò
I
5
=
2

2
1
(2 1)
dx
x-
ò
I
6
=
8
3
2
1
1
4
3
æ ö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
ò
x dx

x
I
7
=
0
cos
ò
xdx
p
I
8
=
2
0
sin 2
6
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
x dx
p
p
I

9
=
6
0
cos3xdx
π
∫
I
10
=
3
2
0
cos
ò
dx
x
p
I
11
=
3
2
6
2
sin
ò
dx
x
p

p
I
12
=
1
2
0
ò
x
e dx
I
13
=
4
4
0
(3 )-
ò
x
x e dx
I
14
=
1
2
0
3
( )
1
+

+
ò
x
e dx
x
; I
15
=
( )
1
2
0
sin
x
e x dx
π π
−
∫
Loại 2: Biến đổi về cơ bản
Bài 2: Tính ::
I
1
=
2
2
3
1
2-
ò
x x

dx
x
I
2
=
2
1
2 5 7+ -
ò
e
x x
dx
x
I
3
=
1
1
2 1
2
-
+
+
ò
x
dx
x
I
4
=

1
2
1
2 3
2
-
+ +
+
ò
x x
dx
x
I
5
=
1
3
0
( 1)
-
+
ò
x x dx
I
6
=
4
2
2
1

æ ö
÷
ç
+
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
x dx
x
I
7
=
2
1
2
( 1)+
ò
dx
x x
I
8
=
1
1
2
( 2)( 3)
-

- +
ò
dx
x x
I
9
=
4
2
3
3 2- +
ò
dx
x x
I
10
=
π/4
0
sin3 .sin 5x xdx
ò
I
11
=
/ 2
/2
cos .cos3x xdx
p
p-
ò

; I
12
=
/ 4
2
0
cos ( )
4
x dx
p
p
-
ò
I
13
=
+
ò
p
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
I
14
=

3
8
2 2
8
sin cos
dx
x x
ò
p
p
; I
15
=
3
4
2 2
4
cos2
sin cos
xdx
x x
ò
p
p
I
16
=
2
0
1 cos

dx
x+
ò
p
I
17
=
2
0
1 sin
dx
x+
ò
p
I
18
=
ln2
2 1
0
1
+
+
ò
x
x
e
dx
e
Loại 3: Tích phân

( )
b
a
f x dx
ò
Bài 3: Tính :
I
1
=
2
2
1x dx
-
-
ò
I
2
=
0
2
3
4 4x x dx
-
+ +
ò
I
3
=
0
2

1
2 3x x dx
-
+ -
ò
I
4
=
2
2
0
x x dx
−
∫
; I
5
=
2
0
sin x dx
ò
p
; I
6
=
2
3
tan x dx
ò
p

p
WWW.ToanCapBa.Net 6
WWW.ToanCapBa.Net
I
7
=
∫
+
π
0
cos1 dxx
; I
8
=
2
0
1 sin2
p
+
ò
xdx
; I
9
=
3
2 2
6
tan cot 2
p
p

+ -
ò
x x dx
§3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH
TÍCH PHÂN
Dạng 1: Phương pháp đổi biến số loại 1 (lượng giác hóa)
Phương pháp: Tính
+ Đặt
( ) '( )x t dx t dt
ϕ ϕ
= ⇒ =

+ Đổi cận :
a
b
ì
= Þ =
ï
ï
í
ï
= Þ =
ï
î
x a t
x b t

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b
a

f x dx g t dt G t G G
β
β
α
α
β α
⇒ = = = −
∫ ∫
CÁC DẤU HIỆU
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
-a x
x = asint,
2 2
p p
- £ £t
x = acost,
0 p£ £t
2 2
-x a
sin
=
a
x
t
,
[ ; ] \{0}
2 2
t
π π

∈ −
cos
=
a
x
t
,
[0; ] \{ }
2
p
pÎt
2 2
+a x
x = atant,
2 2
t
π π
− < <
x = acott,
0 p< <t
Bài 4: Tính
J
1
=
2
2
0
4 - x dx
ò
J

2
=
1
2
2
0
1-
dx
x
ò
J
3
=
2
2 2
0
-
a
dx
a x
ò
J
4
=
( )
2 2 2
0
, 0
a
x a x dx a- >

ò
J
5
=
2
2 2
0
4-x x dx
ò
J
6
=
2
2
0
4 -
dx
x x+
ò
J
7
=
2
3
2
1
3
4-9
dx
x

ò
J
8
=
4
2
2
4-
ò
x dx
J
9
=
1
2
0
1
dx
x+
ò
J
10
=
3
2
2
1
1x
dx
x

+
ò
J
11
=
2 2
0
a
dx
x a+
ò
J
12
=
1
2
0
1
dx
x x+ +
ò
J
13
=
1
2 3
0
( 1)+
ò
dx

x
J
14
=
-
+ +
ò
1
2
1
1
xdx
x x
J
15
=
1
3
8 2
0
( 1)
x dx
x +
ò
WWW.ToanCapBa.Net 7
WWW.ToanCapBa.Net
J
16
=
+ + +

+ +
ò
1
4 2
2
0
2 2
1
x x x
dx
x x
; J
17
=
0
sin 4
1 sin+
ò
x
dx
x
p
; J
18
=
2
0
sin
1 cos+
ò

x x
dx
x
p
Dạng 2: Phương pháp đổi biến số loại 2 .
Phương pháp: Tính
[ ]
( ) ( ) . '( )
b b
a a
f x dx g u x u x dx
=
∫ ∫
+ Đặt
( ) '( )= Þ =u u x du u x dx
+ Đổi cận :
1
2
( )
( )
ì
= Þ =
ï
ï
í
ï
= Þ =
ï
î
x a u u a

x b u u b

[ ]
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) . '( ) ( ) ( )
u b
b b
u b
u a
a a u a
f x dx g u x u x dx g u du G u
⇒ = = =
∫ ∫ ∫
 BÀI TẬP
Loại 1: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM ĐA THỨC
Bài 5: Tính :
I
1
=
1
3
0
(2 1)x dx+
ò
; I
2
=

( )
2
2
0
1x x dx+
∫
;
I
3
=
( )
1
2011
0
-1x x dx
∫
; I
4
=
1
3 4 5
0
( 1)x x dx-
ò
Loại 2: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ
1
( )1
ln | |;
( ) (1 )
ax bdx dx

ax b
ax b a ax b a
a
a
a
-
+
= + =
+ + -
ò ò
Bài 6: Tính :
I
1
=
2
1
3
1 2-
ò
dx
x
; I
2
=
( )
1
3
0
1+
ò

dx
x
; I
3
=
1
2 3
0
(1 )+
ò
xdx
x
; I
4
=
1
2
3
0
2
1+
ò
x dx
x
I
5
=
2
2
1/ 2

(1 3 )
( 1)
-
+
ò
x dx
x
; I
6
=
1
3
0
2
(1 )
xdx
x+
ò
; I
7
=
( )
( )
1
3
0
3 1
1
+
+

ò
x dx
x
;
I
8
=
1
2013
2 1008
0
(1 )+
ò
x dx
x
I
9
=
1
2
2
100
0
(1 )-
ò
x dx
x
; I
10
=

2
2012
2012
1
1
(1 )
+
-
ò
x
dx
x x
;
I
11
=
3
1
2 3
0
(1 )
x dx
x+
ò
; I
12
=
7
1
4 2

0
(1 )
x dx
x+
ò
;
1
1 2 1 2 2
1
ln
( )( ) ( )
x x
dx
a x x x x a x x x x
-
=
- - - -
ò
Bài 7: Tính :
I
1
=
( ) ( )
5
3
2 1- +
ò
dx
x x
; I

2
=
12
2
10
2 1
2
x
dx
x x
+
+ −
∫
; I
3
=
1
2
0
4 11
5 6
x
dx
x x
+
+ +
∫
I
4
=

dx
x
xx
∫
−
−
1
0
2
4
)1(
; I
5
=
( )
4
2
1
1+
ò
dx
x x
; I
6
=
2
5
1
( 1)+
ò

dx
x x

WWW.ToanCapBa.Net 8
WWW.ToanCapBa.Net
I
7
=
2
10 2
1
( 1)
dx
x x +
ò
; I
8
=
2
2 2
0
( 1)( 4)
dx
x x- +
ò
; I
9
=
2
2

2
1
7 12
x dx
x x- +
ò
;
I
10
=
1
2 2
0
( 2011)( 2012)
xdx
x x+ +
ò
; I
11
=
1
4 2
0
3 2
xdx
x x− +
∫
; I
12
=

2
3 2
1
( 1)
6
x dx
x x x
+
+ −
∫
;
I
13
=
3
3 2
1
(7 15)
2 5
x dx
x x x
−
− +
∫
; I
14
=
1
2
6 3

0
2
x dx
x x− −
∫
; I
15
=
6 5 4
1
6
0
2
1
x x x x
dx
x
+ + + +
+
ò

I
16
=
0
3 2
1
5 14
4 4
x

dx
x x x
-
-
- - +
ò
; I
17
=
2
1
3 2
0
5 8 4
x dx
x x x+ + +
ò
; I
18
=
1
2010
2012
0
( 1)
( 2)
x
dx
x
+

+
ò
;
1
; ,
1
( ) (1 )
n n q p
n
dx
p q
x x
x
+
+
Î
+
ò
¢
Bài 8: Tính :
I
1
=
2
2
1
( 1)+
ò
dx
x x

; I
2
=
2
5 3
1
+
ò
dx
x x
; I
3
=
3
2 2
1
2
( 1)+
ò
dx
x x

I
4
=
1
2 2
0
( 1)+
ò

xdx
x
; I
5
=
6 2
2
2
4
1
1
1
+
+
+
ò
x
dx
x
; I
6
=
6 2
2
2
4
1
1
1
+

-
+
ò
x
dx
x
;
I
7
=
6 2
2
2
4
1
1
+
+
ò
x
dx
x
; I
8
=
6 2
2
4
1
1

+
+
ò
dx
x
;
I
9
=
2
5
8
1
2
1
x x
dx
x
-
+
ò
; I
10
=
-
+
ò
2
2
3

1
1 x
dx
x x
;
Loại 3: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
3.1 Dạng
+
é ù
ê ú
Î Î
ê ú
ë û
ò
¢ ¢,q
p
n-1 mn n
q
x x ;(a+ bx ) dx;m,n,p
đặt:
p
n
q
t = (a+bx )
Bài 9:
I
1
=
2
1

2+
ò
x dx
I
2
=
3
0
3 - 4
4-
x
dx
x
ò
I
3
=
1
2
0
1x x dx+
ò
I
4
=
4
0
1
25 3
dx

x-
ò
I
5
=
1
2
0
2
xdx
x
-
+
ò
I
6
=
1
2
1
2 1
1
x
dx
x x
-
+
+ +
ò
I

7
=
9
3
1
. 1-
ò
x xdx
I
8
=
1
2
8
0
. 1-
ò
x xdx
I
9
=
1
2
2
3
1
2
(1 )
-
-

ò
x dx
I
10
=
3
3 2
0
1x x dx+
ò
I
11
=
3
2
3
0
(1 )+
ò
x
dx
x
I
12
=
2
2
4
1
1 x

dx
x
+
ò
WWW.ToanCapBa.Net 9
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 10:
I
1
=
1
0
. 1x xdx−
∫
; I
2
=
1
3 2
0
1x x dx−
∫
; I
3
=
∫
+
1
0
3

1 xx
dx
; I
4
=
1
3
3 2
0
. 1x x dx+
∫
;
I
5
=
1
4
0
. 1x xdx−
∫
; I
6
=
2
1
1
5
x x
dx
x

-
-
ò
; I
7
=
3
5 2
0
. 1x x dx+
∫
;
I
8
=
1
15 8
0
. 1 3x x dx+
∫
; I
9
=
2
2
2
2
1
1
x

dx
x x
−
−
+
+
∫
; I
10
=
3
7
0
3
2
1
x dx
x+
∫
;
I
11
=
2
3
1
1
x
dx
x +

∫
; I
12
=
3
1
2
0
1
x dx
x x+ +
ò
; I
13
=
1
0
2 1
xdx
x +
ò
;
I
14
=
7
3
3
0
( 1)

3 2
x dx
x
+
+
∫
; I
15
=
4
2
7
9
dx
x x +
ò
; I
16
=
1
3
3
4
0
1 1
x dx
x+ +
∫
I
17

=
6
2
2 1 4 1
dx
x x+ + +
∫
; I
18
=
10
5
2 1
dx
x x- -
ò
; I
19
=
1
0
2 1
1 2 1
x
dx
x
+
+ +
∫
;

I
20
=
3
0
3
3 1 3
x
dx
x x
−
+ + +
∫
; I
21
=
∫
+
+
1
0
1
1
dx
x
x
; I
22
=
1

0
1 1
dx
x x+ + +
∫
I
23
=
1
2
1
1 1
dx
x x
-
+ + +
ò
; I
24
=
( )
0
3 2 2 2
1
. 1 (4 4 )x x x x x dx
-
+ + - +
ò

3.2 Dạng

é ù
æ ö æ ö
ê ú
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ê ú
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
ê ú
ë û
ò
1 s
1 s
m m
n n
ax+ b ax + b
R x, , , dx
cx + d cx + d

đặt
{ }
1 2
, , ,
k
s
ax b
t k BSCNN n n n

cx d
+
= =
+
Bài 11:
I
1
=
+ -
ò
2
1
1 1
xdx
x
; I
2
=
1
0
1 3
dx
x x+ + +
ò
; I
3
=
0
3
1

1 1
1 1
x
dx
x
-
- +
+ +
ò
;
I
4
=
63
2
3
0
2 1 2 1
dx
x x+ + +
ò
; I
5
=
6 2
2
3
4
1
(1 )

xdx
x x
+
-
ò
; I
6
=
( )
4
13
5
2
3 x dx
-
-
-
ò
;
I
7
=
1
10
0
1
xdx
x +
ò
; I

8
=
1
2
1
4
1 1
1
x
dx
x x
+
-
ò
; I
9
=
1
0
1
1
x
dx
x
-
+
ò
;
I
10

=
5
2
1 1
1 1
x x
dx
x x
+ - -
+ + -
ò
; I
11
=
2
1
3
0
1
1
x x
dx
x
+ +
+
ò
;
3.3 Dạng
( )
ò

2
R x, ax + bx+ c dx
WWW.ToanCapBa.Net 10
WWW.ToanCapBa.Net
Phng phỏp 1 : (Lng giỏc húa)
2
2 2
2
4
( )
2 4
b b ac
ax bx c a x
a a
ộ ự
-
ờ ỳ
+ + = + -
ờ ỳ
ở ỷ
t
2
b
u x
a
= +
, ta cú:
( )
2 2
2 2 2

2 2
( , ) tan
, ( , ) sin
( , )
sin
R u u u t
R x ax bx c dx R u u u t
R u u u
t
a
a
a
a
ộ
ờ
+ đ =
ờ
ờ
+ + = - đ =
ờ
ờ
ờ
ờ
- đ =
ờ
ở
ũ
Phng phỏp ny ch nờn s dng khi
0; ; ; ;
6 4 3

t
p p p
ỡ ỹ
ù ù
ù ù
=
ớ ý
ù ù
ù ù
ợ ỵ
v hm
( )tj
liờn tc
trờn on tng ng ca bin t.
Bi 12:
I
1
=
1
2 2
0
. 1x x dx

; I
2
=
2
2
2
0

2
1
x
dx
x

; I
3
=
1
2
0
1
dx
x x+ -
ũ
;
I
4
=


2
3
2
2
1xx
dx
; I
5

=
1
3
2 2
0
(2 1) 1
dx
x x+ +
ũ
; I
6
=
1
2
0
2x x x dx-
ũ
;
I
7
=
1
2
0
2 2x x x dx- +
ũ
; I
8
=
1

2
0
3 6 1x x dx- + +
ũ
; I
9
=
2 3
1
1
2
2
(1 )x
dx
x
-
ũ
;
I
10
=
3 2
2 2 3
1
( 1) ( 2 5)
dt
t t t
-
-
+ + +

ũ
; I
11
=
1
2
0
( 7) 3 2x x x dx+ + -
ũ
;
I
12
=
2 2
8
2 5
3
( 2)
dx
x x -
ũ
; I
13
=
1
2
2
1
3 2 1
dx

x x x
-
-
- -
ũ
;
I
14
=
( )
1
2
2 2
0
2
n
a
n
n
x dx
n
a x
-

-
ũ
; I
15
=
1

2 3
0
(1 )x dx-
ũ
; I
16
=
2
2
2
1
4 x
dx
x
-
ũ
Phng phỏp 2 : (Phộp th le)
+ a > 0: t
2
ax bx c ax t+ + = +
+ c > 0: t
2
.ax bx c x t c+ + =
+ Nu x
0
l nghim: t
2
( )
o
ax bx c t x x+ + = -

Bi 13:
I
1
=
0
2
2
1 1 2
dx
x x
-
+ - -
ũ
; I
2
=
2
1
2
0
3 2
3 2
x x x
dx
x x x
- + +
+ + +
ũ
;
I

3
=
1
6
2
2
3
3 4 7
dx
x x
-
- - +
ũ
; I
4
=
0
21
1
dx
x x x
-
- - +
ũ
;
I
5
=
0
2

1
1 2 2
dx
x x
-
+ + +
ũ
; I
6
=
2
2
1
2 2x x x dx- +
ũ
;
WWW.ToanCapBa.Net 11
WWW.ToanCapBa.Net
I
7
=
1
2
0
1 (1 )
dx
x x
é ù
+ +
ê ú

ë û
ò
; I
8
=
1
2
1
1 1
dx
x x
-
+ + +
ò
 Một số dạng đặc biệt:
1-
2
2 2
dx du
t u u
ax bx c u
a
a
= ® = + ±
+ + ±
ò ò
Tính: I
1
=
1

21
2 5
dx
x x
-
- +
ò
; I
2
=
5
2
4
4 3
dx
x x- +
ò
2-
2
2 2 2
( ) ( )'Ax B ax bx c du dx
dx k dx k k
u
ax bx c ax bx c ax bx c
b
b
+ + + +
= = +
+ + + + + +
ò ò ò ò

Tính: I
1
=
3
2
2
( 4)
2 3
x dx
x x
+
+ -
ò
; I
2
=
1
2
0
( 4)
4 5
x dx
x x
+
+ +
ò
;
I
3
=

2
2
3
(7 4)
2 3
x dx
x x
-
-
-
- -
ò
; I
4
=
( )
1
20
2
3 2
x dx
x x
+
+ +
ò
3-
2 2
1
( ) ( ) ( )
dx dx

dx k u
mx n
mx n ax bx c mx n mx nb a
= ® =
+
+ + + + ± +
ò ò
Tính: I
1
=
2 3
2
5
4
dx
x x +
ò
; I
2
=
0
2
1
2
( 1) 2 2
dx
x x x
-
+ + +
ò

;
I
3
=
1
2
0
( 1) 4 5
dx
x x x+ - +
ò
; I
4
=
( )
1
2
0
1 2 2
dx
x x x+ + +
ò
;
I
5
=
1
2
2
1

2
(2 3) 4 12 5
dx
x x x
-
+ + +
ò
; I
6
=
1
2
2
2 2x x
dx
x
-
-
+ +
ò
; I
7
=
1
3
0
( 1) (3 1)
dx
x x+ +
ò

4-
2 2 2
( )
( ) ( )
Ax B dx dx dx
dx k kl
mx n ax bx c ax bx c mx n ax bx c
+
= +
+ + + + + + + +
ò ò ò
Tính: I=
1
2
0
(2 1)
( 1) 3 3
x dx
x x x
-
+ + +
ò
5-
2
1
2 2
( )
( )
n
n

P x dx
dx
Q x ax bx c k
ax bx c ax bx c
-
= + + +
+ + + +
ò ò
Đặt Q
n-1
theo đa thức bậc n – 1, đạo hàm 2 vế theo x và quy đồng mẫu số, sử
dụng phương pháp Hệ số bất định tìm được Q
n-1
và

k.
Tính: I
1
=
1
2
2
0
1
x dx
x x+ +
ò
; I
2
=

1
2
2
0
( 1)
2 3
x dx
x x
+
+ +
ò
6-
2
( )
( )
P x dx
Q x ax bx c+ +
ò
,phân tích
( )
( )
P x
Q x
về phân thức và gặp lại các dạng trên.
Tính: I
1
=
1
3
2

0
(1 ) 1 2
x dx
x x x+ + -
ò
; I
2
=
1
3
2
0
(1 ) 1 2
x dx
x x x+ + -
ò
; I
3
=
0
2 2
1
( 1) 1 2
xdx
x x x
-
- + -
ò
;
3.4 Dạng

ò
r p q
x (a+ bx ) dx
;
, ,r p q Î ¤
( Tích phân vi phân nhị thức)
WWW.ToanCapBa.Net 12
WWW.ToanCapBa.Net
+ Nếu
q Î ¢
: đặt
s
x t=
với
s BSCNN=
của mẫu số các phân số r, p.
Tính: I
1
=
4
1
(1 )+
ò
dx
x x
; I
2
=
16
4

1
(1 )+
ò
dx
x x
; I
3
=
1
4
5
0
(1 )+
ò
x x dx
;
I
4
=
81
4
3
16
( 1)
dx
x x -
ò
; I
5
=

64
3
27
( 1)
dx
x x -
ò
; I
6
=
8
3
3
1
(1 )x dx
x
-
+
ò
+ Nếu
1r
p
+
Î ¢
: đặt
p s
a bx t+ =
với s là mẫu số của phân số q.
Tính: I
1

=
1
3 2
0
1-
ò
x x dx
; I
2
=
1
2 3
0
2+
ò
x x dx
; I
3
=
2 3
2
5
4+
ò
dx
x x
;
I
4
=

7
3
3
2
0
1+
ò
x dx
x
; I
5
=
1
5
2 2
0
(4 ) 4
x dx
x x- -
ò
; I
6
=
1
3
1
2
1 x
dx
x

-
ò
;
I
7
=
1
3
2 3
0
(1 )
x dx
x+
ò
; I
8
=
1
3
4
0
1 xdx+
ò
; I
9
=
16
3
4
1

1 x
dx
x
+
ò
;
I
10
=
14/13
3
2 4
9/ 7
( 1) ( 1)
dx
x x
-
-
+ -
ò
; I
11
=
3
4
3 5
5
( 1) ( 2)
dx
x x

-
-
- +
ò
;
+ Nếu
1r
q
p
æ ö
+
÷
ç
÷
+ Î
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
¢
: đặt
s
p
a
b t
x
+ =
với s là mẫu số của phân số q.

Tính: I
1
=
2
3
3
1
x x dx-
ò
; I
1
=
3
2
2
1
1+
ò
x dx
x
; I
1
=
2
4 2
1
1+
ò
dx
x x

;
I
3
=
3
2 3
3
3
(1 )+
ò
dx
x
; I
3
=
2
11 4
1
1
dx
x x+
ò
; I
4
=
1
1
3
3
4

1
3
( )x x
dx
x
-
ò
Loại 4: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM SIÊU VIỆT
1.Tính:
I
1
=
0
2 1
1
+
-
ò
x
e dx
; I
2
=
2
3
-
0
x
xe dx
ò

; I
3
=
1
3 4
0
ò
x e dx
;
I
4
=
2
cos
0
.sin
ò
x
e xdx
p
; I
5
=
2
sin
0
( cos )cos
x
e x xdx
p

+
ò
; I
6
=
2
1
1
0
+
ò
x
e xdx
;
I
7
=
4
1
x
e dx
x
ò
; I
8
=
ln 2
0

1 +

ò
x
x
e dx
e
; I
9
=
p
ò
tan
4
2
0
cos
x
e
dx
x
I
10
=
ln2
0
2
x
dx
dx
e +
ò

; I
11
=
ln 2
0
1-
ò
x
e dx
; I
12
=
3
1
4
2
0
( )
1
x
x
x e dx
x
+
+
∫
;
2.Tính:
WWW.ToanCapBa.Net 13
WWW.ToanCapBa.Net

I
1
=
1
2
2
0
1
x
x
e dx
e +
ò
; I
2
=
ln2
0
1
1
x
x
e
dx
e
-
+
ò
; I
3

=
ln3
0
2 1
x
dx
e + +
ò
;
I
7
=
1
2x
0
dx
e 3+
ò
; I
8
=
∫
+
2ln
0
2
1
dx
e
e

x
x
;
I
4
=
1
2
0
x x
dx
e e+
ò
; I
5
=
1
2
0
1
x
x
e dx
e
-
+
ò
; I
6
=

3ln2
3
2
0
( 2)
x
dx
e +
ò
;
I
7
=
ln 2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
dx
e e
æ ö
+
÷
ç
÷
ç

÷
ç
÷
ç ÷
+ +
è ø
ò
; I
8
=
∫
+
1
0
3
1
dx
e
e
x
x
; I
9
=
ln5
ln3

2 3
x x
dx

e e
−
+ −
∫
;
I
10
=
1
2 2
0
2
1 2
x x
x
x e x e
dx
e
+ +
+
ò
; I
11
=
1
0
(1 )
1
+
+

ò
x
x
x e
dx
xe
; I
12
=
ln 2
3 2
3 2
0
2 1
1
x x
x x x
e e
dx
e e e
+ −
+ − +
∫
;
3.Tính:
I
1
=
2
1

ln
e
xdx
x
ò
; I
2
=
1
2 ln
2
e
x
dx
x
+
ò
; I
3
=
4
1
ln
e
xdx
x
ò
;
I
4

=
( )
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
ò
; I
5
=
3
1
. ln 2+
ò
e
dx
x x
; I
6
=
2
ln
ò
e
e
dx

x x
;
I
7
=
1
(1 ln )+
ò
e
dx
x x
; I
8
=
+
ò
3
2
1
ln . 1 ln
e
x xdx
x
; I
9
=
1
cos(ln )
e
x

dx
x
ò
I
10
=
ò
2
1
ln
e
xdx
x
; I
11
=
1
2 ln
2
e
x
dx
x
+
ò
; I
12
=
ò
4

1
ln
e
xdx
x
; I
4
=
( )
2
1
1 ln
e
x
dx
x
+
ò
I
13
=
1
1 3ln .ln

e
x x
dx
x
+
∫

; I
14
=
2
ln
e
e
dx
x x
ò
; I
15
=
1
(1 ln )
e
dx
x x+
ò
;
I
16
=
+
ò
3
2
1
ln . 1 ln
e

x xd x
x
; I
17
=
ò
1
cos(ln )
e
x
dx
x
; I
18
=
3
1
. ln 2
e
dx
x x +
ò
;
I
19
=
2
1
ln
(2 ln )

e
x
dx
x x+
∫
; I
20
=
3
2
1
ln
1 ln+
ò
e
xdx
x x
; I
21
=
1
3 2ln
.
1 2ln
e
x
dx
x x
-
+

ò
;
I
22
=
2
ln .ln
e
e
dx
x x ex
ò
; I
23
=
3
2
2
1
log
1 3ln
e
xdx
x x+
∫
; I
24
=
3
2

1
ln 2 ln
e
x x
dx
x
+
∫
;
Loại 5: | ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC

( sin ; cos ) (sin ;cos )F x x F x x- - =
đặt
tant x=

(sin ; cos ) (sin ;cos )F x x F x x- = -
đặt
sint x=

( sin ;cos ) (sin ;cos )F x x F x x- = -
đặt
cost x=

1 1 1
2 2 2
sin cos
(sin ;cos )
sin cos
a x b x c
F x x

a x b x c
+ +
=
+ +
đặt
tan
2
x
t =
WWW.ToanCapBa.Net 14
WWW.ToanCapBa.Net
1.Tính:
I
1
=
p
p
-
ò
2
0
sin( 2 )
6
x dx
I
2
=
4
4
tan xdx

-
ò
p
p
I
3
=
/ 2
4
0
cos .sinx xdx
ò
p
I
4
=
2
0
cos .sin2x xdx
ò
p
I
5
=
6
0
1 4sin3 .cos3x xdx+
ò
p
I

6
=
2
3
6
cos
sin
ò
x
dx
x
p
p
I
7
=
3
4
sin 2
ò
dx
x
p
p
I
8
=
2
0
sin

1 3cos
xdx
x
p
+
ò
I
9
=
4
0
cos2
1 sin2
x
dx
x+
ò
p
I
10
=
4
2
0
tan
cos
x
dx
x
ò

p
I
11
=
2
3
0
sin xdx
ò
p
I
12
=
12
2
0
cos 3 (1 tan 3 )+
ò
dx
x x
p
2.Tính:
I
1
=
4
2
0
cos 1
dx

x tgx
p
+
ò
; I
2
=
2
0
2cos
3 2sin
x
dx
x
p
+
ò
; I
3
=
8
2 2
12
cos2
sin .cos
xdx
x x
p
p
ò

;
I
4
=
6
2 2
8
sin .cos
dx
x x
p
p
ò
; I
5
=
2
0
sin - cos
sin cos
x x
dx
x x
p
+
ò
; I
6
=
2

2
0
1 cos
1 cos2
x
x
p
+
+
ò
;
I
7
=
2
2
6
cot g xdx
p
p
ò
; I
8
=
4
3
0
( )tgx tg x dx
p
+

ò
; I
9
=
4
0
cos xdx
p
ò
;
I
10
=
4
2
0
sin xdx
p
ò
; I
11
=
6
4
0
tan
p
ò
xdx
; I

12
=
4
4
0
cos
dx
x
p
ò
I
13
=
4
4
0
sin
dx
x
p
ò
; I
14
=
3
2
0
4cos
1 sin
x

dx
x
p
+
ò
; I
15
=
2
0
1 sin .x dx
p
+
ò
;
I
16
=
3
2
2
0
sin
1 cos
xdx
x
p
+
ò
; I

17
=
3
4
2
0
sin
cos
x
dx
x
p
ò
; I
18
=
4
2
0
sin 4
1 cos
x
dx
x
p
+
ò
;
I
19

=
3
4
6
cos .sin
dx
x x
p
p
ò
; I
20
=
3
4
4
0
4sin
1 cos
xdx
x
p
+
ò
; I
21
=
2
2
0

sin
cos 3
xdx
x
p
+
ò
; I
22
=
2
0
cos
7 cos2
xdx
x
p
+
ò
; I
23
=
12
4
cos sin
3 sin 2
x x
dx
x
p

p
+
+
ò
; I
24
=
2
2
0
cos .
sin 3 cos
x dx
x x
p
+
ò
WWW.ToanCapBa.Net 15
WWW.ToanCapBa.Net
I
25
=
2 3
0
4sin
1 cos
xdx
x
p
+

ò
; I
26
=
3
6
cos
sin cos
xdx
x x
p
p
+
ò
; I
27
=
2
0
cos sin
2 sin 2
x x
dx
x
p
-
+
ò
;
3.Tính:

I
1
=
6
2 2
0
sin 2
2sin cos+
ò
xdx
x x
p
; I
2
=
2
6
1 sin 2 cos2
sin cos
x x
dx
x x
p
p
+ +
+
ò
; I
3
=

2
2 2 2 2
0
sin .cos
cos sin
x xdx
a x b x
p
+
ò
;
I
4
=
( )
4
3
0
cos2
sin cos 2
xdx
x x
p
+ +
ò
; I
5
=
2
3 5

2 4
6
cos cos
sin sin
p
p
+
+
ò
x x
dx
x x
; I
6
=
∫
−
2
0
3
coscos
π
dxxx
;
I
7
=
4
2
0

sin 4
1 cos
p
+
ò
xdx
x
; I
8
=
( )
2
3
0
4sin
sin cos
x
dx
x x
p
+
ò
; I
9
=
2
3
3
3
3

sin sin
cot
sin
x x
xdx
x
p
p
-
ò
;
I
10
=
3
2
6
4
sin
cos
x
dx
x
p
p
ò
; I
11
=
0

sin 1
dx
x
p
+
ò
; I
12
=
3
2 4
4
sin cos
p
p
ò
dx
x x
;
I
13
=
4
3
sin
4 2cos 2
p
p
-
ò

xdx
x
; I
14
=
2
4
0
1 2sin

1 sin2
x
dx
x
π
−
+
∫
; I
15
=
2
0
sin2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+

+
∫
;
I
16
=
π
+
∫
2
0
sin2 cos
1 cos
x x
dx
x
; I
17
=
6
4
0
tan
cos2
p
ò
x
dx
x
; I

18
=
2
3 2
0
(cos 1)cosx xdx
p
-
ò
I
19
=
2
3
0
sin
(sin 3 cos )
xdx
x x
p
+
ò
; I
20
=
2
4
0
sin 2
1 os

x
dx
c x
π
+
∫
; I
21
=
3
4
3 5
6
sin .cos
p
p
ò
dx
x x
;
I
22
=
p
p
ò
2
3
2
6

cos
sin
x
dx
x
; I
23
=
2
2
6
1
2
sin sin
dx
x x
π
π
+
∫
; I
24
=
2
4 4
0
cos2 (sin cos )x x x dx
p
+
ò

;
I
25
=
2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
x x
dx
x x
π
−
+
∫
; I
26
=
3
6
cot
sin .sin( )
4
xdx
x x
p
p
p
+

ò
; I
27
=
6
0
tan( )
4
cos2
x dx
x
π
π
−
∫
;
I
28
=
3
2
0
sin
cos 3 sin
xdx
x x
p
+
ò
; I

29
=
2
2
0
cos
2cos 3sin
xdx
x x
p
+
ò
; I
30
=
3
2
4
tan
cos 1 cos
xdx
x x
p
p
+
ò
;
4. Tính:
I
1

=
2
2
0
cos
11 7sin cos
xdx
x x
p
- -
ò
; I
2
=
2
2
0
(1 sin )cos
(1 sin )(2 cos )
x xdx
x x
p
-
+ -
ò
;
WWW.ToanCapBa.Net 16
WWW.ToanCapBa.Net
I
3

=
2
2 2
0
3sin 8sin .cos 5cos
dx
x x x x
p
- +
ò
; I
4
=
2
0
sin 7 cos 6
4sin 3cos 5
x x
dx
x x
p
+ +
+ +
ò
;
I
5
=
( )
4

2
0
cos2
sin cos 2
x
dx
x x
p
+ +
ò
; I
6
=
4
3
sin
2
dx
x
p
p
ò
;
I
7
=
( )
2
2
0

sin 2 1 sinx x dx
p
+
ò
; I
8
=
4
0
1
dx
tgx
p
+
ò
;
I
9
=
3
sin
3sin 4 sin 6 3sin 2
xdx
x x x- -
ò
; I
10
=
2
2

0
cos
sin 5sin 6
xdx
x x
p
- +
ò
;
I
11
=
2
0
sin
1 sin 2
xdx
x
p
+
ò
; I
12
=
2
2 2
0
3sin 4cos
3sin 4cos
x x

dx
x x
p
+
+
ò
;
I
13
=
( )
4
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x dx
x x x
π
π
 
−
 ÷
 
+ + +
∫
; I
14
=
2

0
sin cos 1
sin 2cos 3
x x
dx
x x
p
- +
+ +
ò
;
Dạng 3: Phương pháp tích phân từng phần
Ý nghĩa:
[ ] [ ]
'( ). ( ) ( ). '( ) ( ). ( ) ' ( ). ( )
b b b
b
a
a a a
u x v x dx u x v x dx u x v x dx u x v x+ = =
ò ò ò
Phương pháp: + Phân tích:
( ) ( ). '( )
b b
a a
f x dx u x v x dx
=
∫ ∫

[ ]

( ) '( ) ( ). ( ) '( ). ( )Þ = -
ò ò
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x u x v x dx
hay:
= -
ò ò
b b
b
a
a a
udv uv vdu
Loại 1:
sin( )
( ). cos( )
b
a
ax b
ax b
P x ax b dx
e
+
 
+
 
+
 

 
 
∫
. Đặt:
sin( )
( ); cos( )
+
é ù
+
ê ú
ê ú
= = +
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
ax b
ax b
u P x dv ax b dx
e
1. Tính:
I
1
=
3
0
cos
p
ò
x xdx

; I
2
=
2
0
cos
p
ò
x xdx
; I
3
=
( )
2
2
0
1 sin+
ò
x xdx
p
;
I
4
=
2
2
0
sin
2
p

ò
x
x dx
; I
5
=
( )
4
2
0
2cos 1-
ò
x x dx
p
; I
6
=
3
2
4
sin
ò
xdx
x
p
p
;
I
10
=

p
ò
2
6
0
xtg xdx
; I
11
=
( )
3
2
0
sin
cos
+
ò
x x
dx
x
p
; I
12
=
4
3
6
cos
sin
ò

x x
dx
x
p
p
WWW.ToanCapBa.Net 17
WWW.ToanCapBa.Net
I
13
=
( )
sin
0
cos+
ò
x
e x xdx
p
; I
14
=
p
ò
2
0
sin cosx x xdx
; I
15
=
2

2
0
cos sin
ò
x x xdx
p
;
I
16
=
p
ò
2
2
0
cosx xdx
; I
17
=
p
ò
2
0
sin xdx
; I
18
=
( )
3
2

3
0
sin xdx
p
ò
;
I
19
=
p
ò
2
0
cosx xdx
; I
20
=
2
4
0
( sin 2 )cos 2x x xdx
π
+
∫
;
I
21
=
5
0

(cos sin )x x x dx
p
+
ò
;
2. Tính:
I
1
=
ò
1
2
0
.
x
x e dx
; I
2
=
1
2
0
-
ò
x
x e dx
; I
3
=
2

3
0
-
ò
x
xe dx
;
I
4
=
1
3 1
0
x
e dx
+
∫
; I
5
=
( )
1
2
0
2 1
-
- -
ò
x
x x e dx

; I
6
=
( )
1
2
2
0
1+
ò
x
x e dx
;
I
7
=
1
2
0
ò
x
x dx
e
; I
8
=
1
1
4
ò

x
e dx
; I
9
=
4
1
2 1+
ò
x
x
e dx
x
Loại 2:
ln ( )
( ).
log ( )
é ù
ê ú
ê ú
ë û
ò
b
a
a
q x
P x dx
q x
. Đặt:
ln ( )

; ( )
log ( )
é ù
ê ú
= =
ê ú
ë û
a
q x
u dv P x dx
q x
1. Tính:
I
1
=
( )
2
1
ln 1+
ò
x dx
I
2
=
2
1
2
ln
ò
dx

x
I
3
=
( )
+
ò
1
3 2 ln
e
x xdx

I
4
=
2
2
1
lnx xdx
ò
I
5
=
∫
2
1
(1- )ln
e
x xdx
I

6
=
8
3
ln
1+
ò
x
dx
x
I
7
=
3
1
ln
e
x
dx
x
ò
I
8
=
ò
5
1
ln
e
x

dx
x
I
9
=
( )
2
2
1
ln 1+
ò
x dx
x
I
10
=
+
ò
2
1
ln
( 1)
e
xdx
x
I
11
=
3
2

1
3 ln
( 1)
+
+
ò
x
dx
x
I
12
=
1
2
0
ln(1 )x x dx+
ò
I
13
=
1
ln
ò
e
x xdx
I
14
=
ò
2

1
ln
e
xdx
x
I
15
=
2
2
1
log
ò
x xdx
I
16
=
1
3
(2 )ln-
ò
e
x xdx
x
I
17
=
+ +
ò
1

2
0
ln( 1)x x x dx
; I
18
=
( )
( )
1
3
0
ln 1
2
+
+
ò
x
dx
x
;
2. Tính:
I
1
=
2
1
ln
ò
e
xdx

; I
2
=
ò
2
1
ln
e
x xdx
; I
3
=
ò
3 2
1
ln
e
x xdx
;
I
4
=
( )
ò
2
1
ln
e
x x dx
; I

5
=
æ ö
÷
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
ò
2
1
ln
e
x
dx
x
; I
6
=
2
1
(1- ln )
ò
e
x dx
;
WWW.ToanCapBa.Net 18
WWW.ToanCapBa.Net

I
7
=
2
1
ln
3 ln
1 ln
æ ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
+
ò
e
x
x x dx
x x
; I
8
=
2
1

ln
ln
1 ln
æ ö
÷
ç
÷
+
ç
÷
ç
÷
ç
+
è ø
ò
e
x
x dx
x x
;
I
9
=
1
2
2
0
1 1
ln

1 1
x
dx
x x
+
- -
ò
; I
10
=
( )
p
p
ò
2
4
cos ln sinx x dx
;
I
11
=
( )
p
+
ò
2
0
sin ln 1 cosx x dx
; I
12

=
( )
p
+
ò
4
0
cos ln 1 cosx x dx
;
Loại 3:
sin
.
cos
é ù
ê ú
ê ú
ë û
ò
b
x
a
x
e dx
x
(Tích phân lặp). Đặt:
sin
;
cos
é ù
ê ú

= =
ê ú
ë û
x
x
u dv e dx
x
Lưu ý: khi tính đến TP thứ 2 tiếp tục áp dụng thuật TPTP trên lần nữa và
dừng lại khi thấy xuất hiện TP ban đầu; áp dụng chuyển vế tìm I
Tính:
I
1
=
2
0
cos
x
e xdx
ò
p
; I
2
=
4
0
sin2
x
e xdx
ò
p

; I
3
=
4
3
0
.sin 4
p
ò
x
e xdx
I
4
=
p
ò
2
-2
0
cos3
x
e xdx
; I
5
=
1
2
0
.sin ( )
ò

x
e x dxp
; I
6
=
2 2
0
sin
ò
x
e xdx
p
;
I
7
=
( )
0
cos ln
ò
e
x dx
p
; I
8
=
4
0
tan .ln(cos )
cos

x x
dx
x
p
ò
; I
9
=
2
cos
0
( sin )sin 2
p
+
ò
x
e x xdx
Loại 4:
[ ]
( ) '( )+
ò
b
x
a
u x u x e dx
;
( . ' ' ) ( )' .+ = =
ò ò
u v u v dx uv dx u v
[ ]

( ) '( )+
ò
b
x
a
u x u x e dx
=
( ) ( ) ( ) ( )
é ù é ù
+ - =
ê ú ê ú
ë û ë û
ò ò
b b
b b
x x x x
a a
a a
u x e dx u x e u x e dx u x e
.
Tính:
I
1
=
1
1 ln+
ò
e
x
x x

e dx
x
; I
2
=
2
0
1 sin
1 cos
p
+
+
ò
x
x
e dx
x
; I
3
=
1
2
0
(1 )+
ò
x
xe
dx
x
;

I
4
=
2
1
1
2
1
( 1 )
+
+ -
ò
x
x
x e dx
x
; I
5
=
2
2 sin
0
(2cos cos )
2
p
+
ò
x
x
x x e dx

Loại 5:
2 2
2 2
ln | |
dx
x x a
x a
= + ±
±
ò
Tính: I
1
=
1
2
0
2+
ò
dx
x
; I
2
=
2 2
0
+
ò
a
x a dx
; I

3
=
2 2 2
0
+
ò
a
x x a dx
WWW.ToanCapBa.Net 19
WWW.ToanCapBa.Net
§4. TÍCH PHÂN
HÀM CÓ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT
TC1:
Nếu hàm số f là hàm số chẵn và liên tục trên
[ ]
;bb-
,
x" Î ¡
và
0 1a< ¹
ta có:
( )
(
)
0
1
b b
x
b
f x

dx f x dx
a
-
=
+
ò ò
Tính:
I
1
=
2
sin
3 1
x
x
dx
p
p-
+
ò
; I
2
=
2
2
2
sin
1 2
x
x x dx

p
p
-
+
ò
; I
3
=
4
1
1
1 2
x
x dx
-
+
ò
;
I
4
=
4
2 3
4
os (1 )
x
dx
c x e
p
p

-
-
+
ò
; I
5
=
6 6
4
4
sin cos
6 1
x
x x
dx
p
p
-
+
+
ò
; I
6
=
2
1
1
1
1 2
x

x dx
-
-
+
ò
;
I
7
=
1
4 2
1
3 1
x
x x
dx
-
+
+
ò
; I
8
=
2
4
2
sin
2 1
x
xdx

p
p
-
+
ò
;
TC2:
Nếu f(x) liên tục trên [-a;a] thì:
-
-
é
ê
=
ê
ê
ê
ê
ê
=
ê
ê
ë
ò
ò ò
0
( ) 0, f(x) û
( ) 2 ( ) , f(x)
a
a
a a

a
f x dx neáu le
f x dx f x dx neáu chaún
Tính:
I
1
=
-
- +
ò
3
3 2 2011
1
( 3 2)x x dx
; I
2
=
8
7 8
8
sin
p
p
-
ò
x xdx
;
I
3
=

/ 4
2
/ 4
sin
1
p
p-
+ +
ò
x
dx
x x
; I
4
=
( )
2
1
2
1
sin
-
+
ò
x x
e x e x dx
I
5
=
1

2
1
1 tan
1
x
dx
x
-
+
+
ò
; I
6
=
p
p
-
+ +
ò
2
2
2
cos .ln( 1)x x x dx
;
I
7
=
( )
-
+ +

ò
2
3
2
2
ln( 1)x x dx
; I
8
=
-
é ù
ê ú
+ + + =
ê ú
+
ê ú
ë û
ò
3
1
2
2 3
1
ln( 1) 0
(1 )
x
x x dx
x
;
TC3:

WWW.ToanCapBa.Net 20
WWW.ToanCapBa.Net
Nếu hàm số f liên tục trên
[ ]
1;0
thì
( )
(
)
2 2
0 0
sin cosf x dx f x dx
p p
=
ò ò
1.Tính: I
1
=
4
2
4 4
0
cos
cos sin
xdx
x x
p
+
ò
; I

2
=
2
6
6 6
0
sin
sin cos
x
dx
x x
p
+
ò
;
I
3
=
2
0
sin
sin cos
x
dx
x x
p
+
ò
; I
4

=
2
1 cos
0
(1 sin )
ln
1 cos
x
x
dx
x
p
+
+
+
ò
;
I
5
=
2
2011
2011
2011
0
sin
cos sin
x
dx
x x

p
+
ò
; I
6
=
2011
2
2011 2011
0
sin
sin cos
x
dx
x x
p
+
ò
;
2. Chứng minh: a/.
( )
2 2
0 0
cos sin ,
+
= Î
ò ò
¢
n n
xdx xdx n

p p
b/.
2
0
sin
sin cos 4
n
n n
xdx
x x
p
p
=
+
ò
TC4:
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] và
( )
( )f a b x f x+ - =
thì:
( ) ( )
2
b b
a a
a b
xf x dx f x dx
+
=
ò ò
Đặc biệt:

0
(sin ) (sin )
2
b
a
xf x dx f x dx
p
p
=
ò ò
Tính: I
1
=
3
0
.sinx xdx
p
ò
; I
2
=
4
0
sin cosx x xdx
p
ò
; I
3
=
2

0
sin
2 cos
x x
dx
x
p
+
ò
;
TC5:
Nếu hàm số f liên tục trên [a;b] thì:
( )
( )
b b
a a
f a b x dx f x dx+ - =
ò ò
Đặc biệt:
( )
0 0
( )
b b
f b x dx f x dx- =
ò ò
Tính: I
1
=
4
0

ln(1 tan )x dx
p
+
ò
; I
2
=
1
2
0
ln(1 )
1
x dx
x
+
+
ò
TC6:
Nếu f(x) liên tục trên
¡
và tuần hoàn với chu kì T thì :

0
( ) ( ) ( ) ,
a T
T a
a a T
f x dx f x dx f x dx a
+
-

= = " Î
ò ò ò
¡
( đặt u = x – T)
WWW.ToanCapBa.Net 21
WWW.ToanCapBa.Net

*
0 0
( ) ( ) ,
nT T
f x dx n f x dx n= Î
ò ò
¥
Tính : I
1
=
3
5
sin xdx
p
p
ò
; I
2
=
100
0
1 cos2xdx
p

-
ò
TC7:
Nếu f(x) liên tục trên
¡
thì :
[ ]
2
0 0
( ) ( ) (2 ) ,
a a
f x dx f x f a x dx a= + - " Î
ò ò
¡
Tính: I
1
=
3
0
sin sin2 sin3x x xdx
p
ò
; I
2
=
3
0
sin sin2 sin3 sin5x x x xdx
p
ò

§5. BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN TRUY HỒI
1. Chứng minh:
a/.
1
0
3 2
-
+ £
ò
x
e dx
; b/.
3
4
2
4
4 2
3 2sin
dx
x
£ £
-
ò
p
p
p p
c/.
1
2

0
1 1 2x dx£ + £
ò
; d/.
1
2
0
4 5
1
2 2
x
dx
+
£ £
ò
e/.
2
2
0
dx
16 10
5 3cos x
p
p p
£ £
+
ò
; f/.
2
2

1
1
2 1
5 2
£ £
+
ò
xdx
x
g/.
p
p
< <
ò
3
6
3 sin 1
4 2
xdx
x
; h/.
p p
< <
- - +
ò
1
2
0
2
6 8

4
dx
x x
2.a/. Tính:
1
4
2
2
0
x dx
I
x 1
=
-
ò
;
b/. Đặt
4
t
0
tg xdx
I(t) (0 < t < )
cos2x 4
p
=
ò
. Tính I(t) và chứng minh:
( )
2
2

tg t 3tgt
3
tg t > e , 0 < t <
4 4
p p
+
æ ö æ ö
÷ ÷
ç ç
+
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
3. a/ CM:
2
x x
2
1
x,e > x e
x
-
" Þ £
; b/ CM:
2
200
x
100
e dx 0,01

-
£
ò
4.a/ CM:
x
e >1+ x, x 0" ¹
; b/ CM:
2
1
1
1 x
0
4 +
e dx >
4
p
+
ò
5.a/.CM:
1
2
2012
0
1
4
2
1-
dx
x
p

£ £
ò
; b/. CM:
1
0
cos
ln2
1
x
dx
x
p
£
+
ò
6.a/. Tính:I
1
=
2
4
0
sin2
1 sin
xdx
x
p
+
ò
; I
2

=
2
4
0
sin2
1 cos
xdx
x
p
+
ò

WWW.ToanCapBa.Net 22
WWW.ToanCapBa.Net
b/. CM:
2
4 4
0
sin cos

(1 sin )(1 cos ) 12
x xdx
x x
p
p
>
+ +
ũ
7.a/. Tớnh:I =
2

1
ln xdx
x

; b/. t
2
1
ln
( ) , 1
t
x
J t dx t
x

= >
ữ


, tớnh J(t) theo t ,suy ra
J(t) < 2, t >1"
8.Cho s thc b ln2. Tớnh J =
ln10
3
2
x
x
b
e dx
e -
ũ

v tỡm
đln 2
lim .
b
J
9. Cho
1
2
n
2n
0
xdx
I
1 x
=
-
ũ
a/. Tớnh I
2
; b/. Chng minh:
n
I <
12
p
10. Cho
1
n x
n
0
I x .e dx, n 0=

ũ

a/. Tỡm h thc liờn h gia I
n+1
v I
n
; b/ . CM:
n 1 n n
n
I I , lim I 0
+
đƠ
Ê =
11. Cho
n
2
I = ,
(1 )
n
dx
n
x
ẻ
+
ũ
Ơ
a/. Tỡm h thc liờn h gia I
n-1
v I
n

; b/. Tớnh I
3
.
12. Tớnh
1
0
lim (1 )
n x
x e dx
-
+
ũ
13. Cho
1
(ln ) ,
e
n
n
I x dx n= ẻ
ũ
Ơ
a/ .Tớnh I
1
; b/. Tỡm h thc liờn h gia I
n-1
v I
n

14. Cho
4

0
,
n
n
I tan xdx n
p
= ẻ
ũ
Ơ
a/ .CM:
n n 1
1
I I
n 1
+
+ =
-
; b/. CM:
( ) ( )
< <
1 1
2 1 2 1
n
I
n n+ -
c/ CM:
n n 1
I I
+

; d/. Tỡm h thc liờn h gia I
n-2
v I
n

15. Tớnh I =
0
cos cos( ) ,
n
x nx dx n
p
+
ẻ
ũ
Â
16. Cho
4
0
,
n
n
I xtg xdx n
p
+
= ẻ
ũ
Â
.
a/ . Tớnh I
2

; b/. CMR:
>
2
1
2 4
n
n
I
n
p
+
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
+
Đ6. NG DNG CA TCH PHN
Vn 1: TNH DIN TCH HèNH PHNG
Loi 1: Hỡnh phng (H) gii hn bi th hm s y =f(x)
(liờn tc trờn on [a;b]), hai ng thng x = a, x = b v
trc Ox.
WWW.ToanCapBa.Net 23
WWW.ToanCapBa.Net
Công thức:
| ( ) |
b

a
S f x dx=
ò

Đặc biệt: 1) Diện tích của hình tròn tâm O, bán kính R
là :
S =
2 2 2
0
4
R
R x dx Rp- =
ò
2) Diện tích của elip
2 2
2 2
1+ =
x y
a b
(a > b > 0) là :
S =
2 2
0
4 .p- =
ò
a
b
a x dx ab
a
Lưu ý:

1 2
1
| ( )| ( ) ( ) ( )
n
x x
b b
a a x x
S f x dx f x dx f x dx f x dx= = + + +
ò ò ò ò

Với x
i
là nghiệm của f(x) chứa trong [a;b]
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
1/.
2
2
= +
x
y

trục Ox , Oy và đường thẳng x = -2.
2/.
3 2
6 8 , 2, 4= - + = =y x x x x x
3/.
2
4 5
2
+ +

=
+
x x
y
x
, trục Ox, trục Oy và x = 2.
4/.
3
1
, 1, 2
(1 )
= = =
+
y x x
x x
và trục Ox.
5/.
3
sin , , ,
2 2
p p
= = =y x Ox x x
6/.
2
sin=y x
, trục Ox, Oy và
p=x
7/.
ln=y x
, trục Ox, x = 1, x = e

8/.
xxy
2
ln.=
; trục Ox; x = 1; x = e.
9/.
2
sin sin 1= + +y x x
,
0, 0,
2
y x x
p
= = =
Loại 2: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y
=f(x), y = g(x) (liên tục trên đoạn [a;b]), hai đường thẳng
x = a, x = b.
Công thức:
| ( ) ( ) |
b
a
S f x g x dx= -
ò
Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
1/.
2
2 1
, 2 1, 1, 2
- +
= = - = =

x x
y y x x x
x
2/.
2
sin , , 0, p= + = = =y x x y x x x
WWW.ToanCapBa.Net 24
WWW.ToanCapBa.Net
3/.
2
4 , 2 7 , 1, 2= - = - =- =y x x y x x x
4/.
2 2
1 1
, , ,
sin cos 6 3
p p
= = = =y y x x
x x
5/.
2
2 sin , 1 cos= + = +y x y x
với
[ ]
π
;0∈x
;
Loại 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y =
f(x), y = g(x)
Phương pháp:

•
Xét pt: f(x) – g(x) = 0, tìm nghiệm x
1
< x
2
< …< x
k
•
Gọi S là diện tích cần xác định, ta có:
S=
∫∫ ∫
−
−++−=−
k
1k
k
1
2
1
x
x
x
x
x
x
dxg(x)f(x) dxg(x)f(x)dxg(x)f(x)
1/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a).
( )
2

: - 2 -3=C y x x
với trục hoành;
b).
( ) ( )
2
3
: , 1C y x x x- = =
c).
( )
3
2 2
2 ;27 8 1y x y x= = -
d).
( )
2
: ( - 3)=C y x x
với trục Ox
e).
( )
2
: (3 2 )= -C y x x
với trục hoành
f).
( )
: ( 1)( 2)= + -C y x x x
với trục Ox
g).
( )
4 2
: 8 16= - +C y x x

với trục hoành.
h).
3 2
4 6y x x x= - + +
và trục Ox;
2/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a).
2
4 3 , 3y x x y x
= − + = +
b).
2
-1 2 -= + =y x x và y x
c).
xxy 2
2
−=
,
xxy 4
2
+−=
.
d).
( )
3 2
1
, 1
9
= - = -y x x y x
e).

3
3 ,= - =y x x y x
f).
3
, 2= + =y x x y
với trục hoành
g).
3 2
12 ,= - =y x x y x
h).
4 2 2
4 , 4= - =y x x y x
3/. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường:
a).
2 1
1
-
=
+
x
y
x
, tiệm cận ngang và đường thẳng x = 3.
b).
3
1= -y x
và tiếp tuyến tại điểm (-1; -2).
c).
( )
2

: 4 5P y x x= - +
và tiếp tuyến kẻ từ
5
; 1
2
A
æ ö
÷
ç
-
÷
ç
÷
ç
è ø
WWW.ToanCapBa.Net 25